Módulo 18
Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales Función lineal
Función
linea
La función lineal es una función polinómica de primer grado que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Para representar una función de este tipo, existen dos formas:
A partir de éstas, se puede determinar: m = la pendiente o inclinación de la recta b = el punto de cruce de la recta con el eje vertical y x = la variable
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¿Cómo graficar? Por ejemplo, la recta de la ecuación: y = –2x + 4 se grafica así:
7 6 5 4 3 2 1 0 –3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
En el caso de la recta de la ecuación y = x + 6 se representa:
12 10 8 6 4 2 –12
–10
–8
–6
–4
–2
0 0 2
4
6
8
10
12
–2
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Aplicación de una función lineal en actividades cotidianas Posiblemente lo primero que explica el concepto velocidad es cubrir una distancia en el menor tiempo posible. Es una idea general aceptada, sin embargo, la velocidad es una cantidad física.
Al viajar en automóvil, podrías preguntarte cuánto tardas en recorrer una distancia de 120 km y podrías responder: 1 hora.
Sin embargo, el velocímetro no permanece fijo indicando 120 km/h todo el viaje, ya que arrancamos, frenamos y aceleramos repetidas veces.
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Por ello, se calcula la velocidad promedio (o media), no la velocidad de cada instante, llamada velocidad instantánea o simplemente velocidad.
Entonces Se suele calcular con la fórmula:
¿cómo cálculo la velocidad promedio?
V= distancia
tiempo
Si se mantiene una velocidad constante de 120 km/h, el recorrido será de 120 km en 1 hora.
20 km en 10 minutos 60 km en 30 minutos 240 km en 120 minutos y así sucesivamente. La tabla de tiempo-distancia muestra que si la velocidad se mantiene constante es natural que el tiempo y la distancia sean equivalentes.
Tiempo (h, en horas)
Distancia (km)
1/4
30
1/2
60
1
120
2
240
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La siguiente gráfica muestra con puntos las diferentes distancias recorridas, que mantienen una velocidad constante. La ecuación que describe este fenómeno se representa como una línea recta, cuya forma general de la función es ax + by = c y
La variable dependiente es y, que representa la distancia o espacio recorrido.
t La variable independiente (dominio de la función) es la t que se encuentra en el eje x
Formas de representación de la ecuación ax+by=c Otra forma de representar la función ax + by = c es con su forma ordinaria, en donde b representa la ordenada al origen y m, la pendiente.
y = mx + b
La función que describe los puntos de la gráfica está dada por y = m t, donde m es la pendiente velocidad del automóvil, y t, el tiempo. De este modo, los movimientos que se realizan a velocidad constante están determinados por una recta.
y = mt
y = mt Esta ecuación tiene la forma de la ecuación y=mx + b, que muestra una pendiente y una ordenada al origen. Si la velocidad y t son iguales a cero (v = 0 y t = 0), entonces y = b
y = vt + b0 Si se conocen la posición inicial de b, llamada b0, y la velocidad (v) del automóvil, la ecuación de la recta queda definida por la ecuación y = vt + b0
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Gráficamente
y y = v * t + b0
Se trata de una ecuación lineal, ya que la variable y depende del tiempo (t) siempre y cuando la velocidad sea constante o se calcule una velocidad media.
b0 El término b0 representa la posición inicial del automóvil, que iniciará su movimiento en forma recta.
Para lograr una velocidad constante de 120 km/h el punto de partida del conteo debe ser cuando el automóvil alcance esa velocidad.
x Un movimiento en este caso va a depender de las constantes: posición y velocidad, donde el comportamiento de éstas determina el comportamiento de las demás.
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