Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 2. Probabilidad
Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad
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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos. (UnADM), 2016.
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MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad Semana 4 Fundamentos de probabilidad: axiomas de la probabilidad FunciĂłn de probabilidad. En la secciĂłn anterior aplicamos tĂŠcnicas elementales de conteo para calcular de cuĂĄntas formas era posible efectuar un experimento. Los posibles resultados de un experimento se conoce como conjunto universal y esto lo denotamos por Ί. Primeramente vamos a considerar al conjunto universo Ί, y sobre este conjunto vamos a definir una funciĂłn de probabilidad P: đ?‘ƒ(Ί) → đ?‘…) , que cumple las siguientes propiedades 1. P ∅ = 0 2. P Ί = 1 3. P đ??´ âˆŞ đ??ľ = P đ??´ + P(đ??ľ), siempre que đ??´ ∊ đ??ľ = ∅. De estos tres axiomas se infieren las siguientes propiedades, 1. P đ??´ ≤ P(đ??ľ), siempre que đ??´ ⊆ đ??ľ. 2. P đ??´ âˆŞ đ??ľ = P đ??´ + P đ??ľ − P(đ??´ ∊ đ??ľ), para cualesquier đ??´, đ??ľ ⊆ Ί. 3. P đ??´8 = 1 − P đ??´ . 4. đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ 8 = đ?‘ƒ đ??´ − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ .
Probabilidad de la uniĂłn de conjuntos. Esta regla se puede generalizar para mĂĄs conjuntos, es decir P đ??´ âˆŞ đ??ľ âˆŞ đ??ś = P đ??´ + P đ??ľ + P đ??ś − P đ??´ ∊ đ??ľ − P đ??´ ∊ đ??ś − P đ??ľ ∊ đ??ś + P(đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś), para cualesquier đ??´, đ??ľ, đ??ś ⊆ Ί. Para los conjuntos đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ ⊆ Ί P(đ??´ âˆŞ đ??ľ âˆŞ đ??ś âˆŞ đ??ˇ) = P(đ??´) + P(đ??ľ) + P(đ??ś) + P(đ??ˇ) −P(đ??´ ∊ đ??ľ) − P(đ??´ ∊ đ??ś) − P(đ??´ ∊ đ??ˇ) − P(đ??ľ ∊ đ??ś) − P(đ??ľ ∊ đ??ˇ) − P(đ??ś ∊ đ??ˇ) + P(đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś) + P(đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ˇ) + P(đ??´ ∊ đ??ś ∊ đ??ˇ) + P(đ??ľ ∊ đ??ś ∊ đ??ˇ) − P(đ??´ ∊ đ??ľ ∊ đ??ś ∊ đ??ˇ).
En este enlace encontrarĂĄs los axiomas de probabilidad 8CIFRAShttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2014) Axiomas y propiedades de
la probabilidad [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=6a0wa2Ra8c&list=PLpbLLqs33gIlUA665KviFCPBho-sX06s7&index=19
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MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad El siguiente video te presenta demostraciones de los axiomas de probabilidad. Luis RincĂłnhttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2013) 0625 Probabilidad
axiomĂĄtica [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=pwzWhCpirec
Ejemplos 1. Dado un experimento en el que đ?‘ƒ đ??´ = 8
a)đ?‘ƒ(đ??´ ) b) đ?‘ƒ(đ??´8 ∊ đ??ľ) c) đ?‘ƒ(đ??´8 âˆŞ đ??ľ 8 )
<< =>
,đ?‘ƒ đ??ľ =
=? >@
đ?‘Ś đ?‘ƒ đ??´ âˆŞ đ??ľ =
=< =>
, calcular:
SoluciĂłn: Para resolver este tipo de problemas debemos de hacer uso de los axiomas de probabilidad. a) đ?‘ƒ đ??´8 = 1 − đ?‘ƒ đ??´ = 1 −
<< =>
=
b) đ?‘ƒ đ??´8 ∊ đ??ľ = đ?‘ƒ đ??ľ − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ
<B =>
Como no conocemos đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ hay que calcularla, haciendo uso el axioma P đ??´ âˆŞ đ??ľ = P đ??´ + P đ??ľ − P(đ??´ ∊ đ??ľ) Despejamos y obtenemos que P đ??´ ∊ đ??ľ = P đ??´ + P đ??ľ − P đ??´ âˆŞ đ??ľ =
<< =>
+
=? >@
−
=< =>
=
? >@
, sĂ
obtenemos que đ?‘ƒ đ??´8 ∊ đ??ľ = đ?‘ƒ đ??ľ − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ =
27 7 2 − = 50 50 5
c) đ?‘ƒ(đ??´8 âˆŞ đ??ľ 8 ) Para calcular el valor utilizamos la leyes de De Morgan 7 43 đ?‘ƒ đ??´8 âˆŞ đ??ľ 8 = đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ)8 = 1 − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ = 1 − = 50 50
2. De 90 estudiantes de un colegio de matemĂĄticas, 40 estudian ĂĄlgebra, 50 estudian cĂĄlculo y 10 estudian ambos idiomas, determina la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:
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MĂłdulo 4 Unidad 2. Probabilidad
a) No estudie ĂĄlgebra ni cĂĄlculo b) Estudie al menos uno de las dos materias c) Estudie a lo mĂĄs una de las dos materias. d) Estudie exclusivamente ĂĄlgebra. SoluciĂłn: Primeramente hay que definir a los conjuntos que nos representen los datos del problema Sea: A:â€?estudian ĂĄlgebraâ€? B:â€?estudian cĂĄlculoâ€? Se tiene đ?‘ƒ đ??´ =
B@ H@
B
>@
H
H@
= đ?‘Ś đ?‘ƒ đ??ľ =
utiliza (đ??´ ∊ đ??ľ), por tanto đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ =
>
= , para representar a los que estudian ambos idiomas se <@ H@
H
=
< H
a) No estudie ĂĄlgebra ni cĂĄlculo Se representa como đ?‘ƒ đ??´8 ∊ đ??ľ 8 = đ?‘ƒ(đ??´ âˆŞ đ??ľ)8 = 1 − đ?‘ƒ đ??´ âˆŞ đ??ľ = 1 − đ?‘ƒ đ??´ + đ?‘ƒ đ??ľ − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ
=1−
B H
>
<
H
H
+ −
I
<
H
H
=1− =
b) Estudie al menos uno de las dos materias đ?‘ƒ đ??´âˆŞđ??ľ =đ?‘ƒ đ??´ +đ?‘ƒ đ??ľ −đ?‘ƒ đ??´âˆŠđ??ľ = c) Estudie a lo mĂĄs una de las dos materias.
4 5 1 8 + − = 9 9 9 9
đ?‘ƒ(đ??´ ∊ đ??ľ)8 = 1 − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ = 1 − d) Estudie exclusivamente ĂĄlgebra. đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ8 = đ?‘ƒ đ??´ − đ?‘ƒ đ??´ ∊ đ??ľ =
1 8 = 9 9
4 1 3 − = 9 9 9
3. En una mesa hay cuatro frutas diferentes, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que una persona coma tres frutas diferentes? Primero hay que calcular el tamaĂąo del espacio muestral. Que una persona coma una fruta es B đ??ś< Que una persona coma dos frutas es B đ??ś= Que una persona coma tres frutas es B đ??śL Que una persona coma cuatro frutas es B đ??śB
Denotamos por A: una persona coma tres frutas đ?‘ƒ(đ??´) = UNADM | DCEIT | EM | EMPE
B đ??śL B đ??ś< +B đ??ś= +B đ??śL +B đ??śB
=
4 15 5
Módulo 4 Unidad 2. Probabilidad Aquí explican ejercicios tipo de los ejemplos anteriores
Klasesdematematicashttp://profe-alexz.blogspot.mx/ (2014) Probabilidad y
Teoría de Conjuntos 12-Probabilidad y Regla Aditiva [Archivo de video] Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=hPY_jmcpMo4
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