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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN SECRETARÍA ACADÉMICA COMISIÓN DICTAMINADORA DEL ÁREA DE LAS CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, acorde al Programa Académico de Álgebra para Licenciatura en Ingeniería Civil.

QUE SUSTENTA: PEDRO DANIEL LARA MALDONADO EN LA SEGUNDA PRUEBA RELATIVA AL CONCURSO DE OPOSICIÓN PARA INGRESO COMO: Profesor de Asignatura “A” Definitivo.

CELEBRADO EN EL: MUNICIPIO DE NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, A 3 DE NOVIEMBRE DEL 2017.

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ÍNDICE PÁGINA 1. Introducción ………...…………………………………………3 2. Desarrollo del Tema…………………………………………....4 2.1. Operación Binaria…………………………………………....5 2.1.1. Definición 2.1.2. Propiedades 2.1.3. Ejemplos 2.2. Grupo…………………………………………………...............7 2.2.1. Definición.

2.2.2. Tipos 2.2.2.1. Definición de Grupo Conmutativo o Abeliano.

2.2.3. Ejemplos 2.3. Anillo……………………………………………………………11 2.3.1. Definición.

2.3.2. Tipos.

2.3.2.1. Definición de Anillo Conmutativo 2.3.2.2. Definición de Anillo Unitario o con Unidad 2.3.2.3. Definición de Anillo con Campo o Cuerpo 2.3.3. Ejemplos 3. Conclusiones………………………………………......................19 4. Referencias Bibliográficas……………………………………....20

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1. Introducción.

La presente Exposición Escrita del Tema VII Estructuras Algebraicas, que pertenece al contenido programático de la asignatura Álgebra del Plan de Estudios Vigente en Ingeniería Civil (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007), representa una Guía Metodológica, para: a) Apoyar a la y al Estudiante en su Proceso de Aprendizaje Metacognitivo. b) Orientar a la y al Docente en su Labor e Intervención Didáctica.

A continuación, se proporciona las Nociones Teórico-Prácticas del Álgebra Abstracta, que encadena dialécticamente el Método Matemático de: a) La inducción (de lo fácil a lo concreto). b) La deducción (de lo abstracto a lo concreto).

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2. Desarrollo del Tema.

Las Estructuras Algebraicas consisten en un conjunto no vacío (Espinosa, 2010), que están definidas por una colección finita de operaciones; desempeñan un papel muy importante en muchas ramas de la ciencia como en: la mecánica cuántica, la física nuclear, la teoría de la relatividad, etcétera y se clasifican en: Grupo, Anillo. (Godínez, 2004).

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2.1. OperaciĂłn Binaria.

2.1.1. DefiniciĂłn.

La OperaciĂłn Binaria ∗ es una regla que asigna a cada par ordenado de elementos de un conjunto un Ăşnico elemento de dicho conjunto (CastaĂąeda-de-Isla Puga, 2017).

2.1.2. Propiedades.

Una OperaciĂłn binaria ∗ sobre un conjunto definido en este caso por đ?‘† se dice que tiene la propiedad de: a) Cerradura: Si ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘†, (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∈ đ?‘†; esto quiere decir que el conjunto đ?‘† es cerrado respecto a ∗ . (Speziale, 2010). b) Asociativa: Si (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘? = đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?) para cualesquiera đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ?‘†. (Ayres, 1972). c) Conmutativa: Si đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž para todo đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘†. (Ayres, 1972). d) Elementos IdĂŠnticos: Si existe un elemento en đ?‘’ = {đ?‘’1 , đ?‘’2 } ∈ đ?‘† tal que para todo đ?‘Ž ∈ đ?‘†, đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž; el idĂŠntico es el mismo para todos los elementos del conjunto de igualdad; tanto en su lado izquierdo y derecho. (Speziale, 2010). e) Elementos Inversos: Si ∀đ?‘Ž ∈ đ?‘†, existe đ?‘ŽĚ‚ ∈ đ?‘† tal que đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘’. (Speziale, 2010).

2.1.3. Ejemplos.

1. Sea â„• el conjunto de los nĂşmeros naturales y la operaciĂłn binaria en â„• definida por: đ?’‚ ∗ đ?’ƒ = đ?’‚(đ?’ƒ + đ?&#x;?) ∀đ?’‚, đ?’ƒ ∈ â„•. Determinar si su ∗ cumple con la propiedad a) De Cerradura, b) Asociativa, c) Conmutativa, d) De Elementos IdĂŠnticos, e) De Elementos Inversos. (Arcila, 1976). a) El resultado de: đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘Ž(đ?‘? + 2) = đ?‘Žđ?‘? + 2đ?‘Ž, se considera para đ?‘Žđ?‘? ∈ â„•, 2đ?‘Ž ∈ â„• si y solo si đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„•, por lo tanto, esto implica la pertenencia del producto, para este conjunto de los nĂşmeros naturales, es decir: đ?‘Ž ∗ đ?‘? ∈ â„•, con esto hemos demostrado que su ∗ Si Cumple con la Propiedad de Cerradura. b) Sean đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ â„•, entonces se corrobora, para: (1) ‌ (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘? = đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?) ‌ (2) (1) ‌ (đ?‘Ž(đ?‘? + 2)) ∗ đ?‘? = đ?‘Ž ∗ (đ?‘?(đ?‘? + 2)) ‌ (2) (1) ‌ đ?‘Ž(đ?‘? + 2)(đ?‘? + 2) = đ?‘Ž(đ?‘?(đ?‘? + 2) + 2) ‌ (2) (1) ‌ đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘? + 2đ?‘? + 2đ?‘? + 4) = đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘? + 2đ?‘? + 2) ‌ (2)

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Como su igualdad en la proposiciĂłn (1) ‌ es distinta de ‌ (2), concluimos que ĂŠl ∗ No Cumple con su Propiedad Asociativa. c) Para ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„• si y solamente si: (đ??ź) ‌ đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž ‌ (đ??źđ??ź) (đ??ź) ‌ đ?‘Ž(đ?‘? + 2) = đ?‘?(đ?‘Ž + 2) ‌ (đ??źđ??ź) Esta supuesta igualdad en (đ??ź) ‌ y ‌ (đ??źđ??ź) implica que đ?‘Ž ∗ đ?‘? ≠đ?‘? ∗ đ?‘Ž, por lo tanto, su ∗ No Cumple con la Propiedad Conmutativa. d) Los elementos idĂŠnticos se definen por la propiedad đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž, esto implica, considerar a đ?‘’ = {đ?‘’1 , đ?‘’2 } ∈ â„•, entonces se debe analizar por casos: Sea đ?‘’1 ∈ â„• tal que đ?‘Ž ∗ đ?‘’1 = đ?‘Ž. Aplicando el ∗ se tiene: đ?‘Ž(đ?‘’1 + 2) = đ?‘Ž, entonces despejando đ?‘Ž a: (đ?‘’1 + 2) = đ?‘Ž → đ?‘’1 + 2 = 1 → đ?‘’1 = 1 − 2 →∴ đ?‘’1 = −1 ∉ â„•, esto concluye, que su ∗ No tiene elementos idĂŠnticos o neutros en el conjunto de los nĂşmeros naturales. e) Si đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘’ ∈ â„•, se tiene que: đ?‘’ = {đ?‘’1 , đ?‘’2 } ∉ â„•, por lo tanto, el ∗ No tiene elementos inversos.

2. Sea el conjunto de los nĂşmeros enteros y su ∗ es la operaciĂłn binaria en ℤ definida por đ?’‚ ∗ đ?’ƒ = đ?’Œđ?&#x;? đ?’‚ + (đ?&#x;?đ?’Œđ?&#x;? − đ?&#x;?)đ?’ƒ. Determinar el conjunto de valores đ?’Œ ∈ ℤ tal que ∗ sea conmutativa (Arzamendi, 2011).

La propiedad conmutativa de una operaciĂłn binaria se define por el cumplimiento de la igualdad đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž para todo đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘˜, en este caso se considera que: đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘˜ 2 đ?‘Ž + (2đ?‘˜ 2 − 1)đ?‘? ‌ (1) đ?‘? ∗ đ?‘Ž = đ?‘˜ 2 đ?‘? + (2đ?‘˜ 2 − 1)đ?‘Ž ‌ (2) Esto implica que las ecuaciones ‌ (1) y ‌ (2) deben cumplirse ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ ℤ, por lo tanto, si đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž se tendrĂĄ que: đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž → đ?‘˜ 2 đ?‘Ž + (2đ?‘˜ 2 − 1)đ?‘? = đ?‘˜ 2 đ?‘? + (2đ?‘˜ 2 − 1)đ?‘Ž Esto implica, realizar su multiplicaciĂłn en ambos miembros de la igualdad, para poder despejar el valor de đ?‘˜ 2 , relacionĂĄndolo con đ?‘Ž, đ?‘? ∈ ℤ , es decir: đ?‘˜ 2 đ?‘Ž + (2đ?‘˜ 2 − 1)đ?‘? = (2đ?‘˜ 2 − 1)đ?‘Ž + đ?‘˜ 2 đ?‘? → đ?‘Žđ?‘˜ 2 + 2đ?‘?đ?‘˜ 2 − đ?‘? = 2đ?‘Žđ?‘˜ 2 − đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘˜ 2 → đ?‘Žđ?‘˜ 2 + 2đ?‘?đ?‘˜ 2 − đ?‘? = 2đ?‘Žđ?‘˜ 2 + đ?‘?đ?‘˜ 2 − đ?‘Ž → đ?‘Žđ?‘˜ 2 + 2đ?‘?đ?‘˜ 2 − đ?‘? − 2đ?‘Žđ?‘˜ 2 − đ?‘?đ?‘˜ 2 + đ?‘Ž = 0 → −đ?‘Žđ?‘˜ 2 + đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘˜ 2 − đ?‘? = 0 → đ?‘˜ 2 (−đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘Ž − đ?‘? = 0 → đ?‘˜ 2 (−đ?‘Ž + đ?‘?) = −đ?‘Ž + đ?‘? đ?‘˜ 2 (−đ?‘Ž + đ?‘?) −đ?‘Ž + đ?‘? → = → đ?‘˜ 2 = 1 → đ?‘˜ = Âąâˆš1 →∴ đ?‘˜ = Âą1 (−đ?‘Ž + đ?‘?) (−đ?‘Ž + đ?‘?)

AsĂ­, el conjunto solicitado es đ?‘˜ = {−1, +1} = {−1,1} ∈ ℤ.

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2.2. Grupo.

2.2.1. DefiniciĂłn.

Es la estructura con una sola operaciĂłn binaria ∗ en un conjunto no vacĂ­o, definido por đ??ş, para el sistema (đ??ş , ∗). (Speziale, 2010), tal que tenga las propiedades de: i) Cerradura: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??ş, đ?‘Ž ∗ đ?‘? ∈ đ??ş ii) Asociatividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??ş, (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘? = đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?) iii) Existencia de IdĂŠntico o del Neutro: ∃đ?‘’ ∈ đ??ş | , đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž iv) Existencia de Inversos: ∀đ?‘Ž ∈ đ??ş, ∃đ?‘ŽĚ‚ ∈ đ??ş | , đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘’

2.2.2. Tipos.

Los Tipos de Grupos se clasifican en: Abeliano o Conmutativo, CĂ­clico, Finito, Diferenciable o De Lie, Libre y Alternante o De Klein (RincĂłn, 2014).

A continuaciĂłn, se definirĂĄ el Tipo de Grupo Abeliano o Conmutativo, a razĂłn de que los otros Tipos de Grupos poseen un grado avanzado de dificultad, que no ayuda a comprender el objetivo propuesto para el Tema VII (U.N.A.M.-D.G.A.E., 2007).

2.2.2.1. DefiniciĂłn de Grupo Conmutativo o Abeliano.

Es la estructura que cumple con las cuatro Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Grupo, es decir con la: i) Cerradura, ii) Asociatividad, iii) Existencia de IdĂŠntico o del Neutro, iv) Existencia de Inversos y con su Propiedad caracterĂ­stica de v) Conmutatividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??ş, đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž (LeĂłn, 2011).

2.2.3. Ejemplos.

1. Sea el grupo (â„? , ∗), donde đ?’‚ ∗ đ?’ƒ = đ?’‚ + đ?’ƒ − √đ?&#x;‘ ∀ đ?’‚, đ?’ƒ ∈ â„?. Obtener el elemento idĂŠntico del grupo y los elementos inversos (Arzamendi, 2011).

Para obtener el elemento idĂŠntico, se tiene que definir esta propiedad de la definiciĂłn grupo, como: đ?‘Žâˆ—đ?‘’ =đ?‘’∗đ?‘Ž =đ?‘Ž

∀đ?‘Ž ∈ â„?

En el idĂŠntico izquierdo: đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘Ž, se debe considerar su regla de correspondencia, como: đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘Ž + đ?‘’ − √3, entonces por transitividad, tenemos que:

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đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘Ž + đ?‘’ − √3 ↔ đ?‘Ž + đ?‘’ − √3 = đ?’‚ ∗ đ?’† → đ?‘Ž + đ?‘’ − √3 = đ?’‚ → đ?‘’ = đ?‘Ž − đ?‘Ž + √3 →∴ đ?‘’ = √3 ∈ â„?

Como (â„? , ∗) es un grupo, entonces el idĂŠntico derecho es igual al idĂŠntico izquierdo, por tanto đ?‘’ = √3 es el elemento idĂŠntico del grupo.

Para obtener los elementos inversos, se tiene que definir esta propiedad de la definiciĂłn grupo, como: đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?’† →∴ đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = √đ?&#x;‘ En el inverso izquierdo: đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = √đ?&#x;‘, se debe considerar su regla de correspondencia, como: đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘Ž + đ?‘ŽĚ‚ − √3, entonces por transitividad, tenemos que: Ě‚ → đ?‘Ž + đ?‘ŽĚ‚ − √3 = √đ?&#x;‘ đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘Ž + đ?‘ŽĚ‚ − √3 ↔ đ?‘Ž + đ?‘ŽĚ‚ − √3 = đ?’‚ ∗ đ?’‚ → đ?‘ŽĚ‚ = −đ?‘Ž + √3 + √3 →∴ đ?‘ŽĚ‚ = −đ?‘Ž + 2√3 Como (â„? , ∗) es un grupo, entonces, de manera anĂĄloga, decimos que el inverso derecho es igual al inverso izquierdo, por tanto, los elementos inversos estĂĄn dados por: đ?‘ŽĚ‚ = −đ?‘Ž + 2√3 ∀đ?‘Ž ∈ â„?.

2. Sea el conjunto đ?‘Ž = {đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?&#x;ŽÂ°), đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;ŽÂ°), đ?’„đ?’Šđ?’”(đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ°)}. Determinar si la Estructura Algebraica (đ?‘Ž , ∗) es un Grupo Abeliano, donde ∗ es la multiplicaciĂłn usual en â„‚ (Arzamendi, 2011).

Para determinar si la estructura algebraica (đ??ş , ∗) sea un Grupo Abeliano, debe cumplir las propiedades de: i) Cerradura, ii) Asociatividad, iii) Existencia de IdĂŠntico o del Neutro, iv) Existencia de Inversos y v) Conmutatividad.

Entonces, para la propiedad de:

i) Cerradura: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??ş: đ?‘Ž ∗ đ?‘? ∈ đ??ş, esto implica, definir su operaciĂłn binaria ∗ en la multiplicaciĂłn usual para el conjunto de los nĂşmeros complejos â„‚, como: đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘Žđ?‘?[đ?‘?đ?‘–đ?‘ (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 )] ∈ đ??ş Esto implica, construir la tabla multiplicativa usual del conjunto de los nĂşmeros complejos â„‚, con sus tres elementos que forma el conjunto đ??ş, para observar, si este conjunto, tiene esta propiedad, es decir:

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b * cis (0°) cis (120°) cis (240°) cis (0°) 1(1)cis(0°+0°) 1(1)cis(0°+120°) 1(1)cis(0°+240°) cis (120°) 1(1)cis(120°+0°) 1(1)cis(120°+120°) 1(1)cis(120°+240°) a cis (240°) 1(1)cis(240°+0°) 1(1)cis(240°+120°) 1(1)cis(240°+240°) đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?. DefiniciĂłn Multiplicativa Usual en el conjunto de los NĂşmeros â„‚. đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž: Arizmendi. (2011).

Efectuando operaciones en la đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?., resulta quĂŠ los elementos del conjunto đ??ş, respectivamente se definen, para:

* cis (0°) cis (0°) cis(0°) cis (120°) cis(120°) a cis (240°) cis(240°)

b cis (120°) cis(120°) cis(240°) cis(360°)

cis (240°) cis(240°) cis(360°) cis(480°)

đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?. Producto Resultante de la ∗ en su multiplicaciĂłn usual para â„‚. đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž: Arizmendi. (2011).

En la đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;?., resulta que en los elementos de đ?‘?đ?‘–đ?‘ (360°) ‌ (đ?‘–) y đ?‘?đ?‘–đ?‘ (480°) ‌ . (đ?‘–đ?‘–), su valor angular del circulo unitario se define hasta 360° y a partir de este se puede expresar un ĂĄngulo equivalente, para esto, se le resta los 360° en la cantidad presentada, es decir: đ?‘?đ?‘–đ?‘ (360°) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) ↔ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ → đ?œƒ = (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) − 360° ‌ (đ?‘–) → đ?œƒ = (360°) − 360° → đ?œƒ = 0° →∴ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) đ?‘?đ?‘–đ?‘ (480°) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) ↔ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ → đ?œƒ = (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) − 360° ‌ (đ?‘–đ?‘–) → đ?œƒ = (480°) − 360° →∴ đ?œƒ = 120° →∴ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (120°) Por lo tanto, decimos que:

b * cis (0°) cis (120°) cis (240°) cis (0°) cis(0°) cis(120°) cis(240°) cis (120°) cis(120°) cis(240°) cis(0°) a cis (240°) cis(240°) cis(0°) cis(120°) đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;‘. SimplifcaciĂłn del Producto usual para â„‚. đ??…đ??Žđ??žđ??§đ??­đ??ž: Arizmendi. (2011).

Finalmente, en la đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;‘., se observa que đ??ş si es cerrado para su multiplicaciĂłn usual en â„‚.

ii) Asociatividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??ş: (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘? = đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?), como el conjunto đ??ş estĂĄ contenido en los nĂşmeros complejos: đ??ş ⊆ â„‚, entonces đ??ş cumple con esta propiedad.

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iii) Existencia de IdĂŠntico o del Neutro: ∃đ?‘’ ∈ đ??ş tal que đ?‘Ž ∗ đ?‘’ = đ?‘’ ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž, ∀đ?‘Ž ∈ đ??ş, esto implica considerar la đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;‘., para definir, a su respectivo elemento idĂŠntico, es decir: đ?‘’ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°), por lo que, sustituyendo este valor en la propiedad, resulta: đ?‘Ž ∗ (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°)) = (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°)) ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž → đ?‘Ž ∗ 1 = 1 ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž →∴ đ?‘Ž = đ?‘Ž QuĂŠ si cumple su igualdad de existencia del Neutro.

iv) Existencia de Inversos: ∀đ?‘Ž ∈ đ??ş, đ?‘ŽĚ‚ ∈ đ??ş tal que: đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘’ →∴ đ?‘Ž ∗ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) Esta igualdad que define esta propiedad, implica encontrar sus respectivos inversos, para los elementos definidos de la đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;‘., en đ?‘Ž: đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) ↔ đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) → đ?‘ŽĚ‚ ∗ (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°)) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) → đ?‘ŽĚ‚ =

đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°))

1 → đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0° − 0°) →∴ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) ∈ đ??ş 1 đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (120°) ↔ đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) → đ?‘ŽĚ‚ ∗ (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (120°)) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) → đ?‘ŽĚ‚ =

. ‌ (đ??ź)

đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (120°))

.

1 ‌ (đ??źđ??ź) → đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0° − 120°) →∴ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (−120°) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) ↔ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ = đ?‘ŽĚ‚ 1 → đ?œƒ = (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) + 360° → đ?œƒ = (−120°) + 360° → đ?œƒ = 240° →∴ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (240°) = đ?‘ŽĚ‚ ∈ đ??ş đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (240°) ↔ đ?‘ŽĚ‚ ∗ đ?‘Ž = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) → đ?‘ŽĚ‚ ∗ (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (240°)) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) → đ?‘ŽĚ‚ =

đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) (đ?‘?đ?‘–đ?‘ (240°))

.

1 ‌ (đ??źđ??źđ??ź) → đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0° − 240°) →∴ đ?‘ŽĚ‚ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (−240°) = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (đ?œƒ1 + đ?œƒ2 ) ↔ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ = đ?‘ŽĚ‚ 1 (đ?œƒ ) → đ?œƒ = 1 + đ?œƒ2 + 360° → đ?œƒ = (−240°) + 360° → đ?œƒ = 120° →∴ đ?‘?đ?‘–đ?‘ đ?œƒ = đ?‘?đ?‘–đ?‘ (120°) = đ?‘ŽĚ‚ ∈ đ??ş El elemento inverso đ?‘ŽĚ‚ para: ‌ (đ??ź) es đ?‘?đ?‘–đ?‘ (0°) ∈ đ??ş, ‌ (đ??źđ??ź) es đ?‘?đ?‘–đ?‘ (240°) ∈ đ??ş, ‌ (đ??źđ??źđ??ź) es đ?‘?đ?‘–đ?‘ (120°) ∈ đ??ş, por tanto, todos los elementos de đ??ş tiene un Ăşnico inverso en el conjunto đ??ş, esto quiere decir que la igualdad si cumple con su propiedad enunciada.

v) Conmutatividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??ş: đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž, esto implica que los elementos de la đ??“đ??šđ??›đ??Ľđ??š đ?&#x;‘, cumple su propiedad en el conjunto đ??ş ∈ â„‚.

En este caso, se ha corroborado que las propiedades: i), ii), iii), iv) y v) si cumplen, con esto determinamos, que la estructura algebraica (đ??ş , ∗) es un Grupo Abeliano en su respectiva multiplicaciĂłn usual en â„‚.

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2.3. Anillo.

2.3.1. DefiniciĂłn.

Es la estructura con dos operaciones binarias + y ∗ en un conjunto no vacĂ­o, definido por đ??´, para el sistema (đ??´, +, ∗). (Solar, 2012), tal que tenga las propiedades de: i) Asociatividad en la AdiciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž + (đ?‘? + đ?‘?) = (đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘? ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘? + đ?‘Ž iii) Existencia del IdĂŠntico o Neutro Aditivo: ∃0 ∈ đ??´ | , 0 + đ?‘Ž = đ?‘Ž, ∀đ?‘Ž ∈ đ??´ iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, ∃ − đ?‘Ž ∈ đ??´ | , −đ?‘Ž + đ?‘Ž = 0 v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?) = (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘? vi) Distributividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, se tiene que đ?‘Ž ∗ (đ?‘? + đ?‘?) = (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) + (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ‌ (đ?‘–) y (đ?‘? + đ?‘?) ∗ đ?‘Ž = (đ?‘? ∗ đ?‘Ž) + (đ?‘? ∗ đ?‘Ž) ‌ (đ?‘–đ?‘–).

De las propiedades i) a la iv), se dice que un anillo es un grupo Abeliano para la primera operaciĂłn + (Solar, 2012).

2.3.2. Tipos.

Los Tipos de Anillos se clasifican en: Conmutativo, No Conmutativo, Unitario o Con Unidad, Con DivisiĂłn, Con SimplificaciĂłn, Con Dominio de Integridad, Con Cuerpo o Campo, Abeliano y Con Dominio EuclĂ­deo (RincĂłn, 2014).

A continuaciĂłn, se definirĂĄ el Tipo de Anillo: Conmutativo, Unitario o Con Unidad, Con Campo o Cuerpo; a razĂłn de que los otros Tipos de Anillos poseen un grado avanzado de dificultad, que no ayuda a comprender el objetivo propuesto para el Tema VII (U.N.A.M.D.G.A.E., 2007).

2.3.2.1. DefiniciĂłn de Anillo Conmutativo.

Es la estructura que cumple con las seis Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Anillo, es decir con la: i) Asociatividad en la AdiciĂłn, ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn, iii) Existencia de IdĂŠntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos, v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn, vi) Distributividad y con su Propiedad caracterĂ­stica de vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž (CastaĂąeda-de-Isla Puga, 2016).

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2.3.2.2. DefiniciĂłn de Anillo Unitario o Con Unidad.

Es la estructura que cumple con las siete Propiedades de la DefiniciĂłn Anillo Conmutativo, es decir con la: i) Asociatividad en la AdiciĂłn, ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn, iii) Existencia de IdĂŠntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos, v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn, vi) Distributividad, vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn y con su Propiedad caracterĂ­stica de viii) Existencia de IdĂŠntico en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, ∃1 ∈ đ??´ | , 1 ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ 1 = 1 (CastaĂąeda-deIsla Puga, 2016).

2.3.2.3. DefiniciĂłn de Anillo Con Campo o Cuerpo.

Es la estructura que cumple con las ocho Propiedades de la DefiniciĂłn Anillo Unitario o Con Unidad, es decir con la: i) Asociatividad en la AdiciĂłn, ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn, iii) Existencia de IdĂŠntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos, v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn, vi) Distributividad, vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn, viii) Existencia de IdĂŠntico en la MultiplicaciĂłn y con su Propiedad caracterĂ­stica de ix) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘Ž ≠0, ∃đ?‘Žâˆ’1 ∈ đ??´ | , đ?‘Žâˆ’1 ∗ đ?‘Ž = 1 (CastaĂąeda-de-Isla Puga, 2016).

2.3.3. Ejemplos.

1. Sea đ?‘ˇ el conjunto de polinomios de la forma đ?’‘(đ?’™) = đ?’‚đ?’™, ∀đ?’‚ ∈ â„? y sean + , operaciones binarias en đ?‘ˇ definidas por: đ?’‘(đ?’™) + đ?’’(đ?’™) = (đ?’‘ + đ?’’)(đ?’™) đ?’‘(đ?’™) ∗ đ?’’(đ?’™) = (đ?’‘đ?’’(đ?’™))

∗ las

∀đ?’‘(đ?’™), đ?’’(đ?’™) ∈ đ?‘ˇ ∀đ?’‘(đ?’™), đ?’’(đ?’™) ∈ đ?‘ˇ

Considerando que el sistema (đ?‘ˇ, +, ∗) tiene Estructura de Anillo. Determinar: a) Si es un Anillo Conmutativo y b) Si es un Anillo Unitario (Arzamendi, 2011).

a) Para determinar si es un Anillo Conmutativo, se corrobora las seis Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Anillo: i) Asociatividad en la AdiciĂłn, ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn, iii) Existencia de IdĂŠntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos, v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn, vi) Distributividad y su Propiedad caracterĂ­stica de vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn.

Sin embargo, el planteamiento 1. menciona que el sistema tiene una Estructura de Anillo, esto implica que por definiciĂłn cumple las cuatro propiedades de: i) Asociatividad en la AdiciĂłn, ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn, iii) Existencia del IdĂŠntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos.

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Entonces, se verifica las dos Ăşltimas propiedades:

v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?) = (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘?, en este caso, se define, como: ∀đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ), đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) ∈ đ?‘ƒ, đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ), donde đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, đ?‘ž(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, por lo tanto se verifica esta propiedad, mediante la definiciĂłn de operaciĂłn binaria en ∗: (đ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) ‌ (đ??źđ??ź) (đ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) ‌ (đ??źđ??ź) (đ??ź) ‌ đ?‘? (đ?‘ž(đ?‘&#x;(đ?‘Ľ))) = đ?‘? (đ?‘ž(đ?‘&#x;(đ?‘Ľ))) ‌ (đ??źđ??ź) Comparando las igualdades (đ??ź) ‌ y ‌ (đ??źđ??ź), decimos que si cumple esta propiedad.

vi) Distributividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, se tiene que đ?‘Ž ∗ (đ?‘? + đ?‘?) = (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) + (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ‌ (đ?‘–) y (đ?‘? + đ?‘?) ∗ đ?‘Ž = (đ?‘? ∗ đ?‘Ž) + (đ?‘? ∗ đ?‘Ž) ‌ (đ?‘–đ?‘–), en este caso, se define que ∀đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ), đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) ∈ đ?‘ƒ es: (đ??źđ??źđ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) ‌ (đ??źđ?‘‰) ‌ (đ?‘–) ∧ (đ?‘‰) ‌ (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) ‌ (đ?‘‰đ??ź) ‌ (đ?‘–đ?‘–) Siendo đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, đ?‘ž(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, por lo tanto, se verifica la condiciĂłn ‌ (đ?‘–), mediante la sustituciĂłn polinomial y las definiciones que describen el planteamiento 1., para (đ??źđ??źđ??ź) ‌ : đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘?(đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘?(đ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ľ) đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘?((đ?‘? + đ?‘?)đ?‘Ľ) đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘Ž(đ?‘? + đ?‘?)đ?‘Ľ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ Similarmente, se verifica para ‌ (đ??źđ?‘‰): (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘?(đ?‘?đ?‘Ľ) + đ?‘?(đ?‘?đ?‘Ľ) (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘Ľ) + đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘Ľ) (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ Esto implica, comparar sus igualdades (đ??źđ??źđ??ź) ‌ y ‌ (đ??źđ?‘‰), en su respectiva condiciĂłn: (đ??źđ??źđ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ (đ?‘ž(đ?‘Ľ) + đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ)) + (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) ‌ (đ??źđ?‘‰) ‌ (đ?‘–) (đ??źđ??źđ??ź) ‌ đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ ‌ (đ??źđ?‘‰)

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Esta condición‌ (�), si es cierta.

Luego, se verifica la condiciĂłn ‌ (đ?‘–đ?‘–), mediante la sustituciĂłn polinomial y las definiciones que describen el planteamiento 1., para (đ?‘‰) ‌ : (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = (đ?‘? + đ?‘ž)(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = (đ?‘? + đ?‘ž)(đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = (đ?‘? + đ?‘ž)(đ?‘?đ?‘Ľ) (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = (đ?‘Ž + đ?‘?)(đ?‘?đ?‘Ľ) (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘?đ?‘Ľ Similarmente, se verifica para ‌ (đ?‘‰đ??ź): (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = (đ?‘?đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘žđ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘?(đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + đ?‘ž(đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘Ľ) + đ?‘?(đ?‘?đ?‘Ľ) (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) = đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘?đ?‘Ľ Esto implica, comparar sus igualdades (đ?‘‰) ‌ y ‌ (đ?‘‰đ??ź), en su respectiva condiciĂłn: (đ?‘‰) ‌ (đ?‘?(đ?‘Ľ) + đ?‘ž(đ?‘Ľ)) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ) = (đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) + (đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘&#x;(đ?‘Ľ)) ‌ (đ?‘‰đ??ź) ‌ (đ?‘–đ?‘–) (đ?‘‰) ‌ đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘?đ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘?đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘?đ?‘Ľ ‌ (đ?‘‰đ??ź) Esta condiciĂłn‌ (đ?‘–đ?‘–), si es cierta.

Se concluye que las condiciones ‌ (�) y ‌ (��) son ciertas, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.

vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž, en este caso, se define que ∀đ?‘?(đ?‘Ľ), đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∈ đ?‘ƒ, đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ) = đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘?(đ?‘Ľ), donde đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, đ?‘ž(đ?‘Ľ) = đ?‘?đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, por lo tanto se verifica esta propiedad, mediante la definiciĂłn de operaciĂłn binaria en ∗: (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘ž(đ?‘Ľ) = đ?‘ž(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘?(đ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘ž(đ?‘Ľ)) = đ?‘ž(đ?‘?(đ?‘Ľ)) ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ đ?‘?(đ?‘?đ?‘Ľ) = đ?‘ž(đ?‘Žđ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ đ?‘Ž(đ?‘?đ?‘Ľ) = đ?‘?(đ?‘Žđ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ (đ?‘Žđ?‘?)đ?‘Ľ = (đ?‘?đ?‘Ž)đ?‘Ľ ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ (đ?‘Žđ?‘?)đ?‘Ľ = (đ?‘Žđ?‘?)đ?‘Ľ ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź) Comparando las igualdades (đ?‘‰đ??źđ??ź) ‌ y ‌ (đ?‘‰đ??źđ??źđ??ź), decimos que si cumple esta propiedad.

Se concluye, que las seis Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Anillo y su propiedad caracterĂ­stica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (đ?‘ƒ, +, ∗) es un Anillo Conmutativo.

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b) Para determinar si es un Anillo Unitario, se corrobora las siete Propiedades de la DefiniciĂłn Anillo Conmutativo: i) Asociatividad en la AdiciĂłn, ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn, iii) Existencia de IdĂŠntico o Neutro Aditivo, iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos, v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn, vi) Distributividad, vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn y su Propiedad caracterĂ­stica de viii) Existencia de IdĂŠntico en la MultiplicaciĂłn.

Por el inciso a), decimos que las seis Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Anillo y su propiedad caracterĂ­stica, cumplen.

Entonces, se verifica su Propiedad caracterĂ­stica de viii) Existencia de IdĂŠntico en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, ∃1 ∈ đ??´ | , 1 ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ 1 = 1 , para este caso, se define, como: ∀đ?‘˘(đ?‘Ľ) ∈ đ?‘ƒ,

∃đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ | ,

(đ??źđ?‘‹) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘˘(đ?‘Ľ) = (đ?‘‹) ‌ đ?‘˘(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘?(đ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‹đ??ź)

Esto implica, definir la operaciĂłn binaria en su producto ∗ con unidad, que este se considera, en: đ?‘˘(đ?‘Ľ) = {đ?‘˘1 (đ?‘Ľ), đ?‘˘2 (đ?‘Ľ)} = {đ?‘’1 đ?‘Ľ, đ?‘’2 đ?‘Ľ} ∈ đ?‘ƒ Por lo tanto, su igualdad se debe analizar: En (đ??źđ?‘‹) ‌ respecto a ‌ (đ?‘‹đ??ź) , notamos que la ecuaciĂłn alterna con unidad en su operaciĂłn binaria del producto ∗, se define por đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘˘1 (đ?‘Ľ) = đ?‘?(đ?‘Ľ), donde đ?‘˘1 (đ?‘Ľ) = đ?‘’1 đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, esto implica, sustituir el valor, para: (đ??źđ?‘‹) ‌ đ?‘?(đ?‘Ľ) ∗ đ?‘˘1 (đ?‘Ľ) = đ?‘?(đ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ??źđ?‘‹) ‌ đ?‘?(đ?‘˘1 (đ?‘Ľ)) = đ?‘?(đ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ??źđ?‘‹) ‌ đ?‘?(đ?‘’1 đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ??źđ?‘‹) ‌ đ?‘Ž(đ?‘’1 đ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ??źđ?‘‹) ‌ đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘Ľ ‌ (đ?‘‹đ??ź) En (đ?‘‹) ‌ respecto a ‌ (đ?‘‹đ??ź) , notamos que la ecuaciĂłn alterna con unidad en su operaciĂłn binaria del producto ∗, se define por đ?‘˘2 (đ?‘Ľ) ∗ đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘?(đ?‘Ľ), donde đ?‘˘2 (đ?‘Ľ) = đ?‘’2 đ?‘Ľ ∈ đ?‘ƒ, esto implica, sustituir el valor, para: (đ?‘‹) ‌ đ?‘˘2 (đ?‘Ľ) ∗ đ?‘?(đ?‘Ľ) = đ?‘?(đ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ?‘‹) ‌ đ?‘˘2 (đ?‘?(đ?‘Ľ)) = đ?‘?(đ?‘Ľ) ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ?‘‹) ‌ đ?‘˘2 (đ?‘Žđ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ?‘‹) ‌ đ?‘’2 (đ?‘Žđ?‘Ľ) = đ?‘Žđ?‘Ľ ‌ (đ?‘‹đ??ź) (đ?‘‹) ‌ đ?‘Žđ?‘Ľ = đ?‘Žđ?‘Ľ ‌ (đ?‘‹đ??ź) Por lo tanto, las igualdades en (đ??źđ?‘‹) ‌ respecto a ‌ (đ?‘‹đ??ź) y (đ?‘‹) ‌ respecto a ‌ (đ?‘‹đ??ź) son ciertas, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.

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Se concluye, que las siete Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Anillo Conmutativo y su propiedad caracterĂ­stica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (đ?‘ƒ, +, ∗) tiene Estructura de Anillo Unitario.

2. Sea đ?‘Ź = {đ?’‚ + đ?’ƒđ?’Š|đ?’‚, đ?’ƒ ∈ â„š, đ?’Šđ?&#x;? = −đ?&#x;?}, un subconjunto de â„‚. Determinar si (đ?‘Ź, +, ∗) es un Anillo con Campo o Cuerpo, en donde + y ∗ son las operaciones usuales de adiciĂłn y multiplicaciĂłn en â„‚. (Arzamendi, 2011).

Para determinar si es un Anillo con Campo o Cuerpo, se corrobora las ocho Propiedades de la DefiniciĂłn Anillo Conmutativo:

i) Asociatividad en la AdiciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž + (đ?‘? + đ?‘?) = (đ?‘Ž + đ?‘?) + đ?‘?, en este caso se define mediante la consideraciĂłn: ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 ∈ â„‚, đ?‘§1 + (đ?‘§2 + đ?‘§3 ) = (đ?‘§1 + đ?‘§2 ) + đ?‘§3 , donde đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∈ đ??¸, đ?‘§2 = đ?‘? + đ?‘‘đ?‘– ∈ đ??¸, đ?‘§3 = đ?‘’ + đ?‘“đ?‘– ∈ đ??¸, lo que implica que đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘, đ?‘’, đ?‘“ ∈ â„š, como đ??¸ ⊂ â„‚, implica que para toda đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 ∈ đ??¸ es vĂĄlida, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

ii) Conmutatividad en la AdiciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘? + đ?‘Ž, en este caso se define: ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 ∈ â„‚, đ?‘§1 + đ?‘§2 = đ?‘§2 + đ?‘§1 , esto implica que ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 ∈ đ??¸, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

iii) Existencia del IdĂŠntico o Neutro Aditivo: ∃0 ∈ đ??´ | , 0 + đ?‘Ž = đ?‘Ž, ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, en este caso, se dice que: ∃đ?‘’ = đ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘– ∈ đ??¸ | , ∀đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∈ đ??¸,

� + �1 = �1

Luego, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de đ?‘’: đ?‘’ + đ?‘§1 = đ?‘§1 → (đ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘–) + (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– → (đ?‘Ľ + đ?‘Ž) + (đ?‘Ś + đ?‘?)đ?‘– = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– đ?‘Ľ+đ?‘Ž = đ?‘Ž đ?‘Ľ = đ?‘Žâˆ’đ?‘Ž đ?‘Ľ = 0 →đ?‘Ś+đ?‘? =đ?‘? → đ?‘Ś =đ?‘?−đ?‘? → đ?‘Ś=0 Esto implica que đ?‘’ = đ?‘Ľ + đ?‘Śđ?‘– = 0 + 0đ?‘–, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

iv) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos Aditivos: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, ∃ − đ?‘Ž ∈ đ??´ | , −đ?‘Ž + đ?‘Ž = 0, en este caso, se define para: ∀đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∈ đ??¸,

∃ − đ?‘§1 = â„Ž + đ?‘˜đ?‘– ∈ đ??¸ | , −đ?‘§1 + đ?‘§1 = đ?‘’

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DespuĂŠs, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de −đ?‘§1: −đ?‘§1 + đ?‘§1 = đ?‘’ → (â„Ž + đ?‘˜đ?‘–) + (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) = 0 + 0đ?‘– → (đ?‘Ž + â„Ž) + (đ?‘? + đ?‘˜)đ?‘– = 0 + 0đ?‘– →

đ?‘Ž + â„Ž = 0 â„Ž = −đ?‘Ž → đ?‘? + đ?‘˜ = 0 đ?‘˜ = −đ?‘?

Esto implica que −đ?‘§1 = â„Ž + đ?‘˜đ?‘– = −đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘–, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

v) Asociatividad en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž ∗ (đ?‘? ∗ đ?‘?) = (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ∗ đ?‘?, en este caso, se define, como: ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 ∈ â„‚, đ?‘§1 ∗ (đ?‘§2 ∗ đ?‘§3 ) = (đ?‘§1 ∗ đ?‘§2 ) ∗ đ?‘§3 , esto implica que ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 ∈ đ??¸, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

vi) Distributividad: ∀đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ đ??´, se tiene que đ?‘Ž ∗ (đ?‘? + đ?‘?) = (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) + (đ?‘Ž ∗ đ?‘?) ‌ (đ?‘–) y (đ?‘? + đ?‘?) ∗ đ?‘Ž = (đ?‘? ∗ đ?‘Ž) + (đ?‘? ∗ đ?‘Ž) ‌ (đ?‘–đ?‘–), en este caso, se define que ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 , đ?‘§3 ∈ đ??¸ es: đ?‘§1 ∗ (đ?‘§2 + đ?‘§3 ) = (đ?‘§1 ∗ đ?‘§2 ) + (đ?‘§1 ∗ đ?‘§3 ) ‌ (đ?‘–) ∧ (đ?‘§1 + đ?‘§2 ) ∗ đ?‘§3 = (đ?‘§1 ∗ đ?‘§3 ) + (đ?‘§2 ∗ đ?‘§3 ) ‌ (đ?‘–đ?‘–) Las condiciones ‌ (đ?‘–) y ‌ (đ?‘–đ?‘–) se consideran ciertas en đ??¸, a razĂłn de que đ??¸ es un subconjunto de â„‚, esto implica, el cumplimiento para esta propiedad.

vii) Conmutatividad en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ??´, đ?‘Ž ∗ đ?‘? = đ?‘? ∗ đ?‘Ž, en este caso, se define que ∀đ?‘§1 , đ?‘§2 ∈ đ??¸, đ?‘§1 ∗ đ?‘§2 = đ?‘§2 ∗ đ?‘§1, donde đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∈ đ??¸, đ?‘§2 = đ?‘? + đ?‘‘đ?‘– ∈ đ??¸, por lo tanto se verifica esta propiedad, mediante la definiciĂłn de operaciĂłn binaria en ∗: (đ?‘‹đ??źđ??ź) ‌ đ?‘§1 ∗ đ?‘§2 = đ?‘§2 ∗ đ?‘§1 ‌ (đ?‘‹đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‹đ??źđ??ź) ‌ (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) ∗ (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–) = (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–) ∗ (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) ‌ (đ?‘‹đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‹đ??źđ??ź) ‌ (đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘) + (đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?)đ?‘– = (đ?‘?đ?‘Ž − đ?‘‘đ?‘?) + (đ?‘?đ?‘? + đ?‘‘đ?‘Ž)đ?‘– ‌ (đ?‘‹đ??źđ??źđ??ź) (đ?‘‹đ??źđ??ź) ‌ (đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘) + (đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?)đ?‘– = (đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘) + (đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘?)đ?‘– ‌ (đ?‘‹đ??źđ??źđ??ź) Como đ?‘§1 ∗ đ?‘§2 ∈ đ??¸ y đ?‘Žđ?‘? − đ?‘?đ?‘‘ ∈ â„š, đ?‘Žđ?‘‘ + đ?‘?đ?‘? ∈ â„š, entonces se compara las igualdades (đ?‘‹đ??źđ??ź) ‌ y ‌ (đ?‘‹đ??źđ??źđ??ź), por lo tanto, decimos que si cumple esta propiedad.

viii) Existencia de IdĂŠntico en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, ∃1 ∈ đ??´ | , 1 ∗ đ?‘Ž = đ?‘Ž ∗ 1 = 1 , para este caso, se define, como: ∀đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∈ đ??¸,

∃đ?‘˘ = đ?‘˘1 + đ?‘˘2 đ?‘– ∈ đ??¸ | , đ?‘˘ ∗ đ?‘§1 = đ?‘§1

DespuÊs, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de �:

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đ?‘˘ ∗ đ?‘§1 = đ?‘§1 → (đ?‘˘1 + đ?‘˘2 đ?‘–) ∗ (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– → (đ?‘˘1 + đ?‘˘2 đ?‘–) = → (đ?‘˘1 + đ?‘˘2 đ?‘–) = 1 + 0đ?‘– →

đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–

�1 = 1 �2 = 0

Esto implica que � = �1 + �2 � = 1 + 0�, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

Finalmente, se verifica la Propiedad caracterĂ­stica de ix) Existencia de Inversos o SimĂŠtricos en la MultiplicaciĂłn: ∀đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘Ž ≠0, ∃đ?‘Žâˆ’1 ∈ đ??´ | , đ?‘Žâˆ’1 ∗ đ?‘Ž = 1 , para este caso, se define, como: ∃đ?‘§ −1 = đ?‘§Ě‚ = đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘– ∈ đ??¸ | ,

∀đ?‘§1 = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– ∈ đ??¸,

đ?‘§Ě‚ ∗ đ?‘§1 = đ?‘˘

DespuĂŠs, se sustituye los valores en la igualdad, para encontrar los respectivos valores de đ?‘§Ě‚ : đ?‘§Ě‚ ∗ đ?‘§1 = đ?‘˘ → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘–) ∗ (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) = 1 + 0đ?‘– → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘–) = → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚ đ?‘–) = → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘–) =

1 đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–

1 đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘– đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘– ( ) → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘–) = 2 đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘– đ?‘Ž + đ?‘Žđ?‘?đ?‘– − đ?‘Žđ?‘?đ?‘– − đ?‘? 2 đ?‘– 2

đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘– đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘– đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘– → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘–) = 2 → (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘–) = 2 2 2 2 −đ?‘? đ?‘– đ?‘Ž − đ?‘? (−1) đ?‘Ž + đ?‘?2

đ?‘Ž2

đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘? + đ?‘?2 (đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚ đ?‘–) = 2 − đ?‘– → đ?‘? đ?‘Ž + đ?‘? 2 đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 đ?‘?Ě‚ = − 2 đ?‘Ž + đ?‘?2 đ?‘ŽĚ‚ =

đ?‘Ž

đ?‘Ž2

đ?‘?

Esto implica que đ?‘§Ě‚ = đ?‘ŽĚ‚ + đ?‘?Ě‚đ?‘– = đ?‘Ž2 +đ?‘?2 − đ?‘Ž2 +đ?‘?2 đ?‘–, por lo tanto, esta propiedad cumple con su igualdad.

Se concluye, que las ocho Propiedades Elementales de la DefiniciĂłn Anillo Unitario y su propiedad caracterĂ­stica, si cumplen, por lo tanto, el sistema (đ??¸, +, ∗) tiene Estructura de Anillo con Campo o Cuerpo.

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3. Conclusiones.

Los conceptos principales y secundarios de esta temรกtica, fue: a) Explicar el Concepto de Operaciรณn Binaria. b) Demostrar las Propiedades de Operaciรณn Binaria. c) Definir el Sistema, para la Estructura de Grupo o de Anillo. d) Identificar la Estructura Algebraica, que tiene su Sistema, mediante el Anรกlisis de sus Propiedades, para dos Operaciones Binarias en el Conjunto Dado.

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