Universidad Rafael LandĂvar, Quetzaltenango
Sucely Vela Granados
Pablo Gerardo Itzol Meren 2020 2
Contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 5 UNIDAD 1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ........................................................... 6 ANGULOS ................................................................................................................................... 6 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ................................................................................................ 9 LEY DE SENOS............................................................................................................................12 LEY DE COSENO .........................................................................................................................14 UNIDAD 2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA.........17 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES.............................................................17 VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.....................................................................19 GRAFICA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS............................................................................21 FUNCIONES INVERSAS ...............................................................................................................26 UNIDAD 3. TRIGONOMETRIA ANALITICA......................................................................................28 VARIACION DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS .....................................................................28 FORMULAS DE ADICION Y SUSTRACCION ..................................................................................30 FORMULAS DE ANGULO DOBLE .................................................................................................31 MITAD DE ANGULO ...................................................................................................................32 FORMULAS DE SUMA A PRODUCTO ..........................................................................................33 UNIDAD 4. GEOMETRIA ANALITICA ..............................................................................................36 PARABOLA ................................................................................................................................36 ELIPSE .......................................................................................................................................38 CONCLUSIONES .........................................................................................................................41
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INTRODUCCIÓN
El portafolio electrónico, es una herramienta muy útil para el desarrollo durante el curso de matemática II, se almacenan los trabajos realizados durante el periodo de la asignatura, así como conceptos, ejemplos realizadas en forma externa como trabajos realizados en horas de clases. Se lleva un orden de lo que se realiza en cada unidad, y es más sencillo encontrar los trabajos si se van guardando en el portafolio de evidencias, y así evitar perder los trabajos que se realizan. El presente portafolio tiene la finalidad de almacenar y analizar con profundidad en modo resumido lo estudiado en las diferentes unidades de Matemáticas II, a lo largo de este interciclo se impartieron diferentes temas, en base a los conceptos fueron puestos en práctica en la resolución de ejercicios matemáticos. A continuación, se describe la importancia de las matemáticas como base para la formación como futuros ingenieros, que durante el estudio se ha venido enfatizando. Esta ciencia formal hace referencia a temas cotidianos como desarrollar la capacidad de identificar, interpretar, representar y modelar problemas planteados en la industria, con el objetivo de mejorar los procesos inherentes a estas.
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UNIDAD 1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE à NGULOS
ANGULOS Es la uniĂłn de dos semirrectas que se intersecan en su extremo. Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ĂĄngulo, mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se intersecan las semirrectas se denomina vĂŠrtice del ĂĄngulo. ✓ Se acostumbra designar a la medida de los ĂĄngulos con letras del alfabeto griego: Îą, β, Îł, θ, ω entre otras.
UbicaciĂłn de los ĂĄngulos. Ejemplo 1: Se requiere ubicar un ĂĄngulo cuya medida es 410Âş. Si se divide para 360Âş, se obtiene 1 de cociente y 50 de residuo. Esto quiere decir que el ĂĄngulo ha dado una vuelta completa de 360Âş y su lado terminal se ha ubicado en 50Âş. Por tanto, es un ĂĄngulo del I Cuadrante. Ă ngulos coterminales. đ?œ‹ 5đ?œ‹ Ejemplo 2: Sean Îą = y β = − . Graficando se observa que los ĂĄngulos son 3 3 coterminales.
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Ejemplo 3: Ă ngulos coterminales đ?&#x;?đ?›‘ đ?&#x;‘ Coterminales Positivos 2Ď€ 8Ď€ + 2Ď€ = 3 3 2Ď€ 14Ď€ + 4Ď€ = 3 3 Coterminales Negativos 2Ď€ 4Ď€ − 2Ď€ = − 3 3 2Ď€ 10Ď€ − 4Ď€ = − 3 3 Angulo Complementario Dos ĂĄngulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de un ĂĄngulo recto: Îą + β = 90Âş. Ejemplo 4: encuentre el ĂĄngulo complementario de 5.08 đ?œƒ = 5.08 5.08+ đ?œƒ2 = 90 θ2 = 90- 5.08 θ2 = 84.92° Tipos de ĂĄngulos
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Grados y radianes
Longitud de arco
Ă rea de un sector circular
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos.
✓ Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos. ✓ Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo. Funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo
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Ejemplo 1: Encuentre el valor de las seis funciones trigonomĂŠtricas del angulo rectĂĄngulo.
√22
+
12
= √4 + 1 = √đ?&#x;‘
��� 60° =
√đ?&#x;‘ đ?&#x;‘
đ??śđ?‘ đ?‘? 60° =
đ?&#x;?√đ?&#x;‘ đ?&#x;‘
đ??śđ?‘œđ?‘ 60° =
đ?&#x;? đ?&#x;?
đ?‘†đ?‘’đ?‘? 60° =
đ?&#x;? =đ?&#x;? đ?&#x;?
đ??śđ?‘œđ?‘Ą 60° =
√đ?&#x;‘ đ?&#x;‘
đ?‘‡đ?‘Žđ?‘› 60° = √đ?&#x;‘
Ejemplo 2: Altura de un ĂĄrbol
��� 60° =
h
đ?’‰ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;Ž
200 (��� 60°) = � 200
200 (√đ?&#x;‘ ) = đ?’‰ đ?’‰ = 200 (√đ?&#x;‘ ) đ?’‰ = đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;”. đ?&#x;’đ?&#x;? đ?’‘đ?’Šđ?’†đ?’”
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Ejemplo 3: Use las identidades pitagĂłricas para escribir la expresiĂłn como entero. đ?œ¸ đ?œ¸ đ?&#x;• đ?’”đ?’†đ?’„đ?&#x;? ( ) − đ?&#x;• đ?’•đ?’‚đ?’?đ?&#x;? ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;‘
đ?&#x;• đ?’”đ?’†đ?’„đ?&#x;? đ?œ¸ − đ?&#x;• đ?’•đ?’‚đ?’?đ?&#x;? đ?œ¸ 7 sec 2 Îł − 7 tan2 Îł = 7(sec 2 Îł − tan2 Îł) = 7(1) =7
= 7(sec 2 (Îł/3) − tan2 (Îł/3) = 7(1) =7
PROBLEMAS APLICADOS Ejemplo 4.
Triangulo 1: đ?&#x;–đ?&#x;“ đ?‘¨đ?’…đ?’šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’† Ady (tan 60°) = 85 đ?&#x;–đ?&#x;“ đ?‘¨đ?’…đ?’šđ?’‚đ?’„đ?’†đ?’?đ?’•đ?’† = đ?’•đ?’‚đ?’? đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?‘‡đ?‘Žđ?‘› 60° =
Triangulo 3 85 Adyacente Ady (tan 30°) = 85 85 Adyacente = tan 30 Adyacente = x + adyacente 1 85 Adyacente = X + tan 60 ��� 30° =
đ?‘‹+ đ?‘‹=
85 85 = tan 60 tan 30 85 tan 30
X= 98.14
−
85 tan 30
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LEY DE SENOS Es la relaciĂłn entre los lados y ĂĄngulos de triĂĄngulos no rectĂĄngulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relaciĂłn de la longitud de un lado de un triĂĄngulo al seno del ĂĄngulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ĂĄngulos en un triĂĄngulo dado.
Ejemplo 1. Al ser un triĂĄngulo rectĂĄngulo, el ĂĄngulo C mide 90 grados, nos indican que el ĂĄngulo A mide 45 grados por lo que podemos obtener el ĂĄngulo B restando la suma de estos dos valores a 180 grados; de esta manera sabemos que el ĂĄngulo B mide 45 grados. DespuĂŠs de realizar las operaciones obtenemos lo siguiente:
đ?‘Ş đ?’‚ = đ?‘şđ?’†đ?’„ đ?‘Ş đ?‘şđ?’†đ?’? đ?‘¨
16√2 =16
a ) đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ??ś C=( Sen A C=(
16
16 ) đ?‘ đ?‘’đ?‘› 90 Sen 45
C = (16√2)1 đ??‚ = đ?&#x;?đ?&#x;”√đ?&#x;?
b= √đ??œ đ?&#x;? − đ?’‚đ?&#x;? 2
b= √(16√2) − 162 → b= 16 12
Ejemplo 2. Resuelva el ABC.
β = 41°30´ γ = 91°𝟏0´
c = 117.24
𝜷 = 𝑺𝒆𝒏−𝟏
(𝟕𝟕.𝟕)( 𝑺𝒆𝒏 𝟒𝟕°𝟐𝟎´)
𝜷 = 𝟒𝟏°𝟑𝟎´
𝟖𝟔.𝟑
γ = 180° − 41°30´− 47°20´ γ = 91°𝟏0´
c=
(𝟕𝟕.𝟕)( 𝐒𝐞𝐧 𝟗𝟏°𝟏𝟎´) 𝐒𝐞𝐧 𝟒𝟏°𝟑𝟎´
c = 117.24
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LEY DE COSENO La ley de cosenos es una relaciĂłn de un lado del triĂĄngulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ĂĄngulo formado por estos dos lados.
Ejemplo 1. En un entrenamiento de futbol se coloca el balĂłn en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes de la porterĂa, cuyo ancho es de 7m. Âż Bajo que ĂĄngulo se ve la porterĂa desde ese punto?
đ??ľ=
đ??śđ?‘œđ?‘ −1
(
82 +52 −72 2∗8∗5
)
B= 60° 14
Ejemplo 2 Encuentre el valor exacto de lado c del ĂĄngulo A.
c = √(92 ) + (62 ) − 2(9)(6) cos 120
đ?&#x;?đ?&#x;‘. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ??Šđ??Ś
c = √117 − 2(54) cos 120 c = √117 − 108 cos 120 đ??œ = đ?&#x;‘√đ?&#x;?đ?&#x;— đ??œ = đ?&#x;?đ?&#x;‘. đ?&#x;Žđ?&#x;• đ??Šđ??Ś
62 + 13.072 − 92 đ??´ = đ??śđ?‘œđ?‘ ( ) 2 ∗ 6 ∗ 13.07 đ??´ = đ??śđ?‘œđ?‘ −1 (0.802) đ?‘¨ = đ?&#x;‘đ?&#x;”. đ?&#x;”đ?&#x;“° −1
Ejemplo 3 Dado los siguientes datos encuentre: A = 12.42° β = -136.47° C=
đ??´ = đ??śđ?‘œđ?‘
31.1°
−1
a = 25 b = 80 c = 60
802 + 602 − 252 ( ) 2 ∗ 80 ∗ 60
125 đ??´ = đ??śđ?‘œđ?‘ −1 ( ) 128 đ??€ = đ?&#x;?đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;?°
đ??ľ = đ??śđ?‘œđ?‘
−1
252 + 602 − 802 ( ) 2 ∗ 25 ∗ 60
đ??ľ = đ??śđ?‘œđ?‘ −1 (−
29 ) 40
đ?? = −đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;”. đ?&#x;’đ?&#x;•Â°
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INTEGRANTES: Yoselin Karina De Leรณn Arriaza Kendly Yohana Gonzรกlez Escobar Pablo Gerardo Itzol Meren Gustavo Alejandro Vรกsquez Pacajรก
GRUPO No. 1
TUTORIAS No. 1
UNIDAD 2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES
Con una circunferencia de radio uno se pueden formar todos los ángulos del sistema sexagesimal y calcular sus razones trigonométricas. Basta con solo medir las coordenadas x e y en una circunferencia unitaria para encontrar el coseno y seno (con estas podemos deducir las razones restantes). Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria
Valores especiales de las funciones trigonométricas
Ejemplo 1. Encuentre los valores de las funciones trigonométricas en t.
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Ejemplo 1. Un punto P(x, y) se muestra en la circunferencia unitaria U correspondiente a un nĂşmero real t. Encuentre los valores de las funciones trigonomĂŠtricas en t.
đ?‘ƒ(
đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?‘Ą = − đ??śđ?‘œđ?‘ đ?‘Ą =
đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› đ?‘Ą =
đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;“
đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;“ −
7 25 = − đ?&#x;• 24 đ?&#x;?đ?&#x;’ 25
24 7 ,− ) 25 25 1 đ?&#x;?đ?&#x;“ đ??śđ?‘ đ?‘? đ?‘Ą = − 7 = − 25 đ?&#x;• 1 đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?‘†đ?‘’đ?‘? đ?‘Ą = 24 = 25 đ?&#x;?đ?&#x;’ 24 đ?&#x;?đ?&#x;“ đ??śđ?‘œđ?‘Ą đ?‘Ą = 25 = − 7 đ?&#x;• − 25
Ejemplo 2. El punto P (x, y) se muestra en una circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las razones trigonomĂŠtricas del ĂĄngulo central.
đ?&#x;’ đ?‘†đ?‘’đ?‘› đ?œƒ = đ?&#x;“ đ??śđ?‘œđ?‘ đ?œƒ =
đ?&#x;‘ đ?&#x;“
4 đ?&#x;’ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› đ?œƒ = 5 = 3 đ?&#x;‘ 5
1 đ?&#x;“ đ??śđ?‘ đ?‘? đ?œƒ = 4 = 5 đ?&#x;’ đ??śđ?‘œđ?‘ đ?œƒ =
đ?&#x;“ đ?&#x;‘
3 đ?&#x;‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› đ?œƒ = 5 = 4 đ?&#x;’ 5
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VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para cada ĂĄngulo dibujado en la posiciĂłn estĂĄndar, existe un ĂĄngulo relacionado conocido como ĂĄngulo de referencia. Este es el ĂĄngulo formado por el lado terminal y el eje-x. ✓ El ĂĄngulo de referencia siempre se considera positivo, y tiene un valor entre 0° y 90°. A continuaciĂłn, se muestran dos ĂĄngulos en la posiciĂłn estĂĄndar.
Ejemplo 1. Halla el ĂĄngulo de referencia para:
đ?œ˝=
đ?&#x;?đ?&#x;?đ?›‘ đ?&#x;” Îą pertenece al cuadrante IV, por tanto,
ι= 2πι=
11Ď€ 6
đ?›‘ đ?&#x;”
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Ejemplo 2. Halla el ĂĄngulo de referencia para:
đ?›‰ = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;ŽÂ°
Îą= đ?&#x;”đ?&#x;ŽÂ°
Ejemplo 3. Halla el valor de las funciones trigonomĂŠtricas de un ĂĄngulo de: đ?œ˝=
đ?&#x;‘đ?›‘ đ?&#x;’
��� (
Îą=
đ?›‘ đ?&#x;’
3đ?œ‹ √đ?&#x;? )= 4 đ?&#x;?
đ??śđ?‘ đ?‘? (
3đ?œ‹ ) = √đ?&#x;? 4
3đ?œ‹ ) = −√đ?&#x;? 4
3đ?œ‹ √đ?&#x;? đ??śđ?‘œđ?‘ ( ) = − 4 đ?&#x;?
đ?‘†đ?‘’đ?‘? (
3đ?œ‹ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘› ( ) = −đ?&#x;? 4
đ??śđ?‘œđ?‘Ą (
3đ?œ‹ ) = −đ?&#x;? 4
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GRAFICA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras. Es necesario estudiar la forma de la gráfica de cada función trigonométrica. Esta forma está asociada a las características particulares de cada función.
Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance.
Grafica de y= sen x Características de la función seno ✓ Dominio: R ✓ Rango: [-1, 1] ✓ El período es 2 π. ✓ La función y=sen x es impar ✓ La gráfica intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: πn ✓ La amplitud de la función y=sen(x) es 1. La gráfica de la función seno empieza de cero en 0°, va aumentando paulatinamente hasta llegar a uno en 90°. Después va disminuyendo hasta llegar a cero en 180°. Posteriormente disminuye negativamente hasta llegar a -1 en 270°. Finalmente, va aumentando hasta regresar a cero en 360°.
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Ejemplo 1.
y
Desfase =
Grafica de y= cos x Características de la función Coseno. ✓ Dominio: R ✓ Rango: [-1, 1] ✓ Es una función periódica, y su período es 2π. ✓ La función y=cos(x) es par. ✓ Intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x = 2/π +n π , ✓ El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. ✓ La amplitud de la función y=cos(x) es 1.
La gráfica de la función coseno empieza en uno en 0°, va disminuyendo paulatinamente hasta llegar a cero en 90°. Después sigue disminuyendo hasta llegar a -1 en 180°. Posteriormente crece hasta llegar a cero en 270°. Finalmente, sigue aumentando hasta regresar a 1 en 360°.
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y = 2cos(3x+ π ) -1.
Ejemplo 2. A= 2
B=3
Periodo=
C= π
đ?&#x;?đ?›‘ đ?&#x;‘
Desfase= −
đ??‚ đ?‘Š
= đ?›‘đ?&#x;‘
Desplazamiento vertical= -1
Grafica de y= tan x CaracterĂsticas de la funciĂłn Coseno. ✓ Dominio: x≠✓ Recorrido: R ✓ La funciĂłn tangente es una funciĂłn periĂłdica, y su perĂodo es Ď€. ✓ La funciĂłn y=tan x es una funciĂłn impar. ✓ 4. La grĂĄfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =Ď€n.
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Grafica de y= csc x ✓ El ciclo fundamental de la funciĂłn cosecante del ĂĄngulo comienza en 0 y termina en 2Ď€. ✓ El periodo de la funciĂłn cosecante es 2Ď€ ✓ AsĂntotas: x=-Ď€/2, x=Ď€/2 y x=3Ď€/2 ✓ El eje de referencia es: el eje “xâ€?
A= 3
đ?&#x;‘
B=
Periodo=
đ?&#x;‘
đ?›‘
đ?&#x;?
đ?&#x;‘
y = 3csc (x+ ) +2
Ejemplo 3.
2Ď€ đ??ľ
=
C=
đ?&#x;?
đ?&#x;?đ?›‘ đ?&#x;‘
đ?&#x;’đ?›‘ đ?&#x;‘
Desplazamiento vertical= 2 0<
−
3x 2
+
3Ď€ 6
<
3Ď€ 6 3x 2
< 2Ď€ <
3Ď€ 2
Ď€
− <đ?‘Ľ< đ?œ‹ 3
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Grafica de y= sec x La grafica de la función y= sec (x), tiene las siguientes características:
Grafica de y= cot x La grafica de la función y= sec (x), tiene las siguientes características:
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FUNCIONES INVERSAS A la funciĂłn inversa del seno se la denota por sen-1(x) o arcsen(x). A la funciĂłn inversa del coseno se la denota por cos−1 (x) o arccos(x). A la funciĂłn inversa de la tangente se la denota por tan−1 (x) o arctan(x). A la funciĂłn inversa de la cotangente se la denota por cot−1(x) o arccot(x) A la funciĂłn inversa de la secante se la denota por sec-1(x) o arcsec(x). A la funciĂłn inversa de la cosecante se la denota por csc-1(x) o arccsc (x). Ejemplo 1. 15 Determine el valor de tan(x), tal que x = arcsen (− ) , 17
3đ?œ‹ 15
≤ x ≤ 2π.
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EJERCICIO EN CLASE 5.4
HOJA DE TRABAJO, TUTORIAS No. 2
UNIDAD 3. TRIGONOMETRIA ANALITICA
VARIACION DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS En trigonometrĂa existen unas ecuaciones muy particulares a las cuales se le llama identidades trigonomĂŠtricas, dichas ecuaciones tienen la particularidad que se satisfacen para cualquier ĂĄngulo. Dentro de este contexto se analizarĂĄn varias clases de identidades, las bĂĄsicas, las de suma y diferencia, las de ĂĄngulo doble y las de ĂĄngulo mitad. Identidades trigonomĂŠtricas fundamentales
Ejemplo 1.
đ??Źđ??˘đ??§(đ??ą+đ??˛)−đ??Źđ??˘đ??§(đ??ąâˆ’đ??˛) đ??œđ??¨đ??Ź(đ??ą+đ??˛)+đ??œđ??¨đ??Ź(đ??ąâˆ’đ??˛)
= đ??đ??šđ??§đ??˛
Numerador đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ś − [đ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ľđ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ś − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘Ľđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ś) =sinxcosy+cosxsiny−sinxcosy+cosxsiny =2cosxsiny Denomnador cosxcosy−sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny =cosxcosy−sinxsiny+cosxcosy+sinxsiny =2cosxcosy
=
2cosxsiny 2cosxcosy
=
siny cosy
= tan y
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Ejemplo 2. Demostrar que tan( + ) = tan( ) Por la identidad de suma para tangente: tan(π )+tan( θ) tan( + ) = 1 tan(π ) tan( θ)
= =
0+ tan( θ) 1−0∗ tan( θ) tan( θ) 1−0
= tan(ϴ)
Ejemplo 3. Demostrar que la identidad sea correcta.
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FORMULAS DE ADICION Y SUSTRACCION
Ejemplo 1. Determine el valor de: a) sen(75ยบ) sen(75ยบ) = sen(30ยบ + 45ยบ) = sen(30ยบ) cos(45ยบ) + cos(30ยบ) sen(45ยบ) 1 2
= ( )(
โ 2
2
)+(
โ 3
2
)(
โ 2
2
)
โ 2 โ 6 + 4 4
=
=
โ ๐ +โ ๐ ๐
b) cos(105ยบ) cos(105ยบ) = cos(45ยบ + 60ยบ) = cos(45ยบ) cos(60ยบ) + sen(45ยบ) sen(60ยบ) = (
โ 2
2
1 2
)( ) โ (
โ 2
2
)(
โ 3
2
)
โ 2 โ 6 + 4 4
=
=
โ ๐ +โ ๐ ๐
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FORMULAS DE ANGULO DOBLE Cuando en la suma de ángulos, los dos ángulos son iguales, es decir: α = β, se obtiene los llamados ángulos dobles. Estos son una herramienta muy usada en el movimiento parabólico.
Ejemplo 1. Sea un ángulo α=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo doble son:
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MITAD DE ANGULO En ocasiones se presentan casos donde se requiere trabajar con ĂĄngulos mitad, luego es pertinente analizar identidades de este tipo.
Ejemplo 1. Utilizando las fĂłrmulas anteriores, hallar cos(60 Âş /2).
= đ?&#x;Ž, đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;” = đ?‘Şđ?’?đ?’” đ?&#x;‘đ?&#x;Ž Âş
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FORMULAS DE SUMA A PRODUCTO
Ejemplo 1. Demostrar la identidad:
= đ?’•đ?’‚đ?’?(đ?&#x;”đ?’™)
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Ejemplo 2. Demostrar la identidad:
= −đ?’„đ?’?đ?’• (
đ?’™+đ?’š đ?’™âˆ’đ?’š ) đ?’„đ?’?đ?’• ( ) đ?&#x;? đ?&#x;?
Ejemplo 3. Exprese como producto Cos (x) + cos (2x)
= 2cos (
x + 2x x − 2x ) cos ( ) 2 2
= 2cos (
3x −x ) cos ( ) 2 2
= đ?&#x;?đ??œđ??¨đ??Ź (
đ?&#x;‘đ??ą −đ??ą ) đ??œđ??¨đ??Ź ( ) đ?&#x;? đ?&#x;?
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TRABAJO EN CLASE 6.1
TAREA 6.1
TAREA 6.3
EJERCICIOS 47 Y 49
TUTORIAS No.3
TERCER EXAMEN PARCIAL
UNIDAD 4. GEOMETRIA ANALITICA
PARABOLA Se le llama parábola al conjunto de puntos cuyas distancias a un punto fijo y a una recta fija, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA: VERTICE, FOCO, DIRECTRIZ, PARAMETRO Y LADO RECTO. La parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación: ➢ VÉRTICE (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal. ➢ EJE FOCAL (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice. ➢ FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice. ➢ DIRECTRIZ (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a ➢ una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola. ➢ DISTANCIA FOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, ➢ así como entre vértice y directriz. ➢ CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, ➢ pertenecientes a la parábola. ➢ CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco. ➢ LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
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Ejemplo 1. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3,2) y foco en (5,2). Dado lo anterior, es posible afirmar que su ecuación tiene la forma:
Siendo las coordenadas del vértice (h,k), se sustituyen en la ecuación y resulta: (y-2)2 = 4p (x- 3) En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, y ésta se obtiene por diferencia de las abscisas correspondientes: p=5–3 p=2 Sustituyendo: (y-2)2 = 4(2) (x- 3) R.// (y-2)2 = 8 (x- 3)
Ejemplo 2. Dada la parábola con ecuación: (x-2)2 = 8(y+3), hallar el vértice, foco y directriz. Ecuación estandar:
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ELIPSE La elipse es una curva ovalada, que se asemeja a una circunferencia alargada, se obtiene cuando el plano corta el cono de manera sesgada. • Es un conjunto de puntos (x, y) en el plano cartesiano, tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
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Ejemplo 1. Encuentre el centro, los focos y los vĂŠrtices de la elipse (đ??˛ + đ?&#x;?) (đ??ą − đ?&#x;‘) + =đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;’ a= 3 b=2
h=3 k=-1
a2 = b2 + c2 32 - 22= c2 9- 4= c2 √đ?&#x;“ = đ??œ Excentricidad e= e=
c √5 = a 3 √5 = đ?&#x;Ž. đ?&#x;•đ?&#x;’ 3
Eje focal x=h x=3 Focos (h,kÂąc) (3,-1+ √5 ) = (3, 1.23) (3,-1- √5 ) = (3, -3.23) Vertices (h,kÂąa) (3,-1+ 3 ) = (3, 2) (3,-1-3 ) = (3, -4)
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IV
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TUTORIAS No.4
CONCLUSIONES No queda más que mencionar que todo lo aprendido en el curso queda justificado con el presente portafolio de evidencias, el cual contiene los temas vistos, ejemplos, ejercicios, cortos y hojas de tutorías. Puedo decir que, este curso me permitió ir construyendo aprendizajes gracias a la forma en como fueron desarrolladas las clases, a los trabajos realizados y a las lecturas analizadas. Podría exponer que todo lo hecho durante éste, me permite comprender mejor los temas matemáticos, gracias a las constantes actividades que se estuvo llevando a cabo en el transcurso de este tiempo. El Portafolio es una herramienta de mucha utilidad para ayuda a repasar de forma simple los temas visto en clase y logros del proceso de enseñanza.
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Portafolio de evidencias
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