Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras
AMPI
Módulo 3. Matemáticas que nos interesan Lección 1. Matemáticas financieras
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencias de la lección 1 ......................................................................................................................... 3 Introducción a las matemáticas financieras ............................................................................................. 3 Intereses .................................................................................................................................................................... 10 IVA................................................................................................................................................................................... 11 Créditos ....................................................................................................................................................................... 11 Tasas de interés ......................................................................................................................................................12 ¡Observación Importante! ...........................................................................................................................15 Interés compuesto ...............................................................................................................................................15 Interés compuesto mensual fijo i .............................................................................................................. 17 Inflación.......................................................................................................................................................................21 La bolsa de valores ..............................................................................................................................................25 Inversiones .............................................................................................................................................................. 27 Historia de los tipos de interés ................................................................................................................... 28 Actividad 4 ................................................................................................................................................................... 29 Cierre ............................................................................................................................................................................... 29 Bibliografía ................................................................................................................................................................... 29
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Competencias de la lección 1
Identificará conceptos básicos de las matemáticas financieras, tales como: tasas de interés, bolsa de valores, inversión, mediante algunos ejemplos, con la finalidad de que pueda hacer la transición de dichos conceptos a sus estudiantes, resaltando el valor del conocimiento de estos temas para la resolución de situaciones reales que los jóvenes experimentarán en un futuro próximo.
Introducción a las matemáticas financieras El contexto mundial está generando cada vez más la necesidad de que los mexicanos tengan una situación financiera clara. La difícil situación económica que se vive actualmente en México, demanda la enseñanza y el uso de las matemáticas financieras, para la toma de decisiones acertadas en cuanto a la economía, ya no sólo para saber qué tan seguido uno puede darse o no un “lujito”, sino para incluso idear un plan económico a largo plazo que permita tener una calidad de vida digna. Revisa el siguiente recurso, en donde encontrarás los motivos y temas referentes que debes abordar y compartir con tus estudiantes sobre las matemáticas financieras.
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https://www.elmundo.es/economia/empresas/2020/03/09/5e6649b021efa04f7e8b464f.html https://www.huffingtonpost.es/entry/la-teoria-del-caos-y-la-pandemia-actual_es_5eafdefec5b639d6e57912d9 5
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https://www.youtube.com/watch?v=lN1XAE_6fSE&feature=youtu.be
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Hace algunos años, la premisa para tener una economía familiar estable era <<no gastes más de lo que ganas>>. Seguir aquella regla, brindaba un sentimiento de estabilidad que permitía irse a dormir tranquilamente, sabiendo que no se le debía a nadie.
Intereses El mercado muchas veces es engañoso, por ejemplo, te dice que cierto objeto lo vende a meses sin intereses, imagina a 12 meses de mil pesos “sin intereses”, pero luego te dice que si lo pagas de contado te hace un descuento y te cobrará 10 mil pesos. Entonces, ¿realmente estás pagando algo sin intereses? Otra forma que engaño por parte del mercado es cuando utiliza su estrategia de “pagos chiquitos”. Revisa el siguiente video, es un ejemplo de cómo puedes enseñar a tus estudiantes el tema de los intereses.
https://www.youtube.com/embed/IVjhDrViamk
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IVA Como pudiste observar en el video anterior, siempre que se compra un objeto, se debe analizar el interés que están cobrando, si es anual, si es un interés compuesto sobre el saldo insoluto cada mes (es lo usual) y preguntarse de manera natural:
Por otra parte, se debe tener claro que siempre que se tiene una deuda, el acreedor cobra primero el interés, el IVA de la parte correspondiente y si sobra algo del pago, es para el capital insoluto.
Ahora reflexiona acerca de la cultura financiera que tienes; para ello, responde las siguientes preguntas: En una tienda te ofrecen un descuento del 16% en la compra de una playera que tiene un costo de $150.00 más IVA. 1. ¿Te conviene que el descuento lo hagan antes de calcular el IVA o después? 2. Si te dicen, no te cobramos el IVA, pero ya no te hacemos el descuento, ¿te conviene?
Créditos En general los bancos ofrecen diferentes productos de crédito, de los más comunes son: tarjetas de crédito, créditos personales, hipotecarios y automotrices. En todos ellos cobran un interés compuesto. Por ello, hay que contemplar y enseñar a los
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estudiantes que no es nada más que el banco les ofrezca una tarjeta de crédito, sino que deben ver qué tipo de interés les van a cobrar. Revisa el siguiente video que te ayudará a comprender una tasa nominal y cómo encontrar el interés efectivo que cobra un banco cuando presta dinero.
https://www.youtube.com/embed/FEIXKGC9N2I
Tasas de interés En la actualidad, los intereses anuales computables mensualmente que tienen las tarjetas de crédito bancarias oscilan entre 24 % y 70%, ¡la diferencia es enorme!
Primer caso: El 24 % corresponde a un 2% mensual. Segundo caso: El 70% corresponde a 5.83%
Así, si tú debes $100 vas a pagar de intereses en el primer caso 2 y en el segundo 5.83, de tal manera que, si por ejemplo pagas 10 pesos ese mes, para el siguiente mes debes:
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en el primer caso 92.00 y en el segundo 95.83.
Para el segundo mes en el primer caso pagarĂas: 1.84 de interĂŠs
mientras que en el segundo caso: 5.587 de interĂŠs
Observa las siguientes tablas que muestran lo que ocurre en los sucesivos 10 meses, manteniendo el pago mensual de 10.
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Observa que despuĂŠs de 10 meses pagando 10 pesos mensuales, en los dos casos se ha pagado lo mismo, sin embargo, en el primer caso solamente queda una deuda de 12.40, que es lo que se ha pagado de interĂŠs por esa deuda durante este tiempo (tomando en cuenta los pagos mensuales que se han dado). En el segundo caso la deuda es de 45.47, que es lo que se ha pagado de interĂŠs por esa deuda (aunque se ha pagado la misma cantidad mensual que en el primer caso).
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Visualiza una observación importante y la puedas analizar en las tablas.
¡Observación Importante! Entre más largo sea el plazo para pagar, se debe tener en cuenta, que las primeras mensualidades tienen una parte mayor en el pago de intereses, observa la primera tabla y ve como al paso del tiempo el interés disminuye y la cantidad que se abona a capital es mayor, este comportamiento no es lineal. Ahora, observa la tabla para el segundo caso; del mes uno al mes dos la disminución en la cantidad de interés es de 24 centavos, mientras que del 9º al 10º mes es de 37 centavos, qué es más del 50% mayor que la primera diferencia, esto es debido a que la cantidad que se abona a capital es mayor y esta cantidad también aumenta en forma no lineal. Muchas veces no es conveniente tomar un crédito por un plazo demasiado largo, ya que disminuye poco la mensualidad y aumenta el tiempo de pago.
Interés compuesto Es importante recordar que, en general la mayoría de los créditos tienen un impuesto IVA que hay que pagar no del total del interés, sino de la diferencia que hay entre el interés que se paga por el crédito y la inflación que reporta el Banco de México, es decir, en el segundo caso el pago de IVA de intereses es considerablemente mayor que en el primer caso. Para lo anterior, es necesario obtener una fórmula para el cálculo de interés compuesto al poner un capital inicial en el banco a un interés compuesto computable mensual. Por ejemplo, imagina que pones 100 al 36% anual computable mensualmente, es decir 3 % mensual sobre el saldo.
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Observa los primeros meses y trata de obtener una fĂłrmula a partir de tus observaciones. Al tĂŠrmino del 1er mes tendrĂĄs:
100 + (0.03)(100) = (1.03)(100) = 103 Observa que el 3% son el tres de cada 100, es decir, 3/100 = 0.03. A este interĂŠs conviene llamarle i (de interĂŠs).
Al tĂŠrmino del 2Âş mes tendrĂĄs:
103 + (0.03)(103) = (1 + 0.3)(103) = (1.03)103 = 106.09 Con el fin de obtener la fĂłrmula, se indican las cuentas que se han hecho hasta aquĂ:
1er mes: 1.03(100) = 103 2Âş mes: 1.03 (103) = 1.03(1.03)(100) = (1.03)2(100) 3er mes: 1.03(1.03)2(100) = (1.03)3(100)
Y asĂ sucesivamente, es decir, por ejemplo, despuĂŠs de 6 meses tendrĂĄs:
(1.03)6(100) Y despuĂŠs de n meses: (1.03)n(100)
ÂżQuĂŠ dice la fĂłrmula? Que si yo invierto un capital C a un interĂŠs compuesto i durante n meses el dinero que tendrĂŠ es:
(1 + i)đ?‘› đ??ś Si lo que se tiene es una deuda D a un interĂŠs mensual de i y con un pago fijo de P entonces el comportamiento es el siguiente:
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DespuĂŠs del primer mes deberĂĄs:
đ??ˇ1 = D + iD − P = (1 + i)D – P DespuĂŠs del segundo mes deberĂĄs:
đ??ˇ2 = (1 + i)D – P + i((1 + i)D − P)– P = (1 + i)2 D– (i + 2)P P P = (1 + i)2 (D – ) + i i Y se puede deducir la fĂłrmula general que quedarĂa.
DespuĂŠs del n-ĂŠsimo mes la deuda serĂĄ:
đ??ˇđ?‘› = (1 + i
)n
P P (D – ) + i i
InterĂŠs compuesto mensual fijo i Del mismo modo, si quieres establecer un ahorro mensual de A pesos cada mes, a un interĂŠs compuesto mensual fijo i, lo que obtienes es:
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Da clic en la siguiente imagen para ver otro caso en donde puedes utilizar esta fórmula, recuerda compartir el caso con tus estudiantes
OTRO CASO… Cuando se solicita un crédito por ejemplo, para comprar un auto, siempre preguntan:
Con estos datos y mediante una simple resta obtienen el crédito que se está solicitando y generalmente lo que hacen en la computadora es lo que le llaman una corrida para determinar el monto de las mensualidades a pagar por el plazo del crédito. Lo que calcula la computadora es la mensualidad que se tiene que pagar de acuerdo con el interés que está ofreciendo, usando la fórmula que ya has visto, es decir:
Fórmula:
An = [(1 + i)n+1 – 1]A/i
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Inflación El fenómeno de la inflación es sujeto de estudio, pero siempre debe tenerse en cuenta, pues no es lo mismo 100 pesos de ahora, que 100 pesos de hace 5 años, su poder adquisitivo ha variado, generalmente disminuye conforme la inflación avanza. Da clic en cada una de las noticias del siguiente periódico para ver los ejemplos, los cuales puedes compartir y resolver con tus estudiantes.
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La bolsa de valores Otro tema en el que se debe tener nociones claras es la bolsa de valores, sobre todo porque seguro tienes tu plan de retiro en alguna afore, claro dependiendo de tu edad es el tipo de afore en el que estás, independientemente del operador que hayas elegido para que lleve tus recursos. Cuando se es joven se tiene la posibilidad de poner un porcentaje del ahorro en el capital de riesgo, es decir, en la bolsa de valores y el otro en capital que no es de riesgo, en inversiones que tienen rendimiento fijo.
Se te sugiere buscar noticias sobre las bolsas de valores del mundo con el objetivo de compartirlas a tus estudiantes, para que poco a poco vayan observando que una cosa es el precio y otra el valor de lo que se vende y entiendan por qué en la bolsa de valores se hacen grandes fortunas y se hacen grandes pérdidas, especulación sobre lo que la gente va o dejará de comprar.
La siguiente imagen para que visualices 2 situaciones sencillas que ejemplifican la visión de los inversionistas de acuerdo a su estrategia de inversión.
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Inversiones Si tienes dinero invertido en el banco y te produce algún interés, pagarás impuesto (ISR) sobre la diferencia de lo que te pagaron de interés contra la inflación, esa es tu ganancia real, es decir, si el banco te ofrece un interés del 5 % mensual y la inflación en ese mes fue del 3 % tu ganancia sería del 2 % (eso en general, no ocurre). Debes considerar que el banco a ti te paga un interés por el dinero que ahorras y él presta tu dinero a otra persona a otro interés, el banco tiene que pagar los gastos de operación y obtener su ganancia con la diferencia entre lo que le cobra al que le prestó y lo que te paga a ti, claro que entre otras cosas el banco corre el riesgo que al que le prestó no le pague, pero como sabes, existe una ley bancaria que te protege hasta cierta cantidad que tengas invertida en ese banco.
Revisa el siguiente video, recuerda que es un ejemplo para que tus estudiantes entiendan la importancia de las inversiones y vean los errores que generalmente se comenten cuando son primerizos en las inversiones.
https://www.youtube.com/embed/4iu-a9Y0LFI
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Historia de los tipos de interés Finalmente, quisiera pensarse y argumentarse que la economía y la producción han estado al servicio de buscar una vida de mayor calidad para el ser humano, sin embargo, en general no siempre es así.
Compartir sucesos históricos importantes permiten a tus estudiantes analizar los temas de manera integral. Lee el artículo titulado Historia de los tipos de interés. https://www.oroyfinanzas.com/2013/03/historia-tipo-interes/ El ser humano necesita reflexionar sobre si la única medida de éxito de la vida está basada en cuanto dinero se puede acumular y, proceder consecuentemente con los cambios que hacen falta, sobre todo en la educación de los jóvenes mexicanos.
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Actividad 4 Para cerrar esta lección, realiza la actividad programada. Da clic en el siguiente botón para abrirla, en ella encontrarás las indicaciones para poder llevarla a cabo con éxito.
Cierre ¡Excelente! ¡Concluiste tu penúltima lección del curso! Vas muy bien, estás a sólo una lección de concluir tu curso, ¡tú puedes! Avanza hacia la última lección en la cual aplicarás los conceptos vistos aquí en situaciones reales, tales como: El famoso juego llamado: Melate.
¡Adelante!
Bibliografía Gutiérrez-Pulido, H. y De la Vara Salazar, R. (2008), Diseño y análisis de experimentos, 2a. ed., McGraw-Hill, México. Cochran William G. (1992), Técnicas de Muestreo. ISBN 968-26-0151-7, CECSA Johnson Robert, Kuby Patricia (1999), Estadística elemental, lo esencial. ISBN 968-7529-10-5. Internacional Thomson editores. Mendenhall William, Beaver Robert J., Beaver Barbara M. (2006), Introducción a la probabilidad y estadística. ISBN-13:978-607-481-305-0, CENGAGE Learning. Walpole Ronald E., Myers Raymond H. (1992), Probabilidad y estadística. ISBN 968-422-992-5. Mc Graw Hill.
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