Na olimpijskim szlaku. Zadania dla kółek matematycznych - Henryk Pawłowski

Henryk Paw³owski

Na olimpijskim szlaku Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i gimnazjach

Toruñ 2006

strona – 1 — niebieski

strona – 1 — czarny

strona – 1 — czerwony

Henryk Paw³owski

Na olimpijskim szlaku Zadania dla kó³ek matematycznych w szko³ach podstawowych i gimnazjach

Redaktor wydania:

Zdzis³aw G³owacki Korekta:

Joanna Kar³owska-Pik Redakcja techniczna, opracowanie graficzne, ³amanie i przygotowanie do druku:

Robert Ciechanowski, RC PRO (www.rc-pro.eu) Projekt ok³adki:

Miros³aw G³odkowski, Zdzis³aw G³owacki Ilustracje:

Katarzyna Danielewska Ksi¹¿ka zosta³a przygotowana z myœl¹ o uczniach starszych klas szko³y podstawowej, gimnazjum i liceum zainteresowanych matematyk¹. Znajduj¹ siê tutaj m.in. zadania pochodz¹ce z olimpiad i konkursów matematycznych. Na olimpijskim szlaku to elementarz ucznia myœl¹cego powa¿nie o udziale w konkursach matematycznych, to tak¿e zbiór ciekawych zadañ do wykorzystywania na lekcjach matematyki.

© Copyright by Oficyna Wydawnicza „Tutor” Wydanie III. Toruñ 2006 r.

Oficyna Wydawnicza „Tutor” 87-100 Toruñ, ul. Warszawska 14/2, tel./fax 0-56 65-999-55, 0-56 66-408-66 Wysy³kowa Ksiêgarnia Internetowa: www.szkolna.pl

ISBN 978-83-89563-25-5

strona – 2 — czarny

„Nie mo¿esz rozwi¹zaæ trudnego zadania — bierz siê za zadanie niemo¿liwe” (Aleksander Wielki)

strona – 3 — czarny

strona – 4 — czarny

Spis treœci Od Autora

7

Rozdzia³

1

Figle z zapa³kami

9

Rozwi¹zania – Rozdzia³

1

Figle z zapa³kami

26

Rozdzia³

2

Zadania geometryczne

49

Rozwi¹zania – Rozdzia³

2

Zadania geometryczne

67

Rozdzia³

3

Diagramy i rebusy

92

Rozwi¹zania – Rozdzia³

3

Diagramy i rebusy

100

Rozdzia³

4

Potêgi i wzory skróconego mno¿enia

108

Rozwi¹zania – Rozdzia³

4

Potêgi i wzory skróconego mno¿enia

114

Rozdzia³

5

Równania, nierównoœci i to¿samoœci

128

Rozwi¹zania – Rozdzia³

5

Równania, nierównoœci i to¿samoœci

strona – 5 — niebieski

strona – 5 — czarny

136

strona – 5 — czerwony

Rozdzia³

6

Zadania rozmaite

153

Rozwi¹zania – Rozdzia³

6

Zadania rozmaite

161

Ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka

175

1. Arytmetyka i algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

Elementy teorii podzielnoœci . . . . . . . . . . . .

Przydatne to¿samoœci i nierównoœci . . . . . . . . .

Symbol Newtona, dwumian Newtona i trójk¹t Pascala Wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej . . . . . . .

Czêœæ ca³kowita (cecha) i czêœæ u³amkowa (mantysa) liczby rzeczywistej x . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 175 . . . . . . . . 179 . . . . . . . . 181 . . . . . . . . 183 . . . . . . . . 185

2. Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Elementy geometrii trójk¹ta . . . . . . . . . . .

Okr¹g i prosta . . . . . . . . . . . . . . . . .

W³asnoœci ³uków i ciêciw okrêgu . . . . . . . . .

K¹ty w kole . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Czworok¹ty wpisane w okr¹g . . . . . . . . . .

Dwa okrêgi . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kilka faktów o trapezie . . . . . . . . . . . . . n-k¹ty (n ³ 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Twierdzenie Talesa i doñ odwrotne . . . . . . .

Geometryczny dowód zale¿noœci miêdzy œrednimi dwóch liczb dodatnich . . . . . . . . . . . . .

2.11. Bry³y Platona . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 186 . . . . . . . . . . 191 . . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . . 194 . . . . . . . . . . 195 . . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . 201 . . . . . . . . . . 202 . . . . . . . . . . 203 . . . . . . . . . . 203

Propozycje tematów zajêæ kó³ek matematycznych

205

Literatura

207

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Ksi¹¿ki, po które warto siêgn¹æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

strona – 6 — czerwony

strona – 6 — czarny

strona – 6 — niebieski

Od Autora

Coraz wiêcej pañstw ca³ego œwiata organizuje narodowe olimpiady matematyczne, ale s¹ one adresowane zazwyczaj do uczniów szkó³ œrednich.

W niektórych krajach olimpiadami regularnie obejmowani s¹ tak¿e uczniowie klas m³odszych. W takich pañstwach jak np. Rosja, Litwa, £otwa, Estonia, Bia³oruœ, Ukraina (a dawniej ca³y Zwi¹zek Radziecki), Czechy, S³owacja (kiedyœ Czechos³owacja), Wêgry, Rumunia, Bu³garia, ta forma pracy z uzdolnionym matematycznie uczniem ma swoj¹ d³ugoletni¹ i bogat¹ tradycjê.

Organizowane w Polsce konkursy matematyczne dla uczniów szkó³ podstawowych (g³ównie klas V i VI) oraz gimnazjów maj¹ zasiêg lokalny. Odbywaj¹ siê one niezale¿nie od siebie w ka¿dym województwie. £¹czy je ta sama liczba etapów, ró¿ni zaœ stopieñ trudnoœci przygotowywanych zadañ.

Niniejszy zbiór, przeznaczony dla uczniów szkó³ podstawowych i nowo utworzonych gimnazjów, zawiera zadania z olimpiad matematycznych wymienionych wy¿ej pañstw. S¹ tutaj tak¿e zadania dla uczniów najm³odszych z konkursów matematycznych organizowanych na ³amach ró¿nych zagranicznych czasopism. Prawie wszystkie prezentowane w tej ksi¹¿ce zadania rozwi¹zywa³em z uczniami klas IV–VIII na zajêciach miêdzyszkolnych kó³ matematycznych i cieszy³y siê one bardzo du¿ym powodzeniem. Znajdziemy tutaj zadania, które nie tylko uatrakcyjni¹ zajêcia ko³a czy lekcjê, ale tak¿e znakomicie przygotuj¹ ucznia do udzia³u w konkursach matematycznych, a w przysz³oœci — w olimpiadzie. Zadania s¹ zestawione w szeœciu tematycznych rozdzia³ach i maj¹ ró¿ny stopieñ trudnoœci. Opracowane rozwi¹zania s¹ w du¿ej mierze oparte na pomys³ach przedstawianych przez uczniów na zajêciach wspomnianych kó³ek. Wiele rozwi¹zañ jest tak¿e autorskich. ¯adne rozwi¹zanie nie wymaga wiedzy wykraczaj¹cej poza obowi¹zuj¹cy program matematyki realizowany w szkole podstawowej. Co wiêcej, zale¿a³o mi na tym, aby pokazaæ, jak wiele mo¿na osi¹gn¹æ, pos³uguj¹c siê tylko wiedz¹, któr¹ uczeñ wynosi z lekcji. Siódmy rozdzia³ tej ksi¹¿ki stanowi ma³e vademecum pocz¹tkuj¹cego olimpijczyka. Zawiera ono

strona – 7 — niebieski

strona – 7 — czarny

8

Od Autora

pewne znane ju¿ uczniom fakty oraz ich rozszerzenie. Zaznajomienie siê z tym fragmentem ksi¹¿ki np. tu¿ przed wystêpem na olimpiadzie, powinno sprzyjaæ przygotowaniu do startu w zawodach. Mo¿e te¿ owo vademecum, jak s¹dzê, dostarczyæ tematów do zajêæ kó³ka matematycznego w szkole podstawowej i gimnazjum.

Pozwalam sobie wyraziæ tak¿e nadziejê, ¿e zbiór „Na olimpijskim szlaku” zachêci do dalszych poszukiwañ i dociekañ, w czym pomocny mo¿e okazaæ siê nie tylko zestaw proponowanych tematów zajêæ kó³ka matematycznego, ale równie¿ spis rekomendowanej literatury.

Na koniec pragnê serdecznie podziêkowaæ Panu Zdzis³awowi G³owackiemu za podjêcie siê trudu wydania tej ksi¹¿ki, Panu Robertowi Ciechanowskiemu za przygotowanie jej do druku, zaœ Pani Joannie Kar³owskiej-Pik za wnikliw¹ korektê oraz wiele cennych uwag i sugestii, które podnios³y jakoœæ tekstu.

Toruñ, 14 lipca 1999 r.

Henryk Paw³owski

strona – 8 — czarny

Rozdzia³

1

Figle z zapa³kami Zadanie 1.1

Prze³ó¿ po 1 zapa³ce w ka¿dej z poni¿szych fa³szywych równoœci tak, aby otrzymaæ równoœæ prawdziw¹.

a)

b)

c)

d)

e)

strona – 9 — niebieski

strona – 9 — czarny

strona – 9 — czerwony

10

Rozdzia³ 1

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

strona – 10 — czerwony

strona – 10 — czarny

11

Figle z zapa³kami

³)

m)

n)

o)

p)

strona – 11 — czarny

strona – 11 — czerwony