Барилгын механик II - Шилжилтийн аргаар статик тодорхой бус рам тооцох

LOGO

ШИНЖЛЭХ УХААН, ТЕХНОЛОГИЙН ИХ СУРГУУЛЬ

БАРИЛГЫН МЕХАНИК II Шилжилтийн аргаар статик тодорхой бус рамыг тооцох

БАГШ М.ОЮУНЧИМЭГ

www.must.edu.mn

ОЮУТАН Д.НИНЖБАДАМ

2011 он

ШИЛЖИЛТИЙН АРГААР СТАТИК ТОДОРХОЙ БУС РАМЫГ ТООЦОХ ДАРААЛАЛ 0. Эхлэх.

1. Кинематик тодорхой бусын зэргийг тодорхойлох. nк = nөнц + nшуг nк – Кинематик тодорхой бусын зэрэг nөнц – Тулгуурын бус хөшүүн зангилааны тоо буюу өнцгийн шилжилтийн тоо nшуг – Шугаман шилжилтийн тоо. Энэ нь нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоогоор тодорхойлогдоно. nшуг = W0 W0 =2У-Ш-Шт W0 – Нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоо У – Нугасан схемийн үзел буюу зангилааны тоо Ш – Тулгуурын бус шилбэний тоо Шт – Тулгуурын шилбэний тоо 2. Үндсэн систем сонгох. nк тооны нэмэлт холбоос хийх ба a. nөнц тооны өнцгөн шилжилтийг хорьсон тулгуурын хөшүүн бэхэлгээ b. nшуг тооны шугаман шилжилтийг хорьсон шилбэ хийнэ. Үндсэн систем нь дээд зэргийн статик тодорхой бус бөгөөд зангилааны өнцгөн ба шугаман шилжилтгүй байх ѐстой.

3. Шилбэнүүдийн нэгж уртын хөшүүнийг тодорхойлох. Багана ба ригелийн нэгж уртын хөшүүнийг iб=EJб/h

iр=EJр/l томъѐогоор олно.

4. Үндсэн системд гадаад хүчнээс үүсэх МF-ийн эпюр байгуулах. Мөн 𝑴′𝑭 -ийн эпюрийг байгуулах.

5. Үндсэн системд нэг хүч Zi = 1 (i=1..n) -ээс үүсэх Мi моментын эпюрийг байгуулах.

6. Каноник тэгшитгэл rZ+RF=0 бичих.

7. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг дараах томъёог ашиглаж, кинематик аргаар тодорхойлох.

- Хуудас 1 -

𝑴𝒊 𝑴𝒌

rik=

𝑬𝑱

𝒅𝒔

𝑹𝒊𝑭 =

𝑴𝒊 𝑴′𝑭 𝑬𝑱

𝒅𝒔

Эсвэл зангилааны тэнцвэрийн нөхцөлөөс статик аргаар тодорхойлж болно.

8. Нэгж шилжилтээс үүсэх моментийн нийлбэр эпюр Ms-ыг байгуулах.

9. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг зөв тодорхойлсон эсэхийг дараах томъёо ашиглан шалгах. 𝒓𝒊𝒌 =

𝑴𝒊 𝑴𝒔 𝑬𝑱

𝒅𝒔

𝑹𝒊𝒑 =

𝑴𝑺 𝑴′𝑭 𝑬𝑱

𝒅𝒔

10. Каноник тэгшитгэлийг бодож, Zi (i=1..n) үл мэдэгдэгчийг олох.

11. Үндсэн системд Zi (i=1..n) хүчнээс үүссэн эпюр буюу МiZi (i=1..n) засварласан эпюр байгуулах.

12. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийг тодорхойлох. 𝑴=

𝑴𝒊 𝒁𝒊 + 𝑴𝒑

13. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийн зөв байгуулсан эсэхийг шалгах. a. Статик шалгалт: Зангилаа бүрд моментын нийлбэр 0 байх. b. Кинематик шалгалт: Мi (статик тодорхой системийн i цэгт нэгж хүчнээс үүсэх моментын эпюр) ба М эпюрүүдийн үржвэр тухайн зангилааны шилжилттэй тэнцүү байх.

14. М–ийн эпюрээс хөндлөн хүч Q-ийн эпюрийг дараахь томъёо ашиглаж байгуулах. зүүн

𝑸зүүн = 𝑸𝟎 Q

зүүн

,Q

бар

+

𝑴бар −𝑴зүүн 𝒍

–Гадаад ачаанаас энгийн дамнуурын зүүн баруун талд үүсэх хөндлөн хүч

15. Зангилааны тэнцвэрийн нөхцлөөс N-ийн эпюрийг байгуулах.

16. Тулгуурын реакциудыг олж, статикийн тэнцвэрийн нөхцөл шалгах.

17. Төгсөх.

- Хуудас 2 -

бар

𝑸бар = 𝑸𝟎 +

𝑴бар −𝑴зүүн 𝒍

ӨГӨГДӨЛ Рамын дугаар 7 Ө.С B

Өгөгдлийн хүснэгт 9 F

D

l ригелийн урт

5м

4EJ

h баганы өндөр

q тархмал хүч

1

2EJ

2

F

3

төвлөрсөн хүч

Jр:Jб

Хэвтээ ба босоо шилбэнүүдийн хөшүүний харьцаа

5м

F=10кН

A

C

E

q=6кН/м

4м

4м

J :J р

б

 2:4

- Хуудас 3 -

4м 5м 6 кН/м 10 кН 2:4

БОДОЛТ 1. Кинематик тодорхой бусын зэргийг тодорхойлох. Тулгуурын бус хөшүүн шилжилтийн тоо nөнц =3

зангилааны

тоо буюу өнцгийн Н.С

Шугаман шилжилтийн тоо. Энэ нь нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоогоор тодорхойлогдоно. nшуг = W0 Нугасан схемийн үзел буюу зангилааны тоо У =9 Тулгуурын бус шилбэний тоо Ш =8 Тулгуурын шилбэний тоо Шт =9 Нугасан схемийн чөлөөний зэргийн тоо нь W0 =2У-Ш-Шт=2*9-8-9=1 nшуг = W0=1 шугаман шилжилттэй.

Кинематик тодорхой бусын зэрэг nк = nөнц + nшуг =3+1=4 байна.

- Хуудас 4 -

2. Үндсэн систем сонгох. a. nөнц =3 ширхэг өнцгөн шилжилтийг хорьсон тулгуурын хөшүүн бэхэлгээ хийв. b. nшуг =1 тул шугаман шилжилтийг хорьсон 1 шилбэ төсөллөв.

Ү.С

Ө.С F

D

4EJ

5м

4EJ

Z1

2EJ

2

A

C

C

E

q=6кН/м

4м

4м

р

Z4

A

E

q=6кН/м

J :J

Z3

F=10кН

5м

F=10кН

Z2 2EJ

3

5м

1

F

D

5м

B

B

б

4м

 2:4

4м

J :J р

б

 2:4

3. Шилбэнүүдийн нэгж уртын хөшүүнийг тодорхойлох. Баганы нэгж уртын хөшүүн iб=EJб/h =4EJ/5

Ригелийн нэгж уртын хөшүүн iр=EJр/l=2EJ/4=EJ/2 - Хуудас 5 -

4. Үндсэн системд гадаад хүчнээс үүсэх МF-ийн эпюр байгуулах. Мөн 𝑴′𝑭 -ийн эпюрийг байгуулах.

MF’

СТС

MF HB

B

50 9.375

12.5

125

75 75

6.25

7.8125

F=10кН

75

HA

A

12.5

C q=6кН/м

VA

MA = −НB ∙ 2h + F ∙ h/2 + q ∙ h ∙ h/2=0 HB=10кН X = −НA −НB + F + q ∙ h =0 HA=30кН

- Хуудас 6 -

5. Үндсэн системд нэг хүч Zi = 1 (i=1..n) -ээс үүсэх Мi моментын эпюрийг байгуулах.

M1

M2 2iб

4iр 4iб 3iб

Z1=1 3iб

Z2=1

2iр 2iр

2iр

4iб 4iр

4iр

2iб

2iр=EJ 2iр=EJ

4iр=2EJ

4iр=2EJ

2iб=8EJ/5=1.6EJ

3iб=12EJ/5=2.4EJ

4iб=16EJ/5=3.2EJ - Хуудас 7 -

M3

M4

4iр Z3=1

3iб Z4=1

2iр

3iб

6iб h

3i б h

6iб h 2iр=EJ 4iр=2EJ

3iб/h=12EJ/5*5=0.48EJ

3iб=12EJ/5=2.4EJ

6iб/h=0.96EJ

- Хуудас 8 -

3i б h

6. Каноник тэгшитгэл rZ+RF=0 бичих. Шилжилтийн аргын каноник тэгшитгэлийг бичвэл, r11 Z1 + r12 Z2 + r13 Z3 + r14 Z4 + R1F r21 Z1 + r22 Z2 + r23 Z3 + r24 Z4 + R 2F r31 Z1 + r32 Z2 + r33 Z3 + r34 Z4 + R 3F r41 Z1 + r42 Z2 + r43 Z3 + r44 Z4 + R 4F

=0 =0 =0 =0

7. Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг тодорхойлох. Зангилааны тэнцвэрийн нөхцөлөөс статик аргаар тодорхойлъѐ. А. Z1 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.

Z1

Z2

Z3

r11

r21

r31

2.4EJ

0

0

0.48EJ

r41 1

2EJ

1EJ

0

0

3

2 2.4EJ

r11 = 2.4EJ + 2.4EJ + 2EJ = 6.8EJ

0.48EJ

0

0

r21 = 1EJ

r31 = 0

- Хуудас 9 -

r41 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0

B. Z2 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.

Z1

Z2

Z3

r12

r22

r32

0

0

3.2EJ

0.96EJ

r42 1EJ

1

2EJ

1EJ

0.96EJ

3

2 3.2EJ

0

r12 = 1EJ

0

r22 = 3.2EJ + 2EJ + 3.2EJ + 2EJ

r32 = 1EJ

r42 = 0.96EJ − 0.96EJ = 0

= 10.4EJ

C. Z3 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.

Z1

Z2

Z3

r13

r23

r33

0

0

2.4EJ

0.48EJ

r43 0

1

2EJ

1EJ

3

2 0

r13 = 0

0.48EJ

0

2.4EJ

r23 = 1EJ

r33 = 2.4EJ + 2EJ + 2.4EJ

- Хуудас 10 -

r43 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0

D. Z4 =1 шилжилтээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.

Z1

Z2

Z3

r14

r24

r34

0.48EJ

0.48EJ

0.96EJ

0.096EJ

0.384EJ

0.096EJ

r44 0

1

0

0.48EJ

r14 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0

0

0

2

3

0.96EJ

0.48EJ

r24 = 0.96EJ − 0.96EJ = 0

r34 = 0.48EJ − 0.48EJ = 0

0.096EJ

0.384EJ

0.096EJ

r44 = 4 ∗ 0.096EJ + 2 ∗ 0.384EJ = 1.152EJ

E. Гадаад хүчнээс зангилаануудад үүсэх реакциудыг тодорхойлъѐ.

Z1

Z2

Z3

R1F

R2F

R3F

0

0

0

R4F

1

0

0

R1F = 9.375кН

15.000

3

2 9.375

6.875

0

0

12.5

0

R 2F = 12.5кН

R 3F = 0

- Хуудас 11 -

R 4F = −6.875 − 15 = −21.875кН

Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг дараах томъѐог ашиглаж, кинематик аргаар тодорхойлоход: rik=

𝑴𝒊 𝑴𝒌 𝑬𝑱

𝒅𝒔

𝑹𝒊𝑭 =

𝑴𝒊 𝑴𝑭 𝑬𝑱

𝒅𝒔

r11 =6.80 EJ

r12 =1.00 EJ

r13 =0.00 EJ

r14 =0.00 EJ

R1f =9.38 кН

r12 =1.00 EJ

r22 =10.40 EJ

r23 =1.00 EJ

r24 =0.00 EJ

R2f =12.50 кН

r31 =0.00 EJ

r32 =1.00 EJ

r33 =6.80 EJ

r34 =0.00 EJ

R3f =0.00 кН

r41 =0.00 EJ

r42 =0.00 EJ

r43 =0.00 EJ

r44 =1.15 EJ

R4f =-21.88 кН

байлаа. Эдгээр хариу нь Статик аргаар олсонтой тохирч байна. /Эпюрүүдийн үржвэрийг хавсралтаас үзнэ үү./

- Хуудас 12 -

8. Нэгж шилжилтээс үүсэх моментийн нийлбэр эпюр Ms-ыг байгуулах.

Ms

9.Каноник тэгшитгэлийн коэффициент ба сул гишүүдийг зөв тодорхойлсон эсэхийг шалгах. Дараах томъѐо ашиглаж, каноник тэгшитгэлийн коэффициент болон сул гишүүдийг зөв тодорхойлсон эсэхийг шалгана.

2.56

𝒓𝒊𝒌 =

𝑀1 𝑀𝑠 𝐸𝐽

4.16

3.00

2.88

𝑀2 𝑀𝑠

3.00

𝐸𝐽

𝑴𝒊 𝑴𝒔 𝑬𝑱

𝒅𝒔

𝑹𝒊𝒑 =

𝑴𝒔 𝑴′𝒇 𝑬𝑱

𝒅𝒔

𝑑𝑠 =7.80EJ

𝑟1𝑘 =6.80EJ+1EJ+0+0=7.80EJ тул тэнцэв.

𝑑𝑠 =12.40EJ

𝑟2𝑘 =1.00EJ+10.40EJ+1.00EJ+0=12.40EJ

тул тэнцэв.

1.92 2.88 1.92 3.00

2.24

3.00

𝑀3 𝑀𝑠 𝐸𝐽 𝑀4 𝑀𝑠 𝐸𝐽 𝑀𝑖 𝑀𝑠 𝐸𝐽

𝑑𝑠 =7.80EJ

𝑟3𝑘 =6.80EJ+1EJ+0+0=7.80EJ тул тэнцэв.

𝑑𝑠 =1.15EJ

𝑟4𝑘 =0+0+0+1,15EJ=1.15EJ тул тэнцэв.

𝑑𝑠 = 29.15𝐸𝐽

𝑟𝑖𝑘 = 7.80𝐸𝐽 + 12.40𝐸𝐽 + 7.80𝐸𝐽 +

1.15𝐸𝐽 = 29.15𝐸𝐽 тул Каноник тэгшитгэлийн коэффициентүүд зөв олджээ.

0.64

𝑀𝑠 𝑀𝑓′ 𝐸𝐽

𝑑𝑠 = 0

𝑅𝑖𝑝 = 9.38𝐸𝐽 + 12.50𝐸𝐽 − 21.88𝐸𝐽 =

0 тул Каноник тэгшитгэлийн сул гишүүд зөв олджээ.

- Хуудас 13 -

10. Каноник тэгшитгэлийг бодож, Zi (i=1..n) үл мэдэгдэгчийг олох.

6.80Z1 + 1.00Z2 + 9.38 = 0 1.00Z1 + 10.40Z2 + 1.00Z3 + 12.50 = 0 1.00Z2 + 6.80Z3 = 0 1.15Z4 − 21.88 = 0

δ2= 1/(24EJ)

163.20 24.00 0.00 0.00

-225.00 -300.00 0.00 525.00

0.00 24.00 163.20 0.00

0.00 0.00 0.00 27.65

Каноник тэгшитгэлийн системийг Карамерийн дүрмээр олъё.

Z2= -1.10048

d2= -196549411 δ= 1/(24EJ)

163.20 24.00 0.00

24.00 249.60 24.00

0.00 24.00 163.20

0.00

0.00

0.00

0.00 0.00 δ= 0.00 27.65

-225.00 -300.00 0.00

δ3= 1/(24EJ)

525.00

δ1= 1/(24EJ)

24.00 249.60 24.00 0.00

-225.00 -300.00 0.00 525.00

24.00 249.60 24.00 0.00

0.00 24.00 163.20 0.00

d1= -217331859

0.00 0.00 0.00 27.65

δ4= 1/(24EJ)

Z2=-1.100рад

24.00 249.60 24.00 0.00

0.00 24.00 163.20 0.00

Z3=0.162рад

- Хуудас 14 -

-225.00 -300.00 0.00 525.00 Z4= 18.98872

d4= 3391447450

Z1= -1.21684

Z1=-1.217рад

163.20 24.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 27.65 Z3= 0.161835

d3= 28904325.1

D= 178603313 -225.00 -300.00 0.00 525.00

163.20 24.00 0.00 0.00

Z4=18.989м

11. Үндсэн системд Zi (i=1..n) хүчнээс үүссэн эпюр буюу МiZi (i=1..n) засварласан эпюр байгуулах/EJ/.

M1Z1

Z1=1.217EJ

Z2=1.100EJ

M2Z2 1.76

2.20 2.43 3.52 1.10 2.92

1.10

1.22 3.52

2.92

2.20

1.76

- Хуудас 15 -

M3Z3

M4Z4

Z3=0.162EJ

Z4=18.989EJ

18.23

0.32 0.39

0.16

0.39

18.23

9.11

18.23

- Хуудас 16 -

9.11

12. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийг байгуулах. 𝑴=

𝑴𝒊 𝒁𝒊 + 𝑴𝒑

13. Өгөгдсөн системийн момент М-ийн эпюрийн зөв байгуулсан эсэхийг шалгах. а.Статик шалгалт: Зангилаа бүрд моментын нийлбэр 0 байх.

6.19

14.71

9.50

M 16.47

1

3.53

3.42

2.04

2 2.66

0.78

3

9.25

8.73

Зангилаанууд статик тэнцвэрийн нөхцөлд оршиж байна. Иймд кинематик шалгалтыг хийе.

ME

14.71 3.53

6.19

B. Кинематик шалгалт: Мi (статик тодорхой системийн i цэгт нэгж хүчнээс үүсэх моментын эпюр) ба М эпюрүүдийн үржвэр тухайн зангилааны шилжилттэй тэнцүү байх

HB

2.04 3.42

2.66

9.50

9.25

0.78 8.73 5

13.83

5

5

HA

5

A

32.49 VA

FE=1

Бид E зангилааг сонгон авч,нэгж хүч үйлчлүүлэн моментын эпюр байгуулъя.

HB=0 HA=1 𝑴𝒊 𝑴 𝑬𝑱

- Хуудас 17 -

𝒅𝒔 = 𝟎 тул зөв олджээ.

14. М–ийн эпюрээс хөндлөн хүч Q-ийн эпюрийг дараахь томъёо ашиглаж байгуулах. Дараах томъѐог ашиглаж, моментын эпюрээс хөндлөн хүчний утгыг

|

олъѐ.

Q

B зүүн

𝑸зүүн = 𝑸𝟎 Q

зүүн

,Q

бар

+

𝑴бар −𝑴зүүн 𝒍

бар

𝑸бар = 𝑸𝟎 +

F

D

𝑴бар −𝑴зүүн 𝒍

–Гадаад ачаанаас энгийн дамнуурын зүүн баруун талд үүсэх

хөндлөн хүч

1.24

6.24 1.90

QAP = 5.53EJ

QPA = 5.53EJ

QP1 = -4.47EJ

Q1P = -4.47EJ

Q1B = -1.24EJ

QB1 = -1.24EJ

QC2 = 23.35EJ

Q2C = -6.65EJ

Q2D = -6.24EJ

QD2 = -6.24EJ

QE3 = 1.75EJ

Q3E = 1.75EJ

Q3F = -1.90EJ

QF3 = -1.90EJ

Q12 = 1.74EJ

Q21 = 1.74EJ

Q23 = 0.70EJ

Q32 = 0.70EJ

 -

1.74

1

2

0.70

3

6.65 4.47

P

1.75

5.53

A

C 23.35

- Хуудас 18 -

E

15. Зангилааны тэнцвэрийн нөхцлөөс N-ийн эпюрийг байгуулах.

N3F

N2D

N1B

Q2D

Q1B

Q3F

N

B

F

D

Q23

Q12

1

|

N12

N21

2

Q21

N23

N32 Q32

3

Q2C

Q1A

N2C

N1A

В зангилааны хувьд босоо реакци үүсэхгүй тул NB1= N13=0 N1A=- Q12= -1.74EJ

Q3E

D зангилааны хувьд босоо реакци үүсэхгүй тул ND2= N2D=0 N21=N12-3.23 кH

N12= Q1B -Q1A=-3.23 N2C= Q21 –Q23=1.04 EJ EJ N23= Q2D + N21 –Q2C= NA1= N1A=-1.74EJ =-3.64 EJ

N3E

F зангилааны хувьд босоо реакци үүсэхгүй тул

 -

2

1

3

3.23

NF3= N3F=0

3.64

N32=N23=-3.64 EJ 1.74

N3E= Q32=0.70EJ

1.04

0.70

NE3=N3E= 0.70EJ A

NC2=N2C= 1.04 EJ

- Хуудас 19 -

C

E

16. Тулгуурын реакциудыг олж, статикийн тэнцвэрийн нөхцөл шалгах.

1)

MD=16.47кНм HB=1.24кН

B

VA-VC- VE= 1.74-1.04-0.70=0

HF=1.90кН

HD=6.24кН

F

D

𝒀=𝟎

2)

𝑿=𝟎 HA+HC+ HE+ HB + HD + HF - F - ql= =5.53+23.35+1.75+1.24+6.24+1.90-10-6*5=0.01EJ≈0

3) 2

1

𝑴𝟏 = 𝟎 5(HA+HC+ HE)-5( HB + HD + HF) + 4VC+8VE+MD-MC-

3

-5F/2 – 5q*5/2=106.25+9.76-16.02-100 =-0.01EJм≈0 Статик тэнцвэрийн 3 нөхцлөөр шалтгалт хийхэд тэнцэж буй тул F=10кН

тооцоог зөв хийжээ.

q=6кН/м

-ТөгсөвA

HA=5.53кН VA=1.74кН

C

HC=23.35кН Vс=1.04кН

E

HE=1.75кН VE=0.70кН

MC=32.49кНм

- Хуудас 20 -