04 em 08 emedpt semana7

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología Enseñanza de las matemáticas 4° Semestre Fase 2. Formación matemática Módulo 08 Ecuaciones diferenciales parciales y transformadas Unidad 2. Transformada de Laplace

Unidad 2. Transformada de Laplace

Semana 7.

SoluciĂłn de ecuaciones diferenciales ordinarias La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Supongamos por ejemplo que queremos resolver la ecuaciĂłn diferencial de segundo orden: đ?‘‘" đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś + đ?›ź + đ?›˝đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ą) đ?‘‘đ?‘Ą " đ?‘‘đ?‘Ą donde đ?›ź y đ?›˝ son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales đ?‘Ś 0 = đ??´ y đ?‘Ś . 0 = đ??ľ. Donde đ??´ y đ??ľ son constantes dadas. Tomando la transformada de Laplace a cada lado de la ecuaciĂłn diferencial y usando las condiciones iniciales dadas, obtenemos una ecuaciĂłn algebraica para determinar â„’ đ?‘Ś(đ?‘Ą) = đ?‘Œ(đ?‘ ). La soluciĂłn requerida se obtiene al calcular la transformada inversa de Laplace de đ?‘Œ(đ?‘ ). Éste mĂŠtodo se puede extender fĂĄcilmente a ecuaciones diferenciales de orden superior.

La transformada de Laplace puede utilizarse tambiĂŠn para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyos coeficientes son variables. Una ecuaciĂłn especial en la cual el mĂŠtodo resulta particularmente Ăştil es aquella en la cual cada uno de sus tĂŠrminos es de la forma đ?‘Ą3đ?‘Ś

4

(đ?‘Ą), cuya transformada de Laplace es −1

8 3 7 â„’ 79 8

đ?‘Ś

4

(đ?‘Ą) .

AsĂ­ mismo, la transformada de Laplace puede usarse para resolver dos o mĂĄs ecuaciones diferenciales simultĂĄneas. A continuaciĂłn, te mostramos algunos ejemplos de cĂłmo el mĂŠtodo de Laplace es muy Ăştil para resolver de manera rĂĄpida ecuaciones diferenciales.

Ejemplo 1. Sea đ?‘Ś . − đ?‘Ś = 2 cos 5đ?‘Ą, con condiciones iniciales đ?‘Ś 0 = 0.

Aplicando el operador de Laplace a la ecuaciĂłn diferencial

đ?‘ đ?‘Œ đ?‘ − đ?‘Ś 0 − đ?‘Œ đ?‘ = UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

đ?‘ "

2đ?‘ + 25 2

Unidad 2. Transformada de Laplace

Despejando la respuesta de la ecuaciĂłn diferencial en el espacio de la frecuencia đ?‘ đ?‘Œ đ?‘ =

đ?‘ "

2đ?‘ + 25 đ?‘ − 1

Aplicando el operador inverso para encontrar la soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial en el tiempo.

đ?‘Ś đ?‘Ą = â„’ @A

donde: đ??´ =

A AC

,đ??ľ = −

â„’ @A

"E AC

,đ?‘? = −

G9HI 9 J H"E

+

K 9@A

2đ?‘ + 25 đ?‘ − 1

đ?‘ "

= â„’ @A

đ??´đ?‘ + đ??ľ đ??ś + " đ?‘ + 25 đ?‘ − 1

A AC

=

A AC

â„’ @A

9 9 J H"E

−

"E AC(E)

â„’ @A

A(E) 9 J H"E

−

A AC

â„’ @A

A 9@A

finalmente đ?‘Ś đ?‘Ą =

1 5 1 cos 5đ?‘Ą − sen 5đ?‘Ą − đ?‘’ P 13 13 13

2) Sea đ?‘Ś .. − 9đ?‘Ś = đ?‘’ P , con condiciones iniciales đ?‘Ś 0 = 0, đ?‘Ś . 0 = 0 Aplicando el operador de Laplace a la ecuaciĂłn diferencial

đ?‘ " đ?‘Œ đ?‘ − đ?‘ đ?‘Ś 0 − đ?‘Ś . 0 + 9đ?‘Œ đ?‘ =

1 đ?‘ −1

Despejando a đ?‘Œ đ?‘ , soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial en el espacio de la frecuencia đ?‘ .

đ?‘Œ đ?‘ =

1 đ?‘ − 1 đ?‘ " + 9

UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

3

Unidad 2. Transformada de Laplace Aplicando el operador inverso de Laplace para encontrar la soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial en el tiempo

đ?‘Ś đ?‘Ą = â„’ @A

donde đ??´ =

A AR

, đ??ľ=−

A AR

,đ??ś = −

1 đ?‘ − 1 đ?‘ " + 9

= â„’ @A

đ??´ đ??ľđ?‘ + đ??ś + " đ?‘ −1 đ?‘ +9

A AR

Por lo tanto â„’ @A

đ??´ đ??ľđ?‘ + đ??ś 1 @A 1 1 đ?‘ 1 1(3) + " = â„’ − â„’ @A " − â„’ @A " đ?‘ −1 đ?‘ +9 10 đ?‘ −1 10 đ?‘ +9 10(3) đ?‘ +9 đ?‘Ś đ?‘Ą =

1 P 1 1 1 P sen 3đ?‘Ą đ?‘’ − cos 3đ?‘Ą − sen 3đ?‘Ą = đ?‘’ − cos 3đ?‘Ą − 10 10 30 10 3

3) Sea đ?‘Ś . + đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ą), donde đ?‘“ đ?‘Ą =

0, 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą < 1 = 5đ?&#x2018;˘(đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1), y condiciones iniciales 5, đ?&#x2018;Ą â&#x2030;Ľ 1 đ?&#x2018;Ś 0 =0

Aplicando el operador de Laplace a la ecuaciĂłn diferencial 5đ?&#x2018;&#x2019; @9 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ś 0 + đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018; = đ?&#x2018; Despejando a đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018; , la respuesta de la ecuaciĂłn diferencial en el espacio de la frecuencia đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x152; đ?&#x2018; =

5đ?&#x2018;&#x2019; @9 đ?&#x2018; đ?&#x2018; +1

Aplicando el operador inverso de Laplace para encontrar la soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial en el tiempo y usando el segundo teorema de traslaciĂłn

UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

4

Unidad 2. Transformada de Laplace đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ą = â&#x201E;&#x2019; @A

5đ?&#x2018;&#x2019; @9 đ?&#x2018; đ?&#x2018; +1

đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ą) = 5đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1 ¡ 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; @P

= 5â&#x201E;&#x2019; @A đ?&#x2018;&#x2019; @9 Pâ&#x2020;&#x2019;P@A

1 đ?&#x2018; đ?&#x2018; +1

= 5đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; A@P

Finalmente đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ą = 5đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 1 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2019; A@P

Cierre de la unidad El dominio de la transformada de Laplace como herramienta de anĂĄlisis te permitirĂĄ analizar problemas fĂ­sicos que estĂŠn modelados mediante ecuaciĂłn diferencial. Su aplicaciĂłn se extiende a otros campos de la ciencia y la tecnologĂ­a. En la siguiente unidad usaremos la herramienta matemĂĄtica estudiada hasta el momento (transformadas de Fourier y Laplace) para resolver problemas fĂ­sicos que se caracterizan mediante ecuaciones diferenciales parciales. Estos problemas son la ecuaciĂłn del calor y el problema de la cuerda vibrante.

Fuentes de consulta BĂĄsica [1] Boyce, W. y DiPrima, R. (2001). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. USA: Jhon Wiley & Sons. Cap. 6 Disponible en http://www.dcc.ufrj.br/~vitormaia/down/Boyce,DiPrima.ElementaryDifferentialEquations .pdf Complementaria [2] CĂĄnovas, J. (2012). Apuntes de transformadas y ecuaciones.

Disponible en http://www.dmae.upct.es/~jose/ampmat/ecuaytran.pdf [3] Aranda, V. y Gruenberg, V. (s/f ). Apuntes transformada de Laplace. Chile.

UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

5

Unidad 2. Transformada de Laplace Disponible en: http://nelson.net63.net/mat023/pdfmat023/Apunte_Laplace_V4.pdf [4] Sacerdoti, J. (2005). Transformada de Laplace. Argentina.

Disponible en: http://materias.fi.uba.ar/61107/Apuntes/La00.pdf

UNADM | DCEIT | EM | EMEDPT

6