Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 3. Inferencia estadística
Módulo 4 Unidad 3. Inferencia estadística
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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.
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MĂłdulo 4 Unidad 3. Inferencia estadĂstica
Semana 10 Las siguientes dos distribuciones se encuentran relacionadas con la varianza muestral đ?‘† " . La distribuciĂłn đ?œ’ " se utiliza para estimar la varianza poblacional đ?œŽ " ; asĂ que en esta secciĂłn hablamos acerca de la distribuciĂłn del estadĂstico
đ?‘› − 1 đ?‘†"
đ?œŽ"
en vez de solamente considerar
đ?‘† ". DistribuciĂłn đ??Œđ?&#x;? “chi-cuadradaâ€? Si đ?‘† " es la varianza de una muestra aleatoria de tamaĂąo đ?‘› que se toma de una poblaciĂłn normal que tiene la varianza đ?œŽ " , entonces el estadĂstico đ?‘› − 1 đ?‘†" đ?œ’ = = đ?œŽ"
-
"
,./
đ?‘‹, − đ?‘‹ đ?œŽ"
"
tiene una distribuciĂłn chi cuadrada con đ?œˆ = đ?‘› − 1 grados de libertad. Ejemplo 1 Supongamos que tomamos una muestra de tamaĂąo 10 para una poblaciĂłn normal. Calcular el valor đ?œ’1" tal que P đ?œ’1" < đ?œ’ " = 0.95. Podemos utilizar el software GeoGebra para el cĂĄlculo de probabilidades. En GeoGebra 4 primero seleccionamos Probability Calculator (CĂĄlculos de Probabilidad).
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En GeoGebra 5 cambiamos la vista a Cálculo de Probabilidades.
Para la ventana emergente, seleccionamos la ditribución Chi Cuadrado (Chi-Squared) y en grados de libertad df (degrees of freedom) seleccionamos 9 porque la muestra es de tamaño 10.
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Seleccionamos calcular la probabilidad por el lado derecho e introducimos la probabilidad dada que es 0.95 para obtener 3.3251. Ejemplo 2 Se toma una muestra de tamaĂąo 10 para una poblaciĂłn normal. Calcular P đ?œ’ " < 5 . Ocupando nuevamente el software GeoGebra obtenemos lo siguiente
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Es decir la probabilidad buscada es 0.1657. Ejemplo 3 Un fabricante de lĂĄmparas asegura que su producto durarĂĄ 4 aĂąos con desviaciĂłn estĂĄndar de 1 aĂąo. Se toman 4 lĂĄmparas y tienen las siguientes duraciones: 2.3, 3, 4,2 y 4.5 aĂąos. ÂżCĂłmo podremos comprobar que la desviaciĂłn estĂĄndar es de un aĂąo? Primero se calcula la varianza đ?‘‹ = 3.5 đ?‘† " = 1.03 Y por lo tanto đ?œ’" = 3 ∗
/.;< /
= 3.09.
La variable aleatoria tiene una distribuciĂłn Chi-cuadrada con 4 grados de libertad y lo que vamos hacer es identificar si el valor 3.09 es atĂpico o no. Decidimos que si el valor no pertenece al 95% de la poblaciĂłn entonces el valor es atĂpico. La elecciĂłn del 95% es comĂşn. Deseamos escoger un intervalo que precisamente contenga el 95% de los valores y si el valor 3.09 cae fuera de este intervalo entonces serĂĄ un valor atĂpico, esto es, pertenece al 5%. UNADM | DCEIT | EM | EMPE
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A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al 2.5% de la población a la derecha de la media que es 4.
A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al 2.5% de la población a la izquierda de la media que es 4.
A continuación se agrega la imagen del cálculo correspondiente al intervalo que contiene el 95% de la población
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Como el 95% de los datos se encuentran entre 0.4844 y 11.1433, y 3.09 se encuentra en ese intervalo el resultado se considera razonable. Cuando no se conoce đ?œ‡ y se considera la distribuciĂłn de -
,./
đ?‘‹, − đ?‘‹ đ?œŽ"
"
Hay 1 grado menos de libertad. En la muestra aleatoria de la distribuciĂłn normal hay n grados de libertad o partes de informaciĂłn independiente. Cuando los datos se utilizan para calcular la media, hay un grado menos de libertad en la informaciĂłn que se utiliza para estimar đ?œŽ " . A menudo una estimaciĂłn de đ?œŽ debe ser proporcionada por la misma informaciĂłn muestral que produce el promedio muestral đ?‘Ľ. En este enlace se muestra la distribuciĂłn chi cuadrada, asĂ como sus aplicaciones.
KhanAcademyEspanol (2015) DistribuciĂłn chi cuadrado[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=9Gg_hieE2w8
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DistribuciĂłn đ?‘. Finalmente mostramos como se usa la distribuciĂłn đ??š para comparar las varianzas muestrales; esto es, dada una muestra 1 de tamaĂąo đ?‘›/ con varianza đ?‘†/" y dada una muestra 2 de tamaĂąo đ?‘›" con varianza đ?‘†" una forma de comparar las dos varianza muestrales es considerando el cociente đ?‘†/"
ABC
, �""
pero mejor aĂşn se considera el estadĂstico
DBC
ACC
.
DCC
Sean đ?‘ˆ y đ?‘‰ dos variables aleatorias independientes que tienen distribuciones chi cuadrada con đ?œˆ/ y đ?œˆ" grados de libertad, respectivamente. Entonces, la distribuciĂłn de la variable aleatoria đ??š = G/IB J/IC
esta dada por la función de densidad Γ ℎ � =
đ?œˆ/ + đ?œˆ" đ?œˆ/ IB /" IB đ?‘“ " 2 đ?œˆ" đ?œˆ đ?œˆ đ?œˆ đ?‘“ Γ / Γ( " ) 1+ / 2 2 đ?œˆ
Q/
(IB SIC)/C
, đ?‘“ > 0
"
0. đ?‘“ ≤ 0. Ésta se conoce como la distribuciĂłn F con đ?œˆ/ y đ?œˆ" grados de libertad. Ejemplo 1 Se tiene una poblaciĂłn A y una poblaciĂłn B, se toma una muestra de cada una de las poblaciones y se obtienen los siguientes resultados: PoblaciĂłn A PoblaciĂłn B
17.1
18.2
15.0
13.9
14.5
14.6
18.3
19.1
12.3
12.4
13.6
11.9
12.1
11.8
11.3
11.4
12.2
13.4
Vamos a utilizar los datos anteriores para comparar las varianzas poblacionales asumiendo en primer lugar que estas son iguales. Calculemos un valor đ?‘“1 tal que P đ?‘“ > đ?‘“1 = 0.01. Se escribe tambiĂŠn como P đ?‘“ > đ?‘“;.;/ = 0.01. Por medio de GeoGebra obtenemos que đ?‘“;.;/ = 6.72. Tenemos entonces para nuestro caso đ?‘›/ = 8 con đ?‘†/" = 4.24 y đ?‘›" = 10 con đ?‘†"" = 0.58, y ademĂĄs đ?œŽ" = đ?œŽ/ . Chequemos que con estos datos, el cociente que se describe a continuaciĂłn satisface que es mayor que 6.72 đ?‘†/" đ?œŽ/" P > 6.72 = 0.01. đ?‘†"" đ?œŽ""
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Se cumple que 7.31 > 6.72, es decir 𝑆/" 𝑆""
𝜎/"
=
4.24 = 7.31. 0.58
𝜎"" Por lo tanto la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales es aceptable. Ejemplo 2 Para dos poblaciones diferentes, ambas con distribución normal, se toma una muestra de cada una de tamaño 25. ABC
Calcular un valor 𝑓1 tal que P
ACC
DBC
> 𝑓1
= 0.05.
DCC
Esto es, consideramos la distribución 𝐹 con 𝜈/ = 24 grados de libertad y 𝜈" = 24 grados de libertad. Checamos con la tabla o software y se obtiene 𝑓1 = 1.98. ABC
Calcular un valor 𝑓1 tal que P ABC
Utilizamos la relación P ABC
P
ACC
DBC
ACC
ACC
DBC
DBC
< 𝑓1
= 0.05.
DCC ABC
< 𝑓1
=1−P
DCC
ACC
DBC
> 𝑓1 . Quiere decir que necesitamos
DCC
> 𝑓1 =0.95.
DCC
Después utilizamos la relación 𝑓/Q;.;[ 19,19 =
/ \].]^ (/_,/_)
=
/ /._`
= 0.51.
Vamos a asumir que las varianzas poblacionales son iguales 𝜎/" = 𝜎"" . La varianza muestral de la primera muestra es 𝑆/" = 3.42 y para la segunda se tiene 𝑆"" = 4.75. Si el valor 𝐹 cae dentro del intervalo encontrado, una persona no contaría con pruebas que refuten tal afirmación: que efectivamente las varianzas poblacionales son iguales. En caso contrario contaría con pruebas que refuten tal afirmación. Para el valor concreto 𝐹=
3.42 = 0.72, 4.75
no contamos con información suficiente que refute dicha afirmación. Intuitivamente estamos indicando que la probabilidad de que 𝐹 caiga en este intervalo es 0.1.
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El enlace que aparece a continuación describe algunas deducciones de las propiedades de la distribución 𝐹 así como algunos cálculos explícitos con esta distribución.
Luis Rincón (2015) 0625 Distribución 𝐹[Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=jThY_l7AlnI
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