Aplicación de las matemáticas a través de problemáticas integradoras
AMPI
Módulo 1. El álgebra y la geometría: amigas íntimas. Lección 1. ¿Qué tan reales son los reales? Descargable
Programa de Formación Docente 1
Contenido Competencias de la lección 1 ......................................................................................................................... 3 ¿Qué tan reales son los números reales? .................................................................................................... 3 Graficar números reales ..................................................................................................................................... 4 Números racionales.............................................................................................................................................. 7 Números Irracionales ........................................................................................................................................ 14 Orden en los Números Reales positivos y el cero ................................................................................ 14 Operaciones con números reales ..................................................................................................................25 Consideración importante para no confundir a los estudiantes .......................................... 34 Propiedades de las operaciones de suma y multiplicación de números reales ..............35 Propiedad de completez ................................................................................................................................ 44 Actividad 1 ................................................................................................................................................................ 46 Cierre........................................................................................................................................................................... 46 Referencias bibliográficas.............................................................................................................................. 46
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Competencias de la lección 1
Reconoce los números reales como los números decimales, analiza su estructura como campo ordenado completo, los grafica en la recta real, reconoce algunos subconjuntos distinguidos de este conjunto como son los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales, y recuerda algoritmos de suma y multiplicación de expresiones enteras, como cociente de enteros y de decimales finitos, a través del empleo de algunos materiales didácticos que le permitan desarrollar su habilidad para explicar dichos conocimientos a sus estudiantes en el aula.
¿Qué tan reales son los números reales? Para comenzar tu primera lección, revisa el siguiente video, en el cual el Dr. Alejandro Díaz Barriga contextualiza el estudio de los números reales.
https://www.youtube.com/embed/kQl4SrldLmE Siguiendo el propósito mencionado en el video anterior, comenzarás esta lección con el tema de la representación de la recta.
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Graficar números reales Para graficar los números reales lo primero que se debe tener es una recta, posteriormente se debe dar una unidad de magnitud, por lo regular, debido al espacio en el papel o en el pizarrón, la recta que se traza se hace de manera horizontal (esto no siempre puede ser así), en esta lección se hará como se hace usualmente. Se procede a tomar una unidad de longitud: 1.
Se elige un punto en la recta, al cual se le asigna el número cero.
2. Se elige una dirección de las dos posibles que se tienen a partir del punto que se le asignó al número cero. Lo usual es que, si la recta está en forma horizontal, la dirección que se elige es hacia la derecha (podrías elegir la otra sin ningún problema), y con la unidad de longitud y esa dirección, se comienza a asignar los números naturales a partir del 1 a los puntos correspondientes al número de unidades siguientes conforme se alejan del cero.
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Revisa el siguiente vídeo, es un ejemplo para abordar el tema de graficar, además se ven algunos ejemplos sobre cómo comparar dos números reales expresados con decimales.
https://youtu.be/DKsT_NAI_7I De acuerdo al ejemplo visto en el video, para graficar el punto que le corresponde al resultado de Luis Augusto de 11.325, debes observar que este punto se encuentra entre los puntos que le corresponden al número 11 y al número 12, así que debes partir en diez partes iguales este segmento y el punto que obtienes al tomar la tercera de estas partes a partir del que le corresponde a 11, es el punto que corresponde a 11.3, y al que sigue le corresponde 11.4; ahora debes partir este segmento en diez partes iguales y el segundo punto a partir del que le corresponde al 11.3, es el que le corresponde a 11.32 y el que le sigue 11.33, ese segmento lo partes en diez partes iguales y el punto que buscas es el que está a cinco partes a partir de 11.32 y corresponde al número 11.325. Para visualizar lo anterior, observa la siguiente gráfica y posteriormente escucha el audio que se encuentra en el recuadro derecho.
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Escucha la reflexión del Dr. Alejandro Díaz Barriga sobre la gráfica.
Para continuar analizando el ejemplo anterior, revisa el recurso GeoGebra para que observes cómo se va “completando” la recta real:
El tiempo que tardó Luis Augusto en correr los 100 metros fue de 11.325 segundos y es expresado como 11 segundos 325 milésimas de segundo, pero también se puede decir 11 segundos 3 décimas, 2 centésimas y 5 milésimas de segundo, así, se puede escribir con las siguientes igualdades:
325 3 2 5 11.325 = 11 + = 11 + + + 1000 10 100 1000 o bien, usando exponentes enteros, se tiene:
6
11 +
3 10
+
2 100
+
5 1000
= 1x101 + 1x100 + 3x10-1 + 2x10-2 + 5x10-3
esta Ăşltima expresiĂłn a veces es referida como la expresiĂłn desarrollada del nĂşmero 11.325, obviamente esto es debido a que se estĂĄ usando la numeraciĂłn decimal para referirse a estos nĂşmeros, esta situaciĂłn se discutirĂĄ en otro momento. Por lo pronto, se tiene que el nĂşmero 11.325 es el nĂşmero
11325 1000
. Esta Ăşltima expresiĂłn
es una expresiĂłn como cociente de dos enteros del nĂşmero 11.325. Se dice que un nĂşmero es par cuando es mĂşltiplo de 2, es decir, cuando tiene una expresiĂłn de la
2đ?‘›
đ?‘›
forma con otro nĂşmero natural. Por ejemplo, el nĂşmero 14 es par porque se puede expresar como
đ?‘›=
2 x 7 y 7 es otro nĂşmero natural (
7), sin embargo, el nĂşmero 13 no es un nĂşmero par, porque no se puede expresar como el producto del nĂşmero 2 por otro nĂşmero natural, de hecho, 13 es 2x (6.5) y 6.5 no es un nĂşmero natural.
Números racionales Como recordarås, los números que se pueden expresar como el cociente de dos enteros son llamados números racionales (tambiÊn fraccionarios o quebrados), al número que estå debajo de la raya del quebrado se le llama denominador y denota el número en el que se estå dividiendo la unidad. El número que estå arriba de la raya del quebrado se le llama numerador y denota cuåntas partes se toman de la división que se hace de la unidad. Por ejemplo: 
13 17
dice que la unidad se divide en 17 pedazos iguales y de ĂŠstos se toman 13.
7
Observa la siguiente imagen:
125 15
dice que se divide la unidad en 15 pedazos iguales y de éstos se toman 125.
Ahora, revisa la lectura ¿Qué tan reales son los reales? Autores: Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. Mtra. en D. Adriana León Montes Un número racional admite varias representaciones como cociente de dos enteros, por ejemplo, las expresiones como cociente de enteros, representan al mismo número.
3 7
y
6 14
, son expresiones que
Observación: Para saber cuándo dos expresiones como cociente de enteros representan al mismo número, se multiplica el numerador de una de ellas por el denominador de la otra y, en ambos casos, debe dar el mismo número entero. En el ejemplo anterior, se tiene que 3 x 14 = 6 x 7. Esto se escribe
3 7
=
6 14
y se dice que estos números son iguales, es
decir que son el mismo número. Observa que sólo está cambiando la forma de expresarlo, pero es el mismo número. En Matemáticas cuando se dice que dos números son iguales, lo que se quiere decir, es que son el mismo número y lo único que está cambiando, quizá, es la expresión que se está usando para referirnos a este número. Por ejemplo:
1 2
=
2 4
= 0.5
en la primera igualdad son expresiones diferentes como
cocientes de enteros, en la última, es la expresión decimal del mismo número.
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Para obtener la expresión decimal de un número racional que se tiene expresado como el cociente de dos enteros, se procede a hacer la división del numerador entre el denominador. Colocando el punto decimal cuando se haya terminado de dividir la parte entera. Ejemplos:
1 2 25 2
= 0.5 = 12.5
25 5
=5
Se debe observar que cualquier número entero se puede expresar de manera obvia 17
como cociente de enteros, por ejemplo, 17 = 1 , de hecho, como habrás observado, la expresión como cociente de enteros del número 17 no es única, hay una infinidad de maneras de hacerlo, aquí se escriben algunas:
17 =
17 1
=
85 5
=
170 10
=
340 20
=
119 7
=…
Por la observación anterior, se sabe que los números enteros son números racionales. Como ya has visto, se tiene:
11325 1000
= 11.325
Es claro que otra expresión como cociente de enteros de este número es:
2265 200
, también
453 40
Cuando dos cocientes de enteros representan al mismo número racional, algunos autores dicen que las fracciones son equivalentes. Una forma fácil de obtener fracciones diferentes para representar a un mismo número racional, una vez que se conoce una de estas expresiones, es multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por un número entero diferente de cero.
9
Por ejemplo: la expresión
3 5
representa al mismo número racional que las fracciones:
9 15
y
21 35
Otra manera, que a veces no es tan simple, es encontrar un divisor común del numerador y del denominador y dividirlos entre ese divisor común. Por ejemplo:
2265 200
, como 5 es divisor común de 2265 y de 200, se dividen ambos
números entre cinco, es decir, se saca quinta a ambos números y se obtiene la fracción 453 40
, que representa el mismo número racional.
Si sigues tratando de obtener la expresión decimal del cociente de dos enteros te encontrarás con casos como el siguiente: 7 3
si efectúas la división obtienes:
Observa que nunca terminas de efectuarla, ya que nunca tendrás a 0 como residuo, en casos como éste, se pone tres puntos suspensivos en la expresión decimal para denotar que la sucesión se continúa indefinidamente:
7 3
= 2.333…
Esto se denota como 2. 3. Esto quiere decir que el 3 se repite indefinidamente. Si utilizas la calculadora y le pides que efectúe la operación 7 ÷ 3, la calculadora te contestará de acuerdo con los decimales a los que aproxima y colocará el entero dos, luego el punto decimal y enseguida tantos tres como los decimales con los que trabaje, sin embargo, debes 7 observar que ese número ya no es , es una aproximación y, en consecuencia, se lleva 3 un error al trabajar con ésta. Es importante tener conciencia del tamaño del error y esto en muchos casos depende del tipo de trabajo que se esté realizando, por ejemplo, un error de 2 milímetros para la construcción de un edificio puede no ser grave, pero para la operación de la córnea de un ojo es muy grave.
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Por ejemplo, si se aproxima
7 3
hasta tres decimales (también se dice que se aproxima
hasta las milésimas), el símbolo que se usa es:
7 3
≈ 2.333.
Si se quiere obtener la expresión decimal del número
13 17
se obtiene:
Observa que una vez que se vuelve a obtener el residuo 13, se forza a que la sucesión de dígitos en el cociente tenga que seguir repitiéndose indefinidamente, en este caso el período es 7647058823529411. Entonces, se obtiene que la expresión decimal del número
13 17
es:
De esta manera, se dice que este decimal es periódico, en el sentido que repetirá indefinidamente esta sucesión de dígitos. Un ejemplo más simple es
3183 990
cuya expresión decimal puedes obtenerla como sigue:
Así, la expresión decimal del número
3183 990
es
.
Importante Observa que el período no necesariamente comienza inmediatamente después del punto decimal.
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Los decimales como: 7, 0.5, ‌, 8.77, ‌ en ocasiones son llamados decimales finitos, tienen el perĂodo cero. Por ejemplo: mientras que otros nĂşmeros como: ,
,
se dice que no son decimales finitos.
TambiĂŠn puedes observar que la expresiĂłn decimal de un nĂşmero expresado como cociente de enteros es periĂłdica, esto es debido a que cuando se empieza a agregar ceros para continuar con la divisiĂłn, se va obteniendo residuos que forzosamente estĂĄn entre el cero y uno menos que el divisor. Si se obtiene el residuo cero, en ese caso, el perĂodo es cero, y si no, en un nĂşmero finito de pasos, es decir, en a lo mĂĄs tantos pasos como el divisor, se tiene que repetir algĂşn residuo y a partir de ese momento, deberĂĄn empezar a repetirse los dĂgitos en el mismo orden, obteniendo de esta forma el perĂodo respectivo. AdemĂĄs, sucede como en los siguientes ejemplos, que si se tiene un nĂşmero decimal periĂłdico, este se puede expresar como el cociente de dos enteros: Ejemplo 1. Para expresar el nĂşmero 5. 2 como cociente de dos enteros, puedes utilizar el siguiente procedimiento: 1.
Denota el nĂşmero con alguna letra. Por ejemplo, la đ?‘Ž . Entonces đ?‘Ž = 5. 2
2. Multiplica đ?‘Ž
x 10đ?‘› donde đ?‘› es la longitud del perĂodo. En este ejemplo đ?‘› = 1
y por lo tanto multiplica 3. Resta Es decir que 9đ?‘Ž = 47 4. Despejando se tiene que đ?‘Ž =
47 9
Observa que en el procedimiento anterior, es necesario que el perĂodo inicie inmediatamente despuĂŠs del punto decimal. En caso de no ser asĂ, se necesita un paso mĂĄs. Ejemplo 2. Para expresar el nĂşmero
como cociente de dos enteros:
12
1.
Denota el nĂşmero con alguna letra. Por ejemplo đ?‘š
Entonces
đ?‘&#x;
=
đ?‘š es el nĂşmero de decimales que no son parte del perĂodo. En este caso đ?‘š = 1 (el 7) y por lo tanto đ?‘&#x; x 101 = 10đ?‘&#x; = Multiplicamos
đ?‘&#x; x 10
đ?‘&#x;.
donde
2. Procede como en el ejemplo anterior, es decir, multiplica
10đ?‘&#x; x 10đ?‘› donde
đ?‘› es la longitud del perĂodo, en este caso đ?‘› = 2 y por lo tanto se tiene que:
3. Resta
4. Despejando se obtiene que đ?‘&#x;
es decir que
=
2725 990
Como has visto, la expresiĂłn decimal de un nĂşmero racional es periĂłdica y si un nĂşmero decimal es periĂłdico, entonces se trata de un nĂşmero racional, es decir, tiene una expresiĂłn como el cociente de dos enteros. Hay otros nĂşmeros decimales que no son periĂłdicos, (de hecho, muchos), estos nĂşmeros tambiĂŠn se pueden ubicar en la recta real y se les conoce como los nĂşmeros irracionales. Existen ejemplos muy interesantes de nĂşmeros reales que son irracionales. En general, demostrar que cierto nĂşmero decimal es racional o irracional, en ocasiones, puede no ser tan fĂĄcil.
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Números Irracionales Observa el siguiente video en el cual se demuestra, mediante el método de contradicción, que el número
√2 es irracional.
https://youtu.be/gGWlqg-13hk
Orden en los Números Reales positivos y el cero Para comenzar con el tema del orden de los números positivos y el cero y ver algunos ejemplos, revisa con cuidado el siguiente recurso interactivo.
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Escucha la reflexión del Dr. Alejandro Díaz Barriga, sobre como el lenguaje común no ayuda en el caso de números negativos para conocer la relación de orden entre ellos.
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Operaciones con números reales Para comenzar con el tema de las operaciones, revisa la siguiente lectura titulada Operaciones con números reales de la Mtra. Adriana León y del Dr. Alejandro Díaz Barriga. Autores: Dr. Alejandro J. Díaz-Barriga C. Mtra. en D. Adriana León Montes
Si tienes las expresiones decimales de dos números enteros, debes recordar los algoritmos que te han enseñado para obtener la expresión decimal que corresponde a su suma, por ejemplo, para sumar 1845 con 32705, se colocan estos números en una columna para obtener: 1845 +32705 34550 Este mismo algoritmo sirve si tienes decimales finitos: 11.325 + 315.200050 326.525050 Cuando tienes dos números racionales expresados como cocientes de enteros también conoces algoritmos para dar con la expresión como cociente de enteros de su suma.
Si conoces las expresiones decimales de dos números enteros negativos, también sabes cómo calcular la expresión decimal que corresponde a su suma. Ejemplo:
(-325) + (-215) = - 540
Y lo mismo con expresiones de racionales negativos como cociente de enteros. Ejemplo:
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Además, si tienes la expresión decimal de un número entero positivo y la expresión decimal de un número entero negativo, también sabes qué hacer para dar con la expresión decimal que corresponde a su suma. Ejemplo:
815 + (-1218) = - 403 (-219) + 1225 = 1006 Y lo análogo si te dan expresiones de racionales como cociente de enteros. Ahora procede a recordar cómo efectuar multiplicaciones con números reales. Para multiplicar enteros positivos puedes recordar algoritmos que has visto desde primaria, por ejemplo, si quieres multiplicar 326 por el número 28, lo que haces es:
326 x 28 2608 652 9128 Si lo que tienes son dos números racionales positivos expresados como cociente de enteros, recuerda el algoritmo para expresar su producto como cociente de enteros. Por ejemplo: Para multiplicar
3 8
por
8 7
debes multiplicar numerador por numerador, esto te dará el
numerador del producto; luego, deberás multiplicar denominador por denominador, esto te dará el denominador del producto.
Si tienes dos números reales positivos expresados como decimales finitos, recuerda también el algoritmo para efectuar el producto. Por ejemplo: Para calcular 325.815 por 218.04 debes tener cuidado en dónde colocar el punto decimal en la expresión que representa el producto, recuerda que esto se hace contando el número de decimales de las dos expresiones.
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En el ejemplo, el primer número tiene tres decimales y el segundo tiene dos, entonces, para encontrar la expresión decimal que corresponde al producto, debes considerar que su parte decimal tendrá 5 dígitos.
325.815 x 218.04 71040.7026 Para efectuar el producto de un número real negativo por un número real positivo o bien, el producto de un número real negativo por otro número real negativo, deberás recordar las leyes de los signos para el producto, (así se conocen, aunque muchas veces sólo se le dice las leyes de los signos). Algunas personas se preguntan de dónde salen estas leyes, hay que decir que éstas son teoremas, es decir, son proposiciones que se demuestran. Cómo serían estas demostraciones de una forma intuitiva. Se va a argumentar en un ejemplo por qué estás leyes son verdaderas. Para hacer esto es importante tener en cuenta la propiedad que relaciona a la suma y al producto, la Ley distributiva. Se dice que el producto distribuye a la suma, por ejemplo, si se quiere multiplicar el número 8 por la suma de los números 5 y 4, esto se puede hacer de dos maneras: Primera manera: Se suman los números 5 y 4, se obtiene 9 y este número se multiplica por 8, así se obtiene 72. Segunda manera: Se multiplica por 8 cada uno de los números, en este caso 8 x 5 y 8 x 4, se obtiene 40 y 32 y estos números se suman, lo que da en total 72. La igualdad que se obtiene se escribe y se conoce como la Ley distributiva: 8(5 + 4) = 8 (5) + 8 (4)
En general, la Ley distributiva se dice:
a (b + c) = ab + ac
Algo más que debes considerar es: el inverso aditivo del número 3 es -3. El inverso aditivo de un número real es el número que debemos sumarle para que nos dé como resultado el idéntico aditivo, es decir, cero. 27
De esta manera, el inverso aditivo de
3 5
es
−
3 5
Por ejemplo, el inverso aditivo de -5 es –(-5). Has visto que este número es 5, es decir, el número que hay que sumarle a -5 para obtener cero es 5: este es el inverso aditivo de -5. De hecho, tenemos que el inverso aditivo del número
đ?‘Ž es −đ?‘Ž y el inverso aditivo de
−đ?‘Ž que es −(−đ?‘Ž) es đ?‘Ž , es decir −(−đ?‘Ž) = đ?‘Ž. Observa que el inverso aditivo de un nĂşmero es Ăşnico. Con esta pequeĂąa disertaciĂłn en mente, procede a ver un ejemplo:
Quieres multiplicar el nĂşmero 3 por el nĂşmero -2, primeramente, observa que 3 por 2 es 6, tambiĂŠn observa que si al nĂşmero 3(-2) le sumas el nĂşmero 3(2) obtienes, haciendo uso de la propiedad distributiva: 3(-2) + 3(2) = 3(-2 + 2) = 3(0) = 0, de esta manera el nĂşmero 3(-2) es el inverso aditivo del nĂşmero 3(2), puesto que su suma es cero, como el nĂşmero 3(2) es el nĂşmero 6 y su inverso aditivo es -6, debe suceder que el nĂşmero 3(-2) es el nĂşmero -6.
De manera similar, puedes tratar de justificar todas las leyes de los signos para el producto, lo que tienes puedes resumirlo diciendo, un poco inapropiadamente, que:
ďƒź ďƒź ďƒź ďƒź
MĂĄs por mĂĄs da mĂĄs MĂĄs por menos da menos Menos por mĂĄs da menos Menos por menos da mĂĄs
En ocasiones, esto se escribe con sĂmbolos como:
(+) x (+) = + (+) x (-) = (-) x (+) = (-) x (-) = + Una manera nemotĂŠcnica para recordarlas es la siguiente: el producto de signos iguales da mĂĄs y el producto de signos diferentes da menos.
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Otra manera de no olvidarlas es pensar en un mundo donde sólo hay amigos y enemigos, pues allí se cumple que:
El amigo de mi amigo es mi amigo El amigo de mi enemigo es mi enemigo El enemigo de mi amigo es mi enemigo El enemigo de mi enemigo es mi amigo
De esta manera puedes multiplicar números reales, sólo falta agregar que, cuando multiplicas por cero, obtienes de resultado cero, es decir, todo número real multiplicado por cero da cero. De la misma manera que se recordó el tema de inversos aditivos, también es preciso recordar los inversos multiplicativos, observa que el número 1 tiene la propiedad de que al ser multiplicado por cualquier número real da como resultado el mismo número real, por ejemplo: 3 x 1 = 3, al número uno se le conoce como idéntico multiplicativo, o idéntico para el producto; en consecuencia, dado un número real, su inverso multiplicativo es el número real que multiplicado por él, dé el número uno: Así, el inverso multiplicativo del número 3 es Porque
Finalmente, un dato importante, dado que todo número multiplicado por cero da como resultado cero, se tiene que el número cero no tiene inverso multiplicativo, observa que todos los demás números reales tienen inverso multiplicativo y que el 0 es el único que no lo tiene.
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Una vez concluida la lectura, revisa el caso interesante que se encuentra en el recuadro derecho. ¿Lista? o ¿listo? Ahora revisa el siguiente video para complementar la información vista en dicho caso.
https://youtu.be/11dd4srNb_E ¿Te has preguntado cuál es el número que se encuentra justo antes del uno? Por ejemplo, el número 0.9 está a la izquierda del uno, sin embargo, existe el 0.99 que está también a la izquierda del 1 y es mayor a 0.9. Analiza el razonamiento anterior:
¿Por qué es interesante? Porque demuestra que en los números reales, un mismo número puede tener más de una representación.
Por otro lado, es relevante abordarlo porque devela el concepto de infinito, un concepto importante para entender a su vez el concepto de límite. Si consideras la expresión decimal del número considera la expresión decimal del número Si procedes a sumar
1
+
2 3
2
1 , que como ya viste, es 0. 3; ahora, 3
y obtienes 0. 6.
obtienes el número 1. Si por otro lado, sumas las 3 3 expresiones decimales de cada uno de estos números obtienes:
30
0. 3 + 0. 6 = 0. 9
ÂżHay algĂşn error en nuestros cĂĄlculos? Âżđ?&#x;Ž. đ?&#x;— es igual a uno?
Si quieres obtener la expresiĂłn de 0. 9 como cociente de dos enteros con la tĂŠcnica anterior, se tiene lo siguiente:
đ?‘Ľ = 0. 9 multiplicando por 10, que es la longitud del perĂodo, obtienes:
10đ?‘Ľ = 9. 9 Ahora si restas a 10x el nĂşmero x, obtienes:
10đ?‘Ľ − đ?‘Ľ = 9. 9 − 0. 9 = 9 Donde 9đ?‘Ľ = 9, es decir, đ?‘Ľ = 1. Para algunas personas esta igualdad resulta confusa. En lo que sigue, se tratarĂĄ de argumentar un poco, aunque no con toda formalidad, por quĂŠ se puede afirmar que ĂŠsta es verdadera. Primeramente, se debe observar que cuando se da un decimal infinito, por ejemplo:
322.21518
31
en realidad, se estĂĄ hablando de una serie, se puede decir:
322.21518 = 300 + 20 + 2 +
2 1 5 1 8 1 8 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+â‹Ż 10 10 10 10 10 10 10
Ahora, tienes que probar que esta serie converge, ideas como que es una serie creciente y acotada y por la completez de los nĂşmeros reales, de la que se hablarĂĄ un poco mĂĄs adelante, se puede afirmar que converge, es decir, se estĂĄ hablando de un lĂmite. Cuando se considera el nĂşmero
0. 9 se tiene el siguiente lĂmite: đ?‘›
lim ∑
đ?‘›â†’∞
�=1
9 10đ?œ„
Lo que se demuestra, es que este lĂmite es 1. Ojo: No se aproxima, es 1.
De acuerdo a lo visto en el caso anterior, se puede deducir que los decimales finitos excepto el cero, admiten dos expresiones decimales diferentes, es decir, se pueden escribir de dos maneras distintas, por ejemplo, el nĂşmero 0.5 tambiĂŠn se puede escribir cĂłmo
0.49
Como sabes, los nĂşmeros reales son nĂşmeros decimales. Algunos nĂşmeros reales (los que tienen expresiĂłn decimal finita y no son cero), admiten dos expresiones decimales, uno como decimal finito y otro como un decimal con perĂodo nueve, todos los demĂĄs solamente admiten una expresiĂłn decimal, es decir, nĂşmeros decimales distintos representan nĂşmeros reales distintos salvo los decimales finitos diferentes de cero. Es interesante que los nĂşmeros racionales admiten una infinidad de expresiones de ellos como cociente de dos enteros. Es necesario hacer algunas reflexiones sobre esto, por ejemplo, no se puede conocer cuĂĄl es la expresiĂłn decimal del nĂşmero
32
√2, se sabe
que este número es irracional, pero hasta la fecha no se tiene una técnica que permita conocer todos los dígitos de su expresión decimal, se pueden conocer los que se necesitan que sean calculables en un tiempo finito, (no así como con la expresión decimal de
7 3
, de quien sabes cuál es el dígito correspondiente a cualquier posición.
Si quieres sumar
√2 + √3,
el resultado exacto es
√2 + √3,
sin embargo, la
expresión decimal de este número no la conoces, puedes conocer de ella tantos decimales como necesites, pero siempre será una aproximación, (se hace un redondeo a décimos, centésimos, milésimos, etcétera).
33
Consideración importante para no confundir a los estudiantes A veces se escucha decir que la suma de los números no se puede hacer‌
√2
y
√3
ÂĄClaro que se puede hacer!
√2 + √3
El resultado es , lo que no se puede conocer son todos sus decimales, que son aproximadamente 3.1462643699419723423. Si quieres sumar
√2 con √2, el resultado es
√2 + √2
que tambiĂŠn puedes escribirlo como aproximadamente 2.828427124 7461900976.
2√2
y es
En general, cuando se hacen operaciones con nĂşmeros reales y se tiene una expresiĂłn que representa al nĂşmero sin ningĂşn error de aproximaciĂłn, se debe seguir con esta expresiĂłn (el mayor tiempo posible) y solamente cuando ya sea indispensable, pasar a una aproximaciĂłn de ĂŠl. Ejemplo: Si quisieras conocer el perĂmetro de la circunferencia que circunscribe a un cuadrado de lado uno, el resultado es:
đ?œ‹ đ?‘Ľ √2 ≈ 4. 442882938 158366247
34
Propiedades de las operaciones de suma y multiplicaciĂłn de nĂşmeros reales Para comenzar este tema, es preciso establecer que, cuando se estĂĄ trabajando con nĂşmeros enteros, una multiplicaciĂłn es una suma simplificada, es decir, 3 x 2 es sumar tres veces dos. Pero en los nĂşmeros reales esto no tiene sentido, no sĂŠ quĂŠ es
đ?œ‹ veces
√2 ni √2 veces đ?œ‹. Una vez establecido lo anterior, revisa la siguiente tabla con detenimiento para que analices las propiedades de las operaciones de suma y multiplicaciĂłn de nĂşmeros reales y las propiedades de orden. Si supones que reales, entonces:
35
đ?‘Ž, đ?‘? y đ?‘?
representan nĂşmeros
Observaciones con respecto a la enseĂąanza de las propiedades vistas en la tabla.
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Los nĂşmeros reales son un campo ordenado, porque las operaciones suma y producto satisfacen las propiedades descritas en la tabla y se tiene una relaciĂłn de orden que cumple las propiedades dadas en la tabla. A partir de esa relaciĂłn de orden se puede definir la relaciĂłn “menor o igualâ€? y se cumple que: 1.
�≤ �
2. Si đ?‘Ž
≤ đ?‘? y đ?‘? ≤ đ?‘Ž, entonces đ?‘Ž = đ?‘?.
3. Si đ?‘Ž
≤ đ?‘? y đ?‘? ≤ đ?‘?, entonces đ?‘Ž ≤ đ?‘?.
Te podrĂas preguntar si alguno de los subconjuntos distinguidos de los nĂşmeros reales forma un campo ordenado restringiendo las operaciones y el orden a ese subconjunto. Para ello, revisa el siguiente recurso.
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Observa que los números reales son la unión de los números racionales con los irracionales y que la intersección de estos dos subconjuntos es vacía, es decir, dado un número real este es racional o es irracional pero no ambos.
Da un ejemplo de dos números irracionales cuya suma sea irracional, un ejemplo de dos números irracionales cuya suma sea racional, un ejemplo de dos números irracionales cuyo producto sea irracional y un ejemplo de dos números irracionales cuyo producto sea racional. Por otra parte, has visto cómo graficar los números reales en una recta, la cual se llama recta real. La forma en que se ha realizado esta gráfica es tal que a cada punto de la recta le corresponde uno y sólo un número real y a cada número real le corresponde uno y sólo un punto en la recta, es decir, es una correspondencia biunívoca. Si tomas una recta horizontal y graficas los positivos a la derecha del cero, responde la siguiente pregunta: ¿Cuál es el número real que le corresponde al punto que está a la izquierda del punto que le corresponde el número uno?
IMPORTANTE Puedes responder en la caja. Toma en cuenta que no guarda tu respuesta, pero es un espacio para que reflexiones dicha cuestión.
[Caja para respuesta, no guarda texto]
Antes de avanzar, realizar un pequeño ejercicio:
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Entre dos nĂşmeros reales diferentes siempre hay otro nĂşmero real, la semisuma (el promedio). De hecho, esto implica que hay una infinidad de nĂşmeros reales entre dos diferentes cualesquiera. De esta manera, debes observar que no existe el punto que estĂĄ a la izquierda del punto que le corresponde el nĂşmero uno en la recta real. Esta propiedad es cierta con los nĂşmeros racionales, (entre dos racionales diferentes hay una infinidad de racionales). Es decir, dado un punto en la recta no existe su antecesor ni su sucesor.
Consecuencia de este resultado es que, cuando se estudian intervalos, se tiene que distinguir entre intervalos cerrados e intervalos abiertos. Recuerda que un intervalo abierto es un conjunto de la forma:
Donde đ?‘Ž y đ?‘? son nĂşmeros reales, mientras que un intervalo cerrado es un conjunto de la forma:
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Propiedad de completez Para concluir esta lección hace falta hacer una consideración muy importante. Como ya se afirmó anteriormente, los racionales forman un campo ordenado, hay muchos campos ordenados entre los racionales y los reales. ¿Qué caracteriza a los reales que los hace tan importantes con respecto a todos los campos ordenados que se pueden observar entre los racionales y los reales?
La propiedad que distingue a los números reales de todos sus subcampos es la propiedad de completez o completitud, esta propiedad dice que los números reales llenan la recta numérica, es decir, no quedan huecos. Por ejemplo, si en la recta numérica sólo se considerarán los puntos que corresponden a los números racionales, quedaría la recta como un queso gruyère, es decir, quedan muchos huecos.
Reflexión: La definición sobre la propiedad de completez de los números reales indica que dado un punto en la recta numérica no existe el siguiente, eso pasa ya con los puntos que corresponden a los números racionales, pero si sólo se consideran estos últimos, quedan muchos huecos, así podrías –si se piensa a la recta en un plano–, pasar en ese plano de un lado de la recta al otro por uno de esos huecos. Cuando consideras todos los puntos de la recta, es decir, todos los números reales, esto no es posible, en otras palabras, para pasar de un lado al otro tienes forzosamente que tirar un punto. Hay proposiciones equivalentes para mencionar esta propiedad, una se conoce como el axioma del supremo y otra como que toda sucesión de Cauchy converge. Por otra parte, si solo se consideran los racionales y un racional cualquiera, de forma intuitiva, se podría pensar que se puede encontrar el punto que le sigue, pues entre racionales hay huecos. Esto es falso, ya que entre racionales cualesquiera siempre se encuentra otro. A esta propiedad se le llama la densidad de los racionales.
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Para comprender mejor algunas propiedades de los números racionales, axiomas y las cortaduras de Dedekind, revisa el siguiente video.
https://youtu.be/xOjQ3u7jSLQ Conocer los datos históricos de cómo el ser humano llega al concepto de límite es muy interesante, se pueden observar estas ideas desde los griegos, por ejemplo con Arquímedes; posteriormente, cómo surge la idea de infinitésimos, hasta llegar a la formalización de hoy en día. Se te invita a investigar en el desarrollo de esta idea.
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Actividad 1 Para cerrar tu primera lección, realiza la actividad. Revisa en plataforma, en ella encontrarás cada uno de los pasos a realizar para poder llevarla a cabo con éxito.
Recuerda utilizar la Rúbrica 1 antes de subir tu actividad a la plataforma, con el objetivo de que verifiques que cumples con cada uno de los aspectos que se te van a evaluar.
Cierre
¡Bien hecho! ¡Has concluido tu primera lección! En la siguiente lección revisarás cómo construir un modelo para resolución de problemas de situaciones reales mediante el desarrollo de conjuntos solución de desigualdades lineal con una o dos incógnitas. ¡Avanza!
Referencias bibliográficas Diaz Barriga, A. (1975). Desigualdades. Temas básicos. Matemáticas.Sidalc.net (No. Folleto 6655).
Bibliografía Apostol, T. M. (2007). Calculus. One-variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra (Vol. 1). 2ª Edición. Nueva York, Estados Unidos de Norteamérica: John Wiley & Sons. Marsden, J., & Weinstein, A. (2012). Calculus I. Springer Science & Business Media. Nueva York, Estados Unidos de Norteamérica: Springer-Verlang.
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