Les Génies de la Science n° 20 | Darwin (Extrait)

POUR LA SCIENCE

Gödel

LES GÉNIES DE LA SCIENCE

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LES GÉNIES DE LA SCIENCE

Logique à la folie

Trimestriel Août 2004 - Novembre 2004 FRANCE METRO 5,95 €, DOM 5,95 €, BEL 6,77 €, CAN 8,75 $, CH 10,80 FS, LUX 6,77 €, PORT. CONT. 6,48 €, MAR 50 MAD, MAU7,62 €

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N°20

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Gödel, timide iconoclaste

ous les hommes sont mortels ; Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel » enseignait Aristote au IVe siècle avant notre ère. Logique et bon sens faisaient encore bon ménage, quoique, du côté des Crétois, Épiménide posait, avec son « Je mens », le paradoxe logique par excellence. De telles phrases autoréférentielles allaient perturber bien des esprits ; on peut s’étonner que la Sainte Inquisition n’ait pas brûlé les théologiens qui s’interrogeaient sur les limitations du pouvoir de Dieu, lequel ne pouvait construire une montagne si haute qu’il ne pourrait lui-même l’escalader…

Le bouillonnement intellectuel issu des ensembles qui sont élément d’euxmêmes, autre type d’autoréférence, a fait éclater la chaudière de la logique au début du XXe siècle, quand celle-ci a franchi les limites du bon sens pour s’attaquer en toute immodestie… aux fondements des mathématiques.

La question, simple, avait été posée en 1900 par le grand Hilbert : existet-il une théorie qui décrit toutes les mathématiques ? En 1931, alors que les meilleurs mathématiciens s’évertuent à construire un tel fondement, un jeune Viennois d’origine tchèque balaye tous leurs espoirs en quelques pages. Et, ce faisant, refonde la logique.

Les mathématiques ne se laissent enserrer dans aucun cadre formel, quelle que soit l’opiniâtreté des efforts déployés. Tel est le théorème d’incomplétude qui rend Gödel célèbre. Et on comprend son importance : il s’agit d’un théorème mathématique, démontré avec toute la rigueur et la fiabilité des mathématiques, et qui, en même temps, a une portée absolument générale.

Son élégante démonstration est un modèle d’ingéniosité et de créativité, et une sorte de pied de nez des mathématiques aux limites de leur propre méthode formelle. Une conséquence du théorème est qu’à l’intérieur d’aucun système formel incluant l’arithmétique, on ne peut prouver que le système en question est exempt de contradiction. Le monde mathématique est bouleversé.

Pour Gödel, la nouvelle n’est pas négative, même s’il est le seul à penser ainsi : il y voit l’inépuisabilité des mathématiques et sa découverte le pousse à aller de l’avant, plutôt qu’à poser son crayon de dépit.

Nous suivrons le cheminement de Gödel, des cercles intellectuels viennois qu’il fréquenta au début du XXe siècle à ses discussions avec Einstein dans les années 1950, de sa découverte des mathématiques à ses interrogations sur la relativité générale ou l’existence de Dieu. Nous rencontrerons aussi l’homme, d’une discrétion légendaire allant jusqu’à la pathologie. Gödel avait la tristesse du génie, et il était le premier en tout, en tristesse comme en génie.

Je dédie ces pages aux nombreux intellectuels et scientifiques qui, par leur existence, en pensée ou en action, ont aidé Gödel à résoudre des problèmes scientifiques et des questions pour lui vitales. Je sais que tous les hommes de science ont eu besoin d’aide à un moment de leur vie ; ceux qui les aident ont la gratitude de l’humanité.

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Gianbruno GUERRERIO Docteur en philosophie © POUR LA SCIENCE

Gödel (1906-1978)

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Institute for Advanced Study/Princeton

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GÖDEL, par Gianbruno GUERRERIO 3. Kurt Gödel, timide iconoclaste 4. Les démons de Vienne Au tournant du XIXe siècle, Vienne, à l’avant-garde scientifique, artistique et philosophique, vivait un grand essor culturel. Cette atmosphère de révolte créative marque le développement intellectuel de Gödel.

14. Une famille aisée Le petit Kurt Gödel, né en 1906, grandit dans la haute bourgeoisie de Moravie, alors sous la férule des Habsbourg. Épargné par la guerre et ses conséquences, il manifeste très tôt un intense désir d’apprendre.

19. Naissance d’une passion En 1924, Gödel s’installe à Vienne pour étudier la physique, mais succombe au charme des mathématiques, et découvre avec délices et passion les débats qui animent les mathématiciens de son temps.

28. Les années viennoises Gödel rejette catégoriquement nombre des positions fondamentales du Cercle de Vienne; malgré cela, l’atmosphère intellectuelle lui offre, dans les années 1920, le contexte idéal pour son évolution.

39. Vrai ou démontrable?

En 1931, Gödel démontre que les systèmes d’axiomes formalisés ne pourront jamais restituer toute la richesse des mathématiques.

Le rêve de Hilbert s’effondre…

50. Entre éloges et critiques En 1931, nombre de mathématiciens ne comprennent pas la portée du théorème d’incomplétude de Gödel. Von Neumann y voit cependant tout de suite «la plus grande découverte logique depuis longtemps».

Encarts d’abonnement entre les pages 0 et 1, un encart broché service lecteurs et une carte d’abonnement entre les pages 96 et 97.

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N°20 • Août 2004

56. Succès et maladie À partir de 1933, de nombreux spécialistes témoignent leur appréciation et leur estime pour les travaux de Gödel; en dépit de cette reconnaissance, une grave dépression frappe le logicien et l’empêche de travailler.

62. Adieu, Vienne En 1938, alors que l’Europe est au bord du gouffre, Gödel prouve la cohérence de l’hypothèse du continu avec la théorie des ensembles. Sa notoriété lui permet d’émigrer aux États-Unis.

68. Gödel le difficile Après son installation aux États-Unis, en 1940, Gödel s’intéresse de plus en plus à la philosophie, qu’il considère indissociable de l’étude des mathématiques.

76. Gödel déchiré Dans les années 1940-1950, au fil de ses discussions avec Einstein, Gödel s’intéresse à la théorie de la relativité générale, au point de développer un modèle cosmologique original.

84. En quête de la perfection Malgré le soutien d’Oppenheimer, de von Neumann et d’Einstein, Gödel n’est nommé professeur à l’Institute for Advanced Study qu’en 1953. Son instabilité psychique faisait obstacle à sa carrière.

90. Dieu existe-t-il ?

Dans son isolement croissant de névropathe, Gödel mène, à la fin de sa vie, un dernier combat contre les fantômes et les chimères qui l’ont tourmenté toute son existence.

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Les démons de Vienne Au tournant du XIXe siècle, Vienne, à l’avant-garde scientifique, artistique et philosophique, vivait un grand essor culturel. Cette atmosphère de révolte créative marque le développement intellectuel de Gödel.

Il n’y a qu’à Vienne que les rues sont pavées de culture, partout ailleurs elles sont asphaltées depuis longtemps.

Karl Kraus.

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e matin du 22 juin 1936, le Professeur Moritz Schlick allait donner son dernier cours de philosophie avant l’été. Il montait d’un pas mesuré les marches de l’escalier de l’Université de Vienne, lorsque, levant les yeux, il vit s’avancer son ancien étudiant Hans Nelböck. Peut-être s’apprêtait-il à reprocher à Nelböck de ne cesser de l’importuner ? Il n’en eut pas le temps : Nelböck s’immobilisa à quelques pas de lui, sortit un revolver de sa poche et tira à quatre reprises. D’après les journaux, Nelböck, debout près du corps, se serait écrié : « Voilà, maudit chien, tu as ton compte ! » Le meurtre de l’un des plus éminents représentants de la philosophie des sciences portait en même temps un coup fatal au premier « Cercle de Vienne », lieu de réflexion féconde et atelier de la pensée pour de nombreux philosophes tels Ludwig Wittgenstein, Rudolph Carnap, Heinrich Gomperz, et Karl Popper, ainsi que pour des mathématiciens comme Alfred Tarski, Karl Menger, Hans Hahn et son doctorant Kurt Gödel. Schlick était né en 1882, dans une famille de la petite noblesse d’Allemagne du Sud. Physicien de formation (élève de Max Planck à Berlin), puis philosophe, il avait obtenu en

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Kronen Zeitung

Le 22 juin 1936, le professeur Moritz Schlick s’effondre, victime d’un attentat. Le Cercle de Schlick fut, dans les années 1920, l’ébauche du « Cercle de Vienne », où se réunissaient scientifiques et philosophes en quête d’une vision unifiée du monde scientifique. © POUR LA SCIENCE

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Accusations antisémites Dans l’hebdomadaire «Schönere Zukunft» parut, sous le pseudonyme Professeur Austriacus (Johannes Sauter), quelques semaines après l’attentat, le 12 juillet 1936, un article intitulé Le cas du professeur viennois Schlick : un avertissement aux chercheurs sur la conscience. On y lisait, entre autres : Ce qui confère à ce coup de feu sur l’escalier de l’Université de Vienne un caractère aussi terrible est le fait que le docteur Nelböck, âgé de 32 ans, n’était pas un psychopathe de naissance ; d’après certains signes il ne l’est devenu que sous l’influence de la philosophie radicale délétère enseignée par le professeur Schlick depuis 1922 à l’Université de Vienne. Ce n’est donc pas la logique d’un fou qui a poussé cette balle à chercher une victime, mais sans doute la logique d’une âme dépossédée du sens de la vie : ce cas, non isolé, n’est pas de nature « psychopathe », mais « seulement » un symptôme, « une » expression catastrophique de cette détresse et de ce désespoir dont est empreinte la conception philosophique du monde académique. […]

Sous la direction de Schlick s’est créé ce que l’on nomme le Cercle de Vienne, qui fut très actif et qui, au grand détriment de la réputation de l’Autriche en tant qu’État chrétien, représente hors de nos frontières la philosophie autrichienne. […] Il est bien connu que Schlick, qui avait comme assistants un Juif et deux Juives, était l’idole des milieux israélites de Vienne. Ces derniers ne se lassent pas d’honorer Schlick comme le plus grand des penseurs. Nous comprenons cela très bien, car le Juif est un anti-métaphysicien né ; il aime dans la philosophie le logicisme, le mathématisme, le formalisme et le positivisme, caractéristiques que Schlick réunissait en lui au plus haut point. Nous voudrions cependant rappeler que nous, chrétiens, vivons dans un pays germanique chrétien et que c’est à nous de décider quelle philosophie est bonne et appropriée. […] Ces derniers temps, on a expliqué à plusieurs reprises que la solution pacifique à la question juive en Autriche, adoptée dans l’intérêt des Juifs eux-mêmes, est opportune, car, à défaut, une solution par la force serait inévitable. Espérons que le terrible meurtre de l’Université de Vienne accélérera la mise en œuvre d’une solution satisfaisante de la question juive !

Cet extrait donne la dimension politique de l’assassinat de Schlick et montre comment, à partir du milieu des années 1930, les attaques contre l’un des cercles intellectuels les plus créatifs du monde utilisaient habilement le jargon des adeptes de l’idéologie fasciste et national-socialiste. Le tribunal jugea Nelböck coupable du meurtre et le condamna à dix ans de réclusion. Toutefois, deux ans seulement après sa condamnation, il fut libéré quelques mois après l’annexion de l’Autriche au IIIe Reich, en 1938. © POUR LA SCIENCE

Österreichische Nationalbibliothek, Vienne

1922 la chaire de «Theorie der induktiven Wissenschaften» (Théorie des sciences inductives) de la faculté de philosophie de l’Université de Vienne.

Cette chaire avait été créée en 1895 pour le physicien et philosophe Ernst Mach. En 1928, Schlick avait fondé l’association Ernst Mach, qui était devenue, un an plus tard, « le Cercle de Vienne ».

Les raisons de l’attentat ne furent jamais vraiment élucidées, sans doute parce que les mobiles étaient nombreux. Les détracteurs de Schlick firent courir le bruit qu’il s’agissait d’un drame passionnel, rumeur plus destinée à porter atteinte à la réputation de Schlick qu’à expliquer les raisons de l’acte. Un fait, pourtant, pourrait avoir son importance: Nelböck croyait, sur les dires de son compagnon d’études Leo Gabriel, que Schlick avait, quelques années auparavant, refusé son admission à l’Université populaire de Vienne Ottakring. Nelböck avait alors commencé à harceler, voire menacer son ancien professeur de philosophie et directeur de thèse, qui avait plusieurs fois porté plainte; de plus Nelböck avait été traité deux fois à l’établissement psychiatrique «Baumgartner Höhe» de Steinhof.

Nelböck était un activiste d’extrême droite ; Leo Gabriel, membre connu du mouvement fasciste autrichien, publia un an après le meurtre un ouvrage intitulé Dirigeants et partisans. Plus tard, il devint Directeur de l’Institut de philosophie II de l’Université de Vienne et occupa ainsi, jusque dans les années 1970, la chaire qui avait été celle de Schlick et Mach.

Moritz Schlick (1882-1936) était originaire d’une famille de petite noblesse d’Allemagne du Sud. En 1922, il fut nommé à la chaire de l’Université de Vienne, qui avait été occupée par Ernst Mach, puis par Ludwig Boltzmann. Son œuvre majeure est la Théorie générale de la connaissance (1918).

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Une famille aisée Le petit Kurt Gödel, né en 1906, grandit dans la haute bourgeoisie de Moravie, alors sous la férule des Habsbourg. Épargné par la guerre et ses conséquences, il manifeste très tôt un intense désir d’apprendre.

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e petit Kurt ne comprenait pas les inquiétudes de sa mère : était-ce parce qu’il avait manqué des jours d’école ? Pourtant, il avait réussi dans presque toutes les matières, et avait même obtenu les meilleures notes. Le jeune garçon chercha donc dans les rayons de la bibliothèque familiale le « pourquoi » des craintes de sa mère. Le sentiment qu’il était malade et son désir de savoir ne lui laissaient aucun répit. Son habitude de demander la raison de toute chose avec une obstination peu commune était si marquée qu’on le surnommait « Monsieur Pourquoi ».

Après quelques recherches, il trouve, pense-t-il, le diagnostic : fièvre rhumatismale. Avant l’ère des antibiotiques, c’est une maladie infectieuse, due à des streptocoques, à prendre au sérieux car elle a souvent pour conséquence des complications, notamment cardiaques. Chez le garçon s’installe l’idée fixe, à tort comme le confirmera son frère aîné Rudolf, qu’il souffre de troubles cardiaques. C’est le premier signe d’une angoisse pour sa santé qui s’intensifiera à l’âge adulte : Gödel fut hypocondriaque jusqu’à la folie.

Nous pourrions gloser et affirmer que c’était une maladie de logicien car si on est malade (de l’hypocondriaquie), alors on n’est pas hypocondriaque puisque la maladie est réelle. Et si Gödel n’était pas hypocondriaque, il n’était pas malade. Mais s’il n’était pas malade et avait le sentiment de l’être, alors il l’était. La maladie de Gödel était à l’image de ces paradoxes logiques qui le préoccupèrent à l’âge adulte.

Kurt Gödel est né le 28 avril 1906 dans une famille aisée de la capitale de la Moravie, Brno, aujourd’hui en République tchèque. Depuis des siècles vivent làbas des colons germanophones qui, du temps de Gödel, représentent même la majorité de la population installée dans la région. Son père Rudolf, dont la famille est originaire de Vienne, grandit à moitié orphelin, car le grand-père de Kurt, encore jeune, mit fin à ses jours. Dans la misère, la grand-mère de Kurt confia leur fils aîné Rudolf aux soins de l’oncle de Brno, Josef, et de la tante Anna.

Au numéro 5 de la Bäckergasse à Brno, aujourd’hui en République tchèque, se dresse la maison natale de Kurt Gödel.

Archives de la ville de Brno

Timide et réservé Dans les années 1880, Brno est le centre de l’industrie textile en plein essor de l’empire des Habsbourg. À la fin de ses études techniques, Rudolf se tourne lui aussi vers cette branche, sur les conseils, semble-t-il, de l’ami de son père, Gustav Handschuh, responsable des ventes dans une entreprise textile ; quelque temps plus tard, sa fille Marianne et Rudolf se fiancent.

Son esprit d’entreprise et son sens des affaires valent bientôt à Rudolf Gödel un poste directorial, ce qui lui permet d’épouser Marianne et de fonder une famille. L’ambition de Rudolf et sa volonté de préserver sa famille du besoin le hissent au statut de copropriétaire de sa société ; les Gödel deviennent en peu de temps si aisés qu’ils engagent des domestiques. En août 1911, Rudolf commande la construction d’une maison de trois étages au pied de la citadelle Spielberg. Au tournant du siècle, les terrains entourant l’ancienne prison politique, agrémentée de parcs et de jardins, sont devenus un quartier résidentiel très prisé de la bourgeoisie industrielle, alors en pleine expansion. © POUR LA SCIENCE

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Famille Gödel

Le petit Kurt (avec une poupée), assis sur un banc à côté de son frère Rudolf aux distractions plus masculines.

L’industrialisation rapide de Brno et de ses environs à la fin du XIXe siècle confère à la capitale morave un air de métropole. La ville a un passé intellectuel : n’oublions pas qu’en 1865, Gregor Mendel y proposa sa théorie de l’hérédité, qui resta ignorée du reste du monde scientifique. Dans cet ancien centre de diffusion de la profession de foi hussite (Église réformée partisane de Jan Hus, brûlé comme hérétique au XVe siècle), imprégné d’une tradition mysticoreligieuse, la population germanophone a une relative prospérité, tout particulièrement les familles d’origine juive.

Les habitants germanophones de Brno sont toutefois loin de former une entité homogène. Certains, dont les Gödel, ont Vienne pour référence culturelle et politique ; d’autres, en particulier les protestants, ont choisi comme modèle la force économique et la puissance politique de l’Allemagne. À ces divisions politiques s’ajoutent les tensions entre catholiques, juifs et protestants.

Kurt est un enfant très timide, racontera son frère aîné Rudolf, et en l’absence de sa mère, son manque d’assurance s’amplifie en anxiété. Baptisé protestant, comme sa mère (son père est catholique), le jeune garçon est inscrit à l’école primaire protestante. À partir de 1916, il poursuit ses études secondaires – en allemand – dans le Lycée d’État austro-hongrois, un des établissements scolaires allemands les plus prestigieux de Moravie. Une bonne moitié des élèves est de religion juive et, à part quelques protestants, le reste est de confession catholique romaine. Les problèmes posés par les différentes religions et langues dans l’enseignement sont caractéristiques des tensions qui agitent l’empire des Habsbourg durant ses ultimes années d’existence. Cela se traduit, entre autres, dans la dénomination complexe des écoles et lycées censés apaiser les diverses susceptibilités linguistiques, sociales et religieuses.

Kurt n’entretient des liens amicaux qu’avec deux camarades d’école, mais ses résultats scolaires sont excellents. Son frère Rudolf raconte dans son Esquisse d’une chronique de la famille Gödel, que Kurt « était un excellent © POUR LA SCIENCE

La surimpression de la poste tchécoslovaque sur un timbre postal de l’empire austro-hongrois illustre les changements de régime qui ont suivi la chute de l’empire des Habsbourg en 1918 et la naissance de la République de Tchécoslovaquie. Il semble qu’à partir de ce moment, Gödel se soit senti exilé dans son propre pays.

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Naissance d’une passion En 1924, Gödel s’installe à Vienne pour étudier la physique, mais succombe au charme des mathématiques, et découvre avec délices et passion les débats qui animent les mathématiciens de son temps.

© POUR LA SCIENCE

ÖIsterreichische Nationalbibliothek, Vienne

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uand Gödel s’installe à Vienne à l’automne 1924 pour y étudier la physique théorique, il est confronté pour la première fois au mode de vie de la grande ville. Jusqu’alors, il n’a connu Vienne que par quelques brefs séjours en compagnie de son père et à travers la lecture de la Neue Freie Presse. De l’avis de l’écrivain Stefan Zweig, ce quotidien, « par sa tenue distinguée, ses préoccupations culturelles et son prestige politique, occupait, dans toute la monarchie austro-hongroise, la même place que le Times dans le monde anglo-saxon […]. Les numéros spéciaux de Noël et du Nouvel an formaient, avec leurs suppléments littéraires, des volumes entiers où se côtoyaient les plus grands noms de l’époque : Anatole France, Gerhart Hauptmann, Ibsen, Zola, Strindberg et Shaw ».

Gödel, qui fut toute sa vie allergique aux nouveaux environnements, goûte néanmoins l’organisation des études universitaires viennoises. Dans toutes les universités germanophones de l’ancienne Autriche-Hongrie survit l’antique système du Studium generale : parmi trois ou quatre matières principales les étudiants choisissent les cours de leur choix. Chaque cours n’est pas l’objet d’un examen, mais est simplement validé par l’inscription du professeur dans le carnet de l’étudiant. Comparé au système rigide de l’enseignement secondaire de l’empire austro-hongrois, le Studium generale offre une « liberté quasi totale, limitée par la seule obligation de réussir l’examen d’état de fin d’études », racontera Herbert Feigl, camarade d’études de Gödel. Un examen difficile par ailleurs, qui n’est pas cantonné à la matière faisant l’objet de la thèse de doctorat. En outre, les différentes universités ne sont pas rigoureusement séparées, si bien que de nombreux étudiants suivent les professeurs de renom d’une université à l’autre. Le cursus de Gödel dans une seule université est une exception.

Gödel étudie tout d’abord la physique à travers La mécanique analytique de Joseph Lagrange (1736-1813) et les travaux de Bernhard Riemann (1826-1866) sur l’utilisation d’équations différentielles partielles en physique. Il suit les cours de Hans Thirring sur la théorie de la relativité et aussi ceux de Heinrich Gomperz sur l’histoire de la philosophie européenne. Ce dernier est, comme son père Theodor, un des plus grands spécialistes de philosophie grecque antique. Ses cours auront une influence durable sur la vision du monde de Gödel, lui montrant les caractéristiques d’une époque révolue. La nostalgie des âges intellectuels du passé sera une constante chez le mathématicien, qui remarquera : « Je ne considère pas mon œuvre comme un résultat de l’atmosphère intellectuelle des 20 premières années du siècle, bien au contraire. » À la question du sociologue américain Grandjean, lui demandant quelles personnalités l’avaient le plus influencé, il répondra par deux noms seulement : Heinrich Gomperz et Phillip Furtwängler, cousin du chef d’orchestre Wilhelm Furtwängler.

L’affluence au cours sur la théorie des nombres que Furtwängler donne au premier semestre de l’année 1924-1925 est telle que de nombreux étudiants se pressent debout devant la chaire. La capacité de Furtwängler à captiver son auditoire est légendaire. Paralysé à la suite d’un accident, il est secondé par un assistant chargé d’écrire au tableau, mais cela n’enlève rien à son charisme.

Philipp Furtwängler (1869-1940), par ses cours de théorie des nombres à l’Université de Vienne, entraîna Gödel dans le monde fascinant des mathématiques et de la logique.

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Kurt Gödel, photographié ici au milieu des années 1920 alors qu’il était étudiant à l’Université de Vienne, passait auprès de ses contemporains pour un jeune homme réservé et très doué.

Gödel n’a pas choisi les cours de Furtwängler que pour leur réputation, mais aussi pour le sujet traité. Dès le début de ses études il a mûri un platonisme absolu : la conviction que les objets mathématiques ont une existence propre, indépendante de la connaissance que nous en avons et des méthodes que nous utilisons pour les construire. Le cours de Gomperz sur Platon n’est sans doute pas étranger à ce sentiment. Gödel en déduit même que les mathématiques sont à la base de toute réflexion, et qu’il faut donc les placer au centre de la philosophie. Un familier de Gödel, Hao Wang, remarquera plus tard qu’aucun domaine n’est plus exemplaire et mieux adapté que la théorie des nombres pour démontrer les avantages du « réalisme mathématique platonicien ».

Le cours de Furtwängler induit un changement dans les intérêts du jeune Kurt: non seulement il renforce l’étudiant dans ses conceptions, mais il lui révèle la nature des débats qui entourent les fondements de l’arithmétique et des mathématiques en général, beaucoup plus contestés que ne le supposerait un observateur extérieur. Cette impression est confirmée par le cours de Hans Hahn sur la théorie des fonctions réelles, que Gödel suit également en première année, où le professeur ne manque pas une occasion d’aborder des problèmes de la théorie des ensembles et de dévier sur la logique et les fondements des mathématiques.

Nous allons découvrir, avec l’étudiant Gödel, les préoccupations des mathématiciens à la fin du XIXe siècle. Durant ce siècle, le développement explosif des mathématiques a entraîné de fortes spécialisations, au détriment d’une compréhension globale des mathématiques. Certes, les progrès réalisés dans les différentes disciplines dévoilèrent quelques ponts permettant de les relier.

Bernhard Riemann a, par exemple, exprimé la courbure d’une surface en termes de calcul différentiel et Karl Weierstrass (1815-1897) a précisé les concepts confus d’infini et d’infiniment petit. Toutefois, il manquait, dans la seconde moitié du XIXe siècle, un fondement sûr à toutes ces disciplines mathématiques naissantes. À la fin du siècle, la théorie des ensembles vint combler ce vide, grâce en particulier au mathématicien Georg Cantor (1845-1918).

Cantor et l’infini

DU RATIONNEL À L’IRRATIONNEL

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Pour définir les nombres réels, Cantor part de l’ensemble des rationnels, où chaque nombre s’écrit sous forme d’une fraction.

Puis il définit la notion de suite fondamentale de rationnels (nommée aujourd’hui suite de Cauchy) : il s’agit d’une suite de nombres rationnels (u1, u2, …, un, …) telle que la quantité un + m – um devient aussi petite que l’on veut quand m augmente, indépendamment de n.

Ainsi, soit la suite converge vers un nombre rationnel, soit elle ne converge pas vers un nombre rationnel et converge alors vers un nombre irrationnel.

Cantor démontre ensuite que l’ensemble des rationnels et l’ensemble des limites irrationnelles des suites de Cauchy constituent l’ensemble des nombres réels : tout nombre réel, rationnel ou non, est la limite d’une suite de Cauchy.

Cantor s’intéresse aux fondements des mathématiques au cours de ses recherches sur la convergence des séries trigonométriques. Dans sa Théorie analytique de la chaleur de 1822, Joseph Fourier avait affirmé que n’importe quelle fonction périodique pouvait se concevoir comme valeur limite d’une série convergente de fonctions trigonométriques. Cantor publie en 1870, dans le Journal de Crelle, la démonstration que si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation sous la forme de séries trigonométriques est unique. Cependant, pour effectuer cette démonstration et confirmer ainsi l’hypothèse de Fourier, il doit préciser ce qu’il entend par continuité: son théorème est-il valide pour une fonction présentant un nombre fini de points de discontinuité? Et un nombre infini de points de discontinuité? Cantor étudie donc la validité de l’hypothèse de Fourier dans ces deux cas. S’il ne rencontre pas de difficulté majeure dans le premier, il ne sait vérifier l’affirmation de Fourier dans le second que lorsque les points de discontinuité sont répartis d’une manière particulière. Cantor s’intéresse ainsi aux propriétés structurelles des ensembles infinis. À tout point d’une droite, on associe un nombre réel, et vice versa. Ainsi, rechercher la répartition d’un nombre infini de points de discontinuité revient à étudier la répartition d’une infinité de nombres réels dans l’ensemble R de ces nombres. Il s’agit donc tout d’abord de définir les nombres réels de façon rigoureuse, puis d’en étudier les propriétés. Tel est le point de départ de Cantor. On s’en doute, le problème clé de cette étude est la définition des nombres irrationnels, nombres – tels π, e, √2 et √3 – qui ne peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers. À cette fin, Cantor a l’idée d’identifier les nombres réels (rationnels ou non) aux limites de suites infinies de nombres rationnels (voir l’encadré ci-contre).

Toutefois, cette solution ingénieuse signifie que chaque suite de nombres tend vers un infini « actuel » : un infini tangible, une limite qui a une existence réelle. Or, cette conception s’oppose à l’idée traditionnelle d’infini « potentiel », © POUR LA SCIENCE

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CHRONOLOGIE 1906 : Kurt Gödel naît à Brno (République tchèque).

1916 : Kurt entre au lycée d’état d’enseignement secondaire de l’empire austro-hongrois de la ville.

1924 : Il s’inscrit à l’Université de Vienne.

1926 : Gödel commence à participer régulièrement aux réunions du jeudi soir du Cercle de Vienne de Moritz Schlick.

1928 : Il rencontre sa future femme Adele Porkert.

1929 : En juin, Gödel obtient la nationalité autrichienne.

1930 : Gödel obtient son doctorat le 6 février. Il démontre dans sa thèse la complétude de la logique des prédicats du premier ordre.

1931 : Publication de son article Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et de systèmes apparentés I. 1933 : Le 17 février, Gödel est nommé Privatdozent de l’Université de Vienne. Premier séjour à l’Institute for Advanced Study (IAS) de Princeton.

1934 : Gödel est soigné pour une grave dépression au sanatorium de Purkersdorf près de Vienne.

1935 : En septembre, de retour à Princeton, il parle à von Neumann de sa démonstration de la cohérence relative de l’axiome du choix. Une dépression l’oblige à rentrer à Vienne.

1936 : Gödel passe l’hiver et le printemps dans un sanatorium pour soigner sa dépression.

1938 : En mars, rattachement de l’Autriche au Troisième Reich ; le 20 septembre, mariage avec Adele, puis troisième séjour à Princeton.

1939 : Gödel perd son poste de Privatdozent à Vienne, à cause d’un décret lié au rattachement de l’Autriche à l’Allemagne.

1940 : Émigration d’Autriche.

1946 : Gödel devient membre permanent de l’IAS. 1948 : Gödel obtient la nationalité américaine.

1949 : Dans une publication commémorative sur Einstein, Gödel propose un modèle mathématique d’univers où le voyage dans le temps est possible.

1950 : Gödel obtient, avec Schwinger, le prix Einstein.

1953 : Gödel est enfin nommé professeur à l’IAS et devient membre de la National Academy of Science.

1958 : Dans la revue Dialectica paraît le dernier article de Gödel publié de son vivant Sur une extension des mathématiques finitistes qui n’a pas encore été utilisée.

1978 : Kurt Gödel décède le 14 janvier de sous-alimentation liée à ses crises paranoïaques.

BIBLIOGRAPHIE Gödel K., Collected Works : Oxford University Press, New York, 1986-1995.

Cassou-Noguès P., Gödel : Les Belles Lettres, 2004.

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Bibliographie complémentaire sur le site de Pour la Science, www.pourlascience.com

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