U3 estructura interna

Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna

Licenciatura en matemáticas

5° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Didáctica de las matemáticas

Unidad 3. Estructura interna

Clave: 060920520/ 050920520

Universidad Abierta y a Distancia de México

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Índice Unidad 3. Estructura interna ........................................................................................................... 3 Presentación de unidad ................................................................................................................... 3 Propósitos .......................................................................................................................................... 3 Competencia específica .................................................................................................................. 3 Actividad 1. Foro de discusión “La dualidad de las matemáticas en la exactitud y aproximación ..................................................................................................................................... 4 3.1. Naturaleza relacional de las matemáticas ...................................................................... 4 3.1.1 Exactitud ............................................................................................................................. 5 3.1.2. Aplicaciones de exactitud............................................................................................. 5 3.1.3. Aproximación ................................................................................................................... 7 3.1.4. Aplicaciones de aproximación ......................................................................................... 8 3.1.5. Aplicaciones de exactitud y aproximación .............................................................. 8 Actividad 2. Ejercicios de identificación de métodos .................................................................. 9 Autoevaluación ............................................................................................................................... 10 Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la didáctica ............................................................... 10 Autorreflexiones .............................................................................................................................. 10 Cierre de la unidad ......................................................................................................................... 10 Para saber más............................................................................................................................... 11 Fuentes de consulta ....................................................................................................................... 11

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Presentación de unidad En esta unidad abordaremos los métodos que permiten hacer más eficiente y reducir el tiempo para la solución de problemas identificando y describiendo cada proceso de un modelo matemático mediante la exactitud y la aproximación.

Propósitos  

Identificar cuando un procedimiento únicamente muestra en su aplicación aproximación o exactitud, a través de la planeación estratégica.

Utilizar la didáctica como planeación para identificar el resultado de una problemática, tomando como base las propiedades de la didáctica como disciplina.

Competencia específica Utilizar métodos eficientes que aminoren en tiempo y procesos la solución de un modelo matemático, mediante la exactitud y la aproximación.

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna Actividad 1. Foro de discusión “La dualidad de las matemáticas en la exactitud y aproximación A través de esta actividad podrás: Identificar la dualidad de las matemáticas en la exactitud y la aproximación.

1. Ingresa al foro de discusión que lleva por nombre Dualidad de las matemáticas.

2. Participa activamente en el foro de discusión, contestando las preguntas: ¿De qué forma contribuye la dualidad en el entendimiento de la realidad? ¿Por qué es importante potenciar estos dobles enfoques?

3. Comenta la respuesta de uno de tus compañeros, argumentando la postura de tu respuesta.

En caso de utilizar información textual de una fuente, es indispensable que la cites según el estilo APA. Consulta la Rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

3.1. Naturaleza relacional de las matemáticas Las matemáticas, al estar en íntima relación con las actividades del hombre y los objetos que lo rodea y con los cuales interactúa, nos ha permitido estudiar la realidad mediante la abstracción. Por ejemplo, si sumo dos naranjas más dos naranjas, el resultado son cuatro naranjas; sin embargo, puedo realizar la suma “dos más dos” sin hacer referencia a las naranjas o algún otro objeto. Otros ejemplos serían los números, que son abstracciones del tamaño de un conjunto de objetos; la letra A, asociada con el área del cualquier objeto o la aceleración de un móvil en los conceptos de física; el signo + (más) lo usamos para sumar y cualquiera que sea el objeto (pueden ser peras, monedas, minutos, etc.) su significado es adición y su representación nos queda muy clara.

La abstracción es el proceso mental que permite obtener algunas características de un objeto, excluir las que son secundarias, y adquirir una representación mental del mismo.

De este modo podemos construir relaciones y elaborar conclusiones.

Debido a su abstracción, la matemática es la ciencia más universal que existe pues se relaciona con la medicina, la agricultura, la ingeniería, la industria, la música, la historia, la política, los negocios y las ciencias sociales y naturales.

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna De acuerdo con Godino y Batanero (2003) “…el conocimiento matemático implica la construcción de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos” (p.25). Al obtener un conocimiento matemático debemos buscar la construcción del conocimiento para que el aprendizaje sea verdadero y duradero y, así, valorar el potencial que las matemáticas tienen como “instrumento de representación, explicación y predicción” (p.

25).

La naturaleza relacional de las matemáticas es una característica que permite emplear procesos generales en diferentes áreas, tal es el caso de contar y ordenar, que son actividades propias de la estadística y la aritmética; o las ecuaciones que se obtienen en geometría para determinar áreas o volúmenes y se resuelven de la misma forma que las ecuaciones en álgebra; las series y sucesiones se pueden tener en aritmética y también en matemáticas financieras.

A medida que avanzas en el estudio de las matemáticas, seguramente notarás la relación que existe entre partes de ella que se habían desarrollado por separado; por ejemplo, las representaciones del álgebra y las representaciones de la geometría o trigonometría, que se interconectan y, al encontrar esta relación, la estructura de las matemáticas se fortalece.

3.1.1 Exactitud En la vida diaria realizamos actividades donde la exactitud de las matemáticas está presente; por ejemplo, al realizar las compras en el supermercado pagamos la cantidad exacta que corresponde al monto total de los artículos que compramos; cuando tomamos un medicamento tenemos la certeza de que contiene la cantidad exacta de la sustancia activa; cuando compramos una caja de chocolates y dice que contiene 12 chocolates, tenemos la certeza de que los tiene; también sabemos que una hora tiene 60 minutos, no más, no menos, exactamente 60 minutos. Como estos ejemplos podemos citar muchos más donde la exactitud de las matemáticas está presente. Saber que las operaciones son exactas, o que las cantidades son exactas, nos permite tener confianza en las actividades que realizamos. Y en realidad es así, pues a lo largo de nuestra formación escolar nos han enseñado que los resultados de cualquier operación son exactos, que las matemáticas no mienten y que siempre han sido así.

Las matemáticas son consideradas una ciencia exacta, tal como menciona Godino y Batanero (2003), “los resultados de una operación, una transformación son unívocos” (p..

26), dado que el resultado de una operación es único, la exactitud de las matemáticas en las operaciones nos brinda una respuesta objetiva, lo cual nos facilita la comprensión de las realidad.

3.1.2. Aplicaciones de exactitud.

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna La exactitud de las matemáticas es importante en nuestras vidas, por ejemplo: Juan va la tienda y compra dos litros de leche con un valor de $27, un paquete de pan con un valor de $22, un frasco de mermelada con un valor de $25. El monto total de sus compras es de $74, y es el valor exacto que tienen que pagar.

También se manejan valores exactos en las operaciones bancarias, en las matemáticas financieras. Cuando adquirimos un crédito hipotecario con un plazo de tiempo determinado y con una tasa de interés fija se puede determinar el monto de los pagos mensuales, que es exacto y la suma de todos los pagos es igual al importe total del valor de la casa con los intereses para el plazo establecido.

Podemos encontrar otra aplicación en las unidades de medida. El metro, por ejemplo, se definió originalmente como la diezmillonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre y a lo largo del tiempo, la definición ha sufriendo modificaciones (en 1983, la Conferencia General sobre Pesas y Medidas la definió como la longitud del camino recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 de segundo).

A continuación se muestra un ejercicio donde se evidencia el proceso de exactitud y aproximación en la solución de un problema matemático: Se tiene una lámina de forma cuadrada cuyo lado mide 1m, ¿cuánto mide la diagonal de esta lámina?

Solución: √ √ m m Explicación: En este caso, con la expresión √ , estamos presentando un resultado exacto ya que implica todos los números que están presentes después del punto decimal.

En cambio, cuando presentamos el resultado como d=1.414213, estamos presentando un resultado aproximado ya que expresamos solo unas cifras significativas.

Otro ejemplo que muestra la exactitud en un la solución de un problema es el siguiente ejercicio.

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna Juan tiene varios pedazos de cinta de alambre, los cuales miden 1/2m, 1/3m y 5/4m, ¿cuánta cinta tiene en total?

Solución:

Explicación: Cuando tenemos

⁄

m estamos dando la medida exacta de cinta que se

tiene; en cambio, cuando presentamos el resultado como l=2.083m estamos presentando un resultado aproximado donde tomamos solo 3 cifras significativas después del punto decimal.

3.1.3. Aproximación Cuando un modelo matemático es aplicado a una situación real, en ocasiones podemos encontrar que el resultado obtenido es un valor aproximado de la realidad, ya que no podemos tener un resultado exacto (o, por lo menos, no hay manera de constatarlo).

Imaginemos, por ejemplo, que debemos medir la longitud de la costa, o la cantidad de agua en una laguna. En este tipo de situaciones se emplean aproximaciones que nos brindan una idea del valor más próximo a la real y que nos permite tener una idea de la realidad para interpretarla.

En la solución de algunos problemas, los resultados no son exactos, pero ¿qué grado de exactitud es necesario? Eso se determina en función de la situación en la que se vayan a aplicar los resultados y del grado de error permitido, pues es necesario reflexionar en las consecuencias que pueda tener la aproximación que se está haciendo. Por ejemplo, al elaborar un pastel un error en la medición de una taza de harina del 2% no sería significativo y no alteraría el resultado, pero si ese error lo aplicamos en el cálculo de la longitud de un lado de un terreno muy grande, el resultado podría ser un desastre, ya que el error del 2% en una distancia de 100 metros sería de 2 metros, lo cual generaría conflictos entre los vecinos del terreno.

En la actualidad, se han desarrollado procesos matemáticos que nos permiten ver qué tan lejos pueden llegar los resultados y cuántos cálculos son necesarios para obtener el grado de error máximo permitido. En estadística, por ejemplo, al realizar análisis de varianza para experimentos, podemos escoger o determinar de entrada el nivel de confianza que nos permite aproximarnos a un resultado confiable; también existen métodos numéricos Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna que nos permiten resolver modelos matemáticos y determinar el porcentaje de error que se requiera manejar.

3.1.4. Aplicaciones de aproximación Como hemos mencionado, muchas situaciones implican una aproximación, y este concepto lo hemos manejado desde los primeros años de escuela. Recordemos, por ejemplo, en el uso de pi () -sabemos que es un número decimal no periódico infinito-, hacemos uso del valor 3.1416, que es una aproximación de su valor real y lo aceptamos como válido pues sabemos que el número de cifras significativas que estamos usando no afecta mucho el valor real en el cálculo de un área o un volumen.

En muchas áreas donde se aplican las matemáticas, se emplea el redondeo de números, que se basa en el proceso de suprimir uno o más dígitos para tener el número necesario de cifras significativas. En topografía (medición de longitudes con el uso de herramientas de medición e indirecta mediante el uso de trigonometría), cuando obtenemos una medida de 53.7283m la redondeamos en un número con dos cifras significativas, es decir 53.73m.

3.1.5. Aplicaciones de exactitud y aproximación En el supermercado nos encontramos con una gran variedad de productos (frijol, arroz, azúcar, limpiadores de piso, refrescos, etc.) en cuyos envases o empaques se marca la cantidad de producto que contienen; nosotros aceptamos ese valor como exacto, sabemos que esta medición se hizo de manera minuciosa. Sin embargo, dentro de los procesos para envasar estos productos se han considerado márgenes de error mínimos que no son altamente significativos. Esto nos muestra la manera en que la exactitud y la aproximación mantienen cierta relación y están presentes en el cotidiano vivir.

Si bien es cierto que las matemáticas son exactas, también debemos reconocer que cuando las aplicamos en modelos que han sido hechos para situaciones de la vida real, el resultado es una aproximación de la realidad que aceptamos porque tenemos la certeza de que el resultado es lo más aproximado al valor real.

Es importante reconocer que las matemáticas tienen esta característica: la dualidad entre la exactitud y la aproximación. También es importante estar consciente de ella e introducirla en la formación escolar. De acuerdo con Godino y Batanero (2003), “las matemáticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques, y ello no solo por la riqueza intrínseca que encierran, sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemáticas” (p.26).

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna En el siguiente ejercicio se muestra un ejemplo de aproximación en la solución de un problema matemático.

Se tiene una lata cuyo diámetro de su tapa es de 5 cm, ¿cuál es la superficie de la tapa?

Solución:

 Si consideramos =3.1416 cm2 Explicación: La expresión , nos proporciona un resultado exacto ya que estamos empleando el valor c de .

En cambio, cuando consideramos =3.1416 estamos haciendo una aproximación, ya que estamos redondeado el valor de pi.

Actividad 2. Ejercicios de identificación de métodos Identificar los métodos que permiten minimizar el tiempo en la solución de problemas.

1. Revisa los ejemplos que se mostraron en el programa de desarrollo.

2. Descarga el archivo que tiene el planteamiento de problemas en la que deberás dar solución y explicar el porqué de dicha solución.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: DTM_U3_A2_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

Envía cuadro de doble entrada a tu Facilitador (a) mediante la sección de Tareas.

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna Autoevaluación Felicidades, haz llegado al final de la unidad.

Para verificar los conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a la Autoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de la didáctica A través de esta actividad podrás identificar la naturaleza racional de las matemáticas y, además, la aplicabilidad de las mismas en disciplinas que se apoyan de la didáctica para la identificación de la dualidad de las matemáticas.

1. Descarga el archivo que lleva por nombre “Naturaleza racional de las matemáticas” y completa los recuadros que están en blanco.

2. Argumenta, en un documento de texto, la estrategia por la cual elegiste tu respuesta y define las herramientas que utilizarás para ejemplificar su uso.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: DTM_U3_EA_XXYZ.

Sustituye la XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

Envía a tu Facilitador (a) mediante la sección de Tareas.

Autorreflexiones Además de enviar tu trabajo de la Evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas de Autorreflexión y consultes las preguntas que tu facilitador(a) presente. A partir de ellas, debes: Elaborar tu Autorreflexión en un archivo de texto llamado ED1_U2_ATR_XXYZ. Enviar tu archivo mediante la herramienta Autorreflexión.

Cierre de la unidad

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Programa desarrollado Unidad 3. Estructura interna Estimado alumno, hemos llegado al final de la asignatura Didáctica de las Matemáticas. A través de su estudio se realizó la descripción y seguimiento de una metodología para la resolución de problemas dentro del contexto profesional, es decir, irá preparando a quién desee incursionar como estudioso de las matemáticas. Además nos permite realizar la planeación de forma correcta el proceso de solución de problemas mediante modelos matemáticos específicos.

De igual forma, se mostraron los métodos y estrategias de interpretación de un modelo matemático a través del entendimiento de un lenguaje cotidiano sin olvidar que para lograrlo se requiere del conocimiento de la didáctica y la forma en que se enfoca a las matemáticas.

Felicidades por este nuevo reto que te llenará de satisfacciones.

Para saber más En este link podrás ampliar la información de cómo se pueden enseñar las matemáticas y las estrategias que permiten el mejor conocimiento matemático: http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf Así mismo, te sugerimos revisar la siguiente página para que puedas identificar las diversas estrategias en la enseñanza de las matemáticas: https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:ELUpKIobEAJ:ecaths1.s3.amazonaws.com/didacticadelamatematica/Didactica.de.las.Matematicas.35732 0039.pdf+&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESjm9buKbx5G10Q0aeH1z0Io_OeqHJ_IuiDeMUk0SN UxUNMuBlSo1byU4TExk58KwmNdTPaD3qKA9OoJicyfCUBIvEiWTQteb5URyWtsPVuQRp6nHtHjKrb WfKwL2gSHdr-ThG8D&sig=AHIEtbSpYyhgu-3m7HIUtS8SFZmX64MCDA

Fuentes de consulta Godino, J., Batenero, C. y Font, V. (2003). Fundamentos de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas para maestros. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática.

Goñi Zabala, J. M. (2008). El desarrollo de la competencia matemática. Barcelona: Graó.

Santamaría Conde, R. M. (2011). Navegando con la didáctica. Burgos: Universidad de Burgos

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