הקריה האקדמית אונו מינהל רישום
נושאים למבחן המיון במתמטיקה: נושא :1פישוט ביטויים אלגבריים. נושא :2פיתרון משוואות בנעלם אחד ,פיתרון משוואות בשני נעלמים ,פיתרון משוואה ריבועית בנעלם אחד ובשני נעלמים ,פתרון משוואות בנעלם אחד ובשני נעלמים ממעלה שניה ,שלישית ורביעית. נושא :3חזקות ומשוואות מערכיות. נושא :4לוגריתמים ומשוואות לוגריתמיות. נושא :5סדרות הנדסיות. נושא :6פונקציות וגרפים :פונקציה ליניארית ופונקציה ריבועית )תחומי עלייה ויריד ,נקודות חיתוך עם הצירים ,נקודות קיצון וכיו"ב(. נושא :7פיתרון אי שיוויונים :מערכת אי שיוויונים ,אי שוויון ריבועי. נושא :8תחום הגדרה של פונקציה. � אין להביא מחשבונים .יסופקו ע"י הקריה. ספרים מומלצים בתרגול בנושאים אלה: � � � �
בני גורן ,אלגברה 3יח"ל. אהרון אספיס ,אלגברה 3יח"ל. בני גורן ,חשבון דיפרנציאלי 3יח"ל. אהרון אספיס ,חשבון דיפרנציאלי 3יח"ל.
לידיעת הנבחנים, המבחן לדוגמא משקף חלק מהשאלות והרמה הנדרשת למבחן המיון.
.1פירוק לגורמים ופישוט איברים
X 2 � 4X 2X � 8 ba � b 2 ab � a 2
.א
.ב
49 � 4 X 2 .ג 7 � 2X 2a 3 � 18a 2a � 6
.ד
.2פתור את המשוואות הבאות . 5 X � 1 6 X � 1 7 X � 1א �1 � � 4 5 6 �8 5 � �1 .�� X Yב � � 4 � 10 � 1 �� X Y
X 4 � 3X 2 � 0
.ג
.3חזקות-פשט � . a � a 2 � a 5א � . b � a m � a 3ב � . g � (ab 2 ) 3ג
) (a 2 � 2ab � b 2 � (a � b)13
.ד
חשב.4 5 2 � (�2) 3 �
א. ב.
43 � 2 �5 �
ג. 9 4 � 3�7 � ד.
32 0 � 2 4 � פשט.5
א. a 7 � (a �3 ) 2 � ב. ( a 4 ) 0 � a 5 � פתור ללא מחשבון.6 א. (25)
�
1 2
�
3
ב. X 4 � 8 פשט.7 א.
3n � 3 n�1 � 32n�1
ב. 51�n � לוגריתמים.8 א. log 9 x � 1.5 ב. log 27 x �
1 3
ג. log 3 (log 3 x ) � 1 ד. log 4 [log 3 ( x � 6)] � 0.5 ה. log( x ) � log 7 � log 2 ו. log x � log( x � 1) � log 20
.9משוואות ריבועיות X �6 X �6 5 � � X �6 6� X 6
.א
X �2 X �2 1 � � 4X � 2 4X � 2 2
.ב
.10משוואות בנעלם אחד . X 2 � 100א . 4 X 2 � 36ב .11אי שיויונים X �2 �0 X �1
.א
. 2 X � 2 � 3ב . � 15 X � 80ג ) . 2( X � 2) � 6(4 � Xד .12פונקציה ליניארית ופונקציה ריבועית הבאות: הפונקציות נתונות .1 מצא את נקודת החיתוך ביניהן. .2נתונה פונקציהy � X 2 � 2 X � 1 :
y � X �3
ו-
y � 2 X � 22
מהי נקודת הקיצון שלה?
.3נתונה הפונקציה. y � X 2 � 8 X � 7 : מהי נקודת החיתוך שלה עם :א .ציר y ב .ציר .X .4נתונה הפונקציה. y � X 3 � 3 X 2 � 2 : מהם :א .תחומי העלייה שלה ב .תחומי הירידה שלה 2 X � 20 .5נתונה הפונקציה: X 2 �4
� . yמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
.13סדרות .1לאיזה סכום תגדל קרן בת ₪ 5000אם הופקדה ל 10 -שנים בריבית שנתית של ?5% .2אדם הפקיד ₪ 2000בתוכנית חיסכון בעלת ריבית של 5%לשנה .פי כמה יגדל הסכום אחרי 5שנים?
פיתרון המבחן לדוגמה: .1פירוק לגורמים ופישוט איברים X 2 � 4 X X ( X � 4) X .א � � 2X � 8 )2( X � 4 2
תחום הגדרה[ X � �4 ] : {}{ תחום הגדרהa � 0, b � � a} :
b ( a � b) b ( a � b ) b ba � b � � � 2 a (b � a ) a ( a � b ) a ab � a 2
) (7 � 2 X ) � (7 � 2 X 49 � 4 X 2 .ג �� � 7 � 2X 7 � 2X 7 � 2X
{}{ תחום הגדרהX � �3.5} :
)2a 3 � 18a 2a (a 2 � 9) 2a (a � 3) � (a � 3 � � )� a(a � 3 2a � 6 )2(a � 3 )2(a � 3
{}{ תחום הגדרהa � 3} :
.ב
.ד
.2פתור את המשוואות הבאות . 5 X � 1 6 X � 1 7 X � 1א � � �1 4 5 6 5X �1 6 X �1 7 X �1 � � � 1 /� 60 4 5 6 15(5 X � 1) � 12(6 X � 1) � 10(7 X � 1) � 60 75 X � 15 � 72 X � 12 � 70 X � 10 � 60 75 X � 72 X � 70 X � �10 � 60 � 15 � 12 )� 67 X � �67 / : (�67 X �1
תחום הגדרה� X , Y � 0� : .ב �8 5 �� X � Y � 1 � � 4 � 10 � 1 �� X Y
�8 5 �� X � Y � 1 /� XY � � � 4 � 10 � 1 /� XY �� X Y
�8Y � 5 X � 1XY � � �4Y � 10 X � 1XY
�8Y � 5 X � 1XY �8Y � 5 X � 1XY � � � � �� 8Y � �20 X � �2 XY )�4Y � 10 X � 1XY /� (�2
המשך פיתרון סעף 2תרגיל ב'
5 X � 20 X � XY � 2 XY
�8Y � 5 X � 1XY �+ � �� 8Y � �20 X � �2 XY � 15 X � Y � 15 � Y � � �15 X � � XY �X
Y � 15 נציב זאת באחת המשוואות הקודמות � � 120 � 15 X � 5 X � 120 � 5 X � 15 X
�8 �15 � 5 X � 1X �15
� 1XY
120 � � X � 120 � 10 X 10
�8Y � 5 X
� 12 � X
X 4 � 3X 2 � 0
.ג
שתי אפשרויות � X 2 ( X 2 � 3) � 0 � X 4 � 3 X 2 � 0 : X 2 � 0 X 1 � 0 � X 2 � 0אפשרות ראשונה אין פיתרון ממשי למשוואה זו : X 2 � �3 � X � � 3 � � X 2 � 3 � 0אפשרות שנייה לא קיים שורש ריבועי למספר שלילי. .3חזקות-פשט . a � a 2 � a 5 � a 1� 2 � 5 � a 8א . b � a m � a 3 � b � a m � 3ב . g � (ab 2 ) 3 � ga 3b 6ג
לפי נוסחאות הכפל המקוצר {}{ }a � �b {}{ תחום הגדרהb � � a} :
)(a � 2ab � b ) (a � b 1 � � (a � b) �11 � 13 13 11 )( a � b )( a � b )(a � b 2
2
2
.ד
.4חשב 5 2 � (�2) 3 � 25 � (�8) � �200
1 1 1 26 2 3 6 � � � � � 5 � 2 6�5 � 21 � 2 ( 2 ) 2 5 5 5 2 2 2 2
� 43 � 2 �5 � 43
.א .ב
. 9 4 � 3�7 � (32 ) 4 � 3�7 � 32�4 � 3�7 � 38 � 3�7 � 38�7 � 31 � 3ג 32 0 � 2 4 � 1� 2 4 � 1 �16 � 16
.ד
.5פשט . a 7 � ( a �3 ) 2 � a 7 � a � 6 � a 7 � 6 � aא . ( a 4 ) 0 � a 5 � a 0 � a 5 � a 0 � 5 � a 5ב .6פתור ללא מחשבון 1 5 3 4
4 3 3
� � 5 �1 4 3
3 4
1 2
�
) � (5 2
1 2
�
). (25א
. X � 2 � 16 � ( X ) � (2 ) � X � 8ב 4
.7פשט
3n � 3n�1 3n� n�1 32 n�1 1 1 � � 2 n�1 � 2 n�1 � 32 n�1�( 2 n�1) � 32 n�1�2 n�1 � 3�2 � 2 2 n �1 3 3 3 3 9 5 5n
.א
� . 51� n � 51 � 5 �nב
לוגריתמים.8 א. X � 91.5 � X � (32 )1.5 � X � 33 � X � 27 � log 9 x � 1.5 1 3
1 3 3
ב. X � 27 � X � (3 ) � X � 3 � log 27 x �
1 3
ג. log 3 (log 3 x) � 1 log 3 X � 31 � log 3 X � 3 � X � 33 � X � 27 � ד. log 3 ( X � 6) � 4 0.5 � log 3 ( X � 6) � ( 2 2 ) 0.5 � � log 4 [log 3 ( x � 6)] � 0.5 log 3 ( X � 6) � 2 � X � 6 � 3 2 � X � 6 � 9 � X � 9 � 6 � X � 3 �
7 7 ה. log X � log � X � � X � 3.5 � log( x) � log 7 � log 2 2 2
ו. � log x � log( x � 1) � log 20 X 2 � X � 20 � 0 � X 1, 2 �
log[ X ( X � 1)] � log 20 � X ( X � 1) � 20 �
� 1 � 12 � 4 �1 � (�20) � 1 � 1 � 80 � 1 � 81 � � �� 2 �1 2 2
�1 � 9 8 � �4 2 2 � 1 � 9 � 10 X2 � � � �5 2 2
� X1 �
משוואות ריבועיות.9 X �6 X �6 5 X �6 X �6 5 � /� 6( X � 6)(6 � X ) � � א. � � � X �6 6� X 6 X �6 6� X 6
{}{ X � �6} :תחום הגדרה
� 6( X � 6)(6 � X ) � 6( X � 6)( X � 6) � 5( X � 6)(6 � X ) � � 6(6 X � X 2 � 36 � 6 X ) � 6( X 2 � 6 X � 6 X � 36) � 5(6 X � X 2 � 36 � 6 X ) � � 6(� X 2 � 12 X � 36) � 6 X 2 � 36 X � 36 X � 216 � 5(� X 2 � 36) � � � 6 X 2 � 72 X � 216 � 6 X 2 � 72 X � 216 � �5 X 2 � 180 � � � 12 X 2 � 5 X � 180 � 432 � 12 X 2 � 432 � �5 X 2 � 180 � � 612 X2 �� � � 7 X 2 � 612 � 7 612 X= � X � � � אין פיתרון 7 לא קיים שורש למספר שלילי
{}{ תחום הגדרהX � �2} :
X �2 X �2 1 X �2 X �2 1 � )� /� 2( 4 X � 2)( 4 X � 2 � � � 4X � 2 4X � 2 2 4X � 2 4X � 2 2
.ב �
� )� 2( X � 2)( 4 X � 2) � 2( X � 2)( 4 X � 2) � 1(4 X � 2)(4 X � 2 � � 2(4 X 2 � 2 X � 8 X � 4) � 2(4 X 2 � 2 X � 8 X � 4) � 16 X 2 � 8 X � 8 X � 4 � � 2(4 X 2 � 6 X � 4) � 2(4 X 2 � 10 X � 4) � 16 X 2 � 4 � � 8 X � 16 � 16 X 2 � 4 � 8 X 2 � 12 X � 8 � 8 X 2 � 20 X � 8 � 16 X 2 � 4 � � 0 � 16 X 2 � 8 X � 12 / : 4 � 0 � 4 X 2 � 2 X � 3 � 0 � 16 X 2 � 8 X � 12
2 � 2 2 � 4 � 4 � 3 2 � 4 � 48 2 � � 44 � � אין פיתרון � � 2�4 8 8
� X 1, 2
לא קיים שורש למספר שלילי .10משוואות בנעלם אחד שני פיתרונות � . X 2 � 100 � X � 100א 1) X 1 � 10 )X 2 � �10 2 שני פיתרונות . � X 2 � 9 � 4 X 2 � 36 / : 4 � 4 X 2 � 36ב 1) X 1 � 3 )X 2 � �3 2
.11אי שיויונים {}{ תחום הגדרהX � �1} : X �2 X � 2 �0 .א � � � 0 /� ( X � 1) 2 � ( X � 2)( X � 1) � 0 X �1 X �1 שתי אפשריות � � ( X � 2)( X � 1) � 0 )1 X � 2 � 0 � X � �2 )2 X � 1 � 0 � X � �1 X � �2או : X � �1פיתרון . 2 X � 3 � 2 � 2 X � 5 � 2 X � 5 / : 2 � X � 2.5 � 2 X � 2 � 3ב
80 16 1 � X � � � X � �5 � � 15 X � 80 15 3 3
� � . � 15 X � 80 / : (�15) � Xג
) . 2 X � 4 � 24 � 6 X � 2 X � 6 X � 24 � 4 � 8 X � 28 � � 2( X � 2) � 6( 4 � Xד 28 1 � � X �3 8 2
.12פונקציה ליניארית ופונקציה ריבועית .1נתונות הפונקציות הבאות y � X � 3 :ו- מצא את נקודת החיתוך ביניהן.
y � 2 X � 22
פיתרון :נשווה בין שתי הפונקציות: 2 X � 22 � X � 3 � 2 X � X � 3 � 22 � X � 25 נקודת החיתוך היא )� y � 25 � 3 � y � 28 (25,28 .2נתונה פונקציה y � X 2 � 2 X � 1 :מהי נקודת הקיצון שלה? פיתרון :נגזור את הפונקציה ונשווה את הנגזרת ל: 0 - �2 � y ' � 2 x � 2 � 2 x � 2 � 0 � 2 x � �2 � x � x � �1 2 � y � (�1) 2 � 2 � (�1) � 1 � y � 1 � 2 � 1 � y � 0 מכאן כי נקודת הקיצון היא (-1 ,0) :
� 8 X � 28 / : 8 � X
.3נתונה הפונקציה . y � X 2 � 8 X � 7 :מהי נקודת החיתוך שלה עם :א .ציר yב .ציר .X פיתרון: ציר . X=0 : yא y � 0 � 8�0 � 7 � y � 7 נקודת החיתוך היא (0,7) : ציר . y=0 : Xב
8 � 82 � 4 �1� 7 8 � 64 � 28 8 � 36 � � שני פיתרונות� : 2 �1 2 2 8 � 36 8 � 6 14 � X1 � נקודת החיתוך היא� � 7 (7,0) : 2 2 2 8 � 36 8 � 6 2 � X2 � נקודת החיתוך היא� � 1 (1,0) : 2 2 2
� X 2 � 8 X � 7 � 0 � X 1, 2
.4נתונה הפונקציה . y � X 3 � 3 X 2 � 2 :מצא :א .תחומי העלייה ב .תחומי הירידה פיתרון: תחילה נגזור את הפונקציה .כאשר הנגזרת גדולה מ 0 -נקבל תחום עלייה וכאשר הנגזרת קטנה מ 0 -נקבל תחום הירידה.
y'� 3 X 2 � 6 X 3 X 2 � 6 X � 0 � 3 X 2 � 6 X � 0 / : 3 � X 2 � 2 X � 0 � X ( X � 2) � 0 X ( X � 2) � 0 X1 � 0 X �2�0 X2 � 2 תחום עלייה X<0 :או X>2
y'� 3 X 2 � 6 X 3 X 2 � 6 X � 0 � 3 X 2 � 6 X � 0 / : 3 � X 2 � 2 X � 0 � X ( X � 2) � 0 X ( X � 2) � 0 X1 � 0 X �2�0 X2 � 2 תחום ירידה0<X<2 :
2 X � 20 .5נתונה הפונקציה: X 2 �4
� . yמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
פיתרון {}{ . תחום ההגדרה הוא }x � 4 � 0 2
X2 �4�0� X 2 � 4� X � 4 X1 � 2 � X 2 � �2 {}{ . מכאן כי תחום ההגדרה הואX � �2} : .13סדרות
הנוסחהan � a0 � q n : .1לאיזה סכום תגדל קרן בת ₪ 5000אם הופקדה ל 10 -שנים בריבית שנתית של .5% פיתרון נתון: a0 � 5000 n � 10 p � 5% ? � an 5 p �q � 1 �� 1 � 1.05 100 100
an � 5000 � (1.05)10 � 8144.473
תשובה :הקרן תגדל ל .₪ 8144.473 - .2אדם הפקיד ₪ 2000בתוכנית חיסכון בעלת ריבית של 5%לשנה .פי כמה יגדל הסכום אחרי 5שנים. פיתרון נתון:
a0 � 2000 n�5 p � 5%
an � 2000 � 1.055 � 2552.56
5 p �� 1 � 1.05 100 100 an ?� a0 תשובה :הסכום יגדל פי .₪ 1.276 - �q � 1
בהצלחה!!!
an 2552.56 � � 1.276 a0 2000
��������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������