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Aprendamos matemáticas

¡Aprendamos juntos con este libro!

Paola Molina Clave: 17 V Curso "B"

ÍNDICE 01-02

Polinomios División de polinomios Ejemplos

03-05

División sintética de polinomios Ejemplos

06-07

Teorema del residuo Ejemplos

Teorema del factor Ejemplos

09-11

Teorema fundamental del álgebra Ejemplos

12-13

Teorema ceros racionales Ejemplos

14-15

Teorema límite superior e inferior Ejemplos

16-18

Regla de Descartes Ejemplos

Funciones exponenciales

Gráfica Función lineal vs exponencial

21-22 23

Ejemplos

Referencias

Polinomios

¿Qué son los polinomios? Los polinomios como lo dice su nombre, "-poli" significa muchos y "-nomi" significa términos. En este caso, un polinomio puede tener tener constantes, variables y exponentes. También se puede explicar como la suma de varios monomios.

1. División de polinomios Para dividir un polinomio P(x) entre un polinomio Q(x), es necesario que el grado de P(x) sea mayor o igual al grado de Q(x). Dividendo Resto

Divisor

Cociente

El grado de R(x) es menor que el de Q(x) y el grado de C(x) es el grado de P(x) menos el de Q(x).

Página 1

Ejemplos: 01

2x - 13x + 9x - 16 x+6 2x2- x + 3 x-6

2x - 13x + 9x - 16 3 - 2x - 12x2 2 - x + 9x 2 -(-x + 6x) 3x - 16 -(3x - 18) 2

Cociente: 2x2- x + 3 Residuo: 2

x3- 4x - 15 x-3 x 2+ 3x + 5 x-3

x + 0x - 4x - 15 - x3 - 3x2 3x2- 4x 2 -(3x - 9x) 5x - 15 -(5x -15) 0

Cociente: x 2+ 3x + 5 Residuo: 0

Página 2

2. División sintética de polinomios

GIRA MUNDIAL DJ LAGUNA

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio de la forma ghfgjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj entre otro polinomio de la forma x-a, haciendo más simple la división. Para esto, se divide el coeficiente de los polinomios, eliminando las variables y exponentes.

Página 3

Pasos para una división sintética 5 4 3 2 01 (2x -9x +11x -6x -6x +18x) : (x-3)

1. Colocar en la primera fila los coeficientes del polinomio. Si un término no aparece, se le asigna un coeficiente cero y a la izquierda el valor de a.

-9

-6

2. Bajar el coeficiente principal a la tercera fila.

-9

-6

2 3. Multiplicar a por el coeficiente principal an.

-9 6

-6

2 4. Sumar los elementos de la segunda columna.

2 2

-9 6 -3

-6

Página 4

5. Repetir el paso 4 hasta llegar al término constante ao.

2 2

-9 6 -3

11 -9 2

-6 6 0

-6 18 0 -18 -6 0

Residuo

6. Escribir la respuesta, que es el coeficiente y residuo. Cociente: 2x4 - 3x3+ 2x 2- 6x Residuo: 0

5 4 3 02 (8x +3x -2x +4x -6) : (x+1)

3 -1 -8 8 -5

-2 5 3

0 -3 -3

4 3 7

-6 -7 -13

Residuo

Cociente: 8x 4- 5x 3+ 3x2- 3x + 7 Residuo: -13

Página 5

Teorema del residuo Este teorema se utiliza cuando se tiene un polinomio P(x) y se divide entre x-a el residuo de la división es P(a). Dicho teorema nos sirve para encontrar los factores de un polinomio.

Ejemplos: 3

x + 2x - 3x + 1 x+1

Método 1 -1

1 1

2 -1 1

-3 -1 -4

Cociente: x2 + x - 4

1 4 5

Residuo: 5

Comprobación P (x)= x3+ 2x2 - 3x + 1 P (-1)=

(-1) + 2(-1) - 3(-1) + 1

P (-1)= 5

→ Residuo

Página 6

x + 4x - x + 1 x-2

Método 1 2

1 1

4 2 6

Cociente: x2 + 6x +11

-1 1 12 22 11 23

Residuo: 23

Comprobación P (x)= x 3+ 4x 2 - x + 1 3

P (2)= (2) + 4(2) - 2 + 1 P (2)= 23

→ Residuo

Página 7

Teorema del factor El teorema del factor dice que un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio con la forma x-a , sólo cuando P(a)=0, si pasa esto, significa que a es una raíz o cero del polinomio P(x).

Ejemplos: 01

Demuestre que x-2 es un factor de P(x) = x - 4x + 3x + 2

P (2)= x 3- 4x 2 + 3x + 2 3

P (2) = (2) - 4(2) + 3(2) + 2 P (2)= 8 - 16 + 6 + 2 P (2)= 0

→ Residuo

R// X-2 sí es un factor del polinomio P(x)

Demuestre que x+1 es un factor de P(x) = 2x - 3x + 1 4

P (x)= 2x - 3x + 1 P (-1) = 2(-1)4- 3(-1) + 1

P (-1)= -2 + 3 + 1 P (-1)= 2

→ Residuo

R// X+1 no es un factor del polinomio P(x)

Página 8

teorema FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

El Teorema Fundamental del Álgebra, también conocido como TFA establece que todo polinomio o coeficientes complejos tienen una raíz, es decir, que existe un número complejo donde el polinomio evalúa el cero.

Una raíz o "cero" es donde el polinomio es igual a cero. Según el grado del polinomio, será la cantidad de raíces que posea. Grado es el exponente más grande de la variable. Grado 3 Quiere decir que polinomio tendrá 3 raíces

este

Raíces (ceros)

Página 9

Ejemplos 2

3x - 12

Igualar la expresión a cero 2

3x - 12 = 0 2

Encontrar los factores comunes

3 (x2- 4) = 0

Buscar las raíces

x =4

→

√x 2= √4 x =±2

x1 = 4 x2 = 4

Establecer los factores 2

R// 3x - 12 = 3(x+2)(x-2)

Página 10

Ejemplos 2

3x - 18x + 24

Identificamos el grado de la expresión 2

3x - 18x + 24

En esta expresión el grado es 2

Factorizamos el polinomio

3 (x-2)(x-4) = 0 3

Buscamos las raíces

x-2=0 x=2

x-4=0 x=4

→

x1 = 2 x2 = 4

Establecemos los factores 2

R// 3x - 18x + 24 = 3(x-2)(x+4)

Página 11

PÁGINA 12

Teorema ceros racionales Si es un polinomio que tiene coeficientes enteros y p/q es un cero racional Método que permite establecer todos los números racionales que pueden ser ceros del polinomio. Para esto, se calculan los factores de a0 y se dividen entre los factores de an quedando la siguiente fórmula:

APRENDE PRACTICANDO

Es importante que los ceros racionales de la función deben de tener la forma p/q. El número p es un factor del término constante a. Por otro lado, q es un factor del coeficiente de n. Cuando se hayan encontrado algunos ceros racionales, incluso si es solo uno, generalmente los demás se pueden encontrar por medio de factorización u otras herramientas.

Página 12

Ejemplos x3- 3x -2

Encontrar los factores

Factores a0 Factores an

Factores 2 Factores 1

Buscar los posibles ceros

Factores 2 Factores 1

±1, ±2 ±1

Efectuar la división de los factores

R// {±1, ±2} Utilizar la división sintética

1 1

0 1 1

-3 1 -2

-2 -2 -4

0 2 2

-3 4 1

-2 2 0

-1

1 1

-2

1 1

0 -1 -1

-3 1 -2

-2 2 0

0 -2 -2

-3 4 1

-2 -2 -4

Las raíces finales son

R// -1 y 0

Página 13

PÁGINA 8

TEOREMA DE LÍMITE SUPERIOR E INFERIOR Dicho teorema se utiliza para establecer un límite superior b>0 y un límite inferior a<0 por medio de la división sintética. Un número real b es llamado "límite superior" de los ceros de P(x) si P no tiene ceros mayores que b. Un número real a se llama "límite inferior" de los ceros de P(x) si P no tiene ceros menores que a. Si b>0 y todos los números obtenidos en la tercera fila en la división sintética son cero o positivos, quiere decir que b es un límite superior de los ceros reales de P. Si a<0 y todos los números obtenidos en la tercera fila en la división sintéticos son ceros, positivos y negativos, entonces a es un límite inferior de los ceros reales de P.

Página 14

Ejemplo x3+ 2x2+ 4x - 8 Encontrar los factores

Factores a0 Factores an

±1, ±2, ±4, ±8 Factores -8 = ±1 Factores 1

Evaluamos los factores

1 1

2 1 3

4 3 7

-8 7 -1

1 no es un límite superior

2 sí es un límite superior

-1

1 1

2 -1 1

4 -1 3

-8 -3 -11

1 1

2 2 4

4 8 12

-8 24 16

4 0 4

-8 -8 -16

-1 no es un límite superior

-2 sí es un límite superior

-2

1 1

2 -2 0

Página 15

REGLA DE SIGNOS DE DESCARTES La regla de los signos de Descartes nos ayuda a identificar el número posible de raíces reales de un polinomio P(x). Establece que el número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número de cambios de signo de los coeficientes.

Datos relevantes: Al momento de hacer la tablita, las cantidad de raíces depende del mayor grado de nuestra función o expresión. Según los puntos que se hayan formado, depende la cantidad que vaya a haber en los números complejos. Para esto se suma cada uno de los dígitos de un punto formado y si llega a las raíces encontradas, la cantidad de números

complejos es 0. Por otro lado, si la suma de los números de un punto no da la cantidad de raíces, en los números complejos se colocará la cantidad que haga falta para llegar al mismo. El número de raíces reales positivas de p(x) es igual al número de cambios en el signo de P(x) o es disminuido en una cantidad entera par. El número de raíces reales negativas de p(x) es igual al número de cambios de signo de p(-x) o es disminuido en una cantidad entera par.

Página 16

Ejemplos f(x)=x4+ 4x3+ 3x2- 4x - 4

Ver los cambios de signos entre cada valor

f(x)= x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4 + + + - 2

Cambiamos cada signo negativo en nuestras X

f(x)= x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4 f(-x)= x 4- 4x3 + 3x2 + 4x - 4 + + + 3

Vemos los cambios de signo en cada función

f(x)= x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4 + + + - -

→ 1 cambio de signo

f(-x)= x 4- 4x3 + 3x2 + 4x - 4 + + + -

→ 3 cambios de signo

Puntos formados

(+) 1

( - ) 3 1

(+)( - ) (1,3) (1,1)

Hacer una tablita de los signos Raíces + R RC

4 1 3 0

4 1 1 2

Página 17

Ejemplos f(x)=x4+ 3x3- 15x 2- 19x + 30 1

Ver los cambios de signos entre cada valor

f(x)= x4 + 3x3 - 15x 2 - 19x + 30 + + - - + 2

Cambiamos cada signo negativo en nuestras X

f(x)= x4 + 3x3 - 15x 2 - 19x + 30 f(-x)= x 4- 3x3 - 15x 2 + 19x + 30 + + + 3

Vemos los cambios de signo en cada función

f(x)= x4 + 3x3 - 15x 2 - 19x + 30 + + - - +

→ 2 cambios de signos

f(-x)= x 4- 3x3 - 15x 2 + 19x + 30 + + + -

Puntos formados

→ 2 cambios de signos

(+) 2 0

( - ) 2 0

(+)( - ) (2, 2) (2, 0) (0, 2) (0 ,0)

Hacer una tablita de los signos Raíces + R RC

4 2 2 0

4 2 0 2

4 0 2 2

4 0 0 4

Página 18

Funciones exponenciales Una función exponencial es cuando la variable x aparece como exponente. Dicho de otra forma, la función exponencial con base a está definida para todos los números reales x por donde a>0 y a≠1.

Características Las funciones exponenciales siempre crecen o decrecen, no varían Cuando a>0 y a>1 significa que la gráfica es creciente Cuando 0<x<1 la gráfica es decreciente Las leyes de exponentes son ciertas cuando dos de los exponentes son números reales La función exponencial puede considerarse la inversa de la logarítmica

Página 19

Gráfica La gráfica de las funciones exponenciales está definida por la fórmula general como . En este caso, k es un número real, a es un número positivo distinto de de uno y x representa a la variable, además de ser la potencia de alguna función.

Función lineal vs exponencial Una función lineal y exponencial se diferencian desde la representación gráfica. La función lineal es una polinómica de primer grado, que en la gráfica se muestra como una línea recta y se puede escribir como , donde m y b son constantes reales y x es la variable. Mientras tanto, en una función exponencial en su gráfica suele mostrar un tipo de curva, no es una línea recta y se escribe como

Gráfica función exponencial

Gráfica función lineal

Página 20

Ejemplos Graficar f(x)= 3 1

Hacer una tabla de valores

Evaluamos los valores X en la función

x -2

1/9

-1

1/3

1 3

x -2

Formamos las coordenadas

x -2

Puntos

1/9

(-2, 1/9)

-1

1/3

0 1

1 3

(-1, 1/3) (0, 1)

(1 ,3) (2 ,9)

Graficamos en GeoGebra

Página 21

Ejemplos Problema de aplicación: Si inviertes Q1,000.00 en una cuenta que paga 4% de interés, cuatrimestral, ¿Cuánto dinero tendrás después de 3 años?

Identificamos las variables El interés es de 4% que está representado por r. El tiempo en años es de 3 y el cuatrimestral significa 4 veces al año.

A= Dinero después de 3 años P= Q1,000 r= 0.04 m=4 t= 3

Encontramos el valor de A

r mt m 0.04 = 1000 1 + 4

( (

A= P 1 +

Para encontrar el valor de A utilizamos la siguiente fórmula.

)

4*3

= 1000 (1 + 0.01) 12 = 1000 (1.01)

= 1000 (1.1268) = 1,126.82 3

Escribimos nuestra respuesta R// Tendrías Q1,126.82 después de 3 años, pero se debe de restar con lo inicial que es Q1,000, lo que nos dejara con Q126.83

Página 22

Página 43

Referencias Venegas, A. (s/f). Expresiones algebraicas. Recuperado de: https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/5--division-sintetica Profesor particular Puebla. (Productor). (2018). TEOREMA del RESIDUO y TEOREMA del FACTOR | BIEN EXPLICADO [Youtube]. De: https://youtu.be/N7-L7ZXRBmU Sánchez, E. (s/f). División sintética y teorema del residuo. Recuperado de: https://sites.google.com/site/portafolioericksc/division-sintetica-y-teoremadel-residuo Salazar, M. (2019). Teoría fundamental del álgebra y sus diferentes demostraciones (trabajo de grado). Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia. Rosales, R. (s/f). Encontrar ceros racionales usando el teorema de los ceros racionales y división sintética. Recuperado de: https://estudyando.com/encontrar-ceros-racionales-usando-el-teorema-delos-ceros-racionales-y-la-division-sintetica/ Figueroa, R. (s/f). Las funciones. Recuperado de: https://es.slideshare.net/RfigueroaS/funciones-lineales-cuadrticasexponenciales García, L. (s/f). Función exponencial y logarítmica. Recuperado de: https://shortest.link/AxB Muga, J. (2002). Sucesiones y cotas. Recuperado de: https://shortest.link/AxG Godoy, C. (s/f). Ceros de una función polinomial. Recuperado de: https://shortest.link/zoL Rodríguez, J. (2020). Ceros complejos y funciones racionales. Recuperado de: https://shortest.link/zoO Página 23

Las matemáticas son un lugar donde puedes hacer cosas que no puedes hacer en el mundo real. -Marcus du Sautoy.