Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras
AMPI
Módulo 1. El álgebra y la geometría: amigas íntimas. Lección 2. Desigualdades lineales
Programa de Formación Docente
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Contenido Competencias de la lección 1 ......................................................................................................................... 3 Desigualdades con una variable ....................................................................................................................... 3 Planteamiento de problema 1 ....................................................................................................................... 4 Desarrollo de modelo para resolución de problema....................................................................... 7 Desigualdades cuadráticas ............................................................................................................................. 9 Valor absoluto .........................................................................................................................................................13 Ejemplos ................................................................................................................................................................15 Aplicación del teorema .................................................................................................................................... 18 Desigualdades con dos variables ................................................................................................................... 19 Planteamiento de Problema 2 .................................................................................................................... 19 Construcción de un modelo para resolver el problema 2 ......................................................... 20 Conjunto solución de una desigualdad lineal con dos incógnitas. ......................................22 Conjunto solución (semiplanos) ................................................................................................................ 27 Resolviendo el Problema 2............................................................................................................................ 34 Solución del Problema 2................................................................................................................................. 38 Actividad 2.................................................................................................................................................................... 39 Cierre ............................................................................................................................................................................... 39 Referencias bibliográficas .................................................................................................................................. 40 Bibliografía ................................................................................................................................................................... 40
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Competencias de la lección 1
Analiza el tema de las desigualdades lineales con una y dos variables, mediante el desarrollo de modelos que permitan encontrar la solución correcta a dos problemas, con el fin de que dichos conocimientos se utilicen para la solución de problemas (programación lineal) de la vida cotidiana.
Desigualdades con una variable Para comenzar tu segunda lección, revisa el siguiente video, en el cual la Mtra. Adriana León, brinda ejemplos de desigualdades lineales en la vida real.
https://youtu.be/GHojlYF7IAY De acuerdo a lo visto en el video, se puede afirmar que existen diversas situaciones en la vida cotidiana, donde interesa conocer los números que son la solución de una desigualdad o de un sistema de desigualdades. En algunos casos interesa conocer también, el número máximo o mínimo que satisface una desigualdad o un sistema de desigualdades.
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Planteamiento de problema 1 Revisa con cuidado el siguiente planteamiento, ya que representa un claro ejemplo de las desigualdades en la vida real y cรณmo se pueden resolver.
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A partir del Ăşltimo proceso en el recurso anterior, se concluye que la desigualdad es falsa. Por lo que se puede afirmar que la fĂĄbrica no lograrĂĄ entregar el pedido a tiempo. Entonces la pregunta final serĂa:
ÂżCuĂĄntos antecomedores puede armar la fĂĄbrica en una semana? Desarrollo de modelo para resoluciĂłn de problema Para poder contestar la pregunta: ÂżcuĂĄntos antecomedores puede armar la fĂĄbrica en una semana?, observa que el tiempo que ocupa un trabajador en armar un antecomedor es:
(30)(4) + (40) = 120 + 40 = 160 minutos Como la fĂĄbrica dispone de 26 400 minutos como mĂĄximo de tiempo de sus
đ?‘Ľ al nĂşmero de antecomedores que se arman en una semana, se debe tener 160đ?‘Ľ que es el tiempo que se tarda en armarlos, no trabajadores, entonces si se llama
puede exceder del tiempo mĂĄximo del que dispone, es decir, se tiene la siguiente desigualdad:
160� ≤ 26400 Ademås, no tiene sentido armar un número negativo de antecomedores; de modo que:
0≤� En consecuencia, un modelo para la pregunta del problema consiste en el siguiente sistema de desigualdades:
160đ?‘Ľ ≤ 26400 0≤đ?‘Ľ Ahora para encontrar la respuesta al problema, es necesario despejar a segunda desigualdad, asĂ:
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đ?‘Ľ
de la
1 1 (160� ) ≤ (26400) 600 160 Asociando se tiene:
1 26400 (160)] � ≤ [ 600 160 � ≤ 165 A partir de lo anterior, se tiene que el sistema de desigualdades es equivalente al sistema:
160� ≤ 26400 y 0 ≤ � Esto se puede escribir como intervalo [0,165]
0 ≤ � ≤ 165. De donde, el conjunto solución es el
Para recordar las propiedades de las desigualdades y de intervalos, revisa la siguiente lectura titulada Desigualdades lineales de una variable, de la Mtra. Adriana LeĂłn y del Dr. Alejandro DĂaz Barriga. Da clic en el siguiente botĂłn para comenzar a revisar la lectura:
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IMPORTANTE: Esta lectura es fundamental para manejar el contenido de esta lección y poder realizar correctamente tu Actividad necesario que la revises a detalle.
2,
por lo que es
A Respondiendo la pregunta:
¿Cuántos antecomedores puede armar la fábrica en una semana? La respuesta es: El número de antecomedores que puede armar está en el intervalo cerrado [0,165].
Desigualdades cuadráticas Se puede afirmar que:
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A partir de la definiciĂłn anterior, abordarĂĄs las desigualdades de segundo grado con una incĂłgnita, mediante el siguiente ejemplo:
3đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ − 45 ≤ 0 Si intentas realizar el mismo procedimiento que se desarrollĂł en la lectura Desigualdades lineales de una variable, observarĂĄs que no es posible dejar solita la x. De modo que, debes cambiar la estrategia para poder resolver este tipo de desigualdades. AsĂ, para resolver la desigualdad:
3đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ − 45 ≤ 0 Primero se procede a factorizar el polinomio, que en este caso se encuentra en el lado izquierdo de la desigualdad.
3(đ?‘Ľ − 5)(đ?‘Ľ + 3) ≤ 0 1
Se multiplica en ambos miembros por , entonces se obtiene,
3
1 1 ( ) (3)(đ?‘Ľ − 5)(đ?‘Ľ + 3) ≤ 0 ( ) 3 3 Simplificando:
(đ?‘Ľ − 5)(đ?‘Ľ − 3) ≤ 0
Si deseas fortalecer el desarrollo para resolver ecuaciones de segundo grado, o bien, material Ăştil para que tus estudiantes puedan resolver este tipo de ecuaciones, se te sugiere el siguiente titulado Ecuaciones de segundo grado.
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http://recursostic.educacion.es/descartes /web/materiales_didacticos/EDAD_3eso_ ecuaciones_segundo_grado/3eso_quinc ena3.pdf
De acuerdo a lo visto en la lecciĂłn 1, se sabe que el producto de dos nĂşmeros es negativo si tienen signos contrarios; por lo que se tienen dos casos:
Caso 1
đ?‘Ľâˆ’5 ≤0
y
0 ≤�+3
A partir del ejemplo anterior, se deduce que:
đ?‘Ľ ≤ 5 y −3 ≤ đ?‘Ľ Entonces, el conjunto soluciĂłn en este caso es la intersecciĂłn (Âżpor quĂŠ?) de cada uno de los siguientes intervalos:
(−∞, 5] ∊ [−3, ∞) = [−3,5] Como has visto, este sistema de desigualdades tambiĂŠn se puede escribir:
- 3 menor o igual que x menor o igual que 5
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GrĂĄficamente se ve como la siguiente figura:
Caso 2
0 ≤ đ?‘Ľ −5yđ?‘Ľ −3 ≤ 0 A partir de este caso, se deduce que:
5 ≤ �y� ≤ 3 Entonces, el conjunto solución en este caso es la intersección (¿por quÊ?) de cada uno de los siguientes intervalos.
[5, ∞) ∊ [−∞, −3] = ∅ GrĂĄficamente se ve como la siguiente figura:
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Por lo tanto el conjunto soluciĂłn de la desigualdad uniĂłn de los intervalos de cada caso, es decir:
3đ?‘Ľ 2 − 6đ?‘Ľ − 45 ≤ 0 es la
[−3,5] âˆŞ ∅ = [−3,5] Valor absoluto Si te preguntas por la distancia que hay entre los puntos en la recta real que corresponden a los nĂşmeros 8 y 3, afirmarĂĄs que esa distancia es 5, para calcularla considera la diferencia entre estos dos nĂşmeros y si es negativa toma el inverso aditivo, es decir, puedes considerar 8 -3 o considerar 3 - 8. La distancia entre los puntos que le corresponden a 8 y a 3 se puede pensar intuitivamente en lo que se tiene que recorrer para ir del punto 8 al punto 3, que debe ser lo mismo que recorrer del punto 3 al punto 8. Con esto se estĂĄ afirmando que una distancia entre dos puntos en la recta real siempre es no negativa. Esto es importante cuando se quiere hablar del concepto de lĂmite. Para poder hablar de estas distancias necesitas introducir el valor absoluto de un nĂşmero y estudiar desigualdades que involucren el valor absoluto. Primero recuerda, ÂżcuĂĄl es la definiciĂłn de valor absoluto de un nĂşmero real?
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Revisa informaciรณn del valor absoluto en la recta.
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Observa que el valor absoluto de un nĂşmero es el mismo nĂşmero o su inverso aditivo. El valor absoluto es un nĂşmero no negativo.
Ejemplos 1.
El valor absoluto de
1 2
SoluciĂłn: Ya que
2.
El valor absoluto de −
1 2
es positivo entonces:
1
1
2
2
| |=
1 2
SoluciĂłn: Ya que −
1 2
es negativo, entonces |−
1 2
1
1
2
2
| = −(− ) =
Ahora, analiza la siguiente situaciĂłn, es importante que despliegues cada opciĂłn del siguiente recurso para que puedas seguir el proceso de cada paso.
Valor absoluto
đ?‘Ž un nĂşmero real positivo, es decir, 0 < đ?‘Ž si un punto đ?‘Ľ estĂĄ ubicado entre −đ?‘Ž y đ?‘Ž entonces el valor absoluto de đ?‘Ľ estĂĄ mĂĄs prĂłximo a cero que đ?‘Ž , es decir: Sea
−đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž
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Esta afirmaciĂłn induce el siguiente Teorema:
DemostraciĂłn del teorema. Para demostrar este teorema necesitas demostrar dos cosas:
1. La desigualdad |đ?‘Ľ | 2.
≤ đ?‘Ž implica − đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž Las desigualdades − đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž implican |đ?‘Ľ | ≤ đ?‘Ž
Haciendo la primera demostraciĂłn: CĂłmo
|� | ≤ �
entonces
− đ?‘Ž ≤ −|đ?‘Ľ |
đ?‘Ľ
AdemĂĄs, como es cualquier nĂşmero real entonces, puede ser positivo o negativo o cero. Utilizando la definiciĂłn de valor absoluto se tiene lo siguiente:
đ?‘Ľ = |đ?‘Ľ | o đ?‘Ľ = −|đ?‘Ľ | Juntando todas las desigualdades se tiene:
− đ?‘Ž ≤ −|đ?‘Ľ | ≤ đ?‘Ľ ≤ |đ?‘Ľ | ≤ đ?‘Ž Por lo tanto
− đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž
Realizando la segunda demostraciĂłn: Si supones que
− đ?‘Ž ≤ đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž 16
0 ≤ đ?‘Ľ se tiene que |đ?‘Ľ | = đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž, si por el contrario đ?‘Ľ ≤ 0, entonces |đ?‘Ľ | = −đ?‘Ľ ≤ đ?‘Ž. En ambos casos se tiene que: Si
|� | ≤ � Lo que demuestra el teorema.
Para que puedas observar geomĂŠtricamente este teorema.
https://www.geogebra.org/calculator/znvf9hsh
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AplicaciĂłn del teorema Con el teorema anterior y las propiedades de desigualdades, se pueden resolver desigualdades como la siguiente:
|3đ?‘Ľ + 2| < 7 Para resolver la desigualdad anterior, es suficiente con resolver las siguientes desigualdades:
−7 < 3đ?‘Ľ + 2 < 7 Si se suma en cada desigualdad el nĂşmero
−2, se tiene:
−7 − 2 < 3đ?‘Ľ + 2 − 2 < 7 − 2 Entonces, reduciendo tĂŠrminos:
−9 < 3đ?‘Ľ < 5 Multiplicando cada desigualdad por
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1 1 1 (−9) < (3đ?‘Ľ ) < (5) 3 3 3 Simplificando, se obtiene:
−3 < đ?‘Ľ < Por tanto, el conjunto soluciĂłn es el intervalo:
5 (−3, ) 3
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5 3
Desigualdades con dos variables Planteamiento de Problema 2 Este tema lo iniciarรกs con el planteamiento del problema 2, intenta obtener el modelo que muestre la soluciรณn.
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Este problema simplifica lo que en la realidad ocurre, pues en la vida real los contextos son bastantes mĂĄs complejos, por ejemplo, habrĂa que pensar en la situaciĂłn del mercado; ÂżhabrĂĄ suficientes compradores de nuestro producto?, la distribuciĂłn del producto en el mercado y sus costos, etcĂŠtera. Sin embargo, es un buen ejemplo para iniciarse en problemas con estas caracterĂsticas, conocido como programaciĂłn lineal. Para resolverlo, debes comenzar elaborando un modelo del problema, para ello: 1. Representa con
đ?‘Ľ al nĂşmero de cinturones que se fabrican en un dĂa y con
đ?‘Ś al nĂşmero de bolsos. 2. Determina el modelo del problema.
ConstrucciĂłn de un modelo para resolver el problema 2 Como se han fabricado durante
1 2
đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś
đ?‘Ľ cinturones y đ?‘Ś bolsas entonces se ha usado la mĂĄquina A
horas y esto no puede exceder de 8 horas, por lo que la primera
desigualdad que se tiene es:
1 � + 2� ≤ 8 2
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Por otra parte, la mĂĄquina B se ha usado horas, por lo que se tiene otra desigualdad:
đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś horas y no puede exceder de 12
� + 2� ≤ 12 Por otra parte, no se puede hacer un número negativo de cinturones ni de bolsas, es decir, se tienen las desigualdades:
0≤� 0≤� Ahora, la ecuación que representa la ganancia al fabricar
đ?‘Ľ cinturones y đ?‘Ś bolsas es:
đ?‘Ž = 200đ?‘Ľ + 500đ?‘Ś lo que se quiere es que la ganancia sea mĂĄxima, es decir, que G sea lo mĂĄs grande posible. Para poder resolver el sistema de desigualdades, debes comenzar con la resoluciĂłn de una desigualdad lineal con dos variables, lee la lectura Conjunto soluciĂłn de una desigualdad lineal con dos incĂłgnitas de la Mtra. Adriana LeĂłn y del Dr. Alejandro DĂaz Barriga.
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Conjunto soluciรณn de una desigualdad lineal con dos incรณgnitas. Dada una desigualdad lineal con dos incรณgnitas, (como las desglosadas en el problema anterior), es llamada ecuaciรณn asociada a esa desigualdad, a la ecuaciรณn que se obtiene sustituyendo el signo de desigual por el signo de igual. Da clic en el siguiente recurso para comenzar a visualizar un ejemplo:
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Revisa el recurso GeoGebra para ver la animaciĂłn de la recta L vista en el recurso anterior:
Conjunto soluciĂłn (semiplanos) Dada una recta, al conjunto de todos los puntos que se encuentran de un lado de ella se le llama semiplano. Si la recta no es vertical se puede hablar del semiplano superior a ella y del semiplano inferior a ella. En este caso la recta tiene una ecuaciĂłn de la forma:
đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘? Donde
đ?‘š es la pendiente y đ?‘? la ordenada al origen.
Para las rectas verticales se habla del semiplano derecho y del semiplano izquierdo, en este caso se tiene una ecuaciĂłn de la forma:
đ?‘Ľ=đ?‘? Se te sugiere hacer las siguientes observaciones a tus estudiantes: ďƒź Se debe tener claro el dominio donde se estĂĄ haciendo el trabajo. Por ejemplo, si el dominio son los nĂşmeros reales, la ecuaciĂłn x = 8, tiene solamente una soluciĂłn, el nĂşmero 8. ďƒź Por otro lado, si el dominio es el plano cartesiano, la ecuaciĂłn x = 8 tiene una infinidad de soluciones, su conjunto soluciĂłn consta de todos los puntos con coordenadas (8, y), es decir, se trata de una recta vertical que corta al eje X en el punto (8, 0).
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Cuando se tiene un sistema de desigualdades lineales con dos incรณgnitas, lo que se debe encontrar es la intersecciรณn de los conjuntos soluciรณn de cada una de las desigualdades del sistema. El sistema de desigualdades que se tiene que resolver para el problema 2 es:
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Resolviendo el Problema 2 Recuerda que la funciĂłn ganancia estĂĄ dada por:
đ?‘Ž = 200đ?‘Ľ + 500đ?‘Ś Se tendrĂa que ir sustituyendo parejas (x, y) que estĂŠn dentro del polĂgono e ir viendo para esos puntos cual es la ganancia que produce esa soluciĂłn (esto no se ve fĂĄcil, de hecho uno buscarĂa soluciones enteras, por ejemplo). IntersecciĂłn de las rectas asociadas Se necesita conocer un poco mĂĄs sobre el polĂgono, por ejemplo, los vĂŠrtices del mismo, de acuerdo a la grĂĄfica, es fĂĄcil observar que un vĂŠrtice es el origen, otro es el punto (0,4), para conocer los otros dos se necesita conocer la intersecciĂłn de las restas asociadas:
1
1
đ?‘Ś = − 4 đ?‘Ľ + 4 con đ?‘Ś = − 2 đ?‘Ľ + 6 y la intersecciĂłn de las rectas asociadas:
1
đ?‘Ś = − 2 đ?‘Ľ + 6 con đ?‘Ś = 0 Se trata de dos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas.
Primer Sistema de ecuaciones: Resolviendo el primer sistema:
1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+4 4 1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+6 2 Se tiene despejada đ?‘Ś en ambas ecuaciones por lo que se obtiene:
1 1 − đ?‘Ľ+4=− đ?‘Ľ+6 4 2 34
de donde,
đ?‘Ľ=8
sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema, se obtiene:
đ?‘Ś=2 es decir, la soluciĂłn del sistema es determinadas por estas ecuaciones.
(8, 2)que
es la intersecciĂłn de las rectas
Segundo Sistema de ecuaciones: Ahora se procede a resolver el segundo sistema:
1 đ?‘Ś =− đ?‘Ľ+6 2 đ?‘Ś=0 para lo cual, se debe resolver:
1 0=− đ?‘Ľ+6 2 de donde
đ?‘Ľ = 12 La soluciĂłn del sistema es el punto (12, 0). En conclusiĂłn, los vĂŠrtices del polĂgono soluciĂłn del sistema son:
A(0, 0); B(0, 4); C(8, 2); y D(12, 0).
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A(0, 0); B(0, 4); C(8, 2); y D(12, 0). Hay que tener presente que lo que se quiere encontrar es un punto en este polĂgono que maximice la funciĂłn:
đ?‘Ž = 200đ?‘Ľ + 500đ?‘Ś Para cada valor G0 que se tiene de G, lo que se tiene es una recta, observa que si se cambia a otro valor G1 se tiene otra recta, pero estas dos rectas son paralelas. Es decir, los diferentes valores de G determinan rectas paralelas. Se puede variar estas rectas paralelas, en este caso son rectas con pendiente
2
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(Âżporque?) y la soluciones son intersecciones de estas rectas con la regiĂłn del polĂgono. La ganancia para cada una de estas rectas es la ordenada al origen multiplicada por 500 Âżsabes por quĂŠ?. En consecuencia, se quiere la recta que tenga ordenada al origen mayor que interseca al polĂgono. Por otra parte, observa que estas rectas entran y salen del polĂgono por algĂşn vĂŠrtice del mismo. Con esto, se tiene que la ganancia mĂĄxima que satisface las condiciones dadas por las desigualdades se obtiene en alguno de los vĂŠrtices del polĂgono, por lo que se debe calcular la ganancia en cada uno de los vĂŠrtices del polĂgono y el valor mĂĄximo que se obtenga es la soluciĂłn que se estĂĄ buscando. En este caso:
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De acuerdo a los resultados que cada punto obtuvo, puedes observar que la ganancia mรกxima se obtiene cuando se fabrican:
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Solución del Problema 2 Revisa el recurso GeoGebra para observar la ganancia máxima que se obtiene cuando se fabrican 8 cinturones y 2 bolsas.
https://www.geogebra.org/m/cfzqcrnf
Una última observación… Efectivamente se puede afirmar que la función a minimizar o maximizar entra y sale por algún vértice del polígono solución del sistema. Este es un teorema de la programación lineal, y hay que tener claras las hipótesis del mismo. Esto que se ha hecho aquí para dos incógnitas, se puede hacer con más incógnitas. Con esta técnica se puede minimizar costos, maximizar ganancias y el número de variables dependerá del problema.
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Actividad 2 Ahora, realiza tu segunda Actividad. En ella encontrarás cada uno de los pasos a realizar para poder llevarla a cabo con éxito.
Recuerda utilizar la Rúbrica 2 antes de subir tu actividad a la plataforma, con el objetivo de que verifiques que cumples con cada uno de los aspectos que se te van a evaluar.
Cierre ¡Muy bien! ¡Has concluido tu segunda lección! En el siguiente módulo revisarás el concepto de infinito según Cantor, algunos ejemplos de conjuntos finitos e infinitos y, un breve acercamiento al cálculo diferencial e integral.
¡Avanza a tu siguiente módulo!
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Referencias bibliográficas Díaz Barriga, A. (1975). Desigualdades. Temas básicos. Matemáticas.Sidalc.net (No. Folleto 6655).
Bibliografía Apostol, T. M. (2007). Calculus. One-variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra (Vol. 1). 2ª Edición. Nueva York, Estados Unidos de Norteamérica: John Wiley & Sons. Marsden, J., & Weinstein, A. (2012). Calculus I. Springer Science & Business Media. Nueva York, Estados Unidos de Norteamérica: Springer-Verlang.
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