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María Renée Martínez Bethancourt
Pablo Gerardo Itzol Meren 2021 Pág. 2
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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 5 UNIDAD 1. VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL. ....................................................................... 6 ESPACIO TRIDIMENSIONAL.................................................................................................................. 6 PRODUCTO PUNTO .................................................................................................................................. 7 PRODUCTO CRUZ .................................................................................................................................... 8 RECTAS EN EL ESPACIO ........................................................................................................................ 9 PLANOS EN EL ESPACIO ...................................................................................................................... 10 CILINDROS .............................................................................................................................................. 12 SUPERFICIES CUADRICAS ................................................................................................................... 13 UNIDAD 2. FUNCIONES VECTORIALES................................................................................................. 17 FUNCIONES VECTORIALES ................................................................................................................. 17 UNIDAD 3. DERIVADAS PARCIALES ...................................................................................................... 18 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ................................................................................................ 18 DERIVADAS PARCIALES ...................................................................................................................... 20 REGLA DE LA CADENA......................................................................................................................... 22 DERIVADA DIRECCIONAL ................................................................................................................... 24 PLANOS TANGENTE .............................................................................................................................. 27 RECTA NORMAL .................................................................................................................................... 27 OPTIMIZACIÓN ...................................................................................................................................... 28 UNIDAD 4. INTEGRALES MULTIPLES ................................................................................................... 30 INTEGRALES DOBLES ITERADAS ...................................................................................................... 30 INTEGRALES EN COORDENADAS POLARES ................................................................................... 32 APLICACIÓN DE INTEGRALES DOBLES ........................................................................................... 34 INTEGRALES TRIPLES .......................................................................................................................... 35 INTEGRALES EN COORDENADAS ESFERICAS Y CILINDRICAS ................................................. 38 APLICACIÓN DE INTEGRALES TRIPLES .......................................................................................... 41 UNIDAD 5. CALCULO VECOTORIAL...................................................................................................... 42 INTEGRALES DE LINEA........................................................................................................................ 42 CAMPOS VECTORIALES ....................................................................................................................... 45 TEOREMA DE GREEN............................................................................................................................ 48 TEOREMAS DE STOKES ........................................................................................................................ 50 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA ....................................................................................................... 52 CONCLUSIONES ..................................................................................................................................... 54
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INTRODUCCIÓN
El portafolio, es una herramienta muy útil para el desarrollo durante el curso de cálculo III, se almacenan los trabajos realizados durante el periodo de la asignatura, así como conceptos, ejemplos realizados en forma externa como trabajos realizados en horas de clases. Se lleva un orden de lo que se realiza en cada unidad, y es más sencillo encontrar los trabajos si se van guardando en el portafolio electrónico, y así evitar perder los trabajos. El presente portafolio tiene la finalidad de almacenar y analizar con profundidad en modo resumido lo estudiado en las diferentes unidades de Calculo III, a lo largo de este ciclo se impartieron diferentes temas, en base a los conceptos fueron puestos en práctica en la resolución de ejercicios. A continuación, se describe la importancia del cálculo y matemáticas como base para la formación como futuros ingenieros, que durante el estudio se ha venido enfatizando. Esta ciencia formal hace referencia a temas cotidianos como desarrollar la capacidad de identificar, interpretar, representar y modelar problemas planteados en la industria, con el objetivo de mejorar los procesos inherentes a estas.
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UNIDAD 1. VECTORES Y ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Un sistema tridimensional o plano real, es un sistema con ejes coordenados denominados 𝑥,𝑦,𝑧 como el mostrado en la siguiente figura.
Para construir este sistema coordenado, simplemente al plano bidimensional ya conocido, le agregamos un eje vertical, el eje 𝑧 también llamado “elevación”. Este sistema también puede ser interpretado denominando los ejes de otra manera, como por ejemplo.
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PRODUCTO PUNTO
La operación en la que se multiplicarán dos vectores, denominada producto punto, tiene como resultado un escalar y no un vector.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
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PRODUCTO CRUZ
Sea los vectores 𝑎 𝑦 𝑏, el producto vectorial de estos vectores, representado por el símbolo 𝑎 𝑥 𝑏, que se lee “𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧 𝑏" El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
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RECTAS EN EL ESPACIO
En el plano se usa la pendiente para determinar una ecuación de una recta. En el espacio es más conveniente usar vectores para determinar la ecuación de una recta. Se considera la recta L a través del punto y paralela al vector El vector es un vector de dirección o director de la recta y b y son los números de dirección (o directores). Una manera de describir la recta L es decir que consta de todos los puntos para los que el vector es paralelo a v. Esto significa que es un múltiplo escalar de v y se puede escribir donde t es un escalar (un número real).
Ejemplo 1: Hallar las ecaciones parametrsicas y simetricas
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PLANOS EN EL ESPACIO
El plano xy es simplemente el plano cartesiano, que se observa acostado. El eje z sobre sale perpendicularmente de dicho plano y ofrece la idea de profundidad. Al graficar una figura tridimensional, se encuentran puntos en el espacio con coordenadas de tres componentes P (x, y, z). Lo ideal es ubicar al punto p(x ,y ) sobre el plano xy y luego su profundidad z correspondiente.
Existen dos primeras formas de geometría en el espacio; las rectas y los planos. Las rectas y los planos son figuras tridimensionales lineales, pues las variables x, y, z no se elevan a ningún exponente sino 1.
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Ejemplo 1: Hallar una ecuación de un plano en el espacio tridimensional
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CILINDROS
Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se le llama un cilindro. A C se le llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se les llama rectas generatrices.
Ejemplo 1: Trazado de cilindros
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SUPERFICIES CUADRICAS
Una superficie cuadrática (o cuádrica) es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 donde A, B, C, …, J son constantes.
1. Elipsoide. Tiene por ecuación
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
+ 2
+ 2
=1
Las trazas del elipsoide son elipses, es decir, la intersección con planos paralelos a los planos coordenados es una elipse. 𝑦2 𝑧2 Si x = 0 ⇒ 2 + 2 = 1 elipse 𝑏 𝑐
𝑥2 𝑧2 Si y = 0 ⇒ 2 + 2 = 1 elipse 𝑎 𝑐
𝑥2 𝑦2 Si z = 0 ⇒ 2 + 2 = 1 elipse 𝑎 𝑏
2. Hiperboloide de una hoja. Tiene por ecuación
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
+ 2
− 2
=1
Las trazas del hiperboloide son hipérbolas en planos paralelos al plano XZ y al YZ, mientras que en planos paralelos al XY las trazas son elipses
Si x = 0 ⇒
𝑦2 𝑧2 − = 1 hipérbola 𝑏2 𝑐 2
𝑥2 𝑧2 Si y = 0 ⇒ 2 − 2 = 1 hipérbola 𝑎 𝑐
𝑥2 𝑦2 Si y = 0 ⇒ 2 − 2 = 1 hipérbola 𝑎 𝑏
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3. Hiperboloide de dos hojas. Tiene por ecuación −
𝑥2
𝑦2
𝑧2
𝑎
𝑏
𝑐2
− 2
+ 2
=1
Las trazas de esta superficies son : Para planos paralelos a XZ son hiperbolas al igual que para planos paralelos al YZ. 𝑧2 𝑦2 si x = 0 ⇒ 2 − 2 = 1 hiperbola 𝑐 𝑏 si y = 0 ⇒
𝑧2 𝑥2 − = 1 hiperbola 𝑐 2 𝑎2
Se diferencia de las otras superficies ya que tiene dos variables negativas.
4. Paraboloides Tiene por ecuación
𝑥2
𝑦2
𝑎
𝑏2
+ 2
=
𝑧 𝑐
Las trazas del paraboloide son: Para planos paralelos al XY son elipses, para planos paralelos al XZ o al YZ son parábolas. Si x = 0
y2 z = b2 c
b2z y2 = c
parábola
Su diferencia con las otras cuádricas es que tienen una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen el mismo signo.
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5. Paraboloide hiperbólico. Tiene por ecuación
x2 a2
−
y2 b2
=
z c
Su diferencia fundamental con las otras superficies es que ella tiene en su ecuación una variable que no está elevada al cuadrado, y las otras variables tienen los signos contrarios.
6. Conos La superficie cuádrica que tiene por ecuación
𝑥2 𝑦 2 𝑧2 + = 𝑎2 𝑏2 𝑐 2
Se denomina Cono.
Z
Las trazas del cono son: Si x = 0
y2 z2 b = y = z Dos rectas c b2 c2 Y
Si y = 0
x2 z2 a = x = z Dos rectas 2 2 c a c X
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7. Cilindro circular recto: Cuando una de las variables x, y o z no aparece en la ecuación de la superficie, Entonces la superficie es un Cilindro. Por ejemplo:
x2 + y2 = a2 Es un cilindro en el espacio ya que falta la variable z. Por lo tanto, la gráfica del cilindro se extenderá paralelo al eje z
En el plano:
En el Espacio:
Y z a
x y
x
8. Cilindro parabólico: Considere la ecuación x 2 + y = 0 , que corresponde a una parábola en el plano xy, al variar z se obtiene la superficie
En el plano
En el espacio
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UNIDAD 2. FUNCIONES VECTORIALES
FUNCIONES VECTORIALES
Ejemplo 1: Dada las funciones vectoriales
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UNIDAD 3. DERIVADAS PARCIALES
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un único número real f (x, y), entonces se dice que f es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspondiente conjunto de valores f(x, y) es el rango de f. Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
Dominio: Es el conjunto para el cual estas variables definen la función; es decir el conjunto para el cual tiene sentido la regla de correspondencia de la función.
Ejemplo 1: Hallar el dominio de las siguientes funciones y evalué en los puntos indicados.
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Ejemplo 2: Calcule el domonio de la siguiente funcion
Ejemplo 3: Hallar el domonio de F(x,y)
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DERIVADAS PARCIALES
Al igual que en el caso de funciones de una sola variable independiente 𝑦=𝑓(𝑥), la derivada parcial de una función de varias variables 𝑤=𝑓(𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛) representan una razón de cambio de la función con respecto a cada una de las variables independientes. Recordemos que la derivada de 𝑓(𝑥) se define como:
donde ℎ es el incremento aplicado a 𝑥. Análogamente puede definirse la derivada parcial de una función de múltiples variables incrementando una en particular y manteniendo fija las restantes. Definición Consideremos la función 𝑧=𝑓(𝑥, 𝑦) que supondremos continua en una región, definimos 1. la derivada parcial con respecto a 𝑥:
2. la derivada parcial con respecto a y:
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Ejemplo 1: Hallar las derivadas parciales de la siguiente funcion
Ejemplo 2: Hallar las derivadas parciales de la siguiente funcion
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REGLA DE LA CADENA
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Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Regla de la cadena para una función de tres variables.
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DERIVADA DIRECCIONAL
DEFINICION Sea ƒ una función de dos variables “x” y “y”, sea P(x, y) un punto en el plano x y. Supongamos que U es el vector unitario de ángulo ϴ radianes con el lado positivo del eje x. Entonces: U = cos ϴ i + sen ϴ j Por lo que la derivada direccional de ƒ en la dirección de U, representada por Duƒ, está dada por: Duƒ(x,y) = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎
ƒ (𝐱+𝐡 𝐜𝐨𝐬 𝛉, 𝐲+𝐡 𝐬𝐞𝐧 𝛉)−ƒ (𝐱,𝐲) 𝒉
La derivada direccional da la razón de cambio de los valores de función ƒ(x,y) con respecto a la dirección del vector unitario U.
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Ejemplo 1: Calcule la derivada direccional de ƒ(x, y) = 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 en el punto P = (1,1) en la dirección del vector →= 𝑢
(
1
,
1
√2 √2
)
Y usando la regla de L'Hôpital:
Ejemplo 2: Calcular la derivada direccional de la siguiente funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado: a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12j log x y log x y y log x y log x = e = f ( x; y ) = x y ; x y = e ; e ; e y x y y x x y y = e y log x ; (log x )e y log x = x y ; (log x )x y f (e; e) = e e ; e e x x
(
)
(
)
(
u=
)
d (5;12) 5 12 = = ; d 5 2 + 12 2 13 13
(
)
5 12 17 D u f (e; e) = f (e; e)·u = e e ; e e · ; = e e 13 13 13
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GRADIENTE Sea ƒ una función de dos variables “x” y “y”, y ƒ𝑥 y ƒ𝑦 existen, entonces el gradiente de ƒ, representado por ∇ ƒ (∇ = nabla), y está definido por: 𝛁ƒ(x, y) = ƒ𝑥 (x, y)𝐢 + ƒ𝑦 (x, y)𝐣 Por lo tanto, cualquier derivada direccional de una función diferenciable se puede obtener multiplicando el gradiente por un vector unitario en la dirección deseada. NOTA: Al símbolo ∇ se le llama nabla, por su semejanza con el arpa asiria. No tiene ningún valor. Es un operador de la misma manera que 𝑑 ⁄𝑑𝑥 es un operador. Cuando ∇ opera sobre ƒ(x,y) produce el vector ∇ ƒ(x,y). Es necesario darse cuenta de que ∇ ƒ(x,y) es un vector en el plano y ∇ ƒ(x,y,z) es un vector en el espacio. El vector gradiente marcara la dirección de máxima variación de la función en cualquier punto. EJEMPLO 1: Sea ƒ (𝐱, 𝐲) = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝟏/𝟐 donde P(4,-3) ƒ𝑥 =
1 𝜕𝑓 1 𝑥 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )−2 ∗ (2𝑥) = 𝜕𝑥 2 √𝑥 2 + 𝑦 2
ƒ𝑥 (𝑃) = ƒ𝑦 =
4 √42 + (−3)2
=
4 √25
=
4 5
1 𝜕𝑓 1 𝑦 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )−2 ∗ (2𝑦) = 𝜕𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2
ƒ𝑦 (𝑃) = ƒ𝒙 (𝑷) =
−3 √42 + (−3)2
=
−3 √25
= −
3 5
4 5
ƒ𝒚 (𝑷) = −
3 5
Vector gradiente: ∇ → (𝑃) = < ƒ𝑥 (𝑃), ƒ𝑦 (𝑃) > ƒ
4 3 4 3 ∇ → (𝑃) = < , − > = 𝑖 − 𝑗 (𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜) ƒ 5 5 5 5
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PLANOS TANGENTE RECTA NORMAL
✓ Plano tangente: Se llama plano tangente a una superficie en un punto al plano que contiene a todas las rectas tangentes de todas las curvas trazadas sobre la superficie que pasan por el punto. Si no todas las tangentes están sobre el mismo plano, entonces se dice que no existe el plano tangente. Analíticamente, esto significa que, para que exista el plano tangente a una superficie en un punto de la misma, la función que define la superficie ha de ser diferenciable en ese punto
✓ Recta normal: Se llama recta normal a una superficie
en un punto ( 0 0 0 ) de la misma, a la recta que pasa por P y tiene por vector director al vector normal a la superficie en dicho punto; es decir, la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en P. P x ,y ,z
Como vector normal a la superficie y se pueden usar de manera indistinta cualquiera de los vectores gradiente
Las
f ( x0 ,y 0 )
ecuaciones
o
F ( x0 ,y 0 ,z0 )
.
paramétricas
de
x,y ,z = x0 ,y 0 ,z0 + −fx ( x0 ,y 0 ) , −fy ( x0 ,y 0 ) ,1 t
la
recta
normal
son:
o
x,y ,z = x0 ,y 0 ,z0 + Fx ( x0 ,y 0 ,z0 ) ,Fy ( x0 ,y 0 ,z0 ) ,Fz ( x0 ,y 0 ,z0 ) t
Las ecuaciones simétricas de la recta normal son:
x − x0 y − y0 z − z0 = = −fx ( x0 ,y 0 ) −fy ( x0 ,y 0 ) 1
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OPTIMIZACIÓN
MULTIPLICADORES DE LANGRANGE El método de los Multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n+k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
✓ Campo de aplicación El método de Lagrange aplica cálculo diferencial, implicando el cálculo de derivadas parciales, hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero que invertir. Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, en Economía etc. El método de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.
✓ Ayudas que brinda
Para la Solución de Problemas de Optimización: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse inmediatamente.
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EJEMPLO 1: Una caja rectangular sin tapa se hace con 12𝑚2 de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. Buscamos maximizar 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 con restricción ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12. Ahora aplicamos los multiplicadores de Lagrange: ∇𝑉 = 𝜆∇𝑔, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12. Entonces: 𝑉𝑥 = 𝜆𝑔𝑥 𝑉𝑦 = 𝜆𝑔𝑦 𝑉𝑧 = 𝜆𝑔𝑧 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12 Las cuales se transforman a la hora de igualar y aplicar el método en: 𝑦𝑧 = (2𝑧 + 𝑦) 𝑥𝑧 = (2𝑧 + 𝑥) 𝑥𝑦 = (2𝑥 + 2𝑦) 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12 Una forma conveniente de resolver el sistema anterior es dejar del lado izquierdo 𝑥𝑦𝑧. Por lo tanto, la primera la multiplicamos por 𝑥, la segunda por 𝑦, y la tercera por 𝑧; quedaría de la siguiente manera: 𝑥𝑦𝑧 = (2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦) 𝑥𝑦𝑧 = (2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦) 𝑥𝑦𝑧 = (2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧) Esto quiere decir que tenemos igualdades por lo tanto: 2𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 De la segunda ecuación sabemos que: 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑧. Entonces: 𝑦 = 2𝑧. Si se hace 𝑥 = 𝑦 = 2𝑧, sustituimos en la ecuación: 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 = 12. Nos quedaría de la siguiente manera: 4𝑧2 + 4𝑧2 + 4𝑧2 =12. Por lo tanto 𝑧 = 1, e 𝑦 = 2 y 𝑥 = 2.
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UNIDAD 4. INTEGRALES MULTIPLES
INTEGRALES DOBLES ITERADAS
Estas expresiones indican que el valor de la integral doble es independiente del orden elegido para calcular las integrales iteradas. Si se integra primero en la variable y después en la variable , el proceso de cálculo es el siguiente: 1. Se resuelve la integral resultado una expresión
tomando la como constante, obteniendo como que depende de y.
2. Se calcula la integral 3. Si se resuelve la integral cambiando el orden de integración, el proceso es análogo al anterior, pero tomando la como constante en la primera integral y calculando la última integral en función de .
Definición (Integrales iteradas sobre dominios regulares). Si un conjunto D del plano es y-simple y la función en D, entonces
Si un conjunto D del plano es x-simple y la función
es integrable
es integrable en D, entonces
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EJEMPLO 1: Calcular la siguiente integral iterada
EJEMPLO 2: Calcular la siguiente integral iterada
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INTEGRALES EN COORDENADAS POLARES
Este es uno de los cambios de variables más habituales. Las fórmulas del cambio son x = r cos θ
y = r sen θ
establecidas de forma biyectiva entre dos conjuntos S y R , siendo r positiva. El jacobiano es:
Resultando
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EJEMPLO 1:
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APLICACIÓN DE INTEGRALES DOBLES
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INTEGRALES TRIPLES
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INTEGRALES EN COORDENADAS ESFERICAS Y CILINDRICAS
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APLICACIÓN DE INTEGRALES TRIPLES
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UNIDAD 5. CALCULO VECOTORIAL
INTEGRALES DE LINEA
Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos. La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
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EJEMPLO 1:
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EJEMPLO 2:
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CAMPOS VECTORIALES
Funciones que asignan un vector a un punto del plano o a un punto del espacio. Tales funciones se llaman campos vectoriales, y veremos que son útiles para representar diferentes tipos de campo de fuerza y de campo de velocidades.
Definición de campo vectorial: Sean M y N funciones de dos variables x e y, definidas en una región plana R. la función F definida por F (x, y) = Mi + Nj
plano
Se llama campo vectorial sobre R. Sean M, N y P funciones de tres variables, x y y z , definidas en una region Q del espacio. La función F definida por F (x, y, z) = Mi + Nj + pk espacio Se llama campo vectorial sobre Q. Por esta definición vemos que el gradiente es un ejemplo de campo vectorial, puesto que puede escribirse en forma ∇ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)𝒊 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)𝒋 ∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒊 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒋 + 𝑓𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒌
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EJEMPLO 1: Hallar una función potencial para F (x,y) =2xyi + (𝑥 2 – y) j
SOLUCION: Del teorema se sigue que F es conservativo, ya que 𝜕 [2𝑥𝑦] = 2𝑥 𝛿𝑦 𝜕 [𝑥 2 − 𝑦] = 2𝑥 𝜕𝑥 Pues bien, si 𝑓 es una función tal que ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝒊 + 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝒋 entonces tenemos 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦
Para reconstruir la función 𝑓 a partir de estas dos derivadas parciales, integramos 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑥 𝑦 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) con respecto a 𝑦, como sigue: 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 =
∫(𝑥 2
2𝑥𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑔 (𝑦) + 𝒌 𝑦2 − 𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑦 − + ℎ(𝑥) + 𝒌 2 2
Ahora ajustamos las diferencias enytre estas dos expresiones de 𝑓(𝑥, 𝑦). Esta es, como 𝑔(𝑦) = −𝑦 2 /2, resulta que ℎ(𝑥 ) = 0, y tenemos 𝒚𝟐 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑔(𝑦) + 𝒌 = 𝒙 𝒚 − +𝒌 𝟐 2
𝟐
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EJEMPLO 2: Hallar rotación del campo vectorial 𝐅 (x, y, z) = 𝑥 3 𝑦 2 𝑧𝒊 = 𝑥 2 𝑧𝒋 + 𝑥 2 𝑦𝒌 para probar que no es conservativo
SOLUCION: por la definición de rotacional 𝒊 𝒋 𝒌 𝜕 𝜕 𝜕 𝒓𝒐𝒕 𝑭 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑥 2𝑧 𝑥 2𝑦 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 = | 𝜕𝑦 𝜕𝑧 | 𝑖 − | 𝜕𝑥 𝜕𝑧 | 𝑗 + | 𝜕𝑥 3 2 2 2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 2𝑦 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 3𝑦 2𝑧
𝜕 𝜕𝑦 | 𝑘 𝑥 2𝑧
= (𝑥 2 − 𝑥 2 )𝑖 − (2𝑥𝑧 − 𝑥 3 𝑦 2 )𝑗 + (2𝑥𝑧 − 2𝑥 3 𝑦𝑧)𝑘 = (𝑥 3 𝑦 2 − 2𝑥𝑦)𝑗 + (2𝑥𝑧 − 2𝑥 3 𝑦𝑧)𝑘 Al ser rot F ≠ 0, concluimos que F no es conservativo.
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TEOREMA DE GREEN
El teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de Stokes. El teorema afirma: Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene D,
A veces la notación
se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C. TEOREMA DE GREEN Sea C una curva simple y cerrada, suave a trozos y orientada positivamente, y sea F(x;y) = (P;Q) un campo vectorial cuyas funciones coordenadas tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a la región D acotada por C. Entonces: Demostración del Teorema de Green Notase
que
el
Teorema
de
Green
quedará
demostrado
si
se
prueba
que
y
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EJEMPLO 1: Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea c en el
triángulo con vértices (0,0) (1,3) y (0,3)
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TEOREMAS DE STOKES
El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes. A continuación enunciamos la versión tridimensional de la fórmula de Green, conocida como Teorema de Stokes, que nos permite calcular una integral de línea de un campo vectorial en el espacio mediante una integral de superficie del rotacional del campo.
TEOREMA Sea S una superficie uniforme por segmentos y orientada que esta acotada por una curva C suave por segmentos, simple y cerrada con orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tiene derivadas parciales continuas en una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces,
∫ 𝐹. 𝑑𝑟 = ∬ 𝑟𝑜𝑡𝐹. 𝑑𝑠 𝐶
𝑠
Puesto que ∫𝑐 𝐹. 𝑑𝑟 = ∫𝑐 𝐹. 𝑇 𝑑𝑠
y
∬𝑠 𝑟𝑜𝑡 𝐹. 𝑑𝑆 = ∬𝑆 𝑟𝑜𝑡 𝐹. 𝑛 𝑑𝑆
El teorema de Stokes establece que la integral de línea alrededor de una curva frontera de S de la componente tangencial de F es igual a la integral de superficie de la componente normal del rotacional de F. La curva orientada en forma positiva de la superficie orientada S se escribe a menudo como 𝜕𝑆 , de modo que el teorema de Stokes se puede expresar como ∬ 𝑟𝑜𝑡 𝐹 . 𝑑𝑠 = ∫ 𝐹 . 𝑑𝑟 𝑆
𝜕𝑆
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EJEMPLO 1: Usar el teorema de Stokes para calcular la integral de línea
∫ (y2 − z2) dx + (z2 − x2) dy + (x2 − y2) dz 𝑐
Donde C es la curva intersección de la superficie del cubo a ≥x ≥ 0, a ≥ y ≥ 0, a ≥ z ≥ 0 y el plano x + y + z = 3a/2, recorrida en sentido positivo.
Solución: La curva dada tiene la forma del hexágono de la figura adjunta.
Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial:
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TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
El teorema de divergencia se llama también teorema de Gauss, en honor al famoso matemático Carl Friedrich Gauss, que este junto con Arquímedes y Newton, están considerados como los matemáticos más importantes de todos los tiempos. Entre sus contribuciones demostró a los 22 años y como parte de su trabajo de tesis doctoral, el teorema fundamental del algebra
Teorema de divergencia
Sea Q una región solida acotada por una superficie cerrada S. orientada por vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior Q. Si F es un capo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces:
∫ 𝑭. 𝒏 𝒅𝑺 = ∭ 𝒅𝒊𝒗 𝑭 𝒅𝑽 𝒔
𝑸
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PROBLEMA 1: Calcule el flujo del campo vectorial F(x,y,z)=(xz,-y2,xz) a través de la superficie cerrada que limita el cilindro X2 + y2≤R2
con
0≤ z ≤ 3
a) Calculamos el flujo del campo utilizando el teorema de Divergencia.
Solución:
∫ 𝑭. 𝒏 𝒅𝑺 = ∭ 𝒅𝒊𝒗 𝑭𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛, 𝒔
𝒗
En primer lugar calculamos la divergencia de F divF (x,y,z)=z-2y +x.
La forma más conveniente de realizar la integral en el conjunto V es hacer un cambio a coordenadas cilíndricas, ya que por ser V un cilindro el recinto de integración en estas variables es un rectángulo, es decir, 𝜌𝜖]0, 𝑅[, 𝜑 𝜖 ]0,2𝜋[,
𝑧 ∈]0,3[.
Entonces, ∫ 𝐹. 𝑛 𝑑𝑆 = ∭ 𝑠
𝑑𝑖𝑣 𝐹 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ (𝑧 − 2𝑦 + 𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑣 𝑅
2𝜋
=∫ ∫ 0 𝑅
0
𝑣 3
∫ (𝑧 − 2𝜌𝑠𝑛 𝜑 + 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑)𝜌𝑑𝑧𝑑𝜑𝑑𝑝 = 0
2𝜋
𝑅 9 9 2 2 = ∫ ∫ ( 𝜌 − 6𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 3𝜌 𝑐𝑜𝑠 𝜑) 𝑑𝜑𝑑𝜌 = ∫ 9𝜋 𝜌𝑑𝜌 = 𝜋𝑅2 2 2 0 0 0
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CONCLUSIONES No queda más que mencionar que todo lo aprendido en el curso queda justificado con el presente portafolio de evidencias, el cual contiene los temas vistos, ejemplos, ejercicios, cortos y resolución de exámenes. Puedo decir que, este curso me permitió ir construyendo aprendizajes gracias a la forma en como fueron desarrolladas las clases, a los trabajos realizados y a las lecturas analizadas. Podría exponer que todo lo hecho durante éste, me permite comprender mejor los temas de cálculo integral y vectorial, gracias a las constantes actividades que se estuvo llevando a cabo en el transcurso de este tiempo. El Portafolio es una herramienta de mucha utilidad para ayuda a repasar de forma simple los temas vistos en clase y logros del proceso de enseñanza.
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Portafolio de evidencias
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