Programa Desarrollado de: "Formando Cónicas" del Plan de Estudios del Bachillerato Digital CDMX.

FORMANDO CÓNICAS Presentación Las curvas cónicas son generadas a partir del corte realizado sobre un cono, dependiendo de su inclinación se podrán producir circunferencias, elipses o parábolas.

La asignatura de Formando Cónicas combina el estudio de estas curvas con el álgebra para definir las ecuaciones y características que los diferencian.

Imagen 1. Trazoide

Al estudio de las curvas cónicas se suma el estudio de la línea recta, por lo que el estudio de esta asignatura brindará los conocimientos necesarios para analizar curvas cónicas y la recta desde un punto de vista matemático, lo cual te permitirá aplicar los conocimientos adquiridos y profundizar en el estudio de otras asignaturas, como por ejemplo el análisis del movimiento conocido como tiro parabólico.

Durante el estudio de los temas se te presentará la información de la manera más clara y sencilla posible, revisando paso a paso los procedimientos algebraicos y realizando ejercicios de aplicación.

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La Unidad 1 está dedicada al estudio de las coordenadas rectangulares y las aplicaciones que se pueden realizar, como la determinación de la distancia entre dos puntos, las coordenadas de un punto que divide un segmento y la determinación del perímetro y área de un polígono a partir de las coordenadas de sus vértices.

La unidad 2 corresponde a la identificación de dominio, rango, intersecciones y simetrías de funciones. También se estudia la recta y las diferentes formas de expresar su ecuación.

En la Unidad 3 se estudiará la definición y los elementos de la Elipse, así como las ecuaciones de Elipses horizontales y verticales en sus diferentes formas.

En la Unidad 4 conocerás la definición y los elementos de la Parábola; aplicarás las ecuaciones de Parábolas horizontales y verticales en la solución de problemas.

Finalmente la Unidad 5 está dedicada al estudio de la Circunferencia, los elementos que la definen y las diferentes formas de expresar su ecuación.

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UNIDAD 1. LUGAR GEOMÉTRICO

Introducción Seguramente alguna vez has tenido la sensación de estar extraviado y has preguntado en dónde se encuentra el lugar al que deseas llegar, es decir, la dirección hacia la cual debes dirigirte y cuánto debes caminar; ante esta situación alguien te ha dado instrucciones parecidas a las siguientes: “camina dos cuadras de frente, después doblas hacia la derecha y caminas otras tres cuadras”, en un sentido matemático decimos que te ubicas en el origen de un sistema de coordenadas imaginario y trazas una trayectoria que te lleve a tu destino, así estas empleando la ubicación de un sistema de coordenadas.

El uso de los sistemas coordenados es muy útil para la ubicación de cualquier objeto o lugar, como ejemplos podemos mencionar la ubicación de los muebles en tu casa y la ubicación de un lugar en el globo terráqueo.

Imagen 2. Globo terráqueo Un ejemplo moderno es el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) que se ha incorporado a todo tipo de trabajos que necesitan de una gran precisión a la hora de determinar la posición en la que se encuentra un barco, un avión, un coche, una persona, o un objeto cualquiera.

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Imagen 3. Sistema de posicionamiento global (GPS) Las trayectorias posibles en un plano cartesiano son infinitas y cada una de ellas puede ser representada por una ecuación que da lugar a la forma característica de una curva, conocida en matemáticas como lugar geométrico.

El concepto de Lugar Geométrico llevó a los matemáticos griegos al desarrollo de la geometría. Clasificaban los lugares geométricos de diferentes formas según fueran rectas, cónicas u otras curvas.

Imagen 4. Lugares geométricos En esta unidad estudiarás algunos de los conceptos fundamentales de nuestra asignatura. En particular, estudiarás el plano cartesiano, la ubicación de puntos en los cuatro cuadrantes, la distancia entre dos puntos y algunos ejemplos que implican la determinación de coordenadas empleando el procedimiento conocido como tabulación así como la determinación de perímetros y áreas de figuras regulares e irregulares.

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Propósito Al finalizar la unidad serás competente para:

Utilizar las coordenadas rectangulares, podrá determinar el área y el perímetro de un polígono por medio de las coordenadas de sus vértices y dividir un segmento determinado por dos puntos entre una razón dada. Esto le permitirá resolver ejercicios de otras disciplinas como Física, Biología, o de matemáticas más avanzadas.

Propósitos particulares de la unidad 1. Comprender la importancia y utilidad de la referencia por medio de coordenadas rectangulares.

2. Aplicar la división de un segmento formado por dos puntos entre una razón determinada.

3. Aplicar los métodos para determinar el área y perímetro de un polígono a partir de sus coordenadas en el plano cartesiano.

Temario 1.1 Coordenadas Rectangulares 1.2 Gráfica de una Ecuación y Lugar Geométrico 1.3 Distancia Entre Dos Puntos 1.4 Coordenadas de un Punto que Divide un Segmento Entre una Razón Dada 1.5 Determinación del Perímetro de un Polígono por Medio de las Coordenadas de sus Vértices 1.6 Determinación del Área de un Polígono por Medio de las Coordenadas de sus Vértices

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1.1

Coordenadas Rectangulares

Cuando deseamos ubicar un lugar siempre tomamos algún punto y un sistema como referencia; por ejemplo, podemos decir que la estación del metro San Juan de Letrán de la Línea 8 del Metro, se encuentra a 300 metros al sur del edificio de la Torre Latinoamericana, con ello establecemos el edificio como el lugar de origen de nuestra referencia y aplicamos los puntos cardinales para saber en qué dirección movernos y encontrar el lugar deseado. Como se ve en la siguiente imagen.

Imagen 5. Empleo de puntos cardinales para ubicar un lugar Con el mismo propósito se han creado diferentes sistemas de referencia entre ellos

las

Coordenadas

Rectangulares,

que

también

se

conocen

como

Coordenadas Cartesianas en honor del matemático francés René Descartes. Este sistema de coordenadas puede ser utilizado en dos o tres dimensiones, para

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efecto de nuestro curso solo lo aplicaremos en dos dimensiones, para ello trazamos un eje horizontal, el cual se conoce como Eje de las Abscisas y por lo general se le asigna la letra x, en seguida trazamos otro eje perpendicular al primero, que se conoce como Eje de las Ordenadas y le asignamos la letra y.

Se denominan coordenadas rectangulares debido a que los ejes al cortarse forman ángulos rectos; al trazar los ejes coordenados se forman cuatro partes que se llaman cuadrantes y se numeran en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

En el punto donde se cruzan los ejes se encuentra el origen para ambos ejes, es decir, que ahí se encuentra el punto cero. Una vez trazados se indican divisiones con números enteros que servirán para determinar la posición de cada punto, los números a la derecha y hacia arriba del origen serán positivos, mientras que los números a la izquierda y hacia abajo serán negativos.

En la siguiente imagen puedes observar el número de cuadrante y las coordenadas con el signo que le corresponde a cada una de ellas.

7

y

8

6

4

(-x,y)

(x,y)

Cuadrante II

Cuadrante I 2

x -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-2

Cuadrante III (-x,-y)

Cuadrante IV -4

(x,-y)

-6

-8

Imagen 6. Signo de las coordenadas en el Plano Cartesiano Como hemos indicado, en el curso solo aplicaremos las coordenadas en dos dimensiones, una vez trazados los ejes tenemos definido el Plano Cartesiano, para ubicar un punto sobre este plano siempre se indica primero el valor de la coordenada en x seguido de una coma y el valor de la coordenada en y, ambas cantidades deben escribirse dentro de parĂŠntesis, de esta manera la posiciĂłn de un punto se representa P(x, y).

Por ejemplo, los puntos đ?‘¨ đ?&#x;’ , đ?&#x;• ; đ?‘Š −đ?&#x;“ , đ?&#x;‘ ; đ?‘Ş âˆ’đ?&#x;” , −đ?&#x;’ ; đ?‘Ť đ?&#x;• , −đ?&#x;“ se ubican en

la siguiente grĂĄfica:

8

Imagen 7. Ubicación de puntos en el Plano Cartesiano

(Se realiza en plataforma)

1.2

Gráfica de una Ecuación y Lugar geométrico

En el estudio de este curso veremos dos condiciones, en la primera será posible determinar la gráfica que corresponde a una ecuación, en la segunda a partir de la gráfica se determinara la ecuación correspondiente. La primera condición será

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analizada en este tema mientras que la segunda serĂĄ desarrollada a lo largo de los prĂłximos temas.

Para determinar la grĂĄfica de una ecuaciĂłn dada, es necesario llevar la ecuaciĂłn a la forma de una funciĂłn đ?‘“ đ?‘Ľ, đ?‘Ś = 0, es decir, debemos establecer una variable independiente y otra dependiente cuyo valor dependerĂĄ de los valores que tome la

primera variable, por ejemplo, determinar la grĂĄfica de la siguiente ecuaciĂłn: −8đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 6 = 0

Paso No.1

Definimos a đ?’™ como la variable independiente y a đ?’š como la variable dependiente.

Paso No. 2 Despejamos a đ?’š

−8đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś + 6 = 0 2đ?‘Ś = 8đ?‘Ľ − 6 đ?‘Ś=

6 8 đ?‘Ľâˆ’ 2 2

đ?’š = đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;‘

Paso No. 3

Se proponen valores para đ?’™, por ejemplo de -1 a 3 Paso No. 4 Se determinan los valores que resultan para đ?’š al sustituir cada valor de đ?’™.

A

đ?’™

-1

-7

B

0

-3

C

1

1

D

2

5

E

3

9

Punto

đ?’š

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Paso No. 5 Localizar las coordenadas de cada uno de los puntos en el Plano Cartesiano y trazar la línea que los une.

Imagen 8. Lugar Geométrico de una ecuación lineal.

Como definición de Lugar Geométrico podemos decir que es el lugar de cada uno de los puntos de la gráfica que han satisfecho la ecuación

(Se realiza en plataforma)

1.3

Distancia Entre Dos Puntos

Una vez que hemos ubicado la posición de dos puntos en el plano cartesiano es posible determinar la distancia que existe entre ellos. La distancia entre los puntos A y B se representa como 𝐴𝐵 , la línea horizontal que se coloca sobre AB nos indica que nos referimos al segmento recto que separa los dos puntos.

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Existen dos casos particulares que se pueden presentar, cuando ambos puntos pertenecen a una lĂ­nea horizontal o cuando ambos puntos pertenecen a una lĂ­nea vertical. Si los dos puntos pertenecen a una lĂ­nea horizontal tendrĂĄn el mismo valor de la ordenada por lo tanto su distancia se determina restando los valores de las abscisas, por ejemplo:

Imagen 9. Distancia entre dos puntos que pertenecen a una lĂ­nea horizontal La distancia AB estĂĄ dada por đ??´đ??ľ = đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ = 6 − 2 = 4 Pero si deseamos determinar la distancia BA tendremos đ??ľđ??´ = đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ľ = 2 − 6 = −4 Sin embargo, las distancias siempre son consideradas positivas, por lo que la expresiĂłn final para determinar la distancia entre dos puntos cuando estos pertenecen a una lĂ­nea horizontal estĂĄ definida por: đ??´đ??ľ = đ?‘Ľđ??ľ − đ?‘Ľđ??´ = 6 − 2 = 4 o

đ??ľđ??´ = đ?‘Ľđ??´ − đ?‘Ľđ??ľ = 2 − 6 = 4

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Las barras verticales nos indican que debemos tomar el Valor Absoluto de los nĂşmeros, es decir, tomamos el valor numĂŠrico sin considerar el signo que tengan, de esta manera siempre serĂĄn distancias positivas.

En forma anĂĄloga cuando los puntos pertenecen a una lĂ­nea vertical la distancia entre ellos estĂĄ definida por la diferencia entre las ordenadas. đ??´đ??ľ = đ?‘Śđ??ľ − đ?‘Śđ??´ o

đ??ľđ??´ = đ?‘Śđ??´ − đ?‘Śđ??ľ

Analicemos ahora la situaciĂłn cuando los puntos pertenecen a una grĂĄfica que no es una lĂ­nea horizontal o vertical, por ejemplo:

Imagen 10. Distancia entre dos puntos que pertenecen a una lĂ­nea inclinada Tenemos los puntos A (3, 4) y B (8, 9), el primer paso serĂĄ proyectar una lĂ­nea paralela al eje x que pase por el punto A, posteriormente trazamos una lĂ­nea vertical que sea paralela al eje y que pase por el punto B: En la intersecciĂłn de las rectas se encuentra el punto P (8, 4)

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Imagen 11. Componentes horizontal y vertical de la distancia entre dos puntos que pertenecen a una lĂ­nea inclinada Con los puntos A, B y P hemos formado un triĂĄngulo rectĂĄngulo, por el teorema de PitĂĄgoras sabemos que đ?‘? 2 = đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 donde c es la hipotenusa, a y b son los

catetos del triĂĄngulo, en nuestro caso tenemos que el segmento đ??´đ??ľ es la hipotenusa y por lo tanto đ??´đ?‘ƒ đ?‘Ś đ??ľđ?‘ƒ son los catetos, entonces podemos afirmar que đ??´đ??ľ 2 = đ??´đ?‘ƒ 2 + đ??ľđ?‘ƒ 2

Ya hemos visto como determinar la distancia entre dos puntos cuando pertenecen a una recta horizontal, la distancia đ??´đ?‘ƒ serĂĄ:

đ??´đ?‘ƒ = đ?‘Ľđ?‘? − đ?‘Ľđ??´ = 8 − 3 = 5

En el caso de la distancia đ??ľđ?‘ƒ aplicamos lo visto para una recta vertical đ??ľđ?‘ƒ = đ?‘Śđ?‘ƒ − đ?‘Śđ??ľ = 4 − 9 = 5

Volviendo a nuestra primera expresiĂłn tenemos que

đ??´đ??ľ 2 = đ??´đ?‘ƒ2 + đ??ľđ?‘ƒ 2 = 52 + 52 = 50

Como nos interesa el valor del segmento đ??´đ??ľ aplicamos raĂ­z cuadrada y tenemos

el resultado:

đ??´đ??ľ = 50 = 7.07

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Ahora, podemos generalizar los pasos realizados en una expresiĂłn que podemos recordar y aplicar rĂĄpidamente, si observas, hemos obtenido las diferencias de los valores en đ?’™ y đ?’š para posteriormente elevarlos al cuadrado, sumarlos y obtener raĂ­z cuadrada, entonces la expresiĂłn que generaliza todo lo realizado nos queda

como: �� =

đ?’™đ?‘Š − đ?’™đ?‘¨

đ?&#x;?

+ đ?’šđ?‘Š − đ?’šđ?‘¨

đ?&#x;?

Comprobemos nuestra expresiĂłn con el ejemplo anterior, si tenemos los puntos đ?‘¨ đ?&#x;‘ , đ?&#x;’ y đ?‘Š đ?&#x;– , đ?&#x;— , la distancia entre ellos estarĂĄ determinado por: đ??´đ??ľ =

đ??´đ??ľ =

8−3

2

+ 9−4

2

52 + 52 = 25 + 25 = 50 = 7.07

(Se realiza en plataforma)

1.4

Coordenadas de un Punto que Divide un Segmento Entre una RazĂłn Dada

Supongamos que tenemos los puntos đ??´ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 đ?‘Ś đ??ľ(đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) que forman el segmento đ??´đ??ľ en el cual se coloca el punto C, ĂŠste nuevo punto divide el segmento entre una razĂłn determinada y se desea encontrar las coordenadas de dicho punto.

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Imagen 12. Punto C que divide a un segmento de recta Primeramente debemos tener claro el concepto de razĂłn, el cual se define como cociente entre dos cantidades que son comparables entre sĂ­, se expresa de la forma “a es a bâ€? Ăł

đ?’‚ đ?’ƒ

, en nuestro caso la razĂłn serĂĄ la divisiĂłn de los segmentos

formados al colocar el punto C, đ?‘&#x;=

đ??´đ??ś đ??śđ??ľ

Ya que la razĂłn estĂĄ definida como el resultado del cociente de dos longitudes que pueden ser diferentes, resulta de gran importancia definir el sentido que tiene el segmento que nos interesa, si por ejemplo decimos que nuestro segmento es đ??´đ??ľ

significa que inicia en đ??´ y termina en đ??ľ. Si hubiĂŠramos considerado el segmento

đ??ľđ??´ la razĂłn estarĂ­a definida como:

đ?‘&#x;=

đ??ľđ??ś đ??śđ??´

Que resultara diferente del primer cociente en caso de que el segmento no haya sido dividido a la mitad.

Recordemos que nos interesa encontrar las coordenadas del punto C que divide el segmento, los datos con que contamos son las coordenadas de A, B y el valor de r, siempre debemos contar con el valor de r ya que de otra manera existirĂ­a un nĂşmero infinito de puntos que pueden dividir el segmento.

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DespuÊs de ubicar los puntos en una gråfica los proyectamos sobre el eje de las abscisas (x), de manera que obtenemos los puntos A’, B’ y C’

Imagen 13. Componentes horizontales del segmento de recta dividido por el punto C

De acuerdo a la grĂĄfica podemos establecer la proporciĂłn

De donde sabemos que

đ??´đ??ś

đ??śđ??ľ

đ??´đ??ś đ??´â€˛đ??śâ€˛ = đ??śđ??ľ đ??śâ€˛đ??ľâ€˛

es la razĂłn que ya habĂ­amos encontrado, los

segmentos đ??´â€˛đ??śâ€˛ đ?‘Ś đ??śâ€˛đ??ľâ€˛ pueden ser calculados como la distancia entre dos puntos sobre una recta horizontal

Sustituyendo en r

đ??´â€˛ đ??śâ€˛ = đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 đ?‘Ś đ??śâ€˛đ??ľâ€˛ = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ

đ?‘&#x;=

đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ

Ya que đ?‘Ľ1 corresponde a la abscisa del punto A, đ?‘Ľ2 es la abscisa del punto B y r es un valor conocido nuestra Ăşnica incĂłgnita es đ?‘Ľ que corresponde a la abscisa del

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punto C, por lo tanto despejamos la variable que nos interesa y obtenemos la expresión:

𝑥=

𝑥1 + 𝑟𝑥2 1+𝑟

De forma similar proyectamos los puntos A, B y C sobre el eje de las ordenadas (y) y obtenemos la expresión:

𝑦=

𝑦1 + 𝑟𝑦2 1+𝑟

De esta manera tendremos que las coordenadas de un punto que divide un segmente entre una razón determinada estarán definidas por la expresión:

𝑪 Ejemplo:

𝒙𝟏 + 𝒓𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝒓𝒚𝟐 , 𝟏+𝒓 𝟏+𝒓

En un plano cartesiano la ciudad A se ubica en el punto (4, 4) y la ciudad B se ubica en el punto (8, 12); deseamos encontrar las coordenadas del punto C que corresponde a una gasolinera. Sabemos que la gasolinera se ubica a

3 4

de la

longitud del segmento 𝐴𝐵 .

3

Nos indican que la gasolinera se encuentra a 4 del inicio del segmento, por lo tanto la razón que está dividiendo el segmento se define como 𝐴𝐶 𝑟= = 𝐶𝐵

3 4 1

=

3 × 4 12 = =3 4×1 4

4

Una vez que hemos definido el valor de la razón aplicamos la expresión

𝑪

𝒙𝟏 + 𝒓𝒙𝟐 𝒚𝟏 + 𝒓𝒚𝟐 , 𝟏+𝒓 𝟏+𝒓

18

Sustituyendo los valores

Simplificando la expresiĂłn

đ??ś

4 + (3 Ă— 8) 4 + (3 Ă— 12) , 1+3 1+3

đ??ś

4 + (24) 4 28 đ??ś 4

4 + (36) 4 40 , 4 ,

Resolviendo las operaciones encontramos que las coordenadas del punto P son:

đ?‘Ş đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;Ž

Imagen 14. Coordenadas del punto C que divide al segmento de recta đ??´đ??ľ en una razĂłn igual a 3

(Se realiza en plataforma)

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1.5

Determinación del Perímetro de un Polígono por Medio de las Coordenadas de sus Vértices

Supongamos que en el taller de pailería (es el corte y unión de ductos) se necesita fabricar la cubierta de un ducto que tiene una forma irregular, es importante conocer su perímetro para determinar la cantidad de soldadura que se utilizara en su colocación.

Una forma sencilla de resolver el problema es trazar su imagen sobre el plano cartesiano y determinar las coordenadas de sus vértices.

Imagen 15. Vértices de la superficie que se necesita para formar la cubierta

Al trazar en el Plano Cartesiano obtenemos los puntos A, B, C, D y E que corresponden a los vértices.

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Para determinar el perĂ­metro se calculan y suman las dimensiones de los segmentos a, b, c, d y e que unen los puntos; utilizaremos la expresiĂłn que ya hemos visto en el tema 1.3 y que nos sirve para calcular la distancia entre dos puntos.

�� =

De esta manera tenemos:

đ?‘Ž = đ??´đ??ľ =

đ?‘? = đ??ľđ??ś =

đ?‘? = đ??śđ??ˇ =

đ?‘‘ = đ??ˇđ??¸ = đ?‘’ = đ??¸đ??´ =

đ?’™đ?‘Š − đ?’™ đ?‘¨

(28 − 2) 2 + (2 − 2)2 = 25 − 28

27 − 25

16 − 27

2

2

2

+ 13 − 2

+ 25 − 22

+ đ?’šđ?‘Š − đ?’šđ?‘¨

(26)2 + (0)2 =

2

+ 22 − 13

đ?&#x;?

(−3)2 + 11

= 2

=

2

2

=

−11

(16 − 2)2 + (25 − 2)2 =

2

+ 9 2

2

đ?&#x;?

676 = 26 2

=

=

+ 3

(14)2 + (23)2 =

2

130 = 11.40 85 = 9.21 =

130 = 11.40

725 = 26.92

El resultado correcto es:

đ?‘ˇđ?’†đ?’“Ă­đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;’ + đ?&#x;—. đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;”. đ?&#x;—đ?&#x;? = đ?&#x;–đ?&#x;’. đ?&#x;—đ?&#x;‘ đ?’–đ?’?đ?’Šđ?’…đ?’‚đ?’…đ?’†đ?’”

En otro ejemplo vamos a suponer que eres dueĂąo de un terreno de forma triangular y deseas cercarlo; los puntos A (2,-5); B (0,3) y C (-3,0) corresponden a los vĂŠrtices del terreno. Si cada metro de cerca cuesta $150.00, ÂżcuĂĄnto gastarĂĄs en cercar el terreno?

Una forma de resolver el problema es la siguiente:

21

Ubicamos los puntos en el plano.

Figura 16. VĂŠrtices de la superficie del terreno con forma triangular Determinar el valor de cada uno de los lados del triĂĄngulo aplicando la fĂłrmula đ?‘Ť= đ??´đ??ś =

−3 − 2

đ??śđ??ľ =

0 − −3

đ??ľđ??´ =

2−0

2

2

2

+ 0 − −5 2

+ 3−0

+ −5 − 3

2

đ?’™đ?&#x;? − đ?’™ đ?&#x;?

2

=

−5

=

=

3 2

2

2

2

đ?&#x;?

+ đ?’šđ?&#x;? − đ?’šđ?&#x;?

+ 5

2

đ?&#x;?

= 25 + 25 = 50 = 7.07đ?‘š

+ 3

2

= 9 + 9 = 18 = 4.24đ?‘š

+ −8

2

= 4 + 64 = 68 = 8.24đ?‘š

Determinar el perĂ­metro del terreno sumando las medidas de sus lados: đ?‘ˇđ?’†đ?’“Ă­đ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’? = đ?&#x;•. đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?’Ž + đ?&#x;’. đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’Ž + đ?&#x;–. đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’Ž = đ?&#x;?đ?&#x;—. đ?&#x;“đ?&#x;“đ?’Ž

22

Determinar el costo de la cerca đ?’?đ?’”đ?’•đ?’? đ?’…đ?’† đ?’?đ?’‚ đ?’„đ?’†đ?’“đ?’„đ?’‚ = đ?&#x;?đ?&#x;—. đ?&#x;“đ?&#x;“đ?’Ž Ă—

1.6

$đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Ž. đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = $đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?’Ž

DeterminaciĂłn del Ă rea de un PolĂ­gono por Medio de las Coordenadas de sus VĂŠrtices

Ahora en el taller de pailerĂ­a es necesario determinar el ĂĄrea de la cubierta para saber el tamaĂąo de la lĂĄmina con que serĂĄ fabricada. Como ya contamos con las coordenadas de los vĂŠrtices utilizaremos la tĂŠcnica del Determinante.

Primeramente definiremos que se denomina Determinante al acomodo de las coordenadas de los vĂŠrtices por renglones, es decir, colocamos las coordenadas del punto A y debajo de ĂŠl las coordenadas del punto B, continuamos colocando los siguientes datos hasta terminar, posteriormente se colocan dos lĂ­neas verticales a los lados de la lista que hemos creado, esto nos indica que se trata de un determinante.

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Imagen 17. Representaciรณn de un determinante Una vez que tenemos definido el determinante la manera en que debemos resolverlo es multiplicando los valores en forma diagonal de la siguiente manera:

Imagen 18. Procedimiento para resolver un determinante Es importante que recuerdes la Ley de los Signos ya que en caso de tener productos negativos tendrรกs que aplicarla

Imagen 19. Ley de los Signos para el Producto Finalmente el resultado de todos los productos, sumas y restas nos darรก el valor del Determinante que hemos definido.

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Ya hemos visto como resolver un determinante planteado, ahora veremos los pasos a seguir para encontrar el área de un polígono utilizando las coordenadas de sus vértices, para ello encontraremos el área de la cubierta que está fabricando el taller de pailería.

Paso 1. Definir el determinante del polígono.

Colocamos las coordenadas de cada punto en forma vertical, es muy importante que después del último punto coloquemos nuevamente las coordenadas del primero, de manera que el determinante siempre tendrá un reglón más que el número de puntos.

Imagen 20. Representación del determinante para las cinco coordenadas de los vértices que forman la superficie de la cubierta del ducto

Paso 2. Obtener el valor del determinante.

Aplicando el procedimiento que vimos con anterioridad, calculamos el valor que tiene el determinante realizando las multiplicaciones, sumas y restas necesarias.

Productos hacia abajo 2 × 2 + 28 × 13 + 25 × 22 + 27 × 25 + 16 × 2 =

25

4 + 364 + 550 + 675 + 32 = 1625 Productos hacia arriba − 2 Ă— 25 − 16 Ă— 22 − 27 Ă— 13 − 25 Ă— 2 − 28 Ă— 2 = Valor del determinante

−50 − 352 − 351 − 50 − 56 = −859 1,625 − 859 = đ?&#x;• đ?&#x;” đ?&#x;”

Paso 3. Determinar el ĂĄrea.

Una vez que tenemos el valor del determinante lo dividimos entre 2, entonces el ĂĄrea del polĂ­gono es:

�=

đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;” đ?‘˝đ?’‚đ?’?đ?’?đ?’“ đ?’…đ?’†đ?’? đ?’…đ?’†đ?’•đ?’†đ?’“đ?’Žđ?’Šđ?’?đ?’‚đ?’?đ?’•đ?’† = = đ?&#x;‘đ?&#x;–đ?&#x;‘ đ?’–đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

(Se realiza en plataforma)

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Conclusión Muy bien, hemos concluido la primera semana de estudio. Ahora estamos en posibilidad de obtener coordenadas cartesianas de cualquier ecuación utilizando el procedimiento matemático conocido con el nombre de “tabulación”. Utilizamos el plano cartesiano para ubicar objetos, lugares públicos, ciudades, países y, en nuestra asignatura, para ubicar los puntos obtenidos en cualquier tabulación.

Determinamos la distancia entre dos puntos - empleando la fórmula estudiada en la unidad – para calcular áreas y perímetros que nos sirven de base para resolver problemas de la vida cotidiana.

En general, los conocimientos adquiridos nos ayudarán a determinar los elementos necesarios para construir una gráfica mediante el análisis de su ecuación.

(Se realiza en plataforma)

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Referencias De contenido

Libros Matemáticas III con enfoque en competencias, Tercer semestre, Patricia Ibañez y Gerardo Carrasco, CENGAGE Learning, 2010 De consulta

Sitios de internet Plano Cartesiano http://www.zonavirtual.org/geometria/12-geometria-dinamica/18-plano-cartesianoejerciicos-flash.html Distancia entre dos puntos http://distanciapuntosenelespacio.blogspot.mx/ http://trigonometria-y-geometriaeconb.wikispaces.com/GEOMETRIA http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/Calcula-%20la-distancia-entredos-puntos.html

De imágenes 1. Trazoide Recuperado de: http://www.google.es/imgres?q=conicas&um=1&hl=es&sa=N&rlz=1T4ACAW_esM X349MX350&biw=1024&bih=414&tbm=isch&tbnid=Vs_1PJacGpFvM:&imgrefurl=http://trazoide.com/introduccion8.html&docid=yWEB3Ej4Q1nCHM&w=250&h=308&ei=aHxBTuuyAsmPsALZ9JijC Q&zoom=1&iact=rc&dur=187&page=2&tbnh=110&tbnw=89&start=11&ndsp=11&v ed=1t:429,r:1,s:11&tx=51&ty=92 2. Globo terráqueo

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Recuperado de: http://www.geoingenio.com/wp-content/uploads/2010/08/1734_1462007_Globoterraqueo.jpg 3. Sistema de posicionamiento global (GPS) Recuperado de: http://www.tecnologiadetuatu.elcorteingles.es/wpcontent/uploads/2010/10/garmin.jpeg 4. Lugares geométricos Recuperado de: http://1.bp.blogspot.com/_4Ni405qMb20/S9uMOelSC0I/AAAAAAAAABI/1V41m4A5m0/s1600/seccConicas.jpg 5. Empleo de puntos cardinales para ubicar un lugar Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 6. Signo de las coordenadas en el Plano Cartesiano Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 7. Ubicación de puntos en el Plano Cartesiano Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 8. Lugar geométrico de una ecuación lineal Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 9. Distancia entre dos puntos que pertenecen a una línea horizontal Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 10. Distancia entre dos puntos que pertenecen a una línea inclinada Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

José Alberto Cerón

11. Componentes horizontal y vertical de la distancia entre dos puntos que pertenecen a una línea inclinada Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN)

29

Editado por: JosÊ Alberto Cerón 12. Punto C que divide a un segmento de recta Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

JosĂŠ Alberto CerĂłn

13. Componentes horizontales del segmento de recta dividido por el punto C Elaborado por: JosĂŠ Luis GonzĂĄlez MĂŠndez (UPICCSA – IPN) Editado por: JosĂŠ Alberto CerĂłn 14. Coordenadas del punto C que divide al segmento de recta đ??´đ??ľ en una razĂłn igual a3

Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por: JosÊ Alberto Cerón

15. VÊrtices de la superficie que se necesita para formar la cubierta Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

JosĂŠ Alberto CerĂłn

16. VÊrtices de la superficie del terreno con forma triangular Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por: JosÊ Alberto Cerón 17. Representación de un determinante Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por: JosÊ Alberto Cerón 18. Procedimiento para resolver un determinante Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

JosĂŠ Alberto CerĂłn

19. Ley de los signos Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por: JosÊ Alberto Cerón 20. Representación del determinante para las cinco coordenadas de los vÊrtices que forman la superficie de la cubierta del ducto Elaborado por: JosÊ Luis Gonzålez MÊndez (UPICCSA – IPN) Editado por: JosÊ Alberto Cerón Gråficas elaboradas con Graphmatica.

30

UNIDAD 2. LA RECTA

Introducción La línea recta está presente en muchos aspectos de nuestra vida cotidiana; por ejemplo, observa las uniones de las paredes con el piso o con el techo. Además, muchos fenómenos que se desarrollan a nuestro alrededor se pueden representar por medio de una línea recta. Un ejemplo clásico es la proporcionalidad, directa o inversa, que existe entre la mayoría de las magnitudes que conocemos, la cual siempre se representa por una línea recta, como es el caso de los boletos del metro en relación con lo que pagamos por ellos, es decir, entre más boletos, más pagamos; la distancia recorrida a una velocidad constante en relación con el tiempo, el tiempo que se emplea en construir un edificio en relación con el número de albañiles que trabajan en su construcción, etc.

Imagen 21. Boleto del metro

1

Propósito Al finalizar la unidad, serás competente para: Determinar la ecuación de una recta, su ordenada al origen, la pendiente y su utilidad; para representar fenómenos físicos mediante modelos matemáticos lineales. Esto le permitirá resolver problemas de aplicación de la vida diaria.

Propósitos particulares de la unidad 1. Determinar los elementos que definen una función.

2. Determinar la pendiente y la ordenada al origen de una recta.

3. Determinar la ecuación de una recta utilizando operaciones algebraicas y despejes.

Temario 2.1

Definición de Función

2.2

Definiciones de Dominio y Rango

2.3

Intersecciones

2.4

Simetrías

2.5

La Recta 2.5.1 Pendiente 2.5.2 Ecuación General y Recta entre Dos Puntos 2.5.3 Ecuación de la Forma Pendiente-Ordenada al Origen 2.5.4 Ejemplos de aplicaciones de las ecuaciones lineales

2

2.1

Definición de Función

El término función nos indica que existe algo que depende de otra cosa, en matemáticas cuando tenemos una función significa que el valor de un elemento depende del valor de otro y las operaciones implicadas en un proceso.

Normalmente las funciones se expresan como 𝒇 𝒙 , 𝒈 𝒙 , 𝒛 𝒙 , o con cualquier otro nombre que se desee, entonces podemos imaginar a la función como una caja donde se llevará a cabo un proceso, por ejemplo:

Imagen 22. Representación de una función cuadrática Esto nos indica que introducimos una 𝒙 a la función y obtenemos una 𝒙𝟐 , por ejemplo si 𝒙 es igual a 3 el valor de la función será 9 y podemos expresarlo como: 𝑓 3 =9

También es posible identificar a la función como 𝑦 = 𝑥2

Esto nos indica que el valor de 𝒚 está en función o depende del valor de 𝒙 Un ejemplo de función lineal es el cantidad que se tiene que pagar por tortillas, el costo dependerá de los kilogramos que adquieras.

3

Imagen 23. TortillerĂ­a Un ejemplo de funciĂłn cuadrĂĄtica es la caĂ­da libre de los objetos, recuerda que la fĂłrmula de la distancia recorrida por un objeto en caĂ­da libre se determina con đ?‘• = đ?‘Ł0 đ?‘Ą +

1 2

�� 2 , esta información resulta útil en el diseùo de juegos mecånicos.

Imagen 24. Juego mecĂĄnico

4

2.2

Definiciones de Dominio y Rango

Definimos el Dominio de una funciĂłn como los valores que puede tomar la variable independiente (x) donde se cumple que el valor de la funciĂłn o la variable dependiente (y) es real.

Por ejemplo en la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 tenemos que para todos los valores que tome đ?’™

desde −∞ hasta ∞ existe un valor real de đ?’š. El dominio se expresa matemĂĄticamente como:

Imagen 25. RepresentaciĂłn e interpretaciĂłn del Dominio Definimos el Rango de una funciĂłn como los valores que toma la funciĂłn o variable dependiente de acuerdo a los valores que ha tomado la variable independiente.

Una forma de obtener el Rango es realizando el despeje de la variable dependiente đ?’™ y observar los valores que puede tomar la variable dependiente đ?’š Por ejemplo, la funciĂłn đ?‘Ľ =

đ?‘Ś es el despeje de la funciĂłn anterior y podemos

observar que, para todos los valores que tome đ?’š desde đ?&#x;Ž hasta ∞ existe un valor real de đ?’™.

Observa que đ?’š no puede tomar valores negativos debido a que la raĂ­z cuadrada de nĂşmeros negativos no existe.

5

En este ejemplo el Rango se expresa matemĂĄticamente como: â„› âˆś đ?‘Ś ∈ 0 ,∞ Sabemos que la ecuaciĂłn đ?’š = đ?’™đ?&#x;? es la misma que đ?’™ =

đ?’š ; en su grĂĄfica podemos

observar el Dominio y Rango que deducimos en el ejemplo

Imagen 26. RepresentaciĂłn grĂĄfica del Dominio y Rango de una parĂĄbola vertical con abertura hacia arriba 1

En otro ejemplo, tenemos la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ ; observamos que cuando đ?’™ toma el valor

de cero no existe un valor para đ?’š, porque la divisiĂłn entre cero no existe, entonces el dominio de la funciĂłn estĂĄ definido como:

6

Imagen 27. RepresentaciĂłn e interpretaciĂłn del Dominio en caso de no ser continuo đ?&#x;?

Al despejar la variable đ?’™ en la funciĂłn original obtenemos la ecuaciĂłn đ?’™ = đ?’š ; en esta ecuaciĂłn puedes observar que cuando đ?’š toma el valor de cero no existe un

valor para đ?’™, debido a que la divisiĂłn entre cero no existe, entonces el Rango de la funciĂłn estĂĄ definido como:

đ?‘… âˆś đ?‘Ś ∈ ∞ ,0 âˆŞ 0 ,∞

1

En la siguiente grĂĄfica podemos observar el Dominio y Rango de la funciĂłn đ?‘Ś = đ?‘Ľ

Imagen 28. RepresentaciĂłn grĂĄfica del Dominio y Rango de una hipĂŠrbola con asĂ­ntotas sobre los ejes

7

Por lo tanto, el cero es el Ăşnico valor que no pertenece al Dominio y al Rango Continuando con los ejemplos tenemos la ecuaciĂłn đ?‘Ś = Âą 5đ?‘Ľ − 10

Al realizar su grĂĄfica puedes observar lo siguiente:

Imagen 29. Lugar geomĂŠtrico generado a partir de una ecuaciĂłn con raĂ­z cuadrada Se trata de una parĂĄbola horizontal cuyo domino estĂĄ definido desde đ?‘Ľ = 2 porque para valores negativos no existe raĂ­z cuadrada, y llega hasta infinito. đ?’&#x; âˆś đ?‘Ľ ∈ [2, ∞)

Como vemos en la grĂĄfica "đ?‘Ś" puede tomar valores desde menos infinito hasta infinito, por lo tanto el Rango estĂĄ definido como: â„› âˆś đ?‘Ś ∈ (−∞, ∞)

8

Un ejemplo mĂĄs; si tenemos la ecuaciĂłn đ?‘Ľ+1

2

− đ?‘Śâˆ’3

2

=9

Al realizar su grĂĄfica puedes observar lo siguiente:

Imagen 30. Lugar geomĂŠtrico generado a partir de una ecuaciĂłn con binomio al cuadrado para cada una de las variables, donde uno de los binomios es negativo Se trata de una hipĂŠrbola horizontal cuyo domino estĂĄ definido desde −∞ hasta −4

y de 2 hasta ∞

Para determinar el dominio de forma analĂ­tica debes realizar el despeje de la variable “yâ€? y observar los valores que pueden ser sustituidos en la variable “xâ€?; recuerda que para valores negativos no existe raĂ­z cuadrada y la divisiĂłn entre cero no estĂĄ definida.

De tal forma que el dominio estĂĄ representado por: đ?’&#x; âˆś đ?‘Ľ ∈ ∞ , −4 âˆŞ 2 , ∞

9

Como vemos en la grĂĄfica "đ?‘Ś" puede tomar valores desde −∞ hasta ∞ ; para

determinar el Rango de forma analĂ­tica debes realizar el despeje de la variable “xâ€? y observar los valores que pueden ser sustituidos en la variable “yâ€?.

Por lo tanto el Rango estĂĄ representado por: â„› âˆś đ?‘Ś ∈ (−∞, ∞)

Si tienes dudas acerca de los despejes es recomendable que consultes a tu tutor docente.

(Se realiza en plataforma)

2.3

Intersecciones

Al referirnos a las intersecciones de una curva se trata de saber si la grĂĄfica de la ecuaciĂłn que nos interesa cruza o no con cada uno de los ejes del plano cartesiano, y en dado caso debemos determinar las coordenadas de dichos puntos.

Para determinar el cruce con el eje de las abscisas hacemos đ?‘Ś = 0 y lo sustituimos en la ecuaciĂłn, despejamos el valor de đ?’™, de esta manera obtenemos las coordenadas del punto donde cruza el eje.

Por ejemplo en la ecuaciĂłn 3đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ś − 15 = 0

Determinamos la intersecciĂłn con el eje đ?’™ haciendo đ?’š = đ?&#x;Ž y despejando la variable đ?’™

3đ?‘Ľ 2 − 5(0) − 15 = 0 3đ?‘Ľ 2 − 15 = 0 3đ?‘Ľ 2 = 15

10

đ?‘Ľ2 =

15 =5 3

đ?‘Ľ=Âą 5

Como sabemos, cuando tenemos una raĂ­z cuadrada, un resultado serĂĄ positivo y otro negativo, por lo que deducimos que la curva corta en dos puntos el eje đ?‘Ľ

quedando como:

đ?‘ƒ1 ( 5, 0)

đ?‘ƒ2 (− 5, 0) De la misma manera para determinar las coordenadas donde cruza el eje de las ordenadas hacemos đ?‘Ľ = 0 y lo sustituimos en la ecuaciĂłn.

Determinemos ahora las intersecciones con el eje đ?’š, para lo cual hacemos đ?‘Ľ = 0 3(0)2 − 5đ?‘Ś − 15 = 0 −5đ?‘Ś − 15 = 0 −5đ?‘Ś = 15

đ?‘Ś=

−15 = −3 5

Por lo tanto el punto de intersecciĂłn es đ?‘ƒ3 ( 0, −3)

11

Esto lo comprobamos al realizar la grĂĄfica.

Imagen 31. Intersecciones del lugar geomĂŠtrico generado a partir de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica En caso de que las ecuaciones resultantes no tengan soluciĂłn al sustituir los valores de đ?‘Ľ = 0 y đ?‘Ś = 0 significa que la curva no cruza con los ejes.

Sabemos que un lugar geomĂŠtrico puede tener intersecciĂłn con los dos ejes, con un solo eje o no tener intersecciones con los ejes, ahora determinaremos las intersecciones con los ejes del siguiente lugar geomĂŠtrico đ?‘Ľ+1

2

− đ?‘Śâˆ’3

2

=9

12

Determinamos la intersecciĂłn con el eje đ?’™ haciendo đ?’š = đ?&#x;Ž y despejando la variable đ?’™

đ?‘Ľ+1

2

đ?‘Ľ+1

− 0−3

2

đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľ+1

− −3 2 2

2

2

=9

=9

−9=9 = 9+9

đ?‘Ľ + 1 = Âą 18

đ?‘Ľ = Âą 18 − 1

Por lo que deducimos que la curva corta en dos puntos el eje đ?‘Ľ quedando como: đ?‘ƒ1 (− 18 − 1 , 0) đ?‘ƒ2 ( 18 − 1 , 0)

Determinemos ahora las intersecciones con el eje đ?’š, para lo cual hacemos đ?‘Ľ = 0 0+1 1

2

2

− đ?‘Śâˆ’3

− đ?‘Śâˆ’3

1− đ?‘Śâˆ’3

2

2

2

=9

=9

=9

1−9= đ?‘Śâˆ’3 −8 = đ?‘Ś − 3

2

2

−8 = đ?‘Ś − 3 −8 + 3 = đ?‘Ś

Observamos que en el despeje de y obtenemos la raĂ­z cuadrada de un nĂşmero negativo y sabemos que el resultado de esta operaciĂłn no existe, por lo tanto se deduce que el lugar geomĂŠtrico no tiene intersecciones con el eje y.

Las intersecciones del lugar geomĂŠtrico observar en la siguiente grĂĄfica:

đ?‘Ľ+1

2

− đ?‘Śâˆ’3

2

= 9 se pueden

13

Imagen 32. Intersecciones del lugar geomĂŠtrico generado a partir de una ecuaciĂłn con binomio al cuadrado para cada una de las variables, donde uno de los binomios es negativo

2.4

SimetrĂ­as

Al referirnos a la simetrĂ­a de una curva significa que ĂŠsta es o no simĂŠtrica con respecto a los ejes coordenados. Al afirmar que una curva es simĂŠtrica al eje đ?’™

significa que, para cada valor de đ?’™ existen dos valores iguales en nĂşmero pero de signo contrario para đ?’š

Para determinar si la curva es simÊtrica con respecto al eje de las � se sustituye � por – � y si la ecuación no cambia significa que la curva es simÊtrica.

14

De forma similar para determinar si la curva es simÊtrica con respecto al eje de las � se sustituye � por – � y de nuevo se determina si la ecuación no cambia.

Tomemos el ejemplo del capĂ­tulo anterior, para la ecuaciĂłn 3đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ś − 15 = 0 Para determinar la simetrĂ­a con el eje đ?‘Ľ sustituimos đ?‘Ś por – đ?‘Ś 3đ?‘Ľ 2 − 5(−đ?‘Ś) − 15 = 0

Aplicando la Ley de los Signos tenemos que el tĂŠrmino en đ?’š cambia de signo quedando la ecuaciĂłn como:

3đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ś − 15 = 0 Se deduce que la grĂĄfica de la ecuaciĂłn no es simĂŠtrica con respecto al eje đ?’™ Ahora determinamos la simetrĂ­a con el eje đ?‘Ś sustituyendo đ?’™ por – đ?’™ 3(−đ?‘Ľ)2 − 5đ?‘Ś − 15 = 0

En este caso observamos que al elevar al cuadrado la đ?’™ negativa se convierte en positiva, por lo que la ecuaciĂłn queda sin alteraciĂłn.

De esta manera hemos determinado analĂ­ticamente que la curva es simĂŠtrica con el eje đ?’š pero no lo es con el eje đ?’™, lo cual se puede apreciar en la grĂĄfica que ya hemos realizado y se muestra a continuaciĂłn.

15

Imagen 33. SimetrĂ­a con el eje “yâ€? del lugar geomĂŠtrico generado a partir de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica

Ahora analizaremos el segundo ejemplo del capĂ­tulo anterior; tenemos la ecuaciĂłn đ?‘Ľ+1

2

− đ?‘Śâˆ’3

2

=9

Para determinar la simetría con el eje � sustituimos � por – � �+1

2

− −đ?‘Ś − 3

2

=9

Se observa que la ecuación cambia, entonces la gråfica de la ecuación no es simÊtrica con respecto al eje � Ahora determinamos la simetría con el eje � sustituyendo � por – � , tenemos la ecuación

đ?‘Ľ+1

2

− đ?‘Śâˆ’3

2

=9

16

Sustituyendo obtenemos −đ?‘Ľ + 1

2

− đ?‘Śâˆ’3

2

=9

Se observa que la ecuaciĂłn cambia, entonces la grĂĄfica de la ecuaciĂłn no es simĂŠtrica con respecto al eje đ?’š Hemos determinado analĂ­ticamente que la curva no es simĂŠtrica con respecto a los ejes, esto se puede apreciar en la grĂĄfica que ya hemos realizado y se muestra a continuaciĂłn.

Imagen 34. Lugar geomĂŠtrico no simĂŠtrico con los ejes coordenados

A continuaciĂłn resolverĂĄs la siguiente actividad que tiene como objetivo determinar la simetrĂ­a con los ejes coordenados de algunos lugares geomĂŠtricos.

(Se realiza en plataforma)

17

2.5

La Recta

2.5.1 Pendiente Iniciaremos el estudio de la recta revisando el concepto de pendiente. Cualquier recta que no estĂĄ horizontal o vertical esta inclinada, supongamos la recta de la siguiente grafica.

Imagen 35. Representación del ångulo de inclinación de una recta La inclinación de la recta trazada corresponde al valor del ångulo �, el cual se determina con respecto a la horizontal en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Se define a la Pendiente como la tangente del ĂĄngulo de inclinaciĂłn, y se expresa con la letra đ?’Ž, observa que la pendiente no es lo mismo que la inclinaciĂłn ya que

es diferente el valor del ĂĄngulo al valor de la tangente de dicho ĂĄngulo,

matemĂĄticamente podemos expresarla como đ?’Ž = đ??­đ??šđ??§ đ?œś

18

Es posible que al tener la grĂĄfica de una recta no se cuente con el dato del ĂĄngulo que forma con la horizontal, sin embargo, es posible conocer dos de sus puntos, supongamos de nuevo la grĂĄfica anterior donde tenemos los puntos đ??´ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 y đ??ľ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 .

Imagen 36. Representación de la pendiente a partir del ångulo de inclinación Al hacer las proyecciones se forma el triångulo rectångulo APB, cuyo ångulo �

tiene el mismo valor que el ĂĄngulo existente entre la recta y el eje de las đ?’™, las coordenadas del punto P son đ?‘ƒ đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś1 .

Por trigonometría sabemos que la tangente del ångulo � se determina como la

tangente del cateto opuesto entre el cateto adyacente, que podemos expresar đ?‘ƒđ??ľ

como tan đ?›ź = đ??´đ?‘ƒ

Observamos que el segmento đ?‘ƒđ??ľ corresponde a la distancia entre dos puntos que

se encuentran sobre una recta vertical, mientras que el segmento đ??´đ?‘ƒ corresponde

con la distancia entre dos puntos que se encuentran en una recta horizontal, por lo tanto pueden ser determinados como:

19

đ?‘ƒđ??ľ = đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1

đ??´đ?‘ƒ = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 Por lo tanto podemos determinar que la pendiente estĂĄ determinado por: đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 tan đ?›ź = đ?‘š = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 Es importante resaltar que no importa cuales puntos se conozcan de la recta ni el orden en que sean tomados, la pendiente de una recta siempre es la misma.

Una vez que se conoce el valor de la pendiente es posible determinar el valor del ĂĄngulo aplicando la expresiĂłn: âˆ?= tan−1 ( đ?‘š) Que corresponde al valor inverso de la funciĂłn tangente de đ?’Ž.

Revisa los siguientes ejemplos en los que se muestra la aplicaciĂłn de las fĂłrmulas mencionadas en el tema.

Ejemplo 1 Un helicĂłptero de rescate transmite las coordenadas, respecto al punto de reuniĂłn, de un excursionista extraviado. Si las coordenadas que indica son 4 km al este y 3 km al norte, ÂżcuĂĄl es el ĂĄngulo de inclinaciĂłn, de la recta imaginaria, que tendrĂ­a que seguir el excursionista para acercarse al punto de reuniĂłn?

En este caso conocemos el punto de reuniĂłn que tiene coordenadas (0,0) y las coordenadas del excursionista, empleamos estas coordenadas para determinar el valor de la pendiente, debes tomar en cuenta que no es importante quiĂŠn es el punto 1 quiĂŠn es el punto 2.

20

Supongamos que decidiste que el punto 1 es el de reuniĂłn (0, 0) y el punto 2 es la coordenada del excursionista (4, 3) Entonces tenemos: đ?‘š=

đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 3 − 0 3 = = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 4 − 0 4

Para determinar el ĂĄngulo de inclinaciĂłn sustituimos en: âˆ?= tan−1 ( đ?‘š) Por lo que el ĂĄngulo de inclinaciĂłn es âˆ?= tan−1

3 = 36.86° 4

Por lo tanto, el excursionista se encuentra sobre una recta imaginaria que tiene un ångulo de inclinación, respecto al punto de reunión, de 36.86°

Imagen 37. HelicĂłptero

En otro ejemplo tenemos que uno de los juegos mecĂĄnicos preferidos por los capitalinos es la MontaĂąa Rusa, imagĂ­nate que las coordenadas (5,3) y (-2,-5) son dos puntos que pertenecen a una de las pendientes del recorrido en el juego,

21

determinaremos el ĂĄngulo con el que fue construida esa parte de la MontaĂąa Rusa.

Aplicando la fĂłrmula de la pendiente tenemos: đ?‘š=

đ?‘Ś2 − đ?‘Ś1 −5 − 3 −8 8 = = = đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ1 −2 − 5 −7 7

Por lo que su ĂĄngulo de inclinaciĂłn es de: âˆ?= tan−1

8 = 48.81° 7

Imagen 38. MontaĂąa rusa

2.5.2 EcuaciĂłn General y Recta entre Dos Puntos La recta se define como el lugar geomĂŠtrico formado por una serie de puntos, de los cuales es posible tomar cualquier par y obtener siempre la misma pendiente.

Es posible determinar la ecuaciĂłn de la recta de diferentes formas, la primera de ella serĂĄ conociendo un punto y el valor de la pendiente. Consideremos que tenemos el punto đ??´ đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 y la pendiente đ?‘š como datos conocidos, aplicamos la

formula de la pendiente donde suponemos el punto đ??ľ đ?‘Ľ, đ?‘Ś como incĂłgnita: đ?‘Ś − đ?‘Ś1 đ?‘š= đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1

22

Despejamos la diferencia de ordenadas

Imagen 39. EcuaciĂłn de la recta punto-pendiente Al colocar los datos conocidos en esta ecuaciĂłn y desarrollarla podremos transformarla a su forma general

Imagen 40. EcuaciĂłn general de recta Enseguida resolveremos algunos ejemplos que impliquen determinar la ecuaciĂłn de la recta.

Ejemplo 1 Encontrar la ecuaciĂłn que pasa por el punto A (5, 8) y tiene una pendiente de 4.

El primer paso es sustituir los datos en la ecuaciĂłn đ?‘Ś − 8 = 4(đ?‘Ľ − 5) Desarrollando las operaciones đ?‘Ś − 8 = 4đ?‘Ľ − 20

23

Ordenando

0 = 4đ?‘Ľ − 20 − đ?‘Ś + 8 4đ?‘Ľ − đ?‘Ś − 12 = 0

Imagen 41. GrĂĄfica de la ecuaciĂłn general de la recta para el ejemplo 1

Ejemplo 2 Hallar la ecuaciĂłn de la recta que pasa por los puntos A (-4,-2) y B (3,6).

24

Imagen 42. SustituciĂłn de las coordenadas en la fĂłrmula de la pendiente para el ejemplo 2 Ahora utilizamos uno de los dos puntos conocidos y el valor que determinamos para la pendiente, en este ejemplo utilizamos el punto A. đ?‘Ś − (−2) =

8 đ?‘Ľ − −4 ) 7

Multiplicando todo por 7 y simplificando 7đ?‘Ś + 7(2) = 8(đ?‘Ľ + 4) 7đ?‘Ś + 14 = 8đ?‘Ľ + 32 0 = 8đ?‘Ľ + 32 − 7đ?‘Ś − 14 Ordenando 8đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś + 18 = 0

Como comprobaciĂłn utilizaremos el punto B (3,6). đ?‘Śâˆ’6=

8 (đ?‘Ľ − 3) 7

Multiplicando todo por 7 7đ?‘Ś − 7(6) = 8(đ?‘Ľ − 3) 7đ?‘Ś − 42 = 8đ?‘Ľ − 24

0 = 8đ?‘Ľ − 24 − 7đ?‘Ś + 42 Ordenando 8đ?‘Ľ − 7đ?‘Ś + 18 = 0

25

En la gráfica se observa que la recta obtenida a partir de la ecuación, pasa por los dos puntos indicados en los datos del ejercicio.

Imagen 43. Gráfica de la ecuación general de la recta para el ejemplo 2 Así se puede observar que se obtiene el mismo resultado, por lo tanto, no importa cuál de los puntos conocidos se utilice primero para su cálculo.

Para conocer más revisa el siguiente video: http://www.youtube.com/watch?v=Jz8_omNLKTw

2.5.3

Ecuación de la Forma Pendiente-Ordenada al Origen

Otra forma de determinar la ecuación de una recta es conociendo su pendiente y el punto donde cruza con el eje de las Y, el cual se conoce como la ordenada al origen.

26

La ordenada al origen siempre tendrĂĄ la forma (0, b) ya que es el punto donde đ?‘Ľ = 0 y de forma general tomamos el valor de b, como sabemos un punto y la

pendiente sustituimos los datos en el ecuaciĂłn

đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ) De aquĂ­ despejamos đ?‘Ś

đ?‘Ś − đ?‘? = đ?‘š(đ?‘Ľ − 0)

Imagen 44. EcuaciĂłn ordinaria de la recta Ejemplo 1. Encontrar la pendiente, la ordenada al origen, la intersecciĂłn con el eje X y el ĂĄngulo de inclinaciĂłn de la recta cuya ecuaciĂłn es 6x+2y-30=0 Lo primero es despejar đ?’š para dejar la ecuaciĂłn de la forma đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?

Primero dividimos todo ente 2 para convertir el coeficiente de đ?‘Ś igual a 1.

2 30 6 đ?‘Ľ+ đ?‘Śâˆ’ =0 2 2 2 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 15 = 0 đ?‘Ś = −3đ?‘Ľ + 15

De donde observamos que la pendiente de la recta (đ?‘š) tiene un valor de đ?’Ž = −đ?&#x;‘

27

Y la ordenada al origen (b) tiene un valor de đ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;“ De tal forma que la intersecciĂłn con el eje de las ordenadas es (đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;“) Para encontrar la intersecciĂłn con el eje X hacemos đ?‘Ś = 0 y sustituimos en la ecuaciĂłn

6đ?‘Ľ + 2(0) − 30 = 0 6đ?‘Ľ − 30 = 0 6đ?‘Ľ = 30

đ?‘Ľ=

30 =5 6

đ?‘°đ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’”đ?’†đ?’„đ?’„đ?’ŠĂłđ?’? (đ?&#x;“, đ?&#x;Ž) Para determinar el ĂĄngulo de inclinaciĂłn sabemos que đ?‘š = tan đ?›ź Sustituyendo el valor de m tenemos −3 = tan đ?›ź Para encontrar el ĂĄngulo aplicamos la funciĂłn inversa a la tangente, la cual por trigonometrĂ­a se conoce como Arco Tangente, por lo tanto âˆ?= tan−1 ( −3) = −71.56 ° Observa que como el ĂĄngulo es negativo significa que corresponde al ĂĄngulo del lado izquierdo de la recta, ya que nos interesa el ĂĄngulo positivo sumamos 180Âş âˆ?= 180° −71.56° âˆ?= 108.44°

28

Los valores obtenidos en el procedimiento se pueden observar en la gráfica de la ecuación analizada:

Imagen 45. Gráfica de la ecuación ordinaria de la recta para el ejemplo 1

Observa el siguiente video en el que se muestran más ejemplos sobre la forma ordinaria de la recta. http://www.youtube.com/watch?v=VV6ST2c9gaM Apliquemos lo aprendido para resolver el siguiente problema.

El precio de los iPhone en cierto almacén disminuyó a razón de $350 anuales desde 2007. El precio de lanzamiento fue de $7500. Determina la ecuación en función del tiempo si la disminución del precio continúa constante durante los siguientes años. ¿Cuánto costará un iPhone para el 2020?, ¿Cuánto llegará al precio de $500?; escribe la ecuación de la recta en sus formas Ordinaria y General. Construye la gráfica que representa la situación.

29

Imagen 46. iPhone

Sabemos que en el aĂąo 2007 el iPhone costaba $7500 y lo podemos representar como la coordenada (7, 7500) Si cada aĂąo disminuye su precio en $350, en el aĂąo 2008 el iPhone costarĂĄ $7150 y lo representamos con la coordenada (8, 7150) Con las coordenadas identificadas determinamos el valor de la pendiente đ?‘š=

7150 − 7500 −350 = = −350 1 8−7

Determinamos la ecuaciĂłn de la recta en su forma ordinaria empleando el valor de la pendiente y cualquiera de las coordenadas, por ejemplo (7, 7500) đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 )

đ?‘Ś − 7500 = −350(đ?‘Ľ − 7)

đ?‘Ś − 7500 = −350đ?‘Ľ + 2450

đ?‘Ś = −350đ?‘Ľ + 2450 + 7500 đ?’š = −đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Ž

30

Por lo que la ecuaciĂłn general de la recta serĂ­a: đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’™ + đ?’š − đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž Para determinar el costo del iPhone en el aĂąo 2020 utilizamos la forma ordinaria y tenemos que, para x = 20 đ?’š = −đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Ž đ?‘Ś = −350 đ?&#x;?đ?&#x;Ž + 9950 đ?‘Ś = −7000 + 9950 đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Ž

De tal manera que, de permanecer constante la disminuciĂłn del precio, el iPhone costarĂĄ $2950 en el aĂąo 2020 Por Ăşltimo determinamos el aĂąo en el que el iPhone costarĂĄ $500, para determinarlo usamos la forma ordinaria y tenemos que, para y = 500 đ?’š = −đ?&#x;‘đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;—đ?&#x;—đ?&#x;“đ?&#x;Ž

500 = −350đ?‘Ľ + 9950

500 − 9950 = −350đ?‘Ľ −9450 =đ?‘Ľ −350 đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;•

Por lo tanto, de permanecer constante la disminuciĂłn del precio, en el aĂąo 2027 podrĂ­amos comprar el iPhone en $500 En la siguiente grĂĄfica podemos visualizar la representaciĂłn del problema

31

Imagen 47. Gráfica que muestra la disminución en el precio del iPhone A continuación resolverás las siguientes actividades que tienen como objetivo identificar las diferentes formas de la ecuación de la recta y aplicar los procedimientos estudiados en la resolución de ejercicios

( Se realiza en plataforma)

2.5.4

Ejemplos de aplicaciones de las ecuaciones lineales

Una gran cantidad de situaciones en la vida diaria pueden plantearse con ecuaciones lineales, las compras diarias, el costo de un viaje realizado en taxi, el consumo de gasolina de un automóvil, etc.

Ejemplo 1

32

En una casa cada persona se come dos panes al dĂ­a y se tiene por costumbre comprar cuatro panes extra para que siempre haya pan en casa.

Utilizamos P para representar el nĂşmero de panes y n para representar el nĂşmero de personas.

Si solo hay una persona en casa la cantidad de pan a comprar serĂ­a: đ?‘ƒ 1 =2 1 +4=6 Si hay mĂĄs personas en casa la cantidad de pan a comprar serĂ­a: đ?‘ƒ 2 =2 2 +4=8

đ?‘ƒ 3 = 2 3 + 4 = 10

đ?‘ƒ 4 = 2 4 + 4 = 12

Por lo que podemos deducir que

đ?‘ˇ đ?’? =đ?&#x;? đ?’? +đ?&#x;’ Es la expresiĂłn matemĂĄtica que representa la cantidad de pan a comprar cuando en la casa se encuentran “nâ€? personas.

La ecuaciĂłn en tĂŠrminos de đ?’™ y đ?’š serĂ­a:

đ?’š = đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;’

GrĂĄficamente se obtiene:

33

Imagen 48. GrĂĄfica que muestra la cantidad de pan a comprar cada dĂ­a Ejemplo 2 Una persona decide organizar un paseo a las Grutas de la Estrella. Al hacer el anĂĄlisis del costo, determina que si asisten 30 personas, el costo que debe cubrir cada una debe ser de 80 pesos. Si van 40 personas, entonces el costo serĂĄ de 75 pesos por cada una. Suponiendo que la ecuaciĂłn de demanda es lineal, ÂżcuĂĄl serĂ­a el costo que debe cubrirse por persona si asisten 90 personas?

Que la ecuaciĂłn de la demanda sea lineal quiere decir que se trata de la ecuaciĂłn de una recta.

Consideramos e đ?’™ al nĂşmero de personas y đ?’š al precio que debe pagar cada una.

Con los datos del problema tenemos los puntos đ?‘ƒ 30 , 80 y đ?‘„ 40 , 75 Calculamos el valor de la pendiente: đ?‘š=

1 75 − 80 −5 = =− 2 40 − 30 10

Elegimos uno de los puntos, digamos đ?‘ƒ 30 , 80 , y utilizamos la forma punto pendiente para determinar la ecuaciĂłn de la recta:

34

đ?‘Ś − 80 = −

1 đ?‘Ľ − 30 2

2đ?‘Ś − 160 = −1 đ?‘Ľ − 30 2đ?‘Ś − 160 = −đ?‘Ľ + 30 −đ?‘Ľ + 30 + 160 2 −đ?‘Ľ + 190 đ?‘Ś= 2

đ?‘Ś=

La ecuaciĂłn para determinar el costo por persona serĂ­a: đ?&#x;? đ?’š = − đ?’™ + đ?&#x;—đ?&#x;“ đ?&#x;?

De manera que si asisten 90 personas tenemos: đ?‘Ś=−

1 90 + 95 = 50 2

đ?‘Ś = −45 + 95 = 50

Es decir, cada persona pagarĂĄ 50 pesos.

GrĂĄficamente tenemos:

35

Imagen 49. Grรกfica que muestra el costo por persona en un viaje a las Grutas de la Estrella

(Se realiza en plataforma)

36

Conclusión Muy bien, hemos concluido la segunda semana de estudio. Ahora conocemos los procedimientos que nos sirven para que, a partir de la ecuación de un lugar geométrico, determinemos sus intersecciones con los ejes, su simetría con los ejes coordenados y su extensión, es decir, dominio y rango.

Utilizamos la ecuación lineal para modelar situaciones de la vida cotidiana; aplicamos fórmulas que implican operaciones algebraicas y despejes para determinar las diferentes formas de la ecuación de una recta y construimos gráficas de ecuaciones lineales basándonos en la interpretación de problemas de la vida cotidiana.

En general, los conocimientos adquiridos nos ayudarán a modelar cualquier situación que implique una variación proporcional directa o inversa.

(Se realiza en plataforma)

37

Referencias De contenido

Libros Matemáticas III con enfoque en competencias, Tercer semestre, Patricia Ibañez y Gerardo Carrasco, CENGAGE Learning, 2010 De consulta

Sitios de internet Discusión de ecuaciones http://mediacampus.cuaed.unam.mx/videos/1398/uapa-(2010)%22discusi%C3%B3n-de-ecuaciones-algebraicas%22 http://132.248.95.160/wwwP5/profesor/publicacionMate/09V.pdf La recta http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacion-linea-recta.html http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html http://www.slideshare.net/julioaviles/ecuacion-de-la-recta-9480470 http://www.youtube.com/watch?v=9bWiXT5EjkM http://www.youtube.com/watch?v=VV6ST2c9gaM

De imágenes 21. Boleto del metro Recuperado de: http://www.efektotv.com/descargas/Agosto/Semana_3/Martes/boleto-de-metro.jpg 22. Representación de una función cuadrática Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 23. Tortillería Recuperado de:

38

http://media22.elsiglodetorreon.com.mx/i/2012/06/396997.jpeg 24. Juego mecánico Recuperado de: http://cdn1.mx.yumping.info/usuarios/fotos/6/9/6/4/cfb_7037.jpg 25. Representación e interpretación del Dominio Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 26. Representación gráfica del Dominio y Rango de una parábola vertical con abertura hacia arriba Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 27. Representación e interpretación del dominio en caso de no ser continuo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 28. Representación gráfica del Dominio y Rango de una hipérbola con asíntonas sobre los ejes Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 29. Lugar geométrico generado a partir de una ecuación con raíz cuadrada Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 30. Lugar geométrico generado a partir de una ecuación con binomio al cuadrado para cada una de las variables, donde uno de los binomios es negativo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 31. Intersecciones del lugar geométrico generado a partir de una ecuación cuadrática Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 32. Intersecciones del lugar geométrico generado a partir de una ecuación con binomio al cuadrado para cada una de las variables, donde uno de los binomios es negativo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN)

39

Editado por:

José Alberto Cerón

33. Simetría con el eje “y” del lugar geométrico generado a partir de una ecuación cuadrática Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 34. Lugar geométrico no simétrico con los ejes coordenados Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 35. Representación del ángulo de inclinación de una recta Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

José Alberto Cerón

36. Representación de la pendiente a partir del ángulo de inclinación Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

José Alberto Cerón

37. Helicóptero Recuperado de: http://www.asturiasmundial.com/noticias/fotos/1220_1.jpg 38. Montaña rusa Recuperado de: http://www.publimetro.com.mx/_internal/gxml!0/4dntvuhh2yeo4npyb3igdet73odaolf $oahdex3yl3v5ctmm5bkmholsm2d9sly/5.jpeg 39. Ecuación de la recta punto-pendiente Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 40. Ecuación general de recta Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 41. Gráfica de la ecuación general de la recta para el ejemplo 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 42. Sustitución de las coordenadas en la fórmula de la pendiente para el ejemplo 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN)

40

Editado por: José Alberto Cerón 43. Gráfica de la ecuación general de la recta para el ejemplo 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 44. Ecuación ordinaria de la recta Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 45. Gráfica de la ecuación ordinaria de la recta para el ejemplo 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 46. iPhone Recuperado de: http://e.gestion.pe/128//ima/0/0/4/3/5/435558.jpg 47. Gráfica que muestra la disminución en el precio del iPhone Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 48. Gráfica que muestra la cantidad de pan a comprar cada día Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 49. Gráfica que muestra el costo por persona en un viaje a las Grutas de la Estrella Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

Gráficas elaboradas con Graphmatica.

41

UNIDAD 3. LA ELIPSE

Introducción

La elipse tiene propiedades de reflexión similares a las de la parábola, en este caso cuando colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro foco. Con respecto a la elipse, la primera aplicación que tenemos que mencionar es que las órbitas de los planetas son elípticas, con el Sol en uno de los focos.

Imagen 50. Elipse En medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar cálculos renales por medio de ondas de choque. El funcionamiento de este aparato ocurre de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoidal lleno de agua pegado al cuerpo del paciente, en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en el cálculo renal y así al reflejarse las ondas en la superficie del elipsoide fuera del paciente, todas convergerán en el cálculo y éste se desintegrará.

1

Imagen 51. Litotriptor Además existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos de forma elipsoidal en las que se puede oír lo que dice una persona que está en uno de los focos, situándose en el otro foco, y las personas que están entre las otras dos no oirán nada.

Imagen 52. Catedral San Pablo Propósito

Al finalizar la unidad, serás competente para: Manejar las ecuaciones que definen elipses horizontales y verticales, así como identificar las partes que los forman. Esto le permitirá comprender de mejor manera la arquitectura y las formas de las construcciones y equipos que nos rodean.

2

Propósitos particulares de la unidad

1. Comprender el origen y elementos de las elipses.

2. Determinar analíticamente las ecuaciones que definen las elipses.

3. Reconocer las diferencias entre elipses horizontales y verticales.

4. Reconocer el significado de excentricidad.

Temario de la unidad

3.1 Definición de Elipse 3.2 Elementos de la Elipse 3.3 Elipse Horizontal y sus Ecuaciones 3.4 Elipse Vertical y sus Ecuaciones 3.5 Lado Recto y Excentricidad

3

3.1

Definición de Elipse

Cuando un plano corta un cuerpo cónico en un ángulo determinado la cara que se presenta se convierte en una Elipse.

Imagen 53. Cuerpo cónico Matemáticamente la Elipse se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados Focos es siempre constante y mayor a la distancia entre sus focos.

Imagen 54. Representación gráfica de la definición de Elipse

4

3.2

Elementos de la Elipse

Los elementos de la elipse son los siguientes:

Vértices: Se ubican a los extremos del eje mayor.

Imagen 55. Ubicación de los vértices en una Elipse Focos: Son los puntos fijos desde los cuales se toman las distancias de los puntos.

Imagen 56. Ubicación de los focos en una Elipse

Centro: Se ubica en la intersección del eje mayor con el eje menor, sus coordenadas se indican como C (h, k)

5

Imagen 57. Ubicaciรณn del centro en una Elipse

Eje Mayor: Se puede encontrar en posiciรณn horizontal o vertical, corresponde a la mayor longitud de la elipse, se expresa como 2a.

Imagen 57. Ubicaciรณn de eje mayor en una Elipse Eje Focal: Se puede encontrar en posiciรณn horizontal o vertical, corresponde a la longitud entre los focos de la elipse, se expresa como 2c.

Imagen 59. Ubicaciรณn del eje focal en una Elipse

Eje Menor: Se encuentra siempre perpendicular el eje mayor y se expresa como 2b.

6

Imagen 60. UbicaciĂłn del eje menor en una Elipse

Semiejes Mayores: Son los segmentos de recta que unen los vĂŠrtices con el centro de la elipse, se indican con la letra đ?‘Ž.

Imagen 61. UbicaciĂłn de los semiejes mayores en una Elipse Semiejes Focales: Son las segmentos de recta que unen los focos con el centro de la elipse, se indican con la letra đ?’„.

Imagen 62. UbicaciĂłn de los semiejes focales en una Elipse

Semiejes Menores: Son los segmentos de recta, sobre el eje menor, que unen los extremos de la elipse con su centro, se indican con la letra đ?‘?.

7

Imagen 63. Ubicaciรณn de los semiejes menores en una Elipse

(Se realiza en plataforma)

3.3

Elipse Horizontal y sus Ecuaciones

La Elipse puede tener la posiciรณn horizontal o vertical con respecto a los ejes cartesianos, en este tema nos dedicaremos al anรกlisis de la elipse que se encuentra en posiciรณn horizontal y a todas las condiciones que se presentan.

Imagen 65. Elipse Horizontal y Elipse Vertical

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En general, la mayorĂ­a de las personas no aplicamos este tipo de ecuaciones en la vida cotidiana, sin

embargo, como se menciona en la introducciĂłn, existen

infinidad de aplicaciones realizadas por cientĂ­ficos y profesionistas de la construcciĂłn.

Es importante consultar a tu Tutor Docente para aclarar tus dudas sobre el tema.

Elipse Horizontal con Centro en el Origen

Para demostrar la EcuaciĂłn de la Elipse Horizontal con Centro en el Origen consideremos un punto đ?‘ˇ đ?’™, đ?’š que se encuentra sobre una elipse, cuyo centro se ubica en đ?‘Ş đ?&#x;Ž, đ?&#x;Ž y los focos en đ?‘­đ?&#x;? −đ?’„, đ?&#x;Ž y đ?‘­đ?&#x;? đ?’„, đ?&#x;Ž

Observamos que la lĂ­nea đ?‘ˇđ?‘­đ?&#x;? forma un triĂĄngulo rectĂĄngulo, donde conocemos

los valores de đ?’ƒ (semieje menor) y đ?’„ (semieje focal), con estas medidas es posible

determinar el valor de đ?’‚ (semieje mayor) aplicando el Teorema de PitĂĄgoras, ya que đ?’‚ corresponde al valor de la hipotenusa.

Entonces tenemos que: đ?’‚đ?&#x;? = đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’„đ?&#x;?

9

Imagen 66. TriĂĄngulo rectĂĄngulo formado por los valores de los semiejes focal y menor de una Elipse Horizontal

De esta manera observamos que la suma de las distancias a ambos focos debe ser igual a la suma de las hipotenusas de los triĂĄngulos formados, que llamaremos 2a, por lo tanto podemos expresarlo como:

Imagen 67. Punto sobre la Elipse Horizontal con centro en el origen đ??š1 đ?‘ƒ + đ??š2 đ?‘ƒ = 2đ?‘Ž

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Ahora calculamos el valor de los segmentos aplicando la fĂłrmula de la distancia entre dos puntos

đ?‘Ľ+đ?‘?

2

+ đ?‘Śâˆ’0

2

+

đ?‘Ľâˆ’đ?‘?

2

+ đ?‘Śâˆ’0

2

= 2đ?‘Ž

A partir de esta expresiĂłn debemos eliminar los radicales, lo cual requiere de un amplio desarrollo algebraico, el cual simplificaremos diciendo que la EcuaciĂłn Ordinaria de la Elipse con Centro en el Origen estĂĄ representada por: đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

Donde đ?’‚ > đ?‘?

Como regla podemos indicar que: đ?’‚ đ?’ƒ đ?’„

Es la distancia del vĂŠrtice al centro de la elipse o la hipotenusa del triĂĄngulo formado Es la medida del semieje menor Es la distancia del foco al centro de la elipse

Cuando nos falta alguno de los elementos anteriores lo podemos determinar aplicando el teorema de PitĂĄgoras. đ?’‚đ?&#x;? = đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’„đ?&#x;?

Da clic sobre el enlace y observa la demostraciĂłn de la EcuaciĂłn Ordinaria de la Elipse Horizontal con centro en el origen. http://www.youtube.com/watch?v=LKlsOtKtl_4

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Elipse Horizontal con Centro en Cualquier Lugar del Plano Supongamos la elipse del caso anterior pero ahora con su centro en đ?‘Ş(đ?’‰, đ?’Œ)

Imagen 68. Punto sobre la Elipse Horizontal con centro en fuera del origen

El procedimiento algebraico es muy extenso, de tal forma que utilizaremos como base la EcuaciĂłn Ordinaria de la Elipse Horizontal con Centro en Origen para realizar la traslaciĂłn al centro đ?‘Ş(đ?’‰, đ?’Œ) Supongamos que đ?‘Ľâ€˛ = đ?‘Ľ − â„Ž

đ?‘Śâ€˛ = đ?‘Ś − đ?‘˜ Sustituyendo en la ecuaciĂłn ordinaria tenemos (đ?’™â€˛ )đ?&#x;? (đ?’šâ€˛)đ?&#x;? + đ?&#x;? =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒ

Como ya tenemos los valores de �′ y �′ sustituimos:

Donde đ?’‚ > đ?‘?

(đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

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EcuaciĂłn General de la Elipse Horizontal Desarrollando la ecuaciĂłn ordinaria de una elipse con centro en cualquier punto del plano: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

Podemos llegar a la expresiĂłn: đ?’ƒđ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‰đ?’™ − đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? đ?’Œđ?’š + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‰đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’Œđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;Ž La ecuaciĂłn general de segundo grado tiene la forma đ?‘¨đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Šđ?’™đ?’š + đ?‘Şđ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž Si observamos đ?‘¨ = đ?’ƒđ?&#x;? đ?‘Š=đ?&#x;Ž

đ?‘Ş = đ?’‚đ?&#x;?

đ?‘Ť = −đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‰ đ?‘Ź = −đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? đ?’Œ

đ?‘­ = đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‰đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’Œđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

De acuerdo a lo anterior la ecuaciĂłn general de la elipse horizontal es đ?‘¨đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Şđ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž Una condiciĂłn necesaria es que: đ?‘¨ ≠đ?‘Ş ; đ??Šđ??žđ??Ťđ??¨ đ??œđ??¨đ??§ đ??žđ??Ľ đ??Śđ??˘đ??Źđ??Śđ??¨ đ??Źđ??˘đ?? đ??§đ??¨

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Ejemplo 1

Se desea colocar un satĂŠlite artificial en Ăłrbita, supongamos que el movimiento elĂ­ptico del satĂŠlite tiene sus vĂŠrtices en đ?‘‰1 −8 , 0 , đ?‘‰2 8 , 0 y las coordenadas de los extremos del semieje menor son đ??ľ1 0 , −6 , đ??ľ1 0 , 6

Imagen 69. SatĂŠlite

Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse que representa la trayectoria del movimiento del satĂŠlite b) Transforma la ecuaciĂłn ordinaria a la ecuaciĂłn general de la elipse c) La longitud del semieje mayor d) La longitud del semieje menor e) La longitud del semieje focal f) Las coordenadas de los focos Como los vĂŠrtices tienen la coordenada đ?’š = đ?&#x;Ž sabemos que su centro se encuentra en el origen y tiene una posiciĂłn horizontal, por lo tanto utilizaremos la ecuaciĂłn:

14

đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

Como una de los extremos del semieje menor tiene coordenadas đ?‘Šđ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;”

sabemos que la longitud del semieje menor es đ?’ƒ = đ?&#x;” y como uno de los vĂŠrtices

tiene coordenadas đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;– , đ?&#x;Ž sabemos que la longitud del semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;– ,

aplicando el Teorema de PitĂĄgoras determinamos el valor de đ?’„ đ?’„=

đ?’‚đ?&#x;? − đ?’ƒđ?&#x;? =

đ?&#x;–đ?&#x;? − đ?&#x;”đ?&#x;? = đ?&#x;”đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?&#x;” = đ?&#x;”đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?&#x;”

đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;– = đ?&#x;’ Ă— đ?&#x;• = đ?&#x;’ đ?&#x;• đ?’„=đ?&#x;? đ?&#x;•

De tal forma que la longitud del semieje focal es đ?’„ = đ?&#x;? đ?&#x;• y los focos se ubican en

las coordenadas đ?‘­đ?&#x;? −đ?&#x;? đ?&#x;• , đ?&#x;Ž y đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;• , đ?&#x;Ž

Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;” Es posible encontrar la EcuaciĂłn General de la Elipse si desarrollamos la ecuaciĂłn ordinaria que hemos encontrado đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;”

đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?&#x;’đ?’šđ?&#x;? =đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;’

15

đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?&#x;’đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;”đ?&#x;’đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;’ = đ?&#x;Ž đ?&#x;—đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;” = đ?&#x;Ž Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

Imagen 70. RepresentaciĂłn grĂĄfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 1

Ejemplo 2

Un litotriptor para desintegrar cĂĄlculos renales por medio de ondas de choque tiene su centro en el punto đ?‘Ş đ?&#x;? , −đ?&#x;‘ , su foco en đ?‘­đ?&#x;? −đ?&#x;? , −đ?&#x;‘ y semieje menor igual

a 4 unidades.

16

Imagen 71. Litotriptor

Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse que sirve para generar el litotriptor b) Transforma la ecuaciĂłn ordinaria a la ecuaciĂłn general de la elipse c) La longitud del semieje mayor d) La longitud del semieje menor e) La longitud del semieje focal f) Las coordenadas de los vĂŠrtices Como el foco se encuentra a la izquierda del centro y tienen la coordenada đ?’š = −đ?&#x;‘ sabemos que la elipse tiene una posiciĂłn horizontal, por lo tanto utilizaremos la ecuaciĂłn: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

La distancia del foco que se encuentra en đ?‘Ľ = −1 al centro que se encuentra en đ?’™ = đ?&#x;? es de 3 unidades, entonces el semieje focal es đ?’„ = đ?&#x;‘

El valor del semieje menor nos lo indican en los datos y es đ?’ƒ = đ?&#x;’

17

Aplicando el Teorema de PitĂĄgoras determinamos el valor de đ?’‚ đ?’‚=

đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’„đ?&#x;? =

đ?&#x;’đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?&#x;— = đ?&#x;?đ?&#x;“

Por lo que la longitud del semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;“ De tal forma que los vĂŠrtices se ubican en las coordenadas đ?‘˝đ?&#x;? −đ?&#x;‘ , −đ?&#x;‘

y

đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;• , −đ?&#x;‘

De las coordenadas del centro sabemos que â„Ž = 2 y đ?‘˜ = −3 Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es (đ?’™ − đ?&#x;?)đ?&#x;? đ?’š − −đ?&#x;‘ + đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™âˆ’đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?

+

đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

Es posible encontrar la EcuaciĂłn General de la Elipse si desarrollamos la ecuaciĂłn ordinaria que hemos encontrado đ?’™âˆ’đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ − đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

+

đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

+ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’š + đ?&#x;‘ đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;”đ?’š + đ?&#x;— = đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;”đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;”đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž

18

đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;”đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?’š − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;Ž Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

Imagen 72. RepresentaciĂłn grĂĄfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 2

Da clic sobre el enlace y observa la soluciĂłn de otro ejemplo: http://www.youtube.com/watch?v=wO3fYo1P_2Q

(Se realiza en plataforma)

19

3.4

Elipse Vertical y sus Ecuaciones

Como lo hemos mencionado la elipse se puede presentar en forma horizontal o vertical sobre el plano cartesiano, la deducción de las ecuaciones y condiciones de la elipse vertical son muy similares a la horizontal.

Imagen 73. Elipse Horizontal y Elipse Vertical

Te recordamos que en general, la mayoría de las personas no aplicamos este tipo de ecuaciones en la vida cotidiana, sin

embargo, como se menciona en la

introducción, existen infinidad de aplicaciones realizadas por científicos y profesionistas de la construcción.

Determinaremos las ecuaciones de la Elipse Vertical mediante procedimientos similares a los del tema anterior.

Es importante consultar a tu Tutor Docente para aclarar tus dudas sobre el tema.

20

Elipse Vertical con Centro en el Origen Consideremos un punto đ?‘ƒ(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) que se encuentra sobre una elipse, cuyo centro se ubica en đ??ś(0,0) y los focos en đ??š1 0, đ?‘? đ?‘Ś đ??š2 0, −đ?‘?

Imagen 74. Punto sobre la Elipse Vertical con centro en el origen

Como hemos dicho la suma de las distancia del punto P a los focos debe ser igual a la suma de las hipotenusas, que llamamos 2a, por lo tanto podemos expresarlo como: đ??š1đ?‘ƒ + đ??š2đ?‘ƒ = 2đ?‘Ž Como las posiciones han cambiado, tenemos estas nuevas coordenadas y calculamos la distancia de los segmentos đ?‘Ľâˆ’0

2

+ đ?‘Śâˆ’đ?‘?

2

+

đ?‘Ľâˆ’0

2

+ đ?‘Ś+đ?‘?

2

= 2đ?‘Ž

Nuevamente a partir de esta expresiĂłn debemos eliminar los radicales, lo cual requiere de un amplio desarrollo algebraico, el cual simplificaremos diciendo que la ecuaciĂłn ordinaria de la elipse con centro en el origen queda como:

21

đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

Donde đ?’‚ > đ?‘?

Recuerda que: đ?’‚ đ?’ƒ đ?’„

Es la distancia del vĂŠrtice al centro de la elipse o la hipotenusa del triĂĄngulo formado Es la medida del semieje menor Es la distancia del foco al centro de la elipse

Recuerda que cuando nos falta alguno de los elementos anteriores lo podemos determinar aplicando el Teorema de PitĂĄgoras. đ?’‚đ?&#x;? = đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’„đ?&#x;?

Da clic sobre el enlace y observa la demostraciĂłn de la EcuaciĂłn Ordinaria de la Elipse Vertical con centro en el origen. http://www.youtube.com/watch?v=ePwUYQMn-3E

Elipse Vertical con Centro en Cualquier Lugar del Plano Supongamos la elipse del caso anterior pero ahora con su centro en đ?‘Ş(đ?’‰, đ?’Œ)

22

Imagen 75. Punto sobre la Elipse Vertical con centro fuera del origen

El procedimiento algebraico es muy extenso, de tal forma que utilizaremos como base la EcuaciĂłn Ordinaria de la Elipse Vertical con Centro en el Origen para realizar la traslaciĂłn al centro đ?‘Ş(đ?’‰, đ?’Œ) Tenemos que

đ?‘Ľâ€˛ = đ?‘Ľ − â„Ž

đ?‘Śâ€˛ = đ?‘Ś − đ?‘˜ Sustituyendo en la ecuaciĂłn ordinaria tenemos (đ?’™â€˛ )đ?&#x;? (đ?’šâ€˛)đ?&#x;? + đ?&#x;? =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚

Como ya tenemos los valores de �′ y �′ sustituimos:

Donde đ?’‚ > đ?‘?

(đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

23

EcuaciĂłn General de la Elipse Vertical

Desarrollando la ecuaciĂłn ordinaria de una elipse con centro en cualquier punto del plano: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

Podemos llegar a la expresiĂłn: đ?’‚đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? đ?’‰đ?’™ − đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Œđ?’š + đ?’‚đ?&#x;? đ?’‰đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Œđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? = đ?&#x;Ž La ecuaciĂłn general de segundo grado tiene la forma đ?‘¨đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Šđ?’™đ?’š + đ?‘Şđ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž Si observamos đ?‘¨ = đ?’‚đ?&#x;?

đ?‘Š=đ?&#x;Ž

đ?‘Ş = đ?’ƒđ?&#x;?

đ?‘Ť = −đ?&#x;?đ?’‚đ?&#x;? đ?’‰ đ?‘Ź = −đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Œ

đ?‘­ = đ?’‚đ?&#x;? đ?’‰đ?&#x;? + đ?’ƒđ?&#x;? đ?’Œđ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

De acuerdo a lo anterior la ecuaciĂłn general de la elipse vertical es đ?‘¨đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Şđ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž

Una condiciĂłn necesaria es que:

đ?‘¨ ≠đ?‘Ş ; đ??Šđ??žđ??Ťđ??¨ đ??œđ??¨đ??§ đ??žđ??Ľ đ??Śđ??˘đ??Źđ??Śđ??¨ đ??Źđ??˘đ?? đ??§đ??¨

24

Imagen 76. Ecuaciones ordinarias de la Elipse Horizontal y Elipse Vertical con centro fuera del origen

Ejemplo 3 Supongamos que una elipse tiene sus vĂŠrtices en đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;Ž , −đ?&#x;“ , đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;“ y las coordenadas de los focos son đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;Ž , −đ?&#x;’ , đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;’

Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse b) La ecuaciĂłn general de la elipse c) La longitud del semieje mayor d) La longitud del semieje menor e) La longitud del semieje focal f) Las coordenadas de los extremos del eje menor

25

Como los vĂŠrtices y focos tienen la coordenada đ?’™ = đ?&#x;Ž sabemos que su centro se encuentra en el origen y tiene una posiciĂłn vertical, por lo tanto utilizaremos la ecuaciĂłn: đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

Como las coordenadas del foco son đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;’ sabemos que la longitud del semieje

focal es đ?’„ = đ?&#x;’ y como las coordenadas del vĂŠrtice son đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;“ sabemos que la longitud del semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;“ , aplicando el Teorema de PitĂĄgoras

determinamos el valor de đ?’ƒ

đ?’ƒ=

đ?’‚đ?&#x;? − đ?’„đ?&#x;? =

đ?&#x;“đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;? = đ?&#x;‘

Entonces la longitud del semieje menor es đ?’ƒ = đ?&#x;‘ Y las coordenadas de los extremos del eje menor son đ?‘Šđ?&#x;? −đ?&#x;‘ , đ?&#x;Ž y đ?‘Šđ?&#x;? đ?&#x;‘ , đ?&#x;Ž Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;“ Es posible encontrar la EcuaciĂłn General de la Elipse si desarrollamos la ecuaciĂłn ordinaria que hemos encontrado đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;—đ?’šđ?&#x;? =đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“

26

đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;—đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;—đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ = đ?&#x;Ž Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

Imagen 77. RepresentaciĂłn grĂĄfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 3

Ejemplo 4 Supongamos que una elipse tiene su centro en el punto đ??ś −4 , −4 , su vĂŠrtice en đ?‘‰1 −4 , −8 y semieje menor igual a 12 unidades.

Determina:

27

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse b) La ecuaciĂłn general de la elipse c) La longitud del semieje mayor d) La longitud del semieje menor e) La longitud del semieje focal f) Las coordenadas de los focos Como el vĂŠrtice se encuentra abajo del centro đ??ś −4 , −4 y tienen la coordenada đ?‘‰1 −4 , −8

sabemos que la elipse tiene una posiciĂłn vertical, por lo tanto

utilizaremos la ecuaciĂłn: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

La distancia del vĂŠrtice que se encuentra en đ?‘Ś = −8 al centro que se encuentra en đ?’š = −đ?&#x;’ es de 4 unidades, entonces el semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;’

El valor del semieje menor nos lo indican en los datos y es đ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?

Aplicando el Teorema de PitĂĄgoras determinamos el valor de đ?’„ đ?’„=

đ?’‚đ?&#x;? − đ?’ƒđ?&#x;? =

đ?&#x;’đ?&#x;? −

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;” − đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;’ = đ?&#x;?

Por lo que la longitud del semieje focal es đ?’„ = đ?&#x;?

De tal forma que los focos se ubican en las coordenadas đ?‘­đ?&#x;? −đ?&#x;’ , −đ?&#x;”

y

đ?‘­đ?&#x;? −đ?&#x;’ , −đ?&#x;?

De las coordenadas del centro sabemos que â„Ž = −4 y đ?‘˜ = −4

28

Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ − −đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?’š − −đ?&#x;’ + đ?&#x;’đ?&#x;?

=đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™+đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

+

đ?’š+đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;”

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

Es posible encontrar la EcuaciĂłn General de la Elipse si desarrollamos la ecuaciĂłn ordinaria que hemos encontrado đ?’™+đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ + đ?&#x;’

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?’š+đ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;”

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

+ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’š + đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;?

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;–đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?&#x;?đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;–đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;—đ?&#x;”đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’™ + đ?&#x;—đ?&#x;”đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” = đ?&#x;Ž

Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

Da clic sobre el enlace y observa la soluciĂłn de mĂĄs ejemplos de Elipses Verticales y Horizontales: http://www.youtube.com/watch?v=PlYY_qvSX2s

29

Imagen 78. RepresentaciĂłn grĂĄfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 4

(Se realiza en plataforma)

3.5

Lado Recto y Excentricidad

El lado recto de una elipse es la lĂ­nea que une los extremos de la elipse y pasa por el foco Se determina con la expresiĂłn: đ?‘łđ?‘š =

đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚

30

Imagen 79. RepresentaciĂłn grĂĄfica del lado recto en una Elipse Horizontal

La excentricidad de una elipse es la relaciĂłn que existe entre la distancia focal y el semieje mayor, es decir, es el cociente entre la distancia del centro al foco y la distancia del centro al vĂŠrtice, se calcula mediante la expresiĂłn: đ?’„ đ?’†= đ?’‚ Recuerda que: đ?’‚ đ?’ƒ đ?’„

Es la distancia del vĂŠrtice al centro de la elipse o la hipotenusa del triĂĄngulo formado Es la medida del semieje menor Es la distancia del foco al centro de la elipse

Para ejemplificar revisaremos los 4 ejemplos desarrollados en esta unidad.

Ejemplo 1

Se desea colocar un satĂŠlite artificial en Ăłrbita, supongamos que el movimiento elĂ­ptico del satĂŠlite tiene sus vĂŠrtices en đ?‘‰1 −8 , 0 , đ?‘‰2 8 , 0 y las coordenadas de los extremos del semieje menor son đ??ľ1 0 , −6 , đ??ľ1 0 , 6

31

Imagen 80. SatĂŠlite Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse b) La longitud del lado recto c) La excentricidad Como los vĂŠrtices tienen la coordenada đ?’š = đ?&#x;Ž sabemos que su centro se encuentra en el origen y tiene una posiciĂłn horizontal, por lo tanto utilizaremos la ecuaciĂłn: đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;?

Como una de los extremos del semieje menor tiene coordenadas đ?‘Šđ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;”

sabemos que la longitud del semieje menor es đ?’ƒ = đ?&#x;” y como uno de los vĂŠrtices

tiene coordenadas đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;– , đ?&#x;Ž sabemos que la longitud del semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;– ,

aplicando el Teorema de PitĂĄgoras determinamos el valor de đ?’„ đ?’„=

đ?’‚đ?&#x;? − đ?’ƒđ?&#x;? =

đ?&#x;–đ?&#x;? − đ?&#x;”đ?&#x;? = đ?&#x;”đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?&#x;” = đ?&#x;”đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?&#x;”

đ?’„ = đ?&#x;?đ?&#x;– = đ?&#x;’ Ă— đ?&#x;• = đ?&#x;’ đ?&#x;• đ?’„=đ?&#x;? đ?&#x;•

32

Sustituyendo tenemos que la ecuación del elipse es 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 + =𝟏 𝟖𝟐 𝟔𝟐 Simplificando tenemos que la ecuación del elipse es 𝒙 𝟐 𝒚𝟐 + =𝟏 𝟔𝟒 𝟑𝟔 El lado recto y la excentricidad se determinan sustituyendo en las fórmulas 𝑳𝑹 = 𝒆=

𝟐𝒃𝟐 𝟐 𝟔𝟐 𝟕𝟐 = = =𝟗 𝒂 𝟖 𝟖

𝒄 𝟐 𝟕 = 𝒂 𝟖

Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente gráfica

Imagen 81. Representación gráfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 1

33

Ejemplo 2

Un litotriptor para desintegrar cĂĄlculos renales por medio de ondas de choque tiene su centro en el punto đ?‘Ş đ?&#x;? , −đ?&#x;‘ , su foco en đ?‘­đ?&#x;? −đ?&#x;? , −đ?&#x;‘ y semieje menor igual

a 4 unidades.

Imagen 82. Litotriptor

Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse b) La longitud del lado recto c) La excentricidad Como el foco se encuentra a la izquierda del centro đ??ś 2 , −3

y tienen la

coordenada đ??š1 −1 , −3 sabemos que la elipse tiene una posiciĂłn horizontal, por lo tanto utilizaremos la ecuaciĂłn:

(đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

La distancia del foco que se encuentra en đ?‘Ľ = −1 al centro que se encuentra en đ?’™ = đ?&#x;? es de 3 unidades, entonces el semieje focal es đ?’„ = đ?&#x;‘

34

El valor del semieje menor nos lo indican en los datos y es đ?’ƒ = đ?&#x;’ Aplicando el Teorema de PitĂĄgoras determinamos el valor de đ?’‚ đ?’‚=

đ?’ƒđ?&#x;? + đ?’„đ?&#x;? =

đ?&#x;’đ?&#x;? + đ?&#x;‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;” + đ?&#x;— = đ?&#x;?đ?&#x;“

Por lo que la longitud del semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;“ De las coordenadas del centro sabemos que â„Ž = 2 y đ?‘˜ = −3 Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es (đ?’™ − đ?&#x;?)đ?&#x;? đ?’š − −đ?&#x;‘ + đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™âˆ’đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;“

đ?&#x;?

+

đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;”

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

El lado recto y la excentricidad se determinan sustituyendo en las fĂłrmulas đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?‘łđ?‘š = = = đ?’‚ đ?&#x;“ đ?&#x;“ đ?’„ đ?&#x;‘ đ?’†= = đ?’‚ đ?&#x;“ Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

35

Imagen 83. RepresentaciĂłn grĂĄfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 2

Ejemplo 3 Supongamos que una elipse tiene sus vĂŠrtices en đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;Ž , −đ?&#x;“ , đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;“ y las coordenadas de los focos son đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;Ž , −đ?&#x;’ , đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;’

Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse b) La longitud del lado recto c) La excentricidad

36

Como los vĂŠrtices y focos tienen la coordenada đ?’™ = đ?&#x;Ž sabemos que su centro se encuentra en el origen y tiene una posiciĂłn vertical, por lo tanto utilizaremos la ecuaciĂłn: đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

Como las coordenadas del foco son đ?‘­đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;’ sabemos que la longitud del semieje

focal es đ?’„ = đ?&#x;’ y como las coordenadas del vĂŠrtice son đ?‘˝đ?&#x;? đ?&#x;Ž , đ?&#x;“ sabemos que la longitud del semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;“ , aplicando el Teorema de PitĂĄgoras

determinamos el valor de đ?’ƒ

đ?’ƒ=

đ?’‚đ?&#x;? − đ?’„đ?&#x;? =

đ?&#x;“đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?&#x;? = đ?&#x;‘

Entonces la longitud del semieje menor es đ?’ƒ = đ?&#x;‘ Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;“đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ đ?&#x;? đ?’šđ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;?đ?&#x;“ El lado recto y la excentricidad se determinan đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;– = = đ?’‚ đ?&#x;“ đ?&#x;“ đ?’„ đ?&#x;’ đ?’†= = đ?’‚ đ?&#x;“ đ?‘łđ?‘š =

Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

37

Imagen 84. RepresentaciĂłn grĂĄfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 3

Ejemplo 4 Supongamos que una elipse tiene su centro en el punto đ??ś −4 , −4 , su vĂŠrtice en đ?‘‰1 −4 , −8 y semieje menor igual a 12 unidades.

Determina:

a) La ecuaciĂłn ordinaria de la elipse b) La longitud del lado recto c) La excentricidad

38

Como el vĂŠrtice se encuentra abajo del centro đ??ś −4 , −4 y tienen la coordenada đ?‘‰1 −4 , −8

sabemos que la elipse tiene una posiciĂłn vertical, por lo tanto

utilizaremos la ecuaciĂłn: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? + =đ?&#x;? đ?’ƒđ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?

La distancia del vĂŠrtice que se encuentra en đ?‘Ś = −8 al centro que se encuentra en đ?’š = −đ?&#x;’ es de 4 unidades, entonces el semieje mayor es đ?’‚ = đ?&#x;’

El valor del semieje menor nos lo indican en los datos y es đ?’ƒ = đ?&#x;?đ?&#x;?

Aplicando el Teorema de PitĂĄgoras determinamos el valor de đ?’„ đ?’„=

đ?&#x;’đ?&#x;? −

đ?’‚đ?&#x;? − đ?’ƒđ?&#x;? =

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;” − đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?&#x;’ = đ?&#x;?

Por lo que la longitud del semieje focal es đ?’„ = đ?&#x;?

De las coordenadas del centro sabemos que â„Ž = −4 y đ?‘˜ = −4 Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™ − −đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?’š − −đ?&#x;’ + đ?&#x;’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

Simplificando tenemos que la ecuaciĂłn del elipse es đ?’™+đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?&#x;?

+

đ?’š+đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;”

đ?&#x;?

=đ?&#x;?

El lado recto y la excentricidad se determinan sustituyendo en las fĂłrmulas đ?&#x;?đ?’ƒđ?&#x;? đ?&#x;? đ?‘łđ?‘š = = đ?’‚

đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;’

đ?&#x;?

=

đ?&#x;?đ?&#x;’ =đ?&#x;” đ?&#x;’

39

đ?’†=

đ?’„ đ?&#x;? đ?&#x;? = = đ?’‚ đ?&#x;’ đ?&#x;?

Los elementos que determinamos en el ejercicio se pueden visualizar en la siguiente grĂĄfica

Imagen 85. RepresentaciĂłn grĂĄfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 4

Da clic sobre el enlace y observa la soluciĂłn de otro ejemplo: http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=jrap15Elnp4

(Se realiza en plataforma)

40

Conclusión Muy bien, hemos concluido la tercera semana de estudio. Adquirimos conocimientos generales sobre los elementos de la Elipse y las diferentes formas en las que podemos representar la ecuación que representa su lugar geométrico.

Entre las aplicaciones comentadas podemos observar que no parecen de nuestra vida cotidiana, sin embargo son de gran importancia para el desarrollo de la ciencia y tecnología.

Relacionamos el estudio de la Elipse con el movimiento planetario, de satélites naturales y artificiales.

La aplicación de la Elipse en la medicina resulta fundamental para el desarrollo de las máquinas utilizadas para desintegrar los cálculos renales.

Los conocimientos adquiridos nos ayudarán a interpretar la trayectoria de los planetas y relacionarlo con el modelo heliocéntrico de Kepler.

Imagen 86. Leyes de Kepler

(Se realiza en plataforma)

41

Referencias De contenido

Libros Matemáticas III con enfoque en competencias, Tercer semestre, Patricia Ibañez y Gerardo Carrasco, CENGAGE Learning, 2010 De consulta

Sitios de internet Definición de la Elipse http://www.youtube.com/watch?v=jVTZITljKUE Demostración de la ecuación ordinaria de la Elipse Horizontal con centro en el origen http://www.youtube.com/watch?v=LKlsOtKtl_4 Demostración de la ecuación ordinaria de la Elipse Vertical con centro en el origen http://www.youtube.com/watch?v=ePwUYQMn-3E Ecuaciones de la Elipse http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse.html http://exordio.qfb.umich.mx/archivos%20pdf%20de%20trabajo%20umsnh/aphilosof ia/Mate/elipse.pdf Ejemplos http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=jrap15Elnp4 http://www.youtube.com/watch?v=wO3fYo1P_2Q http://www.youtube.com/watch?v=HIh8qMDkKo8 http://www.youtube.com/watch?v=PlYY_qvSX2s http://www.youtube.com/watch?v=mMc2QPdjnW4

Aplicaciones de las cónicas http://www.youtube.com/watch?v=asEGxINUJGY

42

http://www.youtube.com/watch?v=u5yfxZFDTkk

De imágenes

50. Elipse Recuperado de: http://fisicamola.wikispaces.com/Johannes+Kepler 51. Litotriptor Recuperado de: http://gilmedica.com/nuestros-productos/quirurgica/pelvis-femenina/litotriptor/ 52. Catedral San Pablo Recuperado de: http://www.guia-londres.com/catedral-san-pablo/ 53. Cuerpo cónico Recuperado de: http://www.arrakis.es/~mcj/conicas.htm 54. Representación gráfica de la definición de Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 55. Ubicación de los vértices en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 56. Ubicación de los focos de una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 57. Ubicación del centro en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 58. Ubicación de eje mayor en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 59. Ubicación del eje focal en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

43

60. Ubicación del eje menor en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 61. Ubicación de los semiejes mayores en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 62. Ubicación de los semiejes focales en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 63. Ubicación de los semiejes menores en una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 64. Elementos de una Elipse Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 65. Elipse Horizontal y Elipse Vertical Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 66. Triángulo rectángulo formado por los valores de los semiejes focal y menor de una Elipse Horizontal Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 67. Punto sobre la Elipse Horizontal con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 68. Punto sobre la Elipse Horizontal con centro en fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 69. Satélite Recuperado de: http://www.xtec.cat/~jgarc322/lagravedad.htm 70. Representación gráfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 71. Litotriptor Recuperado de:

44

http://www.urologiaactual.com/wp-content/uploads/2011/02/litotriptorextracorporeo.jpg 72. Representación gráfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 73. Elipse Horizontal y Elipse Vertical Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 74. Puntos sobre la Elipse Vertical con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 75. Punto sobre la Elipse Vertical con centro fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 76. Ecuaciones ordinarias de la Elipse Horizontal y Elipse Vertical con centro fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 77. Representación gráfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 78. Representación gráfica de los elementos de la Elipse determinados en el problema 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 79. Representación gráfica del lado recto en una Elipse Horizontal Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 80. Satélite Recuperado de: http://www.xtec.cat/~jgarc322/lagravedad.htm 81. Representación gráfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 82. Litotriptor

45

Recuperado de: http://www.urologiaactual.com/wp-content/uploads/2011/02/litotriptorextracorporeo.jpg 83. Representación gráfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 84. Representación gráfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 3 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 85. Representación gráfica del lado recto de la Elipse determinado en el problema 4 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 86. Leyes de Kepler Recuperado de: http://www.eyeintheskygroup.com/Azar-Ciencia/Metodos/Azar-RevolucionCopernicana_archivos/Sistema%20Heliocentrico.jpg Gráficas elaboradas con Graphmatica.

46

UNIDAD 4. LA PARÁBOLA

Introducción

Las Parábolas tienen varias aplicaciones interesantes, una de las más importantes es su propiedad de reflexión.

Si un espejo es parabólico, un rayo de luz que proceda del foco de la parábola se refleja en él siguiendo una línea paralela al eje focal, como ejemplo tenemos los reflectores de los faros de automóviles, son parabólicos y su fuente luminosa está en el foco. Este mismo principio se emplea en los telescopios reflectores, las antenas de TV y los hornos solares, pero invertidos la fuente luminosa y el destino.

Imagen 87. Antena

En la vida cotidiana observamos constantemente las parábolas, están los tiros parabólicos debido a la acción de la gravedad, las construcciones de los puentes colgantes, los arcos de algunas construcciones, etc.

1

Imagen 88. Fuente

Imagen 89. Puente

Imagen 90. Arco

Propósito Al finalizar la unidad, serás competente para:

Resolver ejercicios con ecuaciones de segundo grado, que corresponden con la parábola horizontal o vertical; ello le permitirá adentrarse en el estudio de fenómenos físicos y diseños constructivos que aplican el modelo parabólico.

2

Propósitos particulares de la unidad 1. Comprender el origen y elementos de las parábolas.

2. Determinar analíticamente los elementos que forman las parábolas.

3. Reconocer las diferencias entre parábolas horizontales y verticales.

Temario de la unidad

4.1 Definición de Parábola 4.2 Elementos de la Parábola 4.3 Parábola Horizontal y Vertical con Vértices en el Origen 4.4 Parábola Horizontal y Vertical con Vértices en un Punto Cualquiera del plano 4.5 Ecuación General de la Parábola

3

4.1

Definición de Parábola

Cuando se tiene un cuerpo cónico que es seccionado por un plano, como puede verse en la figura, al ver el cuerpo desde el plano los bordes del cono dan lugar a una curva llamada Parábola.

Imagen 91. Parábola

Como lugar geométrico decimos que la Parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija en el plano.

Imagen 92. Parábola, foco y directriz

4

Por lo tanto, matemĂĄticamente definimos a la ParĂĄbola como el lugar geomĂŠtrico de un punto que se mueve en un plano, manteniendo siempre igual distancia a un punto fijo llamado foco y a una lĂ­nea recta fija llamada directriz

4.2

Elementos de la ParĂĄbola

Imagen 93. Elementos de la ParĂĄbola.

VĂŠrtice: Es el punto donde la parĂĄbola corta al eje focal, por lo general sus coordenadas se representan como h, k.

Foco: Es el punto fijo que sirve de referencia para tomar la distancia a cualquier punto de la curva. En ese punto pasa el lado recto y estĂĄ a una distancia đ?’‘ del

vĂŠrtice

5

Eje Focal o eje de simetrĂ­a: Es la recta que pasa por el foco y el vĂŠrtice

Directriz: Es la recta perpendicular al eje focal, sirve de referencia para tomar la distancia a cualquier punto de la curva, la distancia đ?’‚ del vĂŠrtice a la directriz es

igual a la distancia đ?’‘ del vĂŠrtice al foco.

Lado Recto: Es el segmento que une dos puntos de la curva y que pasa por el foco. La longitud del Lado Recto es đ?&#x;’đ?’‚

Imagen 94. DemostraciĂłn de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola

(Se realiza en plataforma)

6

4.3

ParĂĄbola Horizontal y Vertical con VĂŠrtices en el Origen

Imagen 96. GrĂĄfica que muestra los elementos de la ParĂĄbola horizontal

En la grĂĄfica se observa que la distancia del vĂŠrtice al foco es igual a la distancia del vĂŠrtice a la directriz, esta distancia se representa con la letra đ?’‘.

Si consideramos una parĂĄbola horizontal con vĂŠrtice en el origen, podemos definir las coordenadas del foco como đ?‘­ đ?’‘, đ?&#x;Ž y la ecuaciĂłn de la directriz como đ?’™ = −đ?’‘, el lado recto se determina como đ?&#x;’đ?’‘

Si tenemos un punto � �, � sobre la paråbola, por definición sabemos que la

distancia del punto P al punto M sobre la directriz debe ser la misma que la distancia del punto P al foco, es decir: �� = ��

La distancia del punto P al foco (��) la determinamos como la distancia entre dos puntos sobre una recta por lo que tenemos � �, �

đ?‘­ đ?’‘, đ?&#x;Ž

7

�� =

đ?’™âˆ’đ?’‘

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;Ž

đ?&#x;?

La distancia del segmento (��) lo determinamos como la distancia del punto P al eje de las Y, la cual es X mås la distancia de la directriz al eje Y, la cual es p, por lo tanto: �� = � + � Ahora igualamos los segmentos.

đ?’™âˆ’đ?’‘

�� = ��

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;Ž

đ?&#x;?

=đ?’™+đ?’‘

Elevando todo al cuadrado đ?’™âˆ’đ?’‘

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;Ž

đ?&#x;?

= đ?’™+đ?’‘

đ?&#x;?

Desarrollando los binomios al cuadrado tenemos: đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‘đ?’™ + đ?’‘đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’‘đ?’™ + đ?’‘đ?&#x;?

Simplificando đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‘đ?’™ + đ?’‘đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? − đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‘đ?’™ − đ?’‘đ?&#x;? = đ?&#x;Ž −đ?&#x;?đ?’‘đ?’™ + đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‘đ?’™ = đ?&#x;Ž

Imagen 97. EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola horizontal que abre a la derecha

8

Imagen 98. Grรกfica de la Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola horizontal que abre a la derecha

Como hemos mencionado el signo de ๐ nos indica el sentido que tendrรก la parรกbola sobre el eje cartesiano, entonces la ecuaciรณn

Imagen 99. Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola horizontal que abre hacia la izquierda

9

Imagen 100. Grรกfica de la Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola horizontal que abre hacia la izquierda

La Ecuaciรณn Ordinaria de una Parรกbola Vertical con vรฉrtice en el origen se deduce de forma similar; en este caso el elemento al cuadrado serรก ๐ y su ecuaciรณn es:

Imagen 101. Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola vertical que abre hacia arriba

10

Imagen 102. Grafica de la Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola vertical que abre hacia arriba

Mientras que la ecuaciรณn

Imagen 103. Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola vertical que abre hacia abajo

11

Imagen 104. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola vertical que abre hacia abajo

Podemos resumir los casos de la parĂĄbola con vĂŠrtice en el origen y directriz paralela a uno de los ejes cartesianos en la siguiente tabla.

PosiciĂłn

Abre hacia

Horizontal

Derecha

Horizontal

Izquierda

Vertical

Arriba

Vertical

Abajo

EcuaciĂłn đ?‘Ś 2 = 4đ?‘?đ?‘Ľ

đ?‘Ś 2 = −4đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 = 4đ?‘?đ?‘Ś

đ?‘Ľ 2 = −4đ?‘?đ?‘Ś

Tabla 1. Ecuaciones Ordinarias de la ParĂĄbola Horizontales y Verticales, con vĂŠrtice en el origen

12

Da clic sobre el enlace y observa la demostraciĂłn de la EcuaciĂłn de la ParĂĄbola con vĂŠrtice en el origen. http://www.youtube.com/watch?v=9gaU5JnHaPM

Ejemplo 1

Un cometa se mueve alrededor de la Tierra con una trayectoria parabĂłlica, si la ecuaciĂłn que representa su trayectoria es đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™ = đ?&#x;Ž

Imagen 105. Cometa Determina las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra, ademĂĄs de la directriz y el vĂŠrtice.

SoluciĂłn El primer paso consiste en escribir la ecuaciĂłn en forma ordinaria, entonces tenemos đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™ De donde podemos deducir que 4đ?‘? = 16 đ?‘?=

16 =4 4

13

De acuerdo a la forma de la ecuaciĂłn se trata de una ParĂĄbola Horizontal que abre a la derecha y que tiene su centro en el origen, sus elementos son:

VĂŠrtice Foco Directriz Lado recto

đ?‘‰ 0,0 đ??š 4,0

đ?‘Ľ = −4

đ??żđ?‘… = 4đ?‘? = 16

Sabemos que la Tierra se encuentra en el Foco de la ParĂĄbola, por lo tanto, las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra son đ?&#x;’, đ?&#x;Ž En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola descrita por el movimiento del cometa.

Imagen 106. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola para el problema 1.

14

Ejemplo 2

Se pretende construir un puente colgante y para facilitar los cĂĄlculos se ubicĂł el vĂŠrtice en el origen, se sabe que la ecuaciĂłn de la directriz es đ?’š = −

đ?&#x;“ đ?&#x;?

Imagen 107. Puente colgante

Determina la ecuaciĂłn de la parĂĄbola formada para sostener el puente y todos sus elementos.

SoluciĂłn Como la directriz es una recta horizontal, el eje focal es el eje đ?’š , de tal forma que

la parĂĄbola es vertical.

AdemĂĄs, la directriz estĂĄ por debajo del eje đ?’™ y el vĂŠrtice estĂĄ en el origen; entonces, la parĂĄbola abre hacia arriba y su ecuaciĂłn es de la forma đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘đ?’š đ?&#x;“

Puesto que đ?’‘ es la distancia de la directriz al vĂŠrtice, en este caso, đ?’‘ = đ?&#x;? , por lo que la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es:

15

đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;’

đ?&#x;“ đ?’š đ?&#x;?

Simplificando tenemos, đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’š

Por lo tanto, los elementos de la parĂĄbola son: đ?‘˝ đ?&#x;Ž, đ?&#x;Ž

đ?‘­ đ?&#x;Ž,

���������

đ?&#x;“ đ?&#x;?

đ?’š=−

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘šđ?’†đ?’„đ?’•đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?&#x;“ đ?&#x;?

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada para sostener el puente.

Imagen 108. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola para el problema 2

16

Ejemplo 3

RaĂşl estĂĄ en lo alto de un edificio y patea un balĂłn como se muestra en la figura.

Si ubicamos el origen del plano en el punto donde cayĂł el balĂłn y sabemos que el foco de la parĂĄbola se encuentra en la base del edificio, determina los elementos y la ecuaciĂłn de la parĂĄbola formada por la trayectoria del balĂłn. Indica la altura del edificio.

Imagen 109. Esquema representativo del problema 3 en la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola

SoluciĂłn Puesto que đ?’‘ es la distancia del VĂŠrtice al Foco, en este caso đ?’‘ = −đ?&#x;“, se observa

que el Foco y el VĂŠrtice estĂĄn sobre el eje đ?’™ por lo que la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es:

đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘đ?’™ Sustituyendo tenemos: đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;’ −đ?&#x;“ đ?’™ Por lo tanto, la ecuaciĂłn que representa la trayectoria del balĂłn es đ?’šđ?&#x;? = −đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™

17

Recuerda que la trayectoria se interrumpe en el momento en que el balĂłn choca con el suelo.

Los elementos de la parĂĄbola son đ?‘˝ đ?&#x;Ž, đ?&#x;Ž

đ?‘­ −đ?&#x;“, đ?&#x;Ž

���������

đ?’™=đ?&#x;“

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘šđ?’†đ?’„đ?’•đ?’? = đ?&#x;’đ?’‘ = đ?&#x;’ đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž La altura del edificio es la mitad del lado recto, entonces đ?‘¨đ?’?đ?’•đ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?‘Źđ?’…đ?’Šđ?’‡đ?’Šđ?’„đ?’Šđ?’? =

đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada por la trayectoria del balĂłn.

Imagen 110. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola para el problema 3

18

Ejemplo 4

De acuerdo a los datos de una mina subterrĂĄnea, uno de sus tĂşneles tiene la forma de una parĂĄbola, representada por la ecuaciĂłn đ?&#x;— đ?’™đ?&#x;? = − đ?’š đ?&#x;?

Imagen 111. TĂşnel Determina los elementos de la parĂĄbola.

Si el foco estĂĄ a ras del suelo, indica la altura y la parte mĂĄs ancha del tĂşnel.

SoluciĂłn

De acuerdo a la ecuaciĂłn sabemos que el vĂŠrtice se ubica en el origen del plano đ?&#x;—

cartesiano y que su lado recto es đ?‘łđ?‘š = đ?&#x;?

Determinamos el valor de đ?’‘

đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;— đ?’‘=− đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’đ?’‘ = −

19

đ?’‘=−

đ?&#x;— đ?&#x;–

Entonces, los elementos de la parĂĄbola son: đ?‘˝ đ?&#x;Ž, đ?&#x;Ž

đ?‘­ đ?&#x;Ž, −

���������

đ?&#x;— đ?&#x;–

đ?’š=

đ?&#x;— đ?&#x;–

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘šđ?’†đ?’„đ?’•đ?’? = đ?&#x;’đ?’‘ =

đ?&#x;— đ?&#x;?

La altura del tĂşnel es la distancia del Foco al VĂŠrtice, entonces đ??€đ??Ľđ??­đ??Žđ??Ťđ??š đ???đ??žđ??Ľ đ??“Ăşđ??§đ??žđ??Ľ =

đ?&#x;— = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;–

La parte mĂĄs ancha del tĂşnel es a ras del suelo, entonces đ???đ??šđ??Ťđ??­đ??ž đ??ŚĂĄđ??Ź đ??šđ??§đ??œđ??Ąđ??š đ???đ??žđ??Ľ đ??“Ăşđ??§đ??žđ??Ľ = đ?&#x;’đ?’‘ =

đ?&#x;— = đ?&#x;’. đ?&#x;“ đ?&#x;?

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada por el tĂşnel.

Imagen 112. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola para el problema 4

20

Da clic sobre el enlace y observa la soluciĂłn de otros ejemplos. http://www.youtube.com/watch?v=EVSIRPrle4o

(Se realiza en plataforma)

4.4

ParĂĄbola Horizontal y Vertical con VĂŠrtices en un Punto Cualquiera del Plano

Consideremos ahora una ParĂĄbola Horizontal cuyo vĂŠrtice se encuentra fuera del origen y abre hacia la derecha, sus parĂĄmetros estarĂĄn definidos por VĂŠrtice en las coordenadas đ?‘˝ đ?’‰, đ?’Œ ; foco en las coordenadas đ?‘­ đ?’‰ + đ?’‘, đ?’Œ y la ecuaciĂłn de la directriz como đ?’™ = đ?’‰ − đ?’‘

Como en los anålisis anteriores tomaremos un punto � �, � que se encuentra

sobre la paråbola y por lo tanto se cumple que la distancia del punto � al foco es

igual a la distancia del punto � a la directriz, entonces podemos afirmar que: �� = ��

La distancia del punto � al foco la determinamos como la distancia entre dos puntos sobre una recta por lo que tenemos �� =

đ?’™ − (đ?’‰ + đ?’‘)

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

21

La distancia del segmento (đ?‘ƒđ?‘€) lo determinamos como la distancia de un punto a una recta mediante la expresiĂłn đ?’…=

đ?‘¨đ?’™ + đ?‘Šđ?’š + đ?‘Ş đ?‘¨đ?&#x;? + đ?‘Šđ?&#x;?

Al sustituir los valores de la paråbola tenemos: �� =

đ?&#x;? đ?’™+ đ?&#x;Ž đ?’šâˆ’đ?’‰+đ?’‘ đ?&#x;?đ?&#x;? + đ?&#x;Žđ?&#x;?

=đ?’™âˆ’đ?’‰+đ?’‘

Ahora igualamos los segmentos.

đ?’™ − (đ?’‰ + đ?’‘)

đ?‘­đ?‘ˇ = đ?‘ˇđ?‘´ đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

=đ?’™âˆ’đ?’‰+đ?’‘

Elevando todo al cuadrado đ?’™ − (đ?’‰ + đ?’‘)

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

= đ?’™âˆ’đ?’‰+đ?’‘

đ?&#x;?

Desarrollando cada miembro al cuadrado y simplificando obtenemos:

Imagen 113. EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola horizontal que abre hacia la derecha

22

Imagen 114. Grรกfica para la Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola horizontal que abre hacia la derecha

De forma similar se deducen las demรกs ecuaciones. Como hemos mencionado el signo de ๐ nos indica el sentido que tendrรก la parรกbola sobre el eje cartesiano, entonces la ecuaciรณn

Imagen 115. Ecuaciรณn Ordinaria de la Parรกbola horizontal que abre hacia la izquierda

23

Imagen 116. Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda

Mientras que la ecuación

Imagen 117. Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba

24

Imagen 118. Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba

Así mismo, la ecuación

Imagen 119. Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia abajo

25

Imagen 120. GrĂĄfica para la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola vertical que abre hacia abajo

Podemos resumir los casos de la parĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen y directriz paralela a uno de los ejes cartesianos en la siguiente tabla.

PosiciĂłn

Abre hacia

Horizontal fuera del origen

Derecha

Horizontal fuera del origen

Izquierda

Vertical fuera del origen

Arriba

Vertical fuera del origen

Abajo

EcuaciĂłn (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’™ − đ?’‰)

(đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? = −đ?&#x;’đ?’‘(đ?’™ − đ?’‰) (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’š − đ?’Œ)

(đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? = −đ?&#x;’đ?’‘(đ?’š − đ?’Œ)

Tabla 2. Ecuaciones Ordinarias de la ParĂĄbola Horizontales y Verticales, con vĂŠrtice fuera del origen

26

Da clic sobre el enlace y observa la demostraciĂłn de la EcuaciĂłn de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen: http://www.youtube.com/watch?v=U1YZ7xEo734

Ejemplo 1

Luis observĂł el mismo cometa que se movĂ­a alrededor de la Tierra con una trayectoria parabĂłlica, ĂŠl determinĂł que la ecuaciĂłn que representaba la trayectoria del cometa era đ?’šâˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

− đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ + đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž

Imagen 121. Cometa

De acuerdo al plano cartesiano utilizado por Luis, determina las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra, ademĂĄs de la directriz y el vĂŠrtice.

SoluciĂłn

27

El primer paso consiste en escribir la ecuaciĂłn en forma ordinaria, entonces tenemos đ?’šâˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ + đ?&#x;‘

De donde podemos deducir que 4đ?‘? = 16 đ?‘?=

16 =4 4

De acuerdo a la forma de la ecuaciĂłn se trata de una ParĂĄbola Horizontal que abre a la derecha y que tiene su vĂŠrtice en đ?’‰, đ?’Œ , sus elementos son: VĂŠrtice Foco Directriz Lado recto

đ?‘‰ −3 , 4 đ??š 1 ,4

đ?‘Ľ = −7

đ??żđ?‘… = 4đ?‘? = 16

Sabemos que la Tierra se encuentra en el Foco de la ParĂĄbola, por lo tanto, las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra son đ?&#x;?, đ?&#x;’ En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola descrita por el movimiento del cometa desde el punto de observaciĂłn de Luis.

28

Imagen 122. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen para el problema 1

Ejemplo 2

Uno de los ingenieros que participarĂĄ en la construcciĂłn del puente colgante ubicĂł el vĂŠrtice en el punto −5 , −2 , se sabe que la ecuaciĂłn de la directriz es đ?’š = −

đ?&#x;— đ?&#x;?

Imagen 123. Puente colgante

29

Ayuda al ingeniero a determinar la ecuaciĂłn de la parĂĄbola formada para sostener el puente y todos sus elementos.

SoluciĂłn Como la directriz es una recta horizontal, el eje focal es una recta paralela al eje đ?’š,

de tal forma que la parĂĄbola es vertical.

AdemĂĄs, la directriz estĂĄ por debajo del vĂŠrtice; entonces la parĂĄbola abre hacia arriba y su ecuaciĂłn es de la forma (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’š − đ?’Œ) Puesto que đ?’‘ es la distancia de la directriz al vĂŠrtice, en este caso đ?’‘ = −đ?&#x;? − −

đ?&#x;— đ?&#x;— đ?&#x;’ đ?&#x;— đ?&#x;“ = −đ?&#x;? + = − + = đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?

Sustituyendo tenemos que la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es: (đ?’™ + đ?&#x;“)đ?&#x;? = đ?&#x;’

đ?&#x;“ (đ?’š + đ?&#x;?) đ?&#x;?

Simplificando tenemos, (đ?’™ + đ?&#x;“)đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž(đ?’š + đ?&#x;?)

Por lo tanto, los elementos de la parĂĄbola son: đ?‘˝ −đ?&#x;“ , −đ?&#x;? đ?‘­ −đ?&#x;“ ,

���������

đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?’š=−

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘šđ?’†đ?’„đ?’•đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?&#x;— đ?&#x;?

30

De acuerdo al punto de observación del ingeniero, en la siguiente gráfica se muestran los elementos de la parábola formada para sostener el puente.

Imagen 124. Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 2

Ejemplo 3

Marisol estaba frente al edificio de Raúl y desde su ubicación realizó el siguiente esquema.

Imagen 125. Esquema representativo del problema 3 en la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen

31

BasĂĄndote en el esquema realizado por Marisol, determina los elementos y la ecuaciĂłn de la parĂĄbola formada por la trayectoria del balĂłn. Indica la altura del edificio.

SoluciĂłn Puesto que đ?’‘ es la distancia del VĂŠrtice al Foco, en este caso đ?’‘ = −đ?&#x;“, se observa

que el Foco y el VĂŠrtice estĂĄn sobre el eje đ?’™ por lo que la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es:

(đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’™ − đ?’‰) Sustituyendo tenemos: (đ?’š − đ?&#x;?)đ?&#x;? = đ?&#x;’ −đ?&#x;“ (đ?’™ + đ?&#x;”) Por lo tanto, la ecuaciĂłn que representa la trayectoria del balĂłn es (đ?’š − đ?&#x;?)đ?&#x;? = −đ?&#x;?đ?&#x;Ž(đ?’™ − đ?&#x;”) Recuerda que la trayectoria se interrumpe en el momento en que el balĂłn choca con el suelo.

Los elementos de la parĂĄbola son đ?‘˝ đ?&#x;” ,đ?&#x;?

đ?‘­ đ?&#x;? ,đ?&#x;?

���������

đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘šđ?’†đ?’„đ?’•đ?’? = đ?&#x;’đ?’‘ = đ?&#x;’ đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž La altura del edificio es la mitad del lado recto, entonces đ?‘¨đ?’?đ?’•đ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?‘Źđ?’…đ?’Šđ?’‡đ?’Šđ?’„đ?’Šđ?’? =

đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?

32

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada por la trayectoria del balĂłn.

Imagen 126. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen para el problema 3

Ejemplo 4

De acuerdo a los datos de una mina subterrĂĄnea, el mismo tĂşnel, estĂĄ representado por la ecuaciĂłn đ?’™âˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=−

đ?&#x;— đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?

Imagen 127. TĂşnel

33

Determina los elementos de la parĂĄbola.

Si el foco estĂĄ a ras del suelo, indica la altura y la parte mĂĄs ancha del tĂşnel.

SoluciĂłn

El primer paso consiste en interpretar la ecuaciĂłn que estĂĄ escrita en forma ordinaria, entonces tenemos đ?’™âˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=−

đ?&#x;— đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?

De donde podemos deducir que đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;— đ?’‘=− đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’đ?’‘ = − đ?’‘=−

đ?&#x;— đ?&#x;–

De acuerdo a la forma de la ecuaciĂłn se trata de una ParĂĄbola Vertical que abre hacia abajo y que tiene su vĂŠrtice en đ?’‰, đ?’Œ , sus elementos son: VĂŠrtice Foco Directriz Lado recto

đ?‘‰ 2 , −3 đ??š 2 ,− đ?‘Ś=−

33 8

15 8 9

đ??żđ?‘… = 4đ?‘? = 2

La altura del tĂşnel es la distancia del Foco al VĂŠrtice, entonces đ??€đ??Ľđ??­đ??Žđ??Ťđ??š đ???đ??žđ??Ľ đ??“Ăşđ??§đ??žđ??Ľ =

đ?&#x;— = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;–

34

La parte mĂĄs ancha del tĂşnel es a ras del suelo, entonces đ???đ??šđ??Ťđ??­đ??ž đ??ŚĂĄđ??Ź đ??šđ??§đ??œđ??Ąđ??š đ???đ??žđ??Ľ đ??“Ăşđ??§đ??žđ??Ľ = đ?&#x;’đ?’‘ =

đ?&#x;— = đ?&#x;’. đ?&#x;“ đ?&#x;?

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada por el tĂşnel.

Imagen 128. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen para el problema 4

Da clic sobre el enlace y observa la soluciĂłn de otros ejemplos. http://www.youtube.com/watch?v=61uCLqDJGMg

(Se realiza en plataforma)

35

4.5

EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola

La ecuaciĂłn general de segundo grado tiene la forma de đ?‘¨đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Šđ?’™đ?’š + đ?‘Şđ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž Por lo que se buscarĂĄ desarrollar la ecuaciĂłn ordinaria de una parĂĄbola vertical para obtenerla de esa forma.

Cuando se tiene la ecuaciĂłn: (đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’š − đ?’Œ) Es posible transformarla a su forma general, para lo cual se desarrolla el cuadrado del binomio y los productos indicados, đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‰đ?’™ + đ?’‰đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘đ?’š − đ?&#x;’đ?’‘đ?’Œ Ordenando đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‰đ?’™ + đ?’‰đ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’‘đ?’š + đ?&#x;’đ?’‘đ?’Œ = đ?&#x;Ž

đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‰đ?’™ − đ?&#x;’đ?’‘đ?’š + đ?&#x;’đ?’‘đ?’Œ + đ?’‰đ?&#x;? = đ?&#x;Ž

ComparĂĄndola con la ecuaciĂłn general de segundo grado observamos que: đ??´=1

đ??ľ=0 đ??ś=0

đ??ˇ = −2â„Ž

đ??¸ = −4đ?‘?

đ??š = 4đ?‘?đ?‘˜ + â„Ž2

36

Por lo que la ecuaciĂłn general de una ParĂĄbola Vertical queda como: đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž

Imagen 129. GrĂĄfica para la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola vertical

De forma similar se obtiene la ecuaciĂłn general de una ParĂĄbola Horizontal.

Cuando se tiene la ecuaciĂłn: (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’™ − đ?’‰) Es posible transformarla a su forma general, para lo cual se desarrolla el cuadrado del binomio y los productos indicados, đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Œđ?’š + đ?’Œđ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘đ?’™ − đ?&#x;’đ?’‘đ?’‰ Ordenando đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Œđ?’š + đ?’Œđ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’‘đ?’™ + đ?&#x;’đ?’‘đ?’‰ = đ?&#x;Ž

đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;’đ?’‘đ?’™ − đ?&#x;?đ?’Œđ?’š + đ?&#x;’đ?’‘đ?’‰ + đ?’Œđ?&#x;? = đ?&#x;Ž

37

ComparĂĄndola con la ecuaciĂłn general de segundo grado observamos que: đ??´=1

đ??ľ=0 đ??ś=0

đ??ˇ = −4đ?‘?

đ??¸ = −2đ?‘˜

đ??š = 4đ?‘?â„Ž + đ?‘˜ 2 đ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž

Imagen 130. Diferencia entre las Ecuaciones Generales de las ParĂĄbolas Horizontal y Vertical

Imagen 131. GrĂĄfica para la EcuaciĂłn Ordinaria de la ParĂĄbola horizontal

38

Ejemplo 1

HabĂ­amos comentado que Luis observĂł el mismo cometa que se movĂ­a alrededor de la Tierra con una trayectoria parabĂłlica, ĂŠl determinĂł que la ecuaciĂłn que representaba la trayectoria del cometa era đ?’šâˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

− đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ + đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž

Imagen 132. Cometa Determina la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola, las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra, ademĂĄs de la directriz y el vĂŠrtice.

SoluciĂłn

Es posible transformarla a su forma general si desarrollamos el cuadrado del binomio y los productos indicados, đ?’šâˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

= đ?&#x;?đ?&#x;” đ?’™ + đ?&#x;‘

đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;–đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™ + đ?&#x;’đ?&#x;– Ordenando đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;–đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;” − đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™ − đ?&#x;’đ?&#x;– = đ?&#x;Ž đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’™ − đ?&#x;–đ?’š − đ?&#x;‘đ?&#x;? = đ?&#x;Ž

ComparĂĄndola con la ecuaciĂłn general de segundo grado observamos que:

39

đ??ˇ = −16 đ??¸ = −8

đ??š = −32 Aplicamos las fĂłrmulas para determinar los elementos de la parĂĄbola horizontal đ??ˇ = −4đ?‘? đ?‘?=−

đ??ˇ −16 =− =4 4 4

đ?‘˜=−

đ??¸ −8 =− =4 2 2

đ??¸ = −2đ?‘˜

đ??š = 4đ?‘?â„Ž + đ?‘˜ 2

đ??š − đ?‘˜2 −32 − 4 â„Ž= = 4đ?‘?

4 4

2

=

−32 − 16 −48 = = −3 16 16

De donde podemos deducir que đ?‘?=4

4đ?‘? = 16

De acuerdo a los cĂĄlculos realizados con las fĂłrmulas para determinar los elementos de una ParĂĄbola Horizontal tenemos que:

VĂŠrtice Foco Directriz Lado recto

đ?‘‰ −3 , 4 đ??š 1 ,4

đ?‘Ľ = −7

đ??żđ?‘… = 4đ?‘? = 16

Sabemos que la Tierra se encuentra en el Foco de la ParĂĄbola, por lo tanto, las coordenadas del punto en el que se encuentra la Tierra son đ?&#x;?, đ?&#x;’

40

En la siguiente gráfica se muestran los elementos de la parábola descrita por el movimiento del cometa desde el punto de observación de Luis.

Imagen 133. Gráfica de la Ecuación General de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 1

Ejemplo 2

Uno de los ingenieros que participará en la construcción del puente determinó que la ecuación de la parábola formada para sostener el puente es (𝒙 + 𝟓)𝟐 = 𝟏𝟎(𝒚 + 𝟐)

Imagen 134. Puente colgante

41

Ayuda al ingeniero a determinar la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola formada para sostener el puente y todos sus elementos.

SoluciĂłn

Es posible transformarla a su forma general si desarrollamos el cuadrado del binomio y los productos indicados, (đ?’™ + đ?&#x;“)đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž(đ?’š + đ?&#x;?)

đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;Ž Ordenando đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’š − đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’š + đ?&#x;“ = đ?&#x;Ž

ComparĂĄndola con la ecuaciĂłn general de segundo grado observamos que: đ??ˇ = 10

đ??¸ = −10 đ??š=5

Aplicamos las fĂłrmulas para determinar los elementos de la parĂĄbola vertical đ??ˇ = −2â„Ž

ℎ=−

10 đ??ˇ =− = −5 2 â„Ž

đ??¸ = −4đ?‘? đ?‘?=−

đ??¸ −10 5 =− = đ?‘?

4 2

đ??š = 4đ?‘?đ?‘˜ + â„Ž2

đ??š − â„Ž2 5 − −5 đ?‘˜= = 5 4đ?‘?

4 2

2

=

5 − 25 −20 = = −2 10 10

De donde podemos deducir que

42

đ?‘?=

5 2

4đ?‘? = 10

De acuerdo a los cĂĄlculos realizados con las fĂłrmulas para determinar los elementos de una ParĂĄbola Vertical que abre hacia arriba, tenemos que: VĂŠrtice Foco Directriz Lado recto

đ?‘‰ −5 , −2 1

đ??š −5 , 2 9

đ?‘Ś = −2

đ??żđ?‘… = 4đ?‘? = 10

De acuerdo al punto de observaciĂłn del ingeniero, en la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada para sostener el puente.

Imagen 135. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen para el problema 2

43

Ejemplo 3

Marisol estaba frente al edificio de RaĂşl y desde su ubicaciĂłn realizĂł el siguiente esquema.

Imagen 136. Esquema representativo del problema 3 en la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen

BasĂĄndote en el esquema realizado por Marisol, determina los elementos y la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola formada por la trayectoria del balĂłn. Indica la altura del edificio.

SoluciĂłn Puesto que đ?’‘ es la distancia del VĂŠrtice al Foco, en este caso đ?’‘ = −đ?&#x;“, se observa

que el Foco y el VĂŠrtice estĂĄn sobre el eje đ?’™ por lo que la ecuaciĂłn de la parĂĄbola es:

(đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’‘(đ?’™ − đ?’‰) Sustituyendo tenemos: (đ?’š − đ?&#x;?)đ?&#x;? = đ?&#x;’ −đ?&#x;“ (đ?’™ + đ?&#x;”)

Por lo tanto, la ecuaciĂłn que representa la trayectoria del balĂłn es

44

(đ?’š − đ?&#x;?)đ?&#x;? = −đ?&#x;?đ?&#x;Ž(đ?’™ − đ?&#x;”) Es posible transformarla a su forma general si desarrollamos el cuadrado del binomio y los productos indicados, đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ś + 4 = −20đ?‘Ľ + 120 Ordenando đ?‘Ś 2 − 4đ?‘Ś + 4 + 20đ?‘Ľ − 120 = 0

La EcuaciĂłn General de la Circunferencia es

đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’™ − đ?&#x;’đ?’š − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;Ž Recuerda que la trayectoria se interrumpe en el momento en que el balĂłn choca con el suelo.

Los elementos de la parĂĄbola son đ?‘˝ đ?&#x;” ,đ?&#x;?

đ?‘­ đ?&#x;? ,đ?&#x;?

���������

đ?’™ = đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?‘łđ?’‚đ?’…đ?’? đ?‘šđ?’†đ?’„đ?’•đ?’? = đ?&#x;’đ?’‘ = đ?&#x;’ đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;Ž La altura del edificio es la mitad del lado recto, entonces đ?‘¨đ?’?đ?’•đ?’–đ?’“đ?’‚ đ?’…đ?’†đ?’? đ?‘Źđ?’…đ?’Šđ?’‡đ?’Šđ?’„đ?’Šđ?’? =

đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;?

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada por la trayectoria del balĂłn.

45

Imagen 137. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen para el problema 3

Ejemplo 4

De acuerdo a los datos de una mina subterrĂĄnea, el mismo tĂşnel, estĂĄ representado por la ecuaciĂłn đ?’™âˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=−

đ?&#x;— đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?

Imagen 138. TĂşnel Determina la ecuaciĂłn general de la parĂĄbola y sus elementos.

46

Si el foco estĂĄ a ras del suelo, indica la altura y la parte mĂĄs ancha del tĂşnel.

SoluciĂłn Es posible transformarla a su forma general si desarrollamos el cuadrado del binomio y los productos indicados đ?&#x;— đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?

27 9 đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4 = − đ?‘Ś − 2 2 đ?’™âˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=−

Ordenando 9 27 đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + 4 + đ?‘Ś + =0 2 2 La EcuaciĂłn General de la Circunferencia es 9 35 đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ + đ?‘Ś + =0 2 2 El primer paso consiste en interpretar la ecuaciĂłn que estĂĄ escrita en forma ordinaria, entonces tenemos đ?’™âˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

=−

đ?&#x;— đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;?

De donde podemos deducir que đ?&#x;— đ?&#x;? đ?&#x;— đ?’‘=− đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’đ?’‘ = − đ?’‘=−

đ?&#x;— đ?&#x;–

De acuerdo a la forma de la ecuaciĂłn se trata de una ParĂĄbola Vertical que abre hacia abajo y que tiene su vĂŠrtice en đ?’‰, đ?’Œ , sus elementos son:

47

VĂŠrtice Foco Directriz Lado recto

đ?‘‰ 2 , −3 đ??š 2 ,− đ?‘Ś=−

33 8

15 8 9

đ??żđ?‘… = 4đ?‘? = 2

La altura del tĂşnel es la distancia del Foco al VĂŠrtice, entonces đ??€đ??Ľđ??­đ??Žđ??Ťđ??š đ???đ??žđ??Ľ đ??“Ăşđ??§đ??žđ??Ľ =

đ?&#x;— = đ?&#x;?. đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;–

La parte mĂĄs ancha del tĂşnel es a ras del suelo, entonces đ???đ??šđ??Ťđ??­đ??ž đ??ŚĂĄđ??Ź đ??šđ??§đ??œđ??Ąđ??š đ???đ??žđ??Ľ đ??“Ăşđ??§đ??žđ??Ľ = đ?&#x;’đ?’‘ =

đ?&#x;— = đ?&#x;’. đ?&#x;“ đ?&#x;?

En la siguiente grĂĄfica se muestran los elementos de la parĂĄbola formada por el tĂşnel.

Imagen 139. GrĂĄfica de la EcuaciĂłn General de la ParĂĄbola con vĂŠrtice fuera del origen para el problema 4

48

Da clic sobre el enlace y observa la soluciรณn de otros ejemplos. http://www.youtube.com/watch?v=06dsXGgOtVQ

Da clic sobre el enlace y observa algunas aplicaciones. http://www.youtube.com/watch?v=JGsnAgm6DPY

(Se realiza en plataforma)

49

Conclusión

Muy bien, hemos concluido la cuarta semana del estudio. Ahora podemos identificar los elementos de una parábola a partir del análisis de sus ecuaciones en forma ordinaria o forma general.

Mediante la observación de fenómenos de la vida cotidiana, que se caracterizan por trayectorias parabólicas, podemos representar sus elementos y la ecuación que representa al lugar geométrico.

Utilizamos la ecuación de la parábola para modelar situaciones de la vida cotidiana; también aplicamos fórmulas que implican operaciones algebraicas y despejes para determinar las diferentes formas de la ecuación de una parábola.

Construimos gráficas de ecuaciones cuadráticas basándonos en la interpretación de problemas de la vida cotidiana.

En general, los conocimientos adquiridos durante la cuarta semana nos ayudarán a modelar cualquier situación que implique trayectorias parabólicas en las diferentes áreas del bachillerato, desde un tiro parabólico en Física hasta el comportamiento de la Demanda en Economía.

(Se realiza en plataforma)

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Referencias De contenido

Libros Matemáticas III con enfoque en competencias, Tercer semestre, Patricia Ibañez y Gerardo Carrasco, CENGAGE Learning, 2010 De consulta

Sitios de internet Definición de parábola http://www.fca.unam.mx/docs/apuntes_matematicas/22.%20Parabola.pdf http://www.geoan.com/conicas/parabola.html Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice en el origen http://www.youtube.com/watch?v=9gaU5JnHaPM http://www.youtube.com/watch?v=EVSIRPrle4o Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen http://www.youtube.com/watch?v=U1YZ7xEo734 http://www.youtube.com/watch?v=61uCLqDJGMg http://www.youtube.com/watch?v=boG2te3lPLI Ecuación General de la Parábola http://www.youtube.com/watch?v=06dsXGgOtVQ http://www.youtube.com/watch?v=VYmumNZP7nc Aplicaciones http://www.youtube.com/watch?v=JGsnAgm6DPY De imágenes

87. Antena Recuperado de: http://www.webquest.es/wq/ciclo-formativo-de-grado-superior/funcion-cuadratica

51

88. Fuente Recuperado de: http://www.glogster.com/donoso19/la-parabola-y-su-uso-en-la-vida-cotidiana/g6lcg8gtu8gjq8do8819rna0 89. Puente Recuperado de: http://www.publico.es/186471/la-cara-amable-de-las-matematicas 90. Arco Recuperado de: http://www.actiweb.es/geometriaanalitica/aplicaciones.html 91. Parábola Recuperado de: http://www.virtual.fing.luz.edu.ve/modulos/beta/html/seccion_conica.html 92. Parábola, foco y directriz Recuperado de: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/finding-the-equation-of-aparabola-given-focus-and-directrix.html 93. Elementos de la parábola Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 94. Demostración de la Ecuación Ordinaria de la Parábola Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 95. Gráfica que muestra los elementos de la Parábola Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 96. Gráfica que muestra los elementos de la Parábola horizontal Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 97. Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre a la derecha Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

52

98. Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre a la derecha Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

José Alberto Cerón

99. Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 100. Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 101. Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: 102.

José Alberto Cerón

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

103.

José Alberto Cerón

Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

104.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia abajo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

105.

Cometa Recuperado de: http://www.astroyciencia.com/2009/02/24/de-donde-vienen-los-cometas/

106.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola para el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

107.

Puente colgante Recuperado de: http://mx.kalipedia.com/geografia-mexico/tema/mexico/graficos-puentecolgante.html?x1=20070822klpingtcn_210.Ges&x=20070822klpingtcn_179.Kes

53

108.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola para el problema 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

109.

Esquema representativo del problema 3 en la Ecuación Ordinaria de la Parábola Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

110.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola para el problema 3 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

111.

Túnel Recuperado de: http://www.losandinos.com/Codelco%202004/pages/Mina%20Subterranea%20El% 20Salvador%202.html

112.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la parábola para el problema 4 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

113.

Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la derecha Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

114.

Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la derecha Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

115.

Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

116.

Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal que abre hacia la izquierda Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

117.

Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia arriba Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN)

54

Editado por: José Alberto Cerón 118.

Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia abajo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

119.

Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia abajo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

120.

Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola vertical que abre hacia abajo Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

121.

Cometa Recuperado de: http://www.astroyciencia.com/2009/02/24/de-donde-vienen-los-cometas/

122.

Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

123.

Puente colgante Recuperado de: http://mx.kalipedia.com/geografia-mexico/tema/mexico/graficos-puentecolgante.html?x1=20070822klpingtcn_210.Ges&x=20070822klpingtcn_179.Kes

124.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

125.

Esquema representativo del problema 3 en la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

126.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 3 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN)

55

Editado por: José Alberto Cerón 127.

Túnel Recuperado de: http://www.losandinos.com/Codelco%202004/pages/Mina%20Subterranea%2 0El%20Salvador%202.html

128.

Gráfica de la Ecuación Ordinaria de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 4 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

129.

Gráfica para la Ecuación General de la Parábola vertical Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

130.

Diferencia entre las Ecuaciones Generales de las Parábolas Horizontal y Vertical Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

131.

Gráfica para la Ecuación Ordinaria de la Parábola horizontal Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

132.

Cometa Recuperado de: http://www.astroyciencia.com/2009/02/24/de-donde-vienen-los-cometas/

133.

Gráfica de la Ecuación General de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 1 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

134.

Puente colgante Recuperado de: http://mx.kalipedia.com/geografia-mexico/tema/mexico/graficos-puentecolgante.html?x1=20070822klpingtcn_210.Ges&x=20070822klpingtcn_179.Kes

135.

Gráfica de la Ecuación General de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 2 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN)

56

Editado por: José Alberto Cerón 136.

Esquema representativo del problema 3 en la Ecuación General de la Parábola con vértice fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

137.

Gráfica de la Ecuación General de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 3 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

138.

Túnel Recuperado de: http://www.losandinos.com/Codelco%202004/pages/Mina%20Subterranea%20El% 20Salvador%202.html

139.

Gráfica de la Ecuación General de la Parábola con vértice fuera del origen para el problema 4 Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

Gráficas elaboradas con Graphmatica.

57

UNIDAD 5. LA CIRCUNFERENCIA

Introducción En nuestra última unidad del curso, estudiaremos una de las formas más difundidas en la Naturaleza, la Circular. Casi todas las formas tienden a hacerse más o menos “redondeadas”. Por ejemplo: la mayoría de los platos, bases de tasas y vasos, así como muchos de los botones que están en la ropa que usas, balones, etcétera.

Imagen 140. Botones

Imagen 141. Platos

Observa un punto que pertenece a un objeto que se mueve alrededor de un eje, ¿qué trayectoria describe? ¡Claro!, una trayectoria circular. Otro ejemplo de esto es un punto en la llanta de una bicicleta o tu mismo subido en un asiento de la rueda de la fortuna, ¿no es así?

Imagen 142. Rueda de la fortuna

1

Una de las manifestaciones más importantes de la circunferencia se encuentra en los movimientos planetarios alrededor del Sol, los cuales son casi circulares. Por ejemplo, la Luna alrededor de la Tierra, la Tierra alrededor del Sol, los satélites geoestacionarios alrededor de la Tierra con fines de comunicación.

Imagen 143. Movimientos planetarios En la prehistoria, con la invención de la rueda y a partir de ella, se dio inicio a toda la tecnología actual, aunque sea indirectamente; podemos observar la circunferencia en los volantes de los autos, las ruedas, algunos faros y espejos.

En el interior de las máquinas tenemos los pistones, los cilindros de las bujías, etc.

Imagen 144. Llantas

Imagen 145. Pistones

En fin, la circunferencia identifica muchos movimientos característicos de los objetos que giran. Iniciemos el estudio de la circunferencia.

2

Propósito Al finalizar la unidad, serás competente para:

Resolver ejercicios con ecuaciones de segundo grado, que corresponden con la circunferencia; ello le permitirá aplicar el modelo matemático de la circunferencia en otras asignaturas como por ejemplo, Geografía y Física.

Propósitos particulares de la unidad 1. Comprender el significado y la importancia de dominio y rango.

2. Comprender el origen y elementos de la circunferencia.

3. Determinar analíticamente las ecuaciones que definen la circunferencia.

Temario

5.1 Definición de la Circunferencia 5.2 Elementos de la Circunferencia 5.3 Ecuación Ordinaria de la Circunferencia 5.4 Ecuación General de la Circunferencia

3

5.1

Definición de Circunferencia

Cuando un plano corta un cuerpo cónico en forma perpendicular la cara que se presenta se convierte en una Circunferencia.

Imagen 146. Cuerpo cónico y circunferencia

Matemáticamente la Circunferencia se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano, de tal manera que está siempre a la misma distancia de punto fijo llamado centro. A la distancia que hay entre el centro y cualquier punto de la circunferencia se le llama radio.

Imagen 147. Definición de circunferencia

4

5.2

Elementos de la Circunferencia

Radio: Es la distancia desde el centro a cualquier punto de la circunferencia.

Imagen 148. Representación gráfica del radio de una circunferencia

Diámetro: Es la distancia desde un punto A sobre la circunferencia a otro punto B de la misma circunferencia, de tal manera que la recta pasa por el Centro.

Imagen 149. Representación gráfica del diámetro de una circunferencia

5

Arco: Longitud entre dos puntos sobre la circunferencia.

Imagen 150. Representación gráfica del arco en una circunferencia

Perímetro: Es la distancia recorrida por un punto sobre toda la circunferencia, por ejemplo el recorrido del punto A, hasta regresar a su ubicación original. Se determina con la fórmula 𝑷 = 𝝅𝒅 Donde 𝝅 es la constante 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗 y 𝒅 es el diámetro

Imagen 151. Representación gráfica del perímetro de una circunferencia

6

(Se realiza en plataforma)

5.3

EcuaciĂłn Ordinaria de la Circunferencia

Circunferencia con Centro en el Origen Consideremos la circunferencia con centro en origen đ?‘Ş đ?&#x;Ž , đ?&#x;Ž y el punto đ?‘¨ đ?’™ , đ?’š ,

como se observa en la grĂĄfica la distancia entre el centro y el punto es igual al radio đ?’“, entonces podemos establecer que

�� = �

Imagen 153. GrĂĄfica para demostrar la EcuaciĂłn Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen

Aplicamos la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, es decir, entre el Centro y el punto A �� =

đ?‘Ľâˆ’0

2

+ đ?‘Śâˆ’0

2

7

Simplificando tenemos 𝑪𝑨 =

𝑥2 + 𝑦2

Como el segmento 𝑪𝑨 es igual al radio 𝒓, establecemos la igualdad 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓

Para eliminar la raíz cuadrada elevamos ambos miembros de la ecuación al cuadrado y finalmente tenemos la expresión: 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐

𝟐

= 𝒓𝟐

Finalmente tenemos la expresión

Imagen 154. Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen.

Donde se observa que los coeficientes de 𝒙 y 𝒚 deben ser iguales.

Ahora resolveremos algunos ejemplos que impliquen el uso de la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen.

Problema 1 El radar de un avión registra la trayectoria de un ciclón. Si el centro del ciclón esta en el origen de un plano cartesiano y cada anillo concéntrico de la imagen del radar tiene una unidad de ancho, determina la ecuación de la sexta circunferencia que encierra la mayor parte del ciclón.

8

Imagen 155. Ciclón

Solución Sabemos que el centro tiene coordenada 𝑪 𝟎 , 𝟎 debido a que el centro del ciclón se encuentra en el origen de un plano cartesiano, entonces debemos utilizar la ecuación 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐

De los datos sabemos que el ancho del ciclón representa el diámetro y deseamos determinar la sexta circunferencia, por lo tanto, la sexta circunferencia tendrá un diámetro de 6 unidades.

Para sustituir en la ecuación necesitamos el valor del radio y sabemos que el radio es la mitad del diámetro, es decir, 3 unidades

Sustituyendo tenemos 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟑

𝟐

Entonces, la ecuación que representa la sexta circunferencia que encierra la mayor parte del ciclón es 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗

9

Los elementos de la circunferencia que representa la solución del problema se pueden observar en la siguiente gráfica

Imagen 156. Gráfica que representa la solución del problema 1 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen

Problema 2

Alejandra lanza una piedra a un lago, las ondas que se originan tiene forma circular. Si el punto donde cayó la piedra es el origen de un sistema de coordenadas y la onda se aleja 3 unidades en cada segundo, ¿cuál es la ecuación de la onda a los 3 segundos?

Imagen 157. Ondas

10

Solución Sabemos que el centro tiene coordenada 𝑪 𝟎 , 𝟎 debido a que el punto donde cayó la piedra es el origen de un plano cartesiano, entonces debemos utilizar la ecuación 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐

De los datos sabemos que la onda se aleja 3 unidades cada segundo, de manera que, al tercer segundo habrá recorrido 9 unidades.

Para sustituir en la ecuación necesitamos el valor del radio, en el problema se menciona que la onda se aleja 3 unidades cada segundo, de manera que, al tercer segundo habrá recorrido un radio de 9 unidades

Sustituyendo tenemos 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟗

𝟐

Entonces, la ecuación que representa la circunferencia a los tres segundos es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟖𝟏

Los elementos de la circunferencia que representa la solución del problema se pueden observar en la siguiente gráfica

11

Imagen 158. Gráfica que representa la solución del problema 2 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen

Problema 3

Juan tiene en su casa un jardín, para regarlo usa un aspersor que lanza el rocío en forma circular alcanzando un diámetro máximo de 14 unidades. Si el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, determina la ecuación de la circunferencia que describe el rocío del riego.

Imagen 159. Riego

12

Solución Sabemos que el centro tiene coordenadas 𝑪 𝟎 , 𝟎 debido a que el aspersor se encuentra en el origen de un sistema de coordenadas, entonces debemos utilizar la ecuación 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓 𝟐 De los datos sabemos que el diámetro máximo del rocío es de 14 unidades, por lo que el valor del radio es de 7 unidades

Sustituyendo tenemos 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟕

𝟐

Entonces, la ecuación que representa la circunferencia descrita por el rocío en el diámetro máximo es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝟗 Los elementos de la circunferencia que representa la solución del problema se pueden observar en la siguiente gráfica

Imagen 160. Gráfica que representa la solución del problema 3 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen

13

Problema 4

Los constructores del cubo de agua (Centro AcuĂĄtico Nacional OlĂ­mpico de Beijing) se plantearon el problema de encontrar la ecuaciĂłn de las circunferencias de las burbujas que conforman su arquitectura. ÂżPodrĂ­as ayudarles a encontrar la ecuaciĂłn de la circunferencia con centro ubicado en el origen de un plano cartesiano si saben que su diĂĄmetro mide 4 metros?

Imagen 161. Centro AcuĂĄtico Nacional OlĂ­mpico de Beijing SoluciĂłn Sabemos que el centro tiene coordenadas đ?‘Ş đ?&#x;Ž , đ?&#x;Ž debido a que estĂĄ en el origen de un plano cartesiano, entonces debemos utilizar la ecuaciĂłn đ?’™ đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?’“ đ?&#x;?

De los datos sabemos que el diĂĄmetro de la circunferencia es de 4 unidades, por lo que el valor del radio es de 2 unidades Sustituyendo tenemos đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;?

đ?&#x;?

Entonces, la ecuaciĂłn de la circunferencia que representa la burbuja de la construcciĂłn descrita en el problema es đ?’™ đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? = đ?&#x;’

14

Los elementos de la circunferencia que representa la solución del problema se pueden observar en la siguiente gráfica

Imagen 162. Gráfica que representa la solución del problema 4 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen

Da clic sobre el enlace y observa la solución de otros ejemplos. http://www.youtube.com/watch?v=XvKyPAZfVLc

(Se realiza en plataforma)

Circunferencia con Centro en un Punto Cualquiera del Plano Consideremos la circunferencia con centro en origen 𝑪 𝟎 , 𝟎 y el punto 𝑷 𝒙 , 𝒚 ; como se observa en la gráfica la distancia entre el centro y el punto es igual al radio 𝒓, entonces podemos establecer que

15

�� = �

Imagen 163. GrĂĄfica para demostrar la EcuaciĂłn Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

Aplicamos la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos, es decir, entre el Centro y el punto A �� =

đ?‘Ľâˆ’â„Ž

2

+ đ?‘Śâˆ’đ?‘˜

2

Como el segmento đ?‘Şđ?‘ˇ es igual al radio đ?’“, establecemos la igualdad đ?’™âˆ’đ?’‰

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

=đ?’“

Para eliminar la raĂ­z cuadrada elevamos ambos miembros de la ecuaciĂłn al cuadrado y finalmente tenemos la expresiĂłn: đ?’™âˆ’đ?’‰

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?’“đ?&#x;?

Finalmente tenemos la expresiĂłn

16

Imagen 164. Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

Donde se observa que los coeficientes de los paréntesis que contienen a las variables 𝒙 y 𝒚 deben ser iguales.

Da clic sobre el enlace y observa la demostración de la Ecuación de la Circunferencia con centro fuera del origen http://www.youtube.com/watch?v=BIoXnuO3CLo

Problema 1

El radar de otro avión registra la trayectoria del mismo ciclón. Si el centro del ciclón está 4 unidades al Este y 3 unidades al Norte; y cada anillo concéntrico de la imagen del radar tiene una unidad de ancho, determina la ecuación de la sexta circunferencia que encierra la mayor parte del ciclón.

17

Imagen 165. CiclĂłn

SoluciĂłn Sabemos que el centro tiene coordenada đ?‘Ş đ?&#x;’ , đ?&#x;‘ debido a que el centro del ciclĂłn

se encuentra fuera del origen de un plano cartesiano, entonces debemos utilizar la ecuaciĂłn đ?’™âˆ’đ?’‰

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

= đ?’“đ?&#x;?

De los datos sabemos que el ancho del ciclĂłn representa el diĂĄmetro y deseamos determinar la sexta circunferencia, por lo tanto, la sexta circunferencia tendrĂĄ un diĂĄmetro de 6 unidades.

Para sustituir en la ecuaciĂłn necesitamos el centro del ciclĂłn đ?‘Ş đ?&#x;’ , đ?&#x;‘ y valor del radio, sabemos que el radio es la mitad del diĂĄmetro, es decir, 3 unidades Sustituyendo tenemos đ?’™âˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;‘

đ?&#x;?

= đ?&#x;‘đ?&#x;?

AsĂ­, desde el punto de observaciĂłn del segundo aviĂłn, la ecuaciĂłn que representa la sexta circunferencia que encierra la mayor parte del ciclĂłn es đ?’™âˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;‘

đ?&#x;?

=đ?&#x;—

18

Los elementos de la circunferencia que representa la soluciĂłn del problema se pueden observar en la siguiente grĂĄfica

Imagen 166. GrĂĄfica que representa la soluciĂłn del problema 1 sobre la EcuaciĂłn Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

Problema 2

Un amigo de Alejandra observĂł su lanzamiento de la piedra hacia el lago. Registro que la piedra cayĂł en el punto đ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? , đ?&#x;? de su sistema de coordenadas y que la

onda se aleja 3 unidades en cada segundo, ÂżcuĂĄl es la ecuaciĂłn de la onda a los 3 segundos?

19

Imagen 167. Ondas

SoluciĂłn Sabemos que el centro tiene coordenada đ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? , đ?&#x;?

gracias al sistema de

coordenadas usado por el amigo de Alejandra, entonces debemos utilizar la ecuaciĂłn đ?&#x;?

đ?’™âˆ’đ?’‰

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

= đ?’“đ?&#x;?

De los datos sabemos que la onda se aleja 3 unidades cada segundo, de manera que, al tercer segundo habrĂĄ recorrido 9 unidades.

Para sustituir en la ecuaciĂłn necesitamos el valor del radio, en el problema se menciona que la onda se aleja 3 unidades cada segundo, de manera que, al tercer segundo habrĂĄ recorrido un radio de 9 unidades Sustituyendo tenemos đ?’™ − −đ?&#x;?

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;—đ?&#x;?

Simplificando, la ecuaciĂłn que representa la circunferencia a los tres segundos es đ?’™+đ?&#x;?

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;–đ?&#x;?

20

Los elementos de la circunferencia que representa la solución del problema se pueden observar en la siguiente gráfica

Imagen 168. Gráfica que representa la solución del problema 2 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

Problema 3 Juan tiene en su casa un jardín, para regarlo usa un aspersor que lanza el rocío en forma circular alcanzando un diámetro máximo de 14 unidades. La mamá de Juan, que está en el límite del alcance máximo del rocío emitido por el aspersor, sabe que este dispositivo está ubicado 4 unidades al Este y 6 unidades al Sur de acuerdo a un sistema de coordenadas que trazo en una hoja de papel. Determina la ecuación de la circunferencia que describe el rocío del riego.

21

Imagen 169. Riego

SoluciĂłn Sabemos que el centro tiene coordenadas đ?‘Ş âˆ’đ?&#x;’ , −đ?&#x;” debido a que el aspersor se

encuentra fuera del origen del sistema de coordenadas trazado por la mamĂĄ de Juan, entonces debemos utilizar la ecuaciĂłn đ?’™âˆ’đ?’‰

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

= đ?’“đ?&#x;?

De los datos sabemos que el diĂĄmetro mĂĄximo del rocĂ­o es de 14 unidades, por lo que el valor del radio es de 7 unidades

Sustituyendo tenemos đ?’™ − −đ?&#x;’

đ?&#x;?

+ đ?’š − −đ?&#x;”

đ?&#x;?

= đ?&#x;•đ?&#x;?

Entonces, la ecuaciĂłn que representa la circunferencia descrita por el rocĂ­o en el diĂĄmetro mĂĄximo es đ?’™+đ?&#x;’

đ?&#x;?

+ đ?’š+đ?&#x;”

đ?&#x;?

= đ?&#x;’đ?&#x;—

Los elementos de la circunferencia que representa la soluciĂłn del problema se pueden observar en la siguiente grĂĄfica

22

Imagen 170. GrĂĄfica que representa la soluciĂłn del problema 3 sobre la EcuaciĂłn Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

Problema 4

Los constructores del cubo de agua (Centro AcuĂĄtico Nacional OlĂ­mpico de Beijing) se plantearon el problema de encontrar la ecuaciĂłn de las circunferencias de las burbujas que conforman su arquitectura. Ahora necesitan determinar la ecuaciĂłn de una de las circunferencias inferiores de la construcciĂłn. ÂżPodrĂ­as ayudarles a encontrar la ecuaciĂłn de la circunferencia cuyo centro estĂĄ ubicado en el punto đ?‘Ş đ?&#x;• , −đ?&#x;– de un plano cartesiano, si saben que su diĂĄmetro mide 4 metros?

23

Imagen 171. Centro AcuĂĄtico Nacional OlĂ­mpico de Beijing

SoluciĂłn Sabemos que el centro tiene coordenadas đ?‘Ş đ?&#x;• , −đ?&#x;–

de acuerdo al plano

cartesiano utilizado por los constructores, entonces debemos utilizar la ecuaciĂłn đ?’™âˆ’đ?’‰

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?’Œ

đ?&#x;?

= đ?’“đ?&#x;?

De los datos sabemos que el diĂĄmetro de la circunferencia es de 4 unidades, por lo que el valor del radio es de 2 unidades

Sustituyendo tenemos đ?’™âˆ’đ?&#x;•

đ?&#x;?

đ?&#x;?

+ đ?’š − −đ?&#x;–

= đ?&#x;?đ?&#x;?

Entonces, la ecuaciĂłn de la circunferencia que representa la burbuja de la construcciĂłn descrita en el problema es đ?’™âˆ’đ?&#x;•

đ?&#x;?

+ đ?’š+đ?&#x;–

đ?&#x;?

=đ?&#x;’

24

Los elementos de la circunferencia que representa la solución del problema se pueden observar en la siguiente gráfica

Imagen 172. Gráfica que representa la solución del problema 4 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

Da clic sobre el enlace y observa la solución de otros ejemplos: http://www.youtube.com/watch?v=74cMgbJK6-4

(Se realiza en plataforma)

25

5.4

EcuaciĂłn General de la Circunferencia

En el curso hemos mencionado que la ecuaciĂłn general de segundo grado tiene la forma

đ?‘¨đ?’™đ?&#x;? + đ?‘Šđ?’™đ?’š + đ?‘Şđ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž Para determinar la EcuaciĂłn General de la Circunferencia desarrollaremos la EcuaciĂłn Ordinaria de la Circunferencia con centro en cualquier punto del plano.

Tenemos la ecuaciĂłn ordinaria

(đ?’™ − đ?’‰)đ?&#x;? + (đ?’š − đ?’Œ)đ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;?

Desarrollamos los binomios al cuadrado

đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‰đ?’™ + đ?’‰đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’Œđ?’š + đ?’Œđ?&#x;? = đ?’“đ?&#x;?

Ordenando

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?’‰đ?’™ − đ?&#x;?đ?’Œđ?’š + đ?’‰đ?&#x;? + đ?’Œđ?&#x;? − đ?’“đ?&#x;? = đ?&#x;Ž ComparĂĄndola con la ecuaciĂłn general de segundo grado observamos que:

đ?‘¨=đ?‘Ş=đ?&#x;? đ?‘Š=đ?&#x;Ž

đ?‘Ť = −đ?&#x;?đ?’‰ đ?‘Ź = −đ?&#x;?đ?’Œ

đ?‘­ = đ?’‰đ?&#x;? + đ?’Œ đ?&#x;? − đ?’“ đ?&#x;?

Por lo que la ecuaciĂłn general de una circunferencia queda como

26

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? + đ?‘Ťđ?’™ + đ?‘Źđ?’š + đ?‘­ = đ?&#x;Ž

Imagen 173. GrĂĄfica para demostrar la EcuaciĂłn General de la Circunferencia

Donde las coordenadas del centro son

đ?‘Ş đ?’‰ ,đ?’Œ Sustituyendo tenemos

đ?‘Ş âˆ’ Y el valor del radio se determina con

đ?‘&#x;=

đ?‘Ť đ?‘Ź ,− đ?&#x;? đ?&#x;?

â„Ž2 + đ?‘˜ 2 − đ??š

Sustituyendo tenemos

27

đ?‘&#x;=

đ??ˇ − 2

2

đ??¸ + − 2

2

−đ??š

Simplificando obtenemos

đ?‘Ť đ?&#x;? đ?‘Źđ?&#x;? + −đ?‘­ đ?&#x;’ đ?&#x;’

đ?’“=

Da clic sobre el enlace y observa la demostraciĂłn de la EcuaciĂłn General de la Circunferencia. http://www.youtube.com/watch?v=K7E4mCbPLJc

Problema 1

El radar de otro aviĂłn registra la trayectoria del mismo ciclĂłn. La ecuaciĂłn de una de las circunferencias que se visualizan en el radar es

đ?’™âˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;‘

đ?&#x;?

=đ?&#x;—

Imagen 174. CiclĂłn

28

Determina la EcuaciĂłn General de la Circunferencia, el centro y su radio. Realiza la grĂĄfica correspondiente.

SoluciĂłn

Para determinar la EcuaciĂłn General de la circunferencia desarrollamos los binomios de la ecuaciĂłn ordinaria đ?’™âˆ’đ?&#x;’

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;‘

đ?&#x;?

=đ?&#x;—

đ?‘Ľ 2 − 8đ?‘Ľ + 16 + đ?‘Ś 2 − 6đ?‘Ś + 9 = 9 Ordenando

đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 8đ?‘Ľ − 6đ?‘Ś + 16 + 9 − 9 = 0 Por lo que la EcuaciĂłn General de la Circunferencia que se visualiza en el radar es

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;–đ?’™ − đ?&#x;”đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;” = đ?&#x;Ž

Si los coeficientes de la ecuaciĂłn son

đ?‘Ť = −đ?&#x;– đ?‘Ź = −đ?&#x;”

đ?‘­ = đ?&#x;?đ?&#x;”

El centro de la circunferencia que representa la soluciĂłn del problema se determinan con

đ??ś −

đ??ˇ đ??¸ ,− 2 2

Sustituyendo

29

đ??ś −

−8 −6 ,− 2 2

Por lo que el centro de la circunferencia es

đ?‘Ş đ?&#x;’ ,đ?&#x;‘ El valor del radio se determina con

đ?‘&#x;=

Sustituyendo

đ?‘&#x;=

−8 4

đ??ˇ2 đ??¸ 2 + −đ??š 4 4 2

−6 + 4

2

− 16

Simplificando

đ?‘&#x;=

đ?‘&#x;=

64 36 + − 16 4 4

16 + 9 − 16

đ?‘&#x;=

9

đ?’“=đ?&#x;‘

La grĂĄfica de la ecuaciĂłn se muestra en la siguiente figura

30

Imagen 175. GrĂĄfica que representa la soluciĂłn del problema 1 sobre la EcuaciĂłn General de la Circunferencia

Problema 2

Un amigo de Alejandra determinĂł observĂł su lanzamiento de la piedra hacia el lago. BasĂĄndose en que la onda se aleja 3 unidades en cada segundo, determinĂł la ecuaciĂłn de la onda al tercer segundo y obtuvo lo siguiente đ?’™+đ?&#x;?

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;–đ?&#x;?

31

Imagen 176. Ondas

Determina la EcuaciĂłn General de la Circunferencia, el centro y su radio. Realiza la grĂĄfica correspondiente.

SoluciĂłn

Para determinar la EcuaciĂłn General de la circunferencia desarrollamos los binomios de la ecuaciĂłn ordinaria đ?’™+đ?&#x;?

đ?&#x;?

+ đ?’šâˆ’đ?&#x;?

đ?&#x;?

= đ?&#x;–đ?&#x;?

đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľ + 4 + đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ś + 1 = 81 Ordenando

đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + 4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś + 4 + 1 − 81 = 0

Por lo que la EcuaciĂłn General de la Circunferencia que se visualiza en el radar es

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;’đ?’™ − đ?&#x;?đ?’š − đ?&#x;•đ?&#x;” = đ?&#x;Ž

Si los coeficientes de la ecuaciĂłn son

đ?‘Ť=đ?&#x;’

32

đ?‘Ź = −đ?&#x;?

đ?‘­ = −đ?&#x;•đ?&#x;” El centro de la circunferencia que representa la soluciĂłn del problema se determinan con

đ??ś −

đ??ˇ đ??¸ ,− 2 2

Sustituyendo

đ??ś −

4 −2 ,− 2 2

Por lo que el centro de la circunferencia es

đ?‘Ş âˆ’đ?&#x;? , đ?&#x;?

El valor del radio se determina con

đ?‘&#x;=

Sustituyendo

đ?‘&#x;=

đ??ˇ2 đ??¸ 2 + −đ??š 4 4

−2 4 2 + 4 4

2

− −76

Simplificando

đ?‘&#x;=

16 4 + + 76 4 4

33

𝑟=

4 + 1 + 76 𝑟=

81

𝒓=𝟗

La gráfica de la ecuación se muestra en la siguiente figura

Imagen 177. Gráfica que representa la solución del problema 2 sobre la Ecuación General de la Circunferencia

Problema 3

La mamá de Juan, basándose en un sistema de coordenadas que trazó en un papel, determinó que la ecuación de la circunferencia que describe el rocío del riego es

𝒙+𝟒

𝟐

+ 𝒚+𝟔

𝟐

= 𝟒𝟗

34

Imagen 178. Riego

Determina la EcuaciĂłn General de la Circunferencia, el centro y su radio. Realiza la grĂĄfica correspondiente.

SoluciĂłn

Para determinar la EcuaciĂłn General de la Circunferencia desarrollamos los binomios de la ecuaciĂłn ordinaria

đ?’™+đ?&#x;’

Ordenando

đ?&#x;?

+ đ?’š+đ?&#x;”

đ?&#x;?

= đ?&#x;’đ?&#x;—

đ?‘Ľ 2 + 8đ?‘Ľ + 16 + đ?‘Ś 2 + 12đ?‘Ś + 36 = 49

đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + 8đ?‘Ľ + 12đ?‘Ś + 16 + 36 − 49 = 0 Por lo que la EcuaciĂłn General de la Circunferencia que se visualiza en el radar es

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;–đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’š + đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž Si los coeficientes de la ecuaciĂłn son

đ?‘Ť=đ?&#x;–

35

đ?‘Ź = đ?&#x;?đ?&#x;? đ?‘­=đ?&#x;‘

El centro de la circunferencia que representa la soluciĂłn del problema se determinan con

đ??ś −

Sustituyendo

đ??ś −

đ??ˇ đ??¸ ,− 2 2

8 12 ,− 2 2

Por lo que el centro de la circunferencia es

đ?‘Ş âˆ’đ?&#x;’ , −đ?&#x;” El valor del radio se determina con

Sustituyendo

đ?‘&#x;= đ?‘&#x;=

đ??ˇ2 đ??¸ 2 + −đ??š 4 4 8 2 12 + 4 4

2

− 3

Simplificando

đ?‘&#x;= đ?‘&#x;=

64 144 + −3 4 4 16 + 36 − 3

36

đ?‘&#x;=

49

đ?’“=đ?&#x;•

La grĂĄfica de la ecuaciĂłn se muestra en la siguiente figura

Imagen 179. GrĂĄfica que representa la soluciĂłn del problema 3 sobre la EcuaciĂłn General de la Circunferencia

Problema 4

Los constructores del cubo de agua (Centro AcuĂĄtico Nacional OlĂ­mpico de Beijing) determinaron que la ecuaciĂłn ordinaria de una de las circunferencias de las burbujas que conforman su arquitectura es

đ?’™âˆ’đ?&#x;•

đ?&#x;?

+ đ?’š+đ?&#x;–

đ?&#x;?

=đ?&#x;’

37

Imagen 180. Centro AcuĂĄtico Nacional OlĂ­mpico de Beijing

Determina la EcuaciĂłn General de la Circunferencia, el centro y su radio. Realiza la grĂĄfica correspondiente.

SoluciĂłn

Para determinar la EcuaciĂłn General de la Circunferencia desarrollamos los binomios de la ecuaciĂłn ordinaria

đ?’™âˆ’đ?&#x;•

Ordenando

đ?&#x;?

+ đ?’š+đ?&#x;–

đ?&#x;?

=đ?&#x;’

đ?‘Ľ 2 − 14đ?‘Ľ + 49 + đ?‘Ś 2 + 16đ?‘Ś + 64 = 4

đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 14đ?‘Ľ + 16đ?‘Ś + 49 + 64 − 4 = 0

Por lo que la EcuaciĂłn General de la Circunferencia que se visualiza en el radar es

đ?’™đ?&#x;? + đ?’šđ?&#x;? − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;”đ?’š + đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;— = đ?&#x;Ž

Si los coeficientes de la ecuaciĂłn son

đ?‘Ť = −đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?‘Ź = đ?&#x;?đ?&#x;”

38

đ?‘­ = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;— El centro de la circunferencia que representa la soluciĂłn del problema se determinan con

đ??ś −

Sustituyendo

đ??ˇ đ??¸ ,− 2 2

−14 16 ,− 2 2

đ??ś −

Por lo que el centro de la circunferencia es

đ?‘Ş đ?&#x;• , −đ?&#x;– El valor del radio se determina con

đ??ˇ2 đ??¸ 2 + −đ??š 4 4

đ?‘&#x;=

Sustituyendo

−14 4

đ?‘&#x;=

2

+

16 4

2

− 109

Simplificando

đ?‘&#x;=

đ?‘&#x;=

196 256 + − 109 4 4 49 + 64 − 109 đ?‘&#x;=

4

đ?’“=đ?&#x;?

39

La gráfica de la ecuación se muestra en la siguiente figura

Imagen 181. Gráfica que representa la solución del problema 4 sobre la Ecuación General de la Circunferencia

Da clic sobre el enlace y observa la solución de otros ejemplos. http://www.youtube.com/watch?v=iSTj-oZA1Pk

(Se realiza en plataforma)

40

Conclusión

Excelente, hemos concluido la última semana del estudio de nuestro curso Formando Cónicas. Ahora conocemos los procedimientos algebraicos que nos sirven para demostrar la ecuación de una circunferencia y las fórmulas que podemos utilizar para determinar el centro y el radio a partir de sus ecuaciones ordinaria y general.

Utilizamos la ecuación de la circunferencia para modelar situaciones de la vida cotidiana; también aplicamos fórmulas que implican operaciones algebraicas y despejes para determinar las diferentes formas de la ecuación de una circunferencia; construimos gráficas de ecuaciones cuadráticas basándonos en la interpretación de problemas de la vida cotidiana.

En general, los conocimientos adquiridos durante el curso nos ayudarán a modelar cualquier situación que implique variaciones de tipo directa e inversa, así como la descripción de cónicas como la elipse, la parábola y la circunferencia.

(Se realiza en plataforma)

41

Referencias De contenido

Libros Matemáticas III con enfoque en competencias, Tercer semestre, Patricia Ibañez y Gerardo Carrasco, CENGAGE Learning, 2010 De consulta

Sitios de internet Definición de circunferencia http://dcb.fi-c.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/lugargeometrico.pdf http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm http://www.youtube.com/watch?v=u26rAiskl54 Ecuación Ordinaria de la circunferencia con centro en el origen http://dcb.fi-c.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/circunferencia.pdf http://www.youtube.com/watch?v=XvKyPAZfVLc

Ecuación Ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen http://www.youtube.com/watch?v=BIoXnuO3CLo http://dcb.fi-c.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/circunferencia.pdf http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia02.html http://www.youtube.com/watch?v=74cMgbJK6-4 Ecuación General de la Circunferencia http://www.youtube.com/watch?v=K7E4mCbPLJc http://dcb.fi-c.unam.mx/cerafin/bancorec/capsulasmatematicas/circunferencia.pdf http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.html http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia02.html

42

http://www.youtube.com/watch?v=iSTj-oZA1Pk De imágenes

140.

Botones Recuperado de: http://www.botonesloren.com.mx/

141.

Platos Recuperado de: http://www.arriendodevajillas.cl/producto-203/0/52/platos-redondos.html

142.

Rueda de la fortuna Recuperado de: http://www.megaparkfelicilandia.cl/conoce-nuestros-juegos

143.

Movimientos planetarios Recuperado de: http://tecnologia.bloginicio.com/el-universo-solo-creara-un-5-mas-de-estrellas-enel-universo

144.

Llantas Recuperado de: http://www.valenciaautodesguace.com/es/producto/ruedas-y-llantas/

145.

Pistones Recuperado de: http://es.123rf.com/photo_13613452_pistones-y-cig-enal-motor-de-cuatro-cilindros3d.html

146.

Cuerpo cónico y circunferencia Recuperado de: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Curero/Proyectofinal/Circunferenc ia/definicion.htm

147.

Definición de circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

148.

Representación gráfica del radio de una circunferencia

43

Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 149.

Representación gráfica del diámetro de una circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

150.

Representación gráfica del arco en una circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

151.

Representación gráfica del perímetro de una circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

152.

José Alberto Cerón

Representación gráfica de los elementos de una circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

153.

Gráfica para demostrar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

154.

Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

155.

José Alberto Cerón

Ciclón Recuperado de: http://www.milenio.com/cdb/doc/noticias2011/c18034fe3cd5795e5df4a83b70f31b8 b

156.

Gráfica que representa la solución del problema 1 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por:

157.

José Alberto Cerón

Ondas Recuperado de: http://www.eltiempo.es/fotos/en-provincia-guadalajara/ondas-pantano-atance.html

44

158.

Gráfica que presenta la solución del problema 2 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

159.

Riego Recuperado de: http://www.gardena.com/mx/water-management/sprinkler/

160.

Gráfica que representa la solución del problema 3 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

161.

Centro Acuático Nacional Olímpico de Beijing Recuperado de: http://socearq.org/index.php/_old/articulos/obras_para_los_juegos_olimpicos_en_b eijing.html

162.

Gráfica que representa la solución del problema 4 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro en el origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

163.

Gráfica para demostrar la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

164.

Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

165.

Ciclón Recuperado de: http://www.milenio.com/cdb/doc/noticias2011/c18034fe3cd5795e5df4a83b70f31b8 b

166.

Gráfica que representa la solución del problema 1 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen

45

Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón 167.

Ondas Recuperado de: http://www.eltiempo.es/fotos/en-provincia-guadalajara/ondas-pantano-atance.html

168.

Gráfica que representa la solución del problema 2 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

169.

Riego Recuperado de: http://www.gardena.com/mx/water-management/sprinkler/

170.

Gráfica que representa la solución del problema 3 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del Origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

171.

Centro Acuático Nacional Olímpico de Beijing Recuperado de: http://socearq.org/index.php/_old/articulos/obras_para_los_juegos_olimpicos_en_b eijing.html

172.

Gráfica que representa la solución del problema 4 sobre la Ecuación Ordinaria de la Circunferencia con centro fuera del origen Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

173.

Gráfica para demostrar la Ecuación General de la Circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

174.

Ciclón Recuperado de: http://www.milenio.com/cdb/doc/noticias2011/c18034fe3cd5795e5df4a83b70f31b8 b

46

175.

Gráfica que representa la solución del problema 1 sobre la Ecuación General de la Circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

176.

Ondas Recuperado de: http://www.eltiempo.es/fotos/en-provincia-guadalajara/ondas-pantano-atance.html

177.

Gráfica que representa la solución del problema 2 sobre la Ecuación General de la Circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

178.

Riego Recuperado de: http://www.gardena.com/mx/water-management/sprinkler/

179.

Gráfica que representa la solución del problema 3 sobre la Ecuación General de la Circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

180.

Centro Acuático Nacional Olímpico de Beijing Recuperado de: http://socearq.org/index.php/_old/articulos/obras_para_los_juegos_olimpicos_en_b eijing.html

181.

Gráfica que representa la solución del problema 4 sobre la Ecuación General de la circunferencia Elaborado por: José Luis González Méndez (UPICCSA – IPN) Editado por: José Alberto Cerón

Gráficas elaboradas con Graphmatica.

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