U1 introduccion a los procesos estocasticos

Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

Universidad Abierta y a Distancia de México Licenciatura en matemáticas

7° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Clave: 050930728

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

INDICE Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos......................................................................4 Presentación de la unidad .................................................................................................... 4 Propósitos de la unidad ........................................................................................................ 4 Competencia específica ........................................................................................................ 4 1.1 Descripción de un proceso estocástico ......................................................................................4 1.1.1 Definición de un proceso estocástico .................................................................................. 4 1.1.2 Diversos Ejemplos .................................................................................................................... 5 Actividad 1. Conceptos básicos ........................................................................................................ 11 1.2 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo al parámetro temporal y el espacio de estados ............................................................................................................................... 11 1.2.1 Procesos discretos a tiempo discreto ................................................................................ 13 1.2.2

Procesos discretos a tiempo continuo ......................................................................... 13

1.2.3

Procesos continuos a tiempo discreto ......................................................................... 14

1.2.4

Procesos continuos a tiempo continuo........................................................................ 14

Actividad 2. Clasificación de procesos estocásticos .................................................................. 14 Actividad 3. Aplicación de los procesos estocásticos................................................................ 15 1.3 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo a las características probabilísticas de las variables aleatorias ..................................................................................... 15 1.3.1

Procesos con incrementos independientes ................................................................ 16

1.3.2

Procesos de Markov .......................................................................................................... 17

1.3.3

Procesos estacionarios u homogéneos en el tiempo............................................... 18

Actividad 4. Aplicación de procesos estocásticos....................................................................... 18 Autoevaluación ...................................................................................................................................... 19 Evidencia de aprendizaje. Construcción de procesos estocásticos ....................................... 20 Autorreflexiones .................................................................................................................................... 21

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 21 Para saber más....................................................................................................................................... 21 Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 21

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

Presentación de la unidad En esta unidad abordaremos la descripción de un proceso estocástico y la identificación de sus elementos a través de la información teórica básica y de la presentación de ejemplos.

El conocimiento anterior nos permitirá analizar dos formas de clasificar a los procesos estocásticos: la primera de acuerdo a cómo son sus elementos y la segunda de acuerdo a algunas características probabilísticas de las variables aleatorias que lo componen.

Propósitos de la unidad Al finalizar el estudio de esta unidad:  Identificarás el espacio de estados y el conjunto donde varía el parámetro temporal de un proceso estocástico  Utilizarás la clasificación en proceso discretos o continuos a tiempo discreto o continuo para reconocer situaciones en las que se pueden aplicar  Identificarás las propiedades que deben tener las variables aleatorias que forman un proceso estocástico para determinar si es de incrementos independientes, de Markov y estacionario.

Competencia específica Clasificar procesos estocásticos mediante la identificación de sus principales características para determinar en qué situaciones puede ser usado cada uno de ellos.

1.1 Descripción de un proceso estocástico

1.1.1 Definición de un proceso estocástico Un proceso estocástico es una colección infinita de variables aleatorias

 X t tT ,

todas ellas

definidas sobre el mismo espacio de probabilidad (Ω, A, P), donde Ω es un espacio muestral, A es una -álgebra de subconjuntos de Ω, y P es una medida de probabilidad.

Estas colecciones son modelos adecuados para estudiar un sistema que evoluciona aleatoriamente en el tiempo o en el espacio, y en este contexto, el valor de la variable aleatoria

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos X t se interpreta como el estado en que se encuentra el sistema al tiempo t.

El conjunto de valores que toman las variables que integran un proceso estocástico se conoce como espacio de estados y lo representaremos por S. Este conjunto puede ser finito o numerable (cuando las variables aleatorias son discretas) o infinito no-numerable (cuando son continuas).

El parámetro temporal t de las variables aleatorias, está en un conjunto T que también puede ser numerable o infinito no numerable. Si es numerable, el proceso es una sucesión de variables aleatorias que denotaremos por  X n  , útil para modelar una situación que se observa cada cierto periodo de tiempo. Si se trata de un conjunto infinito no-numerable, como un intervalo [a, b] o todos los reales positivos, el proceso se denotará por

 X  t 

y servirá para

modelar situaciones que pueden observase en cualquier instante de tiempo de ese conjunto.

La evolución del sistema se describe a través de una ley de probabilidad que brinda información acerca de la probabilidad de que dicho sistema se encuentre en un estado o en un conjunto de estados al tiempo tk, cuando se conocen los estados en los que se ha encontrado en una colección de tiempos anteriores t0, t1,…tk-1, con t0  t1  ...  tk 1  tk . A esta probabilidad la llamamos, probabilidad de transición.

Estas ideas quedarán más claras después de revisar los siguientes ejemplos.

1.1.2 Diversos Ejemplos Ejemplo 1. Un problema de probabilidad. Un juego entre dos jugadores consiste en que cada uno elige uno de los resultados que se puede obtener al lanzar dos monedas. Se lanza una moneda sucesivamente hasta que aparezca la pareja seleccionada por alguno de los jugadores. Gana el jugador cuya pareja ocurra primero.

Por ejemplo, supóngase que el jugador 1 selecciona la pareja AA y el jugador 2 selecciona SA, donde estamos identificando A con el resultado sol y S con cruz. Si los lanzamientos sucesivos de la moneda dan como resultado ASSSA, en el quinto lanzamiento gana el jugador 2 y el juego termina.

Se desea responder las siguientes preguntas: ¿Qué probabilidad de ganar tiene cada jugador? ¿La probabilidad de ganar depende de la pareja que haya elegido cada jugador o da lo mismo porque las 4 parejas {AA, AS, SS, SA} son igualmente probables?

Antes de considerar la elección de los jugadores, veamos la evolución que puede tener la pareja final en lanzamientos sucesivos de una moneda. Tras el lanzamiento de las primeras dos monedas, se obtendrá una de las cuatro parejas posibles y ésta será identificada con el primer

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos estado del sistema. Al hacer un nuevo lanzamiento, se tendrá una terna de resultados. La pareja final de esa terna será identificada con el segundo estado del sistema, y así sucesivamente.

Si la primera pareja es por ejemplo AS, al hacer otro lanzamiento se puede llegar a la terna ASA o bien a la terna ASS donde las parejas finales son SA y SS. De manera que se puede pasar de AS a SA o bien de AS a SS, ambas transiciones con probabilidad 1/2.

Se observa el estado del sistema después de cada lanzamiento, por lo que el parámetro temporal está en el conjunto T = {1, 2, 3,…}. El estado en que se encuentra el sistema en cada uno de esos tiempos de observación, es una de las parejas S = {AA, AS, SS, SA}. De esta manera, el proceso estocástico que modela el sistema anterior es una sucesión de variables aleatorias  X n  , donde cada X n representa la pareja final tras el n-ésimo lanzamiento.

La siguiente gráfica dirigida (o digráfica) representa la dinámica de este proceso.

Cada flecha indica una de las transiciones posibles y el número a su lado es la probabilidad de que ocurra esa transición. Obsérvese que las probabilidades de pasar a otro estado son iguales cada vez que el sistema se encuentra en una de las parejas AA, AS, SS o SA, sin importar lo que haya ocurrido antes de llegar a esa pareja. No es relevante entonces si la historia de resultados obtenidos en lanzamientos sucesivos es AAAAAAAAS o bien SASSAS, ya que en ambos casos, al hacer un lanzamiento adicional, se puede pasar a la pareja final SA o a SS, y ambas transiciones ocurren con probabilidad ½. Por tanto, podemos escribir las probabilidades de transición de la siguiente manera:

P  X k  SA X k 1  AS  

1  P  X k  SS X k 1  AS  2 P  X k  AS X k 1  AS   0  P  X k  SA X k 1  AA 

Toda la información relativa a las probabilidades de transición en un paso se puede representar en una matriz como la siguiente:

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos AA

AS

SS

SA

AA 1/ 2 1/ 2 0 0    AS  0 0 1/ 2 1/ 2  P SS  0 0 1/ 2 1/ 2    SA 1/ 2 1/ 2 0 0 

El término i-j de esta matriz representa la probabilidad de pasar del estado i al estado j.

Ahora consideremos la elección de cada jugador. Supongamos que el jugador 1 elige AA y el jugador 2 elige SA. Como el juego termina en cuanto sale la pareja elegida por alguno de los jugadores, y el modelo consiste en una colección infinita de variables aleatorias, supondremos que si X n cae en cualquiera de los estados AA o SA, todas las variables que le siguen toman el mismo valor, es decir, al llegar a estos estados, el sistema ya no sale de ahí. En casos como éste se dice que los estados AA y SA son absorbentes.

En este caso se rompe la conexión entre todos los estados y queda aislado un vértice. Si la pareja inicial es AA, gana el jugador 1. Pero si el estado inicial es cualquiera de las otras 3 parejas, es seguro que en algún momento ganará el jugador 2 pues las probabilidades de transición hacia SA son positivas. Por lo tanto, en este caso el jugador 1 tiene probabilidad ¼ de ganar mientras que 2 tiene probabilidad ¾ de ganar, así que sus probabilidades de ganar no son iguales.

Veamos qué sucede si la elección de los jugadores cambia. Considérese ahora que el jugador 1 elige AS y el jugador 2 elige SA. En este caso la gráfica queda así:

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

Se observa que si la pareja inicial es AA o AS, gana el jugador 1; y si es SS o SA, gana el jugador 2. Por ello, en este caso, la probabilidad de ganar de cada jugador es ½.

Entonces, las probabilidades de ganar sí dependen de la pareja que elija cada jugador y no siempre son iguales para ambos jugadores, aun cuando son equiprobables las cuatro parejas que se pueden obtener en cada paso.

X n

es un ejemplo de un proceso a tiempo discreto con espacio de estados discreto. Abordar

este problema de probabilidad a través de un proceso estocástico hace mucho más sencillo el análisis que nos propusimos.

En el proceso construido aquí, para determinar la probabilidad de transitar a un estado en el futuro solo importa el estado en que se encuentra el sistema en el momento de observación y no lo que haya ocurrido antes, es decir, la historia previa no influye en la probabilidad de transición. Este tipo de procesos se conocen como Cadenas de Markov y serán estudiados en la Unidad 2.

Ejemplo 2. El Proceso Poisson. Empecemos considerando una sucesión Tn  de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que indican el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de eventos sucesivos. Por ejemplo, puede tratarse del tiempo entre la llegada de dos clientes a una fila de un banco, o el tiempo entre la llegada de dos señales de un satélite, o bien el tiempo entre la ocurrencia de dos accidentes en un crucero vial. También pueden representar el espacio entre dos eventos, por ejemplo, la longitud entre la presencia de dos defectos en un rollo de tela.

Para fijar ideas, supongamos que los primeros 5 valores asumidos por estas variables son: 0.25, 1.36, 0.45, 0.6, 1.2.

Entonces, el primer evento ocurre en el tiempo 0.25, el segundo en el tiempo 0.25 + 1.36 = 1.61, el tercero al tiempo 1.61 + 0.45 = 2.06, y así sucesivamente.

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

El instante en que se presenta la n-ésima ocurrencia está dado por n

Wn   T j j 1

Ahora estamos en condiciones de definir el proceso que nos interesa. Sea N  t  el número de eventos ocurridos desde el inicio de la observación hasta el tiempo t. En el ejemplo que estamos analizando N  t   0 para toda t ∈ [0, 0.25), N  t   1 para toda t ∈ [0.25, 1.61) y así sucesivamente.

La variable aleatoria N  t  se puede analizar para cada instante de tiempo t  R y es una función escalonada con saltos de tamaño 1 en el momento en que ocurre el evento que estamos observando.

Podemos definir las variables N(t) de la siguiente manera: 

N  0   0 y N  t    I0,t  W j , j 1

donde

 1 si W j   0, t  I0,t  W j     0 si W j   0, t  Es decir, se suma una unidad por cada W j que se encuentre en el intervalo de observación [0,

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos t]. También se puede definir de la siguiente manera:

N  0  0 y El proceso

N  t 

N  t   max n  N Wn  t

es una colección infinita no-numerable de variables aleatorias que toman

valores en el espacio de estados {0, 1, 2, 3,…}.

El proceso

N  t  se

conoce como proceso Poisson porque se puede demostrar que las

variables N  t  tienen distribución Poisson con parámetro λt. Es decir, el número medio de eventos ocurridos en el intervalo [0, t] es, a la larga, λt y el número medio de eventos ocurridos en [0,1] es λ. Este tipo de procesos serán estudiados en la Unidad 3.

Ejemplo 3. El movimiento Browniano. En 1827, el botánico Robert Brown observó que un grano de polen microscópico suspendido en agua se mueve constantemente en una trayectoria aleatoria zigzagueante. Siguiendo los reportes de su descubrimiento, otros científicos verificaron que se presentaba el mismo tipo de movimiento cada vez que a una partícula muy pequeña se le dejaba libremente suspendida en algún medio fluido.

En 1905, Einstein afirmó que este movimiento se originaba en los continuos choques del grano de polen con las moléculas del agua que lo rodeaba, con impactos moleculares sucesivos que venían de diferentes direcciones y que contribuían a diferentes impulsos sobre la partícula.

Fue hasta 1923, un siglo después del descubrimiento de Brown, que se logró construir un buen modelo matemático de este movimiento, cuando Norbert Wiener presentó la fundamentación matemática moderna del proceso estocástico que ahora llamamos movimiento Browniano o proceso de Wiener.

Ahora se sabe que varios años antes de Einstein, en 1900 en Paris, Louis Bachelier propuso lo que ahora podríamos llamar un modelo de movimiento Browniano para el movimiento de precios en el mercado de bonos franceses.

Visto en una dimensión, digamos proyectando sobre el eje X, se observa que la partícula se mueve avanzando y retrocediendo en forma azarosa. Sea W(t) la variable aleatoria que indica la posición de la partícula en el eje X al tiempo t. Como t varía sobre todos los reales positivos, tenemos una colección infinita no numerable de variables aleatorias W  t  . El espacio de t 0

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos estados es R porque la partícula puede moverse sin restricciones hacia atrás y hacia adelante.

Si el estado inicial es W(0) = x, se puede demostrar que

W t   x   Pa   b  t  

1 2



b

a

e y /2 dy 2

Es decir, W(t) se distribuye como normal con parámetros μ = x y σ² = t.

El fenómeno es como una bocanada de humo en el aire, que al expandirse varía su concentración de manera suave (como la suavidad de una distribución normal), y está formada por un conjunto muy grande de partículas que tienen trayectorias zigzagueantes y crispadas.

Esto ejemplifica dos aspectos del mismo fenómeno llamado difusión: trayectorias erráticas a nivel microscópico que dan lugar a un comportamiento suave de la densidad del conjunto total de partículas.

Actividad 1. Conceptos básicos Esta actividad te permitirá recobrar conceptos que aprendieras en probabilidad 1 y probabilidad 2 y necesitarás para el estudio de los procesos estocásticos.

1. Descarga el documento “Act. 1. Conceptos básicos” 2. Relaciona las columnas escribiendo el número correspondiente a la descripción de cada concepto en cada paréntesis.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U1_A1_XXYYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, y la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

1.2 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo al parámetro temporal y el espacio de estados Como hemos visto en los ejemplos anteriores, los elementos distintivos de un proceso estocástico son: el espacio de estados S y el parámetro temporal que se mueve en el conjunto T. El espacio de estados está formado por los valores que pueden tomar las variables aleatorias y T indica los posibles momentos de observación del sistema.

Los procesos estocásticos se pueden clasificar de acuerdo a cómo son los conjuntos S y T,

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos como veremos un poco más adelante.

Antes de ello conviene recordar que las variables aleatorias son funciones de un espacio muestral  al conjunto de números reales, así que en realidad en las variables aleatorias que forman un proceso estocástico están involucrados dos parámetros: el tiempo de observación y el elemento del espacio muestral. Para aclarar lo anterior, veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. Se hacen lanzamientos sucesivos de una moneda regular. Considérese un proceso estocástico  X n  en el que cada Xn representa el número de caras obtenidas en los primeros n lanzamientos. Entonces, X1 toma valores en {0, 1}, X2 toma valores en {0, 1, 2}, X3 toma valores en {0,1, 2, 3}, y en general, Xn toma valores en {0,1,2,…,n}.

Si fijamos el tiempo de observación n, tenemos una de las variables aleatorias que forman el proceso y podemos calcular la probabilidad de que tome uno de los valores posibles. Si en lugar de fijar un momento, observamos los valores que van tomando las distintas variables para una sucesión de lanzamientos, obtenemos una trayectoria muestral. Por ejemplo, sea  = AAASSASSSASASS… donde A representa cara y S representa cruz. Los valores que toman las primeras variables aleatorias del proceso para este elemento de , son: X1 = 1 X5 = 3

X2 = 2 X6 = 4

X3 = 3 X7 = 4

X4 = 3 X8 = 4

Esta trayectoria muestral puede representarse mediante una poligonal en el plano, de la siguiente forma:

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos 1.2.1 Procesos discretos a tiempo discreto Se dice que un proceso es discreto a tiempo discreto cuando el espacio de estados S es numerables y el espacio del parámetro temporal T es numerable, es decir, se trata de una sucesión de variables aleatorias

 X n nN

que toman valores en un conjunto S de la forma S =

{0, 1, 2, 3,…}.

El que T sea numerable obliga a que la evolución del sistema se observe en tiempos definidos de antemano, que pueden describirse mediante un periodo uniforme de tiempo (cada hora, cada día, cada semana, cada mes) o pueden estar en función de la realización de una acción (después de cada partida de un juego, después de cada lanzamiento de una moneda).

El hecho de que S sea numerable obliga a que la característica que se observe en el sistema sea algo que se pueda contar, por ejemplo, el número de personas que llegan a un servicio de urgencias médicas durante una noche, o la cantidad de llamadas que entran a un conmutador a lo largo de un día, etcétera. El proceso construido para estudiar el problema de probabilidad en la sección anterior, es un ejemplo de este tipo.

En estos procesos, la probabilidad de transición en un paso es la probabilidad de pasar a un valor de la variable aleatoria X n conociendo los valores que han tomado todas las variables anteriores, es decir:

P  X n  xn X 0  x0 , X1  x1 ,..., X n1  xn1  .

1.2.2 Procesos discretos a tiempo continuo Se dice que un proceso es discreto a tiempo continuo si su espacio de estados S es numerable y el parámetro temporal está en un conjunto T infinito no numerable, es decir, se trata de una colección de variables de la forma  X  t  con un espacio de estados discreto S = {0, 1, 2, t 0

3,…}.

En general, T es de la forma [0,∞) y esto significa que el estado del sistema puede observarse en cualquier instante de tiempo. También puede acotarse el lapso de observación haciendo T = [t1, t2].

Como en la clase de procesos anterior, el hecho de que S sea numerable obliga a que se observe una característica que se pueda contar. El proceso Poisson es un ejemplo de este tipo pues se observa la cantidad de llegadas en cualquier instante de tiempo.

En este tipo de procesos, como es imposible considerar toda la historia anterior a un tiempo t, se selecciona una colección finita de tiempos t0  t1  ...  tk y se considera la historia en esos tiempos, así que la probabilidad de transición es:

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos





P X  tk   xk X  t0   x0 , X t1   x1 ,..., X tk 1   xk 1 .

1.2.3 Procesos continuos a tiempo discreto Un proceso es continuo a tiempo discreto cuando el espacio de estados S es infinito no numerable y el conjunto T es numerable, es decir, es una sucesión de variables aleatorias

 X n nN

que toma valores en un espacio de estados de la forma S   a, b , o S  R  , o bien

S  R. En este caso, la observación se hace en tiempos definidos de antemano y la característica es algo que no se puede contar pero se puede medir, por ejemplo, al observar cada 12 horas la cantidad de gases tóxicos que emite una fábrica, se construye un proceso de este tipo.

La probabilidad de transición en un paso consiste en la probabilidad de que X n tome valores en un conjunto de Borel A, dado que las n-1 variables anteriores han tomado ciertos valores, es decir:

P  X n  A X 0  x0 , X1  x1 ,..., X n1  xn1 .

1.2.4 Procesos continuos a tiempo continuo Un proceso es continuo a tiempo continuo si su espacio de estados S es infinito no-numerable y el espacio del parámetro temporal T también es infinito no-numerable, es decir, es una colección de variables aleatorias  X  t  con un espacio de estados de la forma t 0

S   a, b , S  R o bien S  Rn .

En estos procesos, la característica que se observa en el sistema, es algo que se puede medir, y la observación se puede hacer en cualquier instante de tiempo. El movimiento Browniano es un proceso de este tipo.

La probabilidad de transición en un proceso de este estilo, se calcula eligiendo una colección finita de tiempos t0  t1  ...  tk para calcular la probabilidad condicional dada por:





P X  tk   A X  t0   x0 , X t1   x1 ,..., X tk 1   xk 1 Para algún conjunto de Borel A .

Actividad 2. Clasificación de procesos estocásticos A través de esta actividad podrás identificar el tipo de proceso estocástico al que se refiere cada una de las siguientes situaciones.

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos 1. Descarga el documento Clasificación de procesos estocásticos.

2. Analiza las situaciones que se describen y sigue las instrucciones que se indican en la actividad.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U1_A2_XXYYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, y la Y por la inicial de tu apellido y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

Actividad 3. Aplicación de los procesos estocásticos A través de esta actividad podrás representar ejemplos de aplicaciones de procesos estocásticos Instrucciones: 1. Crea un ejemplo de aplicación de procesos estocásticos de un contexto real.

2. Especifica el tipo de proceso que se usaría de acuerdo al espacio de estados y al parámetro temporal 3. Ingresa al foro para anotar tus comentarios.

4. Discute las propuestas hechas por tus compañeros asegurándote de entender cada uno de los elementos de los procesos mencionados. Refutando o aceptando sus propuestos.

5. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.

1.3 Clasificación de los procesos estocásticos de acuerdo a las características probabilísticas de las variables aleatorias Algunos de los tipos clásicos de procesos estocásticos, están determinados por diferentes relaciones de dependencia entre las variables X(t) que los forman.

Para ejemplificar cada una de las características a las que nos referiremos en la siguiente clasificación, se usará la siguiente situación: Ejemplo 5. Sea Xn el número de caras obtenidas tras el n-ésimo lanzamiento de una moneda bien balanceada. El valor que puede tomar esta variable está en el conjunto {0, 1, 2, …, n}, así que el espacio de estados del proceso { Xn } es S = {0, 1, 2, 3, …}. Se trata de un proceso

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos discreto a tiempo discreto.

Para analizar este proceso se puede considerar otra sucesión de variables aleatorias {Yn } , en la que cada variable Yn toma el valor 1 si en el n-ésimo lanzamiento sale cara y toma el valor 0 si cae en cruz. Es claro que estas variables son independientes e idénticamente distribuidas, y su distribución de probabilidad común es

P Yn  1 

1  P Yn  0  .

2

De esta manera, se tiene que cada variable del proceso original toma la forma:

X n  Y1  Y2  ...  Yn Recursivamente, escribimos la relación anterior como:

X n  X n1  Yn

1.3.1 Procesos con incrementos independientes En un proceso a tiempo continuo

 X  t  , para

tm1  tm , la diferencia X  tm   X  tm1  indica

cuánto se ha incrementado la característica que se observa en el intervalo de tiempo  tm1 , tm  .

En un proceso a tiempo discreto  X n  , ese incremento se representa por X n  X n1 .

Si los incrementos

X  t0  , X  t1   X  t0  , X  t2   X t1  ,..., X tk   X tk 1  son independientes para cualquier colección finita de tiempos t0  t1  t2 ...  tk , decimos que

 X  t  es un proceso de incrementos independientes.

Si se trata de un proceso a tiempo discreto

 X n  , diremos que es un proceso con incrementos

independientes si para cada entero positivo n se tiene que

X 0 , X1  X 0 , X 2  X1 ,..., X n  X n1 son variables aleatorias independientes.

Esto significa que lo que haya ocurrido en intervalos ajenos al que se observa en un momento dado, no afecta la probabilidad de los eventos relacionados con el proceso en ese intervalo.

En el ejemplo 5, se tiene que el incremento del número de caras tras el n-ésimo lanzamiento, es:

X n  X n1  Yn ,

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Variable que toma el valor 0 o 1 de acuerdo a cuál haya sido el resultado obtenido en la última moneda. Así que las variables aleatorias

X1 , X1  X 2 , ..., X n  X n1 Coinciden con las variables Y1 , Y2 ,..., Yn que son independientes. Por tanto, el proceso estocástico de este ejemplo, es un proceso con incrementos independientes.

1.3.2 Procesos de Markov Se trata de procesos desmemoriados en el sentido de que dado un valor de la variable X  t  , el valor de cualquier variable X  t  s  , para s > 0, no depende de los valores que hayan tomado las variables anteriores a X  t  . Es decir, si se conoce el estado presente, el comportamiento futuro del proceso no depende cuál fue la historia anterior.

Para un proceso a tiempo continuo

 X  t  ,

la propiedad de Markov establece que la

probabilidad de transición a un estado al tiempo tn, no depende de la historia de estados que hayan sido visitados en tiempos t0 < t1 < …< tn-1, sino exclusivamente del estado en que el sistema se encontraba al tiempo tn-1, es decir,







P X  tn   xn X  t0   x0 , X  t1   x1 ,..., X tn1   xn1  P X tn   xn X tn1   xn1



Un proceso de Markov en el cual las X(t) son variables aleatorias continuas, se conoce como proceso de difusión.

En un proceso a tiempo discreto forma:

X n ,

escribimos la propiedad de Markov de la siguiente

P  X n  xn X 0  x0 , X1  x1 ,..., X n1  xn1   P  X n  xn X n1  xn1 

Es natural pensar que el proceso del ejemplo 5 es de Markov porque para calcular la probabilidad de que después del n-ésimo lanzamiento se tenga un cierto número de caras, sólo se necesita saber cuántas caras se habían acumulado hasta el lanzamiento n – 1., sin importar cómo se llegó a ese número de caras.

Para verificar que el proceso de este ejemplo es de Markov, recuérdese que X n  X n1  Yn .

Por tanto,

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos P  X n  xn X 1  x1 , X 2  x2 ,..., X n 1  xn 1   P  X n  X n 1  xn  xn 1 X 1  x1 , X 2  X 1  x2  x1 ,..., X n 1  X n 2  xn 1  xn 2   P Yn  xn  xn 1 Y1  x1 , Y2  x2  x1 ,..., Yn 1  xn 1  xn 2   P Yn  xn  xn 1  por la independencia de las Y ´s  P  X n  X n 1  xn  xn 1   P  X n  xn X n 1  xn 1  .

1.3.3 Procesos estacionarios u homogéneos en el tiempo Un proceso estocástico a tiempo continuo

 X  t  es

estrictamente estacionario, si la

distribución conjunta de las variables X  t1  h  , X  t2  h  ,..., X  tk  h  es igual a la distribución conjunta de las variables X  t1  , X  t2  ,..., X  tk  para todo h > 0 y para cualquier colección finita de tiempos t1 , t2 ,..., tk .

En particular, se dice que el proceso tiene incrementos estacionarios si para s < t y h > 0, las variables X  t   X  s  y X  t  h   X  s  h  tienen la misma distribución de probabilidad, es decir, el incremento depende sólo de la longitud del intervalo de tiempo t – s.

En un proceso a tiempo discreto

 X n  , las condiciones anteriores se escriben de la siguiente

forma: a) Se trata de un proceso estrictamente estacionario si la densidad conjunta de

X1 , X 2 ,..., X n es igual a la densidad conjunta de X m1 , X m2 ,..., X mn para n y m enteros positivos. b) Se trata de un proceso con incrementos estacionarios si las variables X n  X n1 y

X nm  X n m 1 tienen la misma distribución.

Volviendo al ejemplo 5, es claro que el proceso que indica la cantidad de caras obtenidas después de cada lanzamiento sucesivo, es un proceso con incrementos estacionarios, porque

X n  X n1  Yn y

X nm  X nm1  Ynm , y las Y´s son variables aleatorias idénticamente

distribuidas.

Actividad 4. Aplicación de procesos estocásticos A través de esta actividad podrás identificar situaciones que se modelan con los distintos tipos

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos de procesos estocásticos que has estudiado mediante la discriminación de las características de estos procesos Instrucciones: 1. Descarga el documento “Act. 4Clasificación de procesos estocásticos”.

2. Analiza las situaciones que se describen y sigue las instrucciones que se indican en la actividad.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U1_A4_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a).

Autoevaluación Ahora que haz terminado de revisar la unidad, te invito a que realices la autoevaluación, para que tengas una proyección de los alcances que haz obtenido durante la unidad.

Instrucciones: Elije las palabras del banco de respuestas que correspondan a los espacios vacíos en el siguiente texto. Recuerda que algunas palabras pueden repetirse más de una ocasión La clasificación de los procesos estocásticos según el______________ y el , se subdividen en: Proceso a tiempo cuando S es numerable a T es infinito no-numerable Proceso continúo a tiempo Cuando S es y T es infinito nonumerable .

Proceso a tiempo discreto cuando S es infinito no-numerable y T es Proceso

a tiempo

cuando S es

y T es

,

.

La clasificación de los procesos estocásticos también se pueden clasificar según las características en 1. Markoviano: .

2. Estacionario: . .

3. Con incrementos independientes_____________________________________

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos

1. Espacios de estados 4.- La probabilidad de transición no depende de la historia.

2.- Continuo 5.- La distribución conjunta de X1, X2,…, Xn es igual a la de Xm+1, Xm+2 ,…,Xn+m

7.- Para t0<t1<t2, las variables X(t0), X(t1)-X(t0), X(t2) –X(t1) son independientes.

8.- Infinito ni numerable

9.- Parámetro temporal

10.-Probabilísticas

3.- Discreto 6.- numerable

Retroalimentación 1 -5 Debes revisar nuevamente el contenido, ya que tu conocimientos fueron confusos 6-12 Los conocimientos no fueron los suficientes, revisa los temas en los que haz errado 13-16 Los conocimientos fueron adquiridos eficazmente, sigue adelante

Evidencia de aprendizaje. Construcción de procesos estocásticos A través de esta actividad tendrás la capacidad de crear un proceso estocástico tomando en consideración los conocimientos obtenidos durante la unidad.

Instrucciones: 1. Descarga el documento “EA. Construcción de procesos estocásticos”.

2. Analiza, cada uno de los planteamientos que se te presentan en el documento 3. Determina el resultado de los problemas tomando en cuenta los conocimientos de procesos estocásticos.

4. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MPES_U1_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu facilitador(a), atiende sus comentarios y renvía la nueva versión de tu evidencia.

6. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

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Procesos estocásticos Unidad 1. Introducción a los procesos estocásticos Autorreflexiones Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad En esta unidad conociste los elementos de un proceso estocástico, conocimiento que reforzaste mediante algunos ejemplos, y estudiaste dos tipos de clasificaciones de los procesos estocásticos: de acuerdo a su espacio de estados y su parámetro temporal, y de acuerdo a las características numéricas de las variables aleatorias que lo componen.

Lo anterior te permitió identificar el tipo de proceso que puedes utilizar al modelar cierto tipo de situaciones.

Ahora estás en condiciones de abordar con mucha más profundidad algunos de los procesos más usados: las cadenas de Markov y el proceso Poisson, mismo que estudiarás en las unidades 2 y 3.

Para saber más En la liga http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/procesos2012.pdf encontrarás material que te será útil en todos los temas que abordaremos en esta asignatura.

Otro material que te puede ser útil para profundizar tus conocimientos sobre procesos estocásticos, es el que se encuentra en http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema2pe.pdf El video de la siguiente liga, no tiene buena calidad de imagen, pero el contenido te puede ser útil para saber más sobre procesos estocásticos: http://www.youtube.com/watch?v=O7X6OqF8dPQ

Referencias Bibliográficas    

Brzezniak Z. y Zastawniak T. (2002). Basic Stochastic Processes. A Course through Excercises. Springer undergraduated Mathematic series, London.

Karlin S. y Taylor H.M. (1981). A first course in Stochastic Processes, 2aedición. Academic Press, New York.

Lawler G.F. (1995). Introduction to stochastic processes. Chapman and Hall, New York.

Ross S.M. (1996). Stochastic Processes. J. Wiley, NewYork.

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