3_Codis i espies

“Tot és ciència?”

OPTATIVA 3r ESO Objectius,

Codis

- Descobrir que és l'esteganografia i la criptografia clàssica.

i

espies

- Dissenyar un codi propi capaç de generar missatges xifrats.

- Construir un giny que ens permeti distribuir el nostre codi.

NOM: Comprovem les nostres dots d’espies Hi ha moltes formes d’amagar informació en un text, imatge o cançó. De vegades per amagar quelcom, l’únic que es fa es jugar amb les paraules, com fem quan plantegem endevinalles que porten implícita, però amagada, la solució:

• A la vora de la mar des d’un bar mirant al cel ens va arribar una ona que ens va deixar com el gel, on ens trobem?

• El rei Ala i el seu cant van fugir de la ciutat que t’he comentat abans.

• Sa i bo per al cos ningú se’l vol menjar i això que no té os, què és?

Altres vegades un text oculta un segon missatge que cal saber buscar. En una de les històries de Sherlock Holmes, el detectiu descobreix un text ocult en un missatge, agafant una de cada tres paraules.

Et posem un exemple:

“No em fotografiis, no estic arreglat per eixir en la revista de Còrdova” En http://www.cripto.es/ (Butlletí Enigma, n.º 21, consulta: 14 de desembre de 2010) podem veure aquest exemple, d’autor desconegut, que podria servir de campanya electoral d’un partit hipotètic.

Llegeix-lo atentament:

<<En el nostre partit polític complim amb el que prometem.

Només els imbècils poden creure que no lluitarem contra la corrupció.

Perquè si hi ha alguna cosa segura per nosaltres és que l’honestedat i la transparència són fonamentals per abastir els nostres ideals.

Demostrarem que és una gran estupidesa creure que les màfies seguiran formant part del govern com en altres temps.

Assegurem sense cap mena de dubte que la justícia social serà la finalitat principal del nostre mandat.

Malgrat això, encara hi ha gent estúpida que pensa que es pugui seguir governant amb les estratagemes de la vella política Quan assumim el poder, farem allò impossible per què s’acaben les situacions privilegiades i el tràfic d’influències No permetrem de cap manera que els nostres nens es morin de fam Complirem amb els nostres propòsits tot i que els recursos econòmics s’hagin esgotat exercirem el poder fins que comprengueu des d’ara que: Som el Partit “X”, la “nova política”.>> Si ara es llegeix de baix cap a dalt. Canvia, oi?

Activitats Els cantants també han amagat missatges en les seves cançons, fa poc de temps trobem el següent exemple: Naím Thomas, un dels concursants de la primera edició de Operación Triunfo, ha arremet en la seva cançó “Vas a entender” contra la companyia discogràfica “Vale Music”.

En aquesta cançó usa un acròstic, agafant la primera lletra de cada vers es desprèn el missatge: “vale music no creu en mi i què”.

Però no sempre que s’usen codis és per amagar informació, en nombroses ocasions s’utilitzen per organitzar el treball, per comunicar-nos, per estalviar temps…

Anem a veure alguns exemples d’aquest tipus de codis: Manejant l’ordinador fem servir codis, per telefonar es necessita un codi nacional per connectar amb altres països (Itàlia +39...), el codi postal en les cartes, el codi de llums del semàfor, els codis de barres, les etiquetes de la roba, les molècules d’ADN porten el codi per a construir el cos… Fins i tot la llengua catalana és un codi utilitzat per moltes persones, però en el que uns altres molts no entenen ni una paraula. Un dels codis més comuns avui en dia és el dels missatges per enviar a través del telèfon mòbil.

Es podria continuar donant exemples, però anem veure les vostres dots d’espies. En les activitats següents cal trobar alguns missatges ocults. No són molt complicats i ens serviran per introduir-nos en el meravellós món del xifrat i desxifrat de missatges: la criptografia.

Activitats En cada un dels següents apartats s’amaga un missatge. Pots trobar-lo?

10) Has d’inventar un mètode per a xifrar un missatge, explicar com funciona i preparar un missatge xifrat amb aquest mètode junt amb tot el necessari per què algun dels teus companys o companyes el pugui desxifrar.

Maletí de l’espia Anem a començar a reomplir el nostre maletí d’espia, aquest material l’has de portar preparat el dia de les activitats presencials.

1. Has de retallar la plantilla A de 4x4, perforant els forats (gris) i les 3 quadrícules de 4×4

2. També has de retallar aquestes 8 quadrícules de 3×3.

Objectes del maletí de l’espia

3. Retalla, per la lĂ­nia negra, els discos segĂźents:

Una vegada retallats fes un forat en el centre de cada un, col·loca el disc 2 sobre el disc 1 i traspassali un enquadernador, s’ha de quedar de forma que ambdós discos puguen girar lliurement.

Fes el mateix amb els discos 3 i 4. També amb els discos 5 i 6.

4. A més del que has retallat, si vols pots afegir al teu maletí els objectes que has anotat abans i que no has construït en els apartats anteriors.

El Xifratge de Cèsar Xifrar consisteix en convertir textos en missatges que només els pugui entendre la persona a qui van adreçats.

Existeixen nombroses formes de fer-ho ja que els experts van ideant nous mètodes de xifrar i al seu torn els criptoanalistes les van desxifrant.

Les matemàtiques juguen un gran paper en aquests mètodes de xifratge ja que si s’inventa un mètode sistemàtic (funció de xifrat) serà més fàcil la traducció del text original al text xifrat. Si aquesta funció de xifrat es pot expressar en termes matemàtics el treball que cal fer per a xifrar o desxifrar se simplifica. Actualment es compta amb ordinadors que ens permeten xifrar i desxifrar de forma més ràpida ja que tots els mètodes algorítmics (conjunt d'operacions que fem per resoldre una situació desconeguda), es poden programar.

Un dels mètodes de xifrat més antic, és el que anem a estudiar a continuació: el Xifrat de Cèsar, anomenat així en honor a Juli Cèsar, el líder militar i polític que va governar la República Romana. Hi ha documentació de l’ús de aquest xifrat amb propòsits militars a “La guerra de les Gàl·lies” (segle I aC), on es descriu que Cèsar va enviar un missatge a Ciceró en el qual reemplaçà les lletres romanes per gregues. Mes tard (segle II), Suetoni va escriure “Vides dels dotze Cèsars” i descriu el mètode de xifrat de Cèsar, algoritme que consisteix en el desplaçament de tres espais cap a la dreta dels caràcters del text clar. (es diu que la clau és 3).

1. Intenta xifrar la paraula SECRET amb aquest mètode.

El missatge xifrat és _______ Ha estat fàcil, oi? El missatge era molt curt. En missatges més llargs pot ser una mica més complicat. Per tal de facilitar el treball ens podem ajudar d’una taula en la qual escrivim el nostre alfabet en la primera fila i a sota, a la segona fila, un nou alfabet però desplaçat 3 llocs (és a dir començant amb la lletra “ç” i acabant amb la “c”). Aquest alfabet rep el nom d’alfabet de Cèsar (en honor a Juli Cèsar) abcçdefghijklmnopqrstuvwxyz çdefghijklmnopqrstuvwxyzabc

2. Xifra fent servir el mètode de Cèsar el missatge: ANEM AL CINEMA

Ja saps xifrar però ara anem a resoldre una sèrie de qüestions relacionades amb aquest mètode: 3. És obligatori desplaçar sempre 3 llocs, és a dir la clau sempre és 3?

A partir d’ara, al número seleccionat com a clau l’anomenarem d.

4. Xifra fent servir el mètode de Cèsar, amb clau d=7, el missatge: ANEM AL CINEMA

Xifra usant el mètode de Cèsar, amb clau d=11, el missatge: ANEM AL CINEMA

5. Si canviem la clau (el valor de desplaçament), et serveix la taula anterior per a xifrar?

Pots utilitzar algun material del maletí de l’espia per no haver d’escriure aquesta taula?

6. Per despistar als “espies” decidim fer servir diferents claus cada dia. Quantes claus diferents pots seleccionar?

7. Té sentit usar el valor d=0? I d=27? Per què?

8. Ets capaç d’escriure una expressió matemàtica que relacioni cada símbol del missatge original amb el missatge xifrat quan s’usa la clau d?

9. És obligatori que l’alfabet de Cèsar estigui ordenat? Si s’admeten alfabets desordenats, quantes claus diferents existeixen?

10. Com utilitzar el disc per tal de desxifrar un missatge?

11. S’ha xifrat amb Cèsar: VROLGÇULWÇW Què diu el missatge?

12. Pot ser ANDXBBBBBBHKLJOP el criptograma d’un missatge en català, considerant només les 27 lletres i xifrat per un mètode on cada símbol del missatge original se substitueix sempre pel mateix en el missatge xifrat?

13. Ens fixem en el xifrat ROT-13, (xifrat de Cèsar de clau 13, coincideix amb la meitat de les 26 lletres de l’alfabet anglès en el qual no existeix la ç). Aquest xifrat presenta una particularitat que ara descobriràs. En què es converteix la lletra A si es xifra mitjançant ROT-13? I la lletra N?

Ho has esbrinat? Segur que sí!: per a desxifrar un text cal fer el mateix que per a xifrar-lo.

Aquesta senzillesa per desxifrar un missatge fou la causa de que s’utilitzés aquest mètode.

Per exemple es va començar a utilitzar en fòrums per escriure quelcom que només es pogués llegir si es vol, com ara solucions de problemes, endevinalles, i altres.

Per acabar aquesta activitat anem a proposar-te una variant del mètode de Cèsar: 1. Anem a utilitzar una paraula amb totes les lletres diferents. Per exemple: clau 2. Escriu a la taula aquesta paraula i a continuació la resta de lletres del nostre abecedari.

En el nostre exemple, l’alfabet serà: claubçdefghijkmnopqrstvwxyz

3. Escriu a sota el mateix alfabet desplaçat 3 llocs claubçdefghijkmnopqrstvwxyzubçdefghijkmnopqrstvwxyzcla

4. Xifra el missatge: ANEM AL CINEMA

Aparentment el xifrat de Cèsar és poc segur, però en l’època de Juli Cèsar no era de coneixement general la idea d’ocultar el significat d’un text mitjançant xifrat. En aquests temps un missatge xifrat amb aquest mètode garantia la confidencialitat (la majoria de la població era analfabeta).

Com a dada curiosa, més de 1500 anys després, un xifrat semblant al de Cèsar fou utilitzat per la reina Maria Estuard d’Escòcia, per tal de conspirar junt amb els espanyols contra la seva cosina Isabel I (en realitat, va caure en una trampa que van organitzar agents al servei d'Isabel I). Els missatges xifrats de Maria els van desxifrar fàcilment els agents de la reina fent servir anàlisis estadístics, i va quedar en descobert la conspiració de la reina escocesa que va perdre el cap en la seva execució el 8 de febrer de 1587.

Malgrat això, el xifrat Cèsar no va quedar definitivament descartat com a mètode de xifrat segur per als governants del món: aquesta xifra també la van utilitzar els oficials sudistes en la Guerra de Secessió americana i l’exèrcit rus en 1915.

Una altre exemple, la policia italiana va arrestar a l'abril de 2006 al capo de la màfia siciliana Bernardo Provenzano que feia servir el mètode de Cèsar per a xifrar missatges.

Els seus missatges viatjaven anotats en petits trossos de paper (coneguts com pizzini en dialecte sicilià). El mètode resultava efectiu per a un observador ocasional, però evidentment no per a la policia, que coneixia el sistema.

Trencant la xifra de César En la primera activitat has aprés a xifrar pel mètode de Cèsar però ara has de jugar un paper diferent, el d’espia o criptoanalista, és a dir has interceptat un missatge que va dirigit a un altra persona i vols desxifrar-lo. Com que no va dirigit a tu desconeixes la clau (valor del desplaçament). Què pots fer per desxifrar-lo?

Un mètode per força bruta seria provar amb totes les possibles claus. Com que només existeix un determinat número de valors de desplaçament, 27 en català si no s’ha desordenat l’alfabet, es poden provar tots i cadascun dels possibles desplaçaments fins trobar un missatge coherent. Una forma de fer-lo és usar una taula i en cada fila s’escriu el text amb un desplaçament diferent. Omple la taula:

Has escrit alguna línia amb sentit? Quin és el valor de d en aquesta línia?, aquest valor de d és la clau.

Si vas trobar algun material al maletí de l’espia que et va ajudar per a xifrar, pensa que també el pots fer servir per desxifrar i omplir aquest tipus de taules de forma més fàcil.

Però està clar que aquest mètode no es útil si se sospita que s’està fent servir un alfabet desordenat.

Anem a comprovar que de nou les matemàtiques són molt útils per a desxifrar un missatge sense necessitat d’utilitzar l’atac per força bruta.

Per fer-ho et proposem que desxifris el següent missatge:

Si aquest missatge procedeix d’un missatge original on cada símbol s’ha substituït sempre per la mateixa lletra el mètode presenta una debilitat: la freqüència d’aparició de cada lletra en el text clar es reflecteix exactament en el criptograma. És a dir, la mateixa freqüència que té per exemple la lletra “a” en un text clar tindria la seva lletra associada en el text xifrat. Això proporciona moltes pistes per algú que ho vulgui desxifrar: Només cal basar-se en l’estudi de freqüències i pensar una mica en català (bé, cadascú en el seu idioma).

Encara que no se sap qui va ser el primer en adonar-se’n d’aquesta debilitat, la descripció més antiga coneguda és del segle IX i es deu a Al Hindi el filòsof dels àrabs. Anem a veure la tècnica que va utilitzar, coneguda com anàlisi de freqüències: 1. Cal establir la freqüència de cada lletra de l’alfabet. La figura mostra els valores, en tant per cent, estudiats en arxius de 50.000 caràcters en català.

2. Després s’examina el text xifrat i es determina la freqüència de cada lletra. Completa la taula següent,

Es lògic suposar que la lletra que més es repeteix en el text xifrat procedeix de la més repetida en el nostre alfabet.

També cal tenir en compte el sentit comú per poder donar sentit al missatge.

Has desxifrat ja el missatge? Doncs et proposem d’altre:

De ben segur que ara t’ha costat més. Hi ha una raó: és molt probable que els textos llargs vagin amb les freqüències habituals però els curts es desvien de les freqüències normals. Però cal anar amb compte ja que això no és sempre així. Per exemple, l’autor francès George Perec es va dedicar a experimentar amb el llenguatge i té alguns palíndroms (frases que es llegeixen igual d’esquerra a dreta que de dreta a esquerra) increïbles: - A casa, cal refer la casaca.

- El bé fa mal a la mà feble - Tramaran anar a Mart.

Aquest autor també va escriure El secuestro en 1969, i en tot el llibre no apareix ni una sola vegada la lletra “e” (té més de 200 pàgines). El novel·lista anglès Gilbert Adair va aconseguir traduir l’obra al seu idioma i també aconsegueix que no hi aparegui la lletra “e”.

Els traductors al castellà, aconsegueixen que al llibre no existeixi la lletra “a”. Al català no està traduïda. Quina manera de carregar-se l’anàlisi de freqüències!

En els dos exemples anteriors has comprovat que els xifrats per desplaçament són molt fàcils de trencar (hi ha prou amb fer servir un anàlisi de freqüències o un atac per força bruta). Per aquesta raó s’han sofisticat les tècniques de xifrat.

Xifrat amb reixetes o plantilles La idea de xifrar usant plantilles amb forats és de Girolamo Cardano, matemàtic italià del segle XVI (que també es considera el precursor del llenguatge braille).

Anem a descobrir aquest mètode de xifrat a poc a poc, per a fer-ho has d’anar realitzant i contestant a les següents preguntes: Comencem fent la nostra plantilla.

1. Agafa la plantilla A i col·loca-la sobre una quadrícula sense foradar. Marca amb un bolígraf els forats sobre la quadrícula.

2. Gira 90º la plantilla A sobre el seu centre i en sentit horari, deixant fixa la quadrícula de sota i marca en la quadrícula de sota els forats.

3. Torna a fer el mateix, des de la posició actual gira 90º. (o 180º la plantilla en posició original) en sentit horari i marca-ho a la quadrícula.

4. Repeteix altra vegada el mateix, és a dir gira 270º la plantilla A en posició original i marca els forats.

5. Retira la plantilla A i observa la quadrícula. S’han marcat els 16 quadrats de la quadrícula una única vegada.

6. ¿Creus que amb qualsevol plantilla de 4×4 i quatre forats passaria el mateix?

7. Realitza una plantilla que verifiqui allò anterior.

8. Realitza una plantilla que no ho verifiqui.

Jules Verne, dedica la novel·la Matías Sandorff a Alexandre Dumas, per això agafa com a model el personatge del comte de Montecrist. En aquesta novel·la el comte Sandorf és obligat a adoptar una altra identitat per tal de venjar-se dels seus enemics que raptaren la seva filla.

Una bona part del relat gira en torn a un missatge xifrat. En la novel·la s’explica com el comte i els seus partidaris intenten independitzar Hongria de l’Imperi Austríac. En l’intercanvi d’informació utilitzen un sistema de xifrat de transposició basat en plantilles.

Però, com podem usar una plantilla per xifrar? Segur que ja ho has esbrinat, és molt senzill: • Pensa en un missatge que com a màxim tinga 16 símbols. En cas de tenir menys, afegeix un poc de soroll, alguna cosa que no distorsione el missatge, per exemple lletres com “w”o “x” que en català apareixen poc.

• Col·loca la teva plantilla en posició original sobre la quadrícula.

• En compte de marcar els forats sobre la quadrícula, agafa les quatre primeres lletres del teu missatge i escriu cadascuna d’elles en un forat, mantenint l’ordre d’escriptura, és a dir reomplint els buits d’esquerra a dreta i de dalt cap a baix.

• Gira la plantilla en sentit horari i escriu en els forats les quatre lletres següents. Repeteix el procés girant l’original 180º i 270º.

• Llegint la quadrícula d’esquerra a dreta i de dalt cap a baix., escriu les teves 16 lletres una darrere de l’altra. Ja tens el missatge xifrat. Exemple: Anem a xifrar amb la nostra plantilla el missatge “hola a tots i bon dia”. No hem d’afegir soroll perquè té 16 lletres: “holaatotsibondia”

I el missatge xifrat és … “hoatlsnodtaiiabo” 9. Segur que ja saps com desxifrar un missatge rebut i per que ens demostres les teves habilitats • Agafa la plantilla que has realitzat en el punt 7 d’aquesta activitat • Xifra un missatge i passa’l al teu company/a, enviant-li tot el necessari per què pugui desxifrar-lo. El teu company/a t’enviarà el seu.

• Desxifra el missatge rebut.

10. Amb una plantilla, es pot xifrar un mateix missatge de diferents formes? Digues almenys tres formes diferents.

Aritmètica del Rellotge En les activitats 1.1 i 1.2 de la primera sessió has après a xifrar i desxifrar missatges mitjançant un dels mètodes clàssics de clau simètrica: el xifrat de Cèsar. Una de les característiques, i al mateix temps inconvenient, d’aquest tipus de xifrat és que la seguretat rau en la clau. Si per qualsevol raó es descobreix la clau n’hi ha prou amb calcular la inversa perquè qualsevol persona pugui desxifrar un missatge encara que no vagi adreçat a d’ella. A més si una persona necessita comunicar-se de forma confidencial amb bastants persones el número de claus que li fan falta és molt elevat. Fem un petit càlcul: Si 6 persones es volen comunicar entre si amb un mètode simètric, però de forma que només puguen desxifrar els missatges per parelles. Quantes claus necessiten? Cada parella ha de seleccionar una clau diferent. Quantes parelles hi ha? El número de claus coincideix amb les diferents formes de fer parelles entre 6 persones, i això és un problema de combinatòria molt senzill:

Si enlloc de pensar en 6 persones, pensem amb 100 o 1000 et pots fer una idea de la quantitat de claus diferents que farien falta. Per això han aparegut altres mètodes de xifrat que reben el nom de sistemes de clau pública que eviten aquest problema. Però per estar al corrent del funcionament d’aquests sistemes cal conèixer alguns resultats de teoria de números (una de les branques de les matemàtiques més antigues i alhora molt actual) Alguns d’aquests resultats estan relacionats amb l’aritmètica del rellotge. No penses que aquesta iniciativa és actual. Una de les primeres contribucions del matemàtic alemany Karl Friederich Gauss (1777-1855) va ser la invenció de la calculadora del rellotge. No era una màquina material (no oblidis l’època que va viure), era més bé una idea que aportava noves possibilitats per fer determinades operacions amb números que eren inabordables amb els mètodes de càlcul que es feien servir en aquella època. Segur que estàs acostumat a representar els números enters com marques disposades al llarg d’una recta que s’estén fins l’infinit:

L’aritmètica que coneixes es pot imaginar en termes de desplaçaments a dreta o esquerra al llarg d’aquesta recta. Ara vas a treballar amb altra aritmètica que intuïtivament el que fa és tallar la recta en un determinat punt obtenint d’aquesta forma un segment (finit) i tancar aquesta línia sobre si mateixa per tal de formar un cercle de números en compte d’una línia. Per exemple, la figura 2 mostra dos rellotges de 7 i de 12 hores (la recta s’ha tallat en el 7 i en el 12 respectivament i s’ha tancat sobre si mateixa). Si observes les hores comencem a comptar en el 0 i el número 7 (12) s’esborra ja que coincideix amb el 0.

Si anem a treballar amb aquests rellotges els únics números que podem gastar són: 0, 1, 2, 3, 4, 5 i 6 en el primer i des de 0 fins 11 en el segon.

Des de molt petit/a vas aprendre a fer operacions amb números enters.

L’operació 3 + 2 = 5 la pots simular com un desplaçament a la dreta al llarg de la recta dibuixada en la figura 1. 5 és el mateix que situar-se en el 3 i moure’s al llarg de la recta 2 espais fins arribar al 5 (amb l’operació suma sempre ens movem cap a la dreta).

Però en l’aritmètica del rellotge es treballa d’altra forma, per exemple per al rellotge 1: 5 + 4 = 2 (si comencem en el 5 i avancem 4 llocs en l’esfera del rellotge arribem al 2).

No és estranya aquesta forma de comptar, la fem servir en els rellotges per indicar les hores. Si ara són les 11 del matí per referir-nos a 4 hores més tard no és habitual que diguem l’hora 15 sinó que es més comú dir que seran les 3 de la tarda. El rellotge és molt semblant al nostre rellotge 2 però nosaltres comencem a comptar en 0 i acabem en 11.

Aquesta semblança és probablement la causa del nom d’aritmètica del rellotge. En àmbits més teòrics de les Matemàtiques rep el nom d’Aritmètica modular.

Igual que hem treballat amb l’addició podem també representar el producte. Com interpretem en el rellotge 2 l’operació: 5 x 7?

En aritmètica habitual el resultat seria 35 però aquesta hora no existeix en el nostre rellotge. Però si penses una mica, què significa que passen 35 hores?: començant a comptar en 0, en la primera volta del rellotge hauran passat 12 hores, en una segona volta altres 12 i així sucessivament, és a dir per a 35 es donen 2 voltes completes al rellotge (24 hores) i encara queden per recórrer 11 hores, per això diem que en aquesta aritmètica 5 x 7 = 11.

Per multiplicar aquests dos números no s’han donat massa voltes però si es van a multiplicar números grans el mètode que acabem de descriure pot ser molt avorrit.

Tanmateix existeix d’altra operació que vas aprendre en els teus primers anys de formació matemàtica que et serà d’ajut en aquest treball.

Si ara són les 12 en punt, quin hora serà quan passen 357 hores? Cal esbrinar el número de voltes completes i cas de que sobren les que es recorren en l’última volta.

Com donar el resultat de forma ràpida? Doncs clar, dividint 357 entre 12! El quocient de la divisió (29) t’indica el número de voltes completes i el residu de la divisió (8) les hores de la darrera volta. Per això la resposta a la pregunta serà 8 hores.

Per tal familiaritzar-te amb aquestes operacions fes servir els rellotges del maletí de l’espia (discos 3 a 6) i pensa quina hora indicarà el rellotge si han passat les hores indicades en la primera fila de les taules:

Com has resolt els 4 últims resultats?

Això mateix es pot fer per a un valor qualsevol “n” i se sol dir que es treballa “mòdul n” (recorda que s’anomena aritmètica modular). Per a un valor “n” determinat, podem considerar el conjunt A= {possibles hores que es poden presentar} = {0, 1, 2,…, n-1} Anem a reflexionar una mica més sobre la forma d’operar en aquests conjunts i els avantatges que tenen. Per saber el valor d’n amb el qual es treballa s’indica (mod n), per exemple per al rellotge 1 3 + 3 ≡ 6 (mod 7) També farem servir aquesta representació per al producte: 6 x 6 ≡1 (mod 7) (s’han donat 5 voltes completes i queda 1 hora) Practica-ho amb la suma:

I ara amb el producte:

Creus que es pot dividir en aquests conjunts? Tot i que treballem amb el conjunt dels números enters aquesta pregunta no sempre té resposta afirmativa. Per exemple en el conjunt dels números enters no pots dividir 5 entre 2 mentre que sí pots dividir 8 entre 2 Has sentit alguna vegada que la divisió és l’operació inversa de la multiplicació? Això vol dir que,

Dividir és el mateix que multiplicar per l’invers del denominador. Però ja sabem que no sempre és possible trobar aquest invers.

Quan els valors de n no són massa grans resulta interessant reflectir els resultats de les dos operacions suma i producte en una taula. Completa les dues taules següents,

+ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Anem a proposar-te un exercici: pots calcular els inversos dels valors 1 a 6 per a un rellotge de 7 hores. Intenta utilitzar la taula anterior per omplir la següent: nombre

1

2

3

4

5

6

invers Pensa el mateix per al rellotge de 12 hores: nombre

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

invers

I per a un de 5 hores? nombre

1

2

3

4

2

3

4

5

invers

I de 6? nombre

1

invers

¿Sabries dir quan un número qualsevol a té invers mòdul n? ………………………………………………………………………………………………………………………..