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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 3. Inferencia estadística

Módulo 4 Unidad 3. Inferencia estadística

IMPORTANTE

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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos.

(UnADM), 2016.

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MĂłdulo 4 Unidad 3. Inferencia estadĂ­stica

Semana 10 Las siguientes dos distribuciones se encuentran relacionadas con la varianza muestral đ?‘† " . La distribuciĂłn đ?œ’ " se utiliza para estimar la varianza poblacional đ?œŽ " ; asĂ­ que en esta secciĂłn hablamos acerca de la distribuciĂłn del estadĂ­stico

đ?‘› − 1 đ?‘†"

đ?œŽ"

en vez de solamente considerar

� ".

DistribuciĂłn đ??Œđ?&#x;? “chi-cuadradaâ€?

Si đ?‘† " es la varianza de una muestra aleatoria de tamaĂąo đ?‘› que se toma de una poblaciĂłn normal que tiene la varianza đ?œŽ " , entonces el estadĂ­stico đ?‘› − 1 đ?‘†" đ?œ’ = = đ?œŽ"

-

"

,./

đ?‘‹, − đ?‘‹ đ?œŽ"

"

tiene una distribuciĂłn chi cuadrada con đ?œˆ = đ?‘› − 1 grados de libertad.

Ejemplo 1 Supongamos que tomamos una muestra de tamaĂąo 10 para una poblaciĂłn normal.

Calcular el valor đ?&#x153;&#x2019;1" tal que P đ?&#x153;&#x2019;1" < đ?&#x153;&#x2019; " = 0.95.

Podemos utilizar el software GeoGebra para el cĂĄlculo de probabilidades.

En GeoGebra 4 primero seleccionamos Probability Calculator (CĂĄlculos de Probabilidad).

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En GeoGebra 5 cambiamos la vista a Cálculo de Probabilidades.

Para la ventana emergente, seleccionamos la ditribución Chi Cuadrado (Chi-Squared) y en grados de libertad df (degrees of freedom) seleccionamos 9 porque la muestra es de tamaño 10.

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Seleccionamos calcular la probabilidad por el lado derecho e introducimos la probabilidad dada que es 0.95 para obtener 3.3251.

Ejemplo 2 Se toma una muestra de tamaĂąo 10 para una poblaciĂłn normal. Calcular P đ?&#x153;&#x2019; " < 5 .

Ocupando nuevamente el software GeoGebra obtenemos lo siguiente

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Es decir la probabilidad buscada es 0.1657.

Ejemplo 3 Un fabricante de lĂĄmparas asegura que su producto durarĂĄ 4 aĂąos con desviaciĂłn estĂĄndar de 1 aĂąo. Se toman 4 lĂĄmparas y tienen las siguientes duraciones: 2.3, 3, 4,2 y 4.5 aĂąos. ÂżCĂłmo podremos comprobar que la desviaciĂłn estĂĄndar es de un aĂąo?

Primero se calcula la varianza đ?&#x2018;&#x2039; = 3.5 đ?&#x2018;&#x2020; " = 1.03 Y por lo tanto đ?&#x153;&#x2019;" = 3 â&#x2C6;&#x2014;

/.;< /

= 3.09.

La variable aleatoria tiene una distribuciĂłn Chi-cuadrada con 4 grados de libertad y lo que vamos hacer es identificar si el valor 3.09 es atĂ­pico o no.

Decidimos que si el valor no pertenece al 95% de la poblaciĂłn entonces el valor es atĂ­pico. La elecciĂłn del 95% es comĂşn. Deseamos escoger un intervalo que precisamente contenga el 95% de los valores y si el valor 3.09 cae fuera de este intervalo entonces serĂĄ un valor atĂ­pico, esto es, pertenece al 5%.

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A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al 2.5% de la población a la derecha de la media que es 4.

A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al 2.5% de la población a la izquierda de la media que es 4.

A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al intervalo que contiene el 95% de la población

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Como el 95% de los datos se encuentran entre 0.4844 y 11.1433, y 3.09 se encuentra en ese intervalo el resultado se considera razonable.

Cuando no se conoce đ?&#x153;&#x2021; y se considera la distribuciĂłn de -

,./

đ?&#x2018;&#x2039;, â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039; đ?&#x153;&#x17D;"

"

Hay 1 grado menos de libertad.

En la muestra aleatoria de la distribuciĂłn normal hay n grados de libertad o partes de informaciĂłn independiente. Cuando los datos se utilizan para calcular la media, hay un grado menos de libertad en la informaciĂłn que se utiliza para estimar đ?&#x153;&#x17D; " .

A menudo una estimaciĂłn de đ?&#x153;&#x17D; debe ser proporcionada por la misma informaciĂłn muestral que produce el promedio muestral đ?&#x2018;Ľ.

En este enlace se muestra la distribuciĂłn chi cuadrada, asĂ­ como sus aplicaciones.

KhanAcademyEspanol (2015) DistribuciĂłn chi cuadrado[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=9Gg_hieE2w8

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DistribuciĂłn đ?&#x2018;­.

Finalmente mostramos como se usa la distribuciĂłn đ??š para comparar las varianzas muestrales; esto es, dada una muestra 1 de tamaĂąo đ?&#x2018;&#x203A;/ con varianza đ?&#x2018;&#x2020;/" y dada una muestra 2 de tamaĂąo đ?&#x2018;&#x203A;" con varianza đ?&#x2018;&#x2020;" una forma de comparar las dos varianza muestrales es considerando el cociente đ?&#x2018;&#x2020;/"

ABC

, đ?&#x2018;&#x2020;""

pero mejor aĂşn se considera el estadĂ­stico

DBC

ACC

.

DCC

Sean đ?&#x2018;&#x2C6; y đ?&#x2018;&#x2030; dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones chi cuadrada con đ?&#x153;&#x2C6;/ y đ?&#x153;&#x2C6;" grados de libertad, respectivamente. Entonces, la distribuciĂłn de la variable aleatoria đ??š = G/IB J/IC

esta dada por la funciĂłn de densidad Î&#x201C; â&#x201E;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C; =

đ?&#x153;&#x2C6;/ + đ?&#x153;&#x2C6;" đ?&#x153;&#x2C6;/ IB /" IB đ?&#x2018;&#x201C; " 2 đ?&#x153;&#x2C6;" đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x153;&#x2C6; đ?&#x2018;&#x201C; Î&#x201C; / Î&#x201C;( " ) 1+ / 2 2 đ?&#x153;&#x2C6;

Q/

(IB SIC)/C

, đ?&#x2018;&#x201C; > 0

"

0. đ?&#x2018;&#x201C; â&#x2030;¤ 0. Ă&#x2030;sta se conoce como la distribuciĂłn F con đ?&#x153;&#x2C6;/ y đ?&#x153;&#x2C6;" grados de libertad.

Ejemplo 1 Se tiene una poblaciĂłn A y una poblaciĂłn B, se toma una muestra de cada una de las poblaciones y se obtienen los siguientes resultados: PoblaciĂłn A PoblaciĂłn B

17.1

18.2

15.0

13.9

14.5

14.6

18.3

19.1

12.3

12.4

13.6

11.9

12.1

11.8

11.3

11.4

12.2

13.4

Vamos a utilizar los datos anteriores para comparar las varianzas poblacionales asumiendo en primer lugar que estas son iguales.

Calculemos un valor đ?&#x2018;&#x201C;1 tal que P đ?&#x2018;&#x201C; > đ?&#x2018;&#x201C;1 = 0.01. Se escribe tambiĂŠn como P đ?&#x2018;&#x201C; > đ?&#x2018;&#x201C;;.;/ = 0.01.

Por medio de GeoGebra obtenemos que đ?&#x2018;&#x201C;;.;/ = 6.72.

Tenemos entonces para nuestro caso đ?&#x2018;&#x203A;/ = 8 con đ?&#x2018;&#x2020;/" = 4.24 y đ?&#x2018;&#x203A;" = 10 con đ?&#x2018;&#x2020;"" = 0.58, y ademĂĄs đ?&#x153;&#x17D;" = đ?&#x153;&#x17D;/ . Chequemos que con estos datos, el cociente que se describe a continuaciĂłn satisface que es mayor que 6.72 đ?&#x2018;&#x2020;/" đ?&#x153;&#x17D;/" P > 6.72 = 0.01. đ?&#x2018;&#x2020;"" đ?&#x153;&#x17D;""

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Se cumple que 7.31 > 6.72, es decir 𝑆/" 𝑆""

𝜎/"

=

4.24 = 7.31.

0.58

𝜎"" Por lo tanto la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales es aceptable.

Ejemplo 2 Para dos poblaciones diferentes, ambas con distribución normal, se toma una muestra de cada una de tamaño 25.

ABC

Calcular un valor 𝑓1 tal que P

ACC

DBC

> 𝑓1

= 0.05.

DCC

Esto es, consideramos la distribución 𝐹 con 𝜈/ = 24 grados de libertad y 𝜈" = 24 grados de libertad. Checamos con la tabla o software y se obtiene 𝑓1 = 1.98.

ABC

Calcular un valor 𝑓1 tal que P ABC

Utilizamos la relación P ABC

P

ACC

DBC

ACC

ACC

DBC

DBC

< 𝑓1

= 0.05.

DCC ABC

< 𝑓1

=1−P

DCC

ACC

DBC

> 𝑓1 . Quiere decir que necesitamos

DCC

> 𝑓1 =0.95.

DCC

Después utilizamos la relación 𝑓/Q;.;[ 19,19 =

/ \].]^ (/_,/_)

=

/ /._`

= 0.51.

Vamos a asumir que las varianzas poblacionales son iguales 𝜎/" = 𝜎"" .

La varianza muestral de la primera muestra es 𝑆/" = 3.42 y para la segunda se tiene 𝑆"" = 4.75.

Si el valor 𝐹 cae dentro del intervalo encontrado, una persona no contaría con pruebas que refuten tal afirmación: que efectivamente las varianzas poblacionales son iguales. En caso contrario contaría con pruebas que refuten tal afirmación. Para el valor concreto 𝐹=

3.42 = 0.72, 4.75

no contamos con información suficiente que refute dicha afirmación.

Intuitivamente estamos indicando que la probabilidad de que 𝐹 caiga en este intervalo es 0.1.

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El enlace que aparece a continuación describe algunas deducciones de las propiedades de la distribución 𝐹 así como algunos cálculos explícitos con esta distribución.

Luis Rincón (2015) 0625 Distribución 𝐹[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=jThY_l7AlnI

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