Actividad Propuesta Tipo A para Evaluación de Unidad 3 del Grupo 2005-MV2-06

ELABORÓ: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

ACTIVIDAD UNIDAD 3

FUNCIONES RACIONALES EN EL DESARROLLO HUMANO.

NOMBRE:

TUTOR:

FECHA

ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

FunciĂłn Racional.

Es la que estĂĄ formada por el cociente de dos funciones polinomiales NotaciĂłn Se expresa de la forma: đ?’?(đ?’™) đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’…(đ?’™) Donde đ?’?(đ?’™), đ?’…(đ?’™) son funciones polinomiales de cualquier grado.

Dominio Es el conjunto de los nĂşmeros reales đ?’™ tales que đ?’…(đ?’™) ≠đ?&#x;Ž.

Rango Es el conjunto de los nĂşmeros reales đ?’š tales que su funciĂłn inversa đ?’™ = đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™) ≠đ?&#x;Ž.

BibliografĂ­a: FarĂ­as, Esteban. (2008) Concepto de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas 4-Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores.

MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) RecapitulaciĂłn de Funciones Racionales. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana.

Ejemplo I. CuĂĄndo đ?’…(đ?’™) es una funciĂłn polinomial lineal.

Encuentra el Dominio y Rango de la funciĂłn: đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™+đ?&#x;?

Para encontrar el dominio: Se debe establecer que el denominador debe ser diferente de cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de primer grado: đ?’™+đ?&#x;?≠đ?&#x;Ž đ?’™ ≠−đ?&#x;?

Por lo tanto: đ?‘Ť = {đ?’™ ∈ â„? |đ?’™ ≠−đ?&#x;?} Es decir, todos los valores de đ?’™ en los nĂşmeros reales, excepto el valor de menos uno.

Esto en la recta numĂŠrica, representa la uniĂłn de los intervalos abiertos en: đ?‘Ť = (−∞, −đ?&#x;?) âˆŞ (−đ?&#x;?, ∞)

ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

Para corroborar o comprobar computacionalmente el dominio obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28x%29%3 D%281%29%2F%28x%2B1%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€?domain of f(x)=(1)/(x+1)â€? que significa: encontrar “el dominio de f(x)=(1)/(x+1)â€?

Para encontrar el rango: Se determina la funciĂłn inversa đ?’‡âˆ’đ?&#x;? (đ?’™), por medio del despeje de đ?’™ en la funciĂłn original. đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™+đ?&#x;?

Considerando que: đ?&#x;? đ?’š= đ?’™+đ?&#x;?

Implica su operaciĂłn inversa en el lado contrario đ?’š(đ?’™ + đ?&#x;?) = đ?&#x;?

Luego, realizando la operaciĂłn multiplicativa en el lado izquierdo: đ?’šđ?’™ + đ?’š = đ?&#x;?

DespuĂŠs; se excluye el tĂŠrmino a encontrar, en đ?’šđ?’™ = đ?&#x;? − đ?’š Finalmente; aplicando operaciĂłn inversa en el lado derecho: đ?&#x;?−đ?’š đ?’™= đ?’š Realzando su divisiĂłn, tenemos que: đ?&#x;? đ?’™= −đ?&#x;? đ?’š Para corroborar o comprobar computacionalmente la funciĂłn inversa obtenida, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+of+f%28x%29%3 D%281%29%2F%28x%2B1%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€?inverse of f(x)=(1)/(x+1)â€? que significa: encontrar “la inversa de f(x)=(1)/(x+1)â€?

ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

En este caso; para la funciĂłn racional encontrada, se debe establecer que el denominador debe ser diferente de cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de primer grado: đ?’šâ‰ đ?&#x;Ž Por lo tanto: đ?‘š = {đ?’š ∈ â„? |đ?’š ≠đ?&#x;Ž} Es decir, todos los valores de đ?’š en los nĂşmeros reales, excepto el valor de cero.

Esto en la recta numĂŠrica, representa la uniĂłn de los intervalos abiertos en: đ?‘š = (−∞, đ?&#x;Ž) âˆŞ (đ?&#x;Ž, ∞) Para corroborar o comprobar computacionalmente el rango obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=range+of+f%28x%29%3D %281%29%2F%28x%2B1%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs: â€?range of f(x)=(1)/(x+1)â€? que significa: encontrar “el rango de f(x)=(1)/(x+1)â€?

BibliografĂ­a: Pimienta Prieto, Julio Herminio. et al. (2007) La determinaciĂłn e intervalos del Dominio y Rango de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas IV-Un Enfoque Constructivista. MĂŠxico: Pearson. et al. significa otr@s autores.

Ejercicio 1.

De acuerdo con la metodologĂ­a del Ejemplo I., encuentra el Dominio y Rango de la funciĂłn: đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;? đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?’™âˆ’đ?&#x;‘ BibliografĂ­a: Zepeda Cabrera, Edith. et al. (2016) FunciĂłn. En GuĂ­a de Estudio para MatemĂĄticas VI del Ă rea 3 y 4: Ciencias Sociales, Humanidades y Artes. . MĂŠxico: D.G.E.N.P.-U.N.A.M. et al. significa otr@s autores.

ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

Ejemplo II. Cuando đ?’…(đ?’™) es una funciĂłn polinomial cuadrĂĄtica incompleta.

Encuentra el Dominio de la funciĂłn: đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;– đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;? đ?’™ −đ?&#x;• Se debe establecer que el denominador debe ser diferente de cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de segundo grado: đ?’™đ?&#x;? − đ?&#x;• ≠đ?&#x;Ž đ?’™đ?&#x;? ≠đ?&#x;• đ?’™ â‰ Âąâˆšđ?&#x;• Por lo tanto: đ?‘Ť = {đ?’™ ∈ â„? |đ?’™ ≠−√đ?&#x;• & đ?’™ ≠√đ?&#x;•} Es decir, todos los valores de đ?’™ en los nĂşmeros reales, excepto el valor de menos uno.

Esto en la recta numĂŠrica, representa la uniĂłn de los intervalos abiertos en: đ?‘Ť = (−∞, −√đ?&#x;•) âˆŞ (−√đ?&#x;•, √đ?&#x;•) âˆŞ (√đ?&#x;•, ∞) Para corroborar o comprobar computacionalmente el dominio obtenido, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa “WolframAlphaâ€? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28x%29%3 D%2812x-8%29%2F%28x%5E2-7%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs:â€? domain of f(x)=(12x-8)/(x^2-7)â€? que significa: encontrar “el dominio de f(x)= (12x-8)/(x^2-7)â€?

BibliografĂ­a: MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) ObtenciĂłn del Dominio, Contradominio (Codominio) y Rango de una FunciĂłn. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana.

ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

Ejercicio 2.

De acuerdo con la metodologĂ­a del Ejemplo II., encuentra el Dominio de la funciĂłn: đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;— đ?’š = đ?’‡(đ?’™) = đ?&#x;? đ?’™ − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?

Sugerencia: Puedes realizar este procedimiento a mano, tomarle una foto y pegar este archivo, aquĂ­ en el siguiente espacio en blanco:

BibliografĂ­a: MĂŠndez Hinojosa, Arturo. (2007) Los intervalos del Dominio y Rango de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas 4. MĂŠxico: Santillana.

ELABORĂ“: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

AsĂ­ntota de una FunciĂłn Racional.

Es una recta a la cual se aproxima la grĂĄfica, al crecer indefinidamente |đ?’™| o |đ?’š|.

En pocas palabras, se considera como unas lĂ­neas que son como una “barreraâ€? pero sirven como una “guĂ­aâ€? de la grĂĄfica.

Esto quiere decir que se acerca a la curva, sin tocarla, excepto en un punto, cuando su grĂĄfica se encuentra en el infinito −∞ o ∞ y le da forma a la funciĂłn racional.

ClasificaciĂłn de la AsĂ­ntota.

AsĂ­ntota Vertical.

Se define por el valor o para cada uno de los valores en đ?’™ que solucionan la ecuaciĂłn del denominador đ?’…(đ?’™) = đ?&#x;Ž.

Su recta o rectas se considera en el eje de las: đ?’™ = đ?’…(đ?’™) AsĂ­ntota Horizontal.

Su Ăşnica recta estĂĄ localizada, en: đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x2019;&#x17D; + â&#x2039;Ż + đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x;&#x17D; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = = đ?&#x2019;&#x2026;(đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x2019;&#x2122;Ăą + â&#x2039;Ż + đ?&#x2019;&#x192;đ?&#x;&#x17D; Cuando el grado, de: 1- El grado de đ?&#x2019;&#x17D; < Ăą (= sea menor), implica que đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x201A; 2- El grado de đ?&#x2019;&#x17D; = Ăą (= sea igual), implica que đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x192; 3- El grado de đ?&#x2019;&#x17D; > Ăą (> sea mayor), implica que NO tiene AsĂ­ntota Oblicua (Inclinada).

Solamente existe la recta en đ?&#x2019;&#x161;, si en una funciĂłn racional el grado del numerador es una unidad mayor que el del denominador (El grado de đ?&#x2019;&#x17D; > Ăą) y se determina mediante el cociente đ?&#x2019;&#x201E;(đ?&#x2019;&#x2122;) de dividir a đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2122;) por đ?&#x2019;&#x2026;(đ?&#x2019;&#x2122;), es decir: đ?&#x2019;?(đ?&#x2019;&#x2122;) đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x201E;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x2019;&#x2026;(đ?&#x2019;&#x2122;) BibliografĂ­a: FarĂ­as, Esteban. (2008) Concepto de una FunciĂłn Racional. En MatemĂĄticas 4-Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores.

RuĂ­z Basto, JoaquĂ­n. (2007). Funciones Racionales. En MatemĂĄticas IV. PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.

ELABORĂ&#x201C;: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

Ejemplo III. Los elementos asintĂłticos de una funciĂłn racional.

Encontrar la asĂ­ntota vertical, horizontal y oblicua de la funciĂłn: đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?

Para encontrar la asĂ­ntota vertical: Se debe establecer que el denominador debe ser igual a cero y encontrar la incĂłgnita que la define, por medio del algoritmo de resoluciĂłn para una ecuaciĂłn de primer grado: đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;?=đ?&#x;&#x17D; Por lo tanto: đ?&#x2019;&#x2122;=đ?&#x;?

Para encontrar la asĂ­ntota horizontal: En la funciĂłn propuesta đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;); se nota que las funciones polinomiales en su numerador y denominador, es cuĂĄndo su grado tiene a đ?&#x2019;&#x17D; = Ăą, por lo que esto implica: đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x161;= đ?&#x2019;&#x192; đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161;= đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161;=đ?&#x;?

Para encontrar la asĂ­ntota oblicua: En este caso; se tiene que ver, si no se obtuvo la asĂ­ntota horizontal para poder calcularla; sin embargo, para esta situaciĂłn si se determinĂł en đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x;? y por este motivo nos conduce a que no exista tal recta en los nĂşmeros reales.

Para corroborar o comprobar computacionalmente las asĂ­ntotas encontradas, se ocupa el buscador de Lengua Inglesa â&#x20AC;&#x153;WolframAlphaâ&#x20AC;? con la siguiente instrucciĂłn a ejecutar: https://www.wolframalpha.com/input/?i=asymptotes+of+f%28x%2 9%3D%282x%29%2F%28x-2%29 En el recuadro en blanco se escribiĂł la instrucciĂłn en inglĂŠs:â&#x20AC;? asymptotes of f(x)=(2x)/(x-2)â&#x20AC;? que significa: encontrar â&#x20AC;&#x153;las asĂ­ntotas de f(x)=(2x)/(x-2)â&#x20AC;?

BibliografĂ­a: RuĂ­z Basto, JoaquĂ­n. (2007). Funciones Racionales. En MatemĂĄticas IV. PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria Cultural.

ELABORĂ&#x201C;: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

Ejercicio 3.

De acuerdo con la metodologĂ­a del Ejemplo III., encuentra la asĂ­ntota vertical, horizontal y oblicua para la funciĂłn: đ?&#x;&#x2018; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x2019;&#x2122;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x;&#x2022; Sugerencia: Puedes realizar este procedimiento a mano, tomarle una foto y pegar este archivo, aquĂ­ en el siguiente espacio en blanco:

BibliografĂ­a: FarĂ­as, Esteban. (2008) ÂĄMe Ejercito!, con las Funciones Racionales. En MatemĂĄticas 4: Para la ConstrucciĂłn del Aprendizaje. MĂŠxico: FernĂĄndez Editores.

ELABORĂ&#x201C;: PROF. PEDRO DANIEL LARA MALDONADO

Las Concepciones de AsĂ­ntota Horizontal en la Realidad.

Ejercicio 4. Cereales para bebĂŠs.

En un superalmacĂŠn, el precio con descuento al mayoreo por đ?&#x2019;&#x2122; cajas de cereales, se obtienen con la funciĂłn: đ?&#x;&#x201D;đ?&#x;&#x2014;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;đ?&#x;&#x201C; đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x2021;(đ?&#x2019;&#x2122;) = đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122; + đ?&#x;&#x201C; Tomando en cuenta que đ?&#x2019;&#x2122; esta en cientos; donde đ?&#x2019;&#x2122; = đ?&#x;&#x17D; si y solo si es el precio al menudeo. ÂżTiene un lĂ­mite el precio al mayoreo y cuĂĄl es?

Sugerencia: Puedes realizar este procedimiento a mano, tomarle una foto y pegar este archivo, aquĂ­ en el siguiente espacio en blanco: ResoluciĂłn:

ConclusiĂłn: Esto significa que el precio al mayoreo es de $_____, cuando se adquieren 100 cajas de cereales; pero si no se le aplica este descuento, al menudeo se compra este producto infantil a $27.

BibliografĂ­a: RuĂ­z Basto, JoaquĂ­n. (2014). Existencia de las AsĂ­ntotas Horizontales. En MatemĂĄticas 4. PrecĂĄlculo: Funciones y Aplicaciones. MĂŠxico: Grupo Patria.