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Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Licenciatura en Enseñanza de las matemáticas 2° Semestre Módulo 4. Probabilidad y Estadística Unidad 1. Estadística descriptiva

Módulo 4 Unidad 1. Estadística descriptiva

IMPORTANTE

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Material recopilado y desarrollado por académicos externos contratados Ex profeso para los Programas educativos de la DCEIT de la Universidad Abierta y a Distancia de México, para fines educativos.

(UnADM), 2016.

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MĂłdulo 4 Unidad 1. EstadĂ­stica descriptiva

Semana 2 Probabilidad frecuencial Una probabilidad frecuencial, como su nombre lo indica es la frecuencia con la que aparece un evento determinado.

La probabilidad frecuencial de un evento A debe cumplir 0 ≤ đ?‘ƒ đ??´ ≤ 1.

Sea el A un conjunto, tal que đ?‘ƒ đ??´ =

đ?‘“đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘’đ?‘›đ?‘™đ?‘Žđ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘Žđ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘“8 = đ?‘Ąđ?‘œđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘žđ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘Žđ?‘™đ?‘–đ?‘§đ?‘Žđ?‘’đ?‘™đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘›

.

Ejemplos: 1. Se lanza una moneda 10 veces. đ?›ş = {đ?‘Ž, đ?‘ , đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘ , đ?‘ , đ?‘ }. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que salga sol?

Sea đ??´ = {đ?‘?đ?‘Žđ?‘’ đ?‘ đ?‘œđ?‘™} đ?‘“8 4 = = 0.4. đ?‘› 10 2. Se lanza un dado obteniendo los siguientes resultados đ?‘ƒ đ??´ =

1

2

3

4

5

6

Cara

3

4

2

1

8

7

frecuencia

Calcule la probabilidad de que caiga un 4 đ?‘ƒ đ??ľ =

1 .

25

3. Se hizo una encuesta a hombres y mujeres que utilizan lavadora de las marcas 1, 2 y 3, obteniendo los siguientes resultados.

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Marca Género

1

2

3

M

10

15

5

H

2

4

15

Total

Total

a) b) c) d) e)

Calcula la probabilidad de que un encuestado elegido al azar sea hombre ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado escogido al azar sea mujer? ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y haya escogido la marca 3? ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado al azar no haya escogido la marca 2? ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o hay escogido la marca 1?

Soluciones Llenamos la tabla con los totales Marca Género

1

M

10

H Total

a) b) c) d)

CD ED FG ED DE ED FC ED

2

3

Total

15

5

30

2

4

15

21

12

19

20

51

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Conjuntos Hasta este punto has utilizado grĂĄficas de barras e histogramas para presentar la informaciĂłn.

Una forma de recolectar informaciĂłn es a travĂŠs de una encuesta, por ejemplo a grupo de personas para conocer el horario que acostumbra para irse a dormir, tambiĂŠn recogemos informaciĂłn sobre la edad o el sexo entre otras. Al hecho de realizar la encuesta se le conoce como experimento, y para llevar acabo el anĂĄlisis suponemos que dicha informaciĂłn es la Ăşnica con la que contamos. En lĂłgica a este hecho se le conoce como restringir el universo del discurso.

El conjunto universo se define como todos los posibles resultados de un experimento.El nombre queda a la perfecciĂłn, no existe nada mĂĄs allĂĄ de los datos que hemos recolectado.

El conjunto universo se denota por �. Si pensamos en los números del 1 al 10 escribimos � = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Utilizamos el diagrama de Venn para representarlo

Figura 2. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor.

El número de elementos en el universo o su cardinalidad se denota por � = 10.

Una vez que hemos establecido el universo del discurso podemos formar conjuntos.

Para denotar conjuntos utilizamos letras mayĂşsculas por ejemplođ??´, đ??ľ, đ??ś, ‌, etc.

Para agrupar personas (datos) con una caracterĂ­stica en comĂşn vamos a utilizar conjuntos. Por ejemplo si los encuestados fueron đ?›ş = {đ??˝đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›, đ?‘ƒđ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ, đ??żđ?‘˘đ?‘–đ?‘ , đ?‘†đ?‘˘đ?‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ž, đ??´đ?‘›đ?‘Ž}, que tiene diagrama de Venn:

Figura 3. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor.

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Tenemos el conjunto de hombres đ??ť = đ??˝đ?‘˘đ?‘Žđ?‘›, đ?‘ƒđ?‘’đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘œ, đ??żđ?‘˘đ?‘–đ?‘ , el conjunto de mujeres đ?‘€ = {đ?‘†đ?‘˘đ?‘ đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ž, đ??´đ?‘›đ?‘Ž}, que se representan

Figura 4. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor.

Si đ??´ = {1,2,3,4,5} para indicar pertenencia escribimos 2 ∈ đ??´, 1 ∈ đ??´, etc.

Para indicar que no pertenece escribimos 6 ∉ đ??´.

Para denotar elementos utilizamos letras minĂşsculas đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, ‌, etc.

En el ejemplo con los nombres podemos escribir đ?‘™ = đ??żđ?‘˘đ?‘–đ?‘ , đ?‘™ ∈ đ??ť pero đ?‘™ ∉ đ?‘€.

Dado que el objeto de transformaciĂłn del mĂłdulo es la prueba de hipĂłtesis, vamos a utilizar frases como “Si đ?‘Ľ > 8, entonces se rechaza đ??ťG favoreciendo la hipĂłtesis alterna đ??ťD â€?. El “si, entoncesâ€? es una implicaciĂłn lĂłgica y en la frase “el encuestado es hombre y es mayor de 20 aĂąosâ€? utilizamos el conector lĂłgico “yâ€?.

A continuaciĂłn escribimos los conectores lĂłgicos y su representaciĂłn mediante conjuntos.

La intersecciĂłn de dos conjuntos đ??´ ∊ đ??ľ, sucede en el caso đ?‘Ľ ∈ đ??´ ∊ đ??ľ, si đ?‘Ľ ∈ đ??´ y đ?‘Ľ ∈ đ??ľ. đ??´ đ??ľ đ??´ ∊ đ??ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

∈ đ??´ ∈ đ??´ ∉ đ??´ ∉ đ??´

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đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

∈ đ??ľ ∉ đ??ľ ∈ đ??ľ ∉ đ??ľ

đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

∈ đ??´ ∊ đ??ľ ∉ đ??´ ∊ đ??ľ ∉ đ??´ ∊ đ??ľ ∉ đ??´ ∊ đ??ľ

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Figura 5. IntersecciĂłn. Elaborado por el autor.

La uniĂłn de dos conjuntos đ??´ âˆŞ đ??ľ, sucede en el caso đ?‘Ľ ∈ đ??´ âˆŞ đ??ľ si, đ?‘Ľ ∈ đ??´ o đ?‘Ľ ∈ đ??ľ. đ??´ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

đ??ľ

∈ đ??´ ∈ đ??´ ∉ đ??´ ∉ đ??´

đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

∈ đ??ľ ∉ đ??ľ ∈ đ??ľ ∉ đ??ľ

đ??´ âˆŞ đ??ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘Ľ

∈ đ??´ âˆŞ đ??ľ ∈ đ??´ âˆŞ đ??ľ ∈ đ??´ âˆŞ đ??ľ ∉ đ??´ âˆŞ đ??ľ

Figura 6. UniĂłn. Elaborado por el autor.

El complemento de un conjunto đ??´ se denota por đ??´[ , sucede en el caso đ?‘Ľ ∈ đ??´[ , si đ?‘Ľ ∉ đ??´. đ??´ đ??´[ đ?‘Ľ ∈ đ??´ đ?‘Ľ ∉ đ??´

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đ?‘Ľ ∉ đ??´[ đ?‘Ľ ∈ đ??´[

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Figura 7. Complemento. Elaborado por el autor.

Es posible que en nuestros datos no haya elementos que cumplan una caracterĂ­stica en especĂ­fico, por ejemplo si nuestros datos son đ?›ş = {1,2,3,4,5} y đ??´ denota al conjunto de datos mayores que 6, entonces đ??´ es vacĂ­o porque nadie cumple con la condiciĂłn, es decir se escribe đ??´= o se utiliza đ??´ = ∅.

A continuaciĂłn agregamos una tabla en donde se resumen las propiedades importantes que cumplen las operaciones sobre conjuntos.

InvoluciĂłn o doble complemento đ??´[ [ = đ??´ Idempotencia Con respecto a la uniĂłn đ??´ âˆŞ đ??´ = đ??´ Con respecto a la intersecciĂłn đ??´ ∊ đ??´ = đ??´

Leyes de Morgan đ??´ âˆŞ đ??ľ [ = đ??´[ ∊ đ??ľ [ đ??´ ∊ đ??ľ [ = đ??´[ âˆŞ đ??ľ [ Leyes de neutro Denotamos por đ?›ş al conjunto universo Denotamos por ∅ al conjunto vacĂ­o đ??´ ∊ đ?›ş = đ??´ đ??´ âˆŞ ∅ = đ??´

Conmutatividad Con respecto a la uniĂłn đ??´ âˆŞ đ??ľ = đ??ľ âˆŞ đ??´ Con respecto a la intersecciĂłn đ??´ ∊ đ??ľ = đ??ľ ∊ đ??´

Ley del complemento đ??´ âˆŞ đ??´[ = đ?›ş đ??´ ∊ đ??´[ = ∅

Asociatividad Con respecto a la uniĂłn đ??´âˆŞđ??ľ âˆŞđ??ś =đ??´âˆŞ đ??ľâˆŞđ??ś Con respecto a la intersecciĂłn đ??´âˆŠđ??ľ ∊đ??ś =đ??´âˆŠ đ??ľâˆŠđ??ś

Leyes de inverso Denotamos por đ?›ş al conjunto universo Denotamos por ∅ al conjunto vacĂ­o đ??´ âˆŞ đ?›ş = đ?›ş đ??´ ∊ ∅ = ∅

Distributividad De la intersecciĂłn con respecto a la uniĂłn đ??´âˆŞđ??ľ ∊đ??ś = đ??´âˆŠđ??ś âˆŞ đ??´âˆŠđ??ľ De la uniĂłn con respecto a la intersecciĂłn đ??´âˆŠđ??ľ âˆŞđ??ś = đ??´âˆŞđ??ś ∊ đ??ľâˆŞđ??ś

Leyes de absorciĂłn đ??´ âˆŞ đ??´ ∊ đ??ľ = đ??´

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đ??´ ∊ đ??´ âˆŞ đ??ľ = đ??´

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Las proposiciones “tiene asesorĂ­as presenciales o en lĂ­neaâ€? y “tiene asesorĂ­as en lĂ­nea o presencialesâ€? son equivalentes, la justificaciĂłn de este hecho es la ley conmutativa para la uniĂłn.

La proposiciĂłn “no es cierto que, es casado y trabaja en el extranjeroâ€? es equivalente a la frase “no es casado o no trabaja en el extranjeroâ€?, la justificaciĂłn de este hecho es la ley de Morgan.

Las proposiciones “es jugador de tenis y es jugador de futbol, o es jugador de futbolâ€? y “es jugador de futbolâ€? son equivalentes, la justificaciĂłn de esto es la ley de absorciĂłn.

En los ejemplos que se muestran a continuaciĂłn incluimos los conceptos mencionados anteriormente 1.- Una caja contiene 100 manzanas. Se sabe que contiene manzanas nacionales e importadas y tambiĂŠn se sabe que el triple de las importadas es igual al de las nacionales. ÂżCuĂĄntas manzanas de cada tipo existen?

Escribimos đ??´ = đ?‘Ľ đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ž đ?‘›đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™}, đ??ľ = đ?‘Ś đ?‘Ś đ?‘’đ?‘ đ?‘šđ?‘Žđ?‘›đ?‘§đ?‘Žđ?‘›đ?‘Ž đ?‘–đ?‘šđ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž}.

Dibujamos un diagrama de Venn

Figura 8. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor Y sobre este diagrama anotamos la relaciĂłn algebraica que estable el enunciado Dibujamos un diagrama de Venn

Figura 9. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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Si đ?‘Ľ denota la cantidad de manzanas nacionales y đ?‘Ś denota la cantidad de manzanas importadas, podemos escribir đ?‘Ľ + đ?‘Ś = 100, 3đ?‘Ś = đ?‘Ľ.

Resolviendo el sistema se tiene đ?‘Ľ = 75 y đ?‘Ś = 25.

2.- Un gimnasio tiene una alberca y maneja dos horarios: matutino y vespertino. Se sabe que del total de personas inscritas el nĂşmero de personas que usan la alberca es igual al nĂşmero de personas que no la usan. El nĂşmero de personas que usan la alberca en el horario matutino son 14. Las personas que no usan la alberca son 30. ÂżCuĂĄntas personas se encuentran inscritas Ăşnicamente en el turno vespertino?

Primeramente dibujamos un diagrama de Venn

Figura 10. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor Anotamos una variable para empezar con el problema

Figura 11. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor Donde x representa el nĂşmero de personas inscritas Ăşnicamente en el turno vespertino, estableciendo la ecuaciĂłn 14 + đ?‘Ľ = 30 Despejando obtenemos que đ?‘Ľ = 16 que son las personas inscritas en el turno vespertino.

3.- Un centro recreativo cobra la entrada general, pero ademĂĄs tiene tres atracciones con costo extra: paseo a caballo, paseo en moto y tirolesa. Se sabe que el domingo pasado entraron 300 UNADM | DCEIT | EM | EMPE

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personas. Las personas que no accedieron a ninguna atracción con costo extra fueron 50. El número de personas que pagaron al menos dos atracciones extra fueron 155. El número de personas que disfrutaron de las tres atracciones con costo extra fueron 40. Las personas que tuvieron paseo a caballo o tirolesa pero no paseo en moto fueron 100. Las personas que accedieron a la tirolesa o paseo no paseo en moto fueron 200. Quienes tuvieron paseo a caballo y moto pero no tirolesa fueron 10% del total de personas que entraron al centro recreativo.

Finalmente, las personas que tuvieron paseo a caballo o en moto fueron 225. ¿Cuántas personas tuvieron paseo a caballo y tirolesa pero no en moto? ¿Cuántas personas tuvieron paseo en moto? ¿Cuántas personas tuvieron acceso a la tirolesa?

Primeramente dibujamos un diagrama de Venn

Figura 12. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor Ahora damos una variable

Figura 13. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor

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Vamos a completar nuestro diagrama a partir de la variable dada

Figura 14. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor De la informaciĂłn anterior podemos obtener la siguiente ecuaciĂłn 50 + 30 + 40 + đ?‘Ľ + 85 − đ?‘Ľ + đ?‘Ľ − 5 = 225 Obteniendo đ?‘Ľ = 25 A partir de haber encontrado el valor de la variable, vamos a respondes a las preguntas 25 personas tuvieron paseo a caballo y tirolesa pero no en moto 150 personas tuvieron paseo en moto ÂżCuĂĄntas personas tuvieron acceso a la tirolesa?

4.- Una asociaciĂłn de comerciantes va a elegir representantes y se levanta una encuesta para recoger la simpatĂ­a de los candidatos Ana, Luis y Francisco. Los resultados fueron los siguientes: el nĂşmero de encuestados que no tienen simpatĂ­a por ninguno coincide con los encuestados que tienen simpatĂ­a por al menos uno. Los que simpatizan solamente por Ana son 20. Las personas que simpatizan con Luis pero no con Francisco son 30. Las personas que simpatizan con Francisco pero no con Luis son 15. El doble de las personas que apoyan a ambos, Francisco y Luis, es igual al nĂşmero de personas que apoyan a Luis pero no a Francisco. ÂżCuĂĄntas personas estuvieron presentes en la encuesta?

Primeramente dibujamos un diagrama de Venn

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Figura 15. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor DespuĂŠs agregamos los datos conocidos y para el dato que no conocemos, que aparece en la pregunta, agregamos una variable.

Figura 16. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor Luego agregamos las relaciones que aparecen entre los conjuntos, que en este caso solamente es una.

Figura 17. Diagrama de Venn. Elaborado por el autor Finalmente establecemos una relaciĂłn entre los datos y la variable que en este caso es la cardinalidad del conjunto universo, es decir la suma total đ?‘Ľ = 160.

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