Temas selectos estimacion minimos cuadrados

Temas Selectos de Matemáticas. "Ajuste de curvas via mínimos cuadrados" Act. Rafael Marín Salguero Versión 1.0 16 / Mayo / 2013

Contenido I

Temas Selectos de Matemáticas

3

1 Conceptos Básicos 1.1 Teoría de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 De…nición de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . .

1.1.3 Transformaciones de renglones de matrices . . . . .

1.1.4 Forma escalonada de una matriz . . . . . . . . . . .

1.1.5 Guía para hallar la forma escalonada de una matriz 1.1.6 Guía para encontrar la inversa de una matriz . . . .

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4 4 4 4 7 8 8 9

2 Ajuste de curvas 2.1 Ajuste lineal y = a + bx . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1 Ajuste lineal vía mínimos cuadrados . . . .

2.2 Ajuste cuadrático y = a + bx + cx2 . . . . . . . . .

2.2.1 Ajuste cuadrático vía mínimos cuadrados . .

2.3 Ajuste polinomial y = a0 + a1 x + a2 x2 + + ak x k 2.3.1 Ajuste polinomial vía mínimos cuadrados . .

2.4 Ajuste potencial y = AxM . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Ajuste exponencial y = AeBx . . . . . . . . . . . . .

2.6 Ajuste logarítmico y = a + b ln x . . . . . . . . . . .

2.7 Ajuste potencial general y = AxB . . . . . . . . . .

2.8 Cambios de variable para linealizar los datos . . . .

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10 11 12 13 14 15 16 17 17 18 19 21

1

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Prefacio Estas notas surgieron de la necesidad de tener un compendio de resultados a los que se pueden acceder de una manera rápida y concreta. Estas notas han sido utilizadas a lo largo de varios años de experiencia docente en un nivel preuniversitario, con la …nalidad de que los estudiantes cuenten con los elementos básicos fundamentales de cada tema que se ve en este ciclo pero sin tener la complejidad de un libro más avanzado en matemáticas. También la idea principal es tener los resultados con un contexto visual y geométrico, ya que así, en mi experiencia personal, los estudiantes pueden entender de una manera más intuitiva los conceptos y resultados generales.

En una época donde el conocimiento se está convirtiendo en una cuestión mercantil, y que para acceder a éste a veces se necesita gastar muchos recursos económicos, he realizado estas notas manteniendo el espiritu del acceso libre a la información, por lo que se podrá distribuir estas notas libremente sin ánimo de lucro, ya que de esta manera yo también contribuyo un poco en la divulgación de las matemáticas. Los resultados aquí expuestos no son nada nuevos, han sido compilados de varias fuentes bibliográ…cas, además que he agregado algunas cosas de mi parte, gracias a la experiencia que he tenido en estos años impartiendo cada una de las diferentes asignaturas que hay en el plan de estudios.

Quiero agradecer de manera sincera a todos mis amigos y familiares que han estado conmigo apoyando de manera inconsciente en la realización de estas notas, si no hubiera sido por ustedes esta idea que tuve hace varios años jamás se habría concretado. Gracias de corazón a todos ustedes por compartir su amistad y cariño conmigo, siempre han estado conmigo en los buenos y malos momentos, y espero no defraudar esa con…anza.

Los contenidos de estas notas se irán mejorando con el paso del tiempo, trataré en un futuro seguir agregando conceptos y/o diagramas que ejempli…quen mejor lo que se está explicando.

También quiero agradecer a todos los estudiantes que han tenido la suerte (o mala suerte, dependiendo de cada quién) los momentos que hemos compartido en clase, ya que gracias a ustedes muchos de los contenidos de estas notas se han mejorado sustancialmente. Espero que sigan con ese entusiasmo y no dejen de luchar por lo que deseen. Si alguien encuentra útil estas notas y quisiera aportar comentarios, sugerencias y/o material, me puede mandar un correo a la dirección ramasaiems@gmail.com y con gusto leeré los comentarios y, en caso de sugerencia para incluir nuevo material, se actualizará los contenidos. La mayoría de los dibujos e ilustraciones se hicieron con el paquete de cómputo GeoGebra, que es un software de acceso libre, ya que permite el fácil manejo de expresiones algebraicas además de representar grá…camente todo tipo de funciones.

A continuación se muestra una lista de los profesores que atentamente han ayudado a mejorar la calidad de estas notas, siendo comentarios, observaciones y/o sugerencias: Ramón de la Rosa Castro 2

Parte I Temas Selectos de Matemรกticas

3

Capítulo 1 Conceptos Básicos 1.1

Teoría de Matrices

1.1.1

De…nición de matriz

Sean m y n enteros positivos. Una matriz A de m n es una matriz de la siguiente forma, donde cada ai;j representa un número real que se encuentra en la posición del i ésimo renglón y la j ésima columna 2 3 a1;1 a1;2 a1;3 a1;n 6 a2;1 a2;2 a2;3 a2;n 7 6 7 6 a3;1 a3;2 a3;3 a3;n 7 A=6 7 6 .. .. .. .. 7 . .

4 . . . . . 5 am;1 am;2 am;3 am;n

La notación m n de la de…nición se lee "m por n". A menudo decimos que la matriz es m n y a esta expresión la llamamos tamaño de la matriz. Es posible considerar matrices en que los símbolos ai;j representan números complejos, polinomios u otros objetos matemáticos. Los renglones y columnas de una matriz se de…nen como antes; por lo tanto, la matriz de la de…nición tiene m renglones y n columnas. Si m = n, la matriz es una matriz cuadrada de orden n y los elementos a1;1 ; a2;2 ; a3;3 ; ::::; an;n son los elementos de la diagonal principal.

1.1.2

Operaciones con matrices

Igualdad de matrices Se dice que dos matrices A y B son iguales (A = B) si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales. Lo anterior implica, por supuesto, que ambas matrices son de la misma dimensión.

Por consiguiente, si ai;j son los elementos de A y bi;j son los elementos de B; entonces A = B si y sólo si ai;j = bi;j para toda i y toda j: Adición y sustracción de matrices Para que dos matrices puedan sumarse, deben tener la misma dimensión; si tienen diferente dimensión, la adición se declara inde…nida. Para sumar la matriz A a la matriz B; se suman los

4

elementos en cada posición correspondiente. Por consiguiente, si C = A + B; entonces ci;j = ai;j + bi;j 8 i y j La adición de matrices cumple la ley conmutativa A+B=B+A y la ley distributiva A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C complementariamente, la sustracción de matrices se de…ne si D = A

B como

bi;j 8 i y j

di;j = ai;j Multiplicación de matrices

Dos matrices, A y B pueden multiplicarse si y sólo si éstas son compatibles; es decir, si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B: Por consiguiente, si A es una matriz de dimensión m n y B es una matriz de dimensión p q; entonces el producto AB puede llevarse a cabo si y sólo si n = p: Cuando las dos matrices son compatibles, la multiplicación produce una matriz C de dimensión m q; esto es, la matriz C y la matriz A tienen el mismo número de renglones y la matriz C y la matriz B tienen el mismo número de columnas.

Generalizando, cada elemento de C está dado por

ci;j =

n X

ai;k bk;j

k=1

= (i

     

Ci , j

ésimo renglón de A) (j

   A  =  i ,1      

Ai ,2

5

ésima columna de B)

  L Ai , p      

B1, j B2, j M Bp, j

     

A continuación se muestran las 3 posibles formas en las que podemos multiplicar 2 matrices: (1) Cada elemento de AB es el producto de un renglón y de una columna (AB)i;j = ( renglón i de A ) multiplicado por ( columna j de B ) (2) Cada columna de AB es el producto de una matriz y de una columna ( columna j de AB ) = A multiplicado por ( columna j de B ) (3) Cada renglón de AB es el producto de un renglón y de una matriz ( renglón i de AB ) = ( renglón i de A ) multiplicado por B Cuando las matrices son compatibles, la multiplicación de matrices satisface la ley asociativa: (AB)C = A(BC) = ABC y además satisface la ley distributiva A(B + C) = AB + AC pero generalmente no satisface la ley conmutativa; esto es AB 6= BA Matriz transpuesta La transpuesta de una matriz rectangular A 2 Rn por

m

, que se denota por AT 2 Rm

n

; está de…nida

aTi;j = aj;i 8 i; j Lo que nos dice que es la matriz transpuesta permuta renglones por columnas, es decir, el primer renglón de la matriz A es la primera columna de la matriz AT y así sucesivamente.

2 3 a1;1 a2;1 a1;1 a1;2 a1;3 =) AT = 4 a1;2 a2;2 5 A= a2;1 a2;2 a2;3 a1;3 a2;3 Matriz Inversa Si para una matriz cuadrada A existe otra matriz cuadrada B; tal que AB = BA = I (matriz identidad) entonces se dice que B es la matriz inversa de A y viceversa, y se denota por A 1 : La inversa de una matriz trabaja como si fuera el inverso multiplicativo de una matriz, y esto se puede apreciar al querer resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Si Ax = b =) x = A 1 b

6

esto para matrices A 2 Rn n : En cursos más avanzados se ven las condiciones que debe cumplir la matriz A para que su inversa exista, ya que no todas las matrices tienen inversa, a las cuáles se les conoce como matrices singulares. Algunas de las propiedades de la matriz inversa cuando esta existe se muestran a continuación: 1

(1) (A 1 ) = A (2) (AB) 1 = B 1 A 1 1 T (3) (A 1 ) = AT

1.1.3

Transformaciones de renglones de matrices

Una aplicación importante de las matrices es la representación simbólica y la solución de problemas susceptibles de reducirse a un sistema de ecuaciones lineales. El uso de matrices y vectores permite expresar al problema en forma concisa y además, facilita el proceso operativo de resolución.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales a1;1 x1 + a1;2 x2 + a2;1 x1 + a2;2 x2 +

+ a1;n xn = b1 + a2;n xn = b2 .. . + am;n xn = bm

am;1 x1 + am;2 x2 + si además se de…nen 2 a1;1 6 a2;1 6 6 A = 6 a3;1 6 ..

4 . am;1

las matrices a1;2 a2;2 a3;2 .. .

a1;3 a2;3 a3;3 .. .

am;2 am;3

..

.

a1;n a2;n a3;n .. . am;n

3

7 7 7 7; 7 5

2

6 6 6 x=6 6 4

x1 x2 x3 .. . xn

2

3

6 6 6 b=6 6 4

7 7 7 7, 7 5

el sistema de ecuaciones también se puede representar en forma simple como

b1 b2 b3 .. . bm

3 7 7 7 7 7 5

Ax = b donde A = x = b =

matriz de coe…cientes (m n) vector de variables (n 1) vector de constante (m 1)

Otra forma equivalente de representar al sistema forma aumentada y tiene la siguiente estructura 2 a1;1 a1;2 a1;3 6 a2;1 a2;2 a2;3 6 6 a3;1 a3;2 a3;3 6 6 .. .. .. ...

4 . . . am;1 am;2 am;3 7

de ecuaciones lineales se le conoce como la a1;n a2;n a3;n .. .

b1 b2 b3 .. .

am;n

bm

3 7 7 7 7 7 5

o en términos matriciales quedaría de la siguiente forma [A j b] : Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si: 1. Se intercambian dos renglones.

2. Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.

3. Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.

Usaremos los símbolos de la próxima tabla para denotar transformaciones elementales de renglón de una matriz, donde la ‡echa ! se lee "sustituye"; por lo tanto, para la transformación kRi ! Ri el múltiplo constante kRi sustituye a Ri : Símbolo Ri

! Rj

kRi ! Ri kRi + Rj ! Rj

1.1.4

Signi…cado Intercambiar renglones i y j

Multiplicar renglón i por k

Sumar k veces el renglón i al j

Forma escalonada de una matriz

1. El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.

2. La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.

3. Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

Ejemplos de matrices escalonadas son las siguientes 2 1 a1;2 a1;3 a1;4 a1;5 a1;6 6 0 1 a2;3 a2;4 a2;5 a2;6 2 3 6 1 a1;2 a1;3 a1;4 6 0 0 0 1 a3;5 a3;6 6 4 0 1 a2;3 a2;4 5 6 0 0 0 0 0 1 6 0 0 1 a3;4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.1.5

a1;7 a2;7 a3;7 a4;7 0 0

3 7 7 7 7 7 7 5

Guía para hallar la forma escalonada de una matriz

Los siguientes pasos sirven para hallar formas escalonadas.

1. Localiza la primera columna que contenga elementos diferentes de cero y aplica transformaciones elementales de renglón, a …n de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.

8

2. Aplica transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj ! Rj para j > 1 y obtén 0 bajo el número 1 obtenido en la guía 1, en cada uno de los renglones restantes.

3. Haz caso omiso del primer renglón. Localiza la columna próxima que contenga elementos diferentes de cero y aplica transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.

4. Aplica transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj ! Rj para j > 2 y obtén 0 bajo el número 1 obtenido en la guía 3, en cada uno de los renglones restantes.

5. Haz caso omiso del primer y segundo renglón. Localiza la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repite el procedimiento.

6. Continua el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

1.1.6

Guía para encontrar la inversa de una matriz

Recordemos que una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I; donde I es la matriz identidad que tiene 1’s en la diagonal y 0 en las demás entradas. Entonces a B se llama inversa de A y se denota por A 1 : Para matrices (a diferencia de los números reales), el símbolo 1=A no representa la inversa A 1 : Si A es invertible, podemos calcular A 1 mediante operaciones elementales de renglones. Si A = (ai;j ) es de dimensión n n, comenzamos con la matriz aumentada de n 2n formada en unir 3 2 1 0 0 a1;1 a1;2 a1;n 6 a2;1 a2;2 a2;n 0 1 0 7 7 6 6 .. .. .. .. .. . . .. 7 ...

4 . . . . . . . 5 0 0 1 an;1 an;2 an;n Luego, aplicamos una sucesión de transformaciones elementales de renglón, siguiendo los pasos de la guía anterior, para hallar formas escalonadas reducidas, hasta que llegamos a una matriz de la forma 2 3 1 0 0 b1;1 b1;2 b1;n 6 0 1 b2;1 b2;2 b2;n 7 0 6 7 6 .. .. . . .. .. . .. 7 ..

4 . . . .. . . . . 5 0 0 1 bn;1 bn;2 bn;n

en que la matriz identidad I aparece a la izquierda de la línea vertical. Se puede demostrar que la matriz resultante B es la inversa de A; esto es, B = A 1

9

Capítulo 2 Ajuste de curvas En la ciencia y la ingeniería se da, a menudo, el caso de que un experimento produce un conjunto de datos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ), siendo los valores fxk g distintas entre sí. Uno de los objetivos es poder encontrar una fórmula y = f (x) que relacione a las variables. Normalmente se dispone de una clase de fórmulas previamente establecidas, y lo que hay que hallar son los valores más adecuados de unos coe…cientes o de unos parámetros para estas fórmulas. Aunque hay muchos tipos de funciones que podemos usar, suele ocurrir que existe un modelo matemático subyacente, basado en la situación física que se esté estudiando, que determina la forma de la función salvo algunos coe…cientes. Algunos experimentos se llevan a cabo con una maquinaria especializada que permite obtener los datos con varias cifras signi…cativas de precisión; sin embargo, muchos experimentos se realizan con un equipamiento que proporciona los datos con una precisión de, como mucho, dos o tres cifras signi…cativas. A esto se añade, a menudo, un cierto error experimental en las mediciones de forma que, aunque se calculen tres o cuatro cifras de los valores fxk g y fyk g ; sucede que el valor exacto f (xk ) veri…ca f (xk ) = yk + ek donde ek es el error de medición. ¿Cómo encontramos la mejor aproximación que pase cerca (no por encima de cada uno) de los puntos? Para responder esta pregunta, hay que considerar los errores (también llamados desviaciones o residuos) ek = f (xk )

yk para 1

k

n

f ( x)

Valores observados Valores estimados Error

x Hay varias operaciones (o comúnmente llamadas normas) que podemos usar con los residuos 10

para medir la distancia entre la curva y = f (x) y los datos.

E1 (f ) = max fjf (xk )

Error Máximo

1 k n

1X E1 (f ) = jf (xk ) n k=1

yk jg

n

Error Medio

v u X u1 n Error Cuadrático Medio E2 (f ) = t jf (xk ) n k=1

yk j

yk j2

Como no podemos hacer que todos los errores sean cero, ni podemos hacer que cada uno sea lo más pequeño posible, haríamos una combinación razonable de ellos tan pequeña como sea posible.

Una posibilidad es minimizar la suma de los errores. Sucede que esto es difícil, sobre todo porque las distancias se miden usando valores absolutos. Lo que técnicamente es más fácil, es manejar la suma de los cuadrados de los errores, es decir R2 =

P

f (xk ; a1 ; a2 ; :::; am )]2

[yk

donde cada aj es un parámetro que deseamos estimar. Entonces lo que queremos resolver es el siguiente problema min R2

a1 ;:::;am

es decir, queremos encontrar los parámetros que hagan que la suma de los cuadrados de los errores sea mínima. La condición para R2 para que sea un mínimo es que @ (R2 ) = 0 para i = 1; :::; m @ai que en términos generales es un sistema de ecuaciones no lineales con m restricciones.

2.1

Ajuste lineal y = a + bx

Supongamos que queremos ajustar nuestra pareja de datos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) a una recta, que tiene como función f (a; b) = a + bx entonces nuestra función R2 está dada por 2

R =

n X

yi

k=1

11

(a + bxi )2

y los valores a,b que minimizan a R2 están dados por n P

y

i=1

a=

x2i

i=1

b=

xi yi

i=1

n P

n P

n P

x x2i

nx2

xi yi

i=1 n P

i=1

x2i

nxy nx2

donde x y y son los promedios de los valores fxk g y fyk g respectivamente. Podemos realizar los cálculos si acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo. k

x

y

x2

xy

1

x1

y1

x21

x1 y1

2

x2

y2

x22

x2 y2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

x23 .. .

x3 y3 .. .

n

xn

yn

x2n

xn yn

x=

2.1.1

P

xi n

y=

P

yi n

P

x2i

Ajuste lineal vía mínimos cuadrados

P

xi yi

Una forma matricial de ver estos resultados es el siguiente (además es más fácil de recordar) es plantear estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales. Al querer ajustar la curva y = a + bx a una serie de parejas de coordenadas (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) queda inicialmente el sistema de más ecuaciones que variables y1 = a + bx1 y2 = a + bx2 .. . yn = a + bxn y con ello matricialmente se puede escribir como 2 3 2 y1 1 x1 6 y2 7 6 1 x2 6 7 6 6 .. 7 = 6 .. ..

4 . 5 4 . . yn 1 xn 12

3 7 7 7 5

a b

que en forma compacta (matricial) la podemos poner como y = Xm donde y es el vector columna de los valores de la variable dependiente, X es la matriz de n 2 de datos y m es el vector columna de incógnitas. Inicialmente este sistema de ecuaciones no se podría resolver debido a que hay más ecuaciones que variables, pero en la teoría matemática hay una forma de encontrar "la mejor solución" (la que genera el menor error cuadrático). Se multiplica los dos lados de la ecuación por la transpuesta de la matriz de datos XT para obtener XT y = XT Xm y con esta "pequeña" modi…cación se construye un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables. En general la matriz XT X tiene inversa, por lo que se obtiene la solución por mínimos cuadrados dada por 1

m ^ M C = (XT X) XT y

2.2

Ajuste cuadrático y = a + bx + cx2

Supongamos que queremos ajustar nuestra pareja de datos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) a una parábola, que tiene como función f (a; b; c) = a + bx + cx2 entonces nuestra función R2 está dada por R2 =

n X

(a + bxi + cx2i )2

yi

k=1

los valores a; b; c que minimizan a R2 deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones lineales ! ! n n n X X X 2 = an + b xi + c xi yi a a

n X

i=1 n X

xi x2i

i=1

!

!

+b +b

i=1 n X

i=1 n X i=1

x2i x3i

!

!

+c +c

i=1 n X

i=1 n X i=1

x3i x4i

!

!

= =

i=1 n X

i=1 n X

xi yi x2i yi

i=1

o en términos matriciales Xa = y quedaría como 2 4

Pn n

Pni=1 x2i i=1 xi

3 Pn Pn 2 3 2 3 2 Pn x x a y i i Pni=1 2 Pni=1 3i Pni=1 54 b 5 = 4 5 x x i i i=1 i=1 Pn 3 Pn 4 Pni=1 x2i yi c i=1 xi i=1 xi i=1 xi yi 13

Los coe…cientes de la matriz los podemos encontrar si acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo.

2.2.1

k

x

y

x2

x3

x4

xy

x2 y

1

x1

y1

x21

x31

x41

x1 y1

x21 y1

2

x2

y2

x22

x32

x42

x2 y2

x22 y2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

x23 .. .

x33 .. .

x43 .. .

x3 y3 .. .

x23 y3 .. .

n

xn

yn

x2n

x3n

x4n

xn yn

x2n yn

P

xi

P

yi

P

x2i

P

x3i

P

x4i

P

xi yi

Ajuste cuadrático vía mínimos cuadrados

P

x2i yi

Una forma matricial de ver estos resultados es el siguiente (además es más fácil de recordar) es plantear estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales. Al querer ajustar una parábola y = a + bx + cx2 a una serie de parejas de coordenadas (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) queda inicialmente el sistema de más ecuaciones que variables y1 = a + bx1 + cx21 y2 = a + bx2 + cx22 .. . yn = a + bxn + cx2n y con ello matricialmente se puede escribir como 3 2 3 2 1 x1 x21 2 3 y1 6 y2 7 6 1 x2 x2 7 a 2 7 6 7 6 74 b 5 6 .. 7 = 6 .. ..

5 4 . 5 4 . . c 2 1 xn xn yn

que en forma compacta (matricial) la podemos poner como y = Xm

donde y es el vector columna de los valores de la variable dependiente, X es la matriz de n 3 de datos y m es el vector columna de incógnitas. Inicialmente este sistema de ecuaciones no se podría resolver debido a que hay más ecuaciones que variables, pero en la teoría matemática hay una forma de encontrar "la mejor solución" (la que genera el menor error cuadrático). Se multiplica los dos lados de la ecuación por la transpuesta de la matriz de datos XT para obtener XT y = XT Xm

14

y con esta "pequeña" modi…cación se construye un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables. En general la matriz XT X tiene inversa, por lo que se obtiene la solución por mínimos cuadrados dada por 1

m ^ M C = (XT X) XT y

2.3

Ajuste polinomial y = a0 + a1x + a2x2 +

+ ak x k

Generalizando los resultados que hemos visto anteriormente (ajuste usando la recta y la parábola) queremos encontrar el polinomio de grado k que se ajusta mejor en el sentido de los mínimos cuadrados a nuestra pareja de puntos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) ; que tiene como función + ak x k

f (a0 ; :::; ak ) = a0 + a1 x + a2 x2 + entonces nuestra función R2 está dada por 2

R =

n X

yi

+ ak xki )2

(a0 + a1 xi + a2 x2i +

k=1

los valores a0 ; :::; ak que minimizan a R2 deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones lineales ! ! n n n X X X k + ak xi = yi a0 n + a1 xi + n X

a0

xi

i=1

a0

n X

xki

i=1

!

!

+ a1

+ a1

i=1 ! n X x2i i=1

n X i=1

xk+1 i

+

!

+ ak

+

+ ak

6 6 6 4

Pn

n i=1

xi

i=1

xki

..

Pn .

Pn Pni=1 x2i i=1 xi ..

Pn . k+1 i=1 xi

n X

x2k i

i=1

o en términos matriciales Xa = y quedaría como 2

i=1 ! n X xk+1 i i=1

Pn k i Pni=1 xk+1 x i=1 i .. ...

Pn . 2k i=1 xi

32 76 76 76 54

!

xi yi

i=1

=

.. . n X

xki yi

i=1

2 Pn i=1 yi 7 6 Pn xi yi 7 6 i=1 7=6 ..

5 4 Pn . k ak i=1 xi yi a0 a1 .. .

3

=

i=1 n X

3 7 7 7 5

Para encontrar la solución matricial tenemos que multiplicar la ecuación matricial Xa = y por la matriz transpuesta XT y después podemos calcular la inversa (se multiplicó por la matriz transpuesta para que quede una matriz cuadrada).

XT Xa = XT y =) a = XT X

15

1

XT y

Los coe…cientes de la matriz los podemos encontrar si acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo. k

x

y

x2

x3

x4

x2k

xy

x2 y

x3 y

xk y

1

x1

y1

x21

x31

x41

x2k 1

x1 y1

x21 y1

x31 y1

xk1 y1

2

x2

y2

x22

x32

x42

x2k 2

x2 y2

x22 y2

x32 y2

xk2 y2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

x23 .. .

x33 .. .

x43 .. .

x2k 3 .. .

x3 y3 .. .

x23 y3 .. .

x33 y3 .. .

xk3 y3 .. .

n

xn

yn

x2n

x3n

x4n

x2k n

xn yn

x2n yn

x3n yn

xkn yn

P

2.3.1

xi

P

yi

P

x2i

P

x3i

P

P

x4i

P

x2k i

xi yi

P

x2i yi

Ajuste polinomial vía mínimos cuadrados

P

x3i yi

P

xki yi

Una forma matricial de ver estos resultados es el siguiente (además es más fácil de recordar) es plantear estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales. Al querer ajustar la función polinomial y = a0 + a1 x + a2 x2 + + ak xk de grado k a una serie de parejas de coordenadas (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) queda inicialmente el sistema de más ecuaciones que variables + ak xk1 + ak xk2

y1 = a0 + a1 x1 + a2 x21 + y2 = a0 + a1 x2 + a2 x22 + .. . yn = a0 + a1 xn + a2 x2n + y con ello matricialmente se puede escribir 2 3 2 1 x1 y1 6 y2 7 6 1 x2 6 7 6 6 .. 7 = 6 .. ..

4 . 5 4 . .

1 xn yn

+ ak xkn

como x21 x22 .. .

.. .

x2n

xk1 xk2 .. . xkn

32 76 76 76 54

que en forma compacta (matricial) la podemos poner como

a0 a1 .. . ak

3 7 7 7 5

y = Xm donde y es el vector columna de los valores de la variable dependiente, X es la matriz de n (k +1) de datos y m es el vector columna de incógnitas. Inicialmente este sistema de ecuaciones no se podría resolver debido a que hay más ecuaciones que variables, pero en la teoría matemática hay una forma de encontrar "la mejor solución" (la que genera el menor error cuadrático). Se multiplica los dos lados de la ecuación por la transpuesta de la matriz de datos XT para obtener XT y = XT Xm

16

y con esta "pequeña" modi…cación se construye un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables. En general la matriz XT X tiene inversa, por lo que se obtiene la solución por mínimos cuadrados dada por 1

m ^ M C = (XT X) XT y

2.4

Ajuste potencial y = AxM

Supongamos que tenemos n parejas de puntos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) : Entonces, si conocemos de antemano el valor M de la curva potencial, el valor A que minimiza la suma de cuadrados de los errores está dada por

A=

n X

xM k yk

i=1 n X

x2M k

i=1

que se puede calcular fácilmente si acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo x y xM y x2M k

2.5

1

x1

y1

xM 1 y1

x2M 1

2

x2

y2

xM 2 y2

x2M 2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

xM 3 y3 .. .

x2M 3 .. .

n

xn

yn

xM n yn

x2M n

P

xi

P

yi

P

xM i yi

Ajuste exponencial y = AeBx

P

x2M i

Supongamos que tenemos n parejas de puntos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) : Queremos encontrar una función exponencial y = AeBx que se ajuste mejor en el sentido de los mínimos cuadrados.

Tomando logarítmos naturales de ambos lados obtenemos ln y = ln A + Bx

17

Por lo tanto los valores A; B que minimizan la suma de los errores están dados por

=

n X

ln yi

i=1

!

n X

x2i

i=1

n X

n

!

x2i

i=1

n X

n

xi ln yi

i=1

=

!

n X

n

i=1

x2i

!

!

n X

xi

i=1

n X

!

xi

i=1

n X

xi

i=1

!

n X

xi

i=1

n X

!2

xi ln yi

i=1

n X

ln yi

i=1

!2

!

!

donde los valores A; B de la función se calculan de la siguiente manera B

; A

exp( )

Podemos realizar las sumas fácilmente si acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo. k

x

y

x2

ln y

x ln y

1

x1

y1

x21

ln y1

x1 ln y1

2

x2

y2

x22

ln y2

x2 ln y2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

x23 .. .

ln y3 .. .

x3 ln y3 .. .

n

xn

yn

x2n

ln yn

xn ln yn

P

2.6

xi

P ( xi )2

P

yi

P

x2i

P

ln yi

P

xi ln yi

Ajuste logarítmico y = a + b ln x

Supongamos que tenemos n parejas de puntos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) : Queremos encontrar una función logarítmica y = a + b ln x que se ajuste mejor en el sentido de los mínimos cuadrados.

18

Los coe…cientes a; b que minimizan la suma de los cuadrados de los errores están dados por

n b=

n X

yi ln xi

i=1

n

"

a=

n X

!

2

(ln yi )

i=1

n X

yi

i=1

#

!

n X

yi

i=1

b

!

n X

n X i=1

ln xi

i=1

n X

ln xi

i=1

n

ln xi

!2

!

!

Podemos encontrar fácilmente las sumassi acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo. k

x

y

ln x

(ln y)2

y ln x

1

x1

y1

ln x1

(ln y1 )2

y1 ln x1

2

x2

y2

ln x2

(ln y2 )2

y2 ln x2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

ln x3 .. .

(ln y3 )2 .. .

y3 ln x3 .. .

n

xn

yn

ln xn

(ln yn )2

yn ln xn

P

2.7

xi

P

yi

P

ln xi

P ( ln xi )2

P

(ln yi )2

P

yi ln xi

Ajuste potencial general y = AxB

Supongamos que tenemos n parejas de puntos (x1 ; y1 ) ; (x2 ; y2 ) ; :::; (xn ; yn ) : Queremos encontrar una función potencial y = AxB que se ajuste mejor en el sentido de los mínimos cuadrados. Los

19

coe…cientes A; B que minimizan la suma de los cuadrados de los errores están dados por n X

n

ln xi ln yi

i=1

b=

n

"

n X

!

(ln xi )2

i=1

a=

n X

#

ln yi

n X

ln xi

i=1

n X

!

b

i=1

ln yi

i=1

ln xi

i=1

n X

n X

!2

!

ln xi

i=1

n

donde los valores A; B de la función se calculan de la siguiente manera B

b; A

exp(a)

Podemos realizar las sumas fácilmente si acomodamos los datos como si estuvieramos trabajando en una hoja de cálculo. k

x

y

ln x

(ln x)2

ln y

ln x ln y

1

x1

y1

ln x1

(ln x1 )2

ln y1

ln x1 ln y1

2

x2

y2

ln x2

(ln x2 )2

ln y2

ln x2 ln y2

3 .. .

x3 .. .

y3 .. .

ln x3 .. .

(ln x3 )2 .. .

ln y3 .. .

ln x3 ln y3 .. .

n

xn

yn

ln xn

(ln xn )2

ln yn

ln xn ln yn

P

xi

P

yi

P

ln xi

P ( ln xi )2

P

20

(ln xi )2

P

ln yi

P

ln xi ln yi

2.8

Cambios de variable para linealizar los datos Funci贸n y = f (x)

Linealizaci贸n Y = Ax + B

y=

A +B x

y=A

y=

D x+C

y=

y=

1 Ax + B

y=

x Ax + B

y=

y=

Dx

L 1 + CeAx

+B

1 D (xy) + C C

1 = Ax + B y 1 =A y

1 (Ax + B)2

y = Cxe

1 x

1 x

+B

1 p = Ax + B y

ln

ln

y = x

L y

1

Dx + ln(C)

Cambios X=

1 ; Y =y x

X = xy; Y = y 1 B C= ; D= A A

X = x; Y =

X=

1 y

1 ; Y =y x

1 X = x; Y = p y

X = x; Y = ln C = eB ; D =

= Ax + ln(C)

X = x; Y = ln C = eB

21

L y

y x A

1

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23