Contenido para el Curso de Estrategias para la Enseñanza de Matemáticas del Módulo 2 en su Lección 2

Estrategias para la enseñanza de las matemáticas

Módulo 2. Del pensamiento aritmético al lenguaje algebraico Lección 2. Números enteros y sus propiedades

Programa de Formación Docente

1

Contenido Competencia ................................................................................................................................................................. 3 Números enteros ........................................................................................................................................................ 3 Propiedades y valor absoluto ......................................................................................................................... 4 Valor absoluto y algoritmo de la división ................................................................................................ 5 Ejemplo .................................................................................................................................................................... 5 ¿Qué pasa con los otros números? ................................................................................................................. 7 Múltiplos de un número......................................................................................................................................... 7 Mínimo común múltiplo ................................................................................................................................... 9 Divisores .......................................................................................................................................................................... 11 Máximo común divisor ...................................................................................................................................... 11 Números primos ....................................................................................................................................................... 14 Números compuestos, la Criba de Eratóstenes, demostración y algunas conjeturas ......................................................................................................................................................................................... 14 Teorema fundamental de la aritmética .................................................................................................... 24 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo ............................................................................25 Ejercicios para tu aula ...................................................................................................................................... 26 Ejercicio.......................................................................................................................................................................... 27 Caja de herramientas ............................................................................................................................................ 27 Evidencia de aprendizaje.................................................................................................................................... 28 Referencias: ................................................................................................................................................................. 29 Bibliografía: .................................................................................................................................................................. 29

2

Competencia Examina el tema de los números enteros, sus propiedades y valor absoluto, los números primos y el teorema fundamental de la aritmética, mediante el estudio y apoyo de recursos didácticos, con la finalidad de que el docente traslade algunas de las estrategias aquí empleadas, al trabajo con sus estudiantes.

Números enteros En el Módulo 1 revisaste las propiedades de los números naturales y de los números enteros, sin embargo, cuando comenzaste a ver el tema de divisibilidad, apareció el concepto de los números primos.

Para situarte mejor en lo anterior, revisa el siguiente video, en donde el Dr. Alejandro Díaz Barriga contextualiza la función de los números naturales a enteros y del protagonismo que los números primos han tenido recientemente.

https://youtu.be/Xw8A6A6MWMU Como puedes percibir, ahora se necesita de una función en el conjunto de números enteros que, por ejemplo, sirva para medir la distancia entre dos enteros (en la recta).

Por ejemplo, si al amanecer se tiene una temperatura de 6º C. y al mediodía una temperatura de 24º C, y te preguntas por la variación de temperatura, puedes expresar que la variación fue de 18º C. Es decir, la distancia que hay entre 6 y 24 en la recta numérica es 18.

3

Propiedades y valor absoluto La distancia entre dos puntos es no negativa. Por ejemplo, puedes ir de 6 a 24 y caminarás 18, o bien, puedes ir de 24 a 6 y caminarás 18. Si piensas en la operación a realizar, esta es una diferencia entre los dos puntos a considerar y al tener el resultado observa si fue no negativo, o su inverso aditivo en caso de haber sido negativo.

Es decir, para calcular la distancia entre 6 y 24, calculas la diferencia 24 – 6 o la diferencia 6 – 24, en el primer caso obtienes 18 y está será la distancia, en el segundo obtienes -18 y como es negativo, toma su inverso aditivo que es 18. Motivada o motivado por esta situación, definirás el valor absoluto de un número entero de la siguiente manera:

En los cursos de aritmética de la primaria y la secundaria cuando se habla de divisibilidad, de números primos, de máximo común divisor o mínimo común múltiplo, se trabaja en el conjunto de los números naturales (incluyendo a cero).

Estos conceptos se pueden trabajar en los enteros, que poseen una estructura algebraica un poco más rica, por tener inversos aditivos.

Aquí también se trabajará en los números naturales (incluyendo al cero).

A continuación, revisa algunas propiedades del valor absoluto.

Propiedades del valor absoluto

1. 0 < |a| 2. 0 = |a| si y sólo si 0 = a 3. 0 < |a + b| < |a| + |b|

(Esta propiedad se le conoce como la desigualdad del

triángulo).

4. |a • b| = |a| • |b|

4

Valor absoluto y algoritmo de la división Es importante establecer que aquí solo abordarás el algoritmo de la división en los enteros, con el objetivo de que quede bien estructurado el reloj en las congruencias que viste en la lección anterior.

Revisar el ejemplo que plantea la Mtra. Adriana León Montes:

Ejemplo Para que encuentres el cociente y el residuo de 35 al dividirlo entre 715, recuerda cuando eras niña o niño y te enseñaron por primera vez cómo dividir dos números, si ibas paso a paso con el razonamiento para realizar la división decías: toca a 1 y sobran 714, entonces escribías: 715 = 1(35) + 714.

El profesor que te estaba enseñando a dividir, te decía: vas bien como lo estás haciendo, sin embargo, podrías acércate más, entonces respondías: toca a 2 y sobran 713, pero te diste cuenta de que en efecto, ibas muy lento, así que te aventuraste y terminaste diciendo: toca a 20, pues: 715 = 20(35).

Reflexiona un poco la respuesta a las siguientes preguntas.

Ojo: Recuerda que el residuo es mayor o igual a cero y menor al valor absoluto del divisor.  ¿Por qué terminas cuánto multiplicas 315 por 20?  ¿Qué igualdad escribes?

Respuesta: La igualdad que debiste haber llegado es: 715 = 20(35) + 15 Por último, el cociente y residuo de 35 al dividirlo entre 715 es: 20 y 15 respectivamente.

5

Es interesante que siempre existen cociente y residuo con estas características y son únicos.

Para hablar del algoritmo de la división en los enteros, se debe agregar una condición más para el residuo, ésta es que el residuo sea no-negativo.

A continuación, se enuncia el algoritmo de la división para los números enteros:

Observa que, dado que b es diferente de cero, su valor absoluto es positivo.

El siguiente ejercicio no se te evaluará, sólo es un espacio para que ejemplifiques lo revisado.

Teniendo el cociente y el residuo del ejemplo anterior: ¿cuál es el cociente y el residuo al dividir 715 entre – 35? ¿cuál es el cociente y el residuo al dividir -715 entre -35?

Recuerda que el residuo debe ser no-negativo.

6

¿Qué pasa con los otros números?

Es momento de hacer una pausa (en tu estudio de números naturales y enteros), para que revises qué pasa con los otros números, es decir; los números racionales, los números reales y los números complejos. Para eso, revisa el siguiente video, en el cual la Mtra. Adriana León explica la función elemental de cada uno, esta vez, se te sugiere que vayas tomando notas, porque quizá dicha explicación pueda ser útil para compartirla con tus estudiantes.

https://youtu.be/FfM-ZgAf2Kk

Como has experimentado, a lo largo del curso se han desarrollado ideas de aritmética en los naturales desde el enfoque del 0 como número natural, incluso algunos de los videos vistos basan sus explicaciones en los números naturales contemplando al 0, pero ten presente que existen autores que no contemplan el cero como número natural.

Considera lo anterior, para el trabajo en tu aula.

Múltiplos de un número Seguro que recurso anterior, te resultó interesante. Ahora continúa con el tema de los múltiplos, para comenzar, analiza su definición:

7

Definición: Dados a y m números naturales, m es un múltiplo de a si existe un número natural q tal que m

a • q.

De acuerdo a esta definición, los múltiplos de un número natural números naturales que se obtienen al multiplicar el número

a

son todos los

a por cada uno de los

números naturales.

Ejemplo:  

Los números 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … son múltiplos del número 3 Los números 0, 2, 4, 6, 8, … son múltiplos de 2

Al conjunto de todos los múltiplos de un número natural

Ejemplos: M (1) = {0, 1, 2,· · ·} = N M (2) = {· · · . –4. –2, 0, 2, 4, · · ·} M (0) = {0} Observaciones

8

a, se denota como:

Mínimo común múltiplo Analiza el siguiente video, en donde el matemático Urtzi Buijs explica una manera para mostrar los múltiplos del 6, observa que para él, los números naturales empiezan a partir del 1.

https://youtu.be/BU6dqmkTCjU Cero es múltiplo de cualquier número entero.

Para profundizar en el tema, revisa la siguiente lectura Mínimo Común Múltiplo del Dr. Alejandro Díaz Barriga y de la Mtra. Adriana León: Mínimo común múltiplo Si se tiene que a y b son números naturales, un número m es un común múltiplo de a y de b, si m es múltiplo de a y m es múltiplo de b. Aquí podemos hablar del conjunto de los comunes múltiplos de los números naturales a y b, es claro que este conjunto es la intersección de M(a) con M(b). Es decir, el conjunto de los comunes múltiplos de

a y b es el conjunto:

Es claro que, si alguno de los números es cero, la intersección consta sólo del número cero.

Si a y b son ambos diferentes de cero, entonces el conjunto de múltiplos comunes tiene más elementos, por lo pronto se puede observar que ab es tanto múltiplo de a como múltiplo de b, por lo que es un común múltiplo de a y b, es decir, si a y b no son

9

cero el conjunto de múltiplos positivos de a y b es no vacío y se puede tomar de este conjunto el elemento más pequeño. A este elemento se le llama el mínimo común múltiplo de a y b y lo denotamos como m.c.m. (a, b).

Ejemplo: Encontrar el mínimo común múltiplo de 45 y 35.

El conjunto de múltiplos de 45 es:

· · ·} El conjunto de múltiplos de 35 es:

· · ·} y en consecuencia M(45) intersección:

· · ·} Seguramente conoces otra forma más económica para encontrar el mínimo común múltiplo de dos números naturales diferentes de cero, necesitas el concepto de número primo y un teorema de factorización que se verá un poco más adelante. Sin importar el método usado, la factorización es útil hasta ciertos números, ya que para números más grandes es necesario conocer algunos otros teoremas y el apoyo de una computadora.

Aplicaciones del mínimo común múltiplo se tiene al menos una inmediata, cuando se está sumando números racionales expresados como fracciones de enteros y se quiere expresar la suma de estos números como fracción, se debe encontrar un común denominador de los números que aparecen en el denominador de ambas fracciones, observa que se trata de un común múltiplo y que el número más pequeño que se puede considerar es su mínimo común múltiplo.

Es claro que se puede hablar de múltiplos comunes de tres o más números y que si todos son diferentes de cero, se debe considerar el mínimo común múltiplo de todos estos números.

10

Divisores Ahora, lee y analiza la definición de los divisores: Divisores, dados a y c números naturales, se dice que c es un divisor de a, o bien, que

c divide a, si existe un número natural q tal que a = cq Ejemplo:  Los números 1, 3 son divisores del número 3  Los números 1, 3, 5, 15 son divisores del número 15 Al conjunto de divisores de un número natural se le denota por D(a).

Por ejemplo: D (15) = { 1, 3, 5, 15} Revisa más ejemplos:

D (1) = {1} El número 1 es divisor de 1, pues 1 = (1) (1) y observa que no hay ningún otro número natural que divida a 1

D (2) = {1, 2,} Los números 1, 2 son divisores del 2, ya que:

2 = (1) (2) 2 = (2) (1) Y son todos los divisores de 2, es decir, ningún otro número natural divide a 2

D (6) = {1, 2, 3, 6} Verifica que estos números dividen a 6 y da un argumento para hacer ver que, no hay otros divisores, es decir, que son todos los números naturales que dividen a 6.

Máximo común divisor Una vez que has analizado los ejemplos anteriores sobre los divisores de números naturales, revisa el siguiente video, en el que se explica la relación entre los múltiplos y divisores.

11

https://youtu.be/kJE2X0gMWfY Una vez que has revisado el video anterior, lee y reflexiona las siguientes observaciones, no olvides realizar notas.

Si

a es un número natural distinto de uno y c divide a a, entonces, c < a. De modo

que, el conjunto de divisores de a, D(a) es finito.

Por ejemplo: El conjunto de divisores de 35 es: D (35) = {-35-7,-5,-1,1,5,7,35} Si a=0, entonces el conjunto de divisores de a, es decir, D(0) es infinito. ¿Por qué?  1 es divisor de cualquier número natural.  1 es el único número natural que tiene solamente en divisor.  Si

a es un número natural diferente

de cero, entonces

a tiene al

menos dos

divisores diferentes.

Para comprender mejor el tema de los divisores, lee el siguiente documento titulado Máximo común divisor, preparado para ti por el Dr. Alejandro Díaz Barriga y la Mtra. Adriana León Montes:

12

Máximo común divisor Si se tiene a y b números naturales, un número natural c es un común divisor de a y b si se es un divisor de a y c es un divisor de b, es decir, si c pertenece a la intersección de los conjuntos D (a) y D (b). Además, como se ha dicho el 1 es divisor de cualquier natural, por lo que el 1 es común divisor de cualquier pareja de naturales.

Si a y b son diferentes de cero, entonces el conjunto de comunes divisores es un conjunto finito, además el número uno es un común divisor, por lo que este conjunto no es vacío y por lo tanto, tiene máximo. El máximo de los comunes divisores de a y b le llamamos el máximo común divisor de a y b y lo denotamos: m. c. d. (a, b)

Definición: Sean no ambos cero, entonces el máximo común divisor de a y b es el máximo de los comunes divisores de a y b, es decir, el máximo de los elementos de la intersección de los conjuntos de los divisores de a y de b. A este se le denota mcd (a, b).

 Ejemplo:   Encuentra el máximo común divisor de 105 y 90   Encuentra D (105) y D (90)        De donde los comunes divisores de 105 y 90 son:     De donde: m.c.d (105, 90) = 15 

Observación: Si a es diferente de cero, como todos los números naturales dividen a cero, se tiene que los comunes divisores de a y cero son los divisores de a. (No conviene definir el máximo común divisor de 0 y 0, ¿por qué?).

13

Números primos Números compuestos, la Criba de Eratóstenes, algunas conjeturas

demostración y

Los temas anteriores eran necesarios para adentrarte al maravilloso estudio de los números primos - que como sabes -, han sido uno de los grandes temas de toda la humanidad, debido a que su estudio y aplicaciones se han ido desarrollando desde la antigüedad hasta el día de hoy.

Revisa el siguiente recurso que contiene temas muy interesantes sobre los números primos, con el objetivo de que, de cada uno de los elementos visto ahí, tomes las ideas más importantes que conforman este maravilloso tema.

14

15

16

17

https://youtu.be/6y-cqv9r5W8

18

19

20

21

https://www.geogebra.org/m/kqf9urku

https://youtu.be/BGryZFh1Wq8

22

https://www.geogebra.org/m/xaaufs8a

23

Teorema fundamental de la aritmética Un tema que también pertenece a los números primos es el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Como viste en uno de los videos del recurso anterior, Euclides – considerado como "el padre de la geometría" - fue un matemático griego que vivió en Alejandría alrededor del año 300 a. C. Una de sus grandes obras consistió en 13 libros, llamados Elementos, en donde Euclides sintetiza y axiomatiza el conocimiento matemático de la época. Los Elementos es considerado como uno de los libros de texto más divulgados en la historia, tanto que es el segundo libro con mayor número de ediciones publicadas después de la biblia.

Elementos es un tratado matemático y geométrico, sus libros I, II, III y IV tratan sobre la geometría plana. Los libros V al X sobre razones y proporciones y los últimos acerca de la geometría de los cuerpos sólidos. En el Módulo 3 estudiarás la geometría euclidiana como parte de un proyecto que se espera apliques en tu aula.

El pensamiento de Euclides ha influenciado a matemáticos muy importantes, tal es el caso de Bertrand Russell (matemático, lógico, filósofo y ganador del premio nobel de la paz en el año de 1950) quien a la edad de 11 años se expresó de los Elementos de Euclides cómo: “Fue uno de los grandes eventos de mi vida, tan deslumbrante cómo el primer amor”.

Seguramente al revisar nuevamente la gran influencia que tuvo y tiene hasta el día de hoy Euclides, te ha despertado el interés por conocer más de este maravilloso matemático.

Escucha el siguiente audio ¿Quién fue Euclides? de la Mtra. Adriana León.

24

Los libros VII, VIII y IX están dedicados a la teoría de números. En el libro VII están las definiciones de número par, impar, primo, compuesto, perfectos (la que suma los divisores menores es igual al número), entre otros. Además, se encuentra un algoritmo para calcular el máximo común divisor. Euclides también demostró los teoremas fundamentales sobre divisibilidad, de los cuales, en 1801 Gauss dedujo el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Analiza el siguiente video donde el matemático Urtzi Buijs explica el Teorema Fundamental de la Aritmética:

https://youtu.be/ch0CVFLJoBE

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo La técnica - que seguramente aprendiste en algún momento de tu formación usando el Teorema Fundamental de la Aritmética es útil hasta ciertos números, pero se vuelve complejo si trabajas con números más grandes.

Hay métodos para hacer este cálculo ayudados por la computadora, aunque de cualquier forma encontrar el m.c.d. de dos números muy grandes sigue resultando ser muy complicado.

Ejemplo: Para calcular el máximo común divisor de 72 y de 675 se puede obtener de la descomposición en primos de cada uno de los números, es decir:

25

A partir de las tablas anteriores, se obtiene que:

72 = 23 • 32 y que 675 = 52 • 33 De modo que, para calcular el máximo común divisor de 72 y 675, debes tomar los primos comunes al menor exponente que tienen en las factorizaciones, en el ejemplo anterior:

mcd ( 72, 675 ) = 32 = 9 Si bien es clara e intuitiva la técnica que se usa desde primaria para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números naturales, sólo es práctica para números pequeños, sin embargo, considera que resulta útil si se usa como introducción al tema.

De manera analógica se puede encontrar el m.c. de dos números

a

y

b

tomando todos los primos que

aparecen en ambas factorizaciones y tomar el máximo exponente en los primos comunes y el exponente como aparecen en los primos no comunes.

Ejercicios para tu aula El siguiente ejercicio no se te evaluará, pero es importante que lo realices para que valores su pertinencia ya que ¡Quizás te puede servir para desarrollar el tema en tu aula!

Lee con atención y resuelve el siguiente ejercicio, recuerda realizar tus notas con el objetivo de que plasmes el desarrollo del ejercicio.

Se tiene una habitación rectangular de 245 cm de ancho por 351 cm de largo. Si puedes escoger el tamaño de las piezas cuadradas de cerámica para el piso, ¿cuál debe ser el mayor tamaño de estas piezas, para que no se tenga que partir ninguna y comprar la menos cantidad posible?

26

Un reto interesante es que observes qué pasa si multiplicas el m.c.d. por el m.c.m. de cualesquiera dos números. ¿Se te ocurre una conjetura?

¿Te gustaría usar GeoGebra para calcular el MCM y MCD de unos números?

Recuerda que esta aplicación también la puedes usar para reforzar el aprendizaje de este tema con tus estudiantes. Da clic para utilizar GeoGebra y calcular el MCM y MCD de unos números. https://www.geogebra.org/m/d4ym4kQB

Ejercicio Realiza el siguiente ejercicio que pondrá a prueba los conocimientos acerca de los temas abordados.

Es importante que realices este ejercicio, ya que tiene un porcentaje en la evaluación final del Módulo 2.

Caja de herramientas Los videos vistos en esta lección fueron muy interesantes ¿no lo crees? por ello, en la caja de herramientas podrás encontrar los videos vistos a lo largo de esta lección, con el objetivo de que cada vez que lo desees, puedas visualizarlos y/o compartirlos con tus estudiantes.

27

Evidencia de aprendizaje Para concluir esta lección 2, descarga el documento de trabajo Cuadros mágicos, trabájalo de acuerdo a las instrucciones que ahí se te solicitan y una vez que lo concluyas, sube tu evidencia de aprendizaje.

Cierre

¡Felicidades!

¡Has concluido tu segunda lección del Módulo 2!

En la siguiente lección abordarás el tema de la teoría de códigos, un tema muy divertido, ya que como sabes, abarca los números binarios, útiles en la tecnología de la que tanto disfrutan tus estudiantes, ¿quieres algunas ideas para enseñarles el código binario? ¡Avanza para verlas!

28

Referencias: Haran, B. (11 de enero del 2015). This Probably Wont Help. [Mensaje en blog].

Recuperado el 18 de septiembre del 2019, de https://www.bradyharanblog.com/blog/2015/1/11/this-blog-probably-wonthlp O’Connor, J. & Robertson, E. (2006), Christian Goldbach. Escuela de Matemáticas y Estadística. Escocia: Universidad de San Andrés. Recuperado el 18 de septiembre del 2019, de https://mathshistory.standrews.ac.uk/Biographies/Goldbach/

Bibliografía: Alejandría de, D. (2007). La aritmética y el libro sobre los libros números poligonales.

(Manuel Benito Muñoz, Emilio Fernández Moral y Mercedes Sánchez Benito, eds.). Madrid, España: Editorial Nivola (Colección Episteme).

Herrera, J. S. (2010). El uso de la historia de las matemáticas para el aprendizaje de la geometría en alumnos del bachillerato. Investigación en educación matemática XIV (pp. 557-568). Madrid, España: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática, SEIEM. Nelsen, R.B. (1993). Proofs without words: Exercises in Visual Thinking I. Estados Unidos de Norteamérica: The Mathematical Association of America.

Nelsen, R.B. (2016). Proofs without words III: further exercises in visual thinking. Estados Unidos de Norteamérica: The Mathematical Association of America.

Pérez, A. (2000). Los números poligonales. Una caja de sorpresas con mucha historia.

Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española 3.2 331-337

29