02 em 04 empe uda2 s7

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad

Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad

IMPORTANTE

Excepto donde el contenido así lo especifique, esta obra está bajo una Licencia de Creative Commons

Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos.

(UnADM), 2016.

UNADM | DCEIT | EM | EMPE

2

MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad

Semana 7 Valor esperado y varianza de una variable aleatoria En los ejercicios anteriores hemos identificado la funciĂłn de distribuciĂłn que describe el problema y nos condujo al cĂĄlculo de probabilidades. Una vez que identificamos la funciĂłn de distribuciĂłn vamos a proceder a calcular el valor esperado de la variable. El valor esperado de una variable aleatoria discreta se define como

) %*+ đ?‘Ľ% P(đ?‘‹

đ??¸ đ?‘‹ =

= đ?‘Ľ% ) .

Ejemplo. Considere la siguiente variable aleatoria

đ?‘‹ P(đ?‘‹ = đ?‘Ľ)

0 4 12

1 5 12

Su valor esperado es đ??¸ đ?‘‹ = 0 ∙

2 34

+1∙

6 34

+2∙

2 1 12 3 34

+3∙

4 34

=

38 34

3 2 12

= 1.08.

El valor esperado de una variable aleatoria continua se define como )

đ??¸ đ?‘‹ =

đ?&#x2018;ĽP(đ?&#x2018;&#x2039; = đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . <)

TambiĂŠn se suele encontrar las notaciones đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x153;&#x2021;> = đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039; .

Ejemplo: 3

Sea đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ś =

đ?&#x2018;Ś 8 , cuando 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 2

2

0, cuando y=0.

Se tiene que 4

4

đ??¸ đ?&#x2018;&#x152; =

đ?&#x2018;ŚP đ?&#x2018;&#x152; = đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = +

UNADM | DCEIT | EM | EMPE

+

1 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;Ś 8 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = 4

4

+

1 2 11 6 2 1 6 1 6 1 6 8 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ś = 2 â&#x2C6;&#x2019; 0 = 2 = 0 20 4 45 20 20 5

3

MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad

A continuaciĂłn agregamos un enlace en el que se describe el concepto del valor esperado tanto discreto y continuo. AdemĂĄs se muestra el cĂĄlculo del valor esperado por medio de algunos ejemplos.

Mary Salm (2013)Valor esperado [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=K9m5P92ICHE

En el siguiente enlace se muestran algunas propiedades del valor esperado y su demostraciĂłn.

Luis RincĂłn(2013)0625 Esperanza: propiedades [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=0kowS0mEOcU

La varianza de una variable aleatoria discreta se define como )

đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2039; = đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021;

4

(đ?&#x2018;Ľ% -Âľ)4 P(đ?&#x2018;&#x2039; = đ?&#x2018;Ľ% )

= %*+

La varianza de una variable aleatoria continua se define como đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2039; = đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021;

4

)

=

(đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021;)4 P(đ?&#x2018;&#x2039; = đ?&#x2018;Ľ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

<)

TambiĂŠn se utiliza la siguiente notaciĂłn đ?&#x153;&#x17D; 4 = đ?&#x153;&#x17D;>4 = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2039; .

Ejemplo: De los ejemplos anteriores calcularemos su varianza.

UNADM | DCEIT | EM | EMPE

4

MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad

đ?&#x2018;&#x2039;=x f(x)=P(đ?&#x2018;&#x2039; = đ?&#x2018;Ľ) đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

0 4 12 0

đ?&#x2018;Ľ 4 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)

0

1 5 12 5 12 5 12

2 1 12 2 12 4 12

3 2 12 6 12 9 12

Total 1 13 12 18 12

Podemos observar que đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ = 1.083 y que đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039; 4 =

đ?&#x153;&#x2021;=đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039; =

đ?&#x2018;Ľ 4 đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ = 1.5

por lo tanto, la variancia es: đ?&#x153;&#x17D; 4 = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2039; = đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039; 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x153;&#x2021; 4 = 1.5 â&#x2C6;&#x2019; (1.083)4 = 0.327 y la desviaciĂłn estĂĄndar: đ?&#x153;&#x17D; = 0.571 Ejemplo: 3

Sea đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ś =

2

đ?&#x2018;Ś 8 , cuando 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ 2 0, cuando y=0.

Se tiene que đ??¸ đ?&#x2018;&#x152; = đ??¸ đ?&#x2018;&#x152;4 =

4

4

đ?&#x2018;Ś 4 P đ?&#x2018;&#x152; = đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś =

+

+

1 đ?&#x2018;Ś 4 đ?&#x2018;Ś 8 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = 4

4

+

8 5

1 6 11 X 2 1 X 1 X 1 X 8 đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ś = 2 â&#x2C6;&#x2019; 0 = 2 = 0 24 4 46 24 24 3

Por lo tanto, la varianza es: 4

đ?&#x153;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x2030;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2039; = đ??¸ đ?&#x2018;&#x2039;

4

8 8 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2021; = â&#x2C6;&#x2019; 3 5 4

4

=

8 75

y la desviaciĂłn estĂĄndar: đ?&#x153;&#x17D; = 0.3266

UNADM | DCEIT | EM | EMPE

5

MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad

El siguiente enlace corresponde a un video en el que se enuncia la definiciĂłn de la varianza.

AdemĂĄs se calcula la varianza a travĂŠs de ejemplos.

Luis RincĂłn(2013)0625 Varianza: definiciĂłn [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=YiHzJgg0OB8

A continuaciĂłn aparece un enlace de un viedeo en el que se enuncian las propiedades de la varianza y se demuestran. NĂłtese en este caso la diferencia entre las demostraciones y la resoluciĂłn de ejercicios. Las demostraciones nos muestran un poco de la deducciĂłn de las propiedades, i.e., nos aportan formaciĂłn en cuanto a la teorĂ­a.

Luis RincĂłn(2013)0625 Varianza: propiedades [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=I6Gcr5BUJt4

La siguiente table, es un resĂşmen de las funciones de distribuciĂłn mĂĄs importantes. Aparece tambiĂŠn el valor esperado y la varianza correspondiente. En futuros ejercicios se te va a pedir que identifiques el tipo de distribuciĂłn que modela el problema y puedes remitirte a esta tabla para utilizar la ecuaciĂłn correspondiente asĂ­ como hacer uso del correspondiente valor esperado y varianza.

DistribuciĂłn Binomial HipergeomĂŠtrica

Binomial Negativa

EcuaciĂłn đ?&#x2018;&#x203A; [ ]<[ đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; , đ?&#x2018;Ľ = 0,1,2, , â&#x20AC;Ś . , đ?&#x2018;&#x203A;. đ?&#x2018;Ľ

_ [

`<_ ]<[ ` ]

en donde 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x203A;.

đ?&#x2018;Ś â&#x2C6;&#x2019; 1 d e<d đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17E; , đ?&#x2018;&#x;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x;, đ?&#x2018;&#x; + 1, đ?&#x2018;&#x; + 22, â&#x20AC;Ś, 0â&#x2030;¤đ?&#x2018;?â&#x2030;¤1

đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ś =

UNADM | DCEIT | EM | EMPE

Valor Esperado đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2021;=

đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;

đ?&#x153;&#x2021;=

đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;?

Varianza đ?&#x153;&#x17D; 4 = đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x153;&#x17D;4 =

đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x2DC; đ?&#x2018;&#x203A; 1â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;

đ?&#x153;&#x17D;4 =

đ?&#x2018;&#x;(1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) đ?&#x2018;?4

6

MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad

1 đ?&#x2018;? đ?&#x153;&#x2021;=đ?&#x153;&#x2020;

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; [<3 , con x=1,2,3,â&#x20AC;Ś

GeomĂŠtrica

fg

Poisson

[!

đ?&#x153;&#x2021;=

đ?&#x2018;&#x2019; <f

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?4 đ?&#x153;&#x17D;4 = đ?&#x153;&#x2020;

đ?&#x153;&#x17D;4 =

con đ?&#x2018;Ľ = 1,2,3, â&#x20AC;Ś Exponencial

Uniforme

Normal

Gamma

đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ =

đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2019; <f[ , cuando đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;Ľ 0 0, cuando x<0.

3

đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ =

m<n

0, en otro caso.

đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ =

1 đ?&#x153;&#x17D; 2đ?&#x153;&#x2039; <

đ?&#x2018;&#x2019;

<

.

3 [<u w 4 v .

[

đ?&#x2018;Ľ x<3 đ?&#x2018;&#x2019; y đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ = βx Î&#x201C; đ?&#x203A;ź , 0â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x17E; 0, en otro caso.

â&#x20AC;&#x17E;

[

đ?&#x2018;Ľ (4)<3 đ?&#x2018;&#x2019; <4 , 0â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ < â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ = 2 â&#x20AC;&#x17E;4 Î&#x201C; đ?&#x153;?

2 0, en otro caso. ) Î&#x201C; đ?&#x203A;ź = + đ?&#x2018;Ľ x<3 đ?&#x2018;&#x2019; <[ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ .

UNADM | DCEIT | EM | EMPE

đ?&#x153;&#x2021;=

1 đ?&#x153;&#x2020;

đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;&#x17D; 2

đ?&#x153;&#x17D;4 =

đ?&#x153;&#x17D;4 =

1 đ?&#x153;&#x2020;4

(đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;)4 12

đ?&#x153;&#x2021;

đ?&#x153;&#x17D;4

đ?&#x153;&#x2021; = đ?&#x203A;źđ?&#x203A;˝

đ?&#x153;&#x17D; 4 = đ?&#x203A;źđ?&#x203A;˝ 4

đ?&#x153;&#x2021;=đ?&#x153;?

đ?&#x153;&#x17D; 4 = 2đ?&#x153;?

) x<3 <[ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ . +

Î&#x201C; đ?&#x203A;ź = đ?&#x153;&#x2019;4 (đ??˝đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D;)

, cuando aâ&#x2030;¤đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;?

đ?&#x153;&#x2021;=

7