Información general de la asignatura 2

Ecuaciones diferenciales II Información general de la asignatura

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

10° cuatrimestre

Ecuaciones Diferenciales II

Información general de la asignatura

Clave: 050941038

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Ecuaciones diferenciales II Información general de la asignatura

Índice Ficha de identificación ........................................................................................................................ 3 Competencia general ........................................................................................................................... 4 Temario ................................................................................................................................................... 4 Metodología de trabajo ....................................................................................................................... 5 Evaluación .............................................................................................................................................. 6 Fuentes de consulta ............................................................................................................................ 7

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Ecuaciones diferenciales II Información general de la asignatura Ficha de identificación División Nombre de la licenciatura Nombre la asignatura Clave de asignatura

Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología Licenciatura en Matemáticas Ecuaciones Diferenciales II 050941038

Seriación

Ecuaciones Diferenciales I

Cuatrimestre Horas contempladas

Décimo 72

Descripción Esta asignatura te enseña cómo utilizar los métodos analíticos y cualitativos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, con el fin de que lo asocies a modelos que simplifican fenómenos que se presentan en la vida cotidiana.

La asignatura se ubica en el décimo cuatrimestre del cuarto módulo de la Licenciatura en Matemáticas, el cual corresponde a una formación profesional. Tiene una estrecha relación con las asignaturas de Geometría Analítica I, Geometría Analítica II, Cálculo Diferencial, Cálculo Integral, Algebra lineal I, Algebra lineal II, Análisis Numérico I y es consecutiva de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales I. En la unidad 1, estudiarás la definición, propiedades y el principio de linearidad para solucionar o aproximar la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos y no homogéneos a partir del álgebra de matrices y la geometría analítica.

La unidad 2, utilizarás los conocimientos de la unidad anterior, complementándolo con el método de linearización y los métodos cualitativos (geométricos) para aproximar la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales.

En la unidad 3, estudiarás la definición y propiedades de los modelos Hamiltonianos, la definición de la función de Liapunov para graficar planos fase de sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de Lorenz, y la estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales.

Propósitos En esta asignatura, por medio de los conocimientos que has obtenido en álgebra lineal y cálculo te permitirán:

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Ecuaciones diferenciales II Información general de la asignatura   

Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, utilizando los teoremas y métodos analíticos o cuantitativos según sea el caso.

Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales, a partir del teorema de linealización y métodos cualitativos.

Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales para determinar la estabilidad del mismo, aplicando la definición de modelo Hamiltoniano, función de Liapunov y las ecuaciones de Lorenz.

Competencia general Utilizar las definiciones, propiedades, métodos cualitativos y analíticos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales para relacionarlos con modelos matemáticos, a partir del principio de linearidad, el teorema de linealización, los modelos Hamiltonianos y la función de Lyapunov .

Competencias a desarrollar Unidad 1 Utilizar la definición, propiedades y métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos y no homogéneos, para resolver problemas de la vida real, mediante el uso del principio de linearidad y la teoría de matrices.

Unidad 2 Utilizar la definición, propiedades, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales a partir del teorema de linealización y métodos cualitativos.

Unidad 3 Aplicar las definiciones, propiedades, teoremas de la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales para determinar la estabilidad de un sistema lineal y no lineal, mediante el teorema de linealización, los modelos Hamiltonianos, la función de Lyapunov y los criterios de estabilidad.

Temario 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos 1.1.1. Definiciones y propiedades 1.1.2. Puntos críticos 1.2. Linearidad 1.2.1. Principio de linearidad 1.2.2. Puntos críticos 1.3. Plano fase 1.3.1. Vectores propios reales y complejos

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Ecuaciones diferenciales II Información general de la asignatura 1.3.2. Vectores propios casos especiales 2. Sistemas de ecuaciones no lineales 2.1. Linealización 2.1.1. Linealización alrededor de los puntos críticos 2.1.2. Modelo de especies en competencia 2.2. Métodos cualitativos 2.2.1. Análisis de puntos críticos 2.2.2. Ceróclinas y su clasificación 3. Estabilidad 3.1. Modelos Hamiltonianos 3.1.1. Definiciones y propiedades 3.1.2. Plano fase y curvas de nivel 3.2. Función de Liapunov 3.2.1. Definición 3.2.2. Oscilador armónico amortiguado 3.3. Ecuaciones de Lorenz 3.3.1. Soluciones periódicas 3.3.2. Caos

Metodología de trabajo Los conceptos bien definidos, la solución de ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, no lineales, y sus aplicaciones serán de gran importancia para logres conocimientos sólidos en esta asignatura. Te recomiendo el uso de programas como “WolframAlpha” y “dfield and pplane” disponibles en http://www.wolframalpha.com/ y http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html para graficar funciones, curvas de nivel y planos fase.

Las tareas y actividades te ayudarán a reforzar cada unidad de la asignatura; las evidencias de aprendizaje le proporcionarán problemas de la vida cotidiana, donde podrá aplicar los conocimientos adquiridos.

El uso de blogs y wikis servirán de apoyo, ya que proporcionan mayor diversidad de ejemplos que tal vez no se hayan visto en el presente material, pero que están relacionados con la asignatura.

El facilitador será el guía del estudiante sobre todo en los temas u problemas que no se identifican a simple vista, también se encargará de la evaluación del estudiante.

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Ecuaciones diferenciales II Información general de la asignatura Evaluación Para este cuatrimestre, la evaluación se hará con base en las siguientes categorías: Actividades colaborativas. Esta categoría engloba todas las actividades que realizarás en equipo con tus compañeros, mismas que pueden ser proyectos, escritos, participación en foros, etc. Los medios que se utilizarán para la entrega de los productos que resulten de las actividades de esta categoría pueden ser diferentes, por lo que es importante que revises las instrucciones detenidamente a fin de comprender la dinámica de trabajo.

Tareas. Esta categoría incluye todas las actividades que realizarás de manera individual, tal y como lo has hecho en ciclos anteriores. Las tareas serán entregadas a través de la plataforma y tendrás la oportunidad de enviar tu borrador y la versión final después de los ajustes que tu facilitador sugiera en su retroalimentación con el propósito de que obtengas los mejores resultados en tu evaluación. e-Portafolio. En esta categoría se integran las evidencias de aprendizaje, las cuales pueden ser de diferentes tipos y que como sabes, son los productos que dan cuenta del alcance de las competencias que se plantean para cada unidad y que en su conjunto, evidencian el logro de la competencia general de la asignatura. Las evidencias ya en este nivel, se enfocan a que demuestres cómo has logrado la integración del conocimiento adquirido a lo largo de los módulos anteriores y cómo lo utilizas en el ámbito de la formación especializada, centrándose en los procesos y reproduciendo las condiciones o al menos la clase de problemas, a los que te enfrentarás en la vida laboral. También en el portafolio se consideran las autorreflexiones de cada unidad, actividad que te permite revisar tu propio proceso de aprendizaje y cómo los distintos saberes han contribuido a tu formación profesional.

Asignación a cargo del facilitador. Esta es la última categoría de evaluación y en ella se consideran todas las actividades que tu facilitador asigna y califica durante el curso de manera independiente a las que se han definido en el programa de la asignatura. Estas actividades son importantes dado que los docentes las diseñan y las evalúan, con base en lo que han observado durante el acompañamiento de tu aprendizaje, tus áreas de oportunidad, identificando las habilidades y/o actitudes que requieren de tu parte una mayor ejercitación y reflexión.

Con base en lo anterior, el esquema de evaluación para la asignatura queda definido de la siguiente manera:

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La evaluación a través de actividades se realizará de la siguiente manera: La Unidad 1 se evalúa con tres actividades. En la primera utilizará la definición y propiedades de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales para identificar sus tipos y características, en la segunda resolverá sistemas de ecuaciones lineales homogéneos; y en la última actividad calculará la solución de sistemas lineales no homogéneos La Unidad 2 se evalúa con tres actividades. En la primera utilizará la definición y características de los sistemas de ecuaciones no lineales, en la segunda resolverá sistemas de ecuaciones no lineales a partir del teorema de linealización; y en la última actividad aplicará métodos cualitativos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

En la Unidad 3, se evalúa con cuatro actividades. En la primera utilizará la definición y propiedades de los modelos Hamiltonianos, en la segunda resolverán modelos Hamiltonianos y sistemas de ecuaciones diferenciales donde se aplica la función de Lyapunov; y en la última actividad aplicará el teorema de linealización para resolver las ecuaciones de Lorenz alrededor del origen.

Fuentes de consulta     

Boyce W; Diprima R. (2000). Ecuaciones diferenciales con valores en la frontera. (5 Ed.) México. Limusa Hirsch M.; Smale M.,. (1983). Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal. Madrid. Alianza.

Simmons F., (1983). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas.

Madrid. Mac Graw–Hill.

Braun M., (1990). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. México. Iberoamérica.

De Guzmán M., (1987). Ecuaciones diferenciales ordinarias: teoría de estabilidad y control. Madrid. Alhambra.

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