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La unión y la intersección de dos conjuntos
from ALGEBRA LINEAL
RECOMENDACIONES ------------------------------------------------------------------------------------------------------------24
BIBLIOGRAFIA--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25
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Es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Clase 2: Semana del 18 al 25 de julio
Ley de composición interna
Dado un conjunto A y una operación , que representaremos como el par , se dice que es una ley de composición interna u operación interna en A cuando es una aplicación de la
forma siguiente.1
Una ley de composición interna asigna a cada par ordenado (a, b), cuyas componentes pertenecen ambas al conjunto A, un tercer elemento c, también contenido en A. 234Este elemento c es único para cada par (a, b) determinado, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera. Ejemplos
La función que asigna a dos puntos el punto medio es una ley de composición interna. Son operaciones internas
1. La suma entre dos números naturales
2. La multiplicación entre dos números racionales 3. La aplicación que asigna a cada par de puntos del plano el punto medio del segmento que los une.
4. La unión y la intersección de dos conjuntos.
Monoide
Monoide. En Álgebra dícese de la estructura algebraica conformada por el par <G,*>, tales que G es un conjunto no vacío y * es una operación binaria; entonces se cumple que * es cerrada y asociativa y que existe el elemento neutro en G para * .
En el caso que <G,*> sea monoide y la operación sea conmutativa se dice que es un monoide conmutativo o abeliano
Ejemplos
Los números naturales y el producto son también un monoide donde el 1 es el neutro de la multiplicación.
Las cadenas de caracteres y la concatenación forman un monoide teniendo a la cadena vacía por neutro.
Clase 3: Semana del 25 de julio al 01 de agosto DEFINICION DE MATRICES
Matrices: Definición y tipos. Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas. Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. ... Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n. En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo.
OPERACIONES DE MATRICES
Antes que todo cabe mencionar qué es una matriz. Una matriz es una forma rectangular donde se ordenan los números reales mediante coordenadas reflejadas en los subíndices.
La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Denominamos (m) para la dimensión de las filas y (n) para la dimensión de las columnas. Entonces, una matriz mxn tendrá m filas y n columnas.
1. Las matrices compartan la misma dimensión.
2. Sumar o restar los elementos con la misma posición en matrices distintas.
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Clase 4: Semana del 02 al 8 de agosto DETERMINACION DEL PRODUCTO DE DOS MATRICES
En matemáticas, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas determinadas reglas. Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.
Inversa de una matriz
Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad. Si se pueden multiplicar en cualquier orden deben ser matrices cuadradas (Anxn·A-1 nxn=A-
1 nxn·Anxn=Inxn). Se puede observar también que si hacemos la inversa de la inversa se obtiene la matriz original. Otra propiedad interesante es que la inversa del producto coincide con el producto de las inversas pero en orden inverso ([A·B]-¹ = B-¹·A-¹). Observa que si la matriz A es de dimensión 1x1, su inversa está formada por el inverso del elemento de Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa.
El método de reducción consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola incógnita. Él coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Por ejemplo,
Veamos un ejemplo:
1. Escogemos una incógnita a eliminar: la y.
2. Sus coeficientes son 1 en la primera ecuación y 1 en la segunda. Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones para que desaparezca la incógnita.
3. Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:
4. Resolvemos la ecuación obtenida:
5. Calculamos la otra incógnita sustituyendo: sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:
La solución del sistema es
Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para con
METODO DE IGUALACION
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.
En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b, y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.
Una solución es todo par de números que cumple la ecuación.
Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de soluciones: Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan en un punto. Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden. Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.
Método de igualación paso a paso
Clase 6: Semana del 23 al 29 de agosto
Ecuaciones de dos incógnitas utilizando GeoGebra
Como es de esperar, el método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema.
Ejemplo
Resolución: Lo primero que hacemos es despejar la y en ambas ecuaciones.
Primera ecuación: Segunda ecuación: Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizamos, por ejemplo,
x = 0 y x = 2. Para la primera función tenemos la tabla Para la segunda función tenemos la tabla (utilizando los mismos valores para x):
Representamos los puntos de las tablas y los unimos:
Ecuaciones con 3 incógnitas
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3x3
1 Elegir una variable y despejarla en una de las ecuaciones. ... 1. 2 Sustituir en las otras dos ecuaciones. ... 2. 3 Resuelvo el sistema de 2x2. ... 3. 4 Obtengo el valor de la variable que me falta.
−2 ( x + y + z ) = −2 (2) 2x + 2y + 2z = 4
− 2x – 2y – 2z = −4 2x + 2y + 2z = 4 0 = 0 ( x + y + z ) = 3 (2) Multiplica la primera ecuación por −2 y luego suma la ecuación resultante a la segunda ecuación.
0 = 0 es un enunciado válido, que nos hace pensar que podríamos tener un número infinito de soluciones. Este resultado indica que el primer par de ecuaciones es realmente la misma ecuación. Los valores de x, y, y z que funcionarían en la primera ecuación también lo harían en la segunda.
3
− 3x – 3y – 3z = −6
3x + 3y + 3z = 6 − 3x – 3y – 3z = −6 0 = 0
Ahora suma la tercera ecuación con la primera.
De nuevo, el resultado es otro enunciado válido. La primera ecuación y la tercera son las mismas. Por lo que tienes tres ecuaciones que se graficarán en el mismo plano.
Clase 7: Semana del 29 al 05 de septiembre
Definición de espacios vectoriales
En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.
Suma resta y
producto de vectores
La operación de suma de dos o más vectores da como resultado
otro vector. Para realizar la suma de vectores existen distintos métodos, ya sea de manera algebraica o mediante el uso de geometría analítica. El método algebraico es conocido como método directo.
EJEMPLO
Producto de vectores El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes.
La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos.
Magnitud de Vectores
La magnitud de un vector es la distancia entre el punto inicial P y el punto final Q . ... Si las coordenadas del punto inicial y del punto final de un vector están dadas, la fórmula de la distancia puede ser usada para encontrar su magnitud.
Angulo entre dos vectores escalar y proyecciones en
R2
En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno o producto punto, es una operación algebraica que toma dos secuencias de números de igual dimensión (usualmente en la forma de vectores) y retorna un único número.
CALCULO DEL VECTOR UNITARIO EN R3
AB mide 3, por lo que:
Y su módulo:
Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:
Vectores unitarios para los ejes cartesianos:
Definición de espacio R3
Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ.
Producto escalar y proyecciones en R3 Producto escalar en R3R3
Sean ⃗ u, ⃗v∈R3u→, v→∈R3, y θθ el ángulo entre ⃗ uu→ y
vv→, entonces el
producto escalar entre ⃗ uu→ y
vv→ se define como sigue:
⃗ u. ⃗ v={∥⃗u∥∥⃗v∥cos(θ)si⃗ u≠⃗ 0∧⃗v≠⃗ 00si⃗
u= ⃗ 0∨⃗v=
Ejemplo
Hallar ⃗
Resolución Hagamos una gráfica para visualizar el ángulo entre los dos vectores:
Clase 11: Semana del 10 al 17 de octubre
Aplicaciones del producto cruz
El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes. EJEMPLO
a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k Ahora se hace uso de la propiedad distributiva de la multiplicación, la cual es válida también para el producto cruz:
a × b = (ax i + ay j + az k) × (bx i + by j + bz k) =
= (ax i × bx i) + (ax i × by j) + (ax i × bz k) + (aY j × bx i) + (aY j × by j) + (aY j × bz k) + (aZ k × bx i) + (aZ k × by j) + (aZ k × bz k)
Los productos cruz entre vectores unitarios iguales se cancelan, por ser vectores paralelos entre sí, lo cual reduce esta expresión a 6 términos:
a × b = (ax i × by j) + (ax i × bz k) + (aY j × bx i) + (aY j × bz k) + (aZ k × bx i) + (aZ k × by j)
Por último, empleando la figura de arriba, cada producto da como resultado:
a × b = ax by k + ax bz (−j) + aY bx (−k) + aY bz i + aZ bxj + aZ by (−i) =
= (aY bz − aZ by) i + (aZ bx − ax bz) j + (ax by − aY bx) k
Cálculo del área de un paralelogramo en R3
Clase 12_15: Semana del 11 al 18 de octubre
Dependencia e independencia lineal
En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R³, el conjunto de vectores, y es linealmente independiente, mientras que, y no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Dimensión de vectores de coordenadas.
Los vectores de dos dimensiones se utilizan para representar magnitudes en el plano mientras que los de tres dimensiones son utilizados para representar magnitudes en el espacio.
Dimensión de vectores por componentes.
Cada vector está formado por componentes y la cantidad de componentes determina la dimensión del vector. Por ejemplo (1, 2) es un vector que tiene dos dimensiones, mientras que (1, 3, 4) es un vector que contiene tres.
Teorema del Rango un Nulidad
En matemáticas, el teorema rango–nulidad es un teorema en álgebra lineal, que dice que la dimensión del dominio de una transformación lineal es la suma de su rango (dimensión de su imagen) y su nulidad (la dimensión de su kernelV
Comentario General de los temas
Todo lo visto en el presente texto que mostré lleva como finalidad enriquecerse de conocimientos; desde comprender y definir un tipo de conjunto y también saber como aplicar un teorema dependiendo a lo que indican de manera ágil, pero debemos de tener mucho en cuenta la aplicación de signos concentrarnos donde se deben aplicar las fórmulas de acuerdo con los teoremas de algebra lineal.
CONCLUSIONES
Coincidimos en que este texto paralelo nos ha ayudado a perfeccionar nuestras habilidades matemáticas en los distintos temas, incluyendo el desarrollo de nuestras capacidades de reflexión.
o No solo nos ayuda a nosotros en nuestro aprendizaje, sino también a los estudiantes de los ciclos venideros, para su reforzamiento.
o Para lograr resultados concretos debemos de considerar mucho la posición de signos y aplicación de formulas de acuerdo a cada teorema
RECOMENDACIONES
Desarrolle conceptualmente la pendiente sobre la base de representaciones gráficas. Utilice los ejemplos del texto y cree otros de manera tengan suficiente práctica.
Introduzca la fórmula lean con fluidez la pendiente de una recta en un plano cartesiano.
Escriba las fórmulas generales en una cartulina y manténgala visible hasta finalizar el curso.
