Contenido para el Curso de Estrategias para la Enseñanza de Matemáticas del Módulo 2 en su Lección 3

Estrategias para la enseñanza de las matemáticas

Módulo 2. Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico Lección 3. Mensajes secretos

Programa de Formación Docente

Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Introducción a la teoría de códigos................................................................................................................. 3 Modelo de comunicación de Shannon y Weaver ............................................................................. 4 Código binario.......................................................................................................................................................... 5 Código verificador ................................................................................................................................................. 7 Residuos de dividir entre 11................................................................................................................................... 8 Ejercicio para trabajar en el aula .................................................................................................................. 8 Ejemplo 1: .............................................................................................................................................................. 10 Considera el número 241728, ¿cuál es el residuo de dividir este número entre 11? ....... 10 Ejemplo 2: ....................................................................................................................................................................... 11 Residuos de dividir entre 9.............................................................................................................................. 11 Ejemplo: ..................................................................................................................................................................12 ...............................................................................................................................................................................................12 ...............................................................................................................................................................................................12 Prueba del criterio de residuos módulo 9 .............................................................................................13 Ejemplo: ................................................................................................................................................................. 14 .............................................................................................................................................................................................. 14 Evidencia de aprendizaje ................................................................................................................................ 14 Cierre .................................................................................................................................................................................15 Bibliografía: ................................................................................................................................................................... 16

Competencia Analiza la pertinencia del tema los residuos de dividir entre 11 y 9, mediante el estudio de la teoría de códigos, para que pueda trasladar los ejemplos vistos en la lección, al aula con sus estudiantes.

Introducción a la teoría de códigos La teoría de Códigos es una rama de las matemáticas que estudia la codificación de la información, pero ¿qué quiere decir codificar?

Para explicar en qué consiste la codificación de la información es preciso conocer los elementos básicos del proceso de la comunicación.

En la Antigua Grecia, Aristóteles (384-322 a.C.) diferenció al hombre de los animales por la capacidad de tener un lenguaje y comunicarse en relación a tres elementos básicos: 1) El emisor; es aquel que inicia el intercambio de información.

Transmite el mensaje, el que dice o hace algo con el significado. 2) El mensaje; es la información transmitida. Es lo que se dice; y 3) El receptor; es aquel que recibe el mensaje. Estos elementos forman parte en los antecedentes que permiten entender el proceso comunicativo.

A lo largo del tiempo se han derivado otros modelos más precisos, tal es el caso del modelo Shannon y Weaver.

Durante la Segunda Guerra Mundial, la preocupación por mantener la información segura era un tema de alta prioridad.

Los estadounidenses Claude Elwood Shannon y Warren Weaver compartían esa preocupación, por eso buscaron utilizar de manera más eficiente los canales de información. Shannon fue el primero en trabajar en ello, tal y como se puede ver en su artículo titulado A Mathematical Theory of Communication (Una teoría matemática de la comunicación) publicado en el Bell System Technical Journal en 1948, en dicho artículo se muestran los avances de Shannon para matematizar el proceso

comunicativo; razón por la cual actualmente es conocido como el padre de la teoría de la información.

Si te interesa revisar el artículo de Elwood Shannon A Mathematical Theory of Communication,

http://www.essrl.wustl.edu/~jao/itrg/shannon.pdf

Modelo de comunicación de Shannon y Weaver Shannon era un matemático, ingeniero eléctrico y criptógrafo, mientras que Weaven era sociólogo y biólogo. Ambos trabajaron juntos para formalizar la teoría de la información y fue en 1949 que culminaron el asentamiento de la Teoría Matemática de la Información.

El modelo de comunicación propuesto por Shannon y Weaver surgió del aumento de la complejidad y de la masificación de las vías de la comunicación, tales como el teléfono y las redes de teletipo, esto es, los dispositivos telegráficos y los sistemas de comunicación de radio.

La idea principal es que la transmisión de la información no pierda su calidad, es decir, que no tenga ruido y por tanto el receptor entienda el mensaje enviado.

Como puedes observar, el modelo tiene como elementos básicos: la fuente, el canal, el ruido, la fidelidad, el codificador y el descodificador.

Al tratarse de un modelo que envía información digital, el mensaje está escrito con unos y ceros, es decir, en código binario.

Revisa el siguiente video, sobre ¿qué son los números binarios?:

https://youtu.be/f9b0wwhTmeU

Código binario Te parece interesante funciona el código binario? Ahora un ejemplo de cómo puedes enseñárselo a tus estudiantes, lee el siguiente visualizar el ejemplo: En este ejemplo, sólo se dispone de dos palabras, SÍ y NO. Los mensajes irán codificados en códigos binarios. Desde el principio, los novios acuerdan que para decir SÍ envían 1 y para decir NO envían 0. Imagina que la novia le quiere decir que NO y le envía 0, pero ocurre un error en el canal y el novio recibe 1. ¡Eso puede tener consecuencias terribles!

Así, piensan que este código no detecta un error.

Para protegerse contra un error, los novios deciden que para decir SI enviarán 10, y para decir NO enviarán 01. De esta manera, si hay un error en el canal el novio recibirá 00 si el error es en la primera cifra, o bien, 11 si el error es en la segunda cifra; en ambos casos el novio sabrá que hay un error (aunque no pueda recuperar el mensaje original). De esta forma, ambos piensan que este código detecta un error pero no lo corrige.

Por lo que buscando una mejor manera para mandar el mensaje, deciden que SÍ se codifica 100 y que NO se codifica 011. Así, en caso de existir un error en el camino, se puede analizar qué mensaje es el que puede recibir el novio.

Si ella dijo SÍ, envió 100, si hubiera un error, una de las cifras cambiará y el novio obtendrá uno de los tres mensajes: 000, 110 o 101.

Ahora bien, si ella dijo NO, envió 011, si hubiera un error, el novio obtendrá uno de los tres mensajes siguientes: 111, 001, 010.

Observa que ninguno de los seis mensajes que recibe el novio están en el lenguaje acordado, es decir, dentro de los seis posibles casos no está ni el 100, ni el 011, por esto el novio sabe que ocurrió un error en el canal, pero además puede saber cuál es el mensaje que le ha enviado su novia, puesto que las tres posibilidades (cuando hay un error y ella envió SÍ) son todas diferentes de las tres posibilidades cuando dice NO. Entonces, este código detecta un error y lo corrige. ¡Sorprendente!

---------------------------------------------------------------------------------------------------------El ejemplo anterior es elemental, pero a la vez es muy ilustrativo, pues muestra el proceso al trabajar con códigos, en donde, el detectar errores y buscar la forma de cómo corregirlos, se convierte en una tarea primordial cuando se utiliza el código binario.

Si te detienes a reflexionar, a lo largo del tiempo y en una gran cantidad de actividades humanas, uno de los grandes retos ha sido el de poder detectar y corregir errores.

Un ejemplo interesante, es el que dio origen a la geometría fractal, cuando Mandelbrot trabajaba para IBM y ahí se encuentró con el problema del ruido en la transmisión.

Visualiza el siguiente video, es una entrevista que le hicieron a este gran matemático nombrado como El padre de los Fractales:

https://youtu.be/-KKiwbFX6dw

Muy interesante ¿no lo crees? En el siguiente Módulo estudiarás este bello tema de la geometría fractal.

Código verificador A continuación, verás algunos resultados que ha tenido la Teoría de Números, los cuales le han permitido al ser humano verificar que no haya errores en lo que se va trabajando.

Distribuciones de este estilo se dan para los diferentes números de cuenta que se utilizan diariamente. Así, los números de cuenta de las tarjetas de crédito deben tener un sistema similar, pues al momento en que en internet se teclean los primeros cuatro dígitos, el sistema sabe si es master-card o visa, etc.

En la actualidad este código verificador, se le dice módulo 11. También es utilizado en una de las formas de asignación del ISBN (International Standard Book Number) en los libros.

Debido a que cada libro tiene su propio ISBN (aunque sea el mismo título en otro idioma, o bien, sea el mismo título en diferente edición), cualquier lector interesado puede rastrear o buscar determinado libro en la toda la red, mediante el ISBN, ya que esta asignación es internacional.

El proceso del código binario o la teoría de números ayudan a detectar errores, porque para las matemáticas es fundamental no cometer errores a lo largo de un proceso (por ejemplo en la demostración de conjeturas). En el contexto de tu clase, puedes hacer hincapié a tus estudiantes en la importancia de siempre verificar que los datos, con los cuales van trabajando, no contengan errores.

Residuos de dividir entre 11 Ejercicio para trabajar en el aula Y ahora, un ejercicio que puedes aplicar en tu aula.

Es obligatorio usar la calculadora. ¡Invita a tus estudiantes a usar la calculadora de su celular!

1.

Debes pedirles que te den el residuo al dividir entre once del número 83213.

2. No se puede hacer la división en hoja de papel, si acaso se usa papel, es para poner algún resultado que les dé la calculadora.

3. ¿Hay algún algoritmo que nos permita obtener el residuo al dividir entre 11 un número natural de una manera rápida?

Si haces el ejercicio anterior con la calculadora y debes dividir 83213 entre 11, la calculadora dice 7,564.81818 y ahora ¿qué tienes que hacer? busca el residuo. ¿Listo?

Toma la parte entera de este resultado y multiplica por 11, resta ese resultado a 83213.

Al multiplicar 7564 x 11 obtienes 83,204 Ahora, a 83213 réstale 83204 y obtienes 9 que es el residuo al dividir 83213 entre 11.

Observaciones

El método es largo, ¿se puede simplificar? Este ejemplo es muy sencillo pero estas preguntas son importantes, pues implican ahorro en tiempo de máquina, memoria, por mencionar algunas.

En este caso, sí se conoce un algoritmo que simplifica el trabajo: Se suman unidades, se restan decenas, se suman centenas, se restan unidades de millar, etc. El resultado tiene el mismo residuo al dividirlo entre 11 que el número del que se partió.

En el ejercicio a aplicar, se tiene:

3 -1 + 2 - 3 + 8 = 9 Observa que, - en esta ocasión - se ha puesto el resultado de alguien que se preguntó y observó, propuso una conjetura y la probó.

A continuación se procederá a probar este resultado para los números naturales que constan de cuatro cifras como en el ejercicio anterior, esperando que con el razonamiento expuesto, te sea claro ver cómo sería una demostración para un número de n cifras.

Un número de cuatro cifras tiene la forma:

1000a + 100b + 10c + d Donde a, b, c y d son dígitos. Lo que se debe probar es que este número deja el mismo residuo al dividirlo entre 11 que el número:

d-c+b-a

(se suman unidades menos decenas, más centenas, menos unidades

de millar). 

Se va a extraer del número original, el número que se tiene abajo y observar qué queda.

1000a + 100b + 10c + d =(d - c + b - a)+ (1001a+ 99b +11c) 

En el segundo sumando de la igualdad de la derecha se puede extraer a 11 como

factor común, de tal manera que se tenga:

1000a + 100b + 10c + d = (d - c + b - a) + 11 (91a + 9b + c) 

Dado que el segundo sumando de la igualdad de la derecha es múltiplo de 11, se tiene el residuo al dividir entre 11, entonces se tiene que, el número del cual se parte, es el mismo que el residuo al dividir entre 11, lo que se obtiene en el primer sumando del lado derecho de la igualdad.

Esta prueba es una muestra muy clara de los muchos caminos válidos para encontrar un resultado, así, de lo que se trata es de encontrar uno que te lleve al resultado buscado.

Ojo, para encontrar estos caminos es preciso tener paciencia, perseverancia y experiencia.

Lee con atención los 2 ejemplos (no olvides realizar anotaciones):

Ejemplo 1: Considera el número 241728, ¿cuál es el residuo de dividir este número entre 11?

El algoritmo dice que el residuo es el mismo que el que resulta de dividir entre 11 el número:

8 - 2 + 7 -1 + 4 - 2 = 14 Este número es mayor o igual a 11, por lo que al aplicar la regla al número 14:

4-1=3 Así, el residuo al dividir 241728 entre 11 es 3.

En el último caso para el residuo al dividir 14 entre 11 también puede ser más fácil restarle 11, es decir, nos movemos por múltiplos de 11.

Verifícalo

Ejemplo 2:

Considera el número 415273, ¿cuál es el residuo al dividir este número entre 11?

Según el algoritmo, es el mismo que el que se obtiene al dividir el número:

3-7+2-5+1=-6 Este número es negativo, debes sumarle múltiplos de 11 hasta llegar a un número no negativo, en este caso basta sumar 11 y obtienes:

- 6 + 11 = 5 Por lo que, el residuo al dividir el número 415273

Verifícalo

Residuos de dividir entre 9 Otro criterio que también es sencillo, es cuando se quiere encontrar el residuo al dividir un número natural entre 9. Este criterio quizá es un poco más conocido y es el siguiente:

Lee con atención el ejemplo. Ya que te será muy útil para comprender el siguiente tema.

Ejemplo: ¿Cuál es el residuo al dividir 43215 entre el número 9?

Si divides 43215 entre 9, tendrás la siguiente igualdad: 43215 = 9 q

+ r, donde q es el cociente y r es el residuo.

Ahora, para encontrar el valor de r, suma los dígitos del número 43215, es decir: 4 + 3 + 2 + 1 + 5 = 15 Donde el número 15 tiene el mismo residuo que 43215, entonces, al dividir, tienes: 15= 9(1) + 6 Por lo tanto, el residuo de dividir 43215 entre 9, es 6.

Si el número que obtienes es el paso 2 es muy grande, o no quieres realizar la división, puedes realizar el mismo procedimiento que el paso 1 para encontrar el residuo del número deseado.

Verifícalo

Para verificar errores en algunas ocasiones es mejor módulo 11 qué módulo 9, esto es debido a que, un error muy común cuando se trabaja tecleando (en computadora) es invertir dos dígitos consecutivos.

Por ejemplo, imagina que deseas teclear el número 35 pero por error inviertes los números y escribes 53.

Si realizas la operación, te darás cuenta de que el 53 tiene el mismo residuo al dividirlo entre 9, que el número 35. Sin embargo, si los divides entre 11 estos números tienen residuos distintos, por eso, en algunos casos, es mejor el módulo 11 que el 9.

Prueba del criterio de residuos módulo 9 Se realiza para números de cuatro cifras como en el ejemplo anterior. En estos casos, se debe probar que el residuo al dividir entre 9 el número:

1000a + 100b + 10c + d es el mismo que el residuo al dividir entre 9 el número:

d+c+b+a Igual que en el caso anterior, se extrae del número original la suma de sus dígitos:

1000a + 100b + 10c + a = (d + c + b + a) + (999a + 99b + 9c) Se puede sacar a 9 como factor común en el segundo sumando y se obtiene:

1000a + 100b + 10c + a = (d + c + b + a) + 9(111a + 11b + c) Como el segundo sumando de la expresión del lado derecho de la igualdad es múltiplo de 9, el residuo al dividir el número

1000a + 100b + 10c + a entre 9 es el mismo que se obtiene al dividir entre 9 el número:

d+c+b+a Una posibilidad para verificar que en una suma no te has equivocado es obtener el residuo al dividir entre 9 cada uno de los sumandos, luego sumar estos residuos en el reloj de 9 horas y verificar que se obtiene el mismo número que el residuo al dividir entre 9 el resultado.

Lee con cuidado el ejemplo:

Ejemplo: Se quiere sumar 4215 + 24322 + 32339 Lo que usualmente se hace es colocarlos uno debajo del otro, de tal manera que coincidan unidades, decenas, centenas, etc. en las columnas.

Luego se procede a sumar las columnas comenzando en las unidades, etc. así es como comúnmente se hace:

4215 3 + 24322 4 32339 2

_____________________

60876 0 = 0

Esta suma no tiene error módulo 9, se puede proceder igual con el producto. También podrías verificar que la suma no tiene error módulo 11.

Puede ser un ejercicio interesante para tus estudiantes que hagan algunas sumas y productos y que verifiquen que no se han equivocado módulo 9 y módulo 11, de esta manera estarían practicando el hacer operaciones (ya que es una destreza necesaria que deben desarrollar).

Evidencia de aprendizaje Esta evidencia tiene como finalidad crear un puente entre lo aprendido a lo largo de los módulos 1 y 2 con tu práctica docente. Es de conocimiento de todos, que en este periodo de pandemia el sistema educativo se tuvo que replantear y una de las grandes modificaciones fueron las clases en línea. Es el momento que explotes tu creatividad y la pasión que tienes por la docencia y ese formalismo en matemáticas.

Cierre ¡Felicidades! ¡Has concluido el Módulo 2!

Concluiste con éxito esta lección 3 y con ello, tu Módulo 2, es momento de reconocer todo el trabajo hecho hasta este punto ¡Buen trabajo!

Seguramente has notado que ya sólo te falta un módulo para concluir todo el curso, por favor, sigue aprendiendo y no te desanimes. Ya vas más hacia la recta final del curso ¡Tú puedes!

Avanza al siguiente módulo, que te permitirá cerrar con broche de oro tu curso, con el maravilloso tema de la Geometría y otras formas hermosas.

Bibliografía: Alejandría de, D. (2007). La Aritmética y el libro sobre los libros numéricos poligonales.

Tomo II. [Manuel Benito Muñoz, Emilio Fernández Moral y Mercedes Sánchez Benito, eds.), Madrid, España: Editorial Nivola (Colección Episteme).

Herrera, J. S. (2010). El uso de la historia de las matemáticas para el aprendizaje de la geometría en alumnos del bachillerato. Investigación en educación matemática XIV (pp. 557-568). Madrid, España: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM. Nelsen, R. B. (1993). Proofs without words: Exercises in Visual Thinking I. Estados Unidos de Norteamérica: The Mathematical Association of America.

Nelsen , R. B. (2016). Proofs without words III: further exercises in visual thinking.

Estados Unidos de Norteamérica: The Mathematical Association of America.

Pérez, A. (2000). Los números poligonales. Una caja de sorpresas con mucha historia.

Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 3.2 331-337. [Versión en línea].

Recuperado el 18 de septiembre del 2019, de http://eudml.org/doc/43261 Polya, G. (2004). How to solve it: A new aspect of mathematical method (2a ed.). Nueva Jersey, Estados Unidos de norteamérica: Princeton University Press. [Versión en línea].

Recuperado el 18 de septiembre del 2019, de https://math.hawaii.edu/home/pdf/putnam/PolyaHowToSolvelt.pdf