Riemann, l’explorateur des géométries nouvelles
Devant l’assemblée des naturalistes allemands, le mathématicien FélixKlein affirmait, lors d’une conférence à Vienne en septembre1894: «Nous sentons que, sous l’influence des développements modernes, notre science, à mesure qu’elle avance à pas rapides, tend de plus en plus à s’isoler.» Le «danger […] qui grandit de jour en jour» d’une spécialisation excessive des diverses disciplines scientifiques nuit au «rapport intime entre les mathématiques et les sciences naturelles théoriques», si bénéfique pour les deux disciplines. À cette tendance néfaste s’oppose, garante de l’unité de la science, l’œuvre de Riemann, dont, toujours selon Klein, «l’influence fut sans rivale sur le développement des mathématiques modernes», et dont les idées voguent sans complexe d’un domaine à l’autre.
Malgré la brièveté de sa vie (il meurt avant d’avoir quarante ans), Riemann laisse un héritage incroyablement riche. Ses études extraordinaires, allant de l’analyse réelle et complexe à la théorie des nombres, de la géométrie à la topologie, ont inspiré des générations de mathématiciens. Nous lui devons ainsi les origines de la géométrie algébrique et le concept d’espace à plusieurs dimensions, pour ne citer que les exemples les plus éclatants. Dans ses travaux, de nombreuses théories sont reformulées, d’autres sont créées grand nombre d’entre elles présente des défis pour l’avenir, telle sa célèbre conjecture sur la fonction zêta, à laquelle sont liées des questions fondamentales de la théorie des nombres.
Son approche des mathématiques est aussi fascinante et féconde que ses idées elles-mêmes: Riemann rêvait de formuler une théorie mathématique qui décrirait toutes les lois de la nature. Ce point de vue, affirmé à de nombreuses reprises dans ses écrits traitant de philosophie naturelle, donne à son œuvre une unité, en dépit de la variété des sujets abordés.
L’audace et l’absence de préjugés qui caractérisent ses idées, contrastent avec la réserve et la timidité du jeune homme. Riemann, authentique «génie créateur» selon l’historien anglais W.RouseBall, était dans la vie un homme hypochondriaque, sujet à des épisodes dépressifs dévastateurs, à la santé précaire depuis son jeune âge et accablé de problèmes financiers. Cependant, lorsqu’il prenait la plume, son esprit se libérait jusqu’à prendre les formes les plus inattendues; il dépassait les frontières des mathématiques et explorait les domaines de la physique, de la philosophie naturelle et même de la psychologie, pour tenter une interprétation hardie du monde physique et de ses lois.
Rossana TAZZIOLI
Département d’histoire des mathématiques de l’Université de Catane
RIEMANN, par Rossana TAZZIOLI
3. Riemann, l’explorateur des géométries nouvelles
4. Un provincial timide
D'origine modeste, le jeune Bernhard Riemann impressionne ses professeurs par ses capacités mathématiques. Il développe une théorie de l’intégration vers 1850 qui perfectionne celle de Cauchy.
16. Physique et mathématique
Guidé par l’enseignement de physique mathématique de Gauss et de Weber, Riemann soutient, en 1851, une thèse qui renouvelle la
des fonctions.
26. «Fantaisies géométriques»
Dans son Inauguraldissertation de 1851, Riemann s’inspire de la physique pour élaborer sa théorie des fonctions d’une variable complexe et construit une nouvelle géométrie pour l’étude de ces fonctions.
36. Un été prolifique
Durant l’été 1857, Riemann apporte, malgré son état dépressif, des contributions fondamentales à la topologie et la géométrie algébrique naissantes, en étudiant d’étranges objets mathématiques.
48. Tout est nombre
Professeur à l’Université de Göttingen, Riemann élabore sa célèbre conjecture sur la fonction zêta(qui n’est toujours pas résolue aujourd’hui), importante pour l’étude des nombres premiers.
62. Espaces et géométries
La leçon d’habilitation donnée par Riemann en 1854 pour devenir professeur est un succès: le jeune homme dévoile aux mathématiciens et aux physiciens les merveilles de la géométrie multidimensionnelle.
73. La nouvelle géométrie
Les «variétés» introduites par Riemann permettent de comprendre et de visualiser les concepts et résultats fondamentaux de la géométrie non euclidienne.
81. Philosophie naturelle
Se fondant sur la théorie psychologique de Herbart, Riemann élabore en 1853 un modèle d’éther et en déduit de nouveaux principes de philosophie naturelle.
90. Riemann et la relativité
Les prémonitions physiques et les idées géométriques de Riemann, développées par Ricci-Curbastro et Levi-Civita, montreront leur fécondité dans la relativité générale d’Einstein.
Un provincial timide
D'origine modeste, le jeune Bernhard Riemann impressionne ses professeurs par ses capacités mathématiques. Il développe
une théorie de l’intégration vers 1850 qui perfectionne celle de Cauchy.
Au XVIIe siècle, Isaac Newton (1643-1727, ci-dessus) et Gottfried Leibniz développèrent une nouvelle méthode de calcul des aires et des tangentes à une courbe et fondèrent ainsi l’une des principales disciplines des mathématiques, l’analyse. Les travaux de Riemann poursuivront leurs œuvres.
National Portrait Gallery, Londres
C’est la continuité historique. Les Mathématiques pures progressent à mesure que les problèmes connus sont approfondis en détail avec des méthodes nouvelles. À mesure que nous comprenons mieux les anciens problèmes, les nouveaux se présentent d’eux-mêmes.
Felix Klein, 1894.
«Il serait difficile et peut-être téméraire d’analyser les chances que l’avenir offre à l’avancement des mathématiques: dans presque toutes les parties, on est arrêté par des difficultés insurmontables; des perfectionnements de détail semblent la seule chose qui reste à faire [...]. Toutes ces difficultés semblent annoncer que la puissance de notre analyse est à-peu-près épuisée.» Ainsi s’exprime, en 1810, l’astronome Jean-Baptiste Delambre, Secrétaire perpétuel de la classe des sciences physiques et mathématiques de l’Institut de France, dans son Rapport historique sur les progrès des sciences mathématiques depuis 1789 et sur leur état actuel
Les prophéties sont dangereuses: grâce à des hommes tels que Gauss et Riemann, les progrès des mathématiques seront tels au XIXe siècle qu’ils relativiseront l’importance du XVIIIe siècle contemplé par Delambre dans son rapport. L’historien Carl Boyer écrira à propos du XVIIIe siècle: «Suivant le Siècle des génies et précédant l’Âge d’or des mathématiques, cette période ne pouvait être considérée que comme un interlude prosaïque.» Un autre historien, Morris Kline, décrit les mathématiques du siècle des Lumières en termes similaires: «Si le XVIIe siècle a été fort justement appelé le siècle du génie, le XVIIIe pourrait être dénommé le siècle de l’ingéniosité.»
En réalité, si les mathématiciens du XVIIIe ne formulèrent pas de théories suffisamment originales et fécondes pour rivaliser avec le calcul infinitésimal, fleuron du siècle précédent, ou avec les fabuleuses créations des mathématiques du XIXe siècle, ils contribuèrent néanmoins aux divers domaines des mathématiques, des séries infinies aux équations différentielles, de la géométrie différentielle au calcul des variations (détermination des extrema d’une fonction).
Au XVIIe siècle, Newton et Leibniz posèrent indépendamment les bases des calculs différentiel et intégral, proposant de nouvelles méthodes de calcul pour résoudre des problèmes aussi divers que la détermination d’aires, de tangentes, ou le calcul de la longueur d’une courbe. De leurs travaux naquit un nouveau domaine des mathématiques, connu aujourd’hui sous le nom d’«analyse». Au XVIIIe siècle, l’analyse joua un rôle primordial dans la recherche des lois de la nature, éclipsant peu à peu les méthodes géométriques qui dominaient jusqu’alors l’étude des problèmes mécaniques. Ainsi, JosephLagrange écrivit dans la Préface de sa célèbre Mécanique analytique (1788):
On a déjà plusieurs Traités de Mécanique, mais le plan de celui-ci est entièrement neuf. Je me suis proposé de réduire la théorie de cette Science, et l’art de résoudre les problèmes qui s’y rapportent, à des formules générales, dont le simple développement donne toutes les équations nécessaires pour la
solution de chaque problème. [...] Ceux qui aiment l’Analyse, verront avec plaisir la Mécanique en devenir une nouvelle branche, et me sauront gré d’en avoir étendu ainsi le domaine.
L’explosion de l’enseignement mathématique
Au XIXe siècle, l’analyse se développe de façon spectaculaire et gagne en rigueur, en partie sous l’influence de Riemann; l’on assiste par exemple à la naissance de l’analyse complexe (qui utilise les propriétés du nombre imaginaire i, défini par la relation i2 =– 1, et des nombres construits à partir de ce nombre imaginaire), dont les utilisations seront fertiles en géométrie algébrique, en topologie et en théorie des nombres. En outre, les mathématiques du XIXe siècle s’enrichissent de nouvelles disciplines créées ex novo, telle la géométrie différentielle, la géométrie non euclidienne, l’algèbre abstraite et la théorie des ensembles. Là aussi, Riemann, par sa prééminence scientifique et culturelle, est l’un des protagonistes de ce foisonnement d’idées et d’applications.
Les méthodes de travail évoluent aussi entre les XVIII e et XIXe siècles. Au XVIIIe siècle, les publications mathématiques se multiplient avec le développement de l’imprimerie et la création de nombreuses revues, fondées et patronnées principalement par les Académies. Ces structures, dont la Société royale de Londres, l’Académie des sciences de Berlin et l’Académie des sciences de Paris, sont apparues en Europe au XVIIe siècle et atteignent leur apogée à la fin du XVIIe siècle et tout au long du XVIIIe siècle. Les Académies favorisent ainsi les échanges scientifiques et, en outre, commanditent d’éminents scientifiques, dont des mathématiciens, leur permettant de se consacrer à la recherche. Ainsi, l’Académie de Berlin subventionne Euler de 1741 à 1766, l’un des mathématiciens les plus prolifiques de tous les temps, et Lagrange de 1766 à 1787 ; similairement, l’Académie de Saint-Pétersbourg aide Daniel et Nicolas Bernoulli, ainsi qu’Euler lui-même.
Leibniz (1646-1716)
La Révolution française de 1789 bouleverse cette organisation. Des Grandes écoles sont fondées à Paris, où les mathématiciens les plus illustres enseignent et rédigent des traités à l’intention des étudiants. L’École polytechnique, destinée à la formation des ingénieurs et des militaires de l’armée française, est ainsi créée en 1794; elle compte Monge, Lagrange et Laplace parmi ses premiers professeurs de mathématiques. En 1808, sur les cendres de l’École normale, fondée en 1794, mais abandonnée quelques années plus tard, est créée l’École normale supérieure, dont le but est de former les enseignants, en lettres comme en sciences.
La Révolution française suscite une série de conflits opposant la France et le Saint Empire romain germanique; ceux-ci se concluent par la défaite des
L’École polytechnique de Paris vers 1800.
Gottfried
Physique et mathématique
Guidé par l’enseignement de physique mathématique de Gauss et de Weber, Riemann soutient, en 1851, une thèse qui renouvelle la théorie des fonctions.
Au XVIe siècle, le mathématicien italien
Niccolò Fontana, dit Tartaglia, releva le défi que lui avait lancé son compatriote Antonio Maria Fiore et résolut trente équations du troisième degré dont la solution était alors inconnue. Il communiqua sa solution, énoncée en tercets, au mathématicien milanais JérômeCardan, sous le sceau du secret (voirl’encadréci-contre). Une vive polémique naquit entre Tartaglia et Cardan car ce dernier, lorsqu’il apprit que la formule avait déjà été trouvée par Scipione dal Ferro, se sentit libéré de la promesse de confidentialité faite à Tartaglia et publia la solution de l’équation générale du troisième degré dans son œuvre l’Ars magna.
Nazionale delle stampe, Rome
Galleria
Fin 1851, au terme de ses études à l’Université de Göttingen, Riemann soutient sa thèse intitulée Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d’une variable complexe. «Peu d’articles de mathématiques ont exercé sur le développement de cette discipline une influence comparable à l’élan insufflé par la thèse de Riemann. Celle-ci contient les prémices de la théorie moderne des fonctions.» Cette déclaration, prononcée en 1951 par le célèbre mathématicien L.Ahlfors en ouverture du congrès organisé à Princeton à l’occasion du centenaire de la thèse de Riemann, décrit fort bien le caractère de ce mémoire. Son approche originale de l’étude des fonctions d’une variable complexe présente un double avantage: il y interprète de façon nouvelle des résultats et des théorèmes déjà connus, et il ouvre la voie à des développements aussi féconds qu’inattendus de la théorie.
Pourquoi Riemann a-t-il choisi ce sujet? Et quelle fut la contribution effective de sa thèse à la théorie des fonctions? Cauchy avait déjà élaboré, en appliquant les canons de la rigueur, une théorie des fonctions de la variable complexe que Riemann connaissait bien et qu’il avait longuement méditée. Toutefois, les raisons profondes qui ont conduit le jeune homme à ce sujet de thèse lui viennent de Göttingen et de Berlin, et non de Paris; le séminaire de physique de Gauss et de Weber à Göttingen et les colloques sur la physique mathématique auxquels Riemann participe, à Berlin avec Dirichlet, et à Göttingen avec Gauss, l’influencent plus que les théorèmes de mathématiques pures démontrés par Cauchy. En effet, Riemann s’intéressera à la physique toute sa vie et, selon le mathématicien FélixKlein, «la source des développements mathématiques purs dus à Riemann» réside dans la «recherche d’une forme mathématique sous laquelle pourraient être exprimées, d’une manière unique, les lois auxquelles tous les phénomènes naturels sont soumis».
Pour comprendre le cheminement de Riemann, nous évoquerons l’histoire des nombres complexes, depuis l’introduction des quantités dites «imaginaires» par les algébristes italiens du XVIe siècle, jusqu’à leur utilisation dans la théorie de l’intégration.
Rimes et nombres
«Tu veux résoudre l’équation un cube et des choses [x3 +px] égalent un nombre donné. [x3 +px=q]
Trouve deux nombres dont la différence est le nombre donné [A–B=q] et dont le produit est le cube du tiers des choses. [AB=(p/3)3] Alors, la solution est la différence entre des racines cubiques des deux nombres.»
L’origine des quantités «imaginaires»
Les nombres «complexes» ou «imaginaires» sont des nombres de la forme a + ib, où a et b sont des nombres réels, et i l’unité «imaginaire». Au lycée ou à l’Université, les nombres complexes sont présentés comme une extension «naturelle» des nombres réels, de même que les nombres réels sont définis comme une extension numérique des nombres fractionnaires (nombres de la forme p/q, où p et q sont des nombres entiers), et les nombres fractionnaires introduits à partir des nombres entiers. En réalité, l’entrée des nombres complexes dans le monde des mathématiques fut tout sauf «naturelle», elle fut traumatisante: les mathématiciens tentèrent par tous les moyens d’éviter l’emploi de telles quantités, aux dénominations variées: nombres «faux», «sophistes», «sauvages» ou «imaginaires». Ce dernier nom leur restera.
L’histoire des nombres complexes ou nombres imaginaires est liée à la théorie des équations, en particulier à la résolution de l’équation générale du troisième degré: ax3 +bx2 +cx+d=0, où a, b, c et d sont des nombres donnés. Tandis que les solutions des équations du premier et du deuxième degré furent connues, au moins graphiquement, dès le IIe millénaire avant notre ère par les Babyloniens et constituèrent par exemple le sujet du traité du mathématicien arabe Al-Khwarizmi, écrit au IXe siècle, l’équation du troisième degré ne fut résolue qu’au XVIe siècle. D’ailleurs, à l’inverse de la littérature, de la peinture, de la sculpture et de l’architecture, les mathématiques pures ne progressèrent pratiquement pas pendant la Renaissance: «Les classiques étaient le nec plus ultra en matière de science», écrira le mathématicien et historien des sciences Dirk Struik. Les résultats des mathématiciens grecs et arabes ne furent dépassés qu’au XVIe siècle.
En 1535, un certain Antonio Maria Fiore lança à Niccolò Fontana de Brescia un défi mathématique qui marqua profondément l’histoire des équations algébriques. Surnommé Tartaglia («bègue») à cause de ses difficultés d’élocution (il eut la mâchoire fendue par le sabre d’un soldat français pendant le sac de Brescia, en 1512), Fontana, mathématicien autodidacte, servait de consultant aux maîtres charpentiers de l’arsenal de Venise. Fiore défiait publiquement Fontana de résoudre trente équations du troisième degré sans terme en x2, dont la solution était inconnue à l’époque, au moins publiquement (en réalité, selon Fiore lui-même, cette solution avait été découverte une trentaine d’années auparavant par «un grand mathématicien» de Bologne, Scipione dal Ferro, qui l’avait tenue secrète). Tartaglia résolut le problème et communiqua sa solution, sous forme de tercets devenus célèbres, au mathématicien milanais Jérôme Cardan, auteur de l’ArsMagna (1545), une œuvre qui marqua le passage entre l’algèbre médiévale et la nouvelle algèbre.
Cardan s’aperçut toutefois que la formule de Tartaglia posait certaines difficultés, car elle pouvait contenir des nombres «faux», c’est-à-dire des racines carrées de nombres négatifs. En particulier, certaines équations du troisième degré, surnommées «cas irréductibles» par Tartaglia, admettaient trois solutions réelles, mais leur expression faisait intervenir des nombres imaginaires. Tel était le paradoxe: d’une part, il était possible d’obtenir géométriquement la solution graphique de l’équation, mais, d’autre part, la résolution algébrique de l’équation nécessitait l’utilisation de quantités étrangères au monde des mathématiques.
Raffaele Bombelli, héritier de l’école mathématique bolognaise de Scipione dal Ferro, présenta dans son imposante Œuvre sur l’algèbre (1572) une vaste synthèse des connaissances algébriques de l’époque. Dans le but avoué de résoudre les difficultés posées par le «cas irréductible» de l’équation du troisième degré, Bombelli introduisit les nombres complexes. Il effectua cette opération «hautement nécessaire» de manière moderne: Bombelli ne se préoccupa pas d’étudier la «nature ultime» des quantités imaginaires, mais se limita à en définir les règles de calcul.
La particularité des nombres complexes par rapport aux extensions numériques connues jusqu’alors est évidente: ils échappent au concept habituel
Jérôme Cardan (1501-1576) réunissait toutes les caractéristiques de l’érudit du XVIe siècle: ses intérêts allaient des mathématiques à la physique, de l’astronomie à la médecine, comme le montre la couverture de l’ouvrage ci-dessous, qui traite de philologie, de logique et de morale.
«Fantaisies géométriques»
Dans son Inauguraldissertation de 1851, Riemann s’inspire de la physique pour élaborer sa théorie des fonctions d’une variable complexe et construit une nouvelle géométrie pour l’étude de ces fonctions.
Du point de vue technique, la création la plus originale du XIXe siècle fut la théorie des fonctions d’une variable complexe. Cette discipline est souvent dénommée théorie des fonctions [...], l’une des branches les plus fécondes des mathématiques, [qui] fut baptisée le joyau mathématique du siècle. Elle a également été saluée comme l’une des théories les plus harmonieuses de toutes les sciences abstraites.
M. Kline, 1972
Riemann ne construit pas sa théorie des fonctions d’une variable complexe à partir de rien: ces fonctions ont déjà été étudiées en analogie avec les fonctions d’une variable réelle. Cauchy a, en outre, identifié certaines conditions, dénommées aujourd’hui «conditions de CauchyRiemann», que ces fonctions devaient respecter (voir l’encadré page28) Appliquant un principe de transposition souvent utilisé en mathématiques, Riemann fonde sa théorie sur ces mêmes conditions, exprimées par deux équations, mais en les interprétant autrement.
Les portraits de Bernhard Riemann sont rares. Cette photographie date de1863, année qu'il passa, pour des raisons de santé, presque entièrement en Italie.
De ces deux conditions générales on déduit deux autres équations, dénommées «équations de Laplace», que vérifient les fonctions d’une variable complexe. Ces équations, point de départ de l’Inauguraldissertation de Riemann, étaient déjà connues au XVIIIe siècle. Euler et d’Alembert les avaient déterminées lors de leurs recherches sur la dynamique des fluides; Gauss lui-même les avait exposées en 1825 au cours d’études de géodésie, dans un mémoire présenté à l’occasion d’un prix proposé par l’Académie royale de Copenhague. Gauss, en particulier, présentait ces «conditions» comme nécessaires pour «représenter les parties d’une surface donnée [sur une autre surface] de telle sorte que la représentation soit semblable à l’original en ses plus petites parties»: la figure doit conserver les angles ou, selon les termes modernes, doit être conforme. Cette question est liée au problème ancien des cartes géographiques, qui consiste à représenter la surface terrestre sur une feuille de papier. Riemann étend le résultat de Gauss à des surfaces plus générales, à l’aide d’éléments de la théorie du potentiel dont, en particulier, le principe de Dirichlet.
L’indiscutable empreinte de la physique
Riemann souligne que les conditions de Cauchy-Riemann montrent les liens profonds entre la théorie des fonctions d’une variable complexe et la théorie du potentiel que nous avons examinée au chapitre précédent. Ces liens lui furent sans doute suggérés par ses recherches en physique. Dans une lettre adressée à FelixKlein, LuigiBianchi, collègue d’EnricoBetti à l’Université de Pise, affirme: «[Betti] peut vous certifier que Riemann l’a informé n’avoir abouti à sa théorie analytique [des fonctions] et à sa manière de concevoir [cette théorie] qu’après avoir étudié des questions et des problèmes de physique.»
Les cartographes déplorent que la Terre ne soit pas plate car il est impossible de représenter la surface terrestre courbe sur une feuille de papier plane. Certaines représentations (conformes) conservent les angles, d’autres conservent les aires, jamais les deux. La représentation de Mercator (a, b) où l’on a étiré une projection cylindrique, est conforme. La figure c, projection parallèle sur un hyperboloïde, minimise la
distorsion d’une région. La projection en forme de cœur où les méridiens sont transformés en cardioïde (d), conserve les aires. La projection de Gilbert (e) sur un cône puis sa reprojection sur la sphère est un compromis entre la conservation des aires et celle des angles. La carte de Cahill (f) conforme par morceau, est une projection de la sphère terrestre sur un octaèdre.