Leyes de los limites

SEMESTRE

II

UNIVERSIDAD RAFAEL LANDIVAR, QUETZALTENAGO

CATEDRÁTICO: ELFEGO OVALLE GUTIERREZ CALCULO I INGENIERIA INDUSTRIAL

ESTUDIANTES: ✓ ITZOL MEREN PABLO GERARDO CARNÉ: 15934-20

Quetzaltenango, agosto de 2020

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Elfego Ovalle Gutiérrez

Pablo Gerardo Itzol Meren 2020 Pág. 2

INTRODUCCIÓN

El concepto de límite es fundamental en el Cálculo, de manera que para poder profundizar en el conocimiento de la materia es imprescindible, tanto el manejo práctico de las reglas para el cálculo de límites, como la comprensión teórica del concepto de límite.

En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estático y significa término, extremo o frontera. Sin embargo, en Cálculo, el concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea de acercarse los más posible a un punto o un valor (x → x0). En otras ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo más posible del origen, o hacer lo más grande posible un número (x → ∞) El límite de la función f(x) en el punto Xo, es el valor al que se acercan. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a Xo. Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiende hacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

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PROPIEDADES DE LOS LIMITES Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denomina álgebra de los límites.

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.

Ley de la suma El límite de la suma es la suma de los límites. Así, si lim f(x)=a y lim g(x)=b entonces:

lim [f(x)+g(x)]= lim f(x)+lim g(x)=a+b x→

x→

x→

Ejemplo

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Ley de la resta El límite de la resta de dos funciones es la diferencia de sus límites.

lim [f(x) - g(x)]= lim f(x) - lim g(x)=a-b x→

x→

x→

Ejemplo

Ley del producto El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de cada función.

Así, si lim f(x)=a y lim g(x)=b entonces:

lim [f(x) ⋅ g(x)]= lim f(x) ⋅ lim g(x)=a⋅b x→

x→

x→

Ejemplo

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Ley del cociente El lĂ­mite del cociente de dos funciones es la divisiĂłn de los lĂ­mites de cada funciĂłn.

Así, si lim f(x)=a y lim g(x)=b, con b≠0, entonces:

đ??Ľđ??˘đ??Ś ( x→

đ?’‡(đ??ą) đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’‡(đ??ą) đ??š ) = x→ = đ?’ˆ(đ??ą) đ??Ľđ??˘đ??Ś đ?’ˆ(đ??ą) đ?’ƒ x→

Ejemplo

Ley de una constante El lĂ­mite de una funciĂłn constante es esta misma constante. lim k=k

x→

Ejemplo

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Ley de la potencia El límite de la potencia de dos funciones es el valor de la potencia de los límites de cada función. Así, si lim f(x)=a y lim g(x)=b, entonces: lim [f(x)g(x)] = lim f(x)lim g(x) = ab x→a

x→a

la funciĂłn potencia f(x)g(x) Ăł g(x)f(x) solo se define para valores positivos de la base.

Ejemplo

Ley de la raĂ­z đ?’?

đ?’Ž

Una raĂ­z es una potencia de exponente fraccionario đ?’‚đ?’Ž = √đ?’‚đ?’? , con lo que estamos ante una particularizaciĂłn del caso anterior. AsĂ­ pues, sea lim g(x)=a, entonces:

đ?’?đ?’Šđ?’Ž đ?’Žâˆšđ?’ˆ(đ?’™) = đ?’Žâˆšđ?’?đ?’Šđ?’Ž đ?’ˆ(đ?’™)

x→a

x→a

Ejemplo

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Propiedad de la función logarítmica El límite del logaritmo es el logaritmo del límite. lim [ logk g(x)] = logk [ lim g(x)] x→a

x→a

Ejemplo

Propiedad de sustitución directa Si f es una función polinomial o una función racional y a está en el dominio de f.

lim f(x) = f(a)

x→a

Ejemplo

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Límite de una función identidad El límite de una función f(x), va ser el valor de x→

Ejemplo

Seno, coseno y tangente Sea lim g(x)=a, entonces: lim sin(g(x))=sin(lim g(x))=sin(a) lim cos(g(x))=cos(lim g(x))=cos(a) lim tan(g(x))=tan(lim g(x))=tan(a)

Ejemplo

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