Programa Sintético del Curso de Didáctica de las Matemáticas II para MADEMS del SUAYED

Didáctica de las matemáticas II

Bienvenido al curso a distancia sobre didáctica de las Matemáticas II. En este curso se espera que el estudiante de la maestría, a través de las lecturas elegidas, conozca cuales son las diferentes expresiones que hay que considerar en la didáctica de las matemáticas.

Objetivo general: El estudiante conocerá elementos que le permitan apoyar el aprendizaje de la Geometría, del cálculo, de la probabilidad y estadística con la ayuda que la tecnología le otorga; para que pueda analizar los problemas planteados dentro de estos contenidos.

Unidades temáticas: 1. La Geometría 1.1.Euclidiana 1.2. Analítica, Lugares geométricos 1.3. Resolución de problemas 2. El Cálculo Diferencial e Integral 2.1. Didáctica del Cálculo 2.2. El uso de las tecnologías para la enseñanza del cálculo.

3. Estadística y Probabilidad 3.1. Didáctica de la Estadística, 3.2. Estadística con proyectos.

Método didáctico

Se leerán los documentos, se enviará su control de lectura y se realizarán las actividades.

Evaluación

Se evaluarán los controles de lectura y las actividades realizadas.

Referencias •

Cálculo y tecnología:

http://mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/data/docs/Dc2l3taQW10.pdf •

Cálculo Diferencial e Integral. Azcárate et al. Ed. Síntesis, Madrid, Es. (1996)

http://www.emis.de/journals/BAMV/conten/vol10/matias-carmen.pdf •

Didáctica del Cálculo Diferencial

http://www.funlam.edu.co/administracion.modulo/NIVEL-02/Calculo.pdf •

Didáctica de la Estadística, Carmen Batanero B. Ed. Síntesis, Madrid, Es. (1997)

http://cumbia.ath.cx/ugr/phmc/PDF/Bataneroetal.pdf •

El papel de los proyectos en la enseñanza y el aprendizaje de la Estadística

http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/CEIO.pdf •

El desarrollo del concepto de derivada

www.researchgate.net/publication/...El.../9fcfd512761cc58ce8.pdf •

Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemática para maestro

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ •

La enseñanza del Cálculo desde la Ingeniería Didáctica

http://repem.exactas.unlpam.edu.ar/cdrepem06/memorias/comunicaciones/Trabinvest/CTI 7.pdf •

Didáctica de la Estadística, Carmen Batanero B. Ed. Síntesis, Madrid, Es. (2001)

http://www.uruguayeduca.edu.uy/Userfiles/P0001%5CFile%5C118didacticaestadistica.pdf

Didáctica de las matemáticas II

Unidad 1. La Geometría

Objetivo general: El alumno será capaz de apoyar la enseñanza de la Geometría por medio del manejo de la tecnología así también con problemas, desarrollo histórico de ésta, lecturas e investigaciones de los contenidos presentados.

Recuperación de experiencias previas Propósito: al finalizar la actividad el alumno será capaz de analizar algunas de las problemáticas mas importantes en lo referente a la enseñanza y aprendizaje de la Geometría.

De acuerdo con tu experiencia como docente o estudiante, participa en el foro señalando cuáles consideras que son los problemas más importantes de la enseñanza y el aprendizaje de las Geometrías.

1.- Si eres el primero en participar en el foro Lee el comentario con el que tu asesor inició el foro. Pulsa la leyenda ‘Responder’, redacta un comentario que incluya tu opinión sobre lo escrito por el asesor en el área de texto y da clic en el botón ‘Enviar al foro’. Recuerda seleccionar la opción que dice “No deseo recibir copias de este foro por correo” porque saturarás tu cuenta.

2.- Si ya existen participaciones en el foro Lee las participaciones de tus compañeros, elige alguno de los comentarios y responde, tu aportación deberá incluir, además de tu opinión, las razones a favor y/o en contra de la participación de tu(s) compañero(s) que hayas elegido.

Geometría y su didáctica para maestros: el Modelo Van Heile

En la didáctica de la geometría ha tenido una fuerte influencia el trabajo desarrollado por Pierre Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof para comprender y orientar el desarrollo del pensamiento geométrico de los estudiantes. El modelo teórico conocido como de “los niveles de van Hiele” comenzó a proponerse en 1959 y ha sido objeto de abundantes experimentaciones e investigaciones que han llevado a introducir diversas matizaciones, pero que aún continúa siendo útil para organizar el currículo de geometría en la educación primaria y secundaria.

En este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales. Cada uno de los cinco niveles describe procesos de pensamiento que se ponen en juego ante tareas y situaciones geométricas. A continuación describimos brevemente las características de los cinco niveles y los tipos de actividades que pueden desarrollarse en cada uno de ellos

Los niveles van Hiele son cinco, se suelen nombrar con números del 1 a 5, siendo esta notación la más utilizada; aunque también existe la notación del 0 al 4.

Nivel 0 : Visualización o Reconocimiento Nivel 1 : Análisis Nivel 2 : Ordenación o clasificación Nivel 3 : Deducción Formal Nivel 4 : Rigor

•

Nivel 0 Visualización o Reconocimiento

En este nivel los objetos se perciben en su totalidad como un todo, no diferenciando sus características y propiedades.

Las descripciones son visuales y tendientes a asemejarlas con elementos familiares.

Ejemplo: identifica paralelogramos en un conjunto de figuras. Identifica ángulos y triángulos en diferentes posiciones en imágenes.

•

Nivel 1 Análisis

Se perciben propiedades de los objetos geométricos. Pueden describir objetos a través de sus propiedades (ya no solo visualmente). Pero no puede relacionar las propiedades unas con otras.

Ejemplo: un cuadrado tiene lados iguales. Un cuadrado tiene ángulos iguales •

Nivel 2 Ordenación o clasificación

Describen los objetos y figuras de manera formal. Entienden los significados de las definiciones. Reconocen como algunas propiedades derivan de otras. Establecen relaciones entre propiedades y sus consecuencias.

Los estudiantes son capaces de seguir demostraciones. Aunque no las entienden como un todo, ya que, con su razonamiento lógico solo son capaces de seguir pasos individuales.

Ejemplo: en un paralelogramo, lados opuestos iguales implican lados opuestos paralelos.

Lados opuestos paralelos implican lados opuestos iguales.

•

Nivel 3 Deducción Formal

En este nivel se realizan deducciones y demostraciones. Se entiende la naturaleza axiomática y se comprende las propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos.

Van Hiele llama a este nivel la esencia de la matemática Ejemplo: demuestra de forma sintética o analítica que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

•

Nivel 4 Rigor

Se trabaja la geometría sin necesidad de objetos geométricos concretos. Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos y se puede analizar y comparar.

Se aceptará una demostración contraria a la intuición y al sentido común si el argumento es válido.

Geometría Euclidiana: Breve historia La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra".

Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fue Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría

euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5º postulado de Euclides: "por un punto situado fuera de una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella".

Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas "geometrías no euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.

Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo.

El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.

La geometría euclidiana puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La geometría plana estudia las figuras contenidas en un plano y la geometría del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

Geometría Analítica: Lugares geométricos

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

Ejemplos de lugares geométricos en el plano: El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos fijos y (los dos extremos de un segmento de recta, por ejemplo) es una recta, llamada mediatriz. La bisectriz es también un lugar geométrico. Fijado un ángulo, delimitado por dos rectas, la bisectriz es la recta que cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a las rectas anteriores.

Secciones cónicas.

Las secciones cónicas y pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos: Insertar Recurso RFC 02 Fichero •

La circunferencia

Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio).

•

La elipse

Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud el semieje mayor de la elipse).

•

La parábola

Es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz.

•

La hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.

Resolución de problemas

¿Qué es un buen problema? _ Representa un desafío para quien lo intenta resolver _ No deja bloqueado de entrada a quien lo ha de resolver _ Tiene interés por sí mismo _ Estimula en quien lo resuelve el deseo de proponerlo a otras personas _ Proporciona al resolverlo un determinado placer difícil de explicar pero agradable

Estrategias de resolución de problemas: descripción y ejemplos.

Las estrategias nos permiten transformar el problema en una situación más sencilla y que sepamos resolver.

Es conveniente y necesario a la hora de resolver problemas, conocer las posibles estrategias o herramientas heurísticas que existen. Estas son:

•

Analogía o semejanza.

•

Simplificar y particularizar.

•

Organización y codificación.

Técnicas asociadas: Esquema, Notación, Lenguaje, Figura, Diagrama, Gráfico, Modelos manipulativos.

•

Ensayo y error.

•

Trabajar marcha atrás o considerar el problema resuelto.

•

Experimentación:

-

Sacar pautas, regularidades y leyes.

•

Modificar el problema.

-

Descomposición en problemas más pequeños.

-

Proponer sub-problemas, sub-metas.

-

Utilizar menor número de variables, datos, etc.

•

Conjeturar.

-

Empezar por casos sencillos

-

Intentar llevar adelante las conjeturas.

•

Exploración.

-

Saca partido a la simetría.

-

Analiza los casos límite.

•

Técnicas generales.

-

Supón que no..... Reducción al absurdo o contradicción.

-

Método de Inducción Matemática.

-

Principio del Palomar de Dirichlet.

•

Recuento.

-

Realiza un conteo parcial -

Practica los recuentos exhaustivos.

Referencias: •

Esferas de Dandelín:

sitios.usac.edu.gt/seccionesconicas/esfera_dandelin_quetelet.html •

El Modelo de los Van Helie

http://biblo.una.edu.ve/docu.7/bases/marc/texto/m2451b.pdf#page=92 •

Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemática para maestro

http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/ • Resolución de problemas: 2.caminos.upm.es/.../Problemas/ESTRATEGIAS%20HEURÍSTICA,Maria Molero y Adela Salvador • Test geométrico aplicando el modelo de Van Helie de Fernando Fouz: http://www.hezkuntza.ejgv.euskadi.net/r43573/es/contenidos/informacion/dia6_sigma/es_sigma/adjuntos/sigma_28/5_test_geometric o.pdf •

www.cecytebc.edu.mx/HD/archivos/antologias/geometria_analitica.pdf

Didáctica de las matemáticas II

Unidad 2. El Cálculo Diferencial e Integral

Objetivo general: El alumno será capaz de apoyar la enseñanza del Cálculo por medio de su desarrollo histórico, resolución de problemas, con lecturas e investigaciones sobre los principales problemas de aprendizaje con la ayuda de la tecnología.

DIFICULTADES ASOCIADAS CON LOS OBJETOS BÁSICOS DEL CÁLCULO Michèle Artigue en su artículo “La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos” nos señala: Las dificultades de acceso al cálculo son de diversa índole y se imbrican y refuerzan mutuamente en redes complejas. Por lo tanto es posible reagruparlas en grandes categorías. Esto es lo que haremos en este apartado al examinar sucesivamente tres grandes tipos de dificultades: 1.Aquellas asociadas con la complejidad de los objetos básicos del cálculo (números reales, sucesiones, funciones) 2. Aquellas asociadas a la conceptualización y a la formalización de la noción de límite 3. Aquellas vinculadas con las rupturas necesarias con relación a los modos de pensamiento puramente algebraico, muy familiar, y a las especificidades del trabajo técnico en el Cálculo.

A continuación mencionaremos las primeras: Cuando se inicia la enseñanza del cálculo, los números reales y las funciones no son objetos que los estudiantes desconocen del todo. El cálculo con los números irracionales, las situaciones funcionales ligadas a . las funciones lineales y afines se ha trabajado, por ejemplo en Francia, en los dos últimos grados del colegio. En el primer grado del liceo, el estudio de las funciones ocupa un lugar importante.

Pero se trata de objetos “en construcción” que no se pueden considerar “inertes” a medida que se efectúa el aprendizaje del cálculo. El aprendizaje del cálculo se convertirá justamente en uno de los motores de su conceptualización.

Los números reales

Numerosas investigaciones muestran, por ejemplo, que, para los estudiantes, las relaciones existentes entre los diferentes conjuntos de números que se encuentran en el curso de las extensiones sucesivas empíricas del cuadro numérico distan de ser claras. Si para los estudiantes, R comprende categorías diferentes de números (los enteros, las fracciones, los decimales, los números que se expresan con radicales y otros como π, todas estas categorías tienden a confundirse en la asociación entre número real y número decimal (con un número decimal reducido).

Esta asociación tiende a reforzarse con el uso de las calculadoras. De igual manera, si hay asociación de los reales con la recta numérica, esta asociación no corresponde necesariamente con nuestra visión del continuo numérico.

Numerosos trabajos han evidenciado lo inadecuado de las concepciones topológicas de que los estudiantes se han formado (Robinet, 1986).

Por ejemplo, los tests para la admisión a las universidades muestran claramente que para una mayoría considerable de estudiantes la propiedad: n , no implica la igualdad de los reales a y b, sino sólo una gran proximidad entre ellos (Robert & Boschet, 1984). Esto confirma los resultados que había obtenido B. Cornu en su tesis (Cornu, 1983).

Las funciones

En lo concerniente a las funciones, los resultados obtenidos en numerosas investigaciones (para una visión sintética consultar Eisenberg, 1991; Leinhardt et. al., 1990; y Dubinski & Harel, 1992) evidencian un conjunto de dificultades en el aprendizaje que distan de ser solucionadas cuando comienza la enseñanza del cálculo.

•

El concepto de función.

Se han detectado dificultades con la identificación de lo que en verdad es una función.

Varias investigaciones se han concentrado en este aspecto. Las primera de ellas se desarrollaron con enfoques conjuntistas de esta noción. Ellas mostraron la brecha existente entre las definiciones dadas por los estudiantes, de un lado, y los criterios utilizados en las tareas de reconocimiento de objetos funcionales o de clasificación de funciones y no funciones dadas en registros diferentes, del otro lado (Vinner, 1983). Los criterios traducían en efecto una concepción de la noción de función organizada no en torno a la definición, sino alrededor de prototipos comunes encontrados, de la asociación entre función y fórmula o de la asociación función-curva regular. Estos criterios conducían a rechazar funciones y a admitir objetos no funcionales. Además, tampoco había coherencia global porque los criterios dependían fuertemente del registro de representación utilizado. Como se podía esperar, la evolución de la enseñanza y la desaparición de las definiciones conjuntistas

poco modificaron estos criterios que se encontraban inminentemente ligados a la relación dominante que mantienen los estudiantes de este nivel con el objeto función.

•

La flexibilidad proceso-concepto.

Se han detectado dificultades para desarrollar la flexibilidad entre la función vista como un “proceso” y la función vista como una “entidad conceptual”, flexibilidad que se necesita cuando se trabaja en el cálculo a partir de un cierto nivel. Las investigaciones en esta dirección (Dubinsky & Harel, 1992 y Sfard, 1989) se apoyaron en la distinción entre los dos status de los objetos matemáticos: el status operacional, dinámico y el status estructural, estático. A través de estudios de orden cognitivo e histórico, estas investigaciones muestran que, con frecuencia en la historia de los conceptos, el primer status precede al segundo, aun si en la secuencia su desarrollo se vuelve más dialéctico; y que, parece ser, en el aprendizaje individual sucede lo mismo. También han descubierto el salto cualitativo, denominado “encapsulación” o “reificación”, que se refiere al paso de una concepción de la función donde se pueden considerar y manipular procesos particulares, a una concepción donde la función puede percibirse como entidad conceptual, independiente de tal o cual proceso susceptible de engendrarla, que hace parte a su vez de procesos más complejos13, o como un elemento de una clase de objetos (clase de los objetos solución de tal o cual ecuación funcional, clase de los objetos que poseen tal o cual propiedad – funciones derivables, lipschitzianas, etc.–).

•

Las articulaciones de los registros simbólicos.

También se han encontrado dificultades para articular los diferentes registros simbólicos de las expresiones de la noción de función. Una vez más los trabajos son muchos y los resultados concordantes. Junto con las dificultades cognitivas que son reales en las conversiones de un registro a otro14, o en el trabajo dentro de un mismo registro, por ejemplo en el registro gráfico cuando se deben manejar simultáneamente dos niveles de información (informaciones sobre la función y su derivada), estas investigaciones señalan como causa de las dificultades los hábitos de la enseñanza tradicional. El gran predominio que en ella se le otorga al registro algebraico y el status infra-matemático que se da al registro gráfico impiden manejar adecuadamente este tipo de dificultades y ayudar al estudiante a construir las flexibilidades necesarias en este nivel. En los últimos años se han desarrollado numerosos trabajos que han estudiado las posibilidades que ofrecen las herramientas informáticas, bien sea calculadoras gráficas o computadores, con capacidad para presentar varios tipos de representaciones por medio de sistemas de ventanas múltiples. Si bien algunos resultados son alentadores, hay que reconocer también que las investigaciones ponen al descubierto fenómenos de adaptación perceptiva global, cuya corrección y profundidad matemática no son fáciles de controlar y cuya capacidad de transferencia a otros ambientes no es evidente.

•

El status de herramienta y los cambios de cuadros.

Finalmente se han encontrado dificultades para considerar las funciones como herramientas verdaderas del trabajo matemático y, de forma más notoria, para traducir al cuadro de las funciones problemas que han sido planteados en otros cuadros matemáticos (numérico, geométrico, o externos a las matemáticas) y que necesitan de tal traducción para ser resueltos.

Leer el artículo completo: “La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos” para conocer aquellas dificultades asociadas a la conceptualización y a la formalización de la noción de límite, centro del campo del cálculo y aquellas vinculadas con las rupturas necesarias con relación a los modos de pensamiento puramente algebraicos, muy familiares, y a las especificidades del trabajo técnico en el cálculo.

BREVE HISTORIA DEL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

El cálculo infinitesimal, llamado por brevedad "cálculo", tiene su origen en la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño). Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" o exhaución para encontrar el área de un círculo con la exactitud finita requerida mediante el uso de polígonos regulares inscritos de cada vez mayor número de lados. En el periodo tardío de Grecia, el neoplatónico Pappus de Alejandría hizo contribuciones sobresalientes en este ámbito.

Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo en el periodo antiguo.

En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660), en Inglaterra y Leibniz en Alemania (hacia 1670) quienes demostraron que los problemas del área y la tangente son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo.

El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravitación universal, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca controversias sobre quién de los dos fue el primero. Newton utilizó el cálculo en mecánica en el marco de su tratado "Principios matemáticos de filosofía natural", obra científica por excelencia, llamando a su método de "fluxiones". Leibniz utilizó el cálculo en el problema de la tangente a una curva

en un punto, como límite de aproximaciones sucesivas, dando un carácter más filosófico a su discurso. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz por su versatilidad.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y duda sobre sus fundamentos. De hecho, la noción de límite, central en el estudio del cálculo, era aun vaga e imprecisa en ese entonces. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley.

En el siglo XIX el trabajo de los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los conceptos de límite en términos de épsilon delta y de derivada, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Fue el periodo de la fundamentación del cálculo. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos.

En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales, al mismo tiempo que la aparición de las Computadoras ha incrementado las aplicaciones y velocidad del cálculo.

Actualmente, el cálculo infinitesimal tiene un doble aspecto: por un lado, se ha consolidado su carácter disciplinario en la formación de la sociedad culta del conocimiento, destacando en este ámbito textos propios de la disciplina como el de Louis Leithold, el de Earl W. Swokowski o el de James Stewart entre muchos otros; por otro su desarrollo como disciplina científica que ha desembocado en ámbitos tan especializados como el cálculo fraccional, la teoría de funciones analíticas de variable compleja o el análisis matemático. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a la topología algebraica y la topología diferencial entre muchas otras ramas.

El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna: es fundamento para el cálculo numérico aplicado en casi todos los campos técnicos y/o científicos cuya principal característica es la continuidad de sus elementos, en especial en la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como la construcción, aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso del cálculo.

Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc.

QUÉ ES LO QUE ESTUDIA EL CÁLCULO

El cálculo diferencial e integral es el estudio de las funciones, por ende la enseñanza del mismo tiene como propósito mostrar propiedades importantes de las funciones. Al ser las funciones, el modelo matemático por excelencia de casi cualquier ciencia, el cálculo diferencial e integral constituye materia obligada, en la currícula de las carreras de ingeniería, ciencias e incluso en carreras del área de ciencias sociales. Sin embargo, los reportes de fallas en el aprendizaje del cálculo son frecuentes y por ende este es uno de los problemas que más preocupa a la comunidad educativa (ANUIES 2002).

Sin intentar minimizar aspectos de corte socioeconómico y político, indudablemente que una de las posibles razones de este fracaso, es que la enseñanza de las matemáticas, y en particular el cálculo, se polariza en dos extremos: por un lado ésta se conduce con una fuerte carga operativa en deterioro de la parte conceptual, y por el otro, la enseñanza del cálculo se ejerce con fuerte herencia de la matemática formal. Ambas conducen a una pobre comprensión de los conceptos y de su aplicación. Incluso, es creencia común en los estudiantes que hacer matemáticas significa hacer operaciones puntuales, manipular signos y memorizar (Skemp 1976, Orton 1983, Carpenter 1996).

El advenimiento de software de manipulación simbólica, de procesamiento de datos, de cálculo de raíces, etc. hace de la computadora y/o calculadora una herramienta incuestionable en la enseñanza de las matemáticas. Visualizar un curso de cálculo diferencial sin el uso de la tecnología, sería desaprovechar uno de los recursos más importantes, con los que un profesor puede contar hoy en día. Pero también, pensar que el uso de la tecnología resolvería todos los problemas de enseñanza y aprendizaje, sería algo ingenuo. En este sentido se advierte que el profesor deberá tener cuidado en los procesos matemáticos ocultos y las nuevas representaciones de fórmulas, números y datos producidos por el software (Lagrange, 2005).

Leer el artículo “Cálculo y Tecnología “: Enseñanza del Cálculo y computadoras

Referencias: •

ARQUÍMEDES: EL MÉTODO - Gobierno de Canarias

www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/usrn/.../cap15_web.pdf •

Enseñanza del Cálculo y computadoras

mattec.matedu.cinvestav.mx/el_calculo/data/docs/Dc2l3taQW10.pdf •

Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemática para maestro

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ • La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos (pág. 105) ingeniería didáctica en educación matemática funes.uniandes.edu.co/676/1/Artigueetal195.pdf •

Principio de Cavalieri

jorge-fernandez.es/charlas/cavalieri/index.html

-

Funes

-

Universidad

Didáctica de las matemáticas II

Unidad 3. Estadística y Probabilidad

Objetivo general: El alumno será capaz de apoyar la enseñanza la Estadística y Probabilidad por medio de su desarrollo histórico, resolución de problemas, con lecturas e investigaciones sobre los principales problemas de aprendizaje con la ayuda de la tecnología.

BREVE ACERCAMIENTO DE LA ESTADÍSTICA Y LA PROBABILIDAD

Propósito: al finalizar la actividad serás capaz de entender algunas aplicaciones que tiene la Estadística en el campo de acción real.

Objetivos de la enseñanza de la Estadística:

"Utilizar técnicas elementales de recogida de datos para obtener información sobre fenómenos y situaciones de su entorno; representarla de forma gráfica y numérica y formarse un juicio sobre la misma"

•

Conceptos:

1. La representación gráfica 2. Las tablas de datos.

3. Tipos de gráficos estadísticos: diagramas de barras, diagramas lineales, etc.

4. Carácter aleatorio de algunas experiencias.

•

Procedimientos:

1) Exploración sistemática, descripción verbal e interpretación de los elementos significativos de gráficos sencillos relativos a fenómenos familiares.

2) Recogida y registro de datos sobre objetos, fenómenos y situaciones familiares utilizando técnicas elementales de encuesta, observación y medición.

3) Elaboración de gráficos estadísticos con datos poco numerosos relativos a situaciones familiares.

4) Expresión sencilla del grado de probabilidad de un suceso experimentado por el alumno.

•

Actitudes:

1) Actitud crítica ante las informaciones y mensajes transmitidos de forma gráfica y tendencia a explorar todos los elementos significativos.

2) Valoración de la expresividad del lenguaje gráfico como forma de representar muchos datos.

3) Sensibilidad y gusto por las cualidades estéticas de los gráficos observados o elaborados.

LA PROBABILIDAD COMO NUEVA ENSEÑANZA La principal razón para introducir el estudio de las situaciones aleatorias y las nociones básicas sobre probabilidad en la enseñanza es que las tales situaciones son frecuentes en la vida cotidiana.

Azar y lenguaje En nuestras conversaciones, juegos, cuentos y canciones infantiles, prensa y literatura encontramos con frecuencia referencias al azar. Por ejemplo, los niños usan canciones como “Pito –pito” para echar a suertes en el escondite o en el rescate, juegan al parchís, la oca, organizan sorteos, etc.

•

El azar en la realidad

Al tratar de buscar ejemplos de fenómenos aleatorios encontramos cuatro grandes campos de aplicación de la estadística relacionados con el hombre: el mundo biológico, físico, social y político.

•

Campo biológico

Dentro del campo biológico, vemos que muchas características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: el sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, recuento de hematíes, etc., dependen incluso del momento en que se miden.

•

Campo médico

En medicina, la posibilidad de contagio o no en una epidemia, la edad en que se sufre una enfermedad infantil, la duración de un cierto síntoma, o la posibilidad de un diagnóstico correcto cuando hay varias posibles enfermedades que presentan síntomas parecidos varían de uno a otro chico. El efecto posible de una vacuna, el riesgo de reacción a la misma, la posibilidad de heredar una cierta enfermedad o defecto, o el modo en que se determina el recuento de glóbulos rojos a partir de una muestra de sangre son ejemplos de situaciones aleatorias.

•

Campo de la geografía

Cuando se hacen predicciones sobre la población mundial o en una región dada para el año 2050, por ejemplo, o sobre la posibilidad de extinción de las ballenas, se están usado estudios probabilísticos de modelos de crecimiento de poblaciones, de igual forma que

cuando se hacen estimaciones de la extensión de una cierta enfermedad o de la esperanza de vida de un individuo.

•

Campo de la agricultura y zootecnia

En agricultura y zootecnia se utilizan estos modelos para prever el efecto del uso de fertilizantes o pesticidas, evaluar el rendimiento de una cosecha o las consecuencias de la extensión de una epidemia, nube tóxica, etc.

•

Campo psicofisiología

Por último, y en el ámbito de la psicofisiología, observamos el efecto del azar sobre el cociente intelectual o en la intensidad de respuesta a un estímulo, así como en los tipos diferentes de caracteres o capacidades de los individuos.

ANTECEDENTES HISTORICOS BREVES Los orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas de recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones china (aproximadamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de Números aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que precisamente fue un censo lo que motivó del viaje de José y María a Belén, según el Evangelio. Los censos propiamente dichos eran ya una institución el siglo IV a.C. en el imperio romano.

Sin embargo, sólo muy recientemente la estadística ha adquirido la categoría de ciencia.

En el siglo XVII surge la Aritmética política, desde la escuela alemana de Conring, quien imparte un curso con este título en la universidad de Helmsted. Posteriormente su discípulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y análisis de datos numéricos, con fines específicos y en base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan ya los elementos básicos del método estadístico. Para los aritméticos políticos de los siglos XVII y XVIII la estadística era el arte de gobernar; su función era la de servir de ojos y oídos al gobierno.

La proliferación de tablas numéricas permitió observar la frecuencia de distintos sucesos y el descubrimiento de leyes estadísticas. Son ejemplos notables los estudios de Graunt sobre tablas de mortalidad y esperanza de vida a partir de los registros estadísticos de Londres desde 1592 a 1603, o los de Halley entre 1687 y 1691 para resolver el problema de las rentas vitalicias en las compañías de seguros. En el siglo XIX se descubren las leyes de los grandes números con Bernouilli y Poisson.

Otro problema que recibe gran atención por parte de los matemáticos de su tiempo, como Euler, Simpson, Lagrange, Laplace, Legendre y Gauss es el del ajuste de curvas a los datos. La estadística logra con estos descubrimientos una relevancia científica creciente, siendo reconocida por la British Association for the Advancement of Science, como una sección en 1834, naciendo así la Royal Statistical Society. En el momento de su fundación se definió la estadística como "conjunto de hechos, en relación con el hombre, susceptibles de ser expresados en números, y lo suficiente numerosos para ser representados por leyes".

Se crearon poco a poco sociedades estadísticas y oficinas estadísticas para organizar la recogida de datos estadísticos; la primera de ellas se creó en Francia en 1800. Como consecuencia, fue posible comparar las estadísticas de cada país en relación con los demás, para determinar los factores determinantes del crecimiento económico y comenzaron los congresos internacionales, con el fin de homogeneizar los métodos usados. El primero de ellos fue organizado por Quetelet en Bruselas en 1853.

Posteriormente, se decidió crear una sociedad estadística internacional, naciendo en 1885 el Instituto Internacional de Estadística (ISI) que, desde entonces celebra reuniones bianuales. Su finalidad específica es conseguir uniformidad en los métodos de recopilación y obtención de resultados e invitar a los gobiernos al uso correcto de la estadística en la solución de los problemas políticos y sociales. En la actualidad el ISI cuenta con 5 secciones, una de las cuales, la IASE, fundada en 1991, se dedica a la promoción de la Educación Estadística.

ESTADISTICA CON PROYECTOS La estadística es hoy día una materia interdisciplinar que se utiliza no sólo en la clase de matemáticas, sino en otras disciplinas donde se convierte en herramienta de resolución de problemas. Los proyectos están concebidos para introducir en la clase una filosofía exploratoria y participativa, en tendencias con las recomendaciones recientes sobre metodología de enseñanza de la estadística.

Lo deseable sería que los propios alumnos eligieran el tema en el que quieren trabajar y elaborasen sus propios proyectos en grupos de dos o tres alumnos. Para ser realistas, hemos de reconocer que son pocos los alumnos que se interesan por la estadística y que ésta es una materia aburrida para ellos.

Referencias:

•

Didáctica de la Estadística, Carmen Batanero B. Ed. Síntesis, Madrid.

www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/libros/didacticaestadistica.pdf

•

Didáctica de la Estadística, Carmen Batanero B. Ed. Síntesis, Madrid.

http://cumbia.ath.cx/ugr/phmc/PDF/Bataneroetal.pdf

•

El papel de los proyectos en la enseñanza y el aprendizaje de la Estadística.

http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/CEIO.pdf

•

Estocástica y su didáctica para maestros.

http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/6_Estocastica.pdf

•

Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestro.

http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

•

Redalyc.Una propuesta para la enseñanza de la probabilidad en la ...

www.redalyc.org/pdf/405/40516671006.pdf