ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

160 × 230 SPINE: 11 FLAPS: 0

ΧΡΗΣΤΟΣ Γ. ΝΤΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ

Διαβάστε επίσης...

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ISBN 978-618-205-089-7

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | ΤΗΛ.: 210 64 31 108 ocelotos@ocelotos.gr | www.ocelotos.gr

ΤΟΜΟΣ

ΙI

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ο σ ε λ ότ ο ς

ΧΡΗΣΤΟΣ Γ. ΝΤΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

Ολοκληρώματα

Για τους φοιτητές και σπουδαστές όλων των Σχολών και Πολυτεχνείων

ΤΙΤΛΟΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΙΙ ΣΥΓΓΡΑΦΈΑΣ

Χρήστος Γ. Ντουντουλάκης ΣΕΙΡΑ

Επιστημονικά [5358] 0521/08 COPYRIGHT© 2021 Χρήστος Γ. Ντουντουλάκης ΠΡΏΤΗ ΕΚΔΟΣΗ

Αθήνα, Μάιος 2021 ISBN 978-618-205-089-7

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | ΤΗΛ.: 210 64 31 108

ocelotos@ocelotos.gr | www.ocelotos.gr

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας (Νόμος 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα, Ευρωπαϊκή οδηγία 29/2001/EC και κανόνες Διεθνούς Δικαίου). Απαγορεύεται απολύτως με οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο), η αντιγραφή, η εν γένει αναπαραγωγή, η φωτοανατύπωση, η εκμίσθωση ή ο δανεισμός, η μετάφραση, η διασκευή, η αναμετάδοση, η αναδημοσίευση, η ανατύπωση, όπως και η εν γένει εκμετάλλευση σε οποιαδήποτε μορφή και με οποιοδήποτε τρόπο, του συνόλου ή μέρους του περιεχομένου του παρόντος βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη.

Στους μαθητές μου…

Λίγα λόγια για το βιβλίο

Το δίτομο αυτό έργο για τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής, ανήκει στη σειρά βιβλίων Μαθηματικών και Φυσικής του Χρήστου Γ. Ντουντουλάκη, για φοιτητές και σπουδαστές ανώτερων και ανώτατων σχολών. Πραγματεύεται την ύλη που θα συναντήσει ένας φοιτητής ή σπουδαστής οποιασδήποτε σχολής, στα πλαίσια των συναρτήσεων μίας μεταβλητής, ενώ θέτει τις μαθηματικές βάσεις που θα χρειαστεί ο φοιτητής όχι μόνο των θετικών σχολών αλλά κάθε σχολής που περιέχει μαθηματικά. Αυτό το βιβλίο, όπως και κάθε βιβλίο της σειράς, έχει σκοπό να αποτελέσει πανίσχυρο εργαλείο βοήθειας και βαθιάς κατανόησης των αντικειμένων που πραγματεύεται, στα χέρια του αναγνώστη του. Περιέχει λυμένες ασκήσεις που προσομοιάζουν σε θέματα διαφόρων σχολών της Ελλάδας και του εξωτερικού. Ο βαθμός δυσκολίας τους ποικίλει: από σχετικά μικρός (εισαγωγικές ασκήσεις για να κατανοηθούν έννοιες) μέχρι μεγάλος, σε ορισμένες επιλεγμένες, σχετικά πολύπλοκες ασκήσεις για τον αναγνώστη που θέλει να δοκιμάσει τις γνώσεις του. Ένα από τα πλεονεκτήματα του δίτομου αυτού έργου, όπως και όλων των έργων της σειράς, είναι πως δεν «βαριέται» να εξηγήσει πως προκύπτουν οι τύποι που χρησιμοποιούνται και γιατί χρησιμοποιούνται, αλλά και να αναλύσει λεπτομέρειες που πολλές φορές προβληματίζουν τον αναγνώστη, όπως κάποιες ιδιαίτερες συνθήκες ή επιπλέον σχέσεις που μπορεί να χρειαστούν. Επίσης, υπάρχουν πολλά σχήματα αλλά και οι γραφικές παραστάσεις όλων των συναρτήσεων που θα συναντήσετε. Στόχος είναι να γίνουν κατανοητές και οι δυσκολότερες ασκήσεις με τη βοήθεια ενός απλού και λογικού τρόπου σκέψης, όπως και να ρίξει «φως» σε «σκοτεινά» σημεία που τα περισσότερα βιβλία και καθηγητές θεωρούν «δεδομένα» ή «προφανή». Στο εισαγωγικό κεφάλαιο 0, υπενθυμίζονται βασικές μαθηματικές έννοιες, ενώ το υπόλοιπο βιβλίο είναι αφιερωμένο στη μεθοδολογία υπολογισμού ολοκληρωμάτων κάθε είδους αλλά και στις εφαρμογές αυτών. Στο τέλος του βιβλίου, υπάρχει ένας πολυσέλιδος πίνακας αντί επανάληψης, ο οποίος περιέχει περιληπτικά όλη την ύλη του βιβλίου και όχι μόνο.

1 – Λίγα λόγια για το βιβλίο

Λίγα λόγια για τον συγγραφέα

Γεννήθηκε στην Αθήνα το 1978. Εισήχθη στο τμήμα Φυσικής του Πανεπιστημίου Κρήτης στο Ηράκλειο το 1996, από όπου πήρε το πτυχίο του το 2000 με βραβεία από το Ι.Κ.Υ. Εισήχθη με υποτροφία στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών της ίδιας σχολής και έλαβε το μεταπτυχιακό δίπλωμα ειδίκευσης στην «Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων» το 2002 και το διδακτορικό του δίπλωμα το 2007 με έρευνα και δημοσιεύσεις περί δινών και σολιτονίων στο μοντέλο Goldstone και σε αβελιανά μοντέλα Higgs. Ως βοηθός καθηγητή, στα πλαίσια των μεταπτυχιακών σπουδών του και της διδακτορικής του διατριβής, έκανε μαθήματα διαφορικών εξισώσεων, συναρτήσεων πολλών μεταβλητών και γενικής Φυσικής στο τμήμα Φυσικής αλλά και στο τμήμα Χημείας του Πανεπιστημίου Κρήτης. Εκτός αυτού, είναι ερασιτέχνης μετεωρολόγος όπως και αυτοδίδακτος φωτογράφος με έμφαση στην καιρική φωτογραφία και την αστροφωτογραφία. Έχει γράψει την τριλογία «Τα φυσικά φαινόμενα» (εκδόσεις «Οσελότος»), όπως και βιβλία μαθηματικών και φυσικής για φοιτητές εφαρμοσμένων σχολών.

Λίγα λόγια για τον συγγραφέα – 2

Περιεχόμενα Λίγα λόγια για το βιβλίο Λίγα λόγια για τον συγγραφέα Περιεχόμενα

1 2 3

0.

Μαθηματική Εισαγωγή

4

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14

Δυνάμεις και ρίζες Ιδιότητες ανισοτήτων Απόλυτη τιμή Ρίζες τριωνύμου Σχήμα Horner Πυθαγόρειο θεώρημα Βασικά σχήματα Απλοποίηση σύνθετων κλασμάτων Σύμβολα Τεταρτημόρια Διαστήματα αριθμών και συμβολισμοί Παραγοντικό Διωνυμικό ανάπτυγμα – Τύπος του Newton Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος

4 6 6 6 7 8 9 9 10 10 11 11 11 12

1.

Ολοκληρώματα

13

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11

Εισαγωγή Αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού Ολοκλήρωση σύνθετων συναρτήσεων Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Παραγοντική ολοκλήρωση Ολοκλήρωση με αντικατάσταση – αλλαγή μεταβλητής Γενικευμένο ολοκλήρωμα Συναρτήσεις 𝛣 και 𝛤 Αναγωγικοί τύποι Εφαρμογές ολοκληρωμάτων Λυμένες ασκήσεις και θέματα

13 14 19 19 22 27 30 36 41 42 44 57

Συγκεντρωτικός περιληπτικός πίνακας

182

Βιβλιογραφία

191

3 – Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 0 Μαθηματική Εισαγωγή Κάποιες θεμελιώδεις γνώσεις, που απαιτούνται στα πλαίσια του μαθήματος της Ανάλυσης συναρτήσεων μίας μεταβλητής, βρίσκονται συγκεντρωμένες εδώ.

0.1

Δυνάμεις και ρίζες

Συνοπτικά 0

𝑥 =1

,

𝑥

𝑥 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎+𝑏

1 = 𝑎 𝑥

−𝑎

, 𝑏

𝑥 𝑎/𝑏 = √𝑥 𝑎

,

2𝑛

√𝑥 2𝑛 = |𝑥|

𝑥𝑎 = 𝑥 𝑎−𝑏 𝑥𝑏 𝑛 𝑚

√ √𝑥 =

,

2𝑛+1

√𝑥 2𝑛+1 = 𝑥

,

(𝑥 𝑎 )𝑏 = 𝑥 𝑎𝑏

,

𝑛

𝑛𝑚

𝑛

√𝑥 , 𝑎 √𝑏 = √𝑎𝑛 𝑏 ,

𝑛 ∈ 𝑵∗

Θα φανεί πολύ χρήσιμο να μετατρέπουμε τις ρίζες που θα συναντάμε σε διάφορες ασκήσεις, σε δυνάμεις. Αυτό, διότι η παραγώγιση (ή ολοκλήρωση) μιας δύναμης είναι πολύ πιο εύκολη. Στον παρονομαστή του εκθέτη μιας δύναμης μπαίνει πάντα η τάξη της ρίζας, ενώ στον αριθμητή η δύναμη. Δηλαδή ισχύει 𝒃

√𝑥 𝒂 = 𝑥 𝒂/𝑏

Επίσης, αν συναντάμε μια δύναμη στον παρονομαστή ενός κλάσματος, μπορούμε αν χρειαστεί, να τη γράφουμε στον αριθμητή απλώς αλλάζοντας το πρόσημο του εκθέτη. Δηλαδή 1 = 𝑥 −𝒌 𝑥𝒌

𝑥𝑚 = 𝑥 𝑚 𝑥 −𝒏 = 𝑥 𝑚−𝒏 𝑥𝒏

ή

Παραδείγματα

√𝑥 3

=𝑥

3/2

,

5

√𝑥 2

=𝑥

2/5

3

√𝑥 2 5

√𝑥 7

=

,

1 3

√𝑥 4/5

=

1 4 −3 5 (𝑥 )

4

4

= 𝑥 −5∙3 = 𝑥 −15

2 7 11 𝑥 2/3 = 𝑥 3−5 = 𝑥 −15 𝑥 7/5

Υπενθυμίζουμε και κάποιες ταυτότητες που μπορεί να χρειαστούν: Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή – 4

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3 Για τους συντελεστές των αναπτυγμάτων μεγαλυτέρων δυνάμεων, υπάρχει και το τρίγωνο Pascal: Συντελεστές του: (𝑎 + 𝑏)1 (𝑎 + 𝑏)2 (𝑎 + 𝑏)3 (𝑎 + 𝑏)4 (𝑎 + 𝑏)5

Οι συντελεστές προκύπτουν από το άθροισμα των προηγούμενων συντελεστών πάνω αριστερά και πάνω δεξιά από τον συντελεστή που μας ενδιαφέρει, όπως δείχνουν τα βέλη στο σχήμα. Οπότε, π.χ. αν θέλουμε να γράψουμε το ανάπτυγμα (𝑎 ± 𝑏)5 , σύμφωνα με το παραπάνω σχήμα, θα είναι: (𝑎 ± 𝑏)5 = 𝑎5 ± 𝟓𝑎 4 𝑏 + 𝟏𝟎𝑎3 𝑏2 ± 𝟏𝟎𝑎2 𝑏3 + 𝟓𝑎𝑏4 ± 𝑏5 Άλλες ταυτότητες και σχέσεις ακολουθούν. 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) 𝑎𝑛 − 𝑏 𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏 2 + ⋯ + 𝑏 𝑛−1 ) , 𝑛 ∈ 𝑵∗ 𝑎 + 𝑏 𝑛 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2 𝑏 + 𝑎𝑛−3 𝑏 2 − ⋯ + 𝑏 𝑛−1 ) , 𝑛 𝜋𝜀𝜌𝜄𝜏𝜏ό𝜍 (1 + 𝑎)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑎 , 𝑎 ≥ −1 , 𝑛 ∈ 𝑵 (𝛼𝜈𝜄𝜎ό𝜏𝜂𝜏𝛼 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖) 𝑛

𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏 , 𝑎, 𝑏 ≥ 0 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 2𝑎𝑏 3 3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 ≥ 3𝑎𝑏𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0

5 – Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή

0.2

Ιδιότητες ανισοτήτων 𝑎>𝑏 ↔ 𝑐 > 0 𝜅𝛼𝜄 𝑎 > 𝑏: 𝑐 < 0 𝜅𝛼𝜄 𝑎 > 𝑏:

𝑎+𝑐 >𝑏+𝑐 𝑎 > 𝑏 ↔ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 𝑎 > 𝑏 ↔ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

𝑎, 𝑏 > 0 , 𝑛 ∈ 𝑵∗ : 𝑎 > 𝑏 → 𝑎𝑛 > 𝑏 𝑛 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑹 , 𝑛 ∈ 𝑵∗ : 𝑎 > 𝑏 → 𝑎2𝑛+1 > 𝑏 2𝑛+1

Ακολουθούν κάποιες βασικές ανισότητες που θα χρειαστούν: |sin 𝑥| ≤ 𝑥

𝛾𝜄𝛼 𝑥 ≥ 0

−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 } −1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1

0.3

, ↔

ln 𝑥 ≤ 𝑥 + 1

,

𝑒𝑥 ≥ 1 + 𝑥

|sin 𝑥 | ≤ 1 , |cos 𝑥 | ≤ 1

Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα θετική. Με αυτόν τον ορισμό προκύπτουν τα ακόλουθα. |𝑎| = {

𝑎 , 𝑎≥0 −𝑎 , 𝑎 < 0

, |𝑎| ≥ 0 , |𝑎| = |−𝑎| , − |𝑎| ≤ 𝑎 ≤ |𝑎|

|𝑥| = |𝑎| ↔ 𝑥 = 𝑎 ή 𝑥 = −𝑎 |𝑥| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 , 𝑎 > 0 |𝑥| ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 ή 𝑥 ≤ −𝑎 , 𝑎 > 0 |𝑎𝑏 | = |𝑎||𝑏| ||𝑎| − |𝑏 || ≤ |𝑎 ± 𝑏 | ≤ |𝑎| + |𝑏| |𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 | ≤ |𝑎1 | + |𝑎2 | + ⋯ + |𝑎𝑛 |

0.4

Ρίζες τριωνύμου

Οι λύσεις (ρίζες) 𝑥1 , 𝑥2 ή συντομογραφικά 𝑥1,2 της ακόλουθης δευτεροβάθμιας αλγεβρικής εξίσωσης 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

, 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅

δίνονται από τον τύπο 𝑥1,2 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 ± √𝛥 = 2𝑎 2𝑎

Η ποσότητα 𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 λέγεται διακρίνουσα και το πρόσημο της καθορίζει αν η εξίσωση θα έχει καθαρά πραγματικές ή μιγαδικές λύσεις. Αν είναι μηδενική, τότε η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την −𝑏/2𝑎.

Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή – 6

Το τριώνυμο μπορεί να γραφεί συναρτήσει των ριζών του, 𝑥1 , 𝑥2: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ).

0.5

Σχήμα Horner

Χρησιμοποιείται για την εύρεση ακέραιων ριζών πολυωνύμων 3ου ή ανώτερου βαθμού. Π.χ. ας δούμε το πολυώνυμο 3ου βαθμού 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 11𝑥 + 12 Για να βρούμε τις ρίζες του, κάνουμε τα εξής. Γράφουμε τους συντελεστές όλων των δυνάμεων σε μια σειρά.

1

−2

− 11

12

Aν κάποια δύναμη λείπει, απλώς βάζουμε 0 στη θέση του συντελεστή της. Για παράδειγμα, αν είχαμε το πολυώνυμο 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 4𝑥 + 6 όπου λείπει η δύναμη 𝑥 2 , οι συντελεστές που θα βάζαμε θα ήταν 1

−2

0

−4

6

Οι ρίζες του πολυωνύμου θα είναι διαιρέτες του σταθερού όρου. Εδώ, ο σταθερός όρος είναι το 12 και διαιρείται ακριβώς από τους αριθμούς ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Μέσα σε αυτούς είναι και οι ρίζες. Ας δοκιμάσουμε το 1.

1

«κάτω»

1

•1

−2

− 11

12

1

-1

-12

+

0

1

-1

•1

-12

•1

Υπόλοιπο διαίρεσης Τι έγινε σε αυτό το διάγραμμα (το οποίο ονομάζεται σχήμα Horner); Ξεκινάμε από αριστερά και κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή του πολυωνύμου «κάτω». Μετά, τον πολλαπλασιάζουμε με την ρίζα (το 1) και προσθέτουμε σε αυτόν, τον επόμενο συντελεστή του πολυωνύμου (το −2). Το αποτέλεσμα το κατεβάζουμε «κάτω». Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία μέχρι τον τελευταίο συντελεστή (εδώ το 12) και αν η τελευταία πράξη μας δώσει «κάτω» μηδενικό αποτέλεσμα, τότε το 1 αποτελεί μια ρίζα του πολυωνύμου. Από τη στιγμή που το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 0, τότε το 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου. Το ίδιο μηδενικό αποτέλεσμα θα πάρουμε και για τις άλλες δυο ρίζες του πολυωνύμου που είναι το -3 και το 4 και τα αντίστοιχα σχήματα Horner ακολουθούν.

7 – Κεφάλαιο 0: Μαθηματική εισαγωγή

160 × 230 SPINE: 11 FLAPS: 0

ΧΡΗΣΤΟΣ Γ. ΝΤΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗΣ

Διαβάστε επίσης...

ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ISBN 978-618-205-089-7

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Βατάτζη 55, 114 73 Αθήνα | ΤΗΛ.: 210 64 31 108 ocelotos@ocelotos.gr | www.ocelotos.gr

ΤΟΜΟΣ

ΙI

ΕΚΔΟΣΕΙΣ

ο σ ε λ ότ ο ς