Matemati

Modalidad Semiescolar del Sistema de Bachillerato del Gobierno del D. F.

Números Reales

Álgebra

Funciones

Líneas y Funciones

Matemáticas Autor: Alejandro E. Montés y Gómez Daza

Procesos de Aproximación

4

MATEMÁTICAS IV Módulo cero Introducción y manejo del curso Matemáticas IV

Este programa no se parece a los convencionales, a los típicos que se enseñan en la mayoría de las preparatorias ya que difieren tanto en el contenido como en la manera de enseñar y de evaluar. Se pretende que tú, como estudiante, construyas la matemática, descubras, inventes, propongas y discutas para que de esta manera formes un método de razonamiento y de análisis, desarrollando creatividad y aprendiendo a explicar tus razonamientos.

El programa consta de cinco objetivos:

1. Los números reales

5. Aproximaciones

2. Algo de Álgebra

MATE IV 4. Límites y continuidad

12345-

3. Funciones

Los números reales (3) Algo de álgebra (2) Funciones (6) Límites y continuidad (4) Aproximaciones (4)

1

Cada objetivo esta compuesto en varios módulos, el número en paréntesis indica la cantidad de éstos, siendo en total 19.

Este cuarto curso empieza con la definición y propiedades de los números, recordarás que en el primer curso se estudiaron los números naturales y los enteros y ahora se trabajará con los números racionales, pasaremos por los irracionales para terminar con el conjunto que los contiene a todos: los números reales El segundo objetivo consta sólo de dos secciones donde es estudia el manejo y simplificación de expresiones algebraicas así como el tema de las desigualdades y valor absoluto.

La parte principal del curso lo compone el objetivo número tres, llamado Funciones. Se estudiará lo que son y se tratará de mostrar para que sirven y como se grafican, acompañadas de numerosos ejemplos. Desde rectas, cuadráticas, trigonométricas, exponenciales sólo pro mencionar algunas.

Y ya metidos en funciones, el tema 4 se ocupa de los límites de las funciones así como el concepto de continuidad para las funciones.

Por último, en la sección de aproximaciones se aplican diversos métodos para acercarnos a números particulares, por ejemplo ¿cómo se obtuvo que el número Pi con cinco decimales correctos es 3.14159? Sin usar métodos electrónicos, ¿cómo se obtiene la raíz cuadrada de un número?

Esperamos que haya ejercicios atractivos para hacerte más interesante el contenido ¿Cómo están integrados los módulos?

En ellos encontrarás la portada que contiene el título del objetivo y del tema; después se explica brevemente la actividad que se va a realizar; un esquema instructivo que intenta ser un modelo que indica el contenido del módulo, a en ocasiones también el orden de la presentación; hallarás ejercicios intercalados en distintas partes del módulo y al final un glosario y ligas externas. Es conveniente investigar más acerca de las definiciones.

2

ÍNDICE 1 Los Números Reales

4 1.1 1.2 1.3

Los números racionales Los números irracionales Los números reales

2 Álgebra

2.1 2.2

Manejo y simplificación de expresiones algebraicas Desigualdades y valor absoluto

44

3 Funciones

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Definición de función Operaciones con funciones Polinomios Funciones trigonométricas (1) Funciones trigonométricas (2) Exponencial y logaritmo

68

4.1 4.2 4.3 4.4

Límites de funciones Propiedades de los límites Cálculo de límites Continuidad

164

5.1 5.2 5.3 5.4

Introducción a las sucesiones Límites de sucesiones Algunas aproximaciones importantes Pendientes, razones de cambio y sumas infinitas

216

4 Límites y Continuidad

5 Procesos de aproximación

•

La imagen de los objetos geométricos que aparece en la página uno proviene de : http://www.daviddarling.info/images/mathematics.jpg (junio 08).

Alejandro Montes Junio 2008 h2s222@gmail.com

3

MATEMÁTICAS IV Módulo cero Introducción y manejo del curso Matemáticas IV

Sugerencias para el asesor académico, Matemáticas IV

Inicio

Exposición del Tema

Trabajo en equipo Dudas Trabajo en pizarrón

No

Si

Resolver Contestar

Recapitulación Actividades siguientes

Fin

Clase típica Preguntar si hay dudas o pendientes de la clase anterior. En caso afirmativo, resolverlas.

Primera mitad de cada sesión: seguir el temario sugerido en estas notas. Después de una breve exposición se recomienda pasar al pizarrón, dividir en grupos para hacer ejercicios o alguna actividad del material del curso.

Al final de la primera mitad de la sesión, dar un panorama general de lo que se vio y si es conveniente un breve receso o bien contestar más preguntas.

4

La segunda mitad se trabaja con el tema siguiente de manera similar a la primera.

Antes de finalizar la sesión se recomienda dejar tarea a los alumnos, señalar los enlaces interesantes y pedirles que de antemano que lean o traten de leer el tema para el siguiente sábado. Recordarles que se espera que trabajen fuera del salón de clase algunas horas. (No olvidar el enfoque del curso, cuaderno verde. Programa de estudio, julio 2006).

Los ejercicios mencionados en los temas son suficientes para el buen entendimiento del curso.

Frecuentemente se incluyen enlaces interesantes que el asesor podrá considerar o escoger algunos ejercicios, ya sea de este material o de cualquier otro lugar, para construir evaluaciones a su gusto.

Una página que puede ayudar para la obtención de ejercicios apropiados es http://usuarios.lycos.es/calculo21/id22.htm (agosto 2007). En ella están todos los ejercicios, procedimientos y soluciones que aparecen en el libro Álgebra de Baldor.

Es recomendable el uso frecuente de alguna hoja de cálculo, a igual que la búsqueda del significado de palabras para lo cual se sugiere consultar el Diccionario de la Real Academia Española http://www.rae.es Cualquier tipo de retroalimentación mejora el curso y es bienvenida.

Para este curso se elaboró el material de los temas que aparecen a continuación: Objetivo

Tema

Clase N°

1 Los números reales

1.1 1.2 1.3

Los números racionales Los números irracionales Los números reales

1 2 2

2 Álgebra

2.1 2.2

Manejo y simplificación de expresiones algebraicas Desigualdades y valor absoluto

3 3

3 Funciones

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Definición de función Operaciones con funciones Polinomios Funciones trigonométricas (1) Funciones trigonométricas (2) Exponencial u logaritmo

4 5 5 6 6 7

4 Límites y continuidad

4.1 4.2 4.3 4.4

Límites de funciones Propiedades de los límites Cálculo de límites Continuidad

8 9 10 11

5 Procesos de aproximación

5.1 5.2 5.3 5.4

Introducción a las sucesiones Límites de sucesiones Algunas aproximaciones importantes Pendientes, razones de cambio y sumas infinitas

12 12 13 14

Examen Final

15

5

Sugerimos al asesor cómo distribuir los temas de su clase, por supuesto podrá adaptar el programa a su gusto. Son tres horas de clase durante 15 sábados, en donde los estudiantes disponen de tiempo semanal para estudio en casa o en otro lugar.

Clase N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Clase 1

Contenido Bienvenida y 1.1 1.2 y 1.3 2.1 y 2.2 Repaso 2.1 y 2.1 y 3.1 3.2 y 3.3 3.4 y 3.5 3.6 y repaso del objetivo 3 4.1 4.2 4.3 4.4 y repaso del objetivo 4 5.1 y 5.2 5.3 5.4 y repaso del objetivo 5 Examen final

Objetivo 1: Los números reales

Primera mitad: Durante la primera mitad de la sesión, el asesor platica el cómo se llevarán a cabo las reuniones de clase, se comenta el temario y las actividades a realizar.

Segunda mitad: La segunda mitad de la sesión se emplea en el desarrollo del Tema 1. 1: Los número racionales, donde se recuerda lo que son los tales números. Aparte de la definición, uno de los resultados importantes es que cada racional, si no tiene expansión decimal finita, entonces la tiene periódica.

Comentar acerca de los números que terminan con una infinidad de nueves y que pueden escribirse con sólo una cantidad finita de decimales. No olvidar demostrar que 0.9999… = 1.

Clase 2

Objetivo 1: Los números reales

Primera mitad: Tema 1. 2: Los números irracionales.

Aparte de la definición de irracional, se comenta sobre el descubrimiento, en el tiempo de los pitagóricos, de que raíz de dos no se puede escribir como razón de dos enteros. Además se sugiere que se investigue acerca de las creencias y costumbres de los pitagóricos, así como de los libros de Euclides. En esta sección aparece el irracional π donde se explica la relación entre el perímetro de un círculo con su diámetro. También se hace referencia a los conceptos truncar y redondear.

Segunda mitad: Tema 1. 3: Los números reales.

Empieza la sesión con el famoso ejemplo del hotel infinito en donde se pueden alojar infinidad de personas. Se mencionan los infinitos y el hecho de que no hay huecos ni espacios entres los números

6

reales, para concluye con la relación entre los reales y la recta numérica y hace referencia a la cardinalidad de los conjuntos.

El asesor resuelve los ejemplos que desee y solicita que los estudiantes trabajen en equipo, además de dejar algunos problemas como tarea.

Clase 3

Objetivo 2: Álgebra

Primera mitad: Tema 2. 1: Manejo y simplificación de expresiones algebraicas.

En esta sección se define lo que es la raíz de un número real, en particular la raíz cuadrada; se señalan algunas propiedades de las raíces (exponentes, al fin y al cabo) y como “racionalizar”, o sea, cómo eliminar raíces en los denominadores.

Segunda mitad: Tema 2. 2: Desigualdades y valor absoluto.

Se dan como ejemplos que derivan en intervalos y desigualdades, se proponen algunas señales de tránsito usadas en México y Argentina. Se estudian las propiedades de las desigualdades y la definición y algunas aplicaciones del valor absoluto. Se incluyen algunas demostraciones y se deja al criterio del asesor el comentarlas o no.

Clase 4

Objetivo 2: Álgebra

Primera mitad: Se recomienda realizar un repaso de los dos primeros objetivos. Preguntar si existen dudas o inquietudes antes de empezar la segunda sesión del día.

Segunda mitad: Objetivo 3: Funciones Tema 3. 1: Definición de función.

Uno de los temas principales del curso es el conocimiento y uso de las funciones. Empezamos con un ejemplo relacionando el costo de un boleto del metro con el de una función: si deseas x boletos, pagas 2x pesos. Después, aparece la definición lo que es una función y elementos relacionados, como dominio, rango, variable dependiente, y varios ejemplos. La siguiente parte del capítulo es Cómo graficar. Se sugieren una serie de pasos para graficar y se mencionan los tres mandamientos de las Matemáticas.

Clase 5

Objetivo 3: Funciones

Primera mitad: Tema 3.2: Operaciones con funciones.

Tema bastante analítico donde se mencionan las operaciones que se pueden hacer con funciones, incluyendo composición así como lo que es la función inversa y cuando crece o decrece una función.

Se incluye un ejemplo del uso de Excel para encontrar valores de funciones Segunda mitad: Tema 3.3: Polinomios.

Definiciones y ejemplos tanto de polinomios como de funciones racionales, incluyendo algunas funciones compuestas por segmentos de recta, como valor absoluto, la función escalón y el mayor entero. Cómo graficar rápidamente rectas y cuadráticas y un intento de aplicación a lo que es la regresión lineal usando ciertos tiempos en maratones recientes.

7

Clase 6

Objetivo 3: Funciones

Primera mitad: Tema 3. 4: Funciones trigonométricas (1).

Para motivar la definición de función trigonométrica, en particular función senoidal se toma el ejemplo del biorritmo.

Se comenta algo de historia acerca de los 360 grados y su paso a radianes; el resto de la sección se dedica a explicar el seno y coseno, así como sus gráficas, algunas identidades y definiciones de período y amplitud.

Segunda mitad: Tema 3. 5: Funciones trigonométricas (2).

Se definen y grafican el resto de las funciones trigonométricas; una aplicación interesante está en el tamaño de la sombra de un árbol

Clase 7 Objetivo 3: Funciones Primera mitad: Tema 3.6: Exponencial y logaritmo.

Empezando con las potencias de 10 y siguiendo con ejemplos de funciones crecientes se introducen las exponenciales. Aparece naturalmente el logaritmo base 10 como inverso de una exponencial.

Termina la sección con el logaritmo natural y su función inversa.

Segunda mitad: Continuar con ejercicios y ejemplos de esta sección o dar una recapitulación de lo visto, en particular el objetivo 3: funciones. O si el asesor lo desea puede adelantarse e iniciar con 4.1.

Clase 8

Objetivo 4: Límites y continuidad

Primera mitad: Tema 4. 1: Límite de funciones.

Antes de la definición intuitiva de lo que es el límite de una función, se analiza detenidamente un ejemplo en el cual la función no está definida en el punto pero el límite si existe. Se define informalmente lo que es el significado “lím f(x) = L si x -> a” y se analizan los términos de la definición. Después, se definen –también informalmente – lo que son los límites laterales y se proporcionan algunos ejemplos. Se analiza la definición del límite para dos casos (a finito y L finito primero, infinito después) dejando los otros dos casos para la siguiente sección.

Segunda mitad: Redundar en la definición de límite, ver más ejemplos o continuar con el tema siguiente si se considera conveniente.

Clase 9

Objetivo 4: Límites y continuidad

Primera y segunda mitades: Tema 4. 2: Propiedades de los límites.

Se consideran los dos casos faltantes en la definición de límite: L infinito y a finito y ambos infinitos, después. Se razonan las propiedades más importantes de los límites y operaciones con ellos. Se recalca la unicidad del límite, en caso de su existencia.

Señalar la importancia del concepto de límite recalcando que es la base, el corazón del cálculo diferencial e integral. Posteriormente se estudia la derivad y la integral, así como las definiciones de tales objetos que involucran el concepto de límite.

8

Clase 10

Objetivo 4: Límites y continuidad

Primera y segunda mitades: Tema 4. 3: Cálculo de límites.

En la práctica, ¿cómo encontramos un límite? Se sugieren algunas estrategias y métodos acompañados de ejemplos.

Clase 11 Objetivo 4: 4: Límites y continuidad Primera y segunda mitades: Tema 4. 4: Continuidad.

Al morir una persona, ¿pierde instantáneamente 21 gramos de peso, o los pierde gradualmente?

Suponiendo, que existe y eso pesa el alma. El ejemplo trata de enfocarse en la continuidad de una función, el peso en este caso. Después de la definición de continuidad aparecen ejemplos y también casos de discontinuidades terminando con el teorema del valor intermedio.

Hablar de algunos tipos de discontinuidades o adelantar la siguiente sesión.

Clase 12

Objetivo 5: Procesos de aproximación

Primera mitad: Tema 5. 1: Introducción a las sucesiones.

Definición de sucesión y límite de una sucesión. Distintos tipos de sucesiones: constante, geométrica, aritmética, Fibonacci, etc. Ejemplos y ejercicios.

Segunda mitad: Tema 5. 2: Límites de sucesiones.

Empezando con caso ficticio en un juego Poli-Uni, se trata de ejemplificar el concepto de límite para luego definirlo informalmente y después usando épsilon y N. Se comparan los casos de sucesiones y funciones, se explica que la convergencia de la función implica la de la sucesión, siendo falso el recíproco. Cálculo de límites, propiedades de límites, incluyendo el teorema de la convergencia monótona, así como la propiedad del emparedado o sándwich.

El asesor tiene la libertad de introducir la definición formal del concepto de límite, tanto de sucesión como de función.

Clase 13

Objetivo 5: Procesos de aproximación

Primera y segunda mitades: Tema 5. 3: Algunas aproximaciones importantes.

Más historia sobre el número π y el método de Arquímedes para aproximarlo. Se comenta sobre el llamado método babilónico para aproximar raíces cuadradas. Ejemplo de cómo se obtiene el área bajo una curva usando sumas interiores y exteriores.

9

Clase 14

Objetivo 5: Procesos de aproximaciĂłn

Primera mitad: Tema 5. 4: Pendientes, razones de cambio y sumas infinitas.

Tres aplicaciones importantes de los lĂ­mites.

Segunda mitad: Repaso final.

Clase 15 Examen final

MatemĂĄticos: Alejandro Montes y Gabriel Silva.

Junio 2008

10

Primer decimal

MATEMÁTICAS IV

7.358

Objetivo 1: Los números reales Tema 1.1: Los números racionales

Segundo decimal

En el primer curso de Matemáticas se estudiaron detalladamente los números enteros y en el segundo se debió aprender lo que son los números racionales, así como sus propiedades. Daremos un breve repaso sobre tales conjuntos de números, ya que es un prerrequisito para Matemáticas IV.

Esquema instructivo

Los divisores de q son potencias de 2 y de 5

La expansión finita se puede escribir como una periódica completando con 9’s

Racional p/q , p y q sin divisor común

Los divisores de q NO son sólo potencias de 2 y de 5

Expansión decimal finita Expansión decimal periódica

Los números naturales y los enteros Los primeros números que se manejaron fueron los que servían para contar; los llamados números naturales, también conocidos como enteros positivos. Por supuesto el cero no es natural, si lo fuera no habrían pasado tantos siglos en descubrirlo. Este invento o descubrimiento se le debe a los hindús y a los mayas. Después de conocerse el cero se agregaron los números negativos obteniendo la totalidad de los números enteros, es decir, el conjunto de números enteros comprende a los enteros positivos, los negativos y el cero.

4

El símbolo ⊆ significa contención, pertenencia, así que: NATURALES ⊆ ENTEROS Significa que todos los números naturales están contenidos en los enteros: aparte de ser naturales son enteros. Sin embargo, no todos los enteros son naturales, por ejemplo, – 4 no es natural ni tampoco el 0 (cero).

Números racionales Después de los enteros aparecen los números racionales, que son aquellos que pueden expresarse como la razón (o cociente) de dos enteros, digamos p y q, (con q distinto de cero) o sea, de la forma p / q. A los racionales también se les conoce como quebrados o fracciones.

Los enteros son racionales, por ejemplo, el número 9 se puede escribir de muchas maneras como cociente de enteros:

9 =

9 1

=

18 2

=

– 36 –4

999 111

=

=

11 106 1 234

Nota: El racional 9 también es igual a 9π / π donde ni 9π ni π son enteros. Cuando hablemos de racionales trataremos de escribir los cocientes algebraicos ya simplificados, o sea, sin factor común en numerador y denominador.

Análogamente, la fracción

243 3

243

=

3

=

81

=

9

proporciona un

número racional pero ni numerador ni denominador de la primera fracción son enteros.

Muchísimos racionales no son enteros, por ejemplo, 1 / 7 ó 13 / 2 ó – 4 / 5.

Los términos “número racional” y “fracción racional” son equivalentes; sin embargo, cuando aparece sola la palabra fracción, significa el cociente algebraico de dos expresiones. Los siguientes objetos son fracciones: x3 + 2x x+1

,

3π 2

En particular, los tres conjuntos de números que hemos visto (naturales, enteros y racionales) forman parte de otro gran conjunto llamado los números reales.

Hasta aquí tenemos la cadena ascendente de conjuntos de números: NATURALES ⊆ ENTEROS ⊆ RACIONALES

5

De quebrado a decimal El sistema numérico decimal tiene como base al número diez y utiliza varios símbolos (0, 1,..., 9).

A estos símbolos también se les conoce como cifras o dígitos.

Para distinguir entre la parte entera y la no entera se utiliza un separador. En México usamos un punto. Un número típico puede ser 1234.567, que al separarlo en unidades se escribe como: 1234.567 = 1.103 + 2.102 + 3.101 + 4.100 + 5.10-1 + 6.10-2 + 7.10-3 (Nota: Ver Ligas Externas para conocer algo de la historia sobre el punto y la coma como separadores) Cualquier quebrado se puede expresar como una parte entera y otra parte decimal, simplemente dividiendo el numerador entre denominador. Al resultado de la división se le llama expansión decimal. El resultado de la división puede ser: EJEMPLOS

Resultado de una división: Entero (sin expansión decimal)

36 / 4 = 9 ,

Decimal finito (o exacto) (la expansión decimal termina)

35 / 4= 8.75 , 215 30

Decimal periódico (una o varias cifras se repiten indefinidamente)

10 7

39 / 13 = 3

39 / 5 = 7.8

=

7. 1666666…

=

7.16

=

1.4285714285…

=

1.428571

• La pequeña línea horizontal arriba de un número o un grupo de números, indica que éstos se 1 22 2 repiten una infinidad de veces: = 0.3 , = 2.4 , = 0.18 9 11 3 • 0 quiere decir una infinidad de ceros, pero esa notación no se utiliza Si el cociente de dos enteros es otro entero, por supuesto la expansión es finita, así que realmente tenemos dos posibilidades: 1) La expansión decimal termina, ó 2) la expansión decimal no termina; dicho de otra manera, la expansión es finita o no lo es. En este último caso, las expresiones periódica e infinita son equivalentes:

6

Expansión finita o Expansión periódica

Número Racional ↔

donde la flecha → indica que si un número es racional entonces su expansión es finita o es periódica. Recíprocamente, la flecha inversa ← dice que si la expansión de un número es finita o periódica, entonces por fuerza es un racional.

Surge la siguiente interrogante: ¿Cuándo p / q tienen expansión decimal finita?

Respuesta: Cuando los factores primos de q son sólo potencias de 2 y/o potencias de 5 Un número tiene solamente factores primos iguales a potencias de 2 y de 5 si se puede escribir como 2n5m , donde n y m son enteros positivos.

Ejemplos de números cuyos factores primos son potencias de 2 y de 5: Por parte del 2 tenemos: 1, 2, 4, 8, 16, 2n; y del 5: 1, 5, 25, 125, 5 m.

Tenemos también todos los productos de los anteriores enteros, como: 10, 40, 160, 250, etc.

No aplica: a) 120 no funciona ya que es divisible entre 3 b) 130 no funciona: es divisible entre 13 c) 140 no sirve: divisible entre 7

Digamos que tenemos el cociente

1234 2553

Notamos que el denominador consta de

potencias de 2 y de 5. ¿Qué se hace después?

La idea es multiplicar por los números 2 y 5, de manera apropiada para transformar el denominador en una potencia de 10: Si multiplicamos 2553 por 52 tendremos 2555 = 105. Veamos el proceso a continuación: Ejemplo 1)

1234 2553

Como el 2 es divisor común de numerador y denominador, simplificamos:

7

1234 2553

=

617 2453

La idea es obtener 10k como denominador, para lo cual multiplicamos numerador y denominador por 5: 617

=

4 3

25 Ejemplo 2)

617 x 5 2454

=

3085 104

0.3085, y así obtenemos un decimal finito.

=

1234 25 1234

Primero quitamos el divisor común:

2

=

5

617 24

Para obtener una potencia de 10 en el denominador, multiplicamos arriba y abajo por 54: 617 2

=

4

Ejemplo 3)

617 x 54 2454

=

385,625 104

=

38.5625, obtenemos un decimal finito.

1234 53

En este caso no hay factor común en numerador y denominador, así que para tener una potencia de 10 en el denominador, multiplicamos arriba y abajo por 23: 1234 5

3

=

1234 x 23 5323

=

9872 103

=

9.872, obtenemos un decimal finito.

Resumiendo, si el denominador q consta sólo de 2 y/o de 5 (o potencias de ellos), entonces la expansión decimal de p/q, termina; es decir, es finita. La manera de realizar la conversión es multiplicar apropiadamente para obtener en el denominador alguna potencia de 10, y luego simplemente colocar el punto decimal en el lugar apropiado. ¿Cuándo p / q tienen expansión decimal infinita? En este caso es lo mismo que preguntar ¿cuándo es periódica la expansión?

Respuesta: Cuando q tiene factores primos distintos de 2 y de 5 Ejemplo 4) 1/6 tiene expansión decimal infinita. Aun cuando 2 divide al denominador, pero como 3 también lo hace, entonces la expansión no termina: 1 6

=

0.166666…

=

0.16

8

Ejemplo 5) 1/35 tiene denominador divisible entre 5, pero no es el único. 7 también divide a 35, así que la expansión decimal de 1/35 es infinita (y periódica): 1 35

=

0.0285714285714…

=

0.0285714

Ejemplo 6) Ni 2 ni 5 dividen al denominador en 1 / 11; por tanto, su expansión no termina: 1 11

=

0.090909…

=

0.09

Ejemplo 7) En el caso 28/35 el denominador es divisible entre 7 y parecería que tiene expansión periódica; sin embargo, no hay que olvidar y tener muy en cuenta al numerador que en este caso también es divisible entre 7. Ambos sietes se cancelan y se obtiene 28/35 = 4/5 = 0.8, es decir, la expansión no es periódica sino finita.

Antes de analizar si la expansión de p/q es finita o no, recordar que p y q NO deben tener factores comunes.

De decimal a quebrado Ya que sabemos cómo convertir de quebrado a decimal, nos falta ir hacia atrás: dado un número decimal, ¿cómo lo expresamos en forma de cociente de dos enteros? Si tenemos un número decimal arbitrario hay tres posibilidades relacionadas con su expansión, ya que puede ser: 1) Finita: ejemplos:

12 ,

34.5 ,

0.678

, es decir, la expansión decimal termina

2) Periódica: la expansión es infinita pero con bloques de números que se repiten, como en los casos:

1.2 ,

34.56 ,

789.0123 ,

4.05607

3) No periódica: la expansión decimal es infinita pero no periódica. En este caso es imposible expresar al número como cociente de dos enteros. Estos son los numeros irracionales que estudiaremos en la siguiente sección.

Caso 1: Expansión finita a quebrado Si la expansión decimal es finita, entonces el decimal puede escribirse como cociente de dos enteros.

Por ejemplo, si tenemos la expansión finita a.bcd entonces, multiplicando arriba y abajo por 103 obtenemos abcd / 1000, cociente de dos enteros:

a . bcd =

abcd 103

=

abcd 1000 9

Ejemplos:

8) 9) 10) 11)

7 0.7 7.777 0.0007

= = = =

7/1 7 / 10 7777 / 1000 7 / 10 000

Caso 2: Expansión periódica a quebrado Si la expansión decimal es periódica, entonces el número puede escribirse como cociente de dos enteros. El truco es multiplicar apropiadamente por potencias de 10 para que después del punto aparezca el segundo bloque de la parte periódica.

Por ejemplo, si nuestro decimal periódico fuera de la forma 0. abcd abcd abcd… notamos que la parte periódica consta de los cuatro dígitos abcd.

Queremos que después del punto aparezca el segundo bloque de la parte periódica, así que al llamar X a nuestro número: X = 0 . abcd , tenemos que multiplicar por 104 : 104 X = abad . abcd Para eliminar la cola después del punto basta restar X: 104 X – X = 9,999 X = abad . abcd – 0 . abcd = abcd desapareciendo así la parte decimal.

Por lo tanto, Ejemplo 12)

X =

abcd 9,999 _________

X = 0. 285714

, cociente de dos enteros, como se deseaba. como el bloque que se repite consta de seis cifras y queremos que después del punto aparezca el segundo bloque, tenemos que multiplicar por 106 :

106 X = 285714 . 285714 Para terminar, simplemente restamos X: 106 X – X = 285714. 285714 – 0. 285714 = 285714

simplificando y despejando X

=

285,714 999,999

, cociente de dos enteros.

10

(Se puede simplificar dividiendo entre 3, 3, 3, 11, 13 y 37, es decir, entre 142,857: 285,714 999,999 Ejemplo 13)

=

142,857 x 2 142,857 x 7

2 7

=

Expresar X = 0.003333… = 0.003

, concluyendo: 0.285714 =

2 7

)

, como cociente de dos enteros.

¿Cómo eliminamos la cola infinita?

El tamaño del período es 1, pero el segundo 3 está en la cuarta posición después del punto decimal, así que multiplicamos por 103 para obtener 103 X = 3.333… = 3.3 ¿Qué restamos para desaparecer la parte infinita?

Después de observar un momento, notamos que tenemos que restar cantidad es exactamente 100 X.

0.333… = 0.3, pero esta

Eliminamos la cola restando 100 X de 1000 X: 103 X – 102 X = 3.3333… – 0.3333… = 3.3 – 0.3 = 3.0 = 3 Por otro lado, 103 X – 102 X = 900 X

Igualando, tenemos 900 X = 3, de donde X = 3 / 900 = 1 / 300

Ejemplo 14) Mucho trabajo y muchas discusiones produjeron el siguiente viejo problema: ¿Cuánto es

0.9999… = 0.9?

(con una infinidad de nueves).

Respuesta: Uno. Demostración: Si llamamos X = 0.9 , entonces, multiplicando por 10 y restando a este producto el número original obtenemos,

10 X – X = 9.9 – 0.9 = 9, es decir,

9X = 9, o sea X = 1.

Concluimos: X = 1.

Nota: Ya que

1=

1 3

= 0.3 , si multiplicamos por 3 obtenemos

3 3

, entonces 1 = 0.9

11

3 3

= 0.9

, pero como

Regresaremos a este ejercicio en el capítulo de series numéricas donde observaremos que tal sucesión también es una suma infinita: 0.9 + .09 + 0.009 + 0.0009 +…

(Nota: no hay mes sin que algún despistado pregunte en Yahoo ¿cuánto es 0.9? . Ver: http://mx.answers.yahoo.com/search/search_result;_ylt=AhrScJ5tLVgeGwRNkwn.TgzB8gt.;_ylv=3?p= 0.999 (abril 2008) Este último ejemplo es particularmente importante pues nos dice que hay dos maneras distintas de escribir al número 1: como 1 y como 0.9999… = 0.9 (una infinidad de nueves).

Pero si es cierto para el número 1, también lo es para cualquier racional finito, por ejemplo: 1 4

que

= 0.25 = 0.249999… = 1 4

0.249.

Al final de esta sección demostraremos formalmente

= 0.249 .

Queremos insistir, que si la expansión de un racional es finita, también se puede escribir (o completar) con una infinidad de nueves, aquí algunos ejemplos: 31 10

= 3.1 = 3.09

11 5

= 2.2 = 2.19

7 4

= 1.75 = 1.749

1 10

= 0.1 = 0.09

Recapitulación Cualquier quebrado puede escribirse de forma decimal donde la expansión es finita o es periódica, esto dependiendo de los divisores del denominador.

Y recíprocamente, los decimales que tiene expansión decimal finita o los que la tienen periódica, se pueden escribir como cociente de dos enteros.

Si p y q son enteros (q ≠ 0) entonces

p q

↔

Expansión finita o Expansión periódica

Número Racional ↔

12

Método para convertir expansiones periódicas en quebrado Para convertir cualquier decimal periódico X en cociente de dos enteros, usamos el siguiente método: a) Multiplicamos a X apropiadamente por potencias de 10 hasta que el punto decimal empiece en el segundo bloque del período. Si el segundo bloque empieza en el lugar m + 1, entonces multiplicamos por 10m; el entero m es siempre mayor o igual a 1. b) Nuevamente multiplicamos a X por potencias de 10 hasta que el punto decimal empiece en el primer bloque del período. Si el primer bloque empieza en el lugar n + 1, entonces multiplicamos por 10n ; n puede ser cero. c) Eliminamos la cola decimal restando: 10mX – 10nX = (10m – 10n) X; se obtiene un entero sin parte decimal. d) Despejamos y concluimos: X = entero / (10m – 10n). De ser necesario, simplificamos.

Ejemplo 15) Escribir

X = 0.249

como cociente de dos enteros usando los 4 pasos anteriores.

a) La parte periódica consta de nueves. El segundo bloque empieza en el cuarto lugar así 103 X = 249.9

que multiplicamos X por 103 y obtenemos

b) El primer bloque empieza en la tercera posición así que multiplicamos X por 102 y obtenemos

102 X = 24.9

c) Restamos lo segundo a lo primero: 103 X – 102 X = 249.9 – 24. 9 = 225

d) Despejamos y simplificamos: X

=

225 10 – 102 3

=

225 900

=

25 x 9 25 x 9 x 4

=

1 4

Ejercicios 0) El método usado para convertir racionales periódicos en cociente de dos enteros puede relajarse de la siguiente manera. Considere el decimal periódico X = 0.249. Siga los siguientes pasos: a) Encuentra 10X – X y llámale A b) Obtén A / 9 c) Simplifica y muestra que A / 9 = 1 / 4 No usamos este segundo método ya que A en general no resulta entero y nuestra idea original es que sí lo fuera.

1) Explica por qué el entero 5 puede escribirse como cociente de dos enteros de una infinidad de maneras

13

2) Explica por qué el número racional 1 / 7 puede escribirse como racional p / q de una infinidad de maneras 3) ¿Es el 0 un número racional? Explicar 4) ¿Es el –1 un número racional? Explicar 5) Cierto o falso: cualquier racional tiene una infinidad de representaciones como cociente de enteros 6) Escribe como fracción el decimal periódico; 0.7777… = 0.7 7) Escribe como fracción el decimal periódico; 7.07 Sin hacer la división, decidir si las siguientes fracciones dan lugar a decimales finitos o periódicos: 8) 125 / 35 9) 126 / 35 10) 125 / 512 11) 126 / 512 Escribe los siguientes números periódicos en finitos (la cantidad de nueves es infinita) 12) 5.319 13) 6.669 14) 7.99 Escribe los siguientes números finitos como periódicos, es decir, agregue nueves: 15) 2.37 16) 1.9 17) 99 18) 100 Encuentra un racional entre 19) 100 y 100.01 20) A / B < C / D, donde A, B, C, D son enteros distintos de 0

Glosario

Dígito: cualquiera de los números 0, 1, 2,…, 8, 9. También llamado cifra Decimal finito: decimal cuya expansión decimal termina: a partir de cierto momento termina, (o se compone únicamente de ceros) Decimal periódico: un número con expansión decimal infinita, pero una o algunos bloques de cifras se repiten indefinidamente Decimal, número: cualquier número que contenga un punto decimal. Un racional que al escribirlo como quebrado, el denominador es alguna potencia positiva de 10; por ejemplo, 2.03 = 203/100 Enteros, números: los enteros positivos, negativos y cero Expansión decimal: resultado de dividir dos enteros 14

Fracción racional: número racional Fracción: cociente algebraico de dos expresiones Natural, número: entero positivo Quebrado: ver racional Racional, número: que se puede escribir como cociente de dos enteros: p/q, con denominador distinto de cero. También llamado quebrado o fracción.

Ligas externas

* España, Cuba y Venezuela son algunos países donde no se usa el punto como separador decimal sino la coma. En Canadá, en la parte francesa, se usa coma y en la inglesa el punto. Algo de historia del punto y la coma como separadores, ver: http://es.wikipedia.org/wiki/Coma_decimal (abril 2008). * Mucha gente pregunta en ¿cuánto es 0.999…? ver: http://mx.answers.yahoo.com/search/search_result;_ylt=AhrScJ5tLVgeGwRNkwn.TgzB8gt.;_ylv=3?p= 0.999 (abril 2008).

15

π ∼ 3.14159265358979 3238462643383279 5028819716939937 5105820749445923 0781640628620899 8628034825321170 6798214808651282 3066470938446095 0582231725359408 …

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 1: Los números reales Tema 1.2: Los números irracionales

Esquema instructivo Números irracionales

Pitágoras y los pitagóricos

Infinidad de irracionales

Truncar y redondear

Hipaso

Conmensurables e inconmensurables

Raíz de 2 es irracional

Π y sus múltiplos son irracionales

La continuación natural de los números racionales son los irracionales, que se presentan en esta sección. Se incluye una demostración de la irracionalidad de raíz de dos y se dan algunos ejemplos de números irracionales. Se define lo que es redondear y truncar y cómo usar tales funciones en la hoja de cálculo Excel.

Los números irracionales 16

Si los racionales son aquellos que se pueden escribir como razón o cociente de dos enteros, entonces Los números irracionales son aquellos que no se pueden escribir como cociente de dos enteros.

El nombre “irracional” parece peyorativo, un insulto y seguramente a nadie le gustaría ser llamado así. Un número irracional simplemente es uno que no es racional. Es interesante conocer algo de la historia de los irracionales, remontándonos 2500 años atrás a la época de los Pitagóricos:

Pitágoras y los inconmensurables ¿Quiénes eran los Pitagóricos?: una sociedad griega con propósitos filosóficos, científicos y religiosos. ¿Cuándo empezaron?: en el año 530 AC, fundada por Pitágoras. ¿Dónde estaban?: en Crotona, una colonia griega en la planta de la bota italiana.

Pitágoras

Crotona

Y hablando de Matemáticas y en particular de medidas, esta mística sociedad usaba la palabra conmensurable de la siguiente manera: dos números a y b son conmensurables si la razón (proporción, o el cociente) a / b es un número racional.

Conmensurable significa que se pueden comparar sus medidas. Las horas son conmensurables con los minutos, ya que una hora equivale a 60 minutos y podemos medir tiempos en cualquiera de las dos unidades; análogamente kilómetros y metros o millas y kilómetros. Un último ejemplo son los grados Fahrenheit, que son conmensurables con los grados Celsius: cada 9°F son 5°C. La razón es 9 a 5 (ó 5 a 9). [ Para cambiar Fahrenheit a Celsius se usa la fórmula °C = (°F – 32) ⋅(5 / 9)] Para los Pitagóricos la esencia del Universo eran los números enteros y sus razones, es decir, los enteros y las fracciones o cocientes de enteros: los racionales.

El número 1 es el generador de todos los números ya que cualquier otro es suma de una cantidad finita de números 1. ¿El primer número femenino? El 2; los pares son femeninos y los nones masculinos, así que el 3 es el primer número realmente masculino, ligado con la armonía ya que es la combinación de 1 y 2. El 4 es justicia y el 5 el casamiento, la unión de la mujer con el hombre (2 + 3); 6 es la creación, y así sucesivamente cada entero describía diversas situaciones.

17

La perfección la daban los enteros y los pitagóricos estaban convencidos que cualquier otro número se podía expresar como cociente de dos enteros. Sin embargo, algo extraño sucedía precisamente en el famoso Teorema de Pitágoras: no podían escribir el tamaño de la diagonal como cociente de dos enteros. Pensaban que sí era posible hacerlo pero no lo habían podido demostrar. Y es entonces cuando aparece Hipaso, un discípulo de Pitágoras, al que se le atribuye la siguiente trascendental demostración:

El tamaño de la diagonal del triángulo no se puede expresar como cociente de dos enteros

2 1

1 La longitud de la hipotenusa es inconmensurable con la de cualquiera de sus lados. No se pueden comparar en el sentido de que no existe una regla de tamaño c que diga, la diagonal mide m⋅c y el lado mide n⋅c, con m y n enteros.

No solo eso hizo el sacrílego de Hipaso, sino que lo divulgó fuera de la institución rompiendo así el voto de secrecía exigido por la orden pitagórica, y es aquí donde aparecen distintas historias respecto a su vida. Se dice que por divulgar el hecho fue arrojado al mar; (se duda, ya que los pitagóricos eran bastante apacibles), o que lo expulsaron del la sociedad, lo cierto es edificaron la tumba con su nombre, como señal de que Hipaso dejaba de existir para la cofradía.

No era para menos la sorpresa de los pitagóricos por la existencia de estos números tan raros que contradecían su doctrina, la que preconizaba la concepción de los enteros como entes perfectos que gobernaban el Universo y todo lo existente en él. Tal demostración iba en contra de sus postulados, creencias y razones. Al resultado lo llamaron inconmensurable y llegó a nosotros como irracional.

Esto es lo que se conoce del primer número irracional, al final de la sección se incluye la demostración clásica de la irracionalidad de la raíz de 2, adaptada de Los elementos de Euclides, escrito en el siglo III AC.

¿Qué tantos irracionales hay?

Como 2 es irracional también lo es 3 2 , por ejemplo, ya que si 3 2 fuera racional, sería igual a p / q, algunas p y q, pero si dividimos entre 3, llegamos a que 2 = p/3q, o sea de la forma P/Q. Pero acabamos de mencionar que es imposible escribir a 2 como cociente de enteros, así que hay una contradicción y esa debe suceder en nuestra aseveración inicial. Por lo tanto 3 2 es irracional. Y como es válido para 3, de manera análoga se comprueba que es válido para todos los enteros, es decir, k 2 es irracional para cualquier entero k.

Así que tenemos una infinidad de irracionales, todos ellos múltiplos de 2

18

Más irracionales: si el entero n no es un cuadrado perfecto, es decir, no es ninguno de los siguientes números: 1, 4, 9, 16, 25…, k2, con k un natural, entonces su raíz cuadrada es un número irracional.

Tampoco son racionales las siguientes raíces: 3

4,

3

100 ,

4

3

100 ,

25

Ejemplo 1) Encuentre un número irracional entre los enteros 10 y 11 Sabemos que el promedio da un número entre ambos, pero en este caso es el racional (10+11)/2 = 21/2 = 10.5, y se busca un irracional. Habrá que construirlo. Aparte de Pi conocemos la raíz de dos, pero esta raíz es un irracional entre 1 y 2: 1<

2 <2

B

La segunda desigualdad es cierta ya que la distancia más corta entre A y B la proporciona la recta que los une; en nuestro caso, la diagonal ( 2 ) es menor que la suma de los lados (2):

2 1

A 1

Una manera de encontrar el irracional pedido es la siguiente: Dividimos entre 2, 1/2< 2/2 <2/2=1 es decir, obtenemos un número irracional pero ahora menor que 1.

Lo que hacemos ahora es trasladarlo diez unidades para el norte, es decir, sumamos 10 en todos los términos anteriores y obtenemos: 10 < 10 + 2 / 2 < 11 El número 10 + 2 / 2 es un irracional que está entre 10 y 11.

Las primeras decimales son: 10 + 1.4142/2 = 10 + 0.7071 = 10.7071.

Un argumento análogo puede demostrar que entre cualesquiera dos racionales existe un irracional.

El número π Desde nuestros inicios escolares aprendimos a usar el número Pi, representado por la letra griega “π” para calcular algunas medidas relacionadas con los círculos. Sabemos que el área de un círculo es π por radio al cuadrado y la circunferencia, o sea que la longitud del perímetro, es dos π por radio.

Estas son fórmulas ya conocidas, pero ¿cómo aparece el número π ?

19

Considerando un círculo, si dividimos la longitud de la circunferencia entre el diámetro, no importa el tamaño del radio, obtenemos siempre el número π.

Es interesante comprobarlo: a) Conseguir un listón o cordel y una lata cilíndrica

b) Con el listón dar una vuelta a la lata y marcarlo cuando hayamos medido la circunferencia. Visto desde arriba:

c) Señalamos el tamaño de un diámetro con otro cordel y lo triplicamos

d) Comparamos un perímetro contra tres diámetros:

Circunferencia Tres diámetros

Siempre obtendremos que el tamaño de tres diámetros es “casi” igual al tamaño de la circunferencia. Ese Casi que falta para que sean iguales, es el 0.141516; la expansión decimal infinita de π. En la figura abajo podemos ver que si el diámetro mide uno entonces se tienen las siguientes medidas:

Circunferencia = 3.14159265…

1 Tres diámetros = 3

20

Llevó más de dos mil años saber que π era irracional, cuando por fin en 1767 el alemán Johann Lambert lo demostró.

En las próximas secciones sobre Series y aproximaciones volveremos a estudiar al famoso número π; por ahora solo mencionamos que es un célebre irracional: Tal vez el más popular de los irracionales.

Pero no es el único ya que también los múltiplos enteros de π lo son: 2π, 3π; los cocientes π/2, π/3, son irracionales y en 1794 el matemático francés Legendre probó que π2 es irracional. Lo que queremos decir es que π por sí sólo ¡genera una infinidad de irracionales! o sea, otra infinidad, junto con los múltiplos de raíz de 2.

Aproximaciones de números: truncar y redondear En la práctica cuando usamos números que tiene muchas cifras decimales acostumbramos a dar sólo algunas, por ejemplo mencionamos que π es más conocido como 3.1416 que como 3.14159265.

Estamos redondeando a cuatro decimales. Otra manera de aproximar es truncar. Si truncamos π a cuatro decimales, obtenemos 3.1415.

Truncar en la n cifra es simplemente quitar los números que le siguen, mientras que redondear es aproximar a la potencia de diez más cercana, hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo 2)

Aproximar π (= 3.14159265…) a seis decimales:

Truncando: Redondeando:

3.141592 3.141593

Se cancelan las cifras posteriores a la sexta.

Ya que 926 vive más cerca de 930 que de 920.

Nota: La hoja de cálculo Excel tiene las dos funciones TRUNCAR y REDONDEAR Por ejemplo, si se escribe en una celda: =Truncar (Pi( ),6) Excel contesta con: 3.141592 Pi( ) es π y 6 corresponde a la cantidad de decimales que queremos obtener.

Análogamente, al escribir en Excel

=Redondear(Pi( ),6) Excel proporciona: 3.141593

Ejemplo 3) El 9 de abril del 2008 la página http://www.xe.net/cgi-bin/ucc/convert informaba que un dólar americano costaba 10.5688 pesos mexicanos. Si hubiéramos comprado un dólar en una casa de cambio a esa cotización tendríamos que haber pagado $10.57, es decir, se redondearon a 2 decimales; al truncarse costaría 10.56. En el caso de dinero se usan 2 cifras decimales, llamadas cifras significativas.

21

Raíz de 2 es irracional Usando el llamado método de reducción al absurdo demostraremos la irracionalidad de raíz de dos.

Supongamos lo contrario, digamos que 2 es racional.

Por definición de racional 2 se puede escribir como cociente de dos enteros, si existieran divisores en común entre los enteros, los cancelamos.

Supongamos que: 2 = p / q, donde p y q no tienen ya ningún factor en común.

Elevamos al cuadrado y multiplicamos por q2:

2 q2 = p2

Esta identidad dice que p2 es par, pero si el cuadrado de un número es par, a fuerza el número es par.

Entonces p = 2k, para algún entero k. Sustituyendo 2k en lugar de p: 2 q2 = p2 = (2k)2 = 4k2 dividiendo entre 2: q2 = 2k2 pero esta igualdad dice que q2 es par.

Como observamos renglones arriba si un cuadrado es par el número lo es, así que q es par.

Conclusión: p es par y q es par.

Sin embargo, supusimos que no tenían factor común, por tanto hay una contradicción en nuestro argumento. La contradicción tuvo su origen en la hipótesis inicial, pues no hicimos nada incorrecto al lo largo de nuestra demostración. Lo que ocurrió fue que partimos de algo falso. En este caso, lo único que se puede rebatir es nuestra afirmación inicial: 2 es racional, que debe ser falsa. Por lo tanto, 2 es irracional.

Una manera inocente de calcular 2 El triángulo abajo nos dice que 1 < 2 , y como la hipotenusa es menor que la suma de los tamaños de los catetos, tenemos que 2 < 2, o sea 1 < 2 < 2.

2 1

La hipotenusa ( 2 ) es más grande que 1 y más chica que 2:

1 22

1

2

2

El punto medio del intervalo (1, 2) debe estar más cerca de 2 de lo que están 1 y 2.

1

2

3/2

2

Es fácil ver que 3/2 (punto medio de 1 y 2) cumple con:

2 < 3/2

¿Cómo podemos convencernos? Elevando al cuadrado y simplificando vemos que 8 < 9, por tanto la desigualdad es correcta.

Esto nos lleva a la desigualdad:

1 < 2 < 3/2

Análogamente, el punto medio del intervalo (1, 3/2) debe estar más cerca de 2 de lo que 1 y 3/2 lo están. Ese punto medio es 5/4.

Es fácil ver que 5/4 < 2 , ya que elevando al cuadrado y simplificando 25 < 32 Por tanto, 5 / 4 < 2 < 3 / 2 , es decir 1.25 < 2 < 1.5

Este procedimiento de encajonamiento nos conduce cada vez a mejores aproximaciones al valor de 2 . Después de diez pasos se obtiene:

Pasos

Extremo izquierdo

Extremo derecho

Punto medio

2

1

√2

2

1.5

1

√2

1.5

1.25

1.25

√2

1.5

1.375

1.375

√2

1.5

1.4375

5

1.375

√2

1.4375

1.40625

6

1.40625

√2

1.4375

1.421875

7

1.40625

√2

1.421875

1.4140625

1 2 3 4

23

8 9 10

1.4140625

√2

1.421875

1.41796875

1.4140625

√2

1.41796875

1.41601563

1.4140625

√2

1.416015625

1.41503906

La tabla hecha en Excel nos dice: 1.4140625 <

2 < 1.416015625

es decir, 2 es aproximadamente 1.41.

Las primeras diez cifras decimales de 2 son: 1.414 213 562 3 En la sección Sucesiones usaremos el llamado método babilónico para aproximarnos a raíces cuadradas, en particular a 2 .

Recapitulación * Números irracionales: a) No es posible expresarlos como p/q, con p y q enteros, q ≠ 0 b) Su expansión decimal es infinita y no es periódica * Hay varias infinidades de números irracionales, por ejemplo, los múltiplos de π es una, otra es los múltiplos de raíz de 2 . (Por supuesto es una manera de hablar. El infinito es sólo uno).

Alegoría: Si en una noche estrellada observamos el cielo, las luminosas estrellas son los racionales, mientras que la inmensa oscuridad representa a los irracionales. * Tanto en números racionales como irracionales se acostumbra aproximar, ya sea redondeando o truncando.

¿Cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales? Justificar respuesta.

1)

a) c)

3

32 1001

b) d)

3

81 512

2) Encuentra un racional entre 2 2 y π 3) Encuentra un irracional entre 2 2 y π 4) Con ayuda de una hoja de cálculo, truncar y redondear con 3 decimales, los números que aparecen en el inciso anterior.

24

5) Usa una hoja de cálculo para contestar en qué intervalo vive 2 después de dividir (1, 2) veinte veces. Se sugiere usar el método del encajonamiento, (arriba) donde se encontraron 10 subintervalos.

6) Aplica el método del encajonamiento para aproximarse al valor de 5 . Al menos diez pasos.

7) ¿Qué es más grande? un número truncado o redondeado. Explica y proporciona ejemplos.

8) No es necesario el uso de computadora para el siguiente ejercicio; sólo la definición.

Se trata de truncar y de redondear los siguientes números, con 3 decimales de aproximación. La idea es reconocer cuál es mayor: el truncado o el redondeado.

X=

Truncar

Redondear

0.344 0.345 0.346 0.3444 0.3445 0.3446

Glosario

Conmensurables, números: a y b son conmensurables si a / b es un número racional Hipaso: discípulo de Pitágoras; demostró y divulgó que 2 es irracional Pitágoras: (582-507 AC): filósofo y matemático griego. Nació en la isla Samos.

Pitagóricos: escuela fundada por Pitágoras en Crotona, al sur de Italia, el siglo VI aC Proporción: igualdad entre dos razones Razón de a y b: es el cociente a/b. b debe ser distinto de cero.

Redondear en la cifra n: aproximar las cifras n y n+1 a la cantidad más cercana:

Ejemplo:

si X = 7.5905 entonces,

Redondear(X,0) = 8 Redondear(X,1) = 7.6 Redondear(X,2) = 7.59 Redondear(X,3) = 7.591

25

Redondear(X,4) = 7.5905 Redondear(X,5) = 7.5905

Truncar en la cifra n: eliminar los decimales después de la cifra n

Ligas externas

* Vida y obra de Pitágoras: http://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras (abril 2008). * Biografía de Hipaso. Esta página también menciona el método de demostración “por reducción al absurdo”. http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/perlasmatematicas/irracionalidadraizcuadradados.htm (abril 2008). * Biografía de Johann Lambert: http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Heinrich_Lambert (junio 2008)

Ilustraciones

* Busto de Pitágoras: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras (abril 2008) * Mapa de Crotona, Italia: http://www.luventicus.org/mapas/italiaprovincias/crotona.gif (abril 2008)

26

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 1: Los números reales Tema 1.3: Los números reales

Esquema instructivo

Los números reales

El hotel Infinito

La recta numérica

Los infinitos No tiene agujeros

Cardinalidad

Los reales no pueden contarse

Infinitos chiquitos

Hotel infinito “Siempre tendremos una habitación para usted. SIEMPRE”

27

Así dice el lema del hotel Hilbert, pero cuando llegué a registrarme me dijeron que una infinidad de personas lo ocupaba. ¿Cómo me van a alojar? Pregunté.

- No hay problema, me dijo el administrador Por medio de su computadora enlazada a todos los cuartos, envió el siguiente mensaje a los ocupantes del hotel: “Inquilino de la habitación número n, por favor pasar a la n + 1” Por este método, quién estaba en el cuarto 49 pasó al 50; el habitante del 5000 pasó al 5001 y la persona del número 1 se mudó al número 2.

-Listo, dijo el administrador, y me entregó la llave de la habitación número 1.

Cosas raras pasan con los infinitos. El hotel seguía lleno cuando arribó otra infinidad de clientes buscando habitación y el administrador pudo encontrarles cuarto a todos y cada uno de los nuevos turistas. Para conocer algunas estrategias hoteleras en hoteles infinitos, ver: http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_Infinito (abril 2008)

Los números reales Al conjunto formado por todos los números tanto racionales como irracionales, se le llama los números reales La siguiente figura muestra al conjunto de los reales con sus subconjuntos importantes y algunos elementos como ejemplo:

28

13 / 3 -4/5

Números Reales

1/7

Racionales

Irracionales

11 / 19

3

8

Enteros

0

-5

Naturales 29 1/2

3π π

10

π/4

4

2952

π2

2

- 32 / 23

El conjunto de los números naturales (enteros positivos) está contenido en el de los enteros, es decir, todo natural es entero, pero no recíprocamente. Los enteros forman parte de los racionales y por último, tenemos al conjunto de los irracionales que es ajeno a los racionales. No hay ningún número que simultáneamente sea racional e irracional.

Recordamos que en terminología de conjuntos el símbolo ∪ es el de unión y ⊆ el de contención, es decir A ⊆ B se lee como “A está contenido en B” o sea que cada elemento a en A también pertenece a B. Con este lenguaje tenemos las siguientes afirmaciones: Naturales ⊆ Enteros ⊆ Racionales ⊆ Reales Reales = Racionales ∪ Irracionales

La recta numérica Se le llama Eje X a una recta horizontal de longitud infinita con un par de puntos escogidos, tales que el del lado izquierdo es el origen (también llamado 0) y el de lado derecho es el entero 1.

0

1

La distancia entre 0 y 1 será la unidad de longitud o el tamaño uno.

Con esta distancia se pueden construir sobre la recta todos los enteros: El 2 estará a una unidad a la derecha del 1, el 3 a una del 2 (o a dos del 1) y así sucesivamente.

Los números negativos están a la izquierda del cero y los construimos de manera análoga a los positivos.

-2

-1

0 29

1

2

También sabemos, al menos aproximadamente, dónde están algunos números. Usando nuestra regla unitaria podemos marcar, por ejemplo, el punto 3/2, que es el punto medio entre 1 y 2 o -1.4, que está 4/10 a la izquierda de -1.

-2

-1.4

-1

0

1

3/2

2

Una aproximación para 2 es 1.41 y el valor de π es alrededor de 3.14, así que podemos decir dónde se encuentran, aproximadamente:

0

1

2

2

3 π

4

Decimos que a es menor que b si b – a es positivo. La notación es a < b, que es lo mismo que b > a. Esto último se lee “b mayor que a”.

En la imagen arriba tenemos que 0 < 1 < 2 < 2 < 3 < π < 4 Decir “sea x un número real” o escribir “sea x un punto en la recta”, resultan afirmaciones equivalentes. Da igual cómo se diga, el significado es el mismo.

Los infinitos: +∞ y -∞ Es conveniente añadirle a la recta de los números reales un par de símbolos: +∞ y –∞, llamados más infinito y menos infinito. No son números y no debemos considerarlos como tales; en la sección de límites de funciones y de sucesiones se emplearán frecuentemente y se estudiarán sus propiedades, por ahora comentamos que cualquier número real x está entre más infinito y menos infinito: –∞ < x <+∞ Esta convención dice que no hay ningún número real que sea el mayor número, ni el menor número; dado cualquier real, siempre habrá mayores y menores.

¿Cuál es el número positivo más pequeño que conoces?

– “Un millonésimo” – contestó Pepito – ¿Qué opinan? – dijo la maestra – “Uno ente dos millones” – dijo Pablito Y Pablito tiene razón. Lo que hizo Pablito fue simplemente dividir entre dos el número que dijo Pepito.

Uno entre dos millones sigue siendo positivo y es más pequeño que el que dijo Pepito, exactamente la mitad.

30

– Y ¿otro más chico? –preguntó la maestra – “La mitad del que dijo Pablito” – contestó Pepito Y también tiene razón. De esta manera, se puede obtener un número positivo cada vez menor que cualquiera que se piense. Por supuesto sacar mitades no es el única forma de encontrar números menores, pero es bastante claro y tal vez el más natural. Se pudo restar la tercera o la décima parte del número del que se hable.

El proceso iniciado por Pablito nos lleva a la siguiente sucesión de números, uno cada vez más chico que el otro:

0

<...<

1 8,000,000

<

1 4,000,000

<

1 2,000,000

<

1 1,000,000

0

<...<

1

1 / 1,000,000

Como el denominador se duplica cada paso, la sucesión obtenida es cada vez más pequeña y de hecho es fácil ver que se acerca cada vez más a cero, pero sin llegar a ser cero:

1 2 (1,000,000)

La sucesión anterior se puede expresar como:

n

donde n es un entero no negativo.

Este simple argumento prueba efectivamente que no existe algún número positivo que sea menor que cualquier otro. Es tan importante esta afirmación que la escribimos por separado: No existe un número positivo que sea menor que cualquier otro número No existe el número más pequeño.

La idea de una demostración se dio inicialmente: Supongamos que x es un número positivo menor que todos los demás números positivos. ¿Qué sucede con x / 2? a) x / 2 sigue siendo positivo, porque x lo es; b) x / 2 < x, es decir es menor que x Habíamos supuesto que x tiene esas propiedades y ahora salimos con que x/2 también las cumple, así que hay una contradicción. Por lo tanto, no hay tal número.

31

La recta numérica no tiene huecos ni agujeros Queremos decir que entre cualesquiera dos números distintos, siempre hay otro número real entre ellos.

Ejemplo 1) Sean a < b dos números reales, entonces el promedio de ellos está entre ambos:

a<

a+b <b 2

Por supuesto no es el único, por ejemplo: a + (b – a) / 3, está entre ellos y también lo está a + (b – a)/4 . Tenemos entonces: Si n es un entero positivo, el conjunto de números de la forma a + (b – a)/n , está entre a y b mostrando que hay una infinidad de términos entre a y b. b–a < b a < a+ n Ejemplo 2) Usando la fórmula anterior exhibiremos algunos números entre a = 1.5 y b = 2.

En este caso,

a+

b–a n

=

1.5 +

2 – 1.5 n

Para todo entero positivo, los números de la forma 1.5 +

=

1.5 + 0.5 n

0.5 n

, están entre 1.5 y 2.

Veamos la siguiente tabla: n

1.5 + (0.5)/n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000

2.0000 1.7500 1.6667 1.6250 1.6000 1.5833 1.5714 1.5625 1.5556 1.5500 1.5050000000 1.5005000000 1.5000500000 1.5000050000 1.5000005000

El anterior argumento es válido para cualquier pareja de números distintos.

32

.

Concluimos: Dados cualesquiera dos números a < b, siempre hay entre ellos una infinidad de números, por ejemplo, a + (b-a)/n. Esta afirmación implica que no hay un número sucesor o anterior de otro y que la recta numérica no tiene huecos.

Cardinalidad La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene. Para conocer la cardinalidad de un conjunto finito basta contar sus elementos, por ejemplo, la cardinalidad del conjunto P formado por los números primos menores que 10 es cuatro ya P = {2, 3, 5, 7} y consta de sólo cuatro elementos.

Otro ejemplo de un conjunto con cardinalidad cuatro lo constituye Q, el conjunto de números primos que se encuentran entre 10 y 20: {11, 13, 17, 19}.

El conjunto con cardinalidad cuatro más popular, simple, sencillo, natural y fácil de recordar, es el de los enteros del 1 al 4, conjunto, que por el momento llamaremos C = {1, 2, 3, 4}.

Diremos que un conjunto tiene cardinalidad cuatro si se puede relacionar uno a uno, con el conjunto C = {1, 2, 3, 4}.

Dos conjuntos están relacionados “uno a uno” si cada elemento del primer conjunto se relaciona con solo uno del segundo, y recíprocamente. A cada elemento del segundo conjunto le corresponde sólo uno del primero. La notación puede ser 1:1 ó 1 a 1 Por ejemplo, en el caso de los primos menores que 10, una relación uno a uno con C puede ser la siguiente: P C ↔ 2

↔

1

3

↔

2

5

↔

3

7

↔

4

Por supuesto no es la única, pudimos relacionar 2↔4, 3↔3, 5↔2, 7↔1.

Análogamente, el conjunto Q de los primos entre 10 y 20 se relacionan uno a uno con los naturales de C: C Q ↔ 1

↔

11

2

↔

13

3

↔

17

33

4

↔

19

Si juntamos las dos tablas anteriores vemos que los conjuntos P y Q tienen la misma cantidad de elementos, ya que ambos se pueden poner en correspondencia uno a uno con C: P

↔

C

↔

Q

2 3 5 7

↔ ↔ ↔ ↔

1 2 3 4

↔ ↔ ↔ ↔

11 13 17 19

Siguiendo con los ejemplos de conjuntos de números primos, resulta que entre 20 y 30 hay sólo dos números primos: 23 y 29. El conjunto S formado por estos números no se puede poner en correspondencia 1 a 1 con C.

En caso que se pudiera deberíamos de “aparear” o “casar” cada elemento de S con cada uno de C. Intentamos: 23 ↔ 1 y 29 ↔ 2, pero es claro que nos faltan elementos en S para relacionar con el 3 y con el 4: S c ↔ 23

↔

1

29

↔

2

? ?

3 4

Es claro que no se puede entablar tal relación, ya que la cantidad de elementos en cada conjunto es distinta.

Conjuntos infinitos Hemos estudiado diversos conjuntos infinitos. En Matemáticas I dedicamos un largo capítulo a los números naturales (o sea, los enteros positivos) y otro a los enteros. Estos conjuntos los denotamos por N y Z, respectivamente, ambos son de cardinalidad infinita y lo curioso es que uno de ellos, los naturales N, está totalmente contenido en el de los enteros: N ⊆ Z, ya que todo natural, en particular es un entero. No todo entero es natural, los negativos no lo son, el cero no lo es.

Aparentemente los enteros son dos veces más que los naturales, más uno: el cero:

34

Naturales

Enteros

1 2 3 4 5 ...

...

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...

Podemos poner en correspondencia 1 a 1 los negativos con los positivos y llegar a Dos copias de los naturales

Enteros

...

5 4 3 2 1

...

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ...

1 2 3 4 5 ...

La siguiente asociaciรณn entre naturales y enteros es contundente: Naturales

Enteros

35

...

2n +1 ...

11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 ...

2n ...

...

-n ...

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ... n ...

Enlazamos al natural 1 con el entero 0, y luego, si observamos los arreglos algebraicos de los renglones extremos de la tabla anterior, el mĂŠtodo es el siguiente: Naturales

Enteros

Impar 1 Par

- (Par anterior) / 2 0 Par / 2

A cada natural le corresponde un solo entero. ÂżCada entero proviene de un solo natural? La siguiente tabla muestra la asignaciĂłn; la columna izquierda corresponde a los enteros (el cero, los pares y los impares), la derecha a los naturales (primero el 1, luego los pares y despuĂŠs los impares).

Enteros

Naturales

...

-n ...

-5 -4 -3 -2 -1 0

...

2n +1 ...

11 9 7 5 3 1 36

1 2 3 4 5 ... n ...

2 4 6 8 10 ...

2n ...

Probando que hay la misma cantidad de enteros que de naturales, a pesar de que aparentemente hay el doble de enteros que de naturales. Y tal vez eso se presta para hacer una buena definición de los conjuntos infinitos.

Un conjunto tiene cardinalidad infinita cuando sus elementos se pueden poner en correspondencia 1 a 1 con los elementos de un subconjunto propio.

A es subconjunto propio de B si: 1) A ⊆ B y 2) Existe b, elemento de B, que no está en A Resumiendo lo visto arriba y algo del curso Matemáticas 1, hay la misma cantidad de: Naturales y Enteros no negativos Naturales y

…

Enteros

…

1

2

3

4

5

…

n

…

↓ 0

↓ 1

↓ 2

↓ 3

↓ 4

…

↓ n-1

…

2n + 1 … ↓ -n

…

9

7

5

3

1

2

4

6

8

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

2n

…

↓ … n

n

…

Naturales y

1

2

3

4

5

↓

↓

↓

↓

↓

Pares

2

4

6

8

10

…

2n

…

Naturales e

1

2

3

4

5

…

n

…

↓

↓

↓

↓

↓

Impares

1

3

5

7

9

…

2n - 1

…

Naturales y

1

2

3

4

5

…

n

…

↓

↓

↓

↓

↓

Múltiplos de

3

6

9

12

15

37

…

…

…

↓

↓

↓ …

3n

…

Hay una infinidad de números naturales y a esa cantidad se le llama Alef Cero: ℵo (ℵ es la primera letra del alfabeto hebreo). Acabamos de ver que tienen la misma cardinalidad no sólo los naturales sino también los enteros, los pares, los impares, los múltiplos de 7, los de 19, los enteros elevados al cuadrado o al cubo, etcétera.

Para demostrar que un conjunto tiene cardinalidad ℵo , basta encontrar una correspondencia uno a uno entre ese conjunto y el de los naturales. Aunque esto puede no ser sencillo.

En 1873 el matemático alemán Georg Cantor asombró a la comunidad científica al demostrar que La cardinalidad de los racionales es igual a ℵo

Hay la misma cantidad de números de la forma p/q (p y q enteros, q ≠ 0) que de números naturales.

Quién lo creyera.

Para demostrar esa afirmación hay que establecer una correspondencia 1 a 1 entre los racionales no negativos y los naturales. Podemos escribir todos los números racionales en un arreglo rectangular como en la figura siguiente:

Columnas Renglones

Renglón p

0/1 1/1 2/1 3/1 4/1 … p/1 …

Columna q 1/2 2/2 3/2 4/2 … p/2 …

1/3 2/3 3/3 4/3 … p/3 …

1/4 2/4 3/4 4/4 … p/4 …

… … … … … … …

1/q 2/q 3/q 4/q … p/q …

… … … … … … …

Notamos que no falta ningún racional en el arreglo, por ejemplo, para localizar al número p / q, vamos al renglón p y seguimos por las columnas hasta llegar a la q.

La correspondencia entre naturales y racionales se hace como sigue: una diagonal pasará por todas las casillas y de esta manera podemos ir contando una por una. En caso de números repetidos, (1/1 = 2/2 = 3/3) los podemos contar o bien nos los saltamos y simplemente no los tomamos en cuenta. DE cualquier manera no dejamos ninguno sin contar.

38

Este procedimiento establece una correspondencia uno a uno entre los naturales y los racionales, mostrando así que cada conjunto tiene la misma cantidad de elementos que el otro. La cardinalidad de los racionales es también ℵo .

Infinitos chiquitos De los conjuntos infinitos el menor es el que tiene cardinalidad ℵo, es decir, la misma cantidad que de números naturales. Un conjunto infinito se llama numerable si tiene cardinalidad ℵo.

Numerar es contar. ¿Cómo contamos? , digamos, una infinidad de canicas. Tomamos una y decimos que esa es la primera, otra la segunda y así sucesivamente. Si podemos asociar natural ↔ canica cumpliendo con las condiciones: a) ninguna canica tiene más de un número y b) no hay dos canicas con el mismo número, entonces la relación es 1 a 1 y la cantidad de canicas será igual a la de números naturales.

Hay conjuntos con más elementos que los naturales; en estos conjuntos no se puede contar los elementos. Tal vez el más conocido es el de los números reales.

Proposición: Los números reales no pueden contarse 39

Demostraremos que los reales entre 0 y 1 no pueden contarse, implicando entonces que los reales en toda la recta tampoco. La idea de la demostración es como sigue: Supongamos que si se pueden contar, entonces a cada natural se le asocia un número real, al que pensaremos escrito en forma decimal. Construiremos un número real pero que no está asociado a ningún natural. Supóngase que la asociación entre naturales y reales es así: 1 ↔ 0.a1 a2 a3 a4 a5 a6…

2 ↔ 0.b1 b2 b3 b4 b5 b6…

3 ↔ 0.c1 c2 c3 c4 c5 c6…

4 ↔ 0.d1 d2 d3 d4 d5 d6… …

Construiremos un decimal que no aparece en la lista.

Sea X = 0.x1 x2 x3 x4 x5 x6…

Tomamos x1 de tal manera que no sea igual a a1. Por ejemplo, si a1 es 7 podemos tomar como x1 el 8 ó 6, de igual modo el 0 (cero) o cualquier número pero que no sea 7. Por lo tanto X no coincide con el decimal asociado al natural 1 ya que difiere en al menos esa primera decimal.

Análogamente, tomamos x2 de manera que no sea igual a b2. Esto hace a X distinto del decimal asociado a 2.

Escogemos x3 de manera que no sea igual a c3. Esto hace a X distinto del decimal asociado a 3. Y así sucesivamente.

El decimal X no aparece en nuestra lista de reales porque precisamente lo estamos construyendo distinto a todos los elementos que tenemos enumerados. Pero si X no está, entonces algo falló. Y lo único que puede ser es que hayamos partido de algo falso, en este caso que tengamos todos los reales listados; por lo tanto los reales entre 0 y 1 no se pueden contar y su cardinalidad no puede ser ℵo .

Un detalle técnico: Si la expansión decimal de algún número termina, se sustituye por uno con expansión infinita, completando con nueves, por ejemplo, 0.25 = 0.249

La cardinalidad de los números reales se denota como C, y se le llama el continuo. Terminamos la sección recordando la cardinalidad de algunos conjuntos infinitos que hemos estudiado: Conjunto

Cardinalidad

Números naturales Enteros positivos números enteros Paras positivos

ℵo ℵo ℵo ℵo 40

ℵo ℵo

Cuadrados * Números primos Números irracionales Números reales

C C

* Cuadrados: números enteros al cuadrado: 1, 4, 9, 16, 25,…, k2,…

Ejercicios ¿Qué cardinalidad tienen los siguientes conjuntos?

1) {a, b, c}.

2) {3, 2, 1}.

3) {-5, -3, -1, 1, 3, 5,…}.

4) {números impares negativos}.

5) {enero, febrero,…, diciembre}.

6) {1, 1, 1, 1,…}.

7) {0, 4, 8, 12,…, 80}.

8) {a, b, a, b, a, b}.

9) {1/3, 1/5, 1/7, 1/9,…}.

10) ¿Son iguales los conjuntos {b, d} y {d, b}? Explicar 11) ¿Cuántas relaciones distintas hay entre los conjuntos C = {1, 2, 3, 4} y P = {2, 3, 5, 7}.

Los siguientes conjuntos tienen cardinalidad ℵo. Encuentra una correspondencia 1 a 1 entre el conjunto y el de los números naturales.

12) {5, 7, 9, 11, 13,…}.

13) {1, -2, 3, -4, 5, -6,…}. ¿Cierto o falso? Explica lo mejor posible: 14) Si A y B son conjuntos infinitos entonces su cardinalidad es la misma.

15) ℵo + ℵo = ℵo.

16) La cardinalidad del continuo C es igual a 2ℵ ℵo.

17) Si la cardinalidad de A y de B es ℵo entonces la de A U B es ℵo + ℵo.

18) Ya que la cardinalidad de los reales en el intervalo [0, 1] es el continuo C, entonces la del intervalo [0, 2] es 2 por C. 19) Comprueba, exhibiendo una correspondencia, que existe la misma cantidad de números cubos (1, 8, 27, 64,...) que de números cuadrados (1, 4, 9,…). Justifica su cardinalidad.

20) El axioma del continuo pregunta: ¿existe algún conjunto con cardinalidad mayor que ℵo pero menor que C? Ver: http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_del_continuo (abril 2008). Leer y comentar.

41

21) Nota que el intervalo [0, 1] tiene la misma cantidad de puntos que [0, 2]: 0

1

0

a) Trazamos una recta que toque los “ceros” de ambos intervalos y b) trazamos otra recta que toque al 1 y al 2.

2

O

A partir de O se puede trazar rectas tales que a cada punto de [0,1] le corresponda un único punto de [0, 2], y recíprocamente: cada punto de [0,2] proviene de alguno de [0,1]:

0

1

0

2

O

0

0

a1

b1

a2

a3

1

b2

b3

2

Conclusión, la cardinalidad de ambos intervalos es la misma.

Glosario

Cardinalidad de un conjunto: el número de elementos del conjunto Cardinalidad infinita: un conjunto tiene cardinalidad infinita cuando sus elementos se pueden poner en correspondencia 1 a 1 con los elementos de un subconjunto propio

42

Numerable, conjunto: que se puede poner en correspondencia 1 a 1 con los naturales Reales, números: recibe este nombre el conjunto formado por la unión de los números racionales con los irracionales Uno a Uno, correspondencia: dos conjuntos están relacionados uno a uno si cada elemento del primer conjunto se relaciona con solo uno del segundo, y recíprocamente, es decir, a cada elemento del segundo conjunto le corresponde sólo uno del primero Ver, también el texto Matemáticas 1

Ligas externas

* Sobre Georg Cantor: http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

(abril 2008).

* Cantor y el hotel infinito: http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_Infinito (abril 2008).

Ilustraciones

* Fotos del hotel Ryugyon, en Corea del Norte. (No es infinito: sólo 3,000 habitaciones) http://www.lugaresparadescubrir.com/2008/04/hotel-ryugyong-el-hotel-de-105-plantas.html (abril 2008). * Arreglo de diagonal de Cantor para contar los racionales: http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://ar.geocities.com/paginadeprueba2005/Cantor/Imag enes/Cantor0010.jpg&imgrefurl=http://ar.geocities.com/paginadeprueba2005/Cantor/ (abril 2008).

43

MATEMÁTICAS IV

n

m

x

Objetivo 2: Álgebra Tema 2.1: Manejo y simplificación de expresiones algebraicas: radicales

En este apartado se define lo que es la raíz de un número real, enfatizando con la raíz cuadrada. Se señalan las igualdades entre la raíz del producto y cociente con el producto y cociente de las raíces.

Se ve cómo eliminar las raíces de los denominadores (racionalización) así como la notación exponencial de las raíces.

Esquema instructivo

Radicales

Raíz cuadrada

Propiedades

Racionalización del denominador

Producto Cociente

La raíz como exponente

Raíz cuadrada La raíz cuadrada de 81 es 9 ya que 9 x 9 = 81, y la notación es 81 = 9.

También (-9) x (-9) = 81; esto quiere decir que cualquier número positivo tiene dos raíces cuadradas; en el caso de 81 son 9 y -9, es por eso que algunos autores escriben: 81 = ± 9, mostrando simultáneamente ambas raíces.

Al hablar de “la raíz de __” se sobreentiende que es la raíz cuadrada positiva sin considerar la negativa, a no ser que sea necesario hacerlo de manera explícita.

44

Decimos que la raíz de x es y, si x es igual a y cuadrada: x =y

cuando

Ejemplos 1) Encontrar la raíz de 121; 11 x 11 = 121 así que

x = y2

121 = 11.

2) Encontrar la raíz de 2.

La raíz de 2 es un número irracional aproximadamente igual a 1.4142.

Que sea irracional entre otras cosas significa que tiene expansión decimal infinita y no periódica.

Notación: 2 ~ 1.4142, donde el símbolo “~” significa aproximadamente.

3) Encontrar – 64 Ya que 8 x 8 = 64, entonces

64 = 8 y con el signo menos: – 64 = – 8.

4) ¿Entre que enteros consecutivos está 39 ?

Se buscan el entero n tal que n < 39 < n + 1 Elevando al cuadrado: n2 < 39 < (n + 1)2 Descubrimos que 62 = 36 < 39 < 49 = (6 + 1)2 Conclusión: 6 < 39 < 7 5)

x2 + y2 ≠ x2 + y2

¡Es un error común creer que la raíz de la suma es la suma de las raíces! Si alguna de las dos incógnitas, x ó y, es cero, entonces si es cierto, sin embargo en general no lo es.

Por ejemplo:

32 + 42 =

por otro lado,

32 + 42 =

6)

–4

9 + 16

=

25 = 5

9 + 16

= 3 + 4 = 7 ; respuestas bastante distintas.

≠ – 2. Los números negativos no tienen raíces reales.

No existe número real x tal que x2 = – 4.

Radicales “Un radical es una persona capaz de llegar a las últimas consecuencias de los principios que predica”. Bueno, es lo que se decía de los extremistas en los años 60, pero no es el radical que nos interesa, sino la acepción matemática del término. La palabra radical significa raíz y la raíz más conocida la acabamos de estudiar: la famosa raíz cuadrada, así que seguiremos con otro tipo de raíces.

Si n es un entero positivo tenemos:

n

a = b → a = bn

45

Notas:

Raíz o índice

n

a

Radicando a) b) c) d) e) f)

El entero n es el índice o la raíz es el símbolo usado para denotar raíz enésima El número a es el radicando n 0 = 0 para toda n, ya que 0n = 0 Si no aparece n como raíz, se sobrentiende entonces que es dos: = 2 No se usa el entero 1 como raíz, ya que 1 a = a: cualquier número elevado a la 1 es el mismo número n

n

Si el número n es par, entonces en la igualdad

a

= b tanto a como b deben ser números

reales mayores o iguales a cero.

Esto se debe a lo siguiente: a) a negativo:

2

−9

= ? ¿Cuál es la raíz cuadrada de -9?

Se busca un número real que elevado al cuadrado nos de -9.

No funciona -3 ya que (-3)2 = +9.

De hecho no funciona ningún número real ya que al elevarlo al cuadrado o a cualquier potencia par nos da un número mayor o igual a cero, es decir no negativo. b) Si el número n es impar, entonces en la igualdad

n

a

= b donde a puede ser cualquier

número real y tanto a como b tienen el mismo signo.

Por ejemplo, son válidas las siguientes preguntas: Pero las siguientes no los son:

4

− 27 ,

6

− 20 ,

2

3

− 27 ,

7

− 20 ,

5

−4

− 4 ya que la raíz es par

Ejemplos 7)

3

− 64 = −4 : (-4) 3 = (-4) x (-4) x (-4) = 16 x (-4) = -64.

Cuando tenemos el producto de una cantidad impar de signos menos proporciona signo menos; es por eso que la raíz impar de un número negativo es negativa.

46

3

8) En el ejemplo anterior tenemos que

4

a n = a ? Si n es impar, no hay problema. Pero es falso para n par, por ejemplo

n

siempre cierto que

(−4) 3 = −4 . ¿Se puede generalizar la situación?, ¿es

(−3) 4 = 4 81 no es igual a -3, sino a 3. Para el caso n par tenemos la siguiente fórmula:

n

an = a ,

el valor absoluto de a, donde el valor absoluto se define como:

 a si a ≥ 0 =  − a si a < 0

a

n

Resumiendo: si a es cualquier número, entonces

 an =  

a

para n

par

a

para n impar

Propiedades de los radicales Las raíces se comportan como objetos algebraicos y se pueden sumar y restar siempre y cuando sean similares.

3

Por ejemplo la suma

4 + 7 5 no se puede simplificar y así se queda por el resto de la eternidad.

Si la suma fuera 3 4 + 7 ⋅ 3 4 tenemos el mismo término en ambos sumandos y es como si la suma correspondiera a X + 7X, visto así sabemos rápidamente que la suma resulta ser 8X. En nuestro caso X =

3

4

3

y

4 + 7 ⋅ 3 4 = 8 ⋅ 3 4 , donde el punto (⋅) significa multiplicación.

El siguiente caso es:

Producto Si el índice es el mismo, n en este caso, entonces el producto de las raíces es la raíz del producto.

a ⋅n b = n a⋅b

n

Ejemplos 3

9)

4 ⋅3 2

=

3

4⋅2

=

3

8 = 2

10) Si n es distinto de m el producto a

2

a ⋅ m b no se puede simplificar; por ejemplo, ¿qué le hacemos

8 ⋅3 4 ?

Únicamente 2

n

lo

que

se

le

pueda

hacer

8 = 4 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 2 2 concluimos:

11) En general es falso que

n

a+n b

=

2

n

a

cada

término,

en

este

caso

al

primero:

8 ⋅ 3 4 = 2 2 ⋅ 3 4 = 2 23 4 a+b

Si a o b es cero entonces es cierta la igualdad, pero de otra manera cualquier elección de constantes muestra que es falsa; por ejemplo:

4 + 4 = 2+2= 4 47

pero

4 + 4 = 8 = 4 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 2 2 ~ 2.8284 a+b ≠ a + b

Es decir,

Cociente Análogamente, tenemos la siguiente regla para la división de radicales: n n

a b

=

n

a b

Como siempre en las divisiones, b no puede ser cero.

3

Ejemplo 12) Simplificar

3

36 99

Podemos trabajar numerador y denominador independientemente y al final simplificar: 3 3

36 99

3

=

3

9⋅4 9 ⋅ 11

=

3 3

9 ⋅3 4 9 ⋅ 3 11

3

=

3

4 11

O usar la regla del cociente y simplificar dentro del radical: 3 3

36 99

=

3

36 99

=

3

9⋅4 9 ⋅ 11

=

3

4 11

Los resultados son iguales.

Racionalización o simplificación de raíces Para simplificar radicales se desean tres cosas: a) El radicando no debe tener factores que sean potencias exactas del índice b) El radicando no es una fracción (o quebrado) c) Si existen denominadores en estos no aparecen radicales Ejemplos del caso a:

72 no tiene raíz cuadrada exacta, pero 72 = 2·36 = 2·62, así que se puede simplificar de la

13)

72 = 2 ⋅ 6 2 = 2 6 2 = 2 ⋅ 6 = 6 2

manera siguiente: 14)

3

72 no tiene raíz cúbica exacta, pero 72 = 8·9 = 23 ·9, así que se puede simplificar de la

manera siguiente:

3

72 = 3 2 3 ⋅ 9 = 3 2 3 ⋅ 3 9 = 2 ⋅ 3 9

48

Ejemplos de los casos b y c:

1 ?

6

15) ¿Cómo se racionaliza

No deseamos tener cocientes dentro de las raíces, así que simplificamos para tener la raíz en el

1 6

denominador:

1 6

=

1 6

=

Sin embargo los denominadores no deben tener radicales, así que se emplea la siguiente técnica

6 : 6

(un truco). Se multiplica por 1, pero disfrazado como

1 6

1 ⋅1 = 6

=

1 6 ⋅ 6 6

6 ya no tiene raíces en el denominador y es idéntico a 6 16) ¿Cómo se simplifica

3

6 = ( 6 )2

=

6 6

1 6

1 ?

6

La respuesta se obtiene al contestar ¿con qué se debe multiplicar a

3

6 para que desaparezca el

radical?

6 ⋅ 3 6 = ? . La regla del producto no dice nada si las raíces son

6:

Intento 1: Multiplicamos por distintas.

Intento 2: Multiplicamos por

3

62 :

3

6 2 ⋅ 3 6 = 3 6 2 ⋅ 6 = 3 63 = 6

En este caso tenemos en ambos lados de la multiplicación

⋅3

3

la misma raíz (cúbica) y entonces

pudimos usar la propiedad del producto. Resumiendo, para simplificar

denominador, multiplicamos por 1, el disfraz de 1 esta vez es

Multiplicando:

1 3

6

=

1 3

6

⋅1 =

1 3

6

⋅

3

62

3

62

=

3

62

3

63

Ejemplo 17) El resultado del ejemplo 12 fue

=

3

3

3

62

3

62

3

1 y eliminar el radical del 6

:

6 2 3 36 = 6 6

4 ¿Cómo se simplifica?

11

Este ejercicio es similar al anterior. La respuesta es multiplicar por 1 escrito como

3

4 11

=

3

4 3 11

=

3

4 ⋅1 = 3 11

4 3 112 ⋅ 3 11 3 112 3

=

3

4 ⋅ 112

3

11 ⋅ 112

49

=

3

2 2 ⋅ 112 3

113

=

3

3

112

3

112

22 2 11

:

La raíz como exponente En el curso de Matemáticas II se estudiaron las reglas de los exponentes para números enteros. Si a es cualquier número real y n es un entero positivo entonces an quiere decir la multiplicación de a por si mismo n veces: an = a⋅a⋅a⋅⋅⋅a Al entero n se le llama exponente y las propiedades o leyes de los exponentes son las siguientes: am an a / an a-n (am )n (ab)m (a / b)m a0

am+n am-n 1 / an amn am bm am / bm 1

= = = = = = =

m

, para a ≠ 0

Si los exponentes no son enteros sino números racionales, se cumplen las propiedades anteriores donde ahora el exponente puede ser de la forma n / m, donde por supuesto m debe ser distinta de cero.

Recordamos que los números negativos no tienen raíces pares y en el caso particular de que a y m n

=

am

sean mayores o iguales a cero, se tiene

m

an

=

( a) m

n

El numerador n es el exponente y el denominador m, la raíz.

Ejemplos 18) 811 / 2 19) 81 2 / 3

= =

81 = 9 (3 4 ) 2 / 3

= 38 / 3

Puede dejarse esta respuesta o escribir el exponente 8/3 como (6+2) / 3 = 2 + 2/3: 8/ 3

3 20) (-27)-2/3 ( (-3) 3 )-2/3 (-3) -6/3 (-3) -2 1 / (-3) 2 1/9

2+

= 3

2 3

= 32 32 / 3

-27 es -3 al cubo se multiplican los exponentes: simplificando el exponente: exponente negativo se convierte positivo al pasarlo al denominador: elevando al cuadrado: Es decir, (−27) −2 3 =

1 9

50

Ejercicios

Encontrar las raíces indicadas (cuando sea posible).

1)

36

5)

− 3 27

9)

− 4 81

2)

− 121

6)

− 3 − 27

10)

− 5 − 32

3)

− 49

7)

4

81

11)

− 3 − 125

27

8)

4

− 81

12)

− 2 − 121

4)

3

¿Entre que enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces?

13)

− 39

15)

3

100

17)

4

14)

75

16)

3

− 100

18)

− 3 − 200

100

Evaluar las siguientes expresiones: 19)

39 − 3

22)

20 ⋅ 5

25)

8π

20)

39 + 10

23)

20

5

26)

5 20

21)

149 − 100

24)

5

20

27)

4π 3

2π

π

Simplificar y racionalizar las siguientes expresiones: 28)

−

29) 30)

3

31)

3

− 1 100

34)

(5 a

100 75

32)

4

1 100

35)

2

1 100

33)

(50

3 39

98 )

3 2

36)

13

80 a

)

−3 2

b8 8π 2

2π

Glosario

Racionalizar: eliminar raíces cuadradas negativas y las raíces en los denominadores Radical: raíz Raíz cuadrada: b es la raíz cuadrada del número a, si es que a es igual a b2:

51

a = b ↔ a = b2

Ligas externas

•

¿Raíz cuadrada de números negativos? El médico Geroldamo Cardamo a fines del siglo XVI

(

)(

)

hizo notar que 40 = 5 + − 15 ⋅ 5 − − 15 , ya que el producto de los binomios conjugados es el cuadrado del primero (25) menos el del segundo (-15), o sea, 25 – (– 15) = 40.

Cardano utilizó la raíz cuadrada de un número negativo. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/09/c11.html (abril 2008).

•

¿Cómo se saca la raíz cuadrada a un número? http://www.estudiantes.info/matematicas/raiz_cuadrada.htm (abril 2008).

•

Sobre la raíz cuadrada: http://www.schillerinstitute.org/newspanish/InstitutoSchiller/Ciencia/RaizCuadraDelProblem.ht ml (abril 2008).

52

Matemáticas IV

100

Objetivo 2: Álgebra

km/h

Tema 2.2: Desigualdades y valor absoluto

Esquema instructivo

Desigualdades

Valor absoluto

Tricotomía

Propiedades

x < y x = y x > y

Demostraciones

En las carreteras nacionales es frecuente ver letreros como éste:

Distancia

100 km/h

La señal indica que está prohibido conducir a cualquier velocidad mayor de 100 kilómetros por hora.

Menos de 100 es permitido; aún 100 kilómetros por hora es legítimo, pero 101 ya resulta ilegal.

Implícitamente el anuncio nos dice que la velocidad debe ser menor o igual a 100. La frase “menor o igual” indica una desigualdad y es de lo que hablaremos ahora.

Desigualdades Desigualdad quiere decir falta de igualdad entre dos cantidades.

Son cuatro símbolos que debemos recordar:

Menor Menor o igual Mayor Mayor o igual

53

< ≤ > ≥

El mismo letrero escrito con símbolos podría ser:

V 100 km/h

Y se leería “velocidad menor o igual a 100 kilómetros por hora”.

En algunos países hay también velocidad mínima: está prohibido ir a menos de cierta velocidad. Por ejemplo, en Argentina usan el siguiente aviso para indicar que la velocidad mínima debe ser 35 kilómetros por hora, es decir, velocidad ≥ 35 km/h.

Ambas señales en una sola podrían ser:

35

V km/h

100

35 Velocidad mínima = 35 km/h

Si a y b son dos números cualesquiera, diremos que a es menor que b si la diferencia b–a es positiva. Es decir: a < b si b – a > 0 Si a es menor que b, por supuesto b es mayor que a y entonces tenemos que las cuatro opciones siguientes todas ellas diciendo o implicando que a es menor que b: a < b, b – a > 0, b > a, a – b < 0 Ejemplo 1) Por supuesto 35 es menor que 100 como escribimos en el anterior anuncio, pero ¿cómo comprobamos que 100 > 35? b > a si b – a > 0 , tomando b = 100, a = 35, comprobamos que b – a = 100 – 35 = 65 > 0, es decir, es positivo y por tanto, 100 > 35 Ejemplo 2) –2 y –8. ¿Cuál es mayor? a) Suponemos –2 < –8. Pero a < b si b – a > 0. En nuestro caso b – a = –8 –(–2) = –6, que es negativo.

54

Por tanto, la desigualdad –2 < –8 es incorrecta. b) Por supuesto debe ser –2 > –8, lo comprobamos: a > b si a – b > 0: sustituimos: a – b = –2 – (–8) = –2 + 8 = 6, que en efecto, es > 0.

Conclusión:–2 > –8.

Pudimos ver las posiciones de –8 y –2 en la recta numérica para saber cuál es el menor y cuál el mayor, pero esto no siempre es posible: nos daremos cuenta cuando estudiemos la solución de ecuaciones y trabajemos no con números sino con incógnitas.

-8

-2

0

Propiedades de las desigualdades Sean a, b y c tres números cualesquiera. Entonces 1) Si a < b entonces a + c < b + c 2) Si a < b entonces a – c < b – c 3) Si a < b y c > 0 entonces a c < b c 4) Si a < b y c > 0 entonces a / c < b / c 5) Si a < b y b < c entonces a < c Si reemplazamos < por ≤ y > por ≥ (excepto en 4) tenemos las siguientes afirmaciones: 1’) Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c 2’) Si a ≤ b entonces a – c ≤ b – c 3’) Si a ≤ b y c ≥ 0 entonces a c ≤ b c 4’) Si a ≤ b y c > 0 entonces a / c ≤ b / c 5’) Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c

Comentarios Dejamos para el final las demostraciones de las afirmaciones anteriores, pero explicamos lo que nos expresan: a)

1 y 2 dicen que está permitido sumar o restar la misma cantidad en ambos lados de una desigualdad sin que ésta se altere-

b) 3 señala que si c es positivo y a < b entonces la multiplicación preserva la desigualdad. ¿Qué sucede si c es negativo? Que la desigualdad no se conserva sino que se invierte: si a < b y c < 0 entonces a⋅c > b⋅c Por ejemplo, sabemos que –8 < –2. Si multiplicamos ambos lados por un número negativo, digamos –3 tendremos (–3)⋅(–8) > (–3)⋅(–2) y comprobamos: 24 > 6.

55

c) 4 es un caso especial de 3 ya que dividir entre c es lo mismo que multiplicar por 1 / c. Sólo un detalle importante en 4’. Ahí no escribimos “c ≥ 0” ya que no queremos que c sea cero. Si lo fuera estaríamos violando el primer mandamiento de las Matemáticas: “Nunca dividirás entre cero” Nota: En el Objetivo 3, tema 3_1, aparecen los tres mandamientos de las Matemáticas d) El inciso 5 dice que la desigualdad “<” es transitiva. Resulta muy claro si lo vemos en la recta numérica: a < b y b < c simplemente indican que a < c:

a

b

c

e) A la desigualdad < se le dice Estricta en el sentido de que no puede haber igualdad. Si la igualdad se permitiera, usaríamos ≤. Por ejemplo, decir que a es estrictamente menor que b significa que a es mas chico que b pero además que ni de casualidad sucede a igual a b. Es sólo una manera de hablar, de hacer énfasis de que no está permitido el caso de igualdad. Lo mismo sucede con la desigualdad >.

Para ser más enfáticos pudimos escribir el inciso 4 como sigue: 4) Si a < b y c es estrictamente positivo, entonces a / c < b / c.

Tricotomía Para algunos filósofos la tricotomía es la creencia de que el ser humano se compone de tres partes ajenas, esto es, nada puede estar o pertenecer simultáneamente a dos de las tres partes. Esta partición del humano la constituyen el cuerpo, el alma y el espíritu.

Lo que está en una parte sólo puede pertenecer a ella, y esa es una de las aventuradas especulaciones de algunas religiones. En las Matemáticas es más sencillo. El axioma (o ley) de la tricotomía para los números reales dice simplemente que si X y Y son dos números reales cualesquiera, entonces sucede una y solo una de las tres siguientes posibilidades:

X<Y

X=Y

X>Y

No pueden suceder simultáneamente dos de las cláusulas anteriores. Esta ley es bastante razonable: dados dos números, o son iguales o uno es mayor que el otro o el otro es mayor que el uno, y no hay más.

56

Pensando en el caso de los filósofos tricotómicos, desde mi punto de vista no hay diferencia alguna entre alma o espíritu. Y si se me presiona un poco, diría que no hay ni alma, ni hay espíritu. Cuerpo nada más.

Intervalos Volviendo a los anuncios de tránsito que comentamos inicialmente, el primero dice que la velocidad de un vehículo debe ser menor o igual a 100 kilómetros por hora, y la señal argentina indica que la velocidad debe ser mayor que 35. Ambas restricciones se pueden escribir como: 35 ≤ v ≤ 100, donde v es la velocidad del vehículo.

La notación de intervalos es la siguiente: [35, 100], y denota el conjunto de números x que cumplen con las desigualdades siguientes 35 ≤ x ≤ 100.

Esto es [35, 100] = {x | 35 ≤ x ≤ 100} se lee de la siguiente manera: “el conjunto de números x tales que cumplen con 35 ≤ x ≤ 100” [35, 100] es un ejemplo de un intervalo cerrado. La palabra “cerrado” indica que los extremos (35 y 100) si pertenecen al intervalo.

El intervalo abierto no incluye a los extremos. Ver abajo.

Sean a y b dos números distintos y supongamos que a ≤ b. Existen cuatro tipos de intervalos: [a, b ] (a, b ) [a, b ) (a, b ]

= = = =

{ x | a ≤ x ≤ b } Intervalo cerrado { x | a < x < b } Intervalo abierto { x | a ≤ x < b } Intervalo semiabierto: cerrado por la izquierda y abierto por la derecha { x | a < x ≤ b } Intervalo semiabierto: abierto por la izquierda y cerrado por la derecha

Se usan paréntesis cuadrados para incluir a los extremos y paréntesis redondos para excluirlos.

Los infinitos pueden aparecer en vez de a o b: (– ∞, ∞) = R = Los números reales (– ∞, b) = { x | x < b } (a, ∞) = { x | x > a }

Comentarios a) El infinito no es un número, así que no puede ser el extremo de un intervalo cerrado; por ejemplo, si escribimos [3, ∞] = {x | 3 ≤ x ≤ ∞} estamos dando la oportunidad de que x sea igual a infinito, pero eso no es posible ya que el infinito no es un número. En vez de escribir [3, ∞] se expresa {x | x ≥ 3} o simplemente [3, ∞)

57

b) El vacío puede aparecer, por ejemplo, el intervalo (2, 1) = { x | 2 < x < 1} es vacío ya que simultáneamente, no hay números mayores que 2 y menores que 1.

La notación para el conjunto vacío es ∅.

Ejemplo 3) Escribir como intervalo { x | 2x -1 < 0 } ¿Qué puntos cumplen con la desigualdad 2x – 1 < 0?

Sumando uno: 2x – 1 + 1 < 0 + 1 La desigualdad no se altera, ya que sumar la misma cantidad de ambos lados está permitido, así que simplificando queda: 2x < 1 Dividimos entre 2: 2x/2<1/2 Es lo mismo que multiplicar por 1 / 2. Como 1/ 2 es positivo, la desigualdad persiste.

Simplificando:

x<1/2

Los puntos que cumplen con la desigualdad son aquellos que pertenecen al intervalo (-∞ , ½):

) 0

1/2

El paréntesis circular “)” en (-∞ , ½) indica que el punto ½ no pertenece al intervalo, es decir, el intervalo es abierto por la derecha.

5 Ejemplo 4) Escriba como intervalo: ≥3 x Antes de multiplicar por x hay que recordar que el signo de x puede cambiar la desigualdad. Si x es positiva no hay cambio, pero si x es negativa, si lo hay. Para saber dónde vive x hay que considerar dos casos: x positivo y después, x negativo.

Caso 1: x > 0. Multiplicando por x y la desigualdad no cambia: 5 ≥ 3x Dividiendo entre 3 tampoco cambia la desigualdad ya que 3 es positivo: 5/3 ≥ x Aislada la x, notamos que tenemos dos desigualdades que involucran a x: x > 0 , 5/3 ≥ x

58

Los números x que cumplen con ambas desigualdades son aquellos que viven en el intervalo (0, 5/3].

Haciendo un dibujo y notando que el intervalo está abierto por la izquierda pero cerrado por la derecha:

(

]

0

5/3

Caso 2: x < 0. En este caso, al multiplicar por x, la desigualdad cambia: 5 ≤ 3x dividiendo entre 3: 5/3 ≤ x Nuevamente tenemos dos desigualdades: la hipótesis original: x < 0 , 5/3 ≤ x

)

[

0

5/3

x < 0 dice que x debe estar a la izquierda del 0; por otro lado, 5/3 ≤ x asegura que x está o en 5/3 o más a la derecha.

Como la x es una sola, no es posible que esté simultáneamente en ambos lugares: por un lado negativa y por otro positiva. La tricotomía asegura la imposibilidad.

Así que el caso 2 es absurdo y por tanto la respuesta está en el caso 1: x está en el intervalo (0, 5/3].

Ejemplo 5) ¿Para que valores de x se cumple la siguiente desigualdad

1 x+1

<

2 ?

3x – 1

Para encontrar los valores antes que nada debemos saber dónde se encuentra x. No podemos simplemente multiplicar por el primer denominador o por el segundo sin conocer la situación del número x, ya que esa multiplicación podría implicar el cambio de la desigualdad.

Los puntos clave para este ejercicio son –1 y 1/3.

La primera función no está definida en –1 y la segunda en 1/3. Esos dos puntos dividen a la recta en tres segmentos: (-∞, -1), (-1, 1/3), (1/3, ∞).

-1

1/3

59

Lo importante por notar es que según esté x en alguno de los tres intervalos, el signo de x + 1 y el de 3x – 1 pueden cambiar.

Lo anterior nos obliga a considerar tres casos: suponer que x viven en alguno de ellos y obtener información sobre el signo de los factores x + 1 y 3x – 1.

Caso 1) x < –1. Si x es menor que – 1, la transitividad dice que también es menor que 1/3: x < –1 < 1/3 Observamos que entonces el signo de x + 1 y el de 3x – 1 es menos, así que los términos son negativos. Multiplicamos simultáneamente por los denominadores y la desigualdad no se altera pues ambos factores son negativos: una multiplicación cambia la desigualdad, pero la otra la vuelve a cambiar, así que ésta queda como estaba originalmente: 3x – 1 < 2x + 2 Simplificamos y obtenemos x<3 Recordamos nuestra condición inicial que es x < –1, así que esta desigualdad (x < 3) no proporciona ninguna información valiosa.

Si x es más chico que –1 también es más chica que 3. Por tanto este primer caso nos dice únicamente que x < – 1 o sea, x está en el intervalo (– ∞, – 1).

Caso 2) –1 < x < 1/3. En este caso, x + 1 es positivo y 3x – 1 negativo. Al multiplicar por estos factores la desigual cambia de dirección: 3x – 1 > 2x + 2 simplificando se obtiene: x>3 Pero esto es imposible, ya que nuestra x es < 1/3, y no puede ser simultáneamente mayor que 3 y menor que 1/3:

-1

1/3

3

La información que aporta este caso es que x no está entre – 1 y 1/3.

Caso 3) x > 1/3. La transitividad (–1 < 1/3 < x) asegura que x > –1. Ahora, tanto x + 1 como 3x – 1 son positivos, así que al multiplicar por tales factores, la desigualdad no cambia: 3x – 1 < 2x + 2 Simplificamos y obtenemos x<3 Nuestra hipótesis es x > 1/3, así que en este caso el intervalo que se obtiene es (1/3, 3).

60

La respuesta final es la unión de los intervalos encontrados: (-∞, -1) U (1/3, 3)

)

(

)

-1

1/3

3

Ejemplo 6) Escribir como intervalo aquellas x tales que x 2 ≥ 4 Si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, por ser positivos, obtenemos x ≥ 2, lo cual es correcto pero incompleto. Terminamos el ejemplo en la siguiente sección, ya que la raíz cuadrada de un número al cuadrado tiene un nombre particular: valor absoluto.

Valor absoluto Algunas personas serían felices si no hubiera números negativos: de hecho aún en la edad media la gente no admitía estos números por considerarlos poco o nada naturales. Eso de restar, quitar, disminuir siempre resultaba molesto. Lo consideran equivalente a perder, dejar de ganar y algunas situaciones inversas. Justo para ellos está hecho el valor absoluto.

El valor absoluto de un número siempre es mayor o igual a cero, y se define y se denota de la manera siguiente: a si a ≥ 0

si a es un número cualquiera, se define: | a | =

–a si a < 0

Si a es positivo no hay cambio, pero si es negativo se le cambia el signo y se vuelve positivo.

Por ejemplo | –7 | = 7 ya que –7 es negativo.

En particular notamos que | –7 | = | 7 | = 7 Resumiendo las propiedades del valor absoluto: a) | 0 | = 0 b) Si a ≠ 0, entonces | a | > 0.

Algunas hojas de cálculo tienen incluida la función valor absoluto. Por ejemplo, al escribir: =ABS(–4) Excel responde con el número 4.

La definición anterior de valor absoluto es de tipo condicional: “si a es así, entonces hacer esto, pero si no es así, entonces hacer lo otro” A veces puede ser un poco latoso para programar en algún lenguaje. Afortunadamente hay otra manera de obtener el valor absoluto usando operaciones conocidas: cuadrado y raíz cuadrada: | a | = + a2 = a2 61

Simplemente el número se eleva al cuadrado y se toma su raíz cuadrada positiva. El signo + sale sobrando ya que si no hay signo antes del radical se sobreentiende que la raíz es la positiva.

Por ejemplo:

| –7 | = + (–7)2 =

49 = +7 = 7

Y si el número es positivo, pues no le afecta nada: | 6 | = + 62 = + 36 = 6

Propiedades del valor absoluto Agrupamos las propiedades de la función valor absoluto: 1) | a | ≥ 0 2) | 0 | = 0 3) Si a > 0 entonces | a | = a 4) Si a < 0 entonces | a | = – a 5) | a | = | –a | 6) a ≤ | a | 7) | a b | = | a | | b | 8) | a | 2 = a 2 9) Si r > 0 y | a | < r , entonces –r < a < r 10) | a + b | ≤ | a | + | b |

Nunca es negativo El valor absoluto de cero es cero Respeta positivos Convierte negativos en positivos El valor absoluto del número y su inverso aditivo son iguales El valor absoluto es mayor o igual que el número El valor absoluto del producto es el producto de los valores absolutos.

El cuadrado del número coincide con el del valor absoluto Valor absoluto y desigualdad a está en el intervalo (– r , r) Desigualdad del triángulo

Las primeras cinco son propiedades consecuencia inmediata de la definición.

En el caso de la sexta si el número a es positivo o cero, entonces coincide con | a |. Si a es negativo, entonces a < | a |, ya que el valor absoluto es positivo:

a

|a|

0

En la séptima para demostrar la igualdad podemos usar la definición alterna del valor absoluto: | ab | = (ab)2 =

a2 b2

=

a2 b2 = | a || b |

En cuanto a la octava propiedad se obtiene elevando al cuadrado la igualdad: | a | = Para justificar la novena, por definición del valor absoluto tenemos: 62

a2

|a|=

a < r –a < r

La segunda desigualdad implica que a > – r y la primera dice que a < r; por lo tanto, --r < a < r La décima propiedad. Una demostración platicada de | a + b | ≤ | a | + | b | es la siguiente: * Si a y b son cero, no hay nada que demostrar, tendríamos 0 = |0 + 0| = |0| + |0|. * Si a ó b es cero, digamos b = 0 entonces | a | = |a + 0| = | a |, igualdad. * Si a y b son positivos entonces | a | + | b | = a + b = | a + b |, son iguales. * Si a y b son negativos, entonces también son iguales: | a | + | b | = – a – b = –(a + b) = | a + b |.

Hasta ahora siempre ha habido igualdad. La desigualdad sucede sólo cuando el signo de a es distinto que el de b, ya que la suma de a con b es entonces más chica que el mayor de | a | o de | b |. Con mayor razón | a + b | es menor que | a | + | b |, o sea |a+b| < |a|+|b| Por ejemplo: 7 y -3: la suma (4) es menor que el mayor de | -7 | o de | 3 |.

Comprobamos que |7 – 3| < | 7| + | -3 | Al sustituir sus valores obtenemos 4 < 10 Una demostración formal de la desigualdad del triángulo es la siguiente: de la propiedad 8 sabemos que |a+b|2=(a+b)2 desarrollamos: =a2+b2+2ab Usamos 8) nuevamente =|a|2+|b|2+2ab pero, por 6) tenemos ≤ ≤ |a|2+|b|2+2|ab| usando 7) llegamos a = |a|2+|b|2+2|a||b| agrupamos = (|a|+|b|)2 Tomando raíz cuadrada concluimos que |a+b|≤|a|+|b| Ejemplo 7) Continuación del ejemplo 6. Escribir como intervalo aquellas x tales que x2 ≥ 4.

Páginas antes intentamos resolver este ejercicio tomando la raíz cuadrada de ambos lados. Al hacerlo, notamos que en el lado izquierdo de la desigualdad obtenemos el valor absoluto de x: | x | = x2 ≥ 4 = 2 El valor absoluto de x depende del signo de x así que tenemos dos casos: 63

| x | = x ≥ 2 esto proporciona el intervalo [2, ∞) | x | = –x ≥ 2, o sea, x ≤ –2, describiendo el intervalo (-∞ , –2]

a) x > 0 b) x < 0

Uniendo los intervalos obtenemos la respuesta: (-∞,–2] U [2, ∞).

Nota: La pregunta fue ¿cuándo | x | ≥ 2?

La propiedad 9 del valor absoluto dice que si | x | < 2 entonces x está en el intervalo (-2, 2). Basta tomar el complemento del intervalo para obtener la respuesta. Por supuesto el complemento de (-2, 2) es (-∞, -2] U [2, ∞).

Distancia Tener una función que nunca es negativa y es cero, sólo en cero puede sonar familiar. Conocemos situaciones similares. En general no se habla de distancias negativas, a lo mucho de distancia en tal dirección que puede ser opuesta o contraria a una original. El valor absoluto sugiere la siguiente definición: si a y b son dos números cualesquiera, definimos la distancia entre ellos como el valor absoluto de la diferencia.

En símbolos:

d (a, b) = | a – b |

Las propiedades de la distancia son 1) d (a, a) = 0 2) Si a ≠ b entonces d (a, b) > 0 3) d (a, b) = d (b, a) 4) d (a, b) ≤ d (a, c) + d (c, b)

La distancia es una función no negativa Conmuta Desigualdad del triángulo

Comentarios: 1) La distancia de un punto a si mismo es 0. No cuenta la distancia recorrida después de salir pasear y regresar al lugar de origen.

2) Si los lugares son distintos, la distancia entre ellos es positiva 3) La distancia de mi casa a la tuya es la misma que la de tu casa a la mía 4) Nuevamente la desigualdad del triángulo; |a – b| ≤ | a – c | + |c – b |, pero en términos de “distancia”

Demostración de las propiedades de las desigualdades 1) Si a < b entonces a + c < b + c La demostración puede ser como sigue: Por hipótesis a < b; y para concluir, necesitamos probar que a + c < b + c Si <a < b, entonces b – a > 0 Sumamos cero (escrito como c – c) en ambos lados de la desigualdad: b–a=b–a+0=b–a+c–c>0 Reacomodando: b + c – (a + c) > 0 Implica: b + c > a + c que es lo que queríamos demostrar.

64

2) Si a < b entonces a – c < b – c La demostración es casi idéntica a la anterior y se deja como ejercicio.

3) Si a < b y c > 0 entonces a c < b c Si a < b y c > 0, ¿qué signo tiene b c – a c? b c – a c = (b – a)c. Pero como b – a es positivo y c también, resulta que el producto de dos números positivos igualmente debe ser positivo. Así, (b – a) c = b c – a c > 0, o sea que a c < b c 4) Si a < b y c > 0 entonces a / c < b / c La pregunta es ¿qué signo tiene b / c – a / c? b / c – a / c = (b – a) / c = (1/c)(b–a). Como c es positivo, 1 / c también lo es, además b – a, por hipótesis es positivo, así que nuevamente tenemos el producto de dos números positivos, que debe ser igualmente positivo.

Por tanto b / c – a / c = (b – a) / c = (1 / c) (b – a) > 0, o sea

a /c<b/c

5) Si a < b y b < c entonces a < c Nos gustaría demostrar que c – a es positivo.

Escribimos c – a = c – 0 – a = c – b + b – a = (c – b) + (b – a).

Las cantidades entre paréntesis son ambas positivas así que la suma resulta positiva: c – a = (c – b) + (b – a) > 0.

Pero esto implica que a < c.

Las demostraciones de 1’ a 5’ son muy similares a las anteriores y se dejan como ejercicio.

Ejercicios Escribe como intervalo: 1) (x – 3) (x + 5) > 0 2) a2 – 3a – 6 > 0 3) b2 + 3b + 1 > 0 4) 4c2 + 5c < 6 5) | h | > | 2 – h | 6) | 2 – 5 z | > 7

{Respuesta: (–∞,–5) U (3, ∞) } {Escribe como producto de monomios y nota cambios de signo según donde esté x}. {Respuesta: c en (–2, 3/4)}. {Elevar al cuadrado puede simplificar.

Respuesta h en (1, ∞) }. {Negar, resolver, tomar complemento: Respuesta: z en (–∞,–1) U [9/5,∞)}

Despejar la incógnita: 65

7) | 4d + 1| = 7

{d = –23/2}

8) | 7e | = 5 + e

{e = –5/8; e = 5/6}

9)

y+2 y–1

=2

{y = 0, y = 4}

10) |3 – x| = |x – 3| {Es más sencillo de lo que parece} ¿Qué significan las siguientes señales de tránsito? Escribir como intervalo.

5

50

4

20

Glosario

Desigualdad estricta: cuando no se permite igualdad, o sea menor que (<), y mayor que (>).

Desigualdad: falta de igualdad. Las cuatro desigualdades matemáticas son: menor : < ; menor o igual : ≤ ; mayor : > ; mayor o igual : ≥ Desigualdad del triángulo: | a + b | ≤ | a | + | b |, para a y b números reales arbitrarios.

Distancia: si u y v son dos números reales, se define la distancia entre u y v como: d(u, v) = | u – v | Intervalos: sean a y b dos números reales entonces: Intervalo abierto: (a, b) = { x | a < x < b }.

Intervalo cerrado: [a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b }.

Intervalos semiabiertos: [a , b ) = { x | a ≤ x < b } (a , b ] = { x | a < x ≤ b }

Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha.

Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

66

Primer mandamiento de las Matemáticas: nunca dividirás entre cero.

Tricotomía: si X y Y son dos números reales, entonces sucede una y sólo una de las siguientes afirmaciones: X < Y , X = Y ó X > Y. Valor absoluto: si a es un número real, el valor absoluto se denota por | a | y se define:

|a|=

a si a ≥ 0 –a si a < 0

. Una definición equivalente es: | a | = + a2 = a2 (La raíz no negativa)

Ligas externas

* Google encontró más de seis millones de lugares donde aparece la palabra “valor absoluto”. Uno de ellos está en la Wikipedia. Lee lo que dice: http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto (septiembre 2008) * Para practicar, más ejercicios de valor absoluto. Ver http://www.scribd.com/doc/41260/EJERCICIOS-DE-VALOR-ABSOLUTO (abril 2008). * Ejercicios resueltos de desigualdades y valor absoluto: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id382.htm (abril 2008). * Sobre la tricotomía cristiana: http://members.fortunecity.es/mariabo/la_antropologia_cristiana.htm

(septiembre 2008)

Ilustraciones

* Señales de tránsito, Secretaría de Transporte y Vialidad de la Ciudad de México: http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.setravi.df.gob.mx/senales/fotos/sr100kmh. ( abril 2008) * Señales de tránsito en Argentina: http://www.anibalantonio.com/imagenes/senales-reglamentacion.jpg (septiembre 2008)

67

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 3: Funciones Tema 3.1: Definición de función

Definimos lo que es una función junto con su ámbito; cómo se grafica una función y en qué hay que tener especial cuidado al estudiarlas, particularmente los tres mandamientos de las Matemáticas. Empezamos con un ejemplo para tratar de motivar la definición de función.

Esquema instructivo

Función Dominio, rango, imagen, variables dep. e indep.

Ejemplo el Metro

Definiciones ¿Cómo graficar?

Los tres mandamientos matemáticos Ejemplos

Ejemplos

Función idéntica Función constante

Función par e impar

No función

Función 1/x Función cuadrática

Función valor absoluto Función raíz (x+1)

68

El Metro de la Ciudad de México

El boleto del Metro cuesta 2 pesos y caben 170 personas en cada vagón: 40 sentados y 130 de pie. Si todo un vagón va lleno y todos pagaron boleto, ¿cuánto dinero pagaron?

La respuesta es sencilla: 2 por 170 = 340 pesos, es la cantidad recaudada.

En este ejemplo tenemos una ecuación que relaciona el número de boletos vendidos con el ingreso logrado: p(x) = 2x, donde x es el número de boleto vendidos y 2 es el costo en pesos de cada uno.

Nuestro objetivo ahora es el estudio de las funciones.

¿Qué es una función?

Es una correspondencia entre dos conjuntos, de manera que a cada elemento del primero se le asocia exactamente uno del segundo conjunto.

Función f x1

f(x1)

x2

f(x2)

. . .

. . .

xn

f(xn)

. . .

. . .

Dominio

Rango

Al conjunto inicial se le llama dominio de la función y al segundo, rango o codominio.

La notación es la siguiente: f: Dominio → Rango En general el dominio y el rango de nuestras funciones serán subconjuntos de los números reales. Si x está en el dominio, es común llamar y a la imagen de x bajo f y así tenemos que: f(x) = y. El cambio se debe a que en el plano cartesiano los puntos se denotan por parejas (x, y). Cuando grafiquemos funciones, la segunda coordenada, que denotamos por la letra “y” será igual a f(x).

A x se le llama variable independiente, mientras que a la imagen y = f(x), variable dependiente ya que su valor depende del de x.

69

Imagen de una función Si f es una función entre los conjuntos X y Y, la imagen de f es el conjunto de puntos en Y tales que provienen de alguna x de X, es decir, Si f: X → Y entonces

f(X) = Imagen de f = { y ∈ Y | y = f(x) para alguna x en X}

La imagen de X bajo f, es un subconjunto de Y:

Y X f(X)

X = Dominio

Imagen

Іn

f(X)

Y

Іn

f(X) = Imagen

Rango

¿Cuándo no es función?

En la definición de función, se dice que cada elemento del dominio debe tener sólo un valor en el rango, es decir, si a es distinto de b entonces la siguiente situación no es válida: la asociación no es una función:

a x b

70

Ejemplos 1) En el caso del costo del boleto para el Metro capitalino, el dominio es el conjunto de los números enteros mayores o iguales a 0 y la imagen es otro subconjunto de los números enteros. De hecho, la imagen consta únicamente de números pares, ya que cada boleto cuesta 2 pesos. Si llamamos p a la función p(x) = 2x, tenemos: p: {Enteros ≥ 0} → {Pares} ⊆ {Enteros}

p(n) = 2n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 1 2 3 4 . . .

. . .

Los enteros mayores o iguales a cero son mandados a los números pares:

0 1 2 3 4

P A R E S

p(n) = 2n

. . .

I M P A R E S

2) La línea 12 del Metro capitalino conectando las estaciones Mixcoac con Tláhuac, medirá 24 kilómetros. Si la velocidad promedio es 36 kilómetros por hora, ¿cuánto tardará en recorrer toda la línea?

Si recorre 36 kilómetros en 60 minutos entonces, dividiendo entre 3, transita 71

12 kilómetros en 20 minutos multiplicando por 2 obtenemos: 24 kilómetros en 40 minutos Eso es lo que durará un viaje a lo largo de la línea 12.

Si deseamos generalizar y saber cuántos minutos tardará en recorrer x kilómetros, anotamos: Kilómetros 36 12 24 x

Entre 3: Por 2 Para x:

Donde vemos que la fórmula apropiada es t(x) =

Minutos 60 20 40

t=

60 5 x= x 36 3

5 x minutos.

3

La fórmula anterior es una función, donde la variable x representa la distancia en kilómetros y el resultado es t(x), el tiempo, en minutos. A cada distancia se le asocia un tiempo: Kilómetros 36 x

Minutos 60

t(x) =

3 6 9 12 15 18

5 x 3

5 10 15 20 25 30

El dominio y la imagen de la función son todos los números mayores o iguales a 0.

3) ¿Qué área tiene la superficie de un círculo de radio r?

Recordamos la fórmula: π por radio al cuadrado. En este caso, la fórmula es una función que depende del radio: si varía el radio, cambia el tamaño de la superficie y la podemos escribir como función: A(r) = π⋅r 2 Evaluamos la función para algunos radios: Radio

Área

Valor 72

0 0.5

0 π/4

aproximado 0 0.79

1

π

3.14

2

4π

12.57

4

16π

50.27

8

64π

201.06

Es interesante notar que si se duplica el radio, el área se cuadruplica.

Gráfica de una función Es el conjunto de parejas (x, f(x)) donde x está en el dominio de la función f.

¿Cómo se grafica?

Para graficar se recomienda investigar los siguientes cuatro pasos: a) Dominio b) Imagen c) Intersección con los ejes d) Par o impar Lo que queremos decir es: a) Dominio: encontrar el dominio de la función, es decir, dónde está definida Para ello es importante recordar los tres mandamientos de las Matemáticas A) No dividirás entre cero.

Mucho cuidado cuando un denominador pueda ser cero: hay que excluir del dominio a tales puntos.

B) No tomarás la raíz cuadrada de números negativos.

A los números negativos no se les puede sacar raíz cuadrada. No olvidarlo.

C) No buscarás el logaritmos de números menores o iguales a cero.

Este último se analizará cuando se examine la función logaritmo, ahora sólo se agrega para integrarlos.

El infierno matemático está lleno de penitentes que desobedecieron alguno de los mandamientos, cometiendo así, pecado capital.

Hay que omitir del dominio de una función el punto o el conjunto donde sucede alguna de las tres anteriores faltas. Veremos ejemplos de estos casos más adelante.

73

b) imagen. Reconocer la imagen de la función. A veces puede no ser fácil encontrar o distinguir la imagen. Se recomienda no perder mucho tiempo en esto ya que puede ser lo último que se descubra; c) Intersección con los ejes Si 0 está en el dominio de f, entonces la función intersecta al eje Y cuando x = 0, es decir en el punto (0, f(0)). La intersección con el eje X se obtiene en aquellos puntos donde f(x) = 0, es decir, en los puntos (x, 0). (Puede no haber intersección con el eje X. Ver ejemplo 6, abajo). d)

Par o impar. ¿Es la función par o impar?

Una función f(x) es PAR si f(x) = f(–x). Los ejemplos típicos de funciones pares son las constantes o las de la forma y = x2n, donde n es entero. Análogamente, la función g(x) si IMPAR si g(–x) = –g(x); ejemplos de funciones impar: y = x2n+1.

Si la función resulta ser par o impar, la graficación se facilita ya que basta analizar sólo los números positivos y, por simetría se conocerá la gráfica para x < 0.

Dos funciones par: son simétricas respecto al eje Y:

Dos funciones impar: son simétricas respecto al origen:

74

Ejemplo 4) Graficar f(x) = 2 El dominio de la función son todos los números reales.

La imagen es solamente el número 2; es un ejemplo de una función constante.

La función intersecta al eje Y en (0,2).

No intersecta al eje X ya que f(x) = 2 nunca es igual a 0 Es par: f(-x) = 2 = f(x).

Ejemplo 5) Graficar h(x) = x La función está definida para todos los números así que el dominio son todos los números reales La imagen también son todos los números reales.

Intersección eje Y: ya que h(0) = 0, entonces pasa por (0,0).

Intersección eje X: h(x) = 0 sólo si x = 0. Así que intersecta al los ejes en el origen (0,0).

La función es Impar: h(–x) = –x = – (x) = –h(x).

Ya que h(x) = x, también se le llama función identidad o simplemente “la diagonal”, debido a la gráfica:

75

Ejemplo 6) La función x cuadrada Sea f(x) = x2. La grafica consta de las parejas de la forma (x, x2) = (x, y): Dominio. El dominio de la función son todos los números reales: ninguno de los pecados capitales se comete: no se divide entre cero, no hay ni raíces ni logaritmos.

Imagen. Es el conjunto de los números mayores o iguales a cero: no hay cuadrados negativos.

La función x2 intesecta al Eje Y: f(0) = 0 Eje X: f(x) = 0 sólo si x = 0.

La gráfica intersecta a los ejes sólo en el origen (0, 0).

La función es par: f (–x) = (–x)2= (x)2 = f (x).

El hecho que sea par indica que si doblamos el plano sobre el eje Y, entonces la grafica de la función para x positiva, coincide con la gráfica de la parte negativa.

Para dibujarla en el plano cartesiano, podemos calcular algunos puntos como en la tabla siguiente.

Nótese que la función vale lo mismo en x que en –x, así que para dibujar la gráfica basta pintar sólo la parte positiva, dejar la tinta fresca y doblar sobre el eje Y, marcando así la curva en la parte negativa.

Eje X x 0 ±1

Eje Y y=x2 0 1

±2

4

±3

9

76

Sobre el dominio de una función Hay dominios naturales y artificiales. El natural es aquel donde está definida la función y el artificial el que nosotros escojamos. En el caso y = x2 se tiene como dominio natural al conjunto de todos los números reales, pero ¿qué tal si nos interesa sólo los cuadrados para los números entre -2 y 1? En este caso nuestro dominio, escogido por nosotros, es sólo el intervalo [-2, 1] y la gráfica de la función se restringe a tal intervalo:

77

Ejemplo 7) Grafica de la función g(x) = 1 / x .

El dominio natural de la función g(x) = 1 / x son todos los números reales excepto el cero es decir: (- ∞ , 0) U (0, ∞). (Cuidado con el Primer Mandamiento: dividir entre cero).

La imagen es el mismo intervalo. (Esto tal vez no se vea inmediatamente, pero con algo de práctica se supera el problema).

La función no intesecta al eje Y porque g(0) no está definida.

Tampoco intersecta al eje X ya que 1/x nunca es igual a cero.

La función es impar: g(–x) = 1/(–x) = –1/x = – g(x) Si x > 0 y nos acercamos a 0, la función crece mucho; por ejemplo, si evaluamos g(x) en los números de la forma 1/n notamos que g(1/n) = 1/ (1/n) = n, si por ejemplo n = 1,000,000 entonces en un millonésimo la función vale un millón.

Análogamente, si x tiende a infinito entonces la función tiende a cero: en x = un millón, g(x) = un millonésimo. Podemos esbozar la gráfica, sabiendo que es impar tenemos simetría de la parte positiva con la negativa:

Función 1 / x Las funciones impares tienen la propiedad de ser simétricas con respecto a la recta y = –x; en el caso de y = 1/x, al doblar el plano sobre la recta y = -x, lo que aparece en el primer cuadrante coincide con lo del tercero:

78

El que no esté definida la función en x = 0 no nos prohíbe definirla a nuestro antojo, por ejemplo, si deseamos que en 0 valga -1:

1  x si  g ( x) =  − 1 si  

x≠0 x=0

y ahora sí, el dominio de f(x) son todos los números reales.

Ejemplo 8) Graficar q ( x )

=

x +1

Dominio: Como es una raíz cuadrada hay que evitar los números donde la función sea negativa: Sólo está definida cuando x + 1 ≥ 0, es decir si x ≥ -1. El dominio es [-1, ∞).

Imagen: La función en -1 vale cero y si x crece, la raíz también así que la imagen son los números ≥ 0 o sea el intervalo [0, ∞).

Intersección eje Y: q(0) = 1, es decir pasa por (0,1).

Intersección eje X: q(x) = 0 si x = -1: pasa por (-1, 0). q(x) no es par ni impar. No se puede hablar de números menores que -1 ya que no está definida.

Para dibujar la gráfica, tabulamos algunos valores:

x +1

x -1 0 3

0 1 2

79

8

Ejemplo 9) Graficar la función valor absoluto:

3

 x si  =  − x si 

x

x≥0 x<0

Dominio: todos los números reales. Está definida para todo número.

Imagen: La función nunca es negativa así que la imagen es el intervalo [0, ∞).

Intersección eje Y: 0 = 0, es decir pasa por (0,0).

Intersección eje X: Si x = 0 entonces x = 0, o sea, intersecta a los ejes en el origen, ya que  –x  =  x, el es función par.

80

Gráfica del valor absoluto

Ejercicios El Metro de la Ciudad de México tarda 5/3 minutos en recorrer un kilómetro.

1) ¿Cuál es la función que proporciona el tiempo de recorrido en minutos?

2) ¿Cuál es la función que proporciona el tiempo de recorrido en horas?

3) ¿Cuánto tarda en recorrer 17 kilómetros?

4) En un día cualquiera en la Ciudad de México, la temperatura del medio ambiente depende de la hora del día. Está más frío por la noche y madrugada y más caliente a medio día e inicio de la tarde. La primera columna muestra la hora del día (enero 15, 2008) y la segunda, la temperatura en grados Celsius:

Hora 0 3 6 9 12 15 18 21 24

Grados Celsius 8 5 8 10 13 16 15 12 9

81

Si llamamos t a la hora del día y T a la temperatura, notamos que T depende de t. Es decir, la temperatura depende de la hora. Dicho de otra manera, la temperatura es función de la hora del día a) ¿cuál es el dominio, rango e imagen de la función temperatura? b) usando papel cuadriculado, dibuja los puntos de la función temperatura.

5) ¿Existe alguna función simultáneamente par e impar? Explicar.

6) Proporciona dos ejemplos donde la imagen de una función no sea igual a su rango.

De las siguientes relaciones algunas son funciones, algunas no. Explicar y especificar dominio e imagen.

7)

0 1 -1 2 3

0 1 2 0 3

8)

0 1 -1 2 0

0 1 2 0 3

9) q( x)

= ± x

10) ¿Cuál es el dominio de la función f ( x)

=

1 ? x +1

11) Intenta graficar la función del ejercicio anterior.

Grafica las siguientes funciones encontrando dominio, imagen, intersección con los ejes y paridad.

12) y = x + 1 13) y = x2 -1 14) y = 1 / (x-2) 15) y = 2x 16) y = -2x 17) y = x - 1 18) y = 1 - x

82

Glosario Para este glosario suponemos que f es una función con dominio X, rango Y e imagen f(X) ⊆ Y, es decir, f: X → f(X) ⊆ Y. Dominio de una función: conjunto de puntos donde está definida la función Función: es una correspondencia entre dos conjuntos de manera que a cada elemento del primero se le asocia únicamente uno del segundo conjunto Función constante: aquella que toma siempre el mismo valor en el rango Función identidad: la función f(x) = x, es decir los puntos de la forma (x, x) (la diagonal) Función Par e Impar: f es par si f (-x) = f(x): g es impar si g(-x) = -g(x) Imagen: es el conjunto de puntos f(x) donde x ∈ X. Mandamientos matemáticos:

* 0

I)

No dividirás entre cero:

II)

No tomarás la raíz cuadrada de números negativos:

III)

No buscarás el Logaritmo de números ≤ 0: Log (≤ 0)

<0

Rango o codominio: es el conjunto de puntos y en Y. Variables dependiente e independiente: si x ∈ X está en el dominio de f entonces x es variable independiente mientras que y = f(x) es dependiente.

Ilustraciones y ligas externas * Mapa líneas Metro, primera página http://www.metro.df.gob.mx/red/index.html

(sep. 2008)

* Datos sobre el Metro de la Ciudad de México http://www.metro.df.gob.mx/operacion/index.html (mayo 2008) * Línea 12 Mixcoac – Tláhuac: http://www.metro.df.gob.mx/sabias/linea12b.html (mayo 2008). * Temperatura diaria en la ciudad de México: http://weather.noaa.gov/weather/current/MMMX.html (enero 2008)

83

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 3: Funciones Tema 3.2: Operaciones con funciones

Esquema instructivo Operaciones con funciones

Suma Resta

Función inversa

Igualdad de funciones

Algunas propiedades

Multiplicación División

Creciente y decreciente Composición

Operaciones con funciones En la mayoría de los ejemplos de este curso las funciones tiene como dominio e imagen a los números reales, así que los valores de las funciones son números reales y cumplen con las propiedades de estos: si f y g son funciones de los números reales en ellos mismos, y x está en el dominio de las funciones, entonces las siguientes propiedades e identidades son heredadas de los números reales. f(x) + g(x) es un número real f(x) + g(x) = g(x) + f(x) ( f(x) + g(x) ) + h(x) = f(x) + ( g(x) + h(x) ) f(x)⋅( g(x) + h(x) ) = f(x)⋅g(x) + f(x)⋅h(x)

(Ya que f(x) y g(x) lo son; es la propiedad de cerradura) (Conmutatividad) (Asociatividad) (La multiplicación distribuye sobre la suma)

Se puede remplazar la operación suma por multiplicación: f(x) ⋅ g(x) es un número real f(x) ⋅ g(x) = g(x) ⋅ f(x) ( f(x) ⋅ g(x) ) ⋅ h(x) = f(x) ⋅ ( g(x) ⋅ h(x) )

(Cerradura) (Conmutatividad) (Asociatividad)

84

En general, si denotamos por # cualquiera de las operaciones suma, resta, multiplicación o división, se define la nueva función (f # g)(x) = f(x) # g(x).

Ejemplo 1) Sean f(x) = 2 x - 1 y g(x) = x2 La función f + g aplicada en x es simplemente f(x) + g(x): (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2 x – 1 + x2 y se calcula en los números sustituyendo el valor, por ejemplo si x = 3 f(3) = 2⋅3 – 1 = 5 y g(3) = 32 = 9 entonces (f + g)(3) = f(3) + g(3) = 5 + 9 = 14 Análogamente para las operaciones resta, multiplicación o división se tiene: (f – g)(3) = f(3) – g(3) = 5 – 9 = – 4 (f x g)(3) = f(3) x g(3) = 5 x 9 = 45 (f / g)(3) = f(3) / g(3) = 5 / 9 = 0.555…

Ejemplo 2) Si r(x) = | 1 – x | y s(x) = 1 / x entonces las cuatro operaciones aplicadas a estas funciones proporcionan los siguientes resultados: (r ± s)(x) =r(x) ± s(x) = | 1 – x | ± 1 / x (r ⋅ s)(x) = r(x) ⋅ s(x) = | 1 – x | ⋅1 / x (r / s)(x) = r(x) / s(x) = | 1 – x | / (1 / x ) = x ⋅ | 1 – x| Y si las aplicamos en algún punto, digamos en x = – 2 tenemos r(– 2) = | 1 – (–2) | = 3 s(– 2) = 1 / (–2) = – 1 / 2 entonces (r + s)( –2) = r(–2) + s(–2) = 3 + (–1 / 2 ) = 2.5 (r – s)( –2) = r(–2) – s(–2) = 3 – (– 1 / 2 ) = 3.5 (r ⋅ s)( –2) = r(2) ⋅ s(–2) = 3 ⋅(–1 / 2) = –3/2 = –1.5 (r / s)( –2) = r(–2) / s(–2) = 3 / (–1 / 2 ) = – 6

85

Igualdad entre funciones Las funciones f y g son iguales si su dominio es el mismo y si f(x) = g(x) para toda x.

1  x si  Por ejemplo, las funciones f(x) = 1 / x y g ( x) =  − 1 si  

x≠0 x=0

no son iguales ya que el dominio de ambas es distinto. El de g incluye al 0, el de f, no lo incluye.

Funciones definidas por partes Frecuentemente los valores de una función dependen del intervalo donde se encuentre x, como sucede en el siguiente: Ejemplo 3) Pago por mi teléfono $290 al mes y me permiten 50 llamadas locales gratis. Sin embargo, si paso de las 50 me cobran $1.50 por llamada extra. Si x es el número de llamadas hechas en el mes, el dominio de la función son los enteros mayores o iguales a cero y está dada por

290 si   P ( x) =  290 + 1.50( x − 50) si 

x ≤ 50 x > 50

Si llamo 50 veces, o menos, pago P(50) = $290, pero si llamo 100 veces, entonces el costo es P(100) = 290 + 1.5(100 - 50) = 290 + 75 = $ 365.

Función definida por partes: antes de 50 y después de 50

86

La función P(x) está definida únicamente para enteros, pero por comodidad la dibujamos como una función continua.

Composición de funciones Sea f(x) la recta 2 x - 1 y g(x) la parábola x2

g(x) = x2

f(x) = 2x-1 Definimos la composición de f con g de la manera siguiente: (f ° g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2 x2 – 1 (ver gráfica abajo).

Análogamente, la composición de g con f es (g ° f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)2

(f ° g)(x) = 2 x2 – 1

(g ° f)(x) = (2x – 1)2

Claramente las funciones f ° g y g ° f no son iguales.

Por ejemplo, si las evaluamos en x = 3 tenemos f(3) = 2⋅3 – 1 = 5 y g(3) = 32 = 9, entonces (f ° g)(3) = f (g(3)) = f(9) = 2⋅9 – 1 = 17 y (g ° f)(3) = g (f(3)) = g(5) = 52 = 25 Analizamos un poco más de cerca la composición f ° g Empezamos con la función g y luego aplicamos f al punto g(x): 87

f

g x

g(x)

f(g(x))

f°g

Ejemplo 4) La función 2x2 –1 puede ser la composición de f(x) = 2 x – 1 y g(x) = x2 : (f ° g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2 x2 – 1, pero no es la única posibilidad.

Sea r(x) = 2x2 y s(x) = x – 1 entonces (s ° r)(x) = s(r(x)) = s(2x2) = 2x2 – 1 Este ejemplo muestra que la composición de funciones distintas puede dar lugar a una misma función: (f ° g)(x) = 2x2 – 1 = (s ° r)(x).

Note que si i(x) = x, la función idéntica, entonces la composición de f con i y de i con f es siempre igual a f: (sin importar la definición de f). (f ° i)(x) = f (i(x)) = f(x) = i (f(x)) = (i ° f)(x).

Ejemplo 5) Las gráficas de r(x) = | 1 – x | y de s(x) = 1 / x aparecen a continuación:

r(x) = | 1 – x |

s(x) = 1 / x

La composición de r con s es (r ° s)(x) = r(s(x)) = r(1/x) = | 1 – 1/x | y la de s con r: (s ° r)(x) = s(r(x)) = s(|1 - x|) = 1 / |1 - x|

88

(r ° s)(x) = | 1 – 1/x |

(s ° r)(x) = 1 / |1 - x|

Si las evaluamos, digamos en x = -2 tenemos (r °s)(-2) = | 1 – 1/(-2) | = | 1 + ½| = 3 / 2 (s ° r)(-2) = 1 / | 1 – (-2) | = 1 / | 1 + 2 | = 1 / 3

Funciones crecientes y decrecientes Sea f(x) definida en algún intervalo de los números reales. Se dice que f(x) es creciente si para cada pareja de números x < y se tiene que f(x) < f(y). En este caso la gráfica de la función crece de izquierda a derecha, por ejemplo, la función f(x) = – x 2 crece en el intervalo (–∞, 0]: si tomamos los números –3 < –2 y evaluamos la función en ellos tenemos que f(–3) = –9 < –4 = f(–2), es decir, la función crece en el conjunto de números negativos.

Análogamente, la función g(x) es decreciente en un intervalo si para cada pareja de puntos x < y, se tiene que g(x) > g(y). La misma función f(x) = – x 2 decrece en el intervalo que consta de los números positivos: comprobamos para 5 y 6, f(5) = –25 > –36 = f(6).

–x2 crece si x < 0, decrece si x > 0 89

Nota. Una función se llama no decreciente si para x < y sucede que f(x) ≤ f(y), puede ser que f(x) sea idéntica a f(y), pero nunca menor:

Función no decreciente Análogamente, una función h(x) es no creciente para cualesquiera puntos, tales que x < y sucede que h(x) ≥ h(y).

Función inversa Dada una función f(x) puede existir otra función g(x) con la propiedad de que la composición de f con g sea la identidad, es decir f(g(x)) = x. En tal caso g es la función inversa de f y se denota por f -1. En este caso, si f(x) = y , entonces f-1 (y) = x.

No confundir f-1 con 1/ f ya que son dos funciones bastante distintas: una es el inverso y la otra el recíproco. El número –1 no es un exponente: Es solamente notación.

Ejemplo 6) La función raíz cuadrada es la inversa de x2: si r(x) = √x y c(x) = x2: entonces

r o c( x) = r ( x 2 ) =

= x

x2

Análogamente, la función cuadrada es la inversa de la raíz:

c o r ( x) = c ( x ) =

x

( x)

2

x2

90

=

x

Las gráficas de las funciones son similares:

r(x) = √x

c(x) = x2

Ejemplo 7) Si f(x) = 2x – 1 ¿cual es su inversa?

A veces es sencillo encontrar la función inversa, como en este caso.

La idea es tratar de despejar la variable x de la igualdad y = f(x), así que basta despejar x de la identidad y = 2x – 1: Sumando 1 y dividiendo entre 2: x = (y + 1) / 2 obtenemos la inversa de f, que llamaremos g: g(x) = (x + 1) / 2 Comprobamos g(f(x)) = g(2x-1) = ((2x-1) + 1) / 2 = (2x -1 + 1) / 2 = 2x / 2 = x Análogamente f(g(x)) = f((x + 1) / 2) = 2((x + 1) / 2) – 1 = 2(x + 1) / 2 – 1 = (x + 1) – 1 = x + 1 – 1 = x Ejemplo 8) Las funciones constantes no tiene inverso.

Digamos que f(x) = 2, definida en el intervalo [–1, 1]

f(x) = 2 en el intervalo [–1, 1] 91

Si g(x) es cualquier otra función entonces g(f(x)) = g(2) es solamente un número fijo y no hay manera de que se obtengan todas las x en el dominio [-1, 1]; por ejemplo, f(0.5) = 2; f(0) = 2 No hay modo que alguna función mande al 2 tanto a 0.5 como a 0, ya que, por definición de función, eso no es posible.

¿Cuándo existe la función inversa?

Para que exista la función inversa de f(x), f debe ser “uno a uno”: eso quiere decir que puntos distintos tengan imagen distinta, no se vale que si x ≠ y se tenga que f(x) = f(y).

La función x2 no es uno a uno en todo su dominio ya que f(–x) = (–x2 ) = x2 = f(x), pero sí lo es cuando la restringimos a los números positivos: su inverso es la raíz cuadrada.

Si la restringimos al intervalo (-∞, 0] entonces su inversa es la función menos raíz cuadrada.

En particular, si una función es estrictamente creciente (o estrictamente decreciente) entonces existe su inversa.

La función idéntica i(x) = x es igual a su inversa: i(i(x)) = i(x) = x

Ejercicios Graficar las siguientes funciones 1) f(x) = 1 - 2x y comparar la gráfica con la de 2x - 1 2) g(x) = (1 – x )2 3) h(x) = 1 - x2  Con las funciones f, g y h definidas arriba, efectuar las siguientes operaciones: 4) (f + g)(-5); (f - g)(-5); (f ⋅ g)(-5); (f / g)(-5) 5) (f + g)(0); (f - g)(0); (f ⋅ g)(0); (f / g)(0) 6) (g + h)(0); (g - h)(0); (g ⋅ h)(0); (g / h)(0) 7) (g + h)(1); (g - h)(1); (g ⋅ h)(1); (g / h)(1) Obtén las siguientes composiciones y evalúa en los puntos x = 0, ½, 1 8) f ° g 9) g ° f 10) f ° h 11) h ° f 12) g ° h 13) h ° g 14) ¿En que intervalos son crecientes las funciones f, g y h?

15) ¿En que intervalos son decrecientes las funciones f, g y h?

16) ¿Cuál es la función inversa de f(x) = 1 – 2x?

17) ¿Por qué g(x) = (1 – x )2 no tiene inverso? Explicar. Elige un intervalo donde g(x) tenga inverso.

18) ¿Por qué h(x) = |1 – x2| no tiene inverso? Explicar. Elige un intervalo donde h(x) tenga inverso.

19) ¿Son iguales las funciones r(x) = x, s(x) =  x  ? Explicar.

20) Elige dominios apropiados para que las funciones del ejercicio anterior sean iguales.

92

En la hoja de cálculo En el ejemplo inicial se trabajó con las funciones f(x) = 2x – 1 y g(x) = x2 y se calculó el valor de las funciones en distintos puntos.

Todo esto se puede hacer fácilmente en una hoja de cálculo. A continuación se muestran algunos valores usando la hoja Excel.

La primera tabla muestra las fórmulas, es decir, lo que se escribe en cada celda.

Por ejemplo en la celda A2 dice =2*C2 – 1 Eso significa lo siguiente: el signo = le dice a Excel que viene una función.

2*C2 – 1 quiere decir lo que esté en la celda C2 multiplícalo por 2 al resultado réstale 1. Además,

este resultado ponlo en esta misma celda, en A2.

Fórmulas:

1

A f(x) =

B g(x) =

C x=

2

= 2*c2 – 1

= c2^2

Celda C2

3 4 5 6 7 8 9

suma: f + g resta: f – g multiplica: fg divide: f / g compone f g compone g f

= A2 + B2 = A2 - B2 = A2 * B2 = A2 / B2 = 2*B2 - 1 = A2^2

93

← Aquí va el valor

Resultado: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A f(x) = 5

B g(x) = 9

suma: f + g resta: f - g multiplica: fg divide: f / g compone f g compone g f

14 -4 45 0.55555556 17 25

C x= 3

← Aquí va el valor

Glosario

Composición de funciones: la composición de f y g es la función g ° f definida como sigue: g ° f(x) = g(f(x)). f es creciente: si para cada x, y, donde x < y, se tiene que f(x) ≤ f(y). f es decreciente: si para cada x, y, donde x < y, se tiene que f(x) ≥ f(y).

Ilustraciones Página 1: operación: http://www.newscientist.com/data/images/ns/cms/dn3193/dn3193-1_185.jpg (enero 2008).

94

MATEMÁTICAS IV Objetivo 3: Funciones Tema 3.3: Polinomios

En este tema se estudian algunos tipos de funciones, como son los polinomios, las funciones racionales y algunas funciones que involucran rectas. Se presenta un ejemplo de regresión lineal así como diversas aplicaciones.

Esquema instructivo Funciones

Polinomios

Racionales

Más rectas

Restas Función constante

Polinomios de otros grados

Función escalón

Valor absoluto Función característica

Pendiente de una recta

Mayor entero

Regresión lineal Distancias

Polinomios La mayor parte de las funciones que veremos en este texto tienen por dominio y rango a todos los números reales o subconjuntos de estos: Si X y Y son tales conjuntos, entonces nuestras funciones son del tipo: f: X → Y. Un caso particular es el de los polinomios.

Un polinomio de grado n es una función de la forma P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 +… + anxn donde n es un entero no negativo y an es distinto de cero. La letra x representa la incógnita, o variable independiente, mientras que las letras a0, a1, a2,…, an son números reales y se les llama coeficientes del polinomio.

95

Empezamos estudiando a los polinomios con la siguiente función:

Función constante La función f(x) = c es un polinomio con dominio igual a todos los números reales e imagen sólo el número c.

Ejemplo 1) Algunas funciones constante son f(x) = 3/2, P(x) = 0, y = -1 y sus gráficas:

Tres funciones constante Los polinomios constante son simplemente rectas horizontales, su pendiente es cero, su dominio todos los reales y son funciones par. No es posible que tengan inverso, como se mencionó en la sección anterior.

Funciones lineales Las funciones de la forma f(x) = mx + b, donde m es un número distinto de cero, son polinomios de grado uno, llamadas rectas o funciones lineales. Una de las más populares es la función f(x) = x. Se le conoce como función idéntica o la “diagonal”, por su gráfica en el plano: el conjunto de parejas de la forma (x, x):

96

La función y = x Si consideramos la ecuación y = mx + b, al coeficiente de x, m en este caso, se le llama pendiente de la recta. La función idéntica y = x = 1⋅x tiene pendiente 1, es decir, la inclinación de la recta dibujada arriba, es 1.

Recordamos que la pendiente m de cualquier recta (no vertical) se puede obtener de la manera siguiente: si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos de la recta entonces la pendiente es:

m =

y 2 − y1 x 2 − x1

Ejemplo 2) La recta y = 2x tiene pendiente 2, que es mayor que la de y = x mientras que y = x / 3 tiene pendiente menor, basta ver las gráficas y observar los valores de cada una en x = 1:

97

Rectas y = 2x, x, x/3 La recta y = mx + b es sólo una traslación de y = mx. Para analizar la gráfica de y = mx + b es conveniente pensar primero en la parte mx ya que ésta recta siempre pasa por el origen (0, 0). Una vez localizada, el factor + b lo único que hace es trasladar el punto de intersección (0, 0) al punto (0, b) Ejemplo 3) f(x) = 2x + 3 es la recta con pendiente 2 y pasa por (0, 3) ya que f(0) = 2⋅0 + 3 = 3 Análogamente, la recta g(x) = 2x – 2 tiene pendiente 2 pero pasa por (0, -2)

98

Rectas paralelas con pendiente 2 Si la pendiente es negativa, la recta se inclina de izquierda a derecha.

Ejemplo 4) Si deseamos graficar la función y = – 2x + 3, primero encontramos la recta y = – 2x, la cual pasa por el origen. Localizamos otro punto de la recta, por ejemplo, si tomamos x = – 1 y sustituimos, obtenemos y = – 2(–1) = 2, encontramos que la recta también pasa por (– 1, 2):

y = – 2x

99

Como y = – 2x + 3 pasa por el punto (0, 3), basta trasladar la recta 3 unidades hacia arriba:

y = – 2x, y = – 2x + 3

Más Polinomios Además de los polinomios de grado 1, también llamadas rectas, están los polinomios de grado mayor o igual a 2. En el caso 2 la ecuación del polinomio es: P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 donde a2 es distinto de 0, y tenemos la ecuación cuadrática.

(Si a2 fuera 0 entonces el polinomio no sería de grado 2) La más simple es y = x2 cuya gráfica es:

100

y = x2 ¿Cómo se grafica la cuadrática y = ax2 + bx + c? (a ≠ 0) Supongamos a > 0. En este caso, la curva se abre hacia arriba, (se dice que es cóncava hacia arriba), como en la gráfica anterior; además, la gráfica tiene un punto más bajo, llamado mínimo, que ocurre cuando x =

−b 2a

En el caso que a < 0 entonces la curva es cóncava hacia abajo y ahora en vez de mínimo, tiene un máximo, que alcanaza cuando x =

−b 2a

Ejemplo 5) Graficar y = x2 + 4x + 3 a) Es cóncava hacia arriba b) Intersecta al eje Y cuando x = 0, o sea en (0, 3) c) Intersecta al eje X cuando x2 + 4x + 3 = 0, o sea cuando x = –1 y x = –3, ya que x2 + 4x + 3 = ( x + 3)( x + 1) d) El mínimo ocurre cuando x = – b/2a = – 4 / 2 = –2, o sea en el punto (–2, –1)

101

y = x2 + 4x + 3 Ejemplo 6) Graficar y = –x2 + x + 2 a) Como el coeficiente de x2 es negativo (–1), es cóncava hacia abajo b) Intersecta al eje Y cuando x = 0, o sea en (0, 2) c) Intersecta al eje X cuando –x2 + x + 2 = 0, o sea cuando x = –1 y x = +2, ya que –x2 + x + 2 = – (x2 – x – 2) = – (x + 1)( x – 2) d) El máximo ocurre cuando x = – b / 2a = –1 / 2⋅(–1) = 1 / 2, o sea en el punto (1/2, 9/4)

102

y = –x2 + x + 2

Otros ejemplos de polinomios son: P(x) = 1 – 2 x + 3 x2 – 4 x3 y también: Q(x) = 5 – 6x3 + 8x7 + 15x35

Una aplicación de las funciones polinomiales Gebrselassie bate el récord mundial de maratón. El etíope rompió el récord mundial al correr la distancia en Berlín en 2:04:26 Una de las ventajas más importantes de los polinomios consiste en aproximar datos o conjuntos de puntos. Como ejemplo sencillo trataremos de predecir cual será el tiempo que tarde la siguiente persona que rompa el record mundial del maratón.

A febrero de 2008 el individuo que más aprisa ha corrido los 42,195 metros es el etíope Haile Gebrselassie tardando 2 horas 4 minutos y 26 segundos en la ciudad de Berlín, el 30 de septiembre del 2007 (un ex-candidato presidencial mexicano hizo trampa en esa misma competencia; ver Ligas Externas, abajo).

Los dos mejores tiempos en el recorrido del maratón son: Nombre

País

Maratón

Fecha

Tiempo

Gebrselassie, Haile Tergat, Paul

Etiopía Kenia

Berlín Berlín

9/30/07 9/28/03

2.04:26 2.04:55

103

Tiempo en segundos 7,466 7,495

Curiosamente ambos conseguidos en Berlín, con cuatro años de diferencia en fechas y sólo 29 segundos en tiempo de recorrido.

¿Cuál será el siguiente mejor tiempo?

Una manera sencilla de ver el futuro, consiste en tomar la recta que pasa por los puntos (1, 7495) y (2, 7466) y calcular el valor cuando x = 3.

Este método, ya refinado, en el sentido de que se aplique a un conjunto de puntos y no sólo dos, se llama regresión lineal y consiste en encontrar la recta que mejor se aproxime a un conjunto de valores para así poder saber la tendencia de la situación.

Wikipedia ofrece la siguiente representación

104

Los puntos son los datos conocidos y la recta es la mejor aproximación lineal para tales puntos.

La ecuación de la recta por dos puntos es

y = mx + b

Si tomamos los puntos (1, 7495) y (2, 7466) , la recta que pasa por ellos tiene pendiente

m =

y 2 − y1 x2 − x1

=

7466 − 7495 2 −1

= − 29

Y como pasa por (1, 7495) debe cumplir con 7495 = y(1) = -29(1) + b o sea

b = 7495 + 29 = 7524

así, la ecuación de la recta por los dos puntos es y = -29 x + 7524 Si tomamos x = 3, obtenemos x = -87 + 7524 = 7437 segundos, o sea 2 horas, 3 minutos 57 segundos. 29 SEGUNDOS MENOS que el último registro. (Este resultado era de esperarse ya que si había 29 segundos de diferencia entre los primeros dos tiempos y tomamos el tercero de tal manera que esté en la misma recta, debe distar lo mismo: 29 segundos).

105

Más interesante sería tomar no dos, sino tres y encontrar primero la mejor recta que aproxime los tres puntos. Ver ejercicios.

Funciones racionales Un número es racional si es cociente de dos enteros,;una función se llama racional si es el cociente de dos polinomios. Ejemplos de tales funciones son:

x2 + 4 8x3 − x + 5 − 3x 4 + 2 x 2 − 1 P ( x) = , Q ( x) = , R( x) = 5x −1 x2 + 1 x2 − 4 El dominio de una función racional es el conjunto de puntos donde el denominador sea distinto de cero, así, P(x) en el primer ejemplo tiene dominio todos los reales excepto en x = 1/5, ya que en ese punto el denominador es cero: 5x – 1 = 5(1/5) – 1 = 1 – 1 = 0: Dominio de P(x) es (-∞,0.2) U (0.2,∞).

La función Q(x) tiene dominio igual a todos los números reales ya que el denominador nunca vale cero: x2 +1 es siempre mayor o igual a 1.

R(x) no está definida en dos puntos: 2 y -2 ya que ahí el denominador es cero, así que el dominio de R(x) es (-∞, -2) U (-2, 2) U (2, ∞)

Más funciones que involucran rectas Función escalón La función escalón unitario está definida como sigue:

0 si t < 0 f(t) =  1 si t ≥ 0 Y su gráfica es:

106

Función escalón Esta función tiene muchas aplicaciones en la llamada ingeniería de control y en el proceso de señales.

Función característica Otra función parecida es la Función Característica, que vale uno en el conjunto requerido y cero en el complemento:

1 si Ψ A(x) =  0 si

x∈ A x∉ A

Esta función distingue al conjunto A al valer 1 en todos los puntos del conjunto; por ejemplo, si A es la unión de dos intervalos junto con un punto: A = [-2, -1] U [1, 3] U {4} entonces la función característica vale uno en ellos y cero afuera:

107

Función característica ΨA

El valor absoluto La función valor absoluto está definida como sigue:

 x si |x| =  − x si

x≥0 x<0

La notación para está función consta de dos pequeñas rectas encerrando a la variable o constante, según sea el caso: | x |.

Para x ≥ 0, es la función identidad, pero para x < 0, lo que hace es que al número negativo le cambia el signo y lo vuelve positivo: | –7 | = – (–7) = 7.

La función nunca es negativa y vale 0 únicamente en x = 0:

108

Función valor absoluto: y = |x|.

Si doblamos el plano a lo largo del eje Y, la parte para x positivo coincide con la parte negativa, es decir, la función valor absoluto es par.

Hace una secciones comentamos que, en vista que el valor absoluto nunca es negativo, es ideal para definir distancias: si x y y son dos números, entonces la distancia entre ellos se define como | x – y |: d(x, y) = | x – y | Ejemplo 7) Distancia de – a 4: d(– 3, 4) = | – 3 – 4 | = | – 7 | = 7 Notamos que 7 = | - 7 | = | 7| = | 4 – (–3)| = d(4, –3) Es decir, la distancia de x a y es igual a la de y a x.

Otra manera de obtener el valor absoluto de un número es la siguiente: | x | = donde se toma, por supuesto, la raíz cuadrada no negativa. Por ejemplo,

| −7 | =

49

= 7

Recordamos las principales propiedades del valor absoluto: i) |0|=0 ii) Si x ≠ 0 entonces | x | > 0 iii) | –x | = | x | iv) | x⋅y | = | x | | y | v) |x/y|=|x|/|y| 109

x2

= x

La función mayor entero Si x es un número real, la función mayor entero se define como el mayor entero menor o igual a x; se denota la variable entre paréntesis rectangulares: [ x ]. Suena contradictorio que el “mayor entero” sea menor que el número; tal vez sea más claro el nombre coloquial que recibe: es la función piso; es el entero más grande, pero menor que el número.

Ejemplo 8) Si x es un número positivo, [x ] le quita los decimales o sea, trunca al número, dejándolo sin decimales, si es que hubiera: [1.89] = 1; [0.999] = 0; [59.95] = 59 Si el número es negativo, la definición es la misma, sólo que hay que tener cuidado. Por ejemplo, [–0.5], el mayor entero menor que –0.5, no es 0: es –1 Si x está entre los enteros n y n+1 entonces [x] = n: n x n+1

Nota: La función mayor entero se escribe en la hoja de cálculo Excel, como “=ENTERO( )” (Existe la función Techo. Ver ejercicios).La gráfica de la función mayor entero o función piso es la siguiente:

Función mayor entero Demostración de “La función valor absoluto es par, es decir, | - x | = | x |” Sea x ≥ 0. Entonces, por definición de valor absoluto: |x|=x Pero, como x es positivo entonces –x es negativo y el valor absoluto de un número negativo es menos el número, o sea: 110

| -x | = - (-x) sin embargo, esta última cantidad es igual a x: - ( - x) = x Concluimos entonces, que si x es ≥ 0, entonces | x | = | - x | Si x es negativo, entonces, por definición de valor absoluto: |x|= –x pero –x es positivo, así que es igual a su valor absoluto: –x=|–x| las dos últimas igualdades dicen que | x | = | – x | Así que cualquiera que sea el caso de x, positivo o negativo, tenemos | – x | = | x |

Ejercicios 1) ¿Qué grado tiene el polinomio y = 1 – x + 2x2 + 0⋅x4 ? ¿Son polinomios las siguientes funciones? Explica. En caso de serlo, ¿qué grado tienen?

2) y = 3x – 2 / x + 5 3) y = 9 + x⋅x – 4 4) 7y – x = 8 5) Dibuja la función “Rampa”:

t≤0 0 si  r (t ) =  t si 0 < t < 1 1 si t ≥1 

6) El costo del estacionamiento en un hotel en Tijuana es 1.50 dólares por hora. Haz la gráfica de esta situación para un intervalo de 12 horas.

La función menor entero Análoga a la función mayor entero, existe la función menor entero.

Las definiciones de ambas son: Mayor entero = el mayor entero menor o igual a la número. Notación [ x ] Menor entero = el menor entero mayor o igual a la número. Notación { x } Si n y n+1 son dos enteros consecutivos y x está entre ellos, entonces n = [x] y n+1 = {x}

n=[x]

x

Llena los espacios:

n+1 = { x }

Mayor entero [1.89] = [-1.89] =

Menor entero {1.89 } = {-1.89 } =

111

(función piso) (función techo)

[0.999] = [-0.999] = [59.95] = [-59.95] = [0.5] = [-0.5] =

{0.999 } = {- 0.999 } = {59.95} = {-59.95} = {0.5} = {-0.5} =

Grafica la función menor entero y compara su gráfica con la de mayor entero.

8) Los tres mejores tiempos en el maratón son: Nombre Gebrselassie, Haile Tergat, Paul Morir, Sammy

País Etiopía Kenia Kenia

Maratón Berlín Berlín Berlín

Fecha 9/30/07 9/28/03 9/28/03

Tiempo 2.04:26 2.04:55 2.04:56

Tiempo en horas 2.0738 2.0819 2.0822

Si tomamos los puntos (1, 2.0822), (2, 2.0819), (3, 2.0738) el método de regresión lineal proporciona la recta y = -0.00416 x + 2.08765. Si la evaluamos en x = 4 obtendremos el tiempo esperado del siguiente ganador del maratón. ¿Cuál es el tiempo, en horas, minutos y segundos? ¿Cuántos segundos dista del tiempo empleado por Gebrselassie?

Ver historia de la regresión lineal así como aplicaciones: http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal (febrero 2008).

Glosario Característica, función: la función característica del conjunto A se define:

1 si Ψ A(x) =  0 si Escalón, función: la función escalón unitario es

x∈ A x∉ A

0 si t < 0 f(t) =  1 si t ≥ 0

Grado de un polinomio: el entero más grande que aparece como exponente de la variable x.

Mayor entero, función: función que representa el mayor entero menor o igual al número Notación [ x ] (función piso).

Menor entero, función: función que representa el menor entero mayor o igual al número Notación { x } (función techo).

Pendiente de una recta: número que mide la inclinación de una recta. Se puede obtener de la siguiente manera: si (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos de la recta, entonces la pendiente es

m =

y 2 − y1 x 2 − x1 112

Polinomio de grado n: función de la forma P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 +… + anxn dónde n es un entero no negativo y an es distinto de cero.

Racional, función: cociente de dos polinomios.

Valor absoluto: función definida: | x | =

 x si  − x si

x≥0 x<0

Ligas externas Gráfica de regresión lineal: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/be/Normdist_regression.png (febrero 2008) Página 1: El mejor tiempo en un maratón: Haile Gebrselassie, Berlín, Septiembre 30, 2007. http://www.as.com/recorte/20071001dasdaimas_3/C280/Ies/Gebrselassie_pulveriza_record_maraton.j pg (febrero 2008) Foto del etíope poseedor del mejor tiempo en el maratón http://www.cadenaser.com/recorte/20070930csrcsrdep_2/SCO300/Ies/Gebrselassie-bate-recordmundo-maraton.jpg (febrero 2008) Ex candidato a la presidencia de México tomó un atajo para terminar el maratón de Berlín, 2007 http://www.terra.com.mx/articulo.aspx?articuloId=435335 (septiembre 2008) Lista de los 500 mejores tiempos en el maratón: http://www.marathonguide.com/history/records/alltimelist.cfm?Gen=M&Sort=SexPlace (febrero 2008).

Gráfica con los mejores tiempos en maratones: http://www.marathonguide.com/history/records/index.cfm (febrero 2008).

113

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 3: Funciones Tema 3.4: Funciones trigonométricas (1)

Empezamos con el ejemplo del llamado “Biorritmo” para advertir que las funciones involucradas son de tipo sinusoidal, es decir, semejantes a la función seno. Recordamos las definiciones de las funciones trigonométricas vistas en Matemáticas II, así como el uso de los grados para medir los ángulos. Se hace notar que ese concepto es de alguna manera arbitrario, y se define lo que es radián, que suplirá al de grado.

Esquema instructivo

Funciones trigonométricas

Algo de nemotecnia

Sumeria Identidades recíprocas

El biorritmo

Periodo y amplitud Seno, coseno y sus gráficas

Grados y radianes

El Biorritmo Tenemos temporadas cuando nos sentimos cansados, sin ánimo y nos enfermamos fácilmente, en cambio hay otros períodos donde derrochamos energía, nuestro estado físico es inmejorable y podemos realizar cualquier actividad casi sin cansarnos. Algunos científicos nos dirán que nuestra condición tiene que ver con nuestro biorritmo físico. El mito del Biorritmo (ritmo de la vida) señala que al nacer cualquier persona, simultáneamente se inician tres ciclos: el físico, el emocional y el intelectual, cada uno dura 23, 28 y 33 días, respectivamente. Cada ciclo tiene parte positiva y negativa. Por ejemplo, si consideramos el ciclo físico, que dura 23 días, tiene la siguiente gráfica:

114

Se supone que cuando la curva está en la parte positiva, es decir, arriba del eje X entonces nuestro estado físico es bueno, comparado cuando está en la parte inferior del eje X. Los días críticos suceden cuando la gráfica pasa de un estado a otro, es decir, cuando cruza el eje X, en este caso cada 11.5 días. Se dice que este ciclo se encarga del estado físico de la persona, salud, enfermedades y fortaleza para desempeñar labores pesadas.

El ciclo emocional tiene que ver con el estado de ánimo y las emociones; dura 28 días.

Por último, el biorritmo intelectual tiene que ver con la velocidad de aprendizaje y raciocinio, durando 33 días.

La siguiente imagen muestra los tres estados de una persona nacida el primero de enero de 1990, y calculado para el 15 de febrero 2008:

115

La curva que aparece en la parte superior representa el ciclo emocional; notamos que para el día 15 su nivel es positivo pero está declinando; por otro lado el nivel intelectual (gráfica central) es negativo y seguirá bajando hasta un mínimo para el día 21. Por último, el ciclo físico (curva inferior) también es negativo y ya pasó el peor día, el día 14 de febrero y lentamente ascendiente.

Sea cual fuere la situación del biorritmo, las curvas son del tipo sinusoidal y forman parte importante de la Matemática. Por último, es interesante advertir que hasta los charlatanes usan las Matemáticas.

Funciones trigonométricas, con ángulos Un triángulo rectángulo tiene tres lados: la hipotenusa y dos catetos; además tiene tres ángulos, uno recto (90°) y otros dos de menor medida, digamos A y B:

a us n te o p hi

90°

A cateto adyacente a A

116

cateto opuesto a A

B

Recordamos que las seis funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) para el ángulo A son:

sen A =

opuesto hipotenusa

cos A =

adyacente hipotenusa

tan A =

opuesto adyacente

cot A =

adyacente opuesto

sec A =

hipotenusa adyacente

csc A =

hipotenusa opuesto

Estas funciones se estudiaron en el curso Matemáticas II así como algunas fórmulas trigonométricas.

Sumeria El trabajo de los pueblos situados en la antigua Mesopotamia mucho influyó en la división del día en 24 horas, la hora en 60 minutos y el minuto en 60 segundos.

Aparte de usar al número 60 como la bases de su numeración, dividieron el año en 12 meses de 30 días pues le resultó cómodo y apropiado dividir al año en 12 x 30 = 360 días

¿Y por qué no un círculo?

Les pareció natural dividir al círculo en 360 unidades llamadas grados. El inconveniente de esa partición, de esa división, es que fue hecha totalmente por capricho; sin ninguna razón poderosa, más que la indulgencia y la bondad del número 360.

Sea como fuere, hay otras maneras de dividir al círculo, y la manera más apropiada para la matemática y la ingeniería actual es la siguiente.

117

Los radianes Supóngase que tenemos un círculo de radio r. Consideramos el ángulo AOB, cuyo vértice está en el origen. El ángulo AOB en radianes, se define como el tamaño del arco circular s entre el radio r:

Ángulo en radianes =

longitud

del arco s radio B

s

O

A

r

El ángulo en radianes es igual a 1 cuando la longitud del arco sea igual al radio; en ese momento el ángulo es igual a un radián:

Longitud del arco = longitud del radio ¿Cuántos radianes tiene el círculo completo?

Usando la fórmula anterior:

Ángulo en radianes =

perímetro de la circunferencia radio 118

=

2π

r r

= 2π

Es decir, a 360 grados le corresponden 2π radianes, sin importar el radio del círculo.

Grados 360° Dividiendo entre 2:

Radianes 2π π π

180°

Relación entre ángulos y radianes Usando la relación anterior y la regla de tres, podemos convertir θ grados a radianes: Grados 180°

Radianes π

θ

= πθ / 180

Y también z radianes a grados: Grados 180° =180 z/ π

Algunas conversiones:

Radianes π z

Grados 360º

Radianes 2π

180°

π

θ 1°

πθ / 180 π/180

45º

45π/180 = π / 4

90º

90π/180 = π / 2

270º

270π/180 = 3π / 2

180z / π

z

180 / π

1

3·180 / π ∼ 171.88° (∼ significa aproximadamente)

3

Notamos que 1 grado es π / 180, resulta 0.017453 radianes, aproximadamente.

Análogamente 45° = π / 4 radianes y 720°= 4 π radianes.

Similarmente, un radian = 180 / π ∼ 57.29° Multiplicando por 3 tenemos que 3 radianes es 172º aproximadamente, es decir, es casi medio círculo:

119

Las funciones trigonomĂŠtricas, con radianes Sea P(x, y) un punto en el plano cartesiano, distinto del origen O(0, 0). Llamemos r a la distancia de P a O, es decir r

=

x 2 + y 2 y t al ĂĄngulo que forman el eje X positivo con la recta:

120

La definición de las seis funciones trigonométricas es:

sen t =

y r

cos t =

x r

tan t

=

y , x≠0 x

cot t

=

x , y≠0 y

sec t

=

r , x≠0 x

csc t

=

r , y≠0 y

Pedimos que los denominadores sean distintos de 0; r lo es, ya que P no es el origen.

En la gráfica anterior el punto P está en el segundo cuadrante: No importa dónde esté, las definiciones no varían.

Es fácil notar algunas relaciones entre las fórmulas. Por ejemplo,

=

sen t

y r

=

1 r y

=

1 csc t

y escribiéndolas todas:

sen t

=

1 csc t

cos t =

1 sec t

tan t

=

1 cot t

cot t

=

1 tan t

=

1 cos t

csc t

=

1 sen t

sec t

Ejemplo 1) Sea P el punto (3, 4) y t el ángulo formado por la recta que une al origen con P. Encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas.

121

x = 3, y = 4 implica r

=

x2 + y 2

=

9 + 16

=

25 = 5

sustituyendo, sen t = y / r = 4 / 5 cos t = x / r = 3 / 5 tan t = y / x = 4 / 3 cot t = x / y = 3 / 4 sec t = r / x = 5 / 3 csc t = r / y = 5 / 4 Nota. No importa que punto de la recta se tome para calcular las funciones trigonométricas. La recta anterior pasa por el origen y por (3, 4) así que su pendiente es 4/3 y la ecuación es y = 4 x / 3.

Si tomamos otro punto de la recta, digamos Q(6, 8), notamos que los valores de las funciones trigonométricas son los mismos. Sucede que los dos triángulos son semejantes:

122

x = 6, y = 8, r

=

x2 + y2

=

36 + 64

=

100

= 10

sen t = y / r = 8 / 10 = 4 / 5 cos t = x / r = 6 / 10 = 3 / 5 tan t = y / x = 8 / 6 = 4 / 3 cot t = x / y = 6 / 8 = 3 / 4 sec t = r / x = 10 / 6 = 5 / 3 csc t = r / y = 10 / 8 = 5 / 4

Identidades recĂ­procas Basta saber el valor del seno (o del coseno) en un punto para conocer el valor de las otras cinco funciones en el mismo punto, ya que todas se pueden escribir en tĂŠrminos de seno (o de coseno): si por ejemplo, conocemos el valor sen t entonces

=

cos t tan t

cot t =

=

1 tan t

y x

1 â&#x2C6;&#x2019; sen 2 t y r xr

=

=

=

1 sen t cos t

123

sen t cos t =

cos t sen t

y las dos últimas :

sec t

csc t

1 , cos t

=

=

1 sen t

Nemotecnia Frecuentemente no traemos calculadora y se nos pide encontrar, digamos, a) coseno de π / 4 Considerar la mitad de un cuadrado unitario, es decir, con lados de tamaño 1; se obtienen dos triángulos cada uno con ángulos de 45 grados, o sea π / 4

π/2 = 90°

h = hipotenusa π/4 = 45°

Como cada lado mide 1, calculamos la longitud de la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos; es decir 12 + 12 = h2 2 = h2

es lo mismo que :

Tomando raíz cuadrada, tenemos que h = √2:

√2 1 π/4 1

124

Y tanto el seno como el coseno son iguales:

sen π / 4 =

opuesto hipotenusa

=

1 2

=

2 2

cos π / 4 =

adyacente hipotenusa

=

1 2

=

2 2

b) El coseno de π / 3; ¿cuánto es?

Para el caso de los ángulos π/6, π/3 y π/2, (30°, 60° y 90°) se recomienda a) Dibujar un triángulo equilátero de lado 2 Sabemos que cada uno de los tres ángulos mide π/3, es decir, 60°:

60°

2

60°

60° 2

b) Dividir el triángulo en dos triángulos rectángulos iguales:

2

1

1

125

c) Tomamos uno de los triángulos rectángulos y conocemos la medida de los tres ángulos y los tres lados:

30°

2

3

90° 60° 1

(La altura se obtiene usando el teorema de Pitágoras, 4 = h2 + 12 , es h = √3 ~ 1.732) Concluimos:

sen π / 3 = sen 60° =

3 , 2

cos π / 3 = cos 60° =

1 2

sen π / 6 =

1 , 2

cos π / 6 = cos30° =

3 2

sen30° =

c) Vale la pena recordar la siguiente situación para encontrar los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos 0, π/6, π/4, π/3, π/2, es decir, 0, 30°, 45°, 60° y 90° Los números 0, 30, 45, 60, 90 son sencillos de recordar: 0, +30, +15, +15, +30

seno coseno

00 0 2 4 2

30 0 1 2 3 2

45 0 2 2 2 2

60 0 3 2 1 2

Por supuesto se pueden simplificar algunas raíces ( 0 = 0,

90 0 4 2 0 2 1 = 1,

4 = 2 ), pero la idea es

recordar cual es el ritmo de los números; además, no olvidar que al primer renglón le corresponde a seno y empezamos con 0; entonces, el siguiente (coseno) empieza por el último (√4).

126

Gráfica de las funciones trigonométricas El dominio de las funciones trigonométricas, cambió de los grados a los radianes, que no son más que números reales y a continuación trazaremos sus gráficas, basándonos en un punto que se moverá alrededor del círculo unitario

Seno Se definió la función seno de un ángulo como el tamaño del cateto opuesto entre la hipotenusa. Sólo que ahora, en vez de usar grados, usaremos radianes. La definición del seno es sen t = y / r = y / 1 = y, ya que la hipotenusa es 1. Es decir, para conocer los valores del la función seno, hay que ver cómo se modifica la ordenada “y”, o sea la altura del círculo mientras lo recorremos empezando en el punto (1, 0): Punto de partida Altura 0

En ese punto inicial, ya que la altura es 0, tenemos sen 0 = 0.

Al movernos poco a poco sobre el círculo unitario en la dirección positiva, (hacia arriba) la altura empieza a crecer:

y crecer hasta el momento en que llegamos a los π/2 radianes (90°) cuando la altura es exactamente 1.

127

Al pasar por la altura 1 y seguir recorriendo el círculo, nos aproximamos al radián π, pero notamos que la altura se hace cada vez más pequeña, es decir el seno decrece en el intervalo (π/2, π).

Y al llegar a π el seno nuevamente es cero, estamos en el punto (-1, 0).

A partir del radián π, la ordenada es negativa, así que el seno es negativo, y lo será para todos los valores de t entre π y 2π, pasando por la “altura” -1 en el radián 3π / 2.

128

Radián 3π / 2:

Cerca de 2π:

Regresando al punto de partida pero con 2π radianes de recorrido.

Recapitulando el recorrido de la ordenada y, o sea de la función seno: La primera cuarta parte del trayecto (primer cuadrante), empezó en 0 hasta llegar a 1.

La segunda cuarta parte, partió de 1 y decreció a 0.

La tercera, se volvió negativa y decreció de 0 a -1.

Para terminar en el cuarto cuadrante, donde creció de -1 a 0.

El mismo viaje pero en un solo diagrama es el siguiente:

129

9π

8

π

π

8

4

3π

8

π

2

5π

8

3π

7π

4

8

5π 11π 3π 13π 7π 15π 2π

4

8

2

8

4

8

π

Gráfica de sen(x) en el intervalo [0, 2π π]

Podemos seguir el recorrido tomando radianes mayores a 2π pero la situación será completamente similar al caso inicial, es decir, la función seno es periódica, con período 2π: Notamos varias cosas en la función seno: • Intersecta al eje Y en el origen (0, 0).

• Intersecta al eje X en los puntos de la forma (nπ, 0) es decir, múltiplos de π.

• Crece en ciertos intervalos y decrece en otros, todos de longitud π.

• Oscila entre los valores -1 y 1, es decir, la imagen de la función seno es el intervalo [-1, 1], • Si partimos nuevamente del punto (1, 0) pero ahora en la dirección contraria, es decir, recorremos el círculo en el sentido de las manecillas de los antiguos relojes, inicialmente la ordenada Y (la altura) se vuelve negativa, ya que partimos del nivel 0:

−π -2π

-7π -3π -5π

8

4

8

−π 2

-3π

8

−π −π 4

8

-15π -7π -13π -3π -11π -5π -9π

8

4

8

2

8

4

8

Dirección negativa

Al recorrer el círculo el comportamiento de la función es similar al original y es donde notamos que sen – t = – sen t, o sea, la función es impar.

Modificando un poco la altura y el ancho, aseguramos que la gráfica es similar a la siguiente:

130

Coseno Para dibujar la función se sigue un proceso similar al caso anterior, notando que en este caso cos(t) = x, es decir la abscisa en vez de la ordenada.

Período y amplitud Una función f(x) se llama periódica si existe un número positivo p con la propiedad: f(x + p) = f(x). Al menor de los números positivos p con esa propiedad se le llama período de la función.

Se dice que las funciones a sen x y a cos x, tienen amplitud | a |: y es el valor más grande que pueden obtener.

Mostramos la función seno con la constante a igual a 4, 2, 1, -1/2, -3. Las amplitudes son los valores absolutos de tales números, es decir, 4, 2, 1, ½, 3, respectivamente.

131

En el caso de las funciones asociadas con el biorritmo, el período de ellas es 23, 28 y 33 días, respectivamente, para cada uno de los ciclos físico, emocional y el intelectual.

Ejemplo 2) Aunque la gráfica nos lo muestra, comprobamos que el período de la función seno es 2π: Usando la fórmula del seno de una suma: [sen a + b = sen a cos b + sen b cos a ] sen x + 2π = sen x cos 2π + sen 2π cos x = sen x ⋅ 1 + 0 ⋅ cos x = sen x Ejemplo 3) Graficar cos(x) + 1 La gráfica es, simplemente, la de coseno pero levantada 1 unidad:

132

Ejemplo 4) Graficar –4 sen x La gráfica de la función –4 sen x es:

y su amplitud es |–4| = 4: el valor más grande que alcanza.

133

Ejemplo 5) ¿Cuál es la amplitud y el período de cos 3x ?

El período de coseno es 2π; en este caso el ángulo 3x lo escribimos entre 0 y 2π: 0 ≤ 3x ≤ 2π y como nos interesa el intervalo donde x debe estar, dividimos entre 3 y obtenemos 0 ≤ x ≤ 2π / 3 Es decir, el período es 2π / 3. Comprobamos: cos (3(x + 2π / 3)) = cos (3 x + 2π) = cos (3 x) La amplitud es | 1 | = 1 y la gráfica en el intervalo [0, 2π / 3] es:

Ejemplo 6) ¿Cuál es la amplitud y el período de f(x) = –5 sen (–x/2)?

La amplitud es |–5| = 5.

Ya que sen(–a) = –sen(a) podemos sacar el signo del paréntesis: –5 sen(–x / 2 ) = – (– sen (x / 2)) = sen( x / 2) El período de la función seno es el intervalo [0, 2π], así que en nuestro caso, escribimos 0 ≤ x / 2 ≤ 2π Multiplicando por 2, obtenemos 0 ≤ x ≤ 4π ; es decir, el período de g(x) = – sen (–x/2) es 4π:

 − ( x + 4π )   x + 4π  x  x − x g ( x + 4π ) = − sen  = sen  = sen + 2π  = sen  = − sen  = g (x ) 2    2  2  2  2 

134

Su gráfica, en el intervalo [0, 4π]:

Ejercicios 1) Encuentra todos los divisores de 360 (incluyendo 1 y 360, son más de 20).

2) Los periodos del biorritmo son 23, 28 y 33 días. Si el primero de enero iniciaron los tres ciclos, ¿cuándo coincidirán la próxima vez? (Suponer un año = 365 días; respuesta mayor de 50 años).

3) Supongamos que queremos dibujar la curva del biorritmo asociada con el estado emocional que dura 28 días. Es decir, es un ciclo de la función seno, vale 0 en 0, en 14 y en 28; vale 1 en 7 y -1 en 21. ¿Cómo hacemos?

Solución: La función seno tiene dominio natural al intervalo [0, 2π].

Una manera de encontrar la función deseada es la que sigue: Consideramos la función lineal f(x) que manda al intervalo [0, 28] en [0, 2π]: ésta es f(x) = 2πx / 28 = πx / 14.

La función deseada es la composición de las funciones seno y f(x): Sen(f(x)) = sen(πx/14), para x en el intervalo [0, 28].

Grafica la función.

4) Usa el ejercicio anterior para graficar la función que representa el ciclo intelectual del biorritmo (33 días).

135

Dibuja los siguientes ángulos; y convierte grados a radianes pero que aparezca π en la respuesta: 5) 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90° 6) 105°, 120°, 135°, 150°, 165°, 180° 7) Beto desayunó 2 radianes de una pizza fría de salami mientras que Luis 2π/3. ¿Quién comió más?

8) ¿Si toda la pisa corresponde a 100%, ¿qué porcentaje comió cada uno? ¿Qué porción del círculo es mayor?

9) ¿la que comprende 183° o la que abarca 3.14 radi anes?

10) ¿La que comprende 4.6 radianes o la que abarca 270°?

11) De manera similar a como se graficó la función seno, obtener la de coseno.

Glosario Amplitud de una función: aplicado a funciones sinusoidales. El valor más grande que pueda conseguir: en el caso a sen x o de a cos x, la amplitud es el valor absoluto de a: | a | Biorritmo: mito que dice que al nacer cada persona, se inician 3 ciclos: intelectual, físico y emocional Período de una función: el menor número positivo p tal que f(x + p) = f(x) (en caso que exista) Radián: ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio (57.29°, aproximadamente) Sinusoidal, curva: curva cuya gráfica es semejante a la del seno

Ligas externas Encuentra tu biorritmo para el día de hoy: http://astrologia.interbusca.com/biorritmos/tu-biorritmo.html

(septiembre 2008)

Ilustraciones * Página 1: diagrama relacionado con el biorritmo: http://www.losarcanos.com/img2/default_450.jpg (febrero 2008). * Mapa de sumeria: http://home.cfl.rr.com/crossland/AncientCivilizations/Middle_East_Civilizations/Sumerians/sumerians.h tml (abril 2008).

136

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 3: Funciones Tema 3.5: Funciones trigonométricas (2) Tangente y cotangente

Esquema instructivo

Tamaño del asta bandera

Funciones trigonométricas (2)

Secante

Tangente

Cosecante

Cotangente

137

Cuando Antonio se encuentra a 120 metros de la base del asta bandera en el zócalo de la Ciudad de México, el ángulo de elevación hasta el extremo superior es 40 grados. Si sus ojos distan del piso 1.70 metros ¿cuánto mide el asta?

Una manera de resolver el problema es usar la función tangente, ya que relaciona los catetos del triángulo con el ángulo: la tangente del ángulo es igual al tamaño del lado opuesto entre el adyacente, o sea en nuestro caso tan 40° = opuesto / adyacente = altura / 120 Usando una calculadora podemos encontrar la tangente de 40° (opción grados) o si no, convertimos a radianes obteniendo 40° = 40 π / 180 = 2 π / 9 radianes Sean grados o radianes, la tangente es aproximadamente 0.839, sustituyendo tenemos que la altura es 120 tan 40° ~ 120 (0.839) = 100.69 metros Le sumamos la altura de los ojos de Antonio para obtener 100.69 + 1.70 = 102.39 metros Gráfica de la función tangente

Veremos cual es la gráfica de la función que describe el crecimiento de la sombra del asta.

138

Al transcurrir la tarde, la sombra crece cada vez más

Y su tamaño crece sin límite al aproximarse a los 90 grados:

139

Tangente Después de estudiar las funciones seno y coseno y sus gráficas, la siguiente por recordar es la tangente. Tomamos un punto P(x, y) en el plano, consideramos la recta que une el origen O con el punto y llamamos t al ángulo que forma el eje X positivo con la recta:

P(x, y)

r

t O

y x y y r sen t Otra manera de escribir tangente es tan t = = = x x r cos t La definición de la tangente del ángulo t es:

tan t =

Notamos que a) Si el ángulo t es 0, entonces la altura es 0 y por tanto también el seno, así que tan 0 = 0 b) Ya que sen π/4 = cos π/4 tenemos tan π/4 = sen π/4 / cos π/4 = 1 c) Si el coseno vale 0, la función tangente no está definida π/2 es el primer número positivo donde coseno es 0. Espiamos la gráfica de coseno:

140

 

y recordamos que vale cero en ...,

− 3π , 2

3π  −π π , , ,... , es decir en los números de la forma 2 2 2 

π/2 + πk donde k es entero positivo o negativo.

Encontramos entonces, que el dominio de la función tangente es el conjunto de todos los números

 

reales excepto ...,

− 3π , 2

3π  −π π , , ,... 2 2 2 

Si desde 0 nos acercamos a π / 2, el numerador del cociente tan = sen / cos se acerca a 1, mientras que el denominador se aproxima a 0:

tan t =

sen t → 1 cos t → 0

el cociente crece sin nada que lo detenga, y es por eso que tangente no está definida en π / 2: no se puede calcular. En este caso decimos que el límite de la función tangente no existe. ¿Y que pasa si a partir de 0 nos acercamos a –π / 2 ?

En vista que la función seno es impar y coseno es par, entonces la tangente resulta impar:

tan (− t ) =

sen (− t ) − sen t = = − tan t cos (− t ) cos t

Por simetría sabemos que si t se mueve de 0 a –π/2 entonces los valores de la tangente se alejan de cero, pero en la dirección contraria: con números negativos.

La información anterior nos ayuda a ver la gráfica de la función en el intervalo abierto (–π/2, π/2). En la segunda imagen dibujamos las rectas x = π/2 y x = –π/2 para hacer notar que encajonan a la gráfica de tangente. Las rectas son asíntotas de la gráfica. (π/2 es aproximadamente 1.57)

No es difícil comprobar que tangente es periódica con período igual a π. (Ver ejercicios).

141

La grafica de la tangente es:

donde se agregaron las rectas verticales sólo como referencia; éstas se encuentran donde la función no está definida: en los puntos x = –5π/2, –3π/2, –π/2, π/2, 3π/2, 5π/2.

La gráfica sin las rectas auxiliares resulta:

142

Cotangente La función cotangente es 1 / tangente así que su gráfica se puede investigar ya sea estudiando 1 / tangente o lo que es lo mismo, coseno / seno.

Está última igualdad se debe a la definición de cotangente:

cot t =

1 1 cos t = = tan t sen t cos t sen t

y nos dice que el dominio de cotangente es el conjunto de los números reales excepto los múltiplos de π ya que ahí el denominador es cero.

Análogamente, la función vale 0 donde coseno lo hace: en π/2 ± kπ La gráfica de cotangente es:

La gráfica de tangente y cotangente en el intervalo (–π/2, π/2):

143

Tangente es la que pasa por el origen. Como tan 0 = 0 entonces cot 0 no está definida.

Análogamente, como tan x se acerca al infinito cuando x tiende a π/2, entonces cot π/2 = 0 Lo mismo para –π/2: cot –π/2 = 0.

Secante Está definida como 1 / coseno.

Coseno es cero en los puntos ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2, así que la secante no está definida en tales puntos. Su dominio son todos los reales, menos los números de la forma π/2 ± kπ Como la función coseno está limitada por -1 y 1, entonces 1/coseno nunca valdrá 0; de hecho su valor absoluto es mayor o igual a 1: | cos t | ≤ 1 implica 1 / | cos t | ≥ 1, es decir la función secante nunca cruza las rectas y = ± 1.

La gráfica de coseno y secante es:

144

donde se agregaron cuatro rectas verticales como referencia: x = –3π/2, –π/2, π/2, 3π/2.

Quitando coseno:

Cosecante Muy similar a la secante, la función cosecante es 1 / seno.

Seno vale 0 en los múltiplos de π, así que cosecante no está definida en tales puntos.

Y ya que seno no sale de la banda y = ±1, entonces la cosecante, como la secante, no cruza la franja y = ±1.

145

Las gráficas de ambas funciones seno y cosecante, junto con las rectas x = –2π, –π, 0, π, 2π:

Quitando seno:

Sabemos que las funciones tangente, cotangente secante y cosecante, todas ellas se pueden escribir en términos de seno y coseno así que las aplicaciones son realmente de estas ultimas dos funciones, aunque puede resultar más práctico no usar seno y coseno sino la trigonométrica más apropiada para la solución del problema.

146

Resumen Función Seno Coseno Tangente = seno / coseno

Dominio Todos los números reales Todos los números reales Todos, excepto π/2 ± kπ

Cotangente = coseno / seno

Todos, excepto kπ

Secante = 1 / coseno

Todos, excepto π/2 ± kπ

Cosecante = 1 / seno

Todos, excepto kπ

Ejercicios

t A= altura

t

s = SOMBRA Empleando la figura anterior, contesta las siguientes cinco preguntas: 1) Usando la función tangente, relaciona s, t y A 2) Usando la función cotangente, relaciona s, t y A 3) Si A = 10 metros, t = 60 grados, ¿Cuánto mide la sombra s?

4) Si s = 100 metros, t = 60 grados, ¿Cuánto mide la altura A del árbol?

5) Si t = 89 grados, A = 10 metros, ¿Cuánto mide la sombra s?

6) Encuentra los valores de las seis funciones trigonométricas para los ángulos s y t:

s 3

t 4 147

6) Encuentra los valores de x, y: 60° 2 y

x

7) Escribe de menor a mayor los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo de 60 grados, del ejercicio anterior.

8) Muestra que la función tangente tiene a π como período. (Ayuda: usa las fórmulas seno y coseno de una suma, o la de tangente de una suma).

9) La altura del triángulo es 500 metros; el ángulo en O mide 50°. ¿Cuánto mide a?

5 0 0

5 0 ° O

a

A

10) La distancia de O a A es 500 unidades; el ángulo en O es 25° y el ángulo en A, 50°. ¿Cuánto miden a y b?

b

5 0 °

2 5 ° O 5 0 0

A

a

148

11) La distancia de O a A es 500 millas; el ángulo en O es 25° y el ángulo en A, 50°. ¿Cuánto miden a y b?

b

5 0 °

2 5 ° O c

A

5 0 0

B

Ligas externas Identidades trigonométricas http://www.edukativos.com/preparatoria/downloads-file-278-details.html (mayo 2008).

Zócalo de la Ciudad de México: http://www.mexicomaxico.org/zocalo/zocalo2.htm (septiembre 2008)

149

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 3: funciones Tema 3.6: Exponencial y logaritmo Escherichia coli

Esquema instructivo

Exponencial y logaritmo

Funciones de tipo exponencial

Escherichia Coli

Potencias de 10

Logaritmo común

La función exponencial

Propiedades de las tipo exponencial

Logaritmo natural

Propiedades

Ley de Malthus

Las potencias de 10 Sabemos que 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100 y 103 = 1000 y mientras mayor sea el exponente, mayor es el número obtenido, así que los valores crecen muy de prisa.

Para enteros negativos tenemos que 10-1 = 0.1, 10-2 = 0.01; pero no es necesario restringirnos a los números enteros sino considerar la función definida como 10x, es decir, potencias de 10 pero para cualquier valor de x, por ejemplo 10-1/3 o 10π . ¿Cómo es la gráfica de 10x?

150

La breve lista de potencias muestra que la función siempre es creciente: x -2 -1 0 1 2 3

10x 0.01 0.1 1 10 100 1000

Intersecta al eje Y cuando x = 0, o sea, la gráfica pasa por el punto (0, 1).

En caso que tocara al eje X sería cuando 10x = 0 pero por muy negativa que sea x, 10x siempre es positiva: podemos ensayar con números negativos por ejemplo x = –100 o x = –1000 y obtenemos 10-100 = 1 / 10100, 10-1000 = 1 / 101000, que son números muy pequeños pero no son cero ni menores que cero.

La función está definida para todos los números reales así que el dominio es este mismo conjunto y la imagen son los números positivos, sin el cero: 10x: (-∞, ∞) → (0, ∞).

Bosquejamos la gráfica de 10x:

La función 10x Sorprende lo horizontal que es la función para x < 0 y lo vertical para x > 0.

Sea como fuere es un ejemplo de una función tipo exponencial y la definición formal es como sigue 151

Sea a un número mayor que 0 y distinto de 1.

La función f(x) = ax se llama función de tipo exponencial El número a es fijo y se le llama Base; lo que varía es el exponente x.

Decimos de tipo exponencial para no confundir con la función exponencial que definiremos renglones abajo.

Excluimos a negativa porque tendríamos raíces cuadradas de números negativos y eso no está permitido, como se mencionó en el módulo inicial de funciones. El caso a = 1 no es muy interesante pues cualquier potencia de 1 es 1 mismo.

Ejemplos de funciones de tipo exponencial a) escherichia coli Si tienen espacio y comida suficiente, muchas bacterias crecen a velocidad asombrosa. Una de ellas es la Escherichia coli, que es un organismo que generalmente vive en los intestinos de los animales, incluyendo el humano y duplica la población cada hora, es decir, si en la hora cero hay una bacteria, una hora después hay 2, dos horas más adelante 4 y así sucesivamente. Es la función 2x y su gráfica es muy parecida a la de 10x

Gráficas de 10x y de 2x. 10x crece más aprisa

152

x

1 1 Si 0 < a < 1 entonces la función es decreciente. Por ejemplo, consideramos   = x y obtenemos 2 2 el recíproco de la función 2x. Al crecer x, 2x crece mucho pero entonces 1 / 2x se hace muy pequeño:

Gráfica de

1 (decrece) y 2x (crece) 2x

b) la ley de Malthus Thomas Malthus (1766-1834; ver Ligas externas) fue un economista inglés conocido por el siguiente argumento: Si la tasa de natalidad es constante, la población crecerá de manera exponencial La llamada ley de Malthus asegura que en vista que la población mundial crece exponencialmente y que el crecimiento de los alimentos es lineal, entonces, para mediados del siglo XIX, no habría suficiente comida para que alcanzara a todos los habitantes de la Tierra.

Afortunadamente Malthus no fue 100% correcto y aún no se acaba la comida, pero lo interesante por notar es que sin importar qué tan grande sea la pendiente de la recta, la exponencial tarde o temprano siempre alcanzará y sobrepasará a la función lineal:

153

Lineal contra exponencial

Propiedades de las funciones de tipo exponencial Al igual que los exponentes de números enteros, las principales propiedades de las funciones son las siguientes: Sea a > 0 y a ≠ 1, x, y números reales, entonces: ax + y = ax a y (ax ) y = ax ⋅ y El dominio de ax es el intervalo (∞, ∞) La imagen de ax es el intervalo (0, ∞ ) Si a > 1, ax es reciente Si a < 1, ax es decreciente Las curvas intersectan al eje Y en (0, 1)

El Logaritmo común o base 10 Volviendo a las potencias de 10, éstas crecen mucho: empezando por 1, 10, 100, 1000 etcétera. Ese crecimiento deja muchos espacios, grandes huecos entre una potencia y otra, así que una pregunta natural es ¿Qué potencia de 10 vale 500?

500 por decir algún número; la pregunta es ¿Cómo es x para que 10x = 500?

154

Se busca x tal que 10x = 500 500 está encerrado entre 102 y 103: 102 < 500 < 103 Sabemos que los exponentes de 10 son 2 y 3 así que si existiera algún exponente x tal que 10x = 500, entonces estará entre 2 y 3.

Tratamos de buscar la x, ensayando primero con 2.5 ¿Cuánto es 102.5?

10 2.5 = 10 2

+ 0.5

= 10 2 ⋅ 10 0.5 = 10 2 ⋅ 10 = 100 ⋅ 3.16 = 316

aproximadamente, tomando sólo dos décimas en el desarrollo de la raíz de 10.

500 así que nos quedamos bastante cortos.

316 está lejos de

Experimentamos ahora con el exponente 2.75:

10 2.75 = 10 2

+ 0.75

= 10 2 ⋅ 10 0.75 = 10 2 ⋅ 10

3

4

= 100 ⋅ 4 10 3 = 100 ⋅ 5.62 = 562

Ahora nos pasamos. ¿No habrá una manera sencilla de averiguar cuál es el exponente x tal que 10x = 500?

La respuesta es sí. A ese número se le llama el logaritmo de 500, base 10 (también conocido como logaritmo común) y se denota por log10(500).

Buscando en unas tablas adecuadas o una calculadora científica, escribimos 500 y luego apretamos la tecla Log y obtenemos 2.69897 (escribimos sólo cinco decimales, así que nuestros resultados no son exactos pero si son una buena aproximación).

155

Así que si elevamos 10 a la 2.69897 obtenemos el número 500.

Conclusión: el logaritmo de 500 base 10, es el exponente al que hay que elevar 10 para obtener 500; se denota por log10(500).

En general, el logaritmo de z, base 10, es el exponente al que hay que elevar 10 para obtener z. Si llamamos x al exponente, entonces x = log10(z) sí y sólo si 10x = z La función log10 crece siempre pero muy lentamente. ¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener 1?

Es decir 10? = 1 El único número con tal propiedad es 0, así que log10(1) = 0.

Análogamente, para obtener 10, hay que elevar 10 a la potencia 1.

Para obtener 100 hay que elevar 10 a la potencia 2, y así sucesivamente.

Notamos que la gráfica de la función log10 siempre crece pero lo hace muy lentamente: en 10 vale 1, en 100 la altura es apenas 2. Mientras nos alejamos del origen, la pendiente de la curva se acerca a 0.

Gráfica de log10 en el intervalo (0, 10)

156

Gráfica de log10 en el intervalo (0, 100). Crece muy lentamente Si recordamos nuestra pregunta original, empezamos con x y la función 10x la llevó a 500:

10 x

x

500

log 10 Pero luego la función log10 manda 500 a x, es decir x → 10x = 500 → log10(500) = x empezamos con x y terminamos con x.

Análogamente pero si empezamos ahora con 500, tomamos el logaritmo y después la exponencial obtenemos 10log(500) = 10x = 500. Ahora empezamos con 500 y terminamos con 500. Lo que nos dicen las dos igualdades es que la composición de ambas funciones nos proporciona la identidad, es decir log10 y 10x son funciones inversas.

157

Logaritmo base a Dado un número a > 0 y distinto de 1, se define el logaritmo de x base a, como el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x, es decir, y = log a (x)

si y sólo si

ay = x

Ejemplo 1) ¿A qué exponente x hay que elevar 5 para obtener 125?

Es decir ¿Qué x cumple con 5x = 125?

Ya que 53 = 125 entonces 3 = log 5 (125).

Es conveniente pensar al logaritmo como un exponente.

Ejemplo 2) ¿Cuál es el logaritmo base 2 de 64?

Es lo mismo que preguntar ¿A qué potencia hay que elevar 2 para obtener 64?

Ya que 2 6 = 64 entonces log 2 (64) = 6.

La función exponencial Cualquier función de la forma f(x) = ax es de tipo exponencial pero el nombre la función exponencial está reservado para y = exp(x) = ex donde e es un número entre 2 y 3 que estudiaremos más adelante. Por ahora nos conformamos con mostrar su gráfica, muy parecida a todas las exponenciales ax, para a mayor que 1:

La función exponencial y = ex 158

El número e1 es, aproximadamente 2.7182818 y es un número irracional (con desarrollo decimal infinito y no periódico, por supuesto); en la gráfica aparece el punto con coordenadas (1, e) = (1, exp(1)). Estudiaremos la función exponencial con más detenimiento cuando veamos límites de funciones.

Aunque renglones arriba escribimos las propiedades de las exponenciales, las recordamos para nuestra exponencial particular: e: (∞, ∞) → (0, ∞ ) Definida para todos los números y sólo toma valores positivos: ex > 0 ex + y = ex e y ex - y = ex / e y

(ex ) y = exy e0 = 1

Notación: a veces se escribe exp(x); por ejemplo en la hoja de cálculo Excel es =EXP( ) Dentro del paréntesis se coloca el número o la celda donde se quiere calcular la función.

El logaritmo natural La función exponencial tiene su inversa: es otro logaritmo pero éste es llamado el logaritmo natural (o neperiano) y se denota por LN, con minúscula; en este caso el logaritmo base e es el logaritmo natural: loge = ln.

Ln y exp son funciones inversas, es decir

159

exp(ln x ) = x,

ln(exp(y)) = y

Las propiedades del logaritmo natural son las siguientes: ln: (0, ∞ ) → (∞, ∞) Es decir, el logaritmo sólo está definido para números positivos. ln(xy) = y ln(x) ln(1) = 0

ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln(x / y) = ln(x) – ln(y) ln(e) = 1

Esta última es cierta ya que como exp(1) = e, entonces ln(e) = 1, por ser inversas:

exp

1

e

ln El tercer mandamiento de las Matemáticas dice: No buscarás logaritmos de números menores o iguales a cero La función logaritmo simplemente no está definida ni en 0 ni en números menores que 0. En la sección de límites de funciones estudiaremos esta situación.

Terminamos la sección con la relación entre logaritmos con distintas bases: a) Relación entre logaritmo base a y logaritmo natural (base e):

log a(x) =

ln(x) ln(a)

b) En el caso particular a = e obtenemos:

log e(x) =

ln(x) ln(x) = = ln(x) ln(e) 1

160

c) Por último, la relación entre logaritmos con distintas bases, o la fórmula para cambiar de una a otra

log a(x) =

base:

log b(x) log b(a)

Ejemplo 3) ¿Qué relación hay entre log2 y log4 ?

La última fórmula dice que log 4(x) =

log 2(x) log 2(4)

Pero log2 (4) es el exponente al que hay que elevar 2 para obtener 4, así que log2 (4) = 2 Concluimos que log 4(x) =

log 2(x) log 2(x) = log 2(4) 2

Ejemplo 4) Una aplicación bonita y que puede ser muy útil es la siguiente: Supongamos que nuestra calculadora no tiene la opción x^y, que sirve para obtener la potencia xy, pero si tiene la funciones exponencial y el logaritmo natural. ¿Cómo obtenemos 329 sin tener que multiplicar 3 o potencias de 3, repetidas veces?

Como la exponencial y el logaritmo son inversas una de la otra entonces sabemos que ab = exp(ln(ab )) = exp(b⋅ln a) para nuestro caso 329 = exp(29⋅ ln 3) Este último término lo podemos encontrar: 68,630,377,364,883 (Algunas calculadoras aportan sólo una de las dos funciones exponencial o logaritmo, sin embargo aparece opción INV que quiere decir función inversa)

Ejercicios Completa las siguientes tablas 1)

x log(x)

1/100

1/10

1

10

100

1000

10000

2)

x log2(x)

1/8

¼

½

1

2

4

8

1/16

¼

1

2

4

8

16

3)

x log4(x)

En los siguientes ejercicios, despeja la incógnita y déjala expresada como logaritmo de alguna base apropiada. De ser posible, busca también la respuesta numérica.

161

4) 2x = 6 6) 10x = 6 8) 4x = 3x+2 10) 2x = 4x+2

5) 4x = 6 7) ex = 6 9) 4x = ex+2

Escribe las siguientes ecuaciones usando exponentes 11) log4 64 = 3 12) log9 1/3 = -1/2

162

Glosario Exponencial, función: exp(x) = ex Tipo Exponencial, función: si a es un número real mayor que 1, ax se llama función exponencial Logaritmo común (ó base 10): es el exponente al que hay que elevar 10 para obtener el número: ejemplo log10(500) ~ 2.69897, ya que , 10 log500 = 10 2.69897 = 500 Logaritmo natural (ó neperiano): es la función ln, inversa de la exponencial

Ligas externas * Sobre el logaritmo natural: http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural#Historia (abril 2008). * Malthus y su trabajo: http://html.rincondelvago.com/malthus.html

(mayo 2008)

* Biografía de Malthus: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/malthus.htm (mayo 2008)

Ilustraciones Página 1: foto de Escherichia Coli http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:EscherichiaColi_NIAID.jpg

163

Matemáticas IV

Objetivo 4: Límites y continuidad Tema 4. 1: Límite de funciones (1)

Esquema instructivo

Definición de límite

lím f(x) = L x

a

Dos casos importantes

Límites laterales

Caso 1

Caso 2

a finito, L finito

a finito, L infinito

En esta sección se analizará el concepto de límite de una función, primero intuitivamente y después de manera un poco más rigurosa. Aún cuando la definición de límite se puede considerar una sola, en la práctica hay que tener en cuenta que los números involucrados pueden ser infinitos.

¿Qué es un límite?

Para tratar de explicarlo usaremos un ejemplo:

Ejemplo 1) La función f ( x )

=

x2 − 1 no está definida en x = 1 x −1

{Si calculamos f(1) obtenemos 0 / 0 y tenemos prohibido dividir entre cero} 164

De acuerdo, no se vale hablar de f(1) pero nada nos impide averiguar qué es lo que pasa cerca de 1.

Si evaluamos f(x) en 0.9:

f (0.9) =

0.81 − 1 = 0.9 − 1

− 0.19 − 0.1

= 1.9

sucede que f(0.9) = 1.9. Y no tiene nada de malo.

Si tomamos números menores que 1 pero muy cerca de 1 obtenemos: x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999

f(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999

No sucede nada extraño, solamente notamos que mientras más cerca de 1 estemos, más cerca de 2 está f(x). ¿Y si tomamos ahora números mayores que 1? Veamos: x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001

f(x) 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001

Sucedió lo mismo; mientras más cerca estamos de 1, f(x) se acerca cada vez más a 2.

Resumiendo: “Mientras más cerca esté x de 1, más lo está f(x) de 2”.

Es cuando nos parece razonable decir: El límite de f(x) cuando x tiende a 1, es el número 2.

En este caso se dice que la función converge a 2.

Si nos fijamos en la función y recordamos los productos notables nos damos cuenta que el numerador se puede escribir de otra manera:

x2 − 1 x −1

=

(x + 1)(x − 1) x −1 165

y sabemos que si x es distinto de 1 entonces podemos cancelar el término (x – 1) del numerador y denominador para obtener simplemente, x + 1. Y por supuesto x + 1 sí está definida en x = 1 y ahí vale 2.

Después de la observación, podemos afirmar ya sin temor: “el límite de f(x) cuando x tiende a 1, es 2” y la notación es:

lím

x→ 1

f(x) = lím

x→ 1

x2 − 1 = 2 x −1

Nota- Es importante mencionar que las funciones f(x) =

x2 − 1 x −1

y la recta g ( x )

=

x +1

no son iguales, simplemente porque su dominio es distinto: el de la función f son todos los números reales excepto el 1, mientras que el dominio de g son todos los números reales.

Podemos dibujar f(x) pero con un agujerito en el punto correspondiente a (1, 2) ya que ahí no está definida la función:

f(x) no pasa por el punto (1, 2) ya que no está definida en 1

166

La recta g(x) = x + 1 está definida en todos los números reales, incluyendo x = 1:

g(x) = x + 1 está definida en todos los puntos

Definición de límite Consideremos la siguiente expresión:

lím f (x) = L

x →a

¿Que son f, x, a y L? f(x) es una función, con variable el número x; tanto x como a y L son números reales, aunque los dos últimos pueden ser infinitos. ¿Cómo se lee?

“El límite de f de x cuando x tiende a a es igual a L”

¿Qué representa x → a ? significa que x se acerca al número a, y se lee: “x tiende a a “ ¿Y qué quiere decir que el límite de f(x) sea a cuando x tiende L?

167

Quiere decir que siempre que tomemos números x cercanos de a y evaluemos la función en ellos, entonces los valores f(x) estarán cerca del número L ¿Por qué no se evalúa f(a)?

La verdad no nos interesa el valor de la función en a sino cerca de a.

x2 −1 En el ejemplo anterior: f ( x ) = simplemente no está permitido evaluar f en 1, sin embargo x −1 concluimos diciendo que

x2 −1 lím = 2 x → 1 x −1 Límites laterales Podemos acercarnos al número a por dos direcciones, la izquierda y la derecha: Ejemplo 2) La función

 x + 1 si f (x ) =  2 − x si

x <1 x >1

No está definida en x = 1. Pero eso no importa. Lo que interesa es encontrar los límites por la izquierda y derecha. Éstos se llaman límites laterales y se denotan de la manera siguiente:

lím f ( x )

x → 1−

La expresión anterior representa el límite por la izquierda; el pequeño exponente con signo menos (1– ) indica que nos acercamos a 1 por la izquierda y, análogamente

lím f ( x)

x → 1+

(1+) indica que nos acercamos a 1 por la derecha. En este caso los límites laterales existen pero son distintos:

lím f ( x) = 2

x → 1−

y

lím f ( x) = 1

x → 1+

y en situaciones como ésta decimos que el límite de la función no existe y la razón es que obtenemos distintos valores según nos acercamos por la izquierda o la derecha.

Para que un límite exista, los límites laterales deben existir y ser iguales.

168

La gráfica de f(x) es:

Si los límites laterales son distintos, el límite no existe

¿Cuándo existe el límite?

Supongamos que f(x) es una función definida en un intervalo de los números reales excepto tal vez en el número a.

Para que el límite de f(x) cuando x tiende al número a exista, son necesarias dos cosas: 1) Los límites laterales

lím

x → a−

f ( x)

y

lím

x → a+

2) Los límites laterales deben ser iguales:

lím

f ( x) deben existir

x → a−

f ( x) =

lím

x → a+

f ( x)

Cuatro casos importantes Volviendo al concepto de Límite estudiaremos y veremos ejemplos en 4 situaciones relacionadas con los números a y L; en tres de ellas a o L pueden ser infinitos: Caso 1 2

a a

3

∞

L ∞ L

4

∞

∞

169

(Los casos 3 a 4 se estudiarán en 4_2) Caso 1) Ambos a y L son finitos Ejemplo 3) ¿Cuál es el límite de r(x) = 1 – 3x , cuando x tiende a 1? r(x) es una recta y está definida para todo número real. Es claro que si x está cerca de 1, entonces r(x) está cerca de –2. En este caso como la función sí está definida en y cerca de 1, el límite de r(x) es simplemente r(1) = 1 – 3 = –2. La gráfica es como sigue:

y la conclusión es lím (1 − 3x ) = (1 − 3 ⋅ 1) = 1 − 3 = −2 x → 1

Ejemplo 4) ¿Cuál es el límite de

x2 −1 lím x →1 x

?

Notamos que la función no está definida en 0, sin embargo 0 no nos interesa pues la pregunta es el límite EN el valor 1. La función en 1 vale 0 así que el límite es 0:

lím

x → 1

x2 − 1 12 − 1 0 = = = 0 x 1 1

Ejemplo 5) ¿Cuál es el límite cuando x tiende a 10 de la función constante y = 5?

La función siempre vale 5, en 10, cerca de 10 y en cualquier otro punto. Así que el límite es el número 5:

170

lím 5 = 5

x → 10

Ejemplo 6) ¿Cuál es el límite cuando x tiende a π/4 de la función tan(x)? La tangente está definida en π/4 y no importa si nos aproximamos por la derecha o la izquierda:

lím tan( x) = 1

x→ π / 4

171

Ejemplo 7) Consideremos la siguiente función definida en secciones:

 2  4  f ( x) = − x 2 + 4  1   x − 2

si x < −1 si x = −1 si − 1 < x < 2 si x=2 si x>2

Su gráfica es la siguiente:

Notamos que hay dos puntos que considerar con cuidado Primer punto: x = – 1. La función está definida ahí: f(–1) = 4, Analizamos los límites laterales en x = –1: Por la izquierda: Por la derecha:

lím

f ( x) = 2

lím

f ( x) = 3

x → −1− x → −1+

Los límites laterales no coinciden, así que el límite de la función no existe para x = –1.

Segundo punto: x = 2. La función está definida: f(2) = 1.

Al analizar los límites laterales observamos que

lím

x → 2−

f ( x) = −2 2 + 4 = 0

172

y por la derecha:

lím

x → 2+

f ( x) = 2 − 2 = 0

como existen los límites laterales de la función en x = 2 y además son iguales, entonces concluimos con la afirmación:

lím f ( x) = 0 .

x → 2

Observa que no importa el valor real de la función en x = 2; el límite es independiente del valor de la función en ese punto.

En particular notamos que

lím f ( x ) ≠ f  lím x  . x → 2 

x → 2

El de la izquierda es 0, el de la derecha 1.

Caso 2) a es finito, L es infinito ¿Qué quiere decir

lím

x → a

f (x) = ∞

?

Nos imaginamos que mientras estamos más cerca del número a, los valores de la función crecen mucho. O sea, la gráfica de f(x) se aleja del eje X:

f(x) tiende a ∞ cuando x → a Se dice que f(x) tiende a infinito y la recta x = a es asíntota vertical de la función.

Nota: algunos autores: 1) Usan la expresión diverge a infinito, en lugar de tiende a infinito 2) Dicen que el límite no existe, ya que infinito no es un número real.

173

1 0 x

lím

Ejemplo 8) ¿Cuál es x→

?

Ninguno de los límites laterales existe. Comprobamos tomando puntos cercanos a cero, primero negativos, luego positivos: x<0 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001

1 / x: -10 -100 -1,000 -10,000 -100,000

Y la gráfica confirma los resultados: lím − x→ 0

x>0 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001

1 x

y

lím

x→ 0+

1 no existen, y por tanto, tampoco existe el x

límite de 1/x cuando x tiende a 0.

Lím( 1/x) no existe cuando x → 0

174

1 / x: 10 100 1,000 10,000 100,000

lím

Ejemplo 9) ¿Cuál es x →

1 2 ( x 2 − 4) 2

?

Si x está cerca de 2 entonces x2 está cerca de 4, que a su vez implica que x2 – 4 está cerca de 0.

Al elevar al cuadrado, el número se hace más pequeño: (x2 – 4)2 está aún más cerca de 0.

Ensayamos algunos números cerca de 2, pero menores que 2:

1

1 ( x − 4) 2 0.111..

1.9

6.57

1.99

628

1.999

62,531

x

2

1.9999 6,652,312

Así que el límite de la función

(x

1 2

−4

)

2

cuando x tiende a 2 por la izquierda, diverge a infinito.

El lector pruebe comprobar que lo mismo sucede si nos acercamos a 2 por la derecha. La gráfica es como sigue:

Gráfica de y =

(x

1 2

−4

175

)

2

cerca de x = 2

Ejercicios Encuentra los siguientes límites 1)

3)

lím 5 − 2 x

2)

x→ −2

lím x 2 + x − 1

lím 3 − x

x → −3

3 1 x +1

lím

4) x →

x→ 0

x2 + 1 lím 2 5) x → −2 x + 4

3 −1 1 − x

lím

6) x →

Calcula los límites laterales lím − f ( x) y lím + f ( x) y determina si lím f ( x ) existe x→ 3

4x − 11 si 2  x − 8 si

7) f ( x ) = 

x≤3 x>3

x→ 3

x→ 3

11 − 4x si 2  x − 8 si

8) f ( x ) = 

x<3 x≥3

Calcula los límites laterales lím − g (x ) y lím + g (x ) y determina si lím g (x ) existe x→ π

 x − π si sen( x) si

9) g ( x ) = 

x<π x≥π

x→ π

x→ π

cos( x) si  π − x si

10) g ( x ) = 

x ≤π x >π

Para la función h(x) cuya gráfica se da a continuación, identifica cada límite o establece que no existe:

176

11) lím − h( x ) , x→ 0

lím h( x) , lím h( x)

x → 0+

12) lím − h( x) , x→ 1

13) lím − h( x ) , x→ 2

x→ 0

lím h( x) , lím h( x)

x → 1+

x→ 1

lím h( x) , lím h( x)

x→ 2+

x→ 2

Para la función g(x) cuya gráfica se da a continuación, identifica cada límite o establece que no existe:

− x + 1  4  g ( x) =  x 2  1  − x + 3

14)

lím g ( x) ,

x → −1−

15) lím − g ( x) , x→ 2

si

x < −1

si

x = −1

si − 1 < x < 2 si

x=2

si

x>2

lím g ( x) , lím g ( x)

x → −1+

x → −1

lím g ( x) , lím g ( x)

x→ 2+

x→ 2

Encuentra los siguientes límites: 16)

lím tan( x) y

x→ π 2−

lím tan( x) . ¿Existe lím tan( x) ?

x→ π 2+

x→ π 2

177

17)

lím tan( x) y

x → π 2−

18) lím x→

1

lím tan( x) . ¿Existe lím tan( x) ? x→ π 2

x → π 2+

3 1− x

Glosario

Convergencia: la función f(x) converge a L si

lím f ( x) = L

x → a

Diverge: que no converge El límite de f(x) cuando x tiende a a es L si para puntos x cercanos a a, sucede que los valores f(x) están cerca de L, es decir, son muy parecidos a L. De manera equivalente, se dice que f(x) converge aL

Ligas externas

* Ejercicios resueltos de límites, Universidad Michoacana: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercicios_de_limites.htm (mayo 2008). * Ejercicios y problemas resueltos de límites de funciones http://www.vitutor.com/fun/3/a_a.html (mayo 2008).

Ilustraciones

Vía de tren en la primera página: http://www.flickr.com/photos/27205670@N00/309925610/ (marzo 2008).

178

Matemáticas IV

Objetivo 4: Límites y continuidad Tema 4. 2: Límite de funciones (2)

Esquema instructivo

Límite al infinito

Propiedades de los límites

Propiedad del emparedado

Si existe el límite, es único Límites de potencias y raíces

Límites de polinomios y funciones racionales

Límite de +,-,x,: igual a +,-,x,: de los límites

Una vez vistos los dos casos donde el número a es finito, nos faltan los límites al infinito, es decir, cuando a = ∞, y terminamos la sección con las propiedades más importantes de los límites.

Caso 3) a es infinito, L es finito ¿Qué quiere decir

lím f (x) = L ?

x →∞

Que al tomar números x muy grandes entonces los valores f(x) se concentran alrededor del número L. Esto último en términos de gráficas significa que la curva f(x) se acerca a la recta y = L:

179

La recta horizontal es y = L; lím f(x) = L si x → ∞

Ejemplo 1) ¿Cuánto es x

lím →

∞

1 ? x

La función 1/x no está definida en 0 pero no nos interesa por ahora ya que la pregunta es acerca del infinito. Si x es un numero “grande”, digamos 106 entonces h(106) es muy pequeño: h(106) = 1 / 106 = 10-6 = 0.000001.

Es bastante razonable pensar que el límite es 0. Así es. Y la recta y = 0 es una asíntota horizontal de la función 1 / x.

Ejemplo 2) ¿Cuál es

lím sen(x)

x → ∞

?

La función seno oscila entre menos 1 y 1 y parece no acumularse cerca de ningún número. Es fácil ver que el límite no es 1: Consideramos los números de la forma nπ a) si el entero ene es muy grande, también lo es nπ (es  veces más grande) b) sen(nπ) = 0 para toda n Así que la función no tiene por límite al 1.

Análogamente, el límite no puede ser 0 ya que en los número de la forma nπ / 2 la función vale 1.

Usando argumentos similares puede probarse que la función seno no se acumula en ningún punto.

Concluimos que el

lím sen(x)

x → ∞

no existe.

180

La función sen(x) no tiene límite cuando x tiende a infinito

Ejemplo 3) ¿Existe el siguiente límite?

3x ∞ x2

lím

x→

3x 3 = , ahora, sabemos que 1/x x2 x 3x converge a 0 cuando x tiende a infinito, así que lo mismo sucede con 3/x. Por tanto lím 2 = 0 x→ ∞ x Como estamos lejos de 0, podemos dividir entre x y obtener

Caso 4) Ambos a y L son infinitos ¿Qué quiere decir

lím

x → ∞

f (x ) = ∞

?

Si tomamos números x alejados del origen entonces los valores de la función estarán también lejos del origen: la gráfica tiende al infinito. Tal vez el ejemplo más simple de esta situación es la diagonal: f(x) = x

Ejemplo 4) ¿Cuál es

lím x

x → ∞

?

La velocidad con que se alejan los valores de la función es la misma con la que x se aleja del origen.

La gráfica de la función es:

181

Propiedades de los límites Algunas de las siguientes propiedades ya se esperaba que fueran ciertas, por los ejemplos anteriores o por nuestro sentido común.

Si el límite existe, entonces es único La primera propiedad de un límite es que si éste existe, no hay más; es el único: Si lím f (x ) existe, entonces es el único x → a

Ejemplo 5) La siguiente función escalón no tiene límite cuando x tiende a 0:

− 1 si E ( x) =   1 si

x<0 x>0

Se observa que en 0 no está definida y es fácil ver que los límites laterales existen pero son distintos, así que

lím E(x) no existe. En la gráfica se aprecia mejor:

x → 0

182

No existe el límite en 0 ¿Qué pasa en cero? Nada. Ahí la función no está definida. Y, ¿cerca de cero? En este caso depende.

Si estamos a la izquierda de 0, la función vale y el límite es -1, pero es +1 en caso contrario.

Ejemplo 6) En 0 podemos definir la función como queramos, por ejemplo E(0) = ½:

 − 1 si  E(x) = 1/2 si  1 si 

183

x<0 x=0 x>0

E(0) = ½, pero el límite en 0 no existe No importa el valor en 0, la situación no varía, si nos acercamos por la izquierda el límite es por la derecha +1. Por tanto, en 0 no existe el límite.

– 1, y

Operaciones con límites Si el límite de una función existe, es un número real. Y como tal, cumplen con las operaciones propias de los números. Así que supondremos que tenemos dos funciones con la propiedad de que el límite de ambas existe cuando nos aproximamos al número a; recuerda que no importa si f(a) está definido o no; lo que importa es cerca del punto a. Sean f y g definidas cerca del número a y que cumplen con:

lím f ( x) =

x → a

L

lím g ( x) = M

x → a

Entonces El límite de la suma es la suma de los límites:

lím [f(x) + g(x)]

x → a

=

L+M

=

L−M

=

lím f(x) + lím g(x)

x → a

x → a

El límite de la resta es la resta de los límites:

lím [f(x) − g(x)]

x → a

=

184

lím f(x) − lím g(x)

x → a

x → a

El límite del producto es el producto de los límites:

lím [f(x) ⋅ g(x)]

=

x → a

L⋅M

=

lím f(x) ⋅ lím g(x)

x → a

x → a

En particular, si f(x) es constante igual al número C, se tiene:

lím [C ⋅ g(x)]

= C ⋅M

x → a

= C ⋅ lím g(x) x → a

Si M es distinto de cero, entonces el límite del cociente es el cociente de los límites:

f(x) lím x → a g(x)

=

L M

=

lím f(x)

x → a

lím g(x)

x → a

Y también, como caso particular, si f(x) constante igual a 1, tenemos:

lím

x → a

1 g ( x)

=

1 M

=

1 lím g ( x)

x → a

Límites de potencias y raíces Si n es un número mayor que cero entonces

lím [ f ( x)]

n

x → a

=  lím f ( x)  x → a 

= Ln

n

Análogamente con raíces, si n es entero positivo:

lím

x → a

n

f ( x)

=

n

L

=

n

lím f ( x)

x → a

lím − 9 − x 2 ?

Ejemplo 7) ¿Existe

x→ 3 2

Si x < 3 entonces x < 9, por tanto 9 – x2 > 0, y aplicando los resultados anteriores, tenemos que 2

lím

x → 3−

2 9 − x = 9 −  lím − x  = 9 − (3) = 9 − 9 = 0  x→ 3  2

Note que lím + 9 − x 2 no existe (Segundo mandamiento de las matemáticas) x→ 3

185

Límite de polinomios y funciones racionales ¿Cuál es el límite de x cuando x tiende a a? Hablamos de la función diagonal, la función idéntica: f(x) = x. No hay otro más que a. No puede ir a ningún lado. Si x está cerca de a, en este caso f(x) = x también lo está pues son iguales.

lím x = a

x → a

La propiedad del límite de los exponentes nos asegura entonces que x

lím x k → a

= a

k

para cualquier entero k ≥ 0

y si multiplicamos por la constante bk tenemos que

bk a k

= bk lím x k

=

x → a

lím bk a k

x → a

Por último, la suma de los límites es el límite de la suma, así que juntando los hechos anteriores concluimos que si tenemos un polinomio P(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 +… + bnxn , y si x tiende a a entonces: lím P(x) = lím( b0 + b1x1 + b2x2 + . . . + bnxn )

Límite de la suma

= lím b0 + lím b1x1 + lím b2x2 + . . . + lím bnxn

= suma de los límites

1

2

= lím b0 + b1lím x + b2lím x + . . . + bnlím x

n

Límite de constate veces función = constante veces límite de la función

186

Límite de xk cuando x tiende a a = ak

= b0 + b1a1 + b2 a2 + . . . + bnan = P(a)

Brevemente, si P(x) es un polinomio, entonces basta sustituir el número a:

lím P ( x ) = P(a)

x → a

Ejemplo 8 )

(

)

lím P(x) = lím − 3x 3 + 2x 2 − x + 1

x→ −2

x→ − 2

Por ser P un polinomio, basta evaluar la función en -2: P(-2) = 24 + 8 + 2 + 1 = 35

Recordamos que una función racional es el cociente de dos polinomios: P(x)/Q(x). Si el número a no

P( x) P( x) xlím → a es raíz del denominador Q(x), entonces lím = x→ a Q ( x ) lím Q( x) x→ a

( )

lím

x→

( )

x 3 − 3 x 2 + 5 (2) + (− 3) 2 2 + 5 8 − 12 + 5 1 = = = 2 2x2 −1 2 2 2 + (− 1) 8 −1 7 3

Ejemplo 9 )

Propiedad del emparedado (o del sandwich ) El nombre le viene porque si tenemos dos funciones que atrapan a otra en medio, es decir, si la “emparedan” y los límites de las funciones externas son el mismo, entonces no le queda más remedio a la del centro que tener el mismo límite; es decir: Si

f ( x) ≤ h ( x ) ≤ g ( x) y además

lím f ( x ) =

x → a

lím g ( x ) = L ,

x → a

entonces

lím h( x) = L

x → a

En la figura a continuación, donde se juntan las tres gráficas es el punto con coordenadas (a, L):

187

g(x)

h(x)

f(x)

Notas 1) Son distintas las afirmaciones a) El límite de f(x) no existe b) La función f(x) tiende a infinito Si b, entonces a, es decir, si la función tiende a ∞, entonces el límite no existe. No se vale decir que la función “Converge a ∞” ya que ∞ no es un número.

Sin embargo, se puede tener a y no b: Si f(x) = sen(x) cuando x tiende a ∞ entonces el límite no existe (o sea el inciso a se cumple) pero la función NO tiende a ∞, ya que la función siempre se encuentra acotada por las rectas y = ±1 2) Asíntota de f(x) cuando x tiende a a: Es una línea recta (o una curva) a la que se aproxima arbitrariamente la gráfica de f(x).

Ejemplo: x = 0 es una asíntota vertical de la función 1/x: si x → 0, 1/x → ∞ Y = 0 es una asíntota horizontal de la función 1 / x: si x → ∞ entonces 1/x → 0 La recta y = x es asíntota de la función f(x) = x + 1 / x si x → ∞ La curva y = x2 es asíntota de la función f(x) = x2 + 1 / x si x → ∞ Para algunos autores, y por la etimología de la palabra asíntota, la gráfica de la función no debe tocar a la asíntota, solamente acercarse arbitrariamente, sin embargo otra definición puede ser que la distancia entre curva y asíntota tienda a 0. El autor prefiere esta última definición, por ejemplo, la recta y = 0 SI es asíntota de sen(x)/x cuando x →∞:

188

y = sen(x) / x para x grande

Ejercicios Encuentra los siguientes límites Sean

f (x ) =

x2 − 1 y g ( x ) = x 2 + 8 . Calcula los siguientes límites: x −1

1) lím ( f ( x) + g ( x) )

2) lím ( f ( x ) − g ( x ) )

3) lím ( g ( x) − f ( x ) )

4) lím ( f ( x ) ⋅ g ( x ) )

5) lím ( f ( x ) / g ( x ) )

6) lím ( g ( x) / f ( x ) )

x→ 1

x→ 1

x→ 1

x→ 1

7) lím ( f (x ) )

2

x→ 1

x→ 1

(

x→ 1

8) lím f 2 ( x) x→ 1

)

 g ( x)  9) lím   x→ 1 2 − f ( x)   

 f ( x)  10) lím   x→ 1 2 − g ( x)   

11) lím ( f ( g ( x )) )

12) lím ( g ( f ( x )) )

13) lím ( f ( f ( x)) )

14) lím ( g ( g ( x )))

x→ 1

x→ 1

x→ 1

x→ 1

189

Los ejercicios 11 a 14 representan composición de funciones, por ejemplo, en el 11:

f ( g ( x) ) =

g ( x) 2 − 1 x2 + 8 −1 = = g ( x) − 1 x2 + 8 −1

15) ¿Cómo definirías el concepto

x2 + 7 x2 + 8 − 1 lím

x → −∞

f ( x ) = L ? Proporciona dos ejemplos

16) ¿Cómo definirías el concepto lím f ( x) = −∞ ? Proporciona dos ejemplos x → a

17) ¿Cómo definirías el concepto

lím

x → −∞

f ( x) = −∞ ? Proporciona dos ejemplos

Glosario

Asíntota de f(x) cuando x tiende a a: Es una línea recta (o una curva) tal que la distancia entre ella y la gráfica de f(x) tiende a 0.

Convergencia: la función f(x) converge a L si

lím f ( x ) = L

x → a

Diverge: que no converge

lím f ( x) = L : El límite de f(x) cuando x tiende a a es L si para puntos x cercanos a a, sucede

x → a

que los valores f(x) están cerca de L, es decir, son muy parecidos a L. De manera equivalente, se dice que f(x) converge a L

Ligas externas * Ejercicios resueltos de límites, Universidad Michoacana: http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercicios_de_limites.htm (mayo 2008). * Interesante artículo sobre la historia del infinito: http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol1/vol1n2p59-81.pdf (mayo 2008).

Ilustraciones Puente abierto, página 1 Http://www.rootsweb.com/~mimanist/OpenBridgeManistee.jpg

190

Matemáticas IV

Objetivo 4: Límites y continuidad Tema 4. 3: Cálculo de límites

Esquema instructivo

Cálculo de los límites La computadora no siempre ayuda

¿Cómo se encuentra un límite?

Factorizar

Sustituir

Racionalizar

Si nada funciona

Preguntar en Mate V

¿Cómo se encuentra el límite?

Algunos métodos para encontrar límites de funciones son: a) Sustitución b) Factorizar c) Racionalizar raíces y Si nada de lo anterior funciona…

191

Método de sustitución En la sección anterior vimos que para encontrar el límite del polinomio P(x) cuando x tiende a a, basta sustituir el número a en vez de la variable x. Este es el llamado método de sustitución. En el caso de polinomios no se viola ninguna de los mandamientos Matemáticos: o No se divide entre cero (no hay divisiones) o No hay raíces cuadradas ni de ningún tipo (no sería polinomio) o No hay logaritmos; si los hubiera, la función no sería un polinomio.

Ejemplo 1) Encuentre el límite siguiente:

sen( x) π 2 x

lím

x→

En π/2 la función está definida así que solamente sustituimos:

sen(x) sen( π 2 ) 1 2 = = = π 2 x π 2 π 2 π

lím

x→

Así que, sí se puede sustituir, hacerlo. Pero ¿cuándo no se puede sustituir?

1) Cuando el número a no está en el dominio de la función * Digamos que el dominio de f(x) es el intervalo (-1,1). Si a es cualquier número fuera del intervalo, entonces no se puede hablar de f(a) ya que simplemente no se sabe lo que vale ahí: no está definida.

En el caso que a sea igual a uno de los extremos, -1 o 1, entonces se puede buscar el límite por la izquierda o por la derecha, pero no se vale simplemente evaluar en el punto.

a no está en el dominio de la función

192

Ejemplo 2) Sea f(x) = x / 2 definida solamente en el intervalo (-1, 1). ¿Cuánto es f(2)?

No es posible responder tal pregunta ya que la función no está definida en 2. Lo mismo sucede en los extremos 1 y -1. Lo más que podemos hacer para esos puntos es tomar los límites laterales, donde

 x −1  2 

fácilmente vemos que el límite por la derecha en -1 : lím +   = x→

 x 2

Y análogamente, el límite por la izquierda en 1: lím −   = x→ 1

−1 2

1 2

2) No es factible simplemente sustituir cuando al evaluar la función en a, se está dividiendo entre cero. Es un caso particular al anterior, por ejemplo en la función f(x) = 1/x, entonces f(0) = 1 / 0: Primer Mandamiento: no dividirás entre cero. En este caso, 0 no está en el dominio de la función.

Ejemplo 3) Si la función es f(x) =

1 , podemos buscar el límite cuando x tiende a 1, pero no se x −1

vale evaluar f(1) ya que obtenemos 1/0 Ejemplo 4) Consideramos la función tan(x), definida en el intervalo (0, π). El número π / 2, no está en el dominio de la función tangente así que no se puede sustituir π / 2 en tan = sen / cos ya que el denominador en π / 2 es 0.

193

tan(x) no está definida en π / 2

Método de Factorización Como su nombre indica, hay que factorizar de la manera que se pueda y luego simplificar para ver si es viable eliminar los casos no deseables.

3x − 2 ? ∞ 4x + 1

Ejemplo 5) ¿Cuál es el siguiente límite? lím x→

El truco es factorizar:

Cancelando las x:

2  x 3 −  3x − 2 x =  1 4x + 1   x 4 +  x  2 3− x = 1 4+ x

2 3x − 2 x =3 Y aplicando las propiedades de los límites obtenemos lím = lím x→ ∞ 4 x + 1 x→ ∞ 1 4 4+ x 3−

El ejemplo siguiente muestra que a veces la computadora no ayuda.

194

Ejemplo 6) Mi Laptop no sabe cómo encontrar el valor de la función

x3 + 1 en x = –1. x +1

Escribí lo siguiente en el renglón 1, columnas A y B en la hoja de cálculo Excel: A –1

1

B =(A1^3)+1/(A1+1)

(La fórmula en B1 dice que cualquier número que se escriba en la celda A1, debe copiarse a todos los lugares donde aparezca A1 pero dentro de la celda B1. En otras palabras, lo que se hace en B1 es evaluar –1 en la fórmula

x3 + 1 ) x +1

¿Qué resultado proporciona Excel? El siguiente:

1

A –1

B #¡DIV/0!

Es decir, error. Error debido a DIVISIÓN ENTRE CERO, que sabemos, está prohibido dividir entre cero. Primer mandamiento de las matemáticas. Pecado mortal. La teología matemática también afecta a las computadoras.

Pero en este caso es peor que solamente dividir entre cero, pues el resultado que obtenemos es 0 / 0. ¿Será doble error?, ¿Acaso no basta con uno?

Al tomar valores cercanos a –1 y usando la misma fórmula, nos regala la siguiente tabla:

1 2 3 4

A –1.1 –1.01 –1.001 –1.0001

B 3.31 3.0301 3.003001 3.00030001

que dice que para valores cercanos a x = –1, la función está cerca de 3.

Concluimos que en –1 no está definida, pero la siguiente pregunta es ¿qué pasa cerca de –1, o sea nos interesa encontrar el límite de

x3 + 1 x +1

cuando x tiende a –1.

El hecho que x3 + 1 valga 0 en –1 quiere decir que el término x + 1 divide a x3 + 1.

En efecto, uno de los productos notables es: x3 + 1 = (x + 1)( x2 – x + 1) 195

así que para x distinto de –1 podemos cancelar los términos iguales:

x 3 + 1 (x + 1)(x 2 − x + 1) = = x2 − x + 1 x+1 x+1 que evaluada en –1 proporciona (–1)2 – (–1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

x3 + 1 = 3 , y la gráfica de la función cerca de (-1, 3) es: Concluimos que lím x → −1 x + 1

x3 + 1 = x 2 − x + 1 para x distinto de –1 x +1 En el ejemplo anterior se manipuló el numerador para poder dividir entre el denominador y cancelar así el peligro. Este método se puede usar en las funciones racionales, es decir, los cocientes de polinomios. Puede suceder que tanto numerador como denominador valgan cero en el punto a.

Conjugado Otra manera de simplificar puede ser multiplicar por el conjugado, como sucede en el siguiente: Ejemplo 7) ¿Cuál es el límite de

x−4 cuando x tiende a 4? x+5 −3

Sustituyendo x = 4 obtenemos 0 / 0.

196

Los productos notables nos sugieren multiplicar por 1, pero disfrazado como z / z, donde z es el conjugado del denominador:

x−4 = x+5 −3

x−4 ⋅1 = x+5 −3

x−4 x+5 +3 ⋅ x+5 −3 x+5 +3

En el denominador tenemos un término multiplicado por su conjugado así que sustituimos el cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo:

( x − 4)( x + 5 + 3) ( x − 4)( x + 5 + 3) = x+5−9 x−4 Si x no es 4, podemos cancelar términos iguales y obtener:

= x+5 +3 Evaluando en 4:

= 4+5 +3= 9 +3=6 Concluimos que

lím

x → 4

(

)

x−4 = lím x+5 +3 =6 x+5 −3 x → 4

Gráfica de

x−4 cerca de x = 4 x+5 −3

197

x−4 y x+5 −3

Recordamos que las funciones

x + 5 + 3 no son iguales ya que su dominio no es el

mismo.

Si nada funciona … lím

Ejemplo 8) ¿Existe el siguiente límite?

x → 0

sen( x) x

En 0 tanto el numerador como el denominador son 0.

Si tomamos valores cercanos a 0 y evaluamos obtenemos: x<0 -0.1 -0.01 -0.001

sen(x) / x 0.99833417 0.99998333 0.99999983

x>0 0.1 0.01 0.001

sen(x) / x 0.99833417 0.99998333 0.99999983

Aparentemente el límite es 1. Pero ¿cómo estar seguro?

Al alumno interesado se le recomienda leer dos temas que se estudian en cursos posteriores: La Serie de Taylor y la regla de L’Hopital.

Ver Apéndice.

Ejercicios Encuentra los siguientes límites

(

lím x − 2

1)

x→ 1

)

2) 4)

x − 5x + 3 lím x→ 2 x2 − 2 x−3 lím x → 3 2x 2 − 5x − 3

6)

(3 − x )2 − 9

10)

3x 3 − 2x 2 lím x→ 0 x2

3x − 11x + 10 2 x−2

12)

x 2 − 16 4 ( x + 4 )( x − 4 )

14)

x 3 − 3x + 2 x→ 1 x −1 sen( x) lím x → 0 x2

lím

x→

7)

)

x 3 − 3x + 2 1 x+1

3) 5)

(

lím x 3 − 3 x + 2

x→ 1

x→

3

9)

lím

x→ 0

11) x →

13)

x 3 + 3x 2 − 4 −2 (x + 2 )2

lím

x→

x

lím

lím

x→

2x 2 − 4x + 1 lím x→ − 2 x2 − 1

8)

2

lím

x 3 − 3x + 2 −1 x −1

lím

198

Ligas externas * Ejercicios de límites http://www.paguito.com/portal/hemeroteca/ejercicios_de_limites.html (mayo 2008) * Ejercicios resueltos: Cálculo http://www.elprisma.com/apuntes/curso.asp?id=5206 (mayo 2008) * La regla de L’Hopital http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_L'H%C3%B4pital (mayo 2008)

Ilustraciones Caricatura de Computador explotando: http://seeri.etsu.edu/images/negligence.gif (mayo 2008)

Apéndice lím

x→ 0

sen(x) =? x

a) La serie de Taylor Se encuentra que la función seno es igual a una suma infinita:

x 3 x 5 x7 x 9 sen(x) = x − + − + − ...

3! 5! 7! 9!

Si dividimos entre x entonces:

sen(x) x 2 x4 x6 x 8 = 1− + − + − ... x 3! 5! 7! 9! y si evaluamos en 0 entonces obtenemos que el cociente vale 1.

Es decir,

lím

x → 0

sen(x) = 1. x

b) La regla de L’Hopital Si f(x) y g(x) son dos funciones diferenciables en a y si existen los límites

lím f(x) = lím g(x)

x → a

x → a

y son ambos iguales a 0, entonces

lím

x → a

f ( x) f ' ( x) = lím g ( x) x → a g ' ( x)

donde f ’(x) y g’(x) son las derivadas de f y de g.

199

Aplicando el resultado a nuestro ejemplo y sabiendo que la derivada de seno es coseno y la de x es 1:

lím

x →

sen(x) cos(x) = lím = lím cos(x) = cos(0) = 1 0 x → 0 x → 0 x 1

Se sugiere ver la liga externa sobre el Marqués de L´Hopital

200

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 4: Límites y continuidad Tema 4. 4: Continuidad

Esquema instructivo Definición de continuidad Teorema del valor intermedio

Funciones

Continuas

Discontinuas

1 / x , tan x

Polinomios, seno y coseno, valor absoluto, exp, etc

Composición de funciones continuas

¿Pesa el alma?

Se dice que solamente 21 gramos.

21 gramos pesan 6 galletitas cocteleras Premium:

201

Mi peso Es continuo

La temperatura es continua

21 gramos pesa un alma. También 6 galletas Poco antes de morir Pepe, la carátula de su báscula mortuoria comenta: PESO: 70.021 Kilos

Dejó de latir su corazón y murió instantáneamente La báscula ahora menciona 70.000 kg 21 gramos de peso perdidos.

La pregunta es: Pepe perdió 21 gramos, ¿Instantánea o continuamente?

Instantáneamente: brincó de 70.021 a 70 kg ¿Inmediatamente?:

O, ¿se fue muriendo Pepe, poquito a poco aunque fuera sólo en instantes de tiempo?

202

Instantánea es que en un momento, en sólo un santiamén, los 21 gramos desaparecieron y la báscula brincó sorprendentemente de 70.021 a 70.000 kg.

Continuo es que fue bajando del mayor al menor de manera gradual, continua.

El objeto de este apartado es el significado matemático de CONTINUIDAD Nota: Hasta se sabe no existe evidencia científica de lo que es el alma

¿Qué tiene que ver la temperatura en el aeropuerto con las funciones y los límites que estamos estudiando? ¿Qué relación hay entre el peso que subí el año pasado con el curso de Matemáticas IV? Contestaremos estas interesantes preguntas páginas abajo.

Definición de continuidad Supongamos que f es una función definida en un intervalo y a es un punto del intervalo. Decimos que

a) b) c)

f(x) es continua en a si: f(x) está definida en a

lím f ( x) existe

x → a

lím f ( x) =

x → a

f (a)

Extendemos la definición, diciendo que la función f(x) es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo.

203

¿Qué funciones son continuas?

1) Los polinomios son funciones continuas: Un polinomio es una función del estilo P(x) = b0 + b1x1 + b2x2 + … + bnxn Sabemos que su dominio natural son todos los números reales, es decir, están definidos para todos los números. Sabemos que el límite existe en cada uno de sus puntos y además mostramos que

lím P ( x) = P(a) para toda a en su dominio, es decir, cumplen con las tres propiedades

x → a

que debe satisfacer cualquier función continua.

En particular son continuas las funciones constantes como y = 1, la diagonal x, x2 y así sucesivamente.

2) Las funciones racionales.

Así como los polinomios, las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en aquellos intervalos donde el denominador no es 0.

Como un polinomio de orden ene tiene a lo más ene raíces, se tiene que las funciones racionales son continuas en todos lados excepto en un número finito de puntos.

3) Seno y coseno son funciones continuas.

Algunos polinomios

seno y coseno

4) También son continuas en su dominio, tangente cotangente, secante y cosecante, es decir, donde no haya denominadores iguales a 0.

5) Las raíces y potencias de funciones continuas también lo son, en su dominio de definición

204

Tangente y secante

Raíz cuadrada y coseno cúbico

6) La función exponencial es continua en todos los reales y el logaritmo natural es continuo para toda x > 0.

7) El valor absoluto es una función continua

Exponencial y logaritmo

Valor absoluto

8) Si f(x) y g(x) son funciones continuas y n es un entero positivo, entonces, también son continuas: f(x) – g(x)

f(x) + g(x)

f(x) / g(x)

f(x) ⋅ g(x)

n

f (x)

n

f ( x)

Suponiendo que no hay denominador igual a 0 y los dominios son los apropiados (no hay denominadores cero o raíces negativas)

205

Ingenuamente dicho, si la función es continua entonces su gráfica: • Consta de una sola pieza • La podemos recorrer de extremo a extremo de manera incesante (o continua, de ahí el nombre) • Al recorrerla, en ningún momento dejamos de estar sobre ella • No tiene huecos, brincos ni espacios

Discontinuidad Una función es discontinua si no cumple con alguna de las tres propiedades mencionadas; por ejemplo, No a) Si una función No está definida en un punto, no puede ser continua en ese punto: Ejemplo 1) Como muestra principal de función discontinua, tenemos a nuestra vieja conocida f(x) = 1 / x 1/x no está definida en 0, así que no se puede hablar de f(0) y no puede ser continua en 0:

1 / x no está definida en 0 ¿Y si la definimos en 0?

206

1 x si  2 si

Ejemplo 2) Sea F(x) = 

x≠0 . x =0

Así queda ya definida en 0, pero, desgraciadamente sigue siendo discontinua, ya que el límite cuando x tiende a 0 no existe. Por la izquierda tiende a menos infinito, por la derecha a más infinito. Es decir, no cumple ni el inciso b ni el c de la definición de continuidad. Además no importa cómo se defina en 0: En vista que los límites laterales no existen, nunca será continua.

Ejemplo 3) Las funciones escalón no son continuas en los números enteros: Por ejemplo en x = 2, el límite por la izquierda es 1, por la derecha es 2:

La función escalón no es continua en los enteros Notamos que no podemos recorrer toda la gráfica de manera incesante o como una sola pieza, ya que hay brincos en cada punto x = entero. Así, la gráfica no consta de una sola pieza y por tanto, no es continua.

Sin embargo para n entero, la función si es continua en el intervalo (n, n + 1).

si  x 3 − x si

Ejemplo 4) Sea f(x) = 

x≤1 x >1

207

Esta función si está definida en 1: f(1) = 1, pero los límites por la izquierda y la derecha no coinciden: lím

x → 1−

f(x) = 1 y lím + f ( x) = 2 . La gráfica es: x → 1

Función discontinua en x = 1 Y por supuesto es discontinua. Basta ver la gráfica.

Ejemplo 5) ¿Es la función

3 − x 2 f(x) =   x +1

si si

x <1 continua en 1? x ≥1

Veamos si cumple con las tres propiedades: a) f(1) = 1 + 1 = 2; tenemos que f si está definida en 1 b) El límite por la izquierda: lím − f(x) = lím − ( 3 − x 2 ) = 3 − 1 = 2 , existe. x→ 1

El límite por la derecha:

x→ 1

lím f(x) = lím + (x + 1 ) = 2 , también existe

x → 1+

x→ 1

c) Comparamos el valor de la función en 1: f(1) = 2, con el valor del límite:

lím f(x) = lím − f(x) = lím + f(x) = 2

x→ 1

x→ 1

x→ 1

; son iguales.

Por lo tanto, se cumplen las tres propiedades y la función es continua en x = 1.

Basta ver la gráfica:

208

Composición de funciones Frecuentemente una sola función se puede considerar como el efecto o resultado de dos funciones más simples; por ejemplo la función sen2(x) (seno cuadrado) es la composición de las funciones seno y el cuadrado: x → sen(x) → (sen(x))2 = sen2(x) si llamamos s(x) = sen(x) , c(x) = x2 entonces sen2(x) = c(sen(x)) = c(s(x)) Por supuesto la composición no es conmutativa ya que s(c(x)) = s(x2) = sen(x2) es bastante distinta de sen2(x) Las gráficas de ambas funciones sen2(x) y sen(x2) a continuación:

209

sen2(x) y sen(x2). La primera nunca es negativa

¿Son continuas ambas funciones? La respuesta es sí ya que s(x) y c(x) lo son. En términos generales, si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces la composición g(f(x)) es continua en a.

Ejemplo 6) Sea f(x) = 2x – 1 y g(x) = √x ¿Dónde es continua la composición g(f(x))? f es continua en todos lados mientras que g sólo en los números mayores o iguales a 0.

La composición

g ( f ( x )) =

f ( x ) = 2x − 1 es continua en el dominio de la raíz, es decir, donde

2x − 1 ≥ 0 o sea, en el intervalo [1/2, ∞) Aparentemente el siguiente ejemplo no es muy matemático:

Mi peso es una función continua Ejemplo 7) El primero de enero, 2007, pesé 60 kilos y el 31 de diciembre del mismo año, 70 kilos.

Durante el 2007, ¿Alguna vez pesé 65 kilos?

La respuesta es sí.

En vista que la función PESO es continua, si principié el año con 60 kilos y lo terminé con 70, a fuerza tuve que pasar por 65.

210

Mi peso durante 2007 La gráfica de la triste historia de mi peso muestra que en tres ocasiones pesé exactamente 65 kilos. También llegué a pesar menos de 60 así como más de 70 kilos.

Teorema del valor intermedio El Teorema del Valor Intermedio dice: * Sea f(x) continua en el intervalo [a, b] * si f(a) es distinto de f(b) * si c está entre f(a) y f(b) entonces existe xo entre a y b tal que f(xo) = c Ya que mi peso es una función continua (no es posible que brinque instantáneamente de un peso a otro; el cambio es gradual, continuo) y mi báscula leyó las cantidades 60 y 70, entonces para cualquier número entre 60 y 70, por ejemplo 65, existe al menos una fecha tal que el peso en esa fecha fue 65. En la gráfica vemos que en tres ocasiones ese fue el caso.

La temperatura es una función continua Ejemplo 8) Un caluroso día del mes de mayo se consultó el termómetro en el aeropuerto de la Ciudad de México reportando las siguientes lecturas: 10°C a las 4 de la mañana; 34°C a las 15 horas.

El teorema del valor intermedio no me dice si el máximo fue 34° o si el mínimo fue 10°, lo que sí nos dice es que en algún momento, entre las 4 y las 15 horas, la temperatura debió ser 22 grados, al menos una vez. La razón es que la temperatura varía continuamente y para llegar de 10 a 32, 211

tuvo que pasar por 22°C. La temperatura entre las 4 y las 15 horas pudo ser como la siguiente gráfica muestra:

34°

22°

10° 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Una aplicación del teorema del valor intermedio Ejemplo 9) ¿Existe solución de la igualdad x3 + 1 = 3x?

Solución: La función K(x) = x3 + 1 – 3x es continua en todos los reales (es un polinomio).

Notamos que: K(0) = 1 > 0 K(1) = – 1 < 0 Es decir, la función cambia de signo entre 0 y 1.

Pero continuidad y cambiar de signo significa que debió de valer 0 en algún punto; es decir debió cruzar el eje X. Concluimos que existe z entre 0 y 1 tal que K(z) = 0.

Pero K(z) = z3 + 1 – 3z, así que z3 + 1 – 3z = 0 tiene solución, o lo que es lo mismo, la igualdad x3 + 1 = 3x tiene al menos una solución en el intervalo [0, 1]

212

La gráfica de K(x) es:

K(x) = x3 + 1 - 3x en [0,1]

Es tan útil el anterior resultado que vale la pena resaltarlo: * Sea f(x) continua en el intervalo [a, b] * Si el signo de f(a) es distinto al de f(b) entonces existe xo entre a y b tal que f(xo) = 0

Nota: Una manera elegante y abreviada de decir que el signo de f(a) es distinto al de f(b) es escribir simplemente “ f(a) ⋅ f(b) < 0 ” ya que si los signos son distintos, uno es + y el otro –, por tanto, el producto tiene signo – .

Ejercicios En los próximos 10 incisos investiga la continuidad de las composiciones de las dos funciones f(x) y g(x) [es decir, f(g(x)) y g(f(x)) ]. Grafica: 1) 3) 5) 7) 9)

sen(x), x – 1 cos(x) , 1 / (x – 1) 1 / x, tan(x) 2 – x, √x ex, | x |

2) 4) 6) 8) 10)

213

sen(x), √x tan(x), √x x – 1, | x | 2 – x, x2 ln(x), 1 / x

11) Sea

si x≤0  −1  f ( x ) = ax + b si 0 < x < 1 . Encuentra a y b para que la función f resulte continua.  1 si x≥0 

Grafica:

tan(x) si si  1

12) Discute la continuidad de la función T(x) = 

x ≠ π/2 en el punto π/2 x = π/2

13) La función s(x) = sen(x) es continua en todos lados y g(x) = 1/x no es continua en 0. Investiga la continuidad de las composiciones s(g(x)) = sen(1/x) y g(s(x)) = 1/sen(x).

Nota: 1/sen(x) es la función cosecante, mientras que sen(1/x) es conocida como la función seno del topólogo. Su gráfica cerca de cero oscila una infinidad de veces.

Trata de graficarla y ve al siguiente enlace: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Topologist%27s_sine_curve.svg 14) Con ayuda del teorema del valor intermedio encuentra un intervalo donde cos(x) = x

Glosario Continua en a: f es continua en a si f(a) está definido,

Lím f ( x) existe

x → a

y

Lím f ( x) =

x → a

f (a)

Continua en un intervalo: si es continua en cada punto del intervalo

Ligas externas * Funciones continuas: http://www.monografias.com/trabajos32/matematica-en-movimiento/matematica-enmovimiento2.shtml (mayo 2008). * Clasificación de las discontinuidades: a) http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_discontinua (mayo 2008).

b) http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html#P6 (mayo 2008). * Seno del topólogo: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Topologist%27s_sine_curve.svg (mayo 2008).

214

Ilustraciones

* Banda de Moebius, pรกgina 1: http://bp1.blogger.com/_GUEkWBbMbs8/RbXcWo_UclI/AAAAAAAAABE/3Wd8DaOR51U/s320/Ba nda_Moebius.jpg (mayo 2008). * Pies de Pepe: http://medtempus.com/wp-content/uploads/Fotosabril2007/Morgue.jpg (mayo 2008).

215

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 5: Procesos de aproximación

Tema 5.1: Introducción a las sucesiones

Esquema instructivo

Sucesiones Notación

Definición • implícita • recursiva • explícita

Constante

Aritmética

Geométrica

Creciente o decreciente Alternante

Fibonacci

Los números primos

Si a cada número natural ene le asociamos algún número que denotamos an obtenemos la colección de números a1, a2, a3, a4, ... o brevemente {an}. Esta colección se llama sucesión.

Una sucesión es pues, una lista ordenada de números. Estos números son una infinidad y cada elemento es un término de la sucesión. En este caso el primero es a1 mientras que el término número ene (también llamado término enésimo) es an. En vez de la letra a se pudo escoger b, c, o cualquiera que se nos antoje. Se podría escoger gato1, gato2, gato3, gato4, pero no es muy recomendable. Algunos autores usan la palabra secuencia en vez de sucesión.

216

Seguramente la sucesión más conocida y más importante es la formada por los números naturales, es decir, por los enteros positivos: 1, 2, 3, 4,… En este caso a1, = 1, a2 = 2, a3 =3, a4 = 4 y en general an = n.

Los números pares forman otra conocida sucesión: 2, 4, 6, 8,... y su famosa pareja, los números 1, 3, 5, 7,…que es la sucesión de los impares o también llamados nones. El término ene de los pares es an = (2 veces n), o sea, 2n y de los impares, bn = 2n – 1.

Notación para sucesiones “El conjunto de números an (a-subíndice-ene) tales que an cumple con la propiedad P” se denota por los símbolos: {an | an cumple con P }; por ejemplo, los números naturales se pueden escribir como { an | an = n, n entero > 0} o como { n | n es entero > 0 } Una sucesión está definida de manera implícita (o recursiva) si se proporcionan: 1) Una condición inicial diciendo dónde empieza la sucesión 2) Una fórmula que dice cómo se relaciona sus términos Ejempls 1) Algo falta en la definición a n = an-1 + 2: Si decimos que a1 = 1 obtenemos los nones; sin embargo, si tomamos a1 = 2 generamos los pares, sucesiones bastante distintas.

2) Definición recursiva: 32, 25, 18, 11,... La condición inicial consiste en mencionar cuál es el primer término de la sucesión, en este caso a1 = 32, y la fórmula recursiva dice que a n = a n-1 – 7.

Una sucesión está definida de manera explícita si se proporciona la información acerca de sus términos: 3) an = n2 + 1, si n ≥ 1, proporciona la sucesión 2, 5, 10, 17…

4) Los pares se puede escribir explícitamente como {an | an = 2n, n > 0} o implícitamente: a1 = 2, an+1 = a n + 2, para n ≥ 1.

5) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5,… es la sucesión cuyo ene término es n / (n+1): por ejemplo, el quinto término es a5 =

5 5 = 5+1 6

De ser posible es mejor la notación recursiva ya que no da lugar a confusiones, como veremos en ejemplos posteriores.

217

Sucesión constante 6) La sucesión que consta únicamente de un solo número, por ejemplo el 7 es 7, 7, 7, 7, …

Puede escribirse de varias maneras: {an | an = 7 para toda ene} o describiéndola como {7, 7, 7, 7,…} o más simplemente como {7}

Sucesión aritmética { an } es una sucesión aritmética si la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre una misma constante, es decir, an+1 = an + c. A la constante c se le llama diferencia de la sucesión. Los naturales, los pares y los nones son ejemplos de sucesiones aritméticas, con diferencia 2.

Ejemplo 7) Son sucesiones aritméticas: a) 7, 14, 21, 28,… la diferencia entre términos consecutivos es 7 b) –15, –20, –25, –30, –35,… La diferencia entre términos consecutivos es –5.

Sucesión geométrica Ejemplo 8) En Matemáticas I se estudia el viejo problema del ajedrez, donde un jeque debe pagarle al inventor del juego un grano de trigo por el primer cuadro (o escaque), dos por el segundo, cuatro por el tercero y así sucesivamente, la sucesión que se obtiene es 1, 2, 4, 8, 16, … la que puede escribirse como {2 n | n es entero mayor o igual a cero}.

En el caso del cuento del ajedrez la sucesión es finita pues termina en la casilla 64, o sea, con el enorme entero 263; además, notamos que si dividimos dos términos consecutivos obtenemos una constante: an+1 / an = 2n+1 / 2n = 2 Este tipo de sucesiones son tan frecuentes que tienen su nombre propio: { an } es una sucesión geométrica si el cociente de cualesquiera dos términos consecutivos es siempre un mismo número, es decir, es constante.

Ejemplo 9) a1 = 7

y an+1 = 2an , para n > 1

Los primeros cinco términos son 7, 14, 28, 56, 112.

Si dividimos an+1 entre an tenemos an+1 / an = 2 an / an = 2, es decir, es geométrica.

Pudimos dividir el termino ene entre el ene más uno y llegar a la constante 1 / 2.

Es común llamar Razón al cociente de términos consecutivos.

Sucesión alterante Una sucesión alternante es aquella que salta entre varios números Ejemplo 10) son alternantes: * (–1) n, ya que toma alternadamente los valores –1 y 1.

* 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3,... donde los valores de la sucesión pasan de 1 a 2 a 3 para regresar a 1 y así sucesivamente.

218

Sucesión creciente De manera análoga a decreciente, se define una sucesión creciente: { an } si an ≤ an+1.

Ejemplo 11) Es sucesión creciente

n −1 n

donde los primeros cinco términos son 0,

1 , 2

2 , 3

3 , 4

4 5

Análogamente, una sucesión es estrictamente creciente si an < an+1 , es decir, no se vale igualdad.

Sucesión decreciente Una sucesión decreciente es aquella donde el término ene más uno es más chico que el ene, es decir, an+1 ≤ an Ejemplo 12) Tal vez el ejemplo más conocido de una sucesión decreciente es 1, 1 / 2, 1 / 3, 1 /4,... es decir, el término ene es 1 / n.

La sucesión de mitades también es decreciente: 1, 1/2, 1/4, 1/8, …, 1/2n ,.. = {1/2n | n entero ≥ 0}.

Una sucesión se llama estrictamente decreciente si an+1 < an , es decir, no se vale igualdad.

La sucesión de los números primos Ejemplo 13) Un número primo tiene por divisores sólo a la unidad y al número mismo. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13,... No se conoce una fórmula, un algoritmo para escribir el término ene de la sucesión, es decir, no se sabe a priori, cual es el término ene de la sucesión. La única manera de saber cual es el primo número cien es coger la lista de primos y contarlos, hasta llegar al centésimo. Por supuesto la sucesión de primos es creciente.

Los primos menores que 1000 son: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 219

127 251 389 541 677 839

La sucesión de Fibonacci Ejemplo 14) ¿Cuantas parejas de conejos se producirán en un año, comenzando con una pareja, si cada mes cualquier pareja engendra otra, que se reproduce desde el segundo mes?

Es decir, supongamos que 1- Tenemos una pareja de conejos (hembra y macho) recién nacidos 2- Los conejos pueden aparearse a la edad de un mes y al final del segundo mes producen otra pareja de conejos 3- No hay mortandad conejal y las conejas siempre producen macho y hembra ¿Cuántas parejas habrá al final de un año?

En la siguiente figura los círculos grises representan una pareja de conejos lista para reproducirse mientras que la pareja blanca no está lista aún. El primer círculo representa la pareja original, el Adán y Eva de los conejos durante el primer mes. Inmediatamente abajo está la misma pareja pero lo suficientemente madura como para procrear su primera pareja. La línea punteada muestra esta situación y termina en el círculo blanco. Eso sucede al final del segundo mes.

La siguiente tabla muestra la totalidad de parejas al final del mes n: 220

Fin de mes N° 1 2 3 4 5 6

Parejas 1 1 2 3 5 8

Es fácil ver que cada número de la segunda columna es la suma de los anteriores, así que con unas pocas sumas podemos saber cuántas parejas habrá a fin de un año.

El problema anterior se formuló en el año 1202 y apareció en el texto “Liber abaci” o libro del ábaco.

Su autor fue el italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (hijo de Bonifacio).

Ejemplo 15) A la sucesión siguiente se le conoce como Sucesión de Tribonacci: 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24,… a partir del cuarto término cada uno es la suma de los tres anteriores.

Algunas sucesiones importantes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Nombre Naturales Pares Impares Constante Potencias de 2 Alternante “tri-alternante” “tri-alternante” Potencias de 1/2 Primos Fibonacci

Término n n 2n 2n + 1 7 2n (–1) n Cos(nπ / 2) 1/n 1/2 n (n – 1) / n f1 = f2 = 1 fn+2 =fn +1 + fn

Términos iniciales 1, 2, 3, 4, 5 2, 4, 6, 8, 10 1, 3, 5, 7, 9 7, 7, 7, 7, 7 1, 2, 4, 8, 16 1, -1, 1, -1, 1 1,2,3,1,2,3 1,0,-1,0,1,0,-1,0 1,1/2, 1/3, 1/4 1, 1/2, 1/4, 1/8 0, 1/2, 2/3, 3/4 2, 3, 5, 7, 11, 13 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Crece o decrece Crece Crece Crece Ninguna (o ambas) Crece Ninguna: Alterna Ninguna: Alterna Ninguna: Alterna Decrece Decrece Crece Crece Crece

El primer término de una sucesión lo decide el autor. Por ejemplo, la sucesión (-1) n puede empezar cuando n es igual a 0, a 1 o a 500. Veremos que lo importante no es cuando empieza sino a qué se aproxima, si es que lo hace.

221

Ejemplos adicionales 16) 33, 29, 25, 21, 17, 13, 9, 5, 1. –3, –7, –11, –15,… Es una sucesión aritmética con diferencia igual a –4. Note que el término general puede escribirse como an = 33 – 4n, para valores de n ≥ 0.

Comprobamos que es una sucesión aritmética con diferencia –4: an+1 – an = (33 – 4(n + 1)) – (33 – 4n) = –4.

17) ¿Cual es la sucesión cuyos primeros términos son 0.125, 1.250, 2.375, 3.5, 4.625, 5.750 ?

Para analizarla es conveniente escribir sus términos en forma de quebrado, así que empezamos con el primero: 0.125 = 125 / 1000 = (25 x 5) / (25 x 40) = 5 / 40 = 1 / 8 El segundo término es 1.250 = 125 / 100 = (25 x 5) / (25 x 4) = 5 / 4 El tercero es 2.375 = 2375 / 1000 = (25 x 95) / (25 x 40) = 95 / 40 = 19 / 8 Y empezamos a notar que los numeradores son divisibles entre 25 y el denominador típico será 8, ya que los tres primeros términos son 1/8, 10/8, 19/8 En vista que los numeradores son 1, 1+9, 1+9+9, podemos intentar como cuarto término a 1+9+9+9 entre 8. O sea 28 / 8 Pero 28 / 8 = 7/2 = 3.5 y notamos que efectivamente, ese es el que toca.

El término siguiente puede ser (28+9) / 8 = 37 / 8 =4.625 y comprobamos que ese es ciertamente. Concluimos que la sucesión se puede escribir como an = (1 + 9n) / 8, empezando en n = 0.

Es una sucesión es aritmética con diferencia = 9/8.

18) El factorial de un entero positivo. Se definen 0! = 1! = 1, y si n es entero mayor que 1, n! = n x (n – 1)!

La sucesión de los factoriales está dada por an = n!

19) 1, ½, ¼, 1/8,… el término general es a n = (1/2)n para n mayor o igual a cero. Note que no es necesario que el primer término de la sucesión sea a1, en este ejemplo empezamos con el término cero.

20) ¿Qué número falta?

9, 1, 2, __, 6 No lo pienses mucho; la respuestas que tengo es 5 Razón: 9, 1, 2, 5, 6 son las líneas del Metro de la Ciudad de México que cruza la número 3 al ir de la Universidad a los Indios Verdes.

Consultar Ligas externas para ejercitarse con las sucesiones; en particular, ver ¿Qué número falta?

222

Ejercicios Sea {a n} la sucesión definida explícitamente por a n = n2 + 1.

1) ¿Cuánto es a 9?

2) Escribe an-3 en términos de a n 3) ¿Cuánto es a n+3 – a n-3?

Sea {b n } la sucesión definida recursivamente como b n = 3b n-1 + n, donde b 1 = 3.

Calcular b2, b3, b4, b5 5) Escribe b10 en términos de b 8 6) Escribe bn+5 en términos de b n+3 4)

Considera la siguiente sucesión aritmética: c1 = –2, c n+1 =c n + 3 7) Escribe c n+1 en términos de c 1 y 3 8) Escribe c n+1 en términos de c 3 y 3 9) ¿Cuánto es c n+2 – c n?

10) ¿Cuánto es la suma c 1 + c 2 +… + c n + c n+1?

Considera la siguiente sucesión geométrica: d n = 5n 11) Escribir d n en términos de d 1 12) Escribe d n en términos de d 5

Encuentra los primeros cinco términos de las siguientes sucesiones recursivas.

13) a 1 = 3; a n = an-1 + 4 14) a 1 = 3; a n = 3an-1 – 2

¿Cuál es la definición recursiva de las siguientes sucesiones?

15) –13, –10, –7, –4, ...

16) 2, 5, 8, 11, …

17) 1/2, 3/4, 5/6, 7/8,…

18) 1/3, –1/9, 1/27, –1/81,…

19) Encuentra los primeros 20 factoriales. Ayuda: use hoja de cálculo. En Excel, n! se escribe como =Fact(n).

20) ¿Quién crece más aprisa: n! ó 10n ? Compara y explica conclusiones.

223

21) Investiga la sucesión {Cos(nπ/2) | n entero ≥ 0}.

22) ¿Cuántos primos menores que mil hay?

23) ¿Cuál es el primero número 100?

24) Encuentra los primeros 20 términos de la sucesión de Fibonacci 25) Escribe el término número 30 de la sucesión de Fibonacci y la de Tribonacci.

26) Busca en el diccionario de la Real Academia Española cuánto es un Millardo http://www.rae.es 27) ¿Cuál es el primer término de la sucesión de Fibonacci que llega al millardo?

28) ¿Cuál es el primer término de la sucesión de Tribonacci que llega al millardo?

Glosario

Sucesión: conjunto infinito de números Sucesión creciente: aquella donde an ≤ an+1 Sucesión decreciente: aquella donde an+1 ≤ an Sucesión de Fibonacci: f1 = f2= 1, fn+2 = fn+1 + fn para n ≥1 Razón: el cociente de dos enteros. En el caso de sucesiones, el cociente de términos consecutivos de la sucesión.

Ligas externas * Sobre la sucesión de Fibonacci y el diagrama que aparece en el texto: http://azul.cicese.mx/~glopez/Proyectos/NumerosyFormas/Uno_tras_otro/fibonacci/NumerosFibonacci .html (mayo 2007). * Diccionario de la Real Academia Española: http://www.rae.es (mayo 2008) * Liber abacci y su contenido: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate4j.htmiverabaci (agosto 2007) 224

* Biografía de Fibonacci: http://www.mat.usach.cl/histmat/html/fibo.html (mayo 2008) * En la página siguiente se pueden construir ejemplos de sucesiones y analizar sus términos. http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/ac_sucesiones/index.htm (septiembre 2007) * Ejemplos de sucesiones y series: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-07.htm (febrero 2008) * Aparecen los 10,000 primeros números primos en: http://www.clasesdematematicas.com/los-primeros-10000-primos.htm?ref=22398 (mayo 2008) * ¿Qué número sigue? http://www.acertijosyenigmas.com/2007/08/16/secuencia-logica-que-numero-sigue/ (septiembre 2008) * Metro de la ciudad de México http://www.ciudadmexico.com.mx/mapas/metro.jpg (septiembre 2008)

Ilustraciones * Pág 1: secuencia DNA http://www.scripps.edu/newsandviews/e_20010319/sequence.gif (mayo 2008)

225

MATEMÁTICAS IV Objetivo 5: Procesos de aproximación

Tema 5.2: Límites de sucesiones

Diagrama

Límite de sucesiones Poli – Uni y más ejemplos

Definición informal

Definición formal

Cálculo de Los límites

Sucesión Contra función

Propiedades

¿Qué quiere decir convergencia?

Teorema de la convergencia monótona

Propiedad del sandwich

POLI - UNI Es el clásico del fútbol americano colegial, Politécnico contra Universidad y se juega esta vez en el Estadio Olímpico Universitario, del Pedregal de San Ángel. El marcador dice 10 – 14 a favor de los Burros Blancos, pero faltan pocos segundos para que termine el juego y los pumas están en la yarda 10 del equipo del Poli. El gol de campo no les sirve a los auriazules ya que en caso de acertarlo, el marcador quedaría 13 -14 a favor del Poli y sin tiempo suficiente para los universitarios, así que necesitan anotar.

La situación de los pumas es Primero y Gol y no podría ser más favorable ya que tienen cuatro oportunidades para recorrer las 10 yardas faltantes para anotar y darle la vuelta al marcador, resultando 16 – 14, o tal vez 17 - 14 en caso de acertar el punto extra. Inicia la jugada y para beneficio de los universitarios, hay un castigo en contra de los guinda y blanco.

Cuando hay falta contra el equipo defensor dentro de la yarda 10, la sanción consiste en colocar la pelota a la mitad de la distancia de la línea de golpeo a la de anotación; así que en este caso el balón 226

se coloca ahora en la yarda 5. Silba el árbitro principal, se mueven los jugadores, el mariscal Puma busca receptor pero los oficiales soplan sus silbatos pues increíblemente hay otra sanción en contra del Poli.

Así que ahora el balón es llevado a la mitad de la distancia, o sea, a la yarda 2.5. Suponiendo que siga habiendo faltas y más faltas en contra del Poli, y cada vez se le castiga con la mitad de la distancia ¿podrá anotar el equipo Puma?

Observador 1: Nunca anotará, ya que siempre le faltará la mitad de la distancia anterior y ésta siempre es positiva, por muy pequeña que sea.

Observador 2: Las posiciones del balón son las siguientes: yarda 10, 5, 2.5, 1.25, 0.625 y así sucesivamente, la mitad de la distancia anterior cada vez. Es claro que sí anotarán pues la distancia es cada vez más pequeña y por tanto tiene que llegar a la yarda 0. ¿Quién tiene razón?

Definición informal de Límite La sucesión {an } tienen a L como límite, si a partir de algún número grande N, todos los términos de la sucesión distan muy poco del número L La notación es:

lím an = L n →∞

¿Qué es un “número grande”? ¿Qué quiere decir “distan muy poco”? Son términos muy vagos y es por eso que la definición no es precisa. Renglones más abajo regresaremos a la definición oficial.

Ejemplo 1) El límite de la sucesión { 1/n } es cero.

Los primeros términos son 1, 1/2, 1/3, y así sucesivamente. Notamos que todos sus términos son mayores que cero y que la sucesión decrece.

Si dibujamos algunos términos notamos que a fuerza el límite debe ser cero. No hay de otra.

0

1/n

1/6 1/5 1/4

1/3

1/2

1

Postulamos al 0 como límite de esta sucesión. Para demostrarlo, al menos intuitivamente, hay que probar que todos los elementos de la sucesión a partir de cierta N, distan poco de cero.

Digamos que “Poco” es un milésimo. ¿En que momento 1/n dista de 0 menos que un milésimo?

Pues a partir del 1001; es decir, si n > 1000 entonces 1/n < 1/1000.

Así que si “pequeño” es un milésimo entonces la N que sirve para este ejemplo es N = 1000 227

Ejemplo 2) Poli - Uni ¿Anotación?

En el clásico Poli-Uni mencionado inicialmente la situación es la siguiente: el balón estará en las posiciones 10, 5, 2.5, 1.25 y así sucesivamente tomando cada vez la mitad del tamaño anterior.

Vemos que podemos describir la sucesión de dos maneras, Inductivamente: a1 = 10, an+1 = an / 2 O mejor, an = 10 / 2n, para n desde cero en adelante.

Si escribimos algunos términos de la sucesión notamos que efectivamente, como menciona el Observador 2 esta se hace más pequeña así que postulamos como límite el número cero.

La definición informal dice que a partir de “un número grande N”, todos los términos de la sucesión deben distar “poco” del número L, en este caso L = 0.

Diremos nuevamente que “distar poco” es estar a menos de un milésimo de distancia.

Con esa hipótesis de cercanía, se busca un entero N con la propiedad de que si n > N entonces an diste de 0 menos que un milésimo. Hacemos una tabla, escribiendo algunos términos de la sucesión así como la distancia del término enésimo con 0, en este caso la distancia de an a 0 es exactamente an.

Usando una hoja de cálculo y tomando algunos números vemos que Sucesión a0 = 10 a1 = 5 a2 = 2.5 a3 = 1.25 a4 = 0.625 a10 = 0.0097656 a13 = 0.0012207 a14 = 0.0006104 a15 = 0.0003052 a20 = 0.0000095

Distancia entre an y 0

¿Menor que 1/1000?

10 5 2.5 1.25 0.625 0.0097656 0.0012207 0.0006104 0.0003052 0.0000095

No No No No No No No Sí Sí Sí

Notamos que la distancia de an a 0 no es menor que 1/1000 si n ≤ 13, pero que a partir de a14 ya es más chica. Es decir, si “cerca” es un milésimo, entonces la N que funciona es N = 13. Resumiendo, si n > 13 entonces an dista de 0 menos que 1/1000.

Sucesiones contra funciones Si f(x) es una función definida para los números reales positivos entonces, al evaluarla en los enteros, se obtiene una sucesión. Por ejemplo an =1/n no es otra cosa más que la función 1/x pero evaluada en el entero n.

Análogamente sn = sen(n) es la función seno y bn = n3 + 2 es el polinomio x3 + 2, pero evaluado en los enteros.

228

No es de sorprender entonces, que la mayoría de las propiedades y métodos usados para calcular los límites de funciones se aplican para el caso de las sucesiones.

En particular resulta natural el siguiente resultado: Si la función converge, la sucesión también, y al mismo límite; es decir Si

lím f(x) = L x →∞

, entonces

lím f(n) = L n →∞

Sin embargo hay que tener cuidado con el recíproco del resultado, ya que no es cierto. Basta ver el siguiente ejemplo: La función f(x) = sen(πx) no tiene límite cuando x tiende a infinito: sabemos que la gráfica de la función sube y baja entre las rectas y = 1 y y = -1; nunca se estabiliza, es decir, no existe el límite.

Pero la sucesión sen(πn) sí tiene límite, y éste es 0: esto se debe a que la sucesión sen(πn) es la sucesión constante igual a 0

sen(π πx) vale 0 si x es entero

229

Definición de convergencia y divergencia Como en el caso de las funciones, si el límite de una sucesión existe y es igual a L, se dice entonces que la sucesión converge a L y la notación en este caso es: lím {an} = L n →∞ No todas las sucesiones convergen, por ejemplo la de los números naturales 1,2,3,.. nunca se acerca a algún número fijo ya que crece y crece sin que nada la detenga.

Si una sucesión no converge, se dice que diverge o que es divergente La sucesión de las potencias de 2, o sea { 2n } también diverge. No hay número L que la detenga. De hecho se puede demostrar que si a es mayor que 1 entonces { an } diverge.

Otro ejemplo interesante es (-1)n. Esta sucesión brinca de 1 a –1 a 1 a –1, es decir, no se acumula cerca de un solo punto. Ni de 1 ni de –1, así que diverge, aunque no se vaya muy lejos.

Sólo dimos la versión superficial de la definición porque eso de decir “cerca” no es muy preciso. En un momento regresaremos a la definición, antes veremos otro ejemplo. Es interesante notar que en el ejemplo 1 (la sucesión {1/n}, converge “despacio” ya que necesitamos 1000 términos para que 1/n diste de 0 menos que un milésimo. Sin embargo, en el ejemplo 2 (sucesión 10/2n ) en el término 14 ya la sucesión dista de 0 menos que un milésimo.

Ejemplo 3) (n - 1) / n Estudiaremos ahora la sucesión (n - 1)/n cuyos primeros términos son 0, 1/2 , 2/3, 3/4.

Vemos que la sucesión es creciente y mientras más grande es n, más se acerca a 1, por ejemplo, si n = 100 entonces el centésimo término es 99/100 = 0.99.

Teniendo esto en cuenta, postulamos como límite al número 1 y, como antes, damos un número positivo pequeño; escogemos nuevamente 1/1000; deseamos saber a partir de que subíndice la distancia entre el término ene y 1 es menor que un milésimo.

La distancia de (n – 1)/n a 1 es 1 – (n – 1)/n = 1/n.

Por supuesto 1/n es menor que 1/1000 siempre y cuando n sea mayor que 1000: 1/n < 1/1000 siempre y cuando n > 1000. Por lo tanto nuestra ene mayúscula en este caso es N = 1000.

Los términos que se quedan “lejos” de 1 son desde el primero hasta el milésimo pero a partir del 1001 todos distan de 1 menos que un milésimo.

Conclusión: la sucesión {(n-1)/n} converge a 1.

230

Ejemplo 4) Si –1 < r < 1 entonces lím r n = 0 Si tomamos un número menor que uno, por ejemplo 0.9 ¿Qué sucede con la sucesión de potencias de 0.9? es decir, ¿cuál es el límite de (0.9)n cuando n tiende a infinito?

En vez de computadora usamos esta vez una calculadora, escribimos 0.9 y elevamos al cuadrado varias veces consecutivas con los resultados siguientes 0.9 0.9 2 0.9 4 0.9 8 0.9 16 0.9 32 0.9 64 0.9 128

= = = = = = = =

0.9 0.81 0.6561 0.43046721 0.18530202 0.03433684 0.00117902 0.00000139

Creo que nos convencemos que la sucesión decrece irremediablemente y parece que no hay de otra más que el límite sea 0.

Lo mismo sucede con cualquier número mayor que – 1 y menor que 1: es decir, si a es tal que –1 < a < 1, entonces la sucesión an converge a 0. Por ejemplo, si tomamos la sucesión de (–0.9)n, estará alternando entre números negativos y positivos según sea la potencia par o impar, pero de cualquier manera definitivamente se acerca a 0.

Resumiendo: r n converge para –1 < r ≤ 1 y diverge en los demás casos.

Ejemplo 5) cos(nπ π/2) diverge Considérese la sucesión cos(nπ/2) donde n es entero > 0. Los primeros términos son 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0. La sucesión no converge ya que salta entre tres números.

Definición de límite de una sucesión lím {an} = L n →∞

para cada número positivo ε existe un entero N tal que si n > N entonces | a n – L | < ε

Se lee de la manera siguiente: El límite de la sucesión an cuando ene tiende a infinito es L si, para cualquier número positivo épsilon (ε), por pequeño que sea, existe un número N con la propiedad de que si n > N, entonces la distancia de an a L es menor que épsilon.

Observaciones: 1) n → ∞ significa que el entero n crece indefinidamente, “se acerca” al infinito.

2) ε es la letra griega llamada épsilon. En está situación será un número positivo arbitrariamente pequeño.

231

3) N depende de ε, es decir, si se cambia el número ε, entonces N puede cambiar 4) La distancia entre dos números es el valor absoluto de la diferencia, en este caso, | an – L | = distancia entre a n y L No es una definición sencilla y de hecho les llevó a los matemáticos cientos de años para obtener un enunciado satisfactorio, como el anterior. Usaremos la definición para encontrar los límites de los primeros cuatro ejemplos, usando la letra b para indicar que es continuación de un ejemplo anterior.

Ejemplo 1b) Si n → ∞ entonces lím 1/n = 0 La demostración es como sigue.

Sea ε un número positivo. Se busca un número N con la propiedad de que si n > N entonces | 1/n – 0 | = 1/n < ε.

Si despejamos n vemos que n > 1/ ε, así que postulamos como N el cociente 1/ ε: N = 1/ ε.

Es claro que si n > 1/ ε entonces 1/n < ε.

Por ejemplo, si ε = 1/106 entonces N = 106

Ejemplo 2b) Si n → ∞ entonces lím 10/2n = 0 Dado ε > 0 se busca N tal que si n > N entonces |10 / 2n – 0 | = 10 / 2n < ε.

La idea es despejar n de la última ecuación. Para esto multiplicamos por 2 n y dividimos entre ε para obtener 10 / ε < 2 n Tomando el logaritmo natural de ambos lados: Ln(10 / ε) < n Ln2 Concluimos que si n > N = Ln(10 / ε) / Ln2 entonces 10/2n < ε.

Por ejemplo, si ε = 1/1000 entonces N = Ln(10,000) / Ln2 = 4Ln(10) / Ln2 ~ 13.2877 (El símbolo “~” significa aproximadamente) Es decir, si n > 13 la distancia entre el término n y 0 es menor que un milésimo. Comprobamos usando una hoja de cálculo: Contador: 12 13 14 15

Término n 10/212 = 10/213 = 10/214 = 10/215 =

10/2n 0.00244141 0.00122070 0.00061035 0.00030518

¿Menor que 1/1000?

Falso Falso Cierto Cierto

Ejemplo 3b) Si n → ∞ entonces lím (n – 1)/ n = 1 En este caso la distancia entre (n–1) / n y 1 es: |(n –1) / n – 1| = |1 – 1/n – 1| = 1/n.

Pero en el ejemplo 1b demostramos que 1/n converge a cero, así que (n-1) / n lo hace a 1.

232

Ejemplo 4b) Si –1 < r < 1 y n → ∞ entonces lím r n = 0 Dado ε > 0 se busca N tal que si n > N entonces |rn – 0| = | r | n < ε.

Como en los casos anteriores, la idea es “despejar” n de la última ecuación. Para esto tomamos el logaritmo natural y llegamos a la desigualdad Ln | r |n < Ln ε Ambos números | r |n y ε son menores que 1; el logaritmo de un número menor que uno es negativo así que la desigualdad se conserva ya que hay dos cambios en la desigualdad.

Por propiedades de logaritmo: Ln | r |n = n Ln | r | < Ln ε Pero ahora sí, al dividir entre Ln | r |, por ser negativo este número, la desigualdad se invierte: n > Ln ε / Ln | r | y por supuesto basta definir N como este último cociente: N = Ln ε / Ln | r | Por ejemplo, si r = –0.99 y ε = 1/1000 entonces N = –3 Ln(10) / Ln(0.99) = ~ 687.31 Es decir, si n > 687 la distancia entre el término (–0.99)n y 0 es menor que un milésimo.

Comprobamos usando una hoja de cálculo: Contador: 686 687 688 689

Término n (–0.099)686 = (–0.099)687 = (–0.099)688 = (–0.099)689 =

(–0.099)n 0.00101331 -0.00100318 0.00099315 -0.00098322

¿Menor que 1/1000?

Falso Falso Cierto Cierto

Propiedades de los límites Si una sucesión es creciente o es decreciente, se le llama monótona.

Una sucesión {an} está acotada si existe un número K tal que | an | < K para toda ene. Es decir, no importa que tan grande sea el número ene, el término enésimo an no dista “demasiado” del origen.

(Recordamos que | an | = | an - 0 | = distancia de an a cero).

Un resultado útil para saber si algún límite existe, es el llamado:

233

P1) TCM TEOREMA DE LA CONVERGENCIA MONÓTONA Si { an } es una sucesión monótona y acotada entonces {an} converge El teorema dice que si la sucesión crece (o decrece) pero hay un número que la detiene, entonces a fuerza la sucesión debe ser convergente, es decir, el límite de {an} debe existir.

Intuitivamente debe ser claro que si por ejemplo, la sucesión crece y crece y crece habiendo un número K que no la deja pasar, entonces la sucesión tiene que acumularse en un punto anterior o en el mismo K. Este punto es el límite.

Cuatro ejemplos

Ejemplo 6) Sea an = n / (2n + 1 ). Los primeros términos son 1/3, 2/5, 3/7, 4/9 y aparentemente muestran que la sucesión crece.

Una manera de demostrar este crecimiento es ver que an ≤ an+1, que es equivalente a demostrar que an+1 – an ≥ 0. Veamos:

an+1 − an =

n +1 n 2n 2 + 3n + 1 − 2n 2 − 3n 1 − = = 2 >0 2 2n + 3 2n + 1 4n + 8n + 3 4 n + 8n + 3

Por supuesto el último quebrado es siempre positivo, así que la sucesión es creciente.

La sucesión está acotada: es claro que n < 2n + 1 así que

n <1 2n + 1

o sea, todos los términos de la sucesión son menores que 1, así que nuestra sucesión está acotada y como es monótona creciente, entonces converge.

Nota que aún no sabemos cual es el límite. El teorema no nos lo dice. Sólo sabemos que converge y que 1 es un candidato pero no es el límite.

Una manera de encontrar el límite es la siguiente: Si dividimos entre n

n 1 1 1 = → = 2n + 1 2 + 1 2+0 2 n 234

cuando n tiende a infinito, ya que 1/n tiende a 0.

 n   es monótona y acotada, por tanto, convergente. El límite es 1/2.  2n + 1

Resumiendo, la sucesión 

Ejemplo 7) Fibonacci, nuevamente En la sección 5_1 comentamos sobre la famosa sucesión: f1 = f 2 = 1,

fn+2 = fn+1 + fn,

para n ≥ 1

es decir, el término enésimo es la suma de los dos anteriores.

Los primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13. Claramente la sucesión es creciente pero es imposible que se acumule en algún lado, no está acotada porque cada término es bastante mayor que el anterior. Lo interesante, que deseamos construir, es la sucesión de los cocientes Fn = fn+1 / fn , cuyos primeros términos son 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, . . .

Término F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

= = = = = = = = = =

fn+1 / fn

fn+1 / fn

1/1 2/1 3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55

1 2 1.5 1.66666666...

1.6 1.625 1.61538462…

1.61904762...

1.61764706…

1.61818182…

Una de las observaciones interesantes es que la sucesión de los términos impares es creciente; escribiendo con cuatro decimales -a lo más tenemos: 1, 1.5, 1.6, 1.6153, 1.6176. No es difícil probar que la sucesión está acotada superiormente. Digamos por el número 2. Por lo tanto es convergente.

La sucesión formada por los términos pares resulta ser decreciente y acotada inferiormente, por 0 por ejemplo. Algunos términos son 2, 1.6666.., 1.625, 1.6190, 1.6181 Término

fn+1 / fn

fn+1 / fn (impar)

F1 = F2 =

1/1 2/1

1

fn+1 / fn (par)

2 235

F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

= = = = = = = =

3/2 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 55/34 89/55

1.5 1.66666666...

1.6 1.625 1.61538462…

1.61904762...

1.61764706…

1.61818182…

Uno de los atractivos de las dos sucesiones es que convergen al mismo número: una por arriba, la de los pares, mientras que la de los impares crece por debajo de su límite. El límite común es el cociente (1+ √5) / 2 y se conoce por la razón dorada, número áureo, la divina proporción y términos similares. La notación para este cociente es la letra griega fi = Ф = φ (en mayúscula y minúscula). Se escogió esta letra en honor del escultor griego Fidias (490 - 430 aC) aunque se cree que ésta proporción era conocida por los Sumerios 3,200 años aC. Las primeras ocho decimales de Ф son

φ =Φ=

1+ 5 ≅ 1.61803398...

2

es un número irracional y Wikipedia ofrece las primeras 48 decimales en: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo (mayo 2008).

En la siguiente figura aparece el frente del Partenón y se puede comprobar que están las medidas áureas: AB / CD = ancho / alto = φ

Ejemplo 8) Una sucesión acotada no necesariamente converge, por ejemplo: +1, –1, +1, –1,

…

está acotada, por ejemplo | an | < 2, pero claramente no converge ya que oscila entre 1 y –1.

Ejemplo 9) Una sucesión monótona no necesariamente converge, por ejemplo los números naturales: 1, 2, 3,… es una sucesión creciente que no converge.

236

P2) Proposición: Si |A| < ε para todo ε > 0, entonces A = 0 Dicho de otra manera, no existe número distinto de cero que sea menor que cualquier número positivo

Si A ≥ 0 y tiene la propiedad de ser menor que cualquier número positivo, entonces A debe ser cero.

Una demostración es como sigue: Si A no es cero entonces su tamaño | A | debe ser mayor que cero. Pero como el número es menor que cualquier número positivo entonces en particular, sería menor que sí mismo, lo cual es una contradicción. La contradicción se origina en la suposición de que el número A no es cero.

P3) Si el límite existe, entonces es único Es decir no puede haber más de uno. La idea de la demostración es como sigue: Si A y B son dos límites de la sucesión {an} entonces para cualquier número positivo ε existen dos índices N y M con la propiedad de que si n > N y n > M entonces | an – A | < ε/2 y | an – B | < ε/2.

Usando la desigualdad del triángulo (*) tenemos que la distancia entre A y B es menor que ε: | A – B | ≤ | A – an | + | an – B | < ε/2 + ε/2 = ε. Como el número ε es arbitrario, estamos demostrando que la distancia entre A y B se puede hacer tan pequeña como queramos, por lo tanto, la proposición anterior muestra que A – B debe ser cero, o sea A = B, o sea, no puede haber dos límites de una sucesión. (*) La desigualdad del triángulo dice que para cualesquiera tres números A, B, C: |A–B|≤|A–C|+|C–B| Supóngase que tenemos dos sucesiones convergentes: Lím {an} = A y Lím {bn} = B. entonces P4) El límite de la suma ES IGUAL A LA SUMA DE LOS LÍMITES: lím {an + bn } = lím {an} + lím { bn} = A + B P5) El límite de la resta ES IGUAL A LA RESTA DE LOS LÍMITES: lím {an – bn } = lím {an} – lím { bn} = A – B P6) El límite del producto 237

ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS LÍMITES: lím {an · bn } = lím {an} · lím { bn} = A · B P7) El límite del cociente ES IGUAL AL COCIENTE DE LOS LÍMITES (Siempre y cuando B sea distinto de cero) lím {an / bn } = lím {an} / lím { bn} = A / B Si alguna de las sucesiones anteriores es constante, por ejemplo, si an = C para toda n, se obtiene la siguiente afirmación: P8) El límite de una constante veces una sucesión ES IGUAL A LA CONSTANTE VECES EL LÍMITE DE LA SUCESIÓN: lím {C . bn } = C lím {bn} = C · B P9) Propiedad del emparedado (o del sándwich ) En la sección 4.2 vimos la propiedad del emparedado, para ternas de funciones: Supóngase que tenemos tres funciones con la propiedad:

f ( x) ≤ h ( x ) ≤ g ( x) y además

lím f ( x) =

x → a

lím g ( x) = L ,

x → a

lím h( x) = L

entonces

x → a

Por supuesto el mismo resultado también aplica para sucesiones: Si an ≤ cn ≤ bn para toda n Y si lím an = L = lím bn cuando ene tiende a infinito, entonces { cn } converge y lím cn = L

Notamos que las sucesiones de los extremos convergen al mismo límite L, así que apachurran, emparedan o “ensándwichan” a la sucesión { cn }; por tanto no le queda más remedio a { cn } que tener el mismo límite L.

Ejemplo 10)

lím

n →∞

sen(n) = 0: n 238

Ya que –1 ≤ sen(n) ≤ 1, dividiendo entre ene se tiene que

−1 ≤ n

sen(n) n

≤

1 n

y como 1/n tiende a cero, entonces el teorema del sándwich aplica.

Ejercicios Escribe una fórmula para el término enésimo y en caso que exista, encuentra el límite.

1) 1, 1/4, 1/9, 1/16, …

2) –1, +2, –3, +4, …

3) 1, 1/3, 1/5, 1/7, …

4) ½, 2/3, ¾, 4/5, …

5) –1, +1/2, –1/3, +1/4, …

6) 1.1, 1.21, 1.331, 1.4641, …

7) 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …

8) cos(π), cos(π/2), cos(π/3), cos(π/4), …

9) sen(1), sen(2), sen(3), sen(4), …

10) sen(π), sen(2π), sen(3π), sen(4π), …

A continuación se da el término enésimo de una sucesión. Determina si convergen y encuentra el límite.

11) Ln(n+1) – Ln(n) 12) nn 13) 31/n 14) 2n / (3n - 4) 15) 2n /(3n – 4) 16) 2 /(3 – 4 n) Sean P = 2n4 + 3n2 – n + 7 17) P / Q 18) Q / P 19) P/ n4 20) Q / n3

y

Q = n3 – 4n2 +15 investiga los siguientes límites:

Ligas externas

(*) Traduzco de http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence (mayo 2008).

La definición moderna de Límite (“Para cada épsilon existe un índice N tal que…”) fue proporcionada independientemente por Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, pero tuvo poca difusión en ese tiempo) y por Cauchy en su libro Cours d'analyse, 1821. * Sobre el escultor Griego Fidias: http://es.wikipedia.org/wiki/Fidias (mayo 2008).

239

* Número áureo, con 48 decimales: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo (mayo 2008) * El número de oro y diagrama del Partenón: http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm (mayo 2008). * En la página siguiente se pueden construir ejemplos de sucesiones y analizar sus términos http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/ac_sucesiones/index.htm (mayo 2008) * Ejemplos de sucesiones y series: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-07.htm (mayo 2008)

Ilustraciones

Foto Poli-Uni de : http://i.esmas.com/image/0/000/005/089/pumasNT_.jpg (mayo 2008).

240

MATEMÁTICAS IV

Objetivo 5: Procesos de aproximación Tema 5.3: Algunas aproximaciones importantes

Esquema instructivo Límite de sucesiones Pi (π) en la historia

El número

e Áreas y sumas

Raíz cuadrada Cálculo de π Método babilónico

El número π en el antiguo testamento

El libro de Los Reyes de la Biblia menciona que cuando se construía el templo de Salomón:

Hizo un mar de fundición redondo de 10 codos del uno al otro lado... y ceñíalo en derredor un cordón de 30 codos

[ Reyes 1:7,23 Crónicas 2:4,2; escrito en 550 aC, aprox. ].

Mar de fundición

241

(Un codo hebreo es aproximadamente 45 centímetros así que de lado a lado la tina medía cerca de los 4.5 metros). Estaba asentado sobre 12 toros, 3 mirando al Norte, 3 al Poniente, 3 al Medio día y 3 al Naciente Si releemos con cuidado, hay un detalle importante que se deber resaltar.

“10 codos de un lado al otro” eso quiere decir que el diámetro es 10 codos “rodeado por un cordón de 30 codos” o sea, el perímetro es 30 codos.

Recordamos que “perímetro” es la longitud de la circunferencia, es decir, el tamaño de la frontera de un círculo y que “diámetro”, es la distancia entre dos extremos de un círculo pasando por el centro. etr rím pe

o

Al dividir perímetro entre diámetro encontramos:

Perímetro 30 = =3 Diámetro 10

etro diám

Sin embargo se sabe que ese cociente no es 3 sino el famoso número Pi (π): 3.141592…

De esto se infiere que para los hebreos Pi era igual a 3.

Una manera de calcular π Como ejemplo inicial, supongamos que tenemos un hexágono inscrito en un círculo de radio uno:

por altura , y en el caso de nuestros triángulos se convierte en 2 1 ⋅ sen(360 6 ) sen(60°) 1 3 3 = = = 2 2 2 2 4

El área de un triángulo es

base

242

El área del hexágono es 6 veces la del triángulo, o sea, = 6

3 3 3 = ≈ 2.5980 4 2

Este número es una aproximación al área del círculo de radio 1. El área real es Pi (aproximadamente 3.1416) y con un hexágono inscrito obtenemos esta pobre aproximación.

Sin embargo la aproximación mejora si tomamos polígonos con más lados para acercarnos al área del círculo.

Supongamos que tomamos ahora un polígono de ene lados dentro del círculo. El área de la superficie resulta ser.

(Número de triángulos) x (área de cada triángulo) = n ⋅

sen(360 n ) n = sen(360 n ) 2 2

La tabla a continuación muestra la relación entre el número de lados del polígono inscrito, el área del polígono y la aproximación de π obtenida: área polígono / área círculo.

Lados

Área

% de Pi

4 6 8 20 92 100 500 1,000

2 2.59807621 2.82842712 3.09016994 3.13915101 3.13952598 3.14150997 3.14157198

63.66% 82.70% 90.03% 98.36% 99.92% 99.93% 100.00% 100.00%

(La tabla está hecha con la hoja de cálculo Excel y por supuesto hay errores de aproximación. En la realidad, con el método sugerido NUNCA se obtiene el número Pi, ya que sólo lo estamos aproximando. Mientras más lados, mejor la aproximación, pero vemos que para Excel bastan solo 500 lados).

El número π en la historia Desde hace miles de años se sabe que no importa el tamaño de un círculo, la proporción entre perímetro y diámetro, es siempre la misma, es decir, es constante. Desde los sumerios en el actual Irak, los egipcios y los chinos, por mencionar algunas civilizaciones, comparaban el área o el perímetro de algún polígono con la del círculo.

El llamado método de Arquímedes es novedoso porque es un procedimiento iterativo semejante al descrito anteriormente con el cual se puede aproximar a Pi tanto como se desee. La idea es construir polígonos dentro y fuera del círculo de manera que cada vez su área (y perímetro) se acerquen más al círculo.

243

La historia cuenta que Arquímedes lo hizo hasta el polígono de 96 lados obteniendo las siguientes desigualdades:

223 22 <π < 71 7 con 6 decimales se obtiene 3.140845 < π < 3.142857 Las primeras 250 decimales de Pi son: 3.14159 26535 89793 23846 26433 58209 74944 59230 78164 06286 82148 08651 32823 06647 09384 48111 74502 84102 70193 85211 44288 10975 66593 34461 28475

83279 50288 41971 69399 37510 20899 86280 34825 34211 70679 46095 50582 23172 53594 08128 05559 64462 29489 54930 38196 64823 37867 83165 27120 19091

La diferencia entre la aproximación menor (3.140845) y π (3.141592)es 0.000747, mientras que la diferencia entre la aproximación mayor (3.142857) y π es 0.001265.

Cada día se encuentran más y más decimales correctos del número Pi usando potentes computadoras.

En lo que resta de la sección, cuando aparezcan decimales en nuestras aproximaciones, usaremos solamente las cuatro primeras

Raíces cuadradas: Método babilónico Mediante un ejemplo trataremos de mostrar cómo trabaja el llamado método babilónico para encontrar raíces cuadradas.

Supongamos que deseamos encontrar la raíz cuadrada de 6.

Escogemos dos números cuyo producto sea 6. Pueden ser 2 y 3 o el mismo 6 junto con el 1.

Usaremos el 2 y el 3 y se deja como ejercicio tomar 1 y 6.

El rectángulo con base 2 y altura 3 tiene área 6. La idea es generar rectángulos todos con área 6 pero acercándonos cada vez más a un cuadrado, también con área 6.

Por supuesto en este caso la longitud de la base es igual a la de la altura, pero como el área es 6, entonces sus lados miden la raíz de 6.

244

Llamamos xo = 6 = 3 x 2 = b x a = base x altura Primera aproximación:

b1 a1

b+a 5 = = 2.5 2 2 x0 6 = = = 2.4 b1 2.5

=

b1 es simplemente el promedio de los tamaños base y altura, y para obtener la nueva altura a1 consideramos sólo lo necesario para que el producto de base y altura siga siendo igual al área: b1 por a1 = 5 / 2 x 12 / 5 = 12 / 2 = 6.

Segunda aproximación:

b2

b1 + a1 4.9 = = 2.45 2 2 x0 6 = = = 2.4 489 b2 2.45

=

a2

Notamos que b2 y a2 son ya bastante parecidos.

Tercera aproximación:

b3 a3

b2 + a2 4.8989 = = 2.4494 2 2 x0 6 = = = 2.4 494 b3 2.4494

=

Vemos que (con cuatro decimales), los números son iguales, o sea 2.4494 es una aproximación a la raíz de 6. De hecho 2.4494 al cuadrado es 5.9995. Si se desea una mejor aproximación, basta seguir con este método o aumentar el número de decimales.

Rectángulo con área 6 base

x

altura = 3

x

2

¿Qué tan buena son las aproximaciones obtenidas?

Podemos medirlas de dos maneras: Primera aproximación 2.5

x

Error

absoluto =

aproximación − realidad

2.4

Error relativo =

error absoluto = realidad

Segunda aproximación 2.45

x

2.44

245

aproximación − realidad realidad

Tomamos las bases obtenidas por este método y comparamos: Base

Error absoluto

Error relativo

3 2.5 2.45 2.4494

55.0510% 5.0510% 0.0510% 0.0090%

22.4745% 2.0621% 0.0208% 0.0037%

Nota. Con este método los valores límite de base y de altura siempre serán la raíz cuadrada de área

Algoritmo del método babilónico En la práctica, para no estar calculando ambas base y altura, basta el siguiente algoritmo.

Sea xo el número del cual deseamos obtener la raíz cuadrada.

Definimos

 x0   + x0  x  = 1+ x0 x1 =  0 2 2  x0   + x1  x  x2 =  1 2  x0   + x2  x  x3 =  2 2

Y así sucesivamente, es decir,

xn+1

 x0   + xn  x  = n 2

Si escribimos xo = 6 y obtenemos la siguiente sucesión de aproximaciones:

246

x1 =

1+ 6 2

 6  + 3.5   3.5  x2 =  2  6  + 2.6071  2.6071  x3 =  2

=

3.5

= 2.6071

= 2.4542

 6  + 2.4542   2.4542  x4 =  2

= 2.4494

Donde éste último número coincide con la aproximación inicial.

La raíz cuadrada de dos Como mencionamos en la sección de números irracionales, Hipaso fue un filósofo griego discípulo de Pitágoras, y se le atribuye la demostración de que raíz de 2 es irracional.

Antes de este descubrimiento, los vegetarianos pitagóricos aseguraban que cualquier número se podía escribir como el cociente de dos enteros. Sin embargo, como bien se sabe, los irracionales son números que no se pueden escribir de esa forma así que causó asombro e incredulidad entre la comunidad pitagórica.

Hipaso divulgó este hecho fuera de la institución y la leyenda dice que tal atrevimiento no le costó la vida, pero si la expulsión de la cofradía así como la construcción de una tumba, donde aparecía su nombre, quedando así muerto para los pitagóricos.

ca te to

El famoso teorema de Pitágoras dice que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa. Si tomamos un triángulo con lados igual a 1, sucede que la longitud de la hipotenusa es raíz de 2. Y esta cantidad es la que Hipaso demostró que no se puede escribir como p / q, con p y q enteros.

ca te to

hipotenusa

247

Una buena manera de aproximarse al número es usar el método Babilónico explicado anteriormente, es decir, tomar un rectángulo de base 2 y altura 1 y obtener cada vez mejores aproximaciones a cuadrados, todos con área 2.

Áreas Sabemos obtener fácilmente el área de rectángulos y de triángulos rectángulos. Si revisamos lo que se estudió en el curso Matemáticas I podemos encontrar lo que aprendimos para la obtención de áreas de diversas figuras geométricas tales como la de algunos poliedros regulares.

Pero, ¿cómo obtenemos, digamos, el área de una figura que no sea muy regular? Para no ir más lejos, ¿como se consigue el área del círculo?

Conocemos la fórmula pero así no tiene chiste. En un curso posterior se estudiará el método de integración que es una herramienta muy potente para el cálculo de áreas y muchas otras cosas.

Antes de continuar, mencionamos que la integral es otro límite. El concepto de límite es fundamental en el cálculo diferencial e integral.

Supongamos que queremos encontrar el área de la cuarta parte de un círculo de radio 1.

Pensaremos al citado círculo con centro en el origen y la parte que nos interesa es la comprendida en el primer cuadrante de plano cartesiano.

La función que describe la altura del círculo es y = 1 − x 2 . Esto viene de que la ecuación del círculo de radio r es mencionada.

x2 + y2 = r2. En nuestro caso r = 1, así que despejando y obtenemos la ecuación

Cada punto del círculo tiene coordenadas (x, y) donde x vive en el intervalo [0, 1]. La letra y es la altura mencionada arriba.

Sumas interiores La idea es dividir el intervalo [0, 1] en distintos tamaños, tomar las alturas interiores y encontrar el área de los rectángulos inscritos. Por ejemplo, dividimos el intervalo en 5 subintervalos, cada uno de longitud 0.2

248

La tabla siguiente agrupa la información: x = base

y = altura

Área

0 a 0.2 0.2 a 0.4 0.4 a 0.6 0.6 a 0.8 0.8 a 1

0.9798 0.9165 0.8 0.6 0

0.1960 0.1833 0.16 0.12 0

Suma

=

0.6593

La columna derecha proporciona el área de cada rectángulo y la suma final debe parecerse a Pi cuartos: π/4 = 0.7854.

El error absoluto es: 0.7854 – 0.6593 = 0.1261 y este número es la suma de las áreas afuera de los rectángulos. El error relativo es: 16.06%.

Así que la suma de las áreas de los rectángulos inscritos es igual a 0.6593. Para no escribir tanto, a tal suma le llamaremos, SUMA INTERIOR.

249

Sumas exteriores Análogamente podemos repetir el ejercicio pero ahora tomando las alturas exteriores, es decir, los rectángulos que acotan exteriormente al área que deseamos encontrar:

En este caso, los números que obtenemos son los siguientes: x = base

y = altura

Área

0 a 0.2 0.2 a 0.4 0.4 a 0.6 0.6 a 0.8 0.8 a 1

1 0.9798 0.9165 0.8 0.6

0.2 0.1960 0.1833 0.16 0.12

Suma

=

0.8593

La suma exterior es 0.8593, el error absoluto es 0.0739 y el error relativo, 9.40%.

Vale la pena recalcar que Sumas interiores < Área buscada < Suma exteriores 0.6593 < 0.7854 < 0.8593

250

Multiplicando por 4 y comparando con π se aprecia mejor: Suma interior

Valor real

Suma exterior

Error:

0.6593 2.6370

0.7854 π = 3.1416

0.8593 3.4370

Absoluto: Relativo:

0.5045 16.06%

0.2955 9.40%

Para aproximar mejor al número Pi, se toman más divisiones, digamos n, del intervalo [0, 1] y se multiplican por las alturas. Se considera la suma de las áreas, que es un número que depende de n; a estas sumas se les conoce como Sumas de Riemann. La idea es tomar el límite cuando el número n tiende a infinito y así obtendremos el área exacta. Esto se estudia en el curso de Cálculo Integral o en Matemáticas V.

El número e Actualmente (abril 2008) el Banco Azteca (*) ofrece 7% de interés por el dinero depositado. La letra pequeña dice tasa bruta anual Si deseamos duplicar la inversión, ¿cuánto tiempo hay que esperar?

La fórmula para esta situación es K = P(1 + r)t donde P es el capital inicial (principal, le llaman en EUA), r la tasa de interés, en decimales y t la cantidad de años. K es lo que se obtiene al sustituir los valores apropiados.

Suponiendo que empezamos con $100 pesos, ¿Cuándo obtendremos $200?

Al final del año tendremos $107. Ahora el banco considera esta cantidad como el nuevo capital y por tanto le vuelve a aplicar el 7% para obtener al final del segundo año: 107 x (1.07) = 114.49 es decir, se obtienen intereses sobre el capital antiguo ($100) y sobre los intereses acumulados ($7) Al final del tercer año la situación es: 114.49 x (1.07) = 122.50 = 100 x (1.07) 3 De hecho para saber cuándo se duplican los 100 pesos basta resolver la ecuación siguiente: 100(1.07) t = 200 Simplificando, es igual a Si tomamos el logaritmo obtenemos Despejando, llegamos a

(1.07) t = 2 t Ln (1.07) = Ln(2) t = Ln(2) / Ln(1.07) = 10.244 251

Es decir, 10 años 2 meses 28 días, aproximadamente.

La fórmula K = P(1 + r)t , se conoce desde hace muchos años ya que es la base para cálculos financieros, cuentas bancarias, hipotecas o préstamos.

Sin embargo, hay situaciones cuando el interés se agrega al capital no solamente una vez al año sino, por ejemplo dos veces. En este caso los $100 serán aumentados en dos ocasiones, cada una con 3.5%, que es la mitad de siete. Se obtiene entonces 100 x 1.035 = $103.5 la primera vez del año y 103.5 x 1.035 = $107.1225, o sea doce centavos más que si se hubiera evaluado una sola vez, es decir, con tarifa anual.

En la industria bursátil existen muchos esquemas de intereses, desde el anual pasando por semestral, trimestral, semanal o aún diario. La fórmula apropiada es

 K = P 1 + 

r n 

nt

donde P es el capital inicial, r la tasa de interés (en decimales), n es el número de veces que se compone el interés en un año y por último t, que es el número de años.

Por ejemplo, si invertimos $100 al 7% de interés anual calculado a distintos intervalos de tiempo se tiene: Período Anual Semestral Trimestral Mensual Semanal Diario

n

K

1 2 4 12 52 365

$107.00 $107.12 $107.19 $107.23 $107.246 $107.250

Aparentemente no hay mucha diferencia entre la situación anual con la diaria, sólo 25 centavos. Sin embargo, si se tratara por ejemplo de la cantidad de 100 millones de Euros entonces la ganancia sería 250,000 Euros, que a un cambio de16.134 Pesos por un Euro, sería más de 4 millones de Pesos. (mayo 2008).

Sirva lo anterior como preámbulo para platicar del número e. ¿Qué sucede si en la fórmula tomamos t = 1 año, el capital inicial K = 1, y el porcentaje igual a 100%, es decir, r = 1 y hacemos tender el número de composiciones al infinito? Es decir, ¿cuánto es el siguiente límite?

 1 lím 1 + n   n →∞  252

n

Escribimos algunos términos usando una hoja de cálculo y 10 decimales: (1+1/n)n

n 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000

2 2.5937424601 2.7048138294 2.7169239322 2.7181459268 2.7182682372 2.7182804692 2.7182816940 2.7182817864 2.7182820308

La sucesión resulta ser creciente y acotada, así que, por el teorema de la convergencia monótona, la sucesión converge. El límite es el número e, que es, aproximadamente = 2.718 281 828 459 045 ..

No se sabe quien fue la primera persona que investigó la sucesión arriba mencionada; lo que si se conoce es que se trabajó en ella desde 1618 (Napier, en Escocia)

Ejercicios Sea T el triángulo acotado por los ejes X y Y y la recta y = 1 – x, donde x está en el intervalo [0, 1].

1) Usa el método de las sumas interiores y exteriores (descrito en ésta sección) para calcular el área de T dividiendo el intervalo en 5 partes. Encuentra error absoluto y relativo.

2) Igual que el ejercicio anterior, solo que dividiendo el intervalo en 10 partes.

3) Aproximar la raíz de 6 tomando un rectángulo con base = 6 y altura = 1, obteniendo los valores que proporcionan los tres primeros pasos del algoritmo babilónico.

4) Lo mismo que el ejercicio anterior pero para la raíz de 2.

 

1

5) Encontrar el error relativo para el décimo término de la sucesión 1 +  n

253



n

Glosario

* Error

absoluto =

* Error

relativo =

aproximación − realidad error absoluto = realidad

aproximación − realidad realidad

.

Ligas externas

* El valor de π a través de la historia: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80#Las_primeras_200_cifras_decimales 2008).

(abril

* Visualización del número Pi: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80 (mayo 2008). * Primeras 100,000 decimales de Pi http://www.uoguelph.ca/zoology/devobio/210labs/MeiosisQuiz/pi.html (mayo 2008). * Banco Azteca y tasa de interés http://www.bancoazteca.com/PortalBancoAzteca/inicio.do;jsessionid=ed86d3d1ea9856ffffffff82389c41 fdeecbf:v5mN (abril 2008).

254

MATEMÁTICAS IV Objetivo 5: Procesos de aproximación Tema 5.4: Pendientes, razones de cambio y sumas infinitas

Pendiente de pirámide En este último tema se intenta estudiar algunas aplicaciones importantes del concepto de límite. Las tres principales son la generalización de la pendiente pero ahora a una curva, el concepto de razón de cambio así como inicios a las series infinitas. En todas estas definiciones está el concepto de límite y algunos de estos temas se abordan en cursos posteriores de matemáticas así como Física y otras disciplinas. Espero no haberlo dicho ya, pero el concepto de LÍMITE es realmente el corazón del cálculo.

Esquema instructivo Tangente a una curva

Aplicaciones del concepto de límite

Razones de cambio

El joven Gauss

Series

Pendiente de una recta En la sección 3.3 recordamos que la pendiente de una recta (no vertical) se encuentra mediante la fórmula

m=

y 2 − y1 x 2 − x1

donde (x1, y1) y (x2, y2) son dos puntos distintos de la recta.

255

Ejemplo 1) La recta horizontal y = 3 tiene pendiente cero ya que esperarse pues una recta horizontal no se inclina para ningún lado.

Ejemplo 2)

y2 – y1 = 3 – 3 = 0 . Era de

La diagonal y = x tiene pendiente 1: dos puntos distintos cualesquiera tienen

coordenadas (x1, x1) y (x2, x2) así que el cociente m =

y 2 − y1 x 2 − x1 = = 1. x 2 − x1 x 2 − x1

Recordamos que la recta y = mx + b, tiene pendiente m.

¿Cómo definiremos la pendiente a una curva?

La pendiente de una curva en un punto de ella, se define como la pendiente de la recta tangente en ese punto. Es decir, para ver qué tan inclinada está una curva, basta considerar la recta tangente en el punto, y la pendiente de esa recta será la pendiente de la curva.

Suena bien, pero, ¿cómo encontramos la recta tangente a una curva? Trataremos de responder mediante un ejemplo Ejemplo 3) Sea y = 1 – x2 y nos interesa encontrar la pendiente de la curva en el punto P(1, 0) El truco es a) Tomar Q, un punto de la curva, cercano a P b) Considerar la recta que une P con Q y c) Encontrar el límite cuando la distancia de Q a P tiende a 0 Este límite (en caso que exista) será la pendiente de la curva en P. Sea pues Q = (h, 1 – h2) un punto de la curva cercano a P La pendiente de la recta que une P con Q es

y2 − y1 1 − h 2 − 0 1 − h 2 m= = = x2 − x1 h −1 h −1

256

Recta por P y Q Podemos simplificar este ultimo numerador y dividir:

m=

1 − h 2 (1 − h )(1 + h ) = = −(1 + h ) = −1 − h h −1 h −1

Como queremos que Q se acerque a P necsitamos que h tienda a 1:

lím (− 1 − h ) = −2

h→ 1

Y por fin, tenemos que la pendiente de la tangente en P es – 2 ( Y de hecho, la recta tangente por P es y = –2x + 2)

257

Recta tangente en P

Definición de pendiente de una curva Sea y = f(x) una curva y P(a, f(a)) un punto de ella donde nos interesa conocer la pendiente m. La pendiente es:

m = lím

x→ a

f ( x ) − f (a ) x−a

Siempre y cuando el límite exista.

Una vez conocido el punto y la pendiente en él, se puede obtener la ecuación de la recta tangente.

Ejemplo 4) Encontrar la pendiente de la curva y = 1/x en P( 2, 1/2)

Basta encontrar

m = lím

x→ a

Sustituyendo: m = lím

x→ a

f ( x ) − f (a ) x−a

f ( x ) − f (a ) 1 x −1 2 2−x 1 −1 = lím = lím = lím =− x → 2 x → 2 x → 2 x−a x−2 2x( x − 2 ) 2x 4

La pendiente es –1/4 y la recta tangente a P es

y=−

258

x +1 4

Tangente a 1/x en el punto (2, 1/2) Ejemplo 5) Hay curvas sin pendiente en algunos puntos. Por supuesto la curva 1/x no tiene pendiente en 0 ya que ahí ni siquiera está definida, pero, tal vez el ejemplo más simple donde una función definida en un punto y cercanías, no tiene pendiente, es el valor absoluto en P(0, 0).

Hay que analizar la función en a = 0 y los siguientes hechos:

m = lím

x→ a

x−0 x f ( x ) − f (a ) = lím = lím x→ 0 x − 0 x→ 0 x x−a

Hay dos posibilidades: x negativo y x positivo: Caso 1) x < 0:

x −x = = −1 x x

Ni necesidad de tomar límite hubo. Análogamente: Caso 2) x > 0:

x x = =1 x x

Por la izquierda es negativo, por la derecha es positivo, pero sabemos que de existir, el límite es único, así que no existe en este caso. La gráfica nos ayuda a confirmar el hecho de la función sin pendiente en el punto P(0, 0):

259

El valor absoluto no tiene pendiente en 0

Razón de cambio La pendiente anterior no es otra cosa más que una razón de cambio:

m=

cambio en y , y tiene muchas aplicaciones, aparte de pendientes, como son: cambio en x velocidades, aceleraciones y diversos cambios relacionados.

Definimos la razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = a, como el siguiente límite

Razón de cambio instantánea = lím

x→ a

f ( x ) − f (a ) x−a

Ejemplo 6) De manera informal, analizamos la siguiente situación: Aseguramos que Si la función f(x) va creciendo en el punto P(a, f(a)) entonces, la pendiente en P es positiva.

Tenemos que examinar dos casos: Caso 1) Sea x < a. Como f crece entonces f(x) < f(a) Investigamos el signo del cociente:

f ( x ) − f (a ) < 0 − = = =+ x−a <0 −

Ya que numerador y denominador son negativos, el cociente es positivo y así la pendiente en este caso, también lo es.

260

Caso 2) Si ahora tomamos x > a, tenemos que f(x) > f(a), y viendo los signos del cociente

f ( x ) − f (a ) > 0 + = = = + notamos que nuevamente es positivo x−a >0 + Por lo tanto, si la función crece, entonces la pendiente es positiva.

En un curso posterior se verá que si la pendiente es positiva, entonces la función es creciente.

Introducción a las Sumas infinitas (series) El joven Gauss Desde muy temprana edad el astrónomo y matemático alemán Carl Friederick Gauss (1777-1855) mostró una gran habilidad para el manejo de los números. Cuenta la leyenda que cuando apenas tenía 10 años su maestra de escuela les ordenó que sumaran del 1 al 100, esto para mantenerlos ocupados un buen rato mientras ella realizaba alguna otra actividad. El joven Gauss contestó casi instantáneamente 5,050. ¿Cómo lo hizo?

Escribió en orden algunos términos del 1 al 100. Después, escribió abajo del 100 al 1 y notó que la suma de cada columna es 101. ¿Cuántos términos hay?: 100 exactamente: X= X= 2X =

1 100 101

2 99 101

3 98 101

4 97 101

… … …

97 4 101

98 3 101

99 2 101

100 1 101

Así que si la suma es X, al sumarla consigo misma –los mismos términos en orden inverso– se obtiene 2X, y este número 2X es exactamente 100 veces el número 101. Por lo tanto X es la mitad de este producto, es decir, 5,050.

Dicho algebraicamente: 2X = 101 x 100 = 10,100 o sea,

X = 10,100 / 2 = 5,050

Después de esta interesante introducción a las sumas, recordamos que es muy frecuente que en el ambiente de las matemáticas se deseen sumar los términos de una sucesión, por ejemplo cuando ciertas áreas o algunas cantidades diferentes, que, además no son sumas finitas sino infinitas. Para prepararnos a su estudio empezamos con una definición y algo de notación.

261

Sumas parciales Las sumas parciales de la sucesión a1, a2, a3, ... an, … se definen de la manera siguiente S 1 = a1 primera suma parcial S2 = a1 + a2 segunda suma parcial S3 = a1 + a2 + a3 tercera suma parcial Sn = a1 + a2 + a3 + … + an enésima suma parcial La notación suma (o sigma) de la enésima suma parcial es: n

S n = ∑ ak k =1

Donde ak es llamado el término general de la suma; a la letra k se llama índice o contador de la suma y nos indica que en este caso, se están sumando los primeros ene términos de la sucesión, ya que el contador k va de 1 a n.

(Por supuesto en vez de k se pudo poner cualquier objeto como contador, pero lo más común es usar alguna letra distinta de n: S n =

n

n

n

n

k =1

j =1

i =1

h =1

∑ a k = ∑ a j = ∑ ai = ∑ a h )

Ejemplo 7) Si an = n, la sucesión de los enteros positivos entonces la enésima suma parcial es Sn = 1 + 2 + 3 +… + n.

Sin embargo, usando el argumento de Gauss, tal suma parcial es igual a S n =

n

∑k = k =1

n(n + 1) 2

1 a partir de n =1, entonces la ene suma parcial es: n 2 

Ejemplo 8) Si la sucesión es 

Sn = 1 +

n 1 1 1 1 + 2 + ... + n = ∑ k 2 2 2 k =1 2

Si nos olvidamos momentáneamente del 1 inicial podemos ver que las primeras sumas parciales son:

1 , 2

1 1 + , 2 4

1 1 1 + + , 2 4 8

1 1 1 1 + + + , 2 4 8 16

1 1 1 1 1 + + + + 2 4 8 16 32

262

Observando la figura siguiente:

podremos encontrar

1 1 1 1 + + + ... + n + ... ?

2 4 8 2

¿cuál es el valor de la suma infinita

¿Qué es una serie?

Una serie o suma infinita es un límite; el límite de la sucesión de sus sumas parciales: ∞

∑a 1

n

n

= lim ∑ a j = lim S n n →∞

1

n →∞

Si el límite existe, se dice que la suma converge al valor de límite o simplemente que la suma existe.

Si no existe el límite, se dice que la suma diverge.

Notas: 1) Ya que las sumas infinitas son límites, son naturales los resultados heredados de las operaciones entre límites 2) Las sumas no necesariamente empiezan en 1. Pueden hacerlo en cualquier entero 3) Tanto pi (π) como e tienen desarrollo en series. Ver ejercicios. ∞

4) Una bonita serie divergente: la serie armónica:

1

1

1

k= 1

demostración de este hecho aparece en http://www.rinconmatematico.com/series/seriearmonica.htm 263

1

∑ k = 1 + 2 + 3 + ... + n + ... (mayo 2008).

Una

Ejercicios 1) Usando el método para sumar atribuido a Gauss, encuentra la siguiente suma: 1+2+3+ … +n [ Respuesta: n(n+1) / 2 ].

Encuentra las 5 primeras sumas parciales de las siguientes sucesiones: 2) 1, 3, 5, 7, 9, …

3) 2, 4, 6, 8, 10, ...

4) ½, 2/3, ¾, 4/5, ...

5) 2, –4, 8, –16, 32, ...

6) 1, –1, 1, –1, 1, ...

7) 1, 1/3, 1/32, 1/33, 1/34, …

Encuentra las sumas siguientes 4

8)

∑i

3

i=2 4

9)

∑ (− 2)

j

j =0 5

10)

1

∑t t =1 4

11)

∑3 k =1

Escribe con notación sigma las siguientes sumas, y, de ser posible realiza la suma: 12) Los pares, desde el 4 al 400 13) Los impares, desde el 5 al 101 14) Los cuadrados, desde 0 hasta 104 15) El número 7, 100 veces Grafica y encuentra la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas 16) y = x/4 + 2, para x = 4 17) y = 3x2 + x, en x = 1

18) Una fórmula para encontrar el número Pi es la siguiente:



1

1

1

1

1



π = 4 1 − + − + − + ..  3 5 7 9 11  Usando una hoja de cálculo encuentra la suma de los primeros 50 términos.

19) ¿A partir de qué término llega la suma a 3.14? (Tal término es mayor a 600).

264

20) Sobre la función exponencial sabemos que exp(1) = e1 = 2.781828… Mediante diversos argumentos (Teorema del Binomio o el de Taylor) se puede mostrar que

1+

1 1 1 1 + + + + ... = e 1! 2! 3! 4!

Donde ! denota factorial: 1! = 1, n! = n·(n – 1)!

Encuentra los primeros diez sumandos y observa que tan lejos o cerca está del número e.

Glosario

Pendiente de una curva en P: pendiente de la recta tangente en el punto P Suma parcial: Sn = a1 + a2 + a3 + … + an Suma infinita: El limite de las sumas parciales Sn cuando n tiende a infinito

Ligas externas

* Demostración de la divergencia de la serie armónica: http://www.rinconmatematico.com/series/seriearmonica.htm (mayo 2008). * En la página siguiente se pueden construir ejemplos de sucesiones y analizar sus términos. http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_2/Progresiones/ (mayo 2008). * Ejemplos de sucesiones y series: http://www.oma.org.ar/omanet/misc/00-07.htm (mayo 2008).

Ilustraciones

* Primera página: pendiente de la pirámide http://farm2.static.flickr.com/1019/1438498895_e2161f853b.jpg?v=0 (mayo 2008).

265

Gobierno del Distrito Federal Secretaría de Educación Instituto de Educación Media Superior México, D.F. Matemáticas IV Versión para el Bachillerato Semiescolar Autor: Autor: Alejandro E. Montés y Gómez Daza Corrección de estilo: René Chargoy Guajardo

Enero 2009 Versión electrónica: Diciembre 2009

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