U3 teoría de gráficas

Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

8° cuatrimestre

Análisis Combinatorio

Unidad 3. Teoría de Gráficas

Clave: 050930832

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Índice Unidad 3. Teoría de Gráficas .................................................................................................... 3 Presentación de la unidad ........................................................................................................ 3 Propósitos de la unidad ........................................................................................................... 3 Competencia específica ........................................................................................................... 3 3.1. Algunos resultados fundamentales .................................................................................. 3 3.1.1. Conceptos preliminares y recorribilidad ......................................................................... 9 Actividad 1. Los 7 puentes de Königsberg ........................................................................... 14 3.1.2. Árboles ........................................................................................................................ 15 Actividad 2. Árboles ............................................................................................................... 21 3.1.3. Planaridad ................................................................................................................... 21 3.1.4. Coloración ................................................................................................................... 28 Actividad 3. Planaridad y coloraciones ................................................................................. 34 Autoevaluación ...................................................................................................................... 34 Evidencia de Aprendizaje. Teoría de Gráficas ...................................................................... 34 Autorreflexiones ..................................................................................................................... 35 Cierre de la unidad.................................................................................................................. 35 Para saber más ....................................................................................................................... 35 Referencias Bibliográficas ..................................................................................................... 35

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Unidad 3. Teoría de Gráficas

Presentación de la unidad Para concluir tu curso de Análisis Combinatorio conocerás una de las herramientas más versátiles de la matemática, ha demostrado gran eficacia en la modelación de problemas de prácticamente cualquier área del conocimiento humano. Nos referimos al concepto de gráfica.

Una gráfica es un conjunto de objetos –los vértices- y una relación entre pares de tales objetos -las aristas-, puedes encontrar ejemplos de gráficas en la representación situaciones tan cotidianas como las relaciones interpersonales, el tránsito vehicular, las redes de comunicación, las interacciones moleculares o las estructuras de jerarquización en una empresa, por mencionar sólo algunas.

Las gráficas frecuentemente son representadas mediante dibujos: usamos puntos para representar cada uno de los vértices (los objetos a relacionar) y líneas entre dos vértices para indicar que esos dos objetos están relacionados. En cualquier conjunto sobre el cual pueda definirse una relación es posible definir una gráfica. En esta Unidad aprenderás algunos de los principales resultados de la Teoría de Gráficas.

Propósitos de la unidad   

Identificar algunos de los conceptos fundamentales de la Teoría de Gráficas.

Utilizar los resultados básicos de la Teoría de Gráficas.

Utilizar algunos de estos resultados para modelar situaciones de otros contextos del saber humano obteniendo resultados específicos.

Competencia específica Utilizar la Teoría de Gráficas para modelar problemas que puedan ser representados estableciendo relaciones simétricas entre los elementos de conjuntos finitos.

3.1. Algunos resultados fundamentales Ya en tu curso de Matemáticas Discretas conociste un poco de Teoría de Gráficas. Iniciaremos por establecer la terminología y notación básica que será la que usaremos durante la Unidad.

Introduzcamos el de gráfica,

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Definición. Una gráfica, , es una pareja donde es un conjunto finito no vacío y es una relación simétrica y no reflexiva sobre los elementos de .

Si la relación indica que hay una pareja de vértices relacionados entre sí, esta pareja se denomina arista de , como la relación es simétrica entonces las parejas pertenecen a . De hecho, ambas representan la misma arista, por lo que, en lugar de usar parejas ordenadas, la denotaremos como (o equivalentemente, ). En una gráfica , a se le llama conjunto de vértices y a conjunto de aristas.

Ejemplo. Sea

donde

{

}y

Llamamos el orden y el tamaño de a los valores ejemplo anterior tiene orden 5 y tamaño 5.

{

}

respectivamente. La gráfica del

Las gráficas que estudiaremos en este curso no admiten aristas en las que los dos vértices relacionados son el mismo, es decir, en no habrá aristas de la forma . Cuando se trabaja con gráficas generalmente se usan dibujos para describirlas más fácilmente: ponemos un punto para cada vértice y para cada arista una línea –que una precisamente a los vértices relacionados según - por supuesto el dibujo obtenido no necesariamente es único.

La gráfica definida antes se llama , y algunos de sus dibujos son los que aparecen en la figura 1:

Figura 1 En ocasiones es conveniente especificar explícitamente la gráfica con la que estamos trabajando al referirnos a sus conjuntos de vértices y aristas, los denotamos como Notemos que ya que y, en particular el conjunto vacío cumple con ser una relación simétrica y no reflexiva, por lo que el conjunto de aristas de una gráfica puede ser vacío, es decir una gráfica puede no tener aristas, pero, por definición siempre tiene vértices.

Es importante observar, que aunque una gráfica pueda tener dibujos diferentes ellos contienen exactamente los mismos vértices y las mismas aristas, por lo que, en efecto definen a la misma gráfica, como puedes observar de los dos dibujos que dimos en la figura 1.

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas Si

decimos que los vĂŠrtices y son adyacentes o vecinos en y si , entonces decimos que y no son adyacentes o no son vecinos en TambiĂŠn es frecuente decir que y son incidentes con .

Si

son dos aristas distintas de , -es decir - decimos que los aristas y son aristas adyacentes o que inciden en un mismo vĂŠrtice. En la figura 1 podemos observar que los vecinos de son mientras que los de son . Entonces las aristas son incidentes en el vĂŠrtice mientras que las aristas y no son adyacentes.

Definición. Sean una gråfica y , un vÊrtice en ella. El número de aristas de incidentes en se llama el grado de y se denota . Al mínimo de los grados de todos los vÊrtices de se le llama el grado mínimo de y se denota y al måximo de los grados de todos los vÊrtices de se le llama grado måximo de y se denota El grado de un vÊrtice coincide tambiÊn con el número de vecinos que tenga en Un vÊrtice de grado cero –es decir, sin vecinos- se llama vÊrtice aislado. La gråfica del dibujo anterior, , tiene la cualidad de que todos sus vÊrtices tienen el mismo grado: 2, por lo que ; pertenece a una clase especial de gråficas: Definición. Si es una gråfica en la que todo vÊrtice , tiene el mismo grado regular de grado ó -regular.

Entonces , es una grĂĄfica 2-regular. Si Observa ahora la siguiente grĂĄfica :

es -regular se cumple que

se llama

.

đ??ş

Figura 2 En

el vĂŠrtice

tiene grado 3, y tienen grado 2, grado 4 y grado 1, por lo que Notemos tambiĂŠn que las aristas mĂĄs gruesas ( son adyacentes, ambas inciden en el vĂŠrtice . Nota que hay dos vĂŠrtices que tienen el mismo grado ( y ) este no es un hecho aislado, sino un resultado general:

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas Teorema 1. En toda grĂĄfica

hay dos vĂŠrtices que tienen el mismo grado.

Demostración. Sea una gråfica de orden , supongamos que { }. Dado un vÊrtice de , ¿quÊ valores puede tomar su grado? Si consideramos el vÊrtice puede ocurrir que no sea adyacente a ningún vÊrtice, entonces , o que tenga exactamente un vecino, entonces , o que tenga dos vecinos y , o tres vecinos y , revisando todas sus opciones, a lo mås podrå tener vecinos –los restantes vÊrtices de - y entonces Así, tenemos que para cada . Supongamos que todos los vÊrtices de tuvieran grados distintos. Algo que podemos observar de manera inmediata es que no puede haber, simultåneamente, un vÊrtice de grado cero y uno de grado , pues el vÊrtice de grado es vecino de todos los demås así que no puede haber un vÊrtice de grado cero.

Entonces, si hay un vĂŠrtice de grado se tiene que para cada es decir hay valores disponibles para “repartirâ€? entre vĂŠrtices, por el Principio de Cajas sabemos que habrĂĄ algĂşn valor en el que haya al menos dos vĂŠrtices, o sea, dos vĂŠrtices que tengan el mismo grado.

Si ahora analizamos el caso en que existe un vĂŠrtice de grado cero, entonces no podrĂĄ haber un vĂŠrtice de grado pues al ser este vĂŠrtice aislado, cualquier otro vĂŠrtice es vecino de a lo mĂĄs vĂŠrtices, entonces ahora se tiene que para cada , nuevamente tenemos valores disponibles para los grados de vĂŠrtices y el Principio de Cajas garantiza que haya al menos dos vĂŠrtices que tengan el mismo grado.

Otra clase especial de grĂĄficas es la siguiente: DefiniciĂłn. Si es una grĂĄfica en la que toda pareja de vĂŠrtices son adyacentes, grĂĄfica completa. Si el orden de es denotaremos a la grĂĄfica como Mostramos aquĂ­ los dibujos de

es una

:

đ?‘˛đ?&#x;’

đ?‘˛đ?&#x;“

Figura 3 Como puedes observar es una grĂĄfica -regular Âży cuĂĄl es su tamaĂąo? veamos, en cada uno de sus vĂŠrtices inciden aristas, entonces sumando los grados de todos los

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas vértices tenemos el producto

, que contará dos veces el total de aristas de la gráfica:

una vez por cada uno de sus vértices incidentes. Así, el tamaño de

es

es decir, ( ),

el número de subconjuntos de tamaño dos tomados de elementos, ¡claro! pues cada subconjunto de dos elementos es una arista ya que se tienen todas las adyacencias.

El mismo razonamiento de sumar los grados y dividir el total entre dos funciona en general.

Observa que si sumas los grados de la gráfica obtienes: 3+2+2+4+1=12, dividiendo por 2 se tienen 6 que es el número de aristas de la gráfica según podemos ver en su dibujo.

Teorema 2. En toda gráfica tamaño de . Es decir, si

la suma de los grados de los vértices es igual al doble del { }y , entonces ∑

Demostración. Es inmediata al observar que sumando los grados de los vértices se cuenta cada arista dos veces: una por cada uno de los dos vértices incidentes en ella.

Corolario 1. Toda gráfica

tiene un número par de vértices de grado impar.

Demostración. Sea una gráfica de orden y tamaño . Si no tiene vértices de grado impar terminamos pues tiene 0 de tales vértices y 0 es un número par. Supongamos entonces que tiene vértices de grado impar y sean estos: . Si además tiene vértices de grado par, los denotaremos como: . Sabemos, por el Teorema anterior que: ∑

como cada

∑

es par, entonces ∑

es par, entonces ∑

∑

es par. Sin embargo, cada uno de los números es impar, así que debe ser par: la suma de una cantidad par de números impares es par, por lo tanto tiene una cantidad par de vértices de grado impar. Y si no tuviese vértices de grado par, entonces

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas ∑

de donde, nuevamente, concluimos que

debe ser par.

Gråficas isomorfas En cualquier årea de las matemåticas algo fundamental es saber cuåndo dos objetos que estamos estudiando son el mismo –en algún sentido- o son distintos. Por ejemplo todos consideramos que los números

y 5 son iguales aunque ciertamente no son idĂŠnticos.

Queremos entonces determinar bajo quĂŠ condiciones podemos afirmar que dos grĂĄficas son “igualesâ€?. La importancia de conocer esta igualdad, radica en el hecho de que si y son dos grĂĄficas que modelan dos situaciones diferentes entonces existe algo similar sobre las dos situaciones.

Intuitivamente, dos grĂĄficas y son la misma si es posible “redibujarâ€? una para que se vea como la otra. Por ejemplo la figura 1 al inicio de esta secciĂłn, que muestra dos dibujos distintos de , si no supiĂŠramos que es la misma grĂĄfica al observar ambos dibujos pronto lograrĂ­amos establecer la igualdad al llevar un dibujo al otro.

đ?‘Ł

đ?‘Žđ?&#x;?

�

�

�

đ?‘Žđ?&#x;?

đ?‘Ł đ?‘Ł

�

đ?‘Ł Figura 4

Con la misma idea, las grĂĄficas y de la figura 4 dirĂ­amos que son “igualesâ€?. En realidad no decimos que grĂĄficas con esta propiedad sean iguales, nos referiremos a ellas como isomorfas. Daremos la definiciĂłn formal de este concepto: DefiniciĂłn. Sean y dos grĂĄficas, un isomorfismo de a es una funciĂłn biyectiva tal que son adyacentes en si y solamente si son adyacentes en . Decimos que y son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas.

Observa que si es un isomorfismo de a entonces es un isomorfismo de evidente que grĂĄficas isomorfas deben tener el mismo orden y tamaĂąo.

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a

. Es

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas 3.1.1. Conceptos preliminares y recorribilidad Una de las clases mĂĄs importantes de grĂĄficas es la de las grĂĄficas conexas. En esta secciĂłn conocerĂĄs estudiarĂĄs las propiedades de estas grĂĄficas ademĂĄs de las conceptos relativos a la recorribilidad en grĂĄficas.

DefiniciĂłn. Sean dos grĂĄficas, decimos que es una subgrĂĄfica de y se llama subgrĂĄfica generadora de si Ejemplo. En la secciĂłn anterior conociste las grĂĄficas y de hecho es una subgrĂĄfica generadora.

si

, no es muy difĂ­cil observar que

DefiniciĂłn. Un -camino es una sucesiĂłn alternada de vĂŠrtices y aristas que inicia en el vĂŠrtice , termina en y tal que cada arista conecta al vĂŠrtice que la precede con el que la sucede. La cantidad de aristas que forman ĂŠl -camino es su longitud.

Por lo general las aristas se obvian y se indican Ăşnicamente los vĂŠrtices que forman la sucesiĂłn.

Una -trayectoria es un llama ciclo.

-camino que no repite ningĂşn vĂŠrtice y si sucede que

AnĂĄlogamente, la cantidad de aristas que forman una tamaĂąo).

đ?‘Ž

, se

-trayectoria o un ciclo es su longitud (o

đ?‘Ł

đ?‘Ł

đ?‘Ł

đ?‘Ł

đ?‘Ł

đ?‘Ł Figura 5

Ejemplo. En la grĂĄfica de la figura 5, es un -camino de longitud 6. Observa que la arista aparece dos veces por lo cual no es una -trayectoria. Como dice la definiciĂłn, las aristas pueden omitirse y podemos describir el camino Ăşnicamente como: . En esta grĂĄfica es una trayectoria de longitud 3 y es un ciclo de tamaĂąo 5; es un ciclo generador de .

Teorema 3. Sea

una grĂĄfica tal que

entonces

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contiene un ciclo.

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas DemostraciĂłn. Notemos primero que para que la hipĂłtesis se cumpla debe tener al menos 3 vĂŠrtices. Supongamos entonces que como existe una { } arista incidente en y con extremo en algĂşn otro vĂŠrtice digamos , como existe una arista incidente en con extremo en algĂşn otro vĂŠrtice –distinto de - digamos , nuevamente ( ) asĂ­ que hay otra arista incidente en , que si es incidente en ha formado un ciclo de tamaĂąo 3: , , , si no incide en , incidirĂĄ en algĂşn vĂŠrtice distinto de estos tres que tambiĂŠn cumple que por lo que hay otra arista que sale de ĂŠl. Si incide en alguno de los anteriores hemos formado el ciclo, si no, seguimos alargando la trayectoria con nuevas aristas pues cada vĂŠrtice “nuevoâ€? cumple la condiciĂłn de tener al menos dos vecinos. Como la grĂĄfica es finita, este proceso eventualmente termina y llegamos a un vĂŠrtice que ya habĂ­amos “visitadoâ€? en la trayectoria y cerramos el ciclo (figura 6).

đ?‘Ł

đ?‘’

đ?‘’

đ?‘Ł

đ?‘Łđ?‘—

đ?‘Łđ?‘–

đ?‘Łđ?‘?

Figura 6 DefiniciĂłn. Sean una grĂĄfica no vacĂ­a y conectados si existe en una -trayectoria.

decimos que

Decimos que es una grĂĄfica conexa si todo par de vĂŠrtices de disconexa en otro caso.

estĂĄn

estĂĄn conectados y es

Por convenciĂłn diremos que la grĂĄfica es conexa. Si es una subgrĂĄfica conexa de , decimos que es una componente conexa de si no estĂĄ contenida en otra subgrĂĄfica conexa de que tenga mĂĄs vĂŠrtices o aristas que La grĂĄfica mostrada en la figura 7 tiene cuatro componentes conexas, dos de ellas son solamente vĂŠrtices aislados pero cada uno cuenta como una componente conexa que es isomorfa a ; tales componentes se llaman componentes conexas triviales.

đ?‘Ł

đ?‘Ł8

đ?‘Žđ?&#x;?

đ?‘Ł đ?‘Ł đ?‘Ł

đ?‘Ł7 đ?‘Ł

đ?‘Ł

Figura 7

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas Es claro que una grĂĄfica es conexa si y solamente si tiene una sola componente conexa.

Determinar cuĂĄndo una grĂĄfica es o no conexa es uno de los retos mĂĄs frecuentes en TeorĂ­a de GrĂĄficas. En la siguiente secciĂłn estudiarĂĄs una clase muy especial de grĂĄficas conexas: los ĂĄrboles.

Recorribilidad en gråficas Probablemente el mås antiguo problema de Teoría de Gråficas que se conozca –es decir, que se haya resuelto usando estrategias de Teoría de Gråficas como tal- sea el famoso problema de los puentes de KÜnigsberg. Este problema introdujo los conceptos siguientes: Definición. Sea una gråfica no vacía, un recorrido euleriano es un camino cerrado que pasa por todas las aristas de una sola vez.

Decimos que

es una grĂĄfica euleriana si contiene un recorrido euleriano.

1

đ??ş

6

2

1

1

đ??ş

6

2

6

2

5

3

3 4

4

5

3

5

4

Figura 8

Ejemplo. En la figura 8 la grĂĄfica no es euleriana mientras que sĂ­ lo es. El recorrido 1, 2, 3,4, 2, 6, 4, 5, 6,1 es un recorrido que incluye a todas sus aristas una sola vez. Se indica con flechas rojas.

ObservaciĂłn. Nota que un recorrido euleriano es una subgrĂĄfica generadora de cubrir todas sus aristas, contiene a todos los vĂŠrtices.

pues al

Fue precisamente Euler quien caracterizĂł a las grĂĄficas que poseen este tipo de recorridos y por eso hoy estos recorridos y esta clase de grĂĄficas llevan su nombre.

Teorema de Euler. Una grĂĄfica grado par.

es euleriana si y sĂłlo si es conexa y todo vĂŠrtice de

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tiene

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Demostración.

Si es euleriana entonces contiene un recorrido euleriano, de donde es inmediato que es conexa. El recorrido contiene a todas las aristas así que por cada arista que “llega” a un vértice debe haber otra, que “sale” del mismo por lo que el grado de cada vértice es un número par.

Supongamos que es conexa y todos sus vértices tienen grado par. Supongamos que si tiene aristas, es decir estamos descartando el caso en que pues claramente no es euleriana. Procederemos por inducción sobre el tamaño de . Entonces el caso más pequeño –la base de la inducción- es cuando que es claramente euleriana. Supongamos entonces que tiene aristas, y como es conexa entonces por el Teorema 3 sabemos entonces que contiene un ciclo . Si este ciclo contuviera a todas las aristas hemos terminado si no, consideremos la gráfica es decir, es la gráfica que resulta al eliminar de todas las aristas de y eliminar después los vértices aislados.

Puede ser que la gráfica haya quedado disconexa pero como a cada vértice le quitamos exactamente dos aristas, cada una de las componentes conexas no triviales sigue cumpliendo con la hipótesis de inducción así que en cada una de ellas hay un recorrido euleriano que pasa por todas las aristas. Lo único que faltaría sería unir con el ciclo todos estos recorridos de cada componente -a los vértices aislados los unimos con el mismo ciclo- de la siguiente forma: Iniciamos en un vértice cualquiera de lo recorremos hasta llegar a un vértice de una componente conexa de recorremos esta componente conexa a través del recorrido euleriano que la inducción garantiza que contenga y salimos nuevamente por de esa componente.

Continuamos recorriendo hasta llegar a otra componente conexa, volvemos a repetir el proceso hasta terminar con todas las componentes y eventualmente llegamos al vértice en que iniciamos obteniendo así el recorrido euleriano buscado en .

Definición. Sea una gráfica, un ciclo hamiltoniano es un ciclo que pasa por todos los vértices de , o sea que un ciclo hamiltoniano es un ciclo generador en la gráfica. Una gráfica que tiene un ciclo hamiltoniano se llama gráfica hamiltoniana.

En tu curso de Matemáticas Discretas aprendiste la historia de esta clase de gráficas y la razón de su nombre. Aprendiste también que, a diferencia de las gráficas eulerianas que han sido plenamente caracterizadas, la clase de las gráficas hamiltonianas no se conoce totalmente, aunque hay familias “grandes” de gráficas que se sabe que son hamiltonianas.

Figura 9

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas La figura 9 muestra un ciclo hamiltoniano en es hamiltoniana.

respectivamente. La grĂĄfica

para

En general determinar si una grĂĄfica es o no hamiltoniana es una tarea complicada, sin embargo, se han descubierto algunas condiciones necesarias para que lo sea. El siguiente resultado es uno de los mĂĄs conocidos en este sentido fue demostrado por Dirac en 1952.

Teorema (de Dirac). Si entonces

es una grĂĄfica de orden

y

para todo

es hamiltoniana.

DemostraciĂłn. Sea

una grĂĄfica de orden

y

para todo

notemos que

debe ser conexa. Sea una trayectoria de longitud mĂĄxima en , es decir, que cualquier otra trayectoria en tiene longitud menor o igual que la de . Por esta maximalidad tenemos que todos los vecinos de y todos los vecinos de deben pertenecer a (pues de otro modo la trayectoria podrĂ­a extenderse). Entonces al menos de los vĂŠrtices son adyacentes a a

. Es decir existen al menos

y al menos

aristas

de los vĂŠrtices

y al menos

aristas

son adyacentes con

{

}.

{ } que cumpla ambas El principio de cajas nos garantiza que exista alguna propiedades, es decir, hay en una arista tal que .

El ciclo -formado desde al seguir por la arista , luego por la trayectoria hasta siguiendo por la arista y nuevamente hasta volver a - es hamiltoniano pues como es conexa si tuviese un vecino “fueraâ€? este vecino junto con una trayectoria generadora de formarĂ­an una trayectoria de longitud mayor a la de , contradiciendo la maximalidad (figura 10).

đ?‘Ł

đ?‘ƒ

đ?‘Łđ?‘–

đ?‘Łđ?‘–

đ?‘Łđ?‘˜

Figura 10 En (Harary, 1969, pĂĄg. 69) aparece la figura 11 con ejemplos de grĂĄficas que te muestran como estas propiedades, aparentemente similares, son totalmente independientes.

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas

Hamiltoniana

No hamiltoniana

Euleriana

No Euleriana

Figura 11

Actividad 1. Los 7 puentes de Königsberg En esta actividad podrás identificar el origen de la Teoría de Gráficas a través del problema de los 7 puentes de Königsberg, resuelto por Leonardo Euler.

Instrucciones: 1. Revisa el siguiente link, donde se representa el problema de los 7 puentes de Königsberg y de cómo fue resuelto por Leonardo Euler. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rompecabezas/PuentesKon igsberg.htm 2. Revisa el planteamiento y solución que proporcionó Euler.

3. Ingresa al foro y explica a tus compañeros cómo fue la resolución de Euler y en qué consiste el concepto de “gráfica euleriana”.

4. Revisa las conclusiones de tres de tus compañeros aceptando o rechazando su respuesta.

Nota: Antes de participar en el foro, recuerda consultar la Rúbrica general de participación en foros que se encuentra en la sección Material de apoyo.

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas 3.1.2. Árboles Un problema clásico de conexión es el siguiente: supongamos que se desea establecer un sistema ferroviario para comunicar ciudades, se conocen los costos de construir una vía férrea entre cualquier pareja de las ciudades dadas y se desea que la construcción sea lo más económica posible pero que garantice que los potenciales pasajeros tengan la posibilidad de trasladarse entre cualquier pareja de ciudades. ¿Cómo debería construirse este sistema?

El sistema ferroviario puede ser representado mediante una gráfica : sus vértices son las ciudades involucradas y dos vértices son adyacentes si corresponden a ciudades entre las que es posible colocar una vía férrea económica. Claramente es necesario que sea conexa pues si para existe una -trayectoria significará que es posible trasladarse en tren de la ciudad representada por el vértice a la representada por el vértice , y si esto sucede para cualquier pareja de vértices de pues entonces el sistema ferroviario cumplirá con su cometido de conectar a toda pareja de ciudades de la colección.

Además, es preciso notar que también debe ser una gráfica acíclica –es decir, sin ciclosveamos porqué: si contiene un ciclo entonces entre cada pareja de vértices del ciclo hay dos trayectorias en , por ejemplo entre los vértices existe la trayectoria: y la arista que es otra trayectoria entre ellos. Pero la intención es construir el sistema ferroviario más económico y si existen dos trayectorias distintas entre este par de vértices alguna de ellas debe ser más económica ó si ambas cuestan lo mismo entonces podemos, arbitrariamente, elegir una sola de ellas y tener la posibilidad de construir dos sistemas ferroviarios del mismo costo ambos cubriendo el requisito de conexión y acíclicos –y ambos más baratos que el que incluye el ciclo- por lo que la gráfica que modela la solución a este problema es acíclica y conexa.

Definición. Un árbol es una gráfica acíclica y conexa.

Si una gráfica no es conexa pero cada una de sus componentes es acíclica se llama bosque.

La figura 12 muestra todos los árboles hasta orden 6.

Figura 12 Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas DefiniciĂłn. Una arista de una grĂĄfica se llama puente si al eliminarla el nĂşmero de componentes conexas de se incrementa. AnĂĄlogamente un vĂŠrtice de se llama vĂŠrtice de corte si al eliminarlo el nĂşmero de componentes conexas de se incrementa.

Observa en la figura 13 que las dos aristas del ĂĄrbol son puentes y corte del ĂĄrbol.

đ?‘Ł

đ?‘Ł

es el Ăşnico vĂŠrtice de

đ?‘Ł

Figura 13 Los vĂŠrtices de grado uno de un ĂĄrbol se llaman vĂŠrtices terminales (pendientes, hojas), el Ăşnico ĂĄrbol que no tiene vĂŠrtices terminales es , -el ĂĄrbol de orden uno- que es vacĂ­o, pero cualquier ĂĄrbol que si tenga aristas siempre tiene vĂŠrtices terminales.

Un corolario inmediato del Teorema 3 que estudiaste en la secciĂłn anterior es justamente que en cualquier ĂĄrbol existe un vĂŠrtice terminal: si todo vĂŠrtice tuviera grado al menos 2 la grĂĄfica tendrĂ­a un ciclo y entonces no serĂ­a un ĂĄrbol. El siguiente resultado afirma que, de hecho, siempre hay al menos dos de estos vĂŠrtices (como viste tambiĂŠn en los ĂĄrboles de la figura 12).

Teorema 4. Todo ĂĄrbol con al menos una arista tiene al menos dos vĂŠrtices terminales.

DemostraciĂłn. Procederemos por inducciĂłn sobre el orden del ĂĄrbol. Sean un ĂĄrbol y Como sĂ­ tiene aristas entonces nuestro caso base es es decir cuando que claramente tiene dos vĂŠrtices terminales y por tanto cumple el resultado.

Supongamos que para cierta , fija, todo årbol de orden cumple el Teorema y demostremos que se cumple para de orden Como ya hemos observado, sí tiene un vÊrtice terminal, llamÊmosle y consideremos la gråfica es decir la que se obtiene al eliminar de al vÊrtice junto con su única arista incidente. es nuevamente un årbol de orden al menos dos –porque tiene orden - y por lo tanto cumple con la hipótesis de inducción, entonces existen en al menos dos vÊrtices terminales, digamos Al volver a la gråfica original quizå uno de estos vÊrtices deje de ser terminal si es que fuese adyacente a pero seguramente quedarå uno de ellos siendo vÊrtice terminal en , y junto con el vÊrtice que tomamos al iniciar, son los dos vÊrtices terminales que buscamos.

Una propiedad interesante de los ĂĄrboles, que ademĂĄs los caracteriza, es la siguiente: Teorema 5. Una grĂĄfica es un ĂĄrbol si y sĂłlo si existe exactamente una trayectoria entre cualquier par de vĂŠrtices.

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas DemostraciĂłn.

Sean un ĂĄrbol y sabemos que existe una -trayectoria porque es conexa.

Mostraremos que no puede haber mĂĄs de una -trayectoria y para esto procederemos por contradicciĂłn.

Supongamos que existen dos -trayectorias distintas, al ser diferentes debe existir un â€œĂşltimo momentoâ€? en que sean iguales es decir hay un vĂŠrtice tal que el vĂŠrtice siguiente a en es distinto al vĂŠrtice siguiente a en (podrĂ­a suceder que ). Como ambas trayectorias terminan en , hay posteriormente, un primer vĂŠrtice distinto de (podrĂ­a suceder que ). La situaciĂłn se muestra en la figura 14.

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�

�

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Figura 14 Entonces es un ciclo en , contradiciendo el hecho de que sea acĂ­clica, por lo tanto no puede ser que haya dos -trayectorias distintas.

Supongamos ahora que es una grĂĄfica en la cual existe exactamente una trayectoria entre cualquier par de vĂŠrtices. Claramente es conexa por lo que Ăşnicamente bastarĂĄ demostrar que es acĂ­clica para verificar que es un ĂĄrbol.

Nuevamente, procedamos por contradicciĂłn y supongamos que contiene un ciclo entonces entre los vĂŠrtices hay dos trayectorias en : existe la trayectoria: y la arista contradiciendo la hipĂłtesis. Entonces no puede contener ciclos.

El siguiente resultado brinda una relaciĂłn entre el orden y el tamaĂąo de cualquier ĂĄrbol.

Teorema 6. Si

es un ĂĄrbol de orden

entonces su tamaĂąo es

DemostraciĂłn. Procederemos por inducciĂłn sobre el nĂşmero de aristas. Sean un ĂĄrbol, La afirmaciĂłn es obvia para que son respectivamente y y claramente satisfacen el teorema pues: y

Supongamos que para cierta , fija, todo ĂĄrbol de tamaĂąo demostremos que se cumple para de tamaĂąo

cumple el Teorema y

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17

AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas Por el Teorema 4 sabemos que tiene al menos dos vĂŠrtices terminales, sea uno de ellos y consideremos la grĂĄfica que se obtiene al eliminar de al vĂŠrtice junto con su Ăşnica arista incidente, es nuevamente un ĂĄrbol y tiene al menos una arista por lo que cumple con la hipĂłtesis de inducciĂłn, entonces su tamaĂąo es igual a su orden menos uno, como tiene exactamente un vĂŠrtice y una arista menos que , entonces tenemos que:

por lo que el Teorema es cierto tambiĂŠn para DefiniciĂłn. Una grĂĄfica se llama bipartita si es posible dar una biparticiĂłn de en dos conjuntos de manera que toda arista de tiene un extremo en y el otro en .

Los conjuntos que forman la biparticiĂłn de no tienen ninguna arista, es decir, cada uno de ellos visto “localmenteâ€? como una grĂĄfica, forman una grĂĄfica vacĂ­a. Un conjunto con esta propiedad –sin adyacencias entre sus vĂŠrtices- se conoce como conjunto independiente.

�

�

�

� Figura 15

Ejemplo. La figura 15 muestra una grĂĄfica bipartita, en la que

{

}y

{

}.

No es muy difĂ­cil demostrar que cualquier ĂĄrbol con aristas es una grĂĄfica bipartita. Puedes hacerlo mediante un proceso de “podadoâ€?: todos los vĂŠrtices terminales como elementos de uno de los conjunto de la particiĂłn y luego eliminarlos. La grĂĄfica resultante es un ĂĄrbol, ahĂ­ tomar nuevamente los vĂŠrtices terminales, ponerlos en el otro conjunto y eliminarlos; seguir con este proceso que eventualmente concluye pues la grĂĄfica es finita. TerminarĂĄs esta demostraciĂłn dentro de los problemas de la lista con que finaliza esta secciĂłn.

Un problema muy estudiado en TeorĂ­a de GrĂĄficas es el de encontrar en una grĂĄfica conexa una subgrĂĄfica generadora que sea un ĂĄrbol, una subgrĂĄfica asĂ­ es un ĂĄrbol generador de .

Teorema 7. Toda grĂĄfica conexa

contiene un ĂĄrbol generador

DemostraciĂłn. Si un ĂĄrbol no hay nada que probar pues serĂ­a un ĂĄrbol generador de . Si no es un ĂĄrbol entonces contiene un ciclo, sea una arista en ese ciclo y , o sea la grĂĄfica que se obtiene al eliminar de la arista . Si es un ĂĄrbol, terminamos y si no

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18

Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas entonces contiene un ciclo. Sea una arista en tal ciclo y . Si es un árbol, terminamos, si no continuamos con este proceso. Como es finita, eventualmente para alguna que es un árbol, por lo tanto contiene un árbol generador.

Este es un ejemplo de demostración constructiva: la solución que se afirma que existe se construye paso a paso. La ventaja de tales demostraciones es que no solamente verifican la existencia de una solución sino que además proporcionan un algoritmo para encontrarla. En tu curso de Computación I ya has tenido oportunidad de conocer algunos algoritmos en redes –es decir en gráficas- con este último resultado has conocido otro.

Hay ocasiones en los que a las aristas se les asignan “pesos” es decir valores con algún significado específico en el modelo que la gráfica represente. Por ejemplo, en el planteamiento inicial del sistema ferroviario, podríamos imaginar que la gráfica dada es , la completa de orden , -indicando que hay adyacencia entre cualquier pareja de vértices- y a cada arista se le asocia un número: el costo de construir una vía directa entre la pareja de ciudades que los vértices representen. Entonces para solucionar el problema se debe encontrar un árbol generador de , pero más aún, este deberá ser un árbol generador de peso mínimo puesto que se desea minimizar el costo de construcción.

Para encontrar un árbol generador de peso mínimo uno de los algoritmos más usados es el Algoritmo de Kruskal, que es una extensión del descrito en la demostración del Teorema 7 y que aquí especificamos paso a paso (tomado de (Bondy, 1976, pág. 37): Algoritmo de Kruskal 1. Elegir una arista de peso mínimo 2.

Si se han elegido las aristas , elegir del conjunto { } de manera que: a. la gráfica generada por el conjunto de aristas { } sea acíclica b. el peso de sea lo menor posible, respetando el punto (a.)

3.

Terminar cuando el paso 2 ya no pueda efectuarse 6 6

2

3

6

2 7 8

4

3

3

1 Figura 15

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19

AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas La figura 15 muestra una grĂĄfica con pesos asociados a sus aristas y en rojo un ĂĄrbol generador de peso mĂ­nimo obtenido con el algoritmo de Kruskal.

En ocasiones los ĂĄrboles son usados tambiĂŠn como eficientes herramientas de conteo, en situaciones en las que el nĂşmero de elecciones posibles dependen de los elementos que fueron elegidos previamente. Se inicia con un vĂŠrtice y tantas aristas como elecciones distintas se pueden hacer en el primer paso, a partir del extremo de cada arista se colocan tantas aristas como opciones se puedan hacer en el segundo paso si la primera vez fue elegida la arista dada, etc. Con un ejemplo quedarĂĄ mĂĄs clara la situaciĂłn: Ejemplo. Para formar la tripulaciĂłn de una nave cĂłsmica surge el problema sobre la compatibilidad sicolĂłgica de los participantes. Puede ocurrir que incluso las personas mĂĄs indicadas, no se adapten entre sĂ­ durante un viaje cĂłsmico prolongado. Supongamos que es necesario formar una tripulaciĂłn de tres personas: comandante, ingeniero y mĂŠdico. Para el lugar del comandante hay cuatro candidatos: , para el del ingeniero tres: y para el mĂŠdico tres: El anĂĄlisis efectuado demostrĂł que el comandante es sicolĂłgicamente compatible con los ingenieros y con los mĂŠdicos ; el comandante con los ingenieros y con todos los mĂŠdicos; el lo es con los ingenieros y los mĂŠdicos y el comandante es compatible con todos los ingenieros y con el mĂŠdico . AdemĂĄs, el ingeniero es sicolĂłgicamente incompatible con el mĂŠdico ; el ingeniero con el mĂŠdico y el con el mĂŠdico . Bajo estas condiciones Âżde cuĂĄntas maneras es posible formar la tripulaciĂłn de la nave?

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Figura 16 SegĂşn observamos en la figura 16, las combinaciones posibles para formar la tripulaciĂłn con tres personas, eligiendo entre los candidatos disponibles y respetando las compatibilidades e incompatibilidades sicolĂłgicas, son Ăşnicamente 9. Sin tales restricciones, por la regla del producto habrĂ­a: (4)(3)(3)=36 opciones.

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Actividad 2. Árboles En esta actividad, Realizaras demostraciones sobre problemas planteados, utilizando los conocimientos sobre árboles. Para ello: 1. Descarga el documento “Act. 2. Árboles” 2.

Realiza lo que se te pide hacer en cada ejercicio y problema planteado.

3.

Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MACO_U3_A2_XXYZ.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador. * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.

3.1.3. Planaridad Supongamos que en una calle hay tres casas contiguas hacia las cuales deben suministrarse tres servicios mediante un sistema de tubería subterránea, por ejemplo gas, agua y electricidad.

Se pretende hacer la instalación de tales tuberías para que estos tres hogares dispongan de los 3 servicios de manera constante pero es claro que las líneas de suministro no pueden cruzarse pues haría técnicamente imposible que los suministros se hicieran posibles, ¿cómo debe llevarse a cabo la instalación de las tuberías subterráneas para lograr el suministro permanente?

Modelaremos este problema con una gráfica bipartita en la que la bipartición de los vértices está dada así: en un conjunto estarán tres vértices que representan a cada una de las casas y en el otro conjunto otros tres vértices que representan los servicios a suministrar. Deben estar todas las aristas entre casas y servicios pues deseamos que a cada casa le lleguen los tres servicios.

Entonces hay que colocar 9 aristas en la gráfica, 3 incidentes a cada vértice. Este es un ejemplo de gráfica bipartita completa, pues incluye todas las aristas que son posibles en una gráfica bipartita.

Figura 17 Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas

Específicamente, la que presentamos aquí se conoce como conjuntos de la partición tiene cardinalidad 3.

porque cada uno de los

El objetivo es encontrar un dibujo en el que las aristas no se crucen, pero como vemos en la figura 17 (tomada de (Chartrand G. , 1977, pág. 193) que representa la situación, una vez que se han colocado 8 aristas sin cruces, como quiera que se coloque la última habrá inevitablemente un cruce con alguna de las anteriores.

Esto se debe a que, como veremos, es imposible dibujar a un dibujo con un sólo cruce:

sin cruces. La figura 17 exhibe

Figura 17 Definición. Una gráfica es aplanable si puede ser dibujada en el plano de manera que no haya parejas de aristas que se crucen. Un dibujo con esta propiedad se llama un dibujo plano de Así, diremos que no es aplanable o simplemente que no es plana pues es muy frecuente que al referirse a una gráfica aplanable se considere ya dibujada en el plano sin cruces y entonces se le llama simplemente gráfica plana. Por ejemplo, sabemos que es una gráfica aplanable, ya dimos su dibujo plano en la primera sección de esta Unidad, por lo que podemos llamarle gráfica plana. La figura 18 muestra sus dos dibujos: el plano y el no plano.

Figura 18

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas Cuando damos el dibujo plano de una grĂĄfica plana este induce una particiĂłn del plano en regiones que son acotadas por los ciclos inducidos de la grĂĄfica (o sea ciclos en los que no hay aristas entre vĂŠrtices del ciclo, salvo las del ciclo mismo).

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Figura 19. Por ejemplo aquĂ­ parte al plano en cuatro regiones: las tres caras triangulares coloreadas y la cara exterior, la blanca.

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Los vĂŠrtices y aristas que inciden en una cierta regiĂłn forman la frontera de esa regiĂłn. En la figura anterior como observamos la grĂĄfica tiene cuatro regiones, la frontera de la regiĂłn de color rosa la forman los vĂŠrtices y las aristas . La regiĂłn blanca, llamada regiĂłn exterior tiene por frontera a los vĂŠrtices y las aristas .

Cualquier grĂĄfica plana tiene exactamente una regiĂłn exterior. Notemos que en total esta grĂĄfica tiene 4 vĂŠrtices, 6 aristas y 4 regiones.

Los ĂĄrboles tambiĂŠn son grĂĄficas planas, pues siempre es posible dibujarlas en el plano sin cruces entre pares de aristas. Los ĂĄrboles solamente determinan una regiĂłn en el plano, por lo que un ĂĄrbol de orden tiene, como sabemos, tamaĂąo y una regiĂłn. Observa que en ambos casos se cumple que, la suma de orden mĂĄs regiones menos tamaĂąo es 2. Este no es un hecho casual sino un resultado general, como lo dice el teorema siguiente: Teorema 8. (FĂłrmula de Euler) Sea regiones, entonces

una grĂĄfica plana conexa de orden , tamaĂąo

y

DemostraciĂłn. Usaremos inducciĂłn sobre el tamaĂąo de . Si , como es conexa entonces y por lo que , el resultado es cierto para la base.

Supongamos que para cierta , fija se cumple que todas las grĂĄficas conexas planas de tamaĂąo satisface el resultado y demostrĂŠmoslo para una grĂĄfica de tamaĂąo .

Supongamos que tiene orden y su dibujo induce regiones en el plano.

Si

es un ĂĄrbol, entonces sabemos que

y, como observamos antes

, por lo que

y el resultado se cumple.

Si

no es un ĂĄrbol, como es conexa entonces contiene ciclos. Sea

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una arista que

23

Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas pertenezca a un ciclo la gráfica , obtenida al eliminar de la arista , sigue siendo plana y conexa y tiene tamaño por lo que cumple con la hipótesis de inducción. Notemos que tiene el mismo orden que pues al eliminar no eliminamos ningún vértice, entonces . Lo que se modifica es el número de regiones pues en hay dos regiones incidentes con la arista así que al eliminarla, esas dos regiones se unen formando una sola, entonces tiene regiones, tenemos entonces que, por hipótesis de inducción, para se cumple que:

Si ahora volvemos a la gráfica original, tenemos,

que, por la identidad obtenida en la hipótesis de inducción,

que es lo que queríamos demostrar.

Este Teorema, debido a Euler, presenta uno de los resultados más importantes de la Teoría de Gráficas. Lo usaremos para demostrar el siguiente: Teorema 9. Sea

una gráfica conexa y plana de orden

y tamaño , entonces

Demostración. Notemos que el resultado es trivialmente cierto para , pues cualquier gráfica de orden tres tiene tamaño a lo más tres, así que podemos suponer que . Como es plana hay un dibujo plano de ella. Supongamos que tenemos tal dibujo de y denotemos por al número de regiones en el plano que se forman con este dibujo. Para cada región de , consideremos el número de aristas que están en su frontera y asignemos ese número a la región . Si después sumamos todos estos números sobre todas las regiones de obtendremos un valor al que llamaremos Es claro que , pues cada región de tiene al menos tres aristas en su frontera. Además cuenta dos veces cada arista de : una vez en cada una de las dos regiones a las que la arista pertenece, por lo que Así:

por la Fórmula de Euler sabemos que entonces,

o, equivalentemente

,

que es lo que queríamos demostrar.

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24

Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Observa que lo que este resultado establece es que una gráfica plana no puede “tener muchas aristas”. Como corolario inmediato nos brinda una demostración formal de que no es plana.

Antes de establecer ese corolario, daremos una caracterización de las gráficas bipartitas.

Teorema 10. Una gráfica

es bipartita si y solamente si no contiene ciclos de longitud impar.

Demostración.

Sea una gráfica bipartita con bipartición . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que es conexa pues de no serlo el resultado debería cumplirse en cada una de sus componentes conexas. Además, si no tiene ciclos cumple el resultado por vacuidad así que podemos suponer que sí tiene ciclos.

Todas las gráficas bipartitas de orden menor o igual que 3 son precisamente los siguientes tres árboles de órdenes 1, 2 y 3:

Figura 20 así que también podemos suponer que tiene al menos cuatro vértices. Sea un ciclo en y supongamos que entonces , y, en general y . Como entonces , de donde para algún valor positivo de y por tanto la longitud de es par.

Supongamos ahora que es una gráfica que no contiene ciclos de longitud impar y, como antes, podemos suponer que es conexa y tiene orden al menos 4.

Sea un vértice cualquiera de y definamos la siguiente partición de : {

}

{

}

Sólo debemos demostrar que, en efecto esta es una partición de y que todas las aristas de tienen un extremo en y otro en . Veamos: pues –la -trayectoria vacía tiene longitud cero, que es par- y como es conexa y no vacía entonces tiene algún vecino , es claro que la -trayectoria más corta es precisamente la arista por lo que y por tanto . También es evidente que pues no es posible encontrar un vértice tal que la -trayectoria más corta tenga simultáneamente longitud par e impar, y como es conexa también se tiene que . Así, lo único que falta demostrar es que y son conjuntos independientes.

Procedamos por contradicción y supongamos que existe entonces, , la -trayectoria más corta tiene longitud par y

, la

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tal que , -trayectoria más corta

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas también tiene longitud par. Sea el último vértice tal que trayectorias de longitud mínima entonces las -trayectorias:  

: que inicia en : que inicia en

y sigue la sucesión indicada por y sigue la sucesión indicada por

, como

y

son

hasta llegar a , hasta llegar a

Ambas son -trayectorias de longitud mínima y por tanto tienen la misma longitud, entonces como y son ambas de longitud par, la longitud de los trayectos restantes hasta llegar a y respectivamente, deben tener la misma paridad. Así, si llamamos:  

a la a la

-trayectoria -trayectoria

, y

Tendremos entonces que será un ciclo de longitud impar: como tienen longitudes de la misma paridad, la suma de sus longitudes es un número par, y la arista agrega 1 a la longitud del ciclo. Esto contradice la hipótesis.

La demostración para el caso en que hubiese dos vértices adyacentes es totalmente análoga.

Entonces entre y

y son conjuntos independientes, por lo tanto todas las adyacencias de por lo tanto es bipartita.

son

Ahora sí presentamos el Corolario del Teorema 9: Corolario 2.

no es plana

Demostración. Procedamos por reducción al absurdo.

Si fuera plana habría un dibujo plano de ella que determinaría regiones, al sumar para cada una de estas regiones el número de aristas están en su frontera y después sumar estos números sobre todas las regiones de , obtendremos un valor al que llamaremos Como es bipartita, por el Teorema 10 sabemos que no contiene triángulos, por lo que la frontera de cada región debe tener al menos cuatro aristas, entonces , además cuenta dos veces cada arista, así que Así que:

y por la Fórmula de Euler: lo cual es una contradicción. Entonces fue incorrecto suponer que que no lo es.

Otro corolario inmediato es que

es plana, y concluimos

tampoco es una gráfica plana.

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26

Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas Corolario 2.

no es plana

Demostración. En la gráfica se tiene que entonces por el Teorema 9, no es plana.

La figura 21 muestra a las gráficas

y

como

,

dibujadas con un sólo cruce de aristas.

Figura 21 Esta pareja de gráficas no aplanables son fundamentales en el estudio de las gráficas planas pues nos permiten caracterizar totalmente a la familia de las gráficas planas. Para presentar –y entender- este resultado, necesitamos previamente unos cuantos conceptos.

Definición. La contracción de aristas en una gráfica es una operación en la que una arista y sus dos vértices se eliminan y sustituyen por un nuevo vértice al que haremos adyacente con todos los vecinos de los extremos de la arista original.

Figura 22

La figura 22 ejemplifica este concepto, contrayendo en la gráfica de la izquierda las aristas discontinuas.

Definición. Una gráfica es un menor de una gráfica , si borrando aristas y eliminando vértices aislados.

se obtiene de

contrayendo o

Notemos que, en particular, cualquier subgráfica de es un menor de la gráfica. En la siguiente figura vemos un ejemplo del menor que se ha obtenido de al contraer la arista discontinua y eliminar las dos aristas más gruesas y el vértice que queda aislado:

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas

Figura 23

Ahora sí enunciaremos –sin demostrar- el famoso resultado, debido a Kuratowski y Wagner que caracteriza a las gráficas planas: Teorema de caracterización de las gráficas planas. Una gráfica es planas si y sólo si no contiene a ó como menor.

Puedes encontrar una demostración de este teorema en (Bondy, 1976) o en (Harary, 1969). En la figura 24 se exhibe una que gráfica no es plana -conocida como la gráfica de Petersenpues tiene como menor a como es evidente al contraer las aristas discontinuas:

Figura 24

3.1.4. Coloración ¿Cuántos colores son necesarios para colorear los países de un mapa de manera que países con frontera común tengan asignados colores distintos? ¿Cuántos días deben ser agendados para las reuniones de las comisiones parlamentarias si cada comisión pretende reunirse por un día y algunos miembros del parlamento pertenecen a varias comisiones? ¿Cómo se puede programar el horario de siete exámenes finales, minimizando los días necesarios para aplicarlos, si hay alumnos que deben presentar varios exámenes y no pueden presentar más de dos exámenes el mismo día? Este tipo de problemas, ampliamente estudiados por el Análisis Combinatorio son modelados mediante el uso de la Teoría de Gráficas y han permitido no

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas solamente encontrar soluciones eficientes sino más aún han generado toda una rama de profundo interés teórico en el área: los problemas de coloración de gráficas.

El Teorema de los Cuatro Colores tiene una historia larga, intensa y de las más interesantes en la evolución del desarrollo científico, te recomiendo que leasel siguiente link o la otra opción de Fernández Gallardo

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate1o.htm o la interesante narración de (Fernández Gallardo, 2000) que puedes encontrar en el Material de Apoyo.

Definición. Una coloración de una gráfica es una función tal que . Los elementos de son los colores de la coloración.

El principal interés sobre el estudio de estas coloraciones tiene que ver con la cardinalidad de , frecuentemente buscamos que sea lo más pequeño posible. Si diremos que es una -coloración de .

Definición. El mínimo entero para el cual existe una coloración de , { el número cromático de y se denota como . Si tiene número cromático llama -cromática y si decimos que es -coloreable.

} es se

Ejemplo. La figura 25 muestra una coloración de la gráfica de Petersen con tres colores, { }. Esta gráfica es 3-cromática por lo que no es posible dar una coloración con dos colores sin que haya aristas con los dos extremos del mismo color. Decimos que esta es una coloración que realiza el número cromático de la gráfica.

Figura 25 Observa que una -coloración de no es otra cosa más que una partición de conjuntos independientes llamados también clases cromáticas.

en

Generalmente, obtener el número cromático de una gráfica, es un problema extremadamente complicado, no hay una fórmula explícita para obtenerlo, sin embargo, se conocen algunos

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas resultados que lo relacionan con otros parámetros asociados a la gráfica, el siguiente es uno de ellos. Recuerda que en la primera sección de esta Unidad definimos como el máximo de los grados de los vértices de Teorema 11. Para gráfica cualquier gráfica ,

Demostración. Procederemos por inducción sobre el orden es y ya que y , entonces,

de . La única gráfica de orden

por lo tanto el resultado es cierto para al caso base.

Supongamos que para alguna fija, el resultado es cierto para todas las gráficas de orden y demostraremos que se cumple para de orden Lo que haremos será dar una coloración de tendremos el resultado.

Sea y consideremos la gráfica todas las aristas incidentes en él. Como inducción, por lo que

con

colores y, por la minimalidad de

la que se obtiene al eliminar de al vértice tiene orden cumple con la hipótesis de

y

entonces debe existir una coloración de los vértices de con colores. Demos tal coloración a y veamos como podemos extenderla para : Notemos que en el vértice tiene a lo más vértices vecinos, estos vecinos permanecen en y la coloración que hemos dado no usa más de colores en ellos. Tenemos dos casos posibles: 1. Si , entonces queda un color disponible para asignarlo a –recordemos que la coloración dada a usa colores- lo coloreamos y volvemos a la gráfica , donde tendremos una coloración de con colores y por tanto tenemos el resultado.

2. Si , entonces podemos introducir un nuevo color para asignarlo a , lo coloreamos y volvemos a la gráfica , donde tendremos una coloración de con a lo más colores y por tanto tenemos el resultado.

Por ejemplo, usando el Teorema 11 en la gráfica

, de la figura 26 se tiene que

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas

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Figura 26 Sin embargo, la misma figura muestra una coloraciĂłn con 3 colores por lo que esta cota superior para el nĂşmero cromĂĄtico no siempre resulta ser tan buena.

. AsĂ­

Como vimos al inicio de esta secciĂłn el Teorema de los Cuatro Colores tambiĂŠn puede ser establecido en tĂŠrminos de coloraciĂłn de grĂĄficas. Si tenemos dado un mapa cualquiera, podemos asociarle una grĂĄfica cuyos vĂŠrtices correspondan a los paĂ­ses (estados, regiones) y donde dos vĂŠrtices sean adyacentes si representan a dos paĂ­ses con frontera comĂşn.

Necesariamente, cada grĂĄfica asĂ­ construida es plana. Por ejemplo, la figura 27 muestra un mapa y la correspondiente grĂĄfica plana asociada a este mapa.

Figura 27 En estos tĂŠrminos el enunciado del Teorema de los Cuatro Colores serĂĄ: Teorema de los Cuatro Colores: Si

es una grĂĄfica plana, entonces

La demostraciĂłn de este Teorema es extraordinariamente complicada y no la incluimos en este texto. Sin embargo, en contraste, el Teorema de los Cinco Colores no es particularmente difĂ­cil y sĂ­ lo incluiremos aquĂ­. Necesitaremos antes de un Ăştil lema: Lema 1. Si

es una grĂĄfica plana, entonces contiene un vĂŠrtice

tal que

.

DemostraciĂłn. El resultado es trivial para grĂĄficas de orden menor o igual que 6. Podemos

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas suponer entonces que es una gráfica plana, de orden y por el Teorema 2 sabemos que si sumamos los grados de todos los vértices de obtenemos . Si suponemos que todo vértice de tiene grado mayor o igual que 6, entonces ∑

así que 2:

. También sabemos, por el Teorema 9 que , que multiplicándola por . Entonces, juntando las dos desigualdades tendremos,

lo que es una contradicción.

Entonces fue un error suponer que todo vértice de tanto existe algún vértice tal que .

tiene grado mayor o igual que 6, por lo

Podemos ahora enunciar y demostrar el Teorema central de esta sección.

Teorema de los Cinco Colores: Si

es una gráfica plana, entonces

Demostración. Procederemos por inducción sobre el orden de . El resultado se cumple trivialmente para la única gráfica de orden , que por supuesto es plana: y , por lo tanto el resultado es cierto para al caso base.

Supongamos que para alguna fija, el resultado es cierto para todas las gráficas planas de orden : su número cromático es a lo más 5 y demostraremos que se cumple para de orden Por el Lema 1 sabemos que existe tal que . Consideremos un dibujo plano de y consideremos la gráfica , la que se obtiene al eliminar de al vértice y todas las aristas incidentes en él. Como tiene orden cumple con la hipótesis de inducción, por lo que . Esto significa que es 5-coloreable entonces existe una 5-coloración de , demos tal coloración a los vértices de denotando a los colores con los números 1,2,3,4 y 5. Es claro que si uno de estos colores no fue usado por los vecinos de entonces podemos asignarlo a y habremos extendido la 5-coloración de a una 5-coloración de y terminamos pues basta eso para comprobar que en efecto .

Supongamos entonces que los 5 colores están siendo usados por los vecinos de y por tanto Sean los cinco vecinos de y supongamos que cada tiene asociado el color . Mostraremos que es posible recolorear ciertos vértices de de manera que quede un color disponible para el vértice y entonces la 5-coloración pueda ser extendida a Consideremos únicamente los colores 1 y 3 y todos los vértices de que tiene asociados esos colores. Sabemos que tiene el color 1 y el color 3. En podría o no existir una -trayectoria cuyos vértices estén solamente coloreados con los colores 1 y 3.

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AnĂĄlisis Combinatorio Unidad 3. TeorĂ­a de GrĂĄficas

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Figura 27 Procederemos a revisar cada uno de los dos casos posibles: 1. Supongamos primero que sí existe tal -trayectoria, como se muestra en la figura 27, y llamÊmosla . Entonces es un ciclo en que encierra al vÊrtice o encierra a los vÊrtices . Es decir que, por la planaridad de , estå en una región distinta de donde estån los vÊrtices pero eso quiere decir que en no hay una trayectoria formada por vÊrtices que unicamente usen los colores 2 y 4. Entonces consideramos todas las trayectorias que inician en y que en todos sus vÊrtices unicamente usan los colores 2 y 4, esta colección de trayectorias forman una subgråfica de a la que llamaremos y que estå formada con vÊrtices de colores 2 y 4, aunque, como vimos . Si intercambiamos los colores en –los que tengan el color 2 los coloreamos del color 4 y los que tengan color 4 les ponemos color 2- obtendremos una nueva 5-coloración de en la cual los vÊrtices tienen ambos el color 4.

Entonces el color 2 ha quedado disponible para asignarselo a y podremos extender a una 5-coloraciĂłn de con lo que tenemos que .

2. Ahora supongamos que no existe la -trayectoria que únicamente usa colores 1 y 3 en todos sus vÊrtices. Entonces consideramos todas las trayectorias que inician en y que en todos sus vÊrtices unicamente usan los colores 1 y 3, esta colección de trayectorias forman una subgråfica de a la que llamaremos y que estå formada con vÊrtices de colores 1 y 3, aunque, como sabemos . Si intercambiamos los colores en –los que tengan el color 1 los coloreamos del color 3 y los que tengan color 3 les ponemos color 1obtendremos una nueva 5-coloración de en la cual los vÊrtices tienen ambos el color 3. Entonces el color 1 ha quedado disponible para asignarselo a y así podemos extender a una 5-coloración de con lo que nuevamente comprobamos que .

El estudio de la TeorĂ­a de ColoraciĂłn de GrĂĄficas abarca tambiĂŠn coloraciones de aristas, coloraciones totales (vĂŠrtices y aristas), coloraciones de regiones en grĂĄficas planas o

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas coloraciones de ciertas subgráficas –ciclos, trayectorias, árboles de cierto tipo- este es, actualmente uno de los temas que más conocimiento genera en el área. Un compendio muy bueno de lo que se ha realizado se puede leer en (Chartrand G. a., 2008).

Actividad 3. Planaridad y coloraciones En esta actividad resolverás ejercicios y problemas sobre planaridad y coloraciones.

1. Descarga el documento “Act. 3. Planaridad y coloraciones”.

2. Resuelve cada uno de los planteamientos propuestos, tomando en cuenta los resultados sobre planaridad y coloración que has aprendido.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MACO_U3_A3_XXYZ. 4. Espera la retroalimentación de tu facilitador. *Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión.

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de Aprendizaje. Teoría de Gráficas Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrás que aplicar los conocimientos que has adquirido sobre Teoría de Gráficas.

Instrucciones: 1. Descarga el documento llamado “EA. Teoría de Gráficas” 2. Resuelve cada ejercicio que se plantea en el documento, si es necesario argumenta tu respuesta donde se solicite de acuerdo a lo revisado durante la unidad.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: MACO_U3_EA_XXYZ.

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas 4. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y leas los cuestionamientos que formuló tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexión y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad has conocido algunos de los más conocidos resultados en Teoría de Gráficas.

Existen muchos más pues esta es un área muy basta de las matemáticas y una de las que mayor desarrollo presenta actualmente. Ojalá te animes a estudiar más temas del área por tu cuenta.

Para saber más Aquí encontrarás la historia del problema de los puentes de Königsberg y como se resolvió, con la posibilidad de observar modelos interactivos de la solución y planteamiento. Está en español. http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/rompecabezas/PuentesKon igsberg.htm En esta página encontrarás actividades relacionadas con el problema de coloración de mapas.

Está en inglés. http://csunplugged.org/graph-colouring Esta página también está en inglés, pero contiene algunas implementaciones de animaciones interactivas para que puedas practicar con los temas de recorribilidad, isomorfismo de gráficas y planaridad. http://www.flashandmath.com/mathlets/discrete/graphtheory/

Referencias Bibliográficas 

Bondy, J. A. (1976). Graph Theory with Applications. New York: Elsevier.

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Análisis Combinatorio Unidad 3. Teoría de Gráficas    

Chartrand, G. (1977). Introductory Graph Theory. Toronto: Dover Publications.

Chartrand, G. a. (2008). Chromatic Graph Theory. Florida, USA: CRC Press, Taylor & Francis Group.

Fernández Gallardo, P. (2000). El Teorema de los cuatro colores: Appel y Haken (1976).

Números , 377-380.

Harary, F. (1969). Graph Theory. USA: Addison-Wesley.

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