U1 espaciostopologicos

Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Licenciatura en matemáticas

9° cuatrimestre

Programa de la asignatura: Topología General

Unidad 1. Espacios topológicos

Clave: 050930933

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Índice Unidad 1. Espacios topológicos ......................................................................................... 4 Presentación de la Unidad ................................................................................................. 4 Propósitos de la unidad...................................................................................................... 4 Competencia específica ..................................................................................................... 4 1.1. ¿Qué es la topología? ................................................................................................. 5 1.1.1. ¿Qué estudia la topología?

5

1.1.2. ¿Para qué sirve la topología?

9

Actividad 1. Utilidad de la topología ................................................................................. 12 1.2.1. Vecindades en

13

1.2.2. Interior, exterior y frontera de un conjunto

15

1.2.3. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en

19

1.2.4. Cerradura de un conjunto

20

1.2.5. Vecindades relativas

22

Actividad 2. Topología de conjuntos ................................................................................ 25 1.3. Espacios topológicos ................................................................................................ 26 1.3.1. Bases, topologías y espacios topológicos

26

1.3.2. Ejemplos de espacios topológicos

28

1.3.3. Subespacios topológicos

29

1.4. Aplicación ................................................................................................................. 32 1.4.1. Topología digital

32

Actividad 3. El plano digital .............................................................................................. 36 Autoevaluación ................................................................................................................ 36 Evidencia de aprendizaje. Distintas topologías en un conjunto. ....................................... 37 Autorreflexiones ............................................................................................................... 37

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Cierre de la Unidad .......................................................................................................... 37 Para saber más ............................................................................................................... 38 Fuentes de consulta......................................................................................................... 38

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Unidad 1. Espacios topológicos

Presentación de la Unidad En la unidad 1 se verá qué estudia la topología, algunas aplicaciones que se le ha dado, y se abordarán los espacios topológicos, que son los objetos de estudio en topología.

Se comenzará con una breve revisión de un problema que originó esta rama de las matemáticas, conocida al principio como Analysis situs. Después se revisarán brevemente tres aplicaciones que ha tenido la topología en otras áreas de la ciencia. Al final de la unidad verás una cuarta aplicación en detalle.

Para continuar, estudiarás los conceptos básicos de la topología, como vecindades, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, frontera de un conjunto y cerradura, en el ámbito de los espacios euclidianos , que tienen la particularidad de ser los espacios topológicos más conocidos. A continuación estudiarás los espacios topológicos, que son los objetos más generales que estudia la topología. Volverás a revisar los conceptos topológicos básicos, pero esta vez en el ámbito general de los espacios topológicos.

Para terminar, verás una aplicación de la topología al procesamiento digital de imágenes. Se tratará de modelar una pantalla digital, como el monitor de una computadora, mediante el uso de un espacio topológico adecuadamente definido.

Propósitos de la unidad Al finalizar el estudio de la unidad 1 lograrás:  Identificarás los alcances de la topología y sus diversas aplicaciones.  Identificarás los conceptos básicos de la topología en el ámbito de los espacios euclidianos y también en el de los espacios topológicos generales.  Utilizarás el concepto de espacio topológico para modelar una pantalla digital.

Competencia específica Utilizar los conceptos básicos de la topología para definir espacios topológicos y distintas topologías en un mismo conjunto mediante los teoremas sobre conjuntos.

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1.1. ¿Qué es la topología?

La topología es una de las áreas más activas de las matemáticas. Se le considera una de las tres áreas principales de las matemáticas puras (junto con el análisis y el álgebra).

Recientemente, la topología ha adquirido importancia también dentro de las matemáticas aplicadas. Hay muchos matemáticos y científicos que están empleando conceptos topológicos para modelar y entender fenómenos y estructuras del mundo real. En esta primera sección de la unidad podrás darte cuenta de qué estudia la topología y para qué se está utilizando.

1.1.1. ¿Qué estudia la topología?

La topología es una rama de las matemáticas relativamente nueva. Toda su formalización y estudio sistemático se ha llevado a cabo en el siglo pasado. Los primeros teoremas importantes de topología fueron enunciados por Henri Poincaré en la primera década del siglo XX. Aunque el surgimiento de la topología suele establecerse en el siglo XVIII con el trabajo de Leonhard Euler sobre un problema famoso llamado “el problema de los puentes de Königsberg”, que pertenece a lo que actualmente se conoce como teoría de gráficas, una sub-rama de la topología. Se te explicará rápidamente en qué consiste tal problema.

En el siglo XVIII el rio Pregolya fluía a través de la ciudad de Königsberg, en Prusia (actualmente Kaliningrado, en Rusia), dividiéndola en cuatro regiones separadas. Había siete puentes que cruzaban el rio, conectando las regiones como se muestra en la Ilustración 1.

Ilustración 1. Puentes de Königsberg, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Un pasatiempo de los habitantes de la ciudad era dar paseos atravesando los puentes, y se preguntaban, ¿será posible dar un paseo atravesando cada puente una sola vez?

Curiosamente nadie encontraba una forma de hacerlo.

Euler se interesó en el problema y lo resolvió con un método nuevo. Modeló la ciudad y los puentes con lo que ahora se conoce como una gráfica (o grafo). Dibujó un punto por cada

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región y una línea por cada puente; si un puente unía dos regiones, la línea correspondiente unía los puntos correspondientes. Se veía más o menos como en la Ilustración 2:

Ilustración 2. Gráfica asociada a los puentes y regiones de Königsberg, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Usando este modelo, Euler probó que no podía darse un paseo cruzando cada puente una sola vez. El razonamiento que siguió era parecido al que sigue: Un paseo como el buscado corresponde a pasar el lápiz por encima de la gráfica de modo que se recorra cada línea una sola vez. Si se pudiera hacer esto, a los puntos intermedios (no en el que se inicia ni en el que se termina) deberían de llegar un número par de líneas. Esto es porque si se llega a un punto por una línea, se debe abandonarlo por otra (porque no se debe pasar más de una vez por ninguna línea). Entonces, en la gráfica se debería observar que a cada punto llegan un número par de líneas (con excepción de, a lo más, dos puntos: el inicial y el final). Pero en la Ilustración 3 se ve que a cada punto llegan un número impar de líneas.

Entonces no puede haber un paseo que recorra todos los puentes y que pase una sola vez por cada uno

.

Ilustración 3

Euler hizo notar que a pesar de que el problema parece geométrico, ningún cálculo o medición ayudaría a resolverlo. Este problema, y su solución, no correspondía a la geometría

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tradicional, sino que era el primero de una nueva geometría en donde lo que importa es la configuración de los objetos, sus posiciones más que sus magnitudes. Más de un siglo después, Poincaré utilizo la expresión Analysis situs (análisis de la posición) para designar a esta nueva geometría.

La topología está relacionada con la geometría. Ambas ramas de las matemáticas se interesan por estudiar las formas de los objetos. Por ejemplo, una lata de refresco. La geometría caracteriza esta lata por su altura, el radio de su base, su volumen y el área de su superficie. La topología, en cambio, ignora esas características de la lata (a fin de cuentas ya están estudiadas por la geometría) y se ocupa de la característica de la lata que hace imposible sacarle el refresco sin agujerarla.

Podría pensarse a la topología como la geometría de los objetos elásticos. En la geometría tradicional, objetos como círculos, triángulos, planos y poliedros, se presumen rígidos e indeformables, con distancias entre sus puntos y ángulos entre sus aristas o caras bien definidos. Pero para la topología los ángulos y distancias son irrelevantes. Para efectos de esta asignatura se tratará a los objetos como hechos de un material elástico y, por lo tanto, deformables. Se permitirá doblarlos, estirar, encoger, torcer y aplicar cualquier deformación que no rompa los objetos. En la Ilustración 4 se aprecian cuatro objetos que, desde el punto de vista geométrico, son muy diferentes, pero para la topología son equivalentes. Si estuvieran hechos de hule, se podría deformar cada uno para convertirlo en cualquier otro.

Ilustración 4. Para la topología estos 4 objetos son equivalentes, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Otros objetos que son iguales para la topología se muestran en la Ilustración 5. Las del primer renglón son iguales entre ellas. Las del segundo renglón también son iguales para la topología. ¿Serán iguales las del primer renglón a las del segundo?

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Ilustración 5. Las figuras de cada renglón son iguales topológicamente, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Viendo que objetos tan distintos son iguales para la topología, tal vez te preguntes si se podrán distinguir algo. La respuesta es que sí. Para la topología, un segmento de recta y un círculo no son iguales. Lo más importante es que estos dos objetos no los puede distinguir la geometría; es decir, la diferencia entre el círculo y el segmento no se puede “ver” a través de longitudes y ángulos. La diferencia entre estos objetos es que el círculo divide al plano en dos “pedazos” (dentro y fuera del círculo) y el segmento no. Esta diferencia la detecta la topología. ¿Cómo le hace la topología para ver estas diferencias? ¿Qué objetos considera iguales y cuáles distintos?

En matemáticas hay muchas formas de considerar iguales o equivalentes dos objetos. Por ejemplo, en aritmética se consideran equivalentes dos fracciones y si . En geometría, dos triángulos son congruentes si tienen sus tres ángulos iguales. Otra forma de ver que dos triángulos son congruentes es encontrar una isometría del plano (una isometría es una función que no cambia las distancias entre los puntos, como una rotación, una reflexión o una traslación) que encime un triángulo en el otro. A la topología no le interesan las distancias ni los ángulos, y permite cualquier deformación del objeto con la condición de no romperlo. La forma de modelar esto es decir que dos objetos son idénticos topológicamente si hay una transformación continua de un objeto en el otro que puede revertirse. En otras palabras, en topología se dice que el objeto A es equivalente al objeto B si hay una función continua de A a B, y tal función tiene una función inversa que también es continua. Estas funciones reciben el nombre de homeomorfismos, y en la Ilustración 5 se ven ejemplos de tales transformaciones.

Otro ejemplo aparece en la Ilustración 8.

Una transformación que no es continua es cortar una figura en dos. El inverso de cortar es pegar. Ni cortar ni pegar son homeomorfismos. En la Ilustración 6 se muestran objetos que no son equivalentes porque se obtienen uno del otro pegando o cortando.

Ilustración 6. Cortar no es homeomorfismo, pegar tampoco tomada de Kinsey, C. (1993)Topology of surfaces, New York: Springer Verlag.

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Una forma más eficiente de distinguir objetos topológicos es identificar sus propiedades topológicas. En geometría, para distinguir dos triángulos es suficiente con encontrar un ángulo en uno de ellos que sea distinto de los ángulos del otro. La medida de los ángulos es una propiedad geométrica. Una propiedad topológica es una característica que comparten todos los objetos que sean topológicamente equivalentes. Esto es, si A y B son topológicamente equivalentes, y A tiene la propiedad p, entonces B también la debe tener. Y si el objeto C no tiene la propiedad p, entonces no es equivalente a A ni a B. ¿Recuerdas cuál es la diferencia topológica que se encontró entre un segmento de recta y un círculo? Dividir al plano en dos partes, una compacta y otra no, es una propiedad topológica.

Otra propiedad topológica es la llamada conexidad, que, hablando informalmente, es la propiedad de un objeto de ser de “un solo pedazo”. Los objetos de la Ilustración 7 no pueden ser equivalentes porque uno es de un solo pedazo y el otro no.

Ilustración 7. Dos objetos distintos topológicamente, uno es conexo y el otro es disconexo, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Un objetivo importante del curso es encontrar propiedades topológicas para distinguir a los objetos topológicos. En la unidad 2 se definirá formalmente lo que es una propiedad topológica, y en la unidad 3 estudiarás una variante de la conexidad.

1.1.2. ¿Para qué sirve la topología?

Te estarás preguntando si la topología es útil en el mundo real. Piensa en esto: a veces hay situaciones en las que las propiedades que son relevantes son las que se preservan bajo deformaciones de un objeto, por lo tanto, no lo podemos tratar como objeto rígido. Tal vez la topología no pueda distinguir entre una dona y una taza de café (Ilustración 8), pero lo que sí hace la topología es identificar y usar las propiedades que tienen en común estos dos objetos.

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Ilustración 8. La topología no distingue entre una dona y una taza de café, , tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Ahora verás rápidamente algunos conceptos de la topología y el rol que juegan en algunas aplicaciones. Las aplicaciones de las que se hablará a continuación son para mostrar la utilidad de la topología y no las verás a detalle. Sin embargo, más información puede ser encontrada en las referencias que aparecen en la sección Para saber más. A lo largo del curso revisarás otras aplicaciones con más detalle.

Espacios topológicos y espacios de fenotipos. Los objetos que se estudian en topología se llaman espacios topológicos. Son conjuntos de puntos en donde una noción de proximidad se establece a través de una colección de conjuntos a los que se les llama conjuntos abiertos. La línea, el plano, el círculo, la esfera, el toro y una banda de Möbius, son ejemplos de espacios topológicos (ver Ilustración 9). En la sección 1.3 verás cómo se definen los espacios topológicos.

Ilustración 9. Ejemplos de espacios topológicos, , tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Los conceptos de genotipo y fenotipo son importantes en biología evolutiva. Cada organismo vivo es la realización física (fenotipo) de información genética heredable (genotipo). Cambios evolutivos en un fenotipo ocurren por las llamadas mutaciones, que son cambios en los correspondientes genotipos. Es interesante tener una noción de qué tan cercano está un fenotipo de otro para saber qué tan probable es que una mutación genética transforme un fenotipo en el otro. Los biólogos moleculares han establecido una noción de proximidad evolutiva construyendo un espacio topológico a partir de un conjunto de fenotipos.

Variedades y cosmología. Una n-variedad es un espacio topológico que se parece mucho (localmente) a . Las líneas, curvas o rectas, son ejemplos de 1-variedades; cerca de un punto, un círculo parece ser recto. Las 2-variedades son superficies. Un ejemplo de 2-variedad es la superficie de la Tierra; localmente parece un plano, es por eso que nos parece que la Tierra es plana; pero en realidad es una esfera. El plano y la esfera son ejemplos de 2variedades.

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Ilustración 10. Localmente una superficie y un plano parecen ser iguales, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

De manera similar a lo que pasa con la superficie de nuestro planeta, parece que el espacio en el que vivimos, el universo, es , el espacio euclidiano de dimensión 3. Pero eso es porque sólo se le puede ver localmente. Los cosmólogos intentan determinar la verdadera forma del espacio estudiando sus propiedades globales. La topología les ha construido un muestrario de todas las posibles formas que podría tener un espacio tridimensional.

Encajes, nudos y DNA. Un encaje es una función que coloca una copia de un espacio topológico dentro de otro. Un ejemplo es la función que coloca la recta real como el eje X en . En la Ilustración 11 se muestran dos encajes de un círculo en . Estos dos encajes son distintos: el círculo de la izquierda está anudado, y el de la derecha no. El estudio de los encajes de un círculo en el espacio tridimensional se llama teoría de nudos. Determinar los distintos tipos de nudos y cómo se relacionan entre ellos es un aspecto importante de esta teoría.

Ilustración 11. Dos encajes de un círculo en , tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

En la teoría de nudos hay una operación que se le puede hacer a los nudos y que es llamada cambio de cruce. En la Ilustración 12 se muestra esta operación, que consiste en cambiar un

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arco que pasa por debajo de otro para que pase encima. La teoría de nudos investiga el efecto que esta operación tiene en los nudos.

Ilustración 12. Cambio de cruce, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Se ha observado que la misma operación ocurre a nivel molecular en el núcleo de las células.

El ácido desoxirribonucleico (ADN) es una molécula muy larga hecha de millones de átomos que está empaquetado dentro del núcleo celular. Puedes imaginarlo como un hilo de pescar anudado de 200 km de longitud, metido dentro de una pelota de fútbol. Como parte esencial de los procesos que permiten la vida, la maquinaria biológica de la célula es capaz de manipular la molécula de ADN. La habilidad que tiene la célula para desanudar eficientemente el ADN es crucial para su supervivencia. Dentro de la célula hay moléculas llamadas enzimas, que son herramientas biológicas. Algunas de ellas hacen cambios de cruce en el ADN para desanudarlo.

Una enzima corta una hebra de ADN en un punto donde se cruza consigo misma, y después la pega de modo que el cruce cambia como en la Ilustración 12. Recientemente se han introducido nuevos agentes en los procesos de quimioterapia; agentes que inhiben a estas enzimas. Al no realizarse los cambios de cruces, se previene la reproducción de ADN canceroso.

Actividad 1. Utilidad de la topología En esta actividad investigarás aplicaciones de la topología y las describirás en el foro.

Instrucciones: 1. Investiga cómo puede utilizarse la topología en el mundo real.

2. Ingresa en el foro y reporta una de las aplicaciones que hayas encontrado: a) menciona qué concepto de la topología se está aplicando b) menciona en qué se aplica.

La aplicación que describas debe ser distinta a las tres que se encuentran en la sección

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1.1.2, y de preferencia distinta de las que hayan descrito tus compañeros(as) en el foro.

3. Lee las descripciones de tus compañeros(as). Comenta al menos una de ellas, señalando qué tan importante para la vida cotidiana te parece tal aplicación de la topología.

Consulta la Rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección

Material de apoyo.

1.2. Topología de Es conveniente comenzar estudiando los conceptos de la topología en una familia de espacios que ya conoces bien: los espacios euclidianos . Estos espacios son ejemplo de espacios topológicos, que son los objetos más generales que estudia la topología. Los espacios euclidianos tienen la estructura necesaria para ver un conjunto de definiciones y propiedades con la ventaja de que ya estás muy familiarizado con ellos.

1.2.1. Vecindades en El espacio euclidiano es el conjunto . Por ejemplo, o es la recta real, es el plano cartesiano ,y es el espacio tridimensional. Se usará la letra para representar a un número real, y (negrita) para representar un punto de con n>1.

Recuerda que la distancia euclidiana entre dos puntos se calcula de la siguiente forma:

y

en

Para cada se puede definir la bola de radio centrada en como el conjunto de los puntos cuya distancia a es menor que . A tal conjunto se le denota , y se define formalmente como:

Si observas bien, las bolas en son la generalización de los intervalos abiertos en . Es decir, la bola de radio en es el intervalo abierto . Formalmente, se tiene:

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Fíjate como la vecindad de a la “orilla” del intervalo.

de radio

no incluye a los puntos

ni

, o sea, no incluye

Ilustración 13. Bola de dimensión 1, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

En las bolas son discos cuyo centro es incluyen su perímetro (orilla).

y su radio es . En este caso, los discos no

Ilustración 14. Bola de dimensión 2, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

En las bolas son realmente bolas sólidas cuyo centro es y su radio es . Estas vecindades no incluyen la esfera que está en la orilla o borde de la bola.

Ilustración 15. Bola de dimensión 3, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Definición: A las bolas cualquier .

se les llamará vecindades (redondas) de

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en

para

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1.2.2. Interior, exterior y frontera de un conjunto Ahora considera un subconjunto de al que se llamará y un punto de al que se llamará . Se desea distinguir las formas en que se puede situar con respecto a .

Una primera distinción que puede hacerse es si está en o no está en . Esto divide a los puntos de en dos conjuntos, y .Recuerda que al conjunto se le conoce como complemento de , y es el formado por todos los puntos de que no están en . Esta distinción se ha estudiado ya en otros cursos.

A la topología le interesa distinguir la “posición” que tiene en relación con . Esto es, si está “dentro” de , en el “borde” de , o “fuera” de . Para lograr esto, es necesario establecer algunas definiciones y observaciones.

Definiciones. Sea 1. es punto interior de Es decir,

está en

. si existe una vecindad

de , tal que

y está completamente rodeado de puntos de .

Ilustración 16. Si un punto x es interior de un conjunto A, cuando nos acercamos lo suficiente vemos una vecindad del punto completamente metida en A, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

2.

es punto exterior de A si existe una vecindad

Es decir,

no está en

de

tal que

y está completamente rodeado de puntos que no están en .

es punto límite de A si todas las vecindades de tienen al menos un punto de A. Esto es, si es vecindad de Es decir, ha elementos de A arbitrariamente “cerca” de .

4. es punto frontera de A si todas las vecindades de tienen al menos un punto de A y al menos un punto del complemento de A. Esto es, si es vecindad de 3.

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Es decir, hay elementos de A y de 5.

es punto aislado de A si

Es decir,

está en

está en

arbitrariamente “cerca” de . y existe una vecindad V de

tal que

pero está completamente rodeado de puntos que no están en .

Ilustración 17. x es punto interior de A, y es punto exterior de A y z es punto frontera de A, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

6. El interior de

es el conjunto de puntos interiores de

y se le denota

.

7. La frontera deA es el conjunto de los puntos frontera de A y se le denota algunos textos a la frontera de A se le denota también como .

8. El exterior de

es el conjunto de puntos exteriores de

9. El conjunto de puntos límite de A se denota 10. El conjunto de puntos aislados de A se denota

y se denota

. En

.

. .

Observaciones:  Todo punto interior de A es elemento de A. En símbolos . Esto es porque x es elemento de cualquiera de sus vecindades y al estar una de ellas contenida en A, x está en A.  Todo punto exterior de A está en el complemento de A. Usando la notación: . ¿Por qué? De la definición se tiene que:  

Todo punto de es punto límite de (si está en , cualquiera de sus vecindades tiene al menos un elemento de A: el mismo ). Esto es, .

Los puntos aislados de son siempre puntos frontera de , . Intenta argumentar esto.

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 

 

 

 

Los puntos frontera son siempre puntos límite. (Esto se deduce inmediatamente de las definiciones).

Si es un punto límite de que no es punto frontera de , entonces es punto interior de . Esto es porque, al ser punto límite de , todas sus vecindades tienen puntos de .

Además, alguna de esas vecindades no tiene puntos de porque si todas tuvieran, x sería punto frontera de , pero no es. Esto quiere decir que hay una vecindad de x completamente contenida en A y, por lo tanto, x es punto interior de . Usando la notación se tiene .

Del párrafo anterior también se puede deducir que .

Fíjate que si está en , entonces x está en . Si está en , entonces está en el complemento de . Pero si está en la frontera o en los puntos límite de , entonces puede estar en o en el complemento de . . Intercambia y en la definición de punto frontera y verás que resulta la misma definición.

Un punto interior no puede ser punto frontera. Esta observación también se deduce inmediatamente de las definiciones. Si es punto interior de , entonces hay una vecindad de contenida en . Entonces es falso que toda vecindad de tenga puntos del complemento de ,y, por lo tanto, no puede ser punto frontera de . En símbolos se tiene que .

Un punto exterior tampoco puede ser punto frontera. Esto se puede argumentar igual que la observación anterior, inténtalo usando la notación: . . Esta es la más simple de las observaciones y se deduce de las dos primeras.

Ahora se pueden distinguir las formas en que se puede situar respecto a : la primera opción es que x sea punto interior de A; la segunda opción es que sea punto frontera de A; y la tercera es que sea punto exterior de A. Observa que cualquier punto en tiene que estar en una de estas tres opciones y que sólo puede estar en una de ellas. Es decir, A divide a en tres partes que son ajenas entre sí: , y .Todo este párrafo se puede resumir en la siguiente.

Afirmación. ajenos dos a dos.

. Además,

,

,y

son

En resumen, dado un subconjunto de hay tres posibilidades mutuamente excluyentes para un punto de : ser punto interior de , ser punto exterior de o ser punto frontera de  Ser punto interior de A significa, además de ser elemento de A, estar rodeado por completo de puntos de A.

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 Ser punto exterior de A significa ser elemento de por puntos de

y estar completamente rodeado

.

 Ser punto frontera de A es un poco más complejo de describir. Hay esencialmente tres formas de ser punto frontera: ser punto aislado de A, ser punto aislado de “estar en la orilla” de A (que es la misma que la “orilla” de ).

o

Nota: Es importante que tomes en cuenta las observaciones de la sección, si es necesario revísalas varias veces. Fíjate particularmente en la argumentación de cada una de ellas. Hay distintos estilos de argumentar y de escribir, pero lo importante es que lo que se dice sea verdadero y coherente con las definiciones y las observaciones hechas antes. En las actividades del curso se te pedirá que argumentes tus respuestas; se espera que te sirvan de ejemplo las argumentaciones que se hacen en el material del curso.

Ejemplos: 1. Considera el intervalo como subconjunto de . El interior de es el intervalo , la frontera de es el conjunto , y el exterior de A es el conjunto . Para comprobar esto hacemos lo siguiente:  . Sea y sea . Observa que es la más pequeña de las distancias de a la “orilla” del intervalo. La bola está contenida en porque



Entonces, . Esto implica que todo punto de es punto interior de . Sólo falta ver que son todos los puntos interiores.

Recuerda que , así que sólo hay otro candidato para ser punto interior: el 0. En el siguiente párrafo verás que el 0 es punto frontera y, por lo tanto, no puede ser punto interior. Así, se concluye que . . Sea una vecindad del de cualquier radio . En hay puntos menores que , por ejemplo, el punto , es decir, . En

también hay puntos mayores que cero y

, es

menores que uno, por ejemplo, si

, el punto

decir,

. De manera análoga, se prueba

que  Observa que

. Por lo tanto, .

. Esto se prueba como se probó lo del interior. .

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2. Considera el conjunto que se muestra en la Ilustración 18. El es la parte sombreada, sin incluir la línea punteada, la es la línea punteada, y el es todo lo demás. Observa que la frontera parece ser la “orilla” del conjunto.

Ilustración 18. Conjunto en

, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Sin embargo, la idea de la “orilla” puede ser engañosa. Esto se ve en el siguiente ejemplo.

3. Considera el conjunto . ¿Cuál es su frontera? Se afirma que . Puede parecer sorprendente que la “orilla” de un conjunto sea “más grande” que el conjunto mismo. Sin embargo, si recuerdas que los racionales están distribuidos por toda la recta y tan cerca de cualquier número real como se quiera, tal vez ya no te parezca tan sorprendente la afirmación. Formalmente se puede probar la afirmación de la siguiente manera: Sea y una vecindad de de radio . Entonces, por las propiedades de los números reales, racionales e irracionales, se sabe que , y que . (El conjunto es el de los números irracionales). Se tiene, entonces, que cualquier vecindad de intersecta a y a , y por lo tanto, es un punto frontera de . Como es cualquier número real, se puede concluir que .

Observa que si , entonces .

1.2.3. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados en Los conjuntos abiertos son muy importantes en topología. ¿Recuerdas que a la topología no le interesan las distancias? Sin embargo, sí le interesa tener una noción de cercanía para ver si un objeto se rompe o no. Los conjuntos abiertos son los que sustitu en el concepto de “cercanía” cuando no se puede o no se quiere medir en un conjunto. En la siguiente sección vas a ver que el concepto de topología depende del concepto de conjunto abierto, y en la unidad 2 se revisa cómo el concepto fundamental de la topología, la continuidad, se define en términos de conjuntos abiertos. Por lo pronto vas a estudiarlos en el contexto de .

Definición.

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1. Un conjunto 2. Un conjunto

es abierto si todo es cerrado si

en es punto interior de . es abierto.

Ejemplos: 1. Las vecindades (redondas) son conjuntos abiertos.

Ilustración 19. Las bolas son conjuntos abiertos, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

2. El interior de un conjunto siempre es abierto. Es más, el interior de abierto más grande contenido en .

es el conjunto

3. El exterior de un conjunto es un conjunto abierto.

4. La frontera de un conjunto es un conjunto cerrado.

5.

es abierto ⇔

6.

es abierto ⇔

Importante: Hay muchos conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Y hay conjuntos que son abiertos y cerrados. Por ejemplo: 

El intervalo no es abierto y tampoco es cerrado. No es abierto porque tiene como elemento al 1, que es punto frontera del conjunto (para que un conjunto sea abierto, su frontera no debe intersecarlo). El conjunto tampoco es cerrado porque su complemento es , que no es abierto porque incluye un punto frontera: el 0.

1.2.4. Cerradura de un conjunto Dado un conjunto en

, siempre se puede obtener un conjunto cerrado a partir de él.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Definición. La cerradura de

es el conjunto

Ejemplos: 1. La cerradura de un intervalo abierto , y por lo tanto,

y se denota

es el intervalo cerrado

.

porque .

2. La cerradura de la bola abierta es la bola cerrada . (Observa que el símbolo de menor fue sustituido por el de menor o igual). La razón de esto es que la frontera de la bola abierta es su “orilla”, es decir, . Se probará esto en la unidad 2 usando funciones continuas.

3. . Esto es porque .

4. En la Ilustración 20 se ve un conjunto en el recuadro de la izquierda. Consiste en la bola oscura y una parte de la circunferencia de la “orilla”. La cerradura de ese conjunto se obtiene uniéndole la parte de la frontera que le hace falta, como se ve en el segundo recuadro. En los dos siguientes recuadros están dibujados el interior y la frontera de .

Ilustración 20. El conjunto A, su cerradura, su interior y su frontera, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

¿Por qué se le llama cerradura? Resulta que para todo conjunto , su cerradura es un conjunto cerrado.

Afirmación: es un conjunto cerrado.

Prueba: Para probar que es cerrado se tiene que demostrar que su complemento es abierto. El complemento de es . Por las leyes de De Morgan para conjuntos (la penúltima igualdad es porque y ). Entonces, el complemento de es que es abierto.

Hay otras formas de describir la cerradura de un conjunto; todas son equivalentes y cualquiera sirve como definición. A continuación se presentan dos de ellas y se te recomienda que pruebes que son equivalentes a la definición anterior para practicar el uso de los conceptos que has visto hasta ahora.

Afirmación:

.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Afirmación: es el conjunto cerrado mas pequeño que contiene a , es decir, , donde es la familia de todos los conjuntos cerrados que contienen a .

Vale la pena hacer notar que la familia de conjuntos cerrados que contienen al conjunto puede ser, y en la mayoría de casos es, infinita.

1.2.5. Vecindades relativas Hasta ahora se ha hablado con cierta ambigüedad. Por ejemplo, considera el intervalo abierto . ¿Es abierto?

Si se toma como subconjunto de , o sea, .

sí es abierto porque es la vecindad con centro en

y radio

Pero si lo piensas como subconjunto de no es abierto porque ninguno de sus puntos es interior: una vecindad de alrededor de un punto de es un disco y se sale del intervalo.

2

Ilustración 21. El intervalo (0,1) es abierto relativo a R pero no es abierto relativo a R , tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

La misma recta real , que se ha dicho que es abierta y cerrada, cuando se le considera como subconjunto de no es abierta. Las definiciones que se han visto dependen del “universo” en el que se considera a los conjuntos. En esta subsección vamos a corregir esta ambigüedad tomando en cuenta en las definiciones el “universo” en el que estás trabajando.

Todas las definiciones que has visto hasta ahora dependen de la definición de vecindad. Así que, especificando el “universo” en la definición de vecindad, se puede corregir toda la ambigüedad. Esto se hace en la siguiente Definición. Sea de la forma

. Una vecindad de un punto .

relativa al conjunto

es un conjunto

Es decir, las vecindades relativas a son vecindades redondas (las que se han visto hasta ahora), pero intersecadas con . Se puede pensar que el conjunto es nuestro universo, o sea, que no existe nada más que y las vecindades tienen que estar contenidas en .

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Ejemplos: 1. Los puntos de la forma en forman una copia de contenida en , son el llamado eje . Entonces, estos puntos tienen vecindades relativas a . Tales vecindades se ven como vecindades de intersecadas con , es decir, discos abiertos intersecados con la línea real; estas intersecciones son intervalos abiertos.

2. Considera como “universo” al intervalo relativa a este universo al conjunto

. El punto

tiene como vecindad

. ¿Por qué? Porque el intervalo

intersección de la vecindad de radio con centro en 1 con el intervalo

es la , es decir,

.

Importante: observa cómo el conjunto

es una vecindad relativa aunque tiene

como elemento al punto , que parece ser frontera. Esto puede ir en contra de la idea que se tiene de las vecindades (que no deben contener a su frontera porque son abiertas), pero hay que fijarse en que el punto que parece ser frontera está en la “orilla” del universo, y por lo tanto, no cuenta como frontera.

Ilustración 22. El intervalo ( ,1] es abierto en [-1,1] aunque no lo es en

, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.(

2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

3. Ahora, si tomas un cilindro (sin las tapas) contenido en relativas al cilindro?

. ¿Cómo son las vecindades

Para un punto que esté en el cilindro pero no en la orilla del cilindro, sus vecindades relativas al cilindro son bolas de intersecadas con el cilindro. Las más pequeñas se ven como discos “doblados” levemente, como si pusieras una tortilla encima del cilindro.

Para un punto que esté en la “orilla” del cilindro, las vecindades se ven como medio disco doblado ligeramente. Este medio disco inclu e la “orilla” que tiene en común con la orilla del cilindro.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Ilustración 23. Vecindades relativas al cilindro, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Esto es suficiente para resolver la ambigüedad de la que se habló antes. Las definiciones de punto interior, exterior, frontera y límite, hacían referencia a las vecindades, no específicamente a las vecindades redondas. Entonces, se puede re-escribir todo en términos de vecindades relativas y sigue siendo válido.

Por ejemplo, las definiciones de punto interior, punto exterior y punto frontera se pueden reformular como sigue: Definiciones: Sea y .

1. es un punto interior de que

2.

es punto exterior de Es decir,

no está en

relativo a

relativo a

si existe una vecindad

si existe una vecindad

de

de

relativa a

relativa a

tal

tal que

y está completamente rodeado de puntos que no están en .

3.

es punto límite de relativo a si todas las vecindades de relativas a tienen al menos un punto de . Esto es, si es vecindad de Es decir, ha elementos de A arbitrariamente “cerca” de .

4.

es punto frontera de relativo a si todas las vecindades de relativas a tienen al menos un punto de y al menos un punto de . Esto es, si es vecindad de Es decir, hay elementos de y de arbitrariamente “cerca” de .

Importante: Estas nuevas definiciones son como las anteriores, la única diferencia es que en éstas se consideran vecindades relativas a . Observa que en este caso el conjunto juega el

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

papel que antes jugaba ; y el conjunto juega el papel que antes jugaba . Es más, se podría decir que las primeras definiciones son “relativas a ”.

Todas las definiciones, observaciones y afirmaciones que hicieron en la subsección 1.2.1 siguen siendo válidas si se “relativizan” los términos, es decir, si se re-escriben los enunciados con los correspondientes conceptos relativos. Como ejemplo de esto, a continuación se presentan los conceptos de abierto relativo y cerrado relativo.

Definiciones: Sea .

1. El conjunto es abierto relativo a si todo es punto interior de relativo a , o lo que es lo mismo, si todo tiene una vecindad relativa a tal que

2. El conjunto es cerrado relativo a , si su complemento relativo a a . Esto es, si es abierto relativo a .

es abierto relativo

Ejemplos:  El intervalo es abierto relativo a pero no es abierto relativo a . Esto es por lo que ya se ha dicho: hay vecindades relativas a alrededor de los puntos de que sí “caben” en el intervalo, pero ninguna vecindad relativa a cabe en el intervalo. Ver la Ilustración 21. 

El intervalo

es abierto relativo al intervalo

, pero no es abierto relativo

a .

Todo conjunto es abierto relativo a sí mismo. Sea y Observa que es una vecindad de relativa a que está contenida en .

Entonces, todo tiene una vecindad relativa a contenida en , y, por lo tanto, todo es punto interior de relativo a . Esto dice que es abierto relativo a .  El conjunto vacío es abierto relativo a cualquier conjunto. Esto es porque, como no tiene elementos, la definición de abierto relativo se cumple por vacuidad.  Todo conjunto es cerrado relativo a sí mismo. Sea . El complemento de relativo a es que es abierto relativo a . Por lo tanto, es cerrado relativo a .  El conjunto vacío es cerrado relativo a cualquier conjunto. Esto es porque el complemento de relativo a es , que es abierto relativo a .

Se tienen, entonces, muchos ejemplos que pueden parecer contradictorios, pero todos ellos se pueden resumir en una frase: el vacio y el total son abiertos y cerrados al mismo tiempo.  es abierto relativo a y también es cerrado relativo a .  es abierto y cerrado (relativo a . 

Actividad 2. Topología de conjuntos

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

En esta actividad analizarás algunos conjuntos para encontrar su interior, exterior y frontera.

También determinarás los conjuntos abiertos y cerrados relativos a los números enteros.

Instrucciones: 1. Descarga el documento” Act. 2. Topología de conjuntos”.

2. Resuelve los problemas que se plantean en el documento descargable.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTOPG_U1_A2_XXYZ. 4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión

1.3. Espacios topológicos En la sección anterior se trabajó con subconjuntos de . Todos los ejemplos, observaciones y afirmaciones que se hicieron dependen de la forma de medir en . ¿Recuerdas que la primera definición que se hizo fue la de distancia entre dos puntos de ? Ya se ha hecho notar que todas las definiciones de la sección 1.2 dependen del concepto de bola o vecindad redonda, y éstas están definidas utilizando la distancia entre puntos. Recordarás también que en la sección 1.1 se dijo que a la topología no le interesaban las distancias ni los ángulos. Entonces, ¿cómo deshacerte de la distancia euclidiana para estudiar topología?

En esta sección se va a definir el concepto de vecindad sin requerir de ninguna distancia, y con ello, serás capaz de comenzar el estudio de los objetos más generales de la topología: los espacios topológicos.

1.3.1. Bases, topologías y espacios topológicos Definición: Un espacio topológico es un conjunto , llamados vecindades que cumplen: 1. Todo elemento de

y una colección

de subconjuntos

está en alguna vecindad, es decir:

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

2. La intersección de cualesquiera dos vecindades de un punto contiene una vecindad del punto, es decir: A la colección de subconjuntos,

, se le llama una base para la topología de .

Definición: Sea un espacio topológico. Un subconjunto para cada existe una vecindad tal que y conjuntos abiertos es una topología para el conjunto .

es un conjunto abierto si . El conjunto de todos los

Importante:  Esta definición de conjunto abierto es esencialmente la misma que se vio en la sección 1.2.  La definición de vecindad ya no hace referencia a ninguna distancia, solo depende de dos propiedades.  Todas las definiciones de antes pueden dejarse como están y ya no dependen de la forma de medir en .  Las vecindades son abiertas por definición; de hecho, son los conjuntos abiertos básicos con los que se construyen todos los demás.  El conjunto de todos los conjuntos abiertos de , o sea, la topología de , cumple las dos propiedades que definen a las vecindades. O sea, se podría tomar a toda la topología como una base de topología. Es por esto que, en algunos textos cuando hablan de vecindades, se refieren a un conjunto abierto cualquiera.

Hay otra forma usual de definir un espacio topológico. En ella no se introduce el concepto de vecindad ni de base; se define directamente lo que es una topología de un conjunto. Esto es, se definen los conjuntos abiertos usando tres propiedades. Por supuesto, ambas definiciones son equivalentes aunque no se probará en este texto. La equivalencia se establece mediante el siguiente Teorema: Sea un espacio topológico con topología 1. y son elementos de .

y base

2. La unión de cualquier colección de elementos de 3. La intersección de dos elementos de

. Entonces:

está en .

está en .

Estas son las tres propiedades con las que a veces se define a los conjuntos abiertos de un conjunto para formar un espacio topológico. Coloquialmente, estas propiedades se enuncian como:

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

a) El total y el vacío son conjuntos abiertos (recuerda los ejemplos de abiertos y cerrados relativos). b) La unión arbitraria de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. c) La intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

Entonces, si deseas averiguar si un objeto es un espacio topológico o quieres hacer un espacio topológico a partir de un conjunto, tienes dos vías para usar a tu conveniencia. La primera es encontrar una base de topología para el conjunto, es decir, encontrar una colección de subconjuntos que cumplan las dos propiedades de base. La otra vía es encontrar una topología para el conjunto, esto es, encontrar una colección de subconjuntos que cumpla las tres propiedades de topología.

1.3.2. Ejemplos de espacios topológicos 1. . El primer ejemplo de espacio topológico ya lo has estudiado en la sección 1.2. Se trata del espacio euclidiano con la topología estándar. Es decir, este espacio topológico consiste en el conjunto , y las vecindades son las bolas abiertas . El conjunto de bolas forman una base, verificar lo cual es fácil.

Se tiene que probar dos cosas: a) que para cualquier punto de existe una bola que lo contiene. b) que si está en la intersección de dos bolas, entonces hay una bola contenida en la intersección y que contiene a .

Para probar a) sólo tienes que notar que para , la bola lo contiene para toda .

Para probar b) considera dos bolas y con intersección no vacía y . Como ambas bolas son abiertas, tales que y . Sea , entonces .

2. Espacios métricos. Recuerda que un espacio métrico es un conjunto y una función distancia definida en el producto cartesiano de consigo mismo. Igual que en el caso de , se puede definir una base de topología con las bolas abiertas alrededor de cada punto de . La bola de radio centrada en se define como , donde es la función distancia. ¡Igual que en ! Esta base genera una topología a la que se le conoce como topología inducida por la métrica. Probar que las bolas así definidas forman una base de topología es igual que para .

Habiendo visto la definición de espacio topológico, podrías preguntarte si cualquier conjunto puede ser un espacio topológico. Es decir: ¿Se puede encontrar una topología en cualquier conjunto? La respuesta es sí, en cualquier conjunto se tiene al menos las siguientes dos topologías:

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

3. Topología trivial. Sea un conjunto no vacío. Define . Observa que cumple con la definición de topología: a) y están en . Justo son los elementos de . b) La unión de elementos de está en . Esto es porque la única unión que se puede hacer con elementos de es y está en . c) La intersección de cualesquiera dos elementos de está en . Esto es porque la única intersección que se puede hacer con elementos de es y está en .

Entonces es una topología para . Sin embargo, si quitas cualquiera de los elementos de ya no tendrás una topología. Por esto, es la topología con menos elementos que se puede definir en . Esta topología recibe el nombre de topología trivial en .

4. Topología discreta. Otra forma de definir una topología en un conjunto es decir que es la colección de todos los subconjuntos de . Claramente ésta es una topología porque las uniones e intersecciones de subconjuntos de son subconjuntos de , y por lo tanto, pertenecen a . A esta topología se le llama la topología discreta y es la topología con más elementos que puedes definir en .

5. El conjunto con dos elementos. Este es en realidad cuatro ejemplos en uno. Sea el conjunto con dos elementos . Puedes encontrar todas las topologías para . Una topología es un conjunto de subconjuntos de . Como sólo tiene dos elementos, es fácil escribir todos sus subconjuntos: . Cualquier topología debe incluir al total y al vacío ¿verdad? Entonces, sólo hay cuatro posibilidades: , ,

y

, y todas cumplen con la definición de topología (sólo hay que revisar que la unión y la intersección de cualesquiera dos elementos de cada topología estén en la colección).

En la Ilustración 24 se puede ver una imagen esquemática de estas cuatro topologías.

Ilustración 24. Representación de todas las topologías que se le pueden dar a un conjunto con 2 elementos, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

1.3.3. Subespacios topológicos Si es un espacio topológico con topología , y es un subconjunto de , entonces hereda una topología de llamada la topología de subespacio. Con esa topología, es un espacio

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

topológico por sí mismo, y también se dice que es un subespacio topológico de . La siguiente definición se corresponde con la noción de conjunto abierto relativo que viste en la sección 1.2.

Definición: Sea un espacio topológico con topología , y sea un subconjunto de . Se define }. Esta es la llamada topología de subespacio en , y con esta topología a se le va a llamar subespacio de . Se dirá que es abierto en si .

Así, un conjunto es abierto en la topología de subespacio en Y si es la intersección de un conjunto abierto en con .

Por supuesto, para poder llamar topología a , se debe probar que en realidad es una topología. Es decir, se deben probar las tres propiedades que definen a una topología.

1. Primero nota que

y

son abiertos en

porque

y

.

2. Ahora hay que probar que la unión de abiertos en es abierta en . Supón que es una colección de conjuntos abiertos en . Entonces, para cada existe un conjunto abierto en tal que . Tenemos entonces,

Como es abierto en , está expresado como un conjunto abierto en intersecado con . Por lo tanto, es abierto en .

3. Por último, hay que probar que la intersección de dos conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Sean y dos conjuntos abiertos en . La definición dice que existen dos conjuntos y abiertos en , tales que y . Así, . Entonces, se tiene que es la intersección de , un conjunto abierto en , con , y por lo tanto, es abierto en .

Se ha probado que hereda a .

es una topología para

También se dice que

Igual que antes, se puede definir lo que es un conjunto cerrado en conjuntos abiertos en .

Definición: Un conjunto

es cerrado en

si

es la topología que le

en términos de los

es abierto en .

Para practicar, puedes probar la siguiente Afirmación: Sea un espacio topológico, y sea . Un conjunto sólo si , donde es un conjunto cerrado en .

es cerrado en

si y

Ahora mira algunos ejemplos de subespacios topológicos.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Ejemplos: 1. Considera como subconjunto de con la topología estándar. La topología de subespacio de consiste en los conjuntos abiertos en intersecados con . Por ejemplo, conjuntos de la forma , donde , son abiertos en la topología de subespacio de (y también son abiertos en ). Además, para , los conjuntos y son abiertos en , aunque no lo son en . Ver la Ilustración 25.

La topología de subespacio en [0,1]

Ilustración 25. La topología de subespacio en [0,1], tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

2. Observa cómo es la topología de subespacio que heredan los números enteros de la topología de los números reales . Los intervalos abiertos son abiertos en , y para cada entero

el intervalo

no contiene enteros distintos de . Entonces

es un conjunto abierto en

. Esto dice que cualquier

subconjunto de es abierto en , dado que . Observa que esta topología heredada corresponde a la topología discreta para . Mira la Ilustración 26.

Ilustración 26. La topología que hereda de , tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

3. Considera un círculo . La topología que hereda de se obtiene intersecando discos abiertos en con el círculo . Los abiertos en se ven como “intervalos curvos” corresponden a los puntos que se encuentran entre dos ángulos en el círculo.

Observa la Ilustración 27.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Ilustración 27. Conjuntos abiertos en el círculo, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

4. Ahora considera una superficie . La colección de “parches” abiertos que se obtienen intersecando bolas abiertas en con , forman una base para la topología que le hereda a . Mira la Ilustración 28.

Ilustración 28. Abiertos en una superficie , tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

1.4. Aplicación En esta sección se discutirá una aplicación de los espacios topológicos: cómo modelar una pantalla digital usando espacios topológicos. Esta aplicación está inscrita en el campo de la topología digital. Al final de la sección se espera que puedas definir un espacio topológico que capture las relaciones que hay entre los pixeles de una pantalla digital (como un monitor de computadora o una televisión). La idea es que encuentres una topología para el conjunto a partir de un ejemplo que verás con detenimiento: la línea digital.

1.4.1. Topología digital

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

La topología digital es el estudio de las relaciones topológicas que hay en una pantalla digital (como un monitor de computadora, una televisión o una pantalla de cristal líquido de un reloj).

Se inscribe en el campo del procesamiento digital de imágenes.

Una pantalla digital consiste en un arreglo rectangular de pixeles como el que se muestra en la Ilustración 29. En la topología digital este arreglo de pixeles se modela con lo que se conoce como plano digital. El objetivo de esta sección es que tú definas el plano digital utilizando el concepto de espacio topológico.

Ilustración 29. Una pantalla digital es un arreglo rectangular de pixeles, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Una tarea importante en el procesamiento digital de imágenes es determinar características de un objeto a partir de una imagen digital del mismo. Por ejemplo, un reconocedor de texto lee una imagen digital de la página de un libro e intenta reconocer las letras. Las propiedades topológicas de las letras ayudan a su reconocimiento. En la Ilustración 30 puedes ver que la imagen digital de la letra B encierra dos regiones. Esta característica ayuda a distinguirla de cualquier otra letra y sólo podría ser confundida con el número 8.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Ilustración 30. Una imagen digital de la letra B, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

A continuación se va a construir un espacio topológico llamado la línea digital con la intención de que observes cómo se puede modelar un renglón de una pantalla, y después se te pedirá que construyas el modelo para el plano digital.

La línea digital se corresponde con una pantalla digital de un solo renglón. Para modelarla, vas a utilizar los números enteros con una topología adecuada. Hay dos cosas importantes que se tienen que considerar en el modelo: 1. Los pixeles.

2. La adyacencia entre los pixeles, es decir, qué pixeles están juntos. Si no modelas la adyacencia, sólo tendrías una colección infinita de pixeles sueltos, sin orden.

Puedes representar la línea infinita de pixeles asignándole a cada pixel un número entero impar. Por cada entero impar , tendrás un elemento de la base . Como consecuencia de esto, cada pixel individual será un conjunto abierto en la topología de la línea digital.

Para representar la adyacencia entre pixeles consecutivos vas a utilizar a los números enteros pares. Hay un número par entre cualesquiera impares consecutivos. Representa la frontera común entre dos pixeles consecutivos con el número impar que está entre ellos. Para esto, por cada número par tendrás un elemento de la base .

De esta forma, la línea digital es el espacio topológico que consiste en el conjunto de números enteros y la topología generada por la siguiente base: Para cada , se define:

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

La colección es la base de la que se habla. En laIlustración 31 se muestran algunos elementos de esta base.

Ilustración 31. Elementos de la base de la línea digital, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

En la línea digital cada entero impar es un conjunto abierto, y cada entero par es un conjunto cerrado. Este espacio se ve como un conjunto de pixeles abiertos (los enteros impares) y un conjunto de fronteras entre cada par de pixeles consecutivos (los enteros pares). Ver la Ilustración 32.

Ilustración 32. La línea digital modela un renglón de pixeles y las fronteras entre ellos, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Ahora hay que modelar el plano digital. Como con la línea digital, la idea es representar el arreglo de pixeles rectangular con un arreglo de “puntos abiertos”, un punto por cada pixel, otros puntos que representen las adyacencias entre los pixeles. Como conjunto se puede usar el producto cartesiano de dos copias de los números enteros: . El problema se reduce a definir una topología en que se corresponda con la estructura de pixeles y adyacencias de la pantalla.

Como has visto, para definir una topología en un conjunto basta con decir cuáles subconjuntos forman una base. Entonces, para modelar el plano digital, debes definir una base de la topología adecuada. Los subconjuntos que forman la base deben representar satisfactoriamente las siguientes características de una pantalla digital: a. Debe haber puntos que representen a los pixeles. Estos puntos deben formar cada uno un conjunto abierto (como en el caso de la línea digital). b. Debe haber puntos que representen las fronteras verticales y horizontales. Para estos puntos debes definir cuál es el elemento de la base que les corresponde.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

c. Debe haber puntos que representen a los vértices o esquinas, donde convergen cuatro pixeles. Estos puntos deben ser cerrados.

Mira la Ilustración 33 para que tengas una mejor idea de lo que se pide. En la actividad 3 tienes que encontrar una base de topología para de modo que el espacio topológico resultante sea el plano digital.

Ilustración 33. El plano digital modela un arreglo de pixeles y las fronteras entre ellos, tomada del libro Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology, India: Pearson Prentice Hall.

Actividad 3. El plano digital En esta actividad utilizarás el concepto de espacio topológico para modelar una pantalla digital.

Instrucciones: 1. Descarga el documento Act.3. El plano digital.

2. Sigue las instrucciones del documento descargable para modelar el plano digital.

3. Guarda y envía tu documento con la nomenclatura MTOPG_U1_A3_XXYZ. 4. Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). * Recuerda consultar la Escala de evaluación de la actividad para saber qué aspectos se tomarán en cuenta para su revisión

Autoevaluación Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

Ingresa al Aula virtual para realizar tu actividad.

Evidencia de aprendizaje. Distintas topologías en un conjunto.

En esta actividad usarás las propiedades que definen a una topología para dotar con dos diferentes topologías al conjunto de números reales . Además, podrás distinguirlas usando sus conjuntos abiertos.

Instrucciones: 1. Descarga el archivo “EA. Distintas topologías en un conjunto”.

2. Sigue las instrucciones que se detallan en el documento descargable.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MTOPG_U1_EA_XXYZ. 4. Envía tu reporte al Portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones Al finalizar, consulta el foro Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la Unidad Has terminado la Unidad 1. En esta primera parte del curso estudiaste qué es la topología y para qué se usa. También, y primordialmente, estudiaste los espacios topológicos.

Muchas áreas de las matemáticas podrían describirse en términos de los objetos que estudian, las funciones que se definen en esos objetos y las propiedades que se preservan bajo la aplicación de tales funciones. En el caso de la topología, los objetos que se estudian son los espacios topológicos. Estos son la base para que, en las siguientes unidades, estudies las

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Topología general Unidad 1.Espacios topológicos

funciones de la topología (funciones continuas) y dos propiedades que preservan las funciones continuas: la conexidad y la compacidad de un espacio topológico.

Uno de los conceptos que revisaste fue el de conjunto abierto. Este concepto está íntimamente ligado con la idea de continuidad de una función que revisarás en la Unidad 2. También revisaste los conjuntos cerrados, la frontera, interior y cerradura de un conjunto. Todas estas partes de un conjunto son preservadas con las funciones continuas, por lo que es necesario estar familiarizado con estos conceptos para abordar los temas de la siguiente unidad.

Al final de la unidad revisaste detenidamente una aplicación de la topología y tuviste la oportunidad de usar el concepto de espacio topológico para modelar tú mismo una pantalla digital.

Recuerda consultar con tu Facilitador(a) si tienes dudas. La autoevaluación de la unidad te servirá para darte cuenta si has comprendido o no los conceptos más importantes de la misma.

Para saber más Puedes encontrar algunos juegos topológicos en la página web de Jeff Weeks: http://www.geometrygames.org/ Puedes consultar las notas de topología básica escritas por A. Hatcher en la página:http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Top/TopNotes.pdf Puedes consultar el libro de análisis de Carlos Ivorra, cuyos dos primeros capítulos son sobre topología, en: http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Analisis.pdf Un artículo sobre robótica topológica se encuentra disponible en:http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_docman&task=doc_downloa d&gid=560&Itemid=75.

Fuentes de consulta     

Adams, C., Franzosa, R.( 2009) Introduction to topology. India: Pearson Prentice Hall.

Kinsey, C. (1993). Topology of surfaces. New York: Springer Verlag.

Munkres, J. R. (2002) Topología. Madrid: Pearson Educación.

García-Maynez, A., Tamariz, A. (1998) Topología General. México: Porrúa.

Prieto, C., (2003). Topología Básica. México: Fondo de Cultura Económica.

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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