Física: Introductorio: Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Física Introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Física Introductoria: Experimentos, Cuestionarios y Problemas Autor-Editor: Huamaní Castro, Newton Lic. en Ciencias Físico-Matemáticas y Maestro en Educación Asoc. APROVISA Mz.D Lote 10, San Juan Bautista Ayacucho-Perú Primera edición digital, setiembre 2021

º

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N 2021-10493

Distribución y publicación electrónica disponible bajo pedido: https://www.micihuamani.pe/en/

& newton.h.c@hotmail.com (+51) 916162242 Perú-2021

Dedicatoria Va dirigido a los estudiantes y colegas de Física

Índice general Índice general

4

0.1. Experimentos de Oscilaciones y Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

0.1.1. Oscilaciones Forzada usando Smartphone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

0.1.2. Elasticidad en Varilla de Acero modo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

0.1.3. Módulo de elasticiad en acero modo voladizo . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

0.1.4. Medir el módulo de Young de forma sencilla . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

0.2. Experimentos sobre ondas mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

0.2.1. Medición de la velocidad del sonido en forma simpli cada . . . . . . . . . .

42

0.2.2. Medición de la velocidad de sonido usando Samrtphone . . . . . . . . . . .

47

0.2.3. El experimento del tubo de Kundt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

0.2.4. Experimento sorprendentemente simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

0.2.5. Experimento: Caracterización de fuentes de luz . . . . . . . . . . . . . . . .

59

0.2.6. Experimento sobre teorema de ejes paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

0.3. Cuestionarios del año académico 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

0.4. Problemas

86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Apéndice

102

.1.

Con guración experimental para medir la iluminancia.- . . . . . . . . . . . . . . . 103

.2.

Con guración experimental para medir el módulo de elasticidad . . . . . . . . . . . 103

Bibliografía

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Introducción La mayoria de los experimentos en la asignatura de Física II requieren de un cuidado especial en su con guración experimental. Una forma de volver más interesante resulta al revisar los experimentos usando materiales accesibles por los estudiantes. Tanto los docentes y estudiantes, actualmente, llevan consigo su laptop o Smartphone la cual podria considerarse como un instrumento que puede ayudar hacer replicas de experimentos con precisión porque están provistas de sensores que podrian usarse, vea el cuadrado:

El(los) Sensor(es) microfono acelermetro y giroscopio microfono Luz y orientación

Cuadro 1: Para Veri car la rapidez del sonido Veri car la relación entre ac y ω veri car módulo de elasticidad obtener la dependencia angular de la intensidad de luz

Los sensores que están contenidos en los smartphone puede resolver las di cultades, que se presentan al hacer la replica de experimentos, como

problemas: ¾Cómo aumentar la precisión en los experimentos? ¾Cómo hacer experimentos prescindiendo de equipos so sticados?

En el afan de realizar experimentos con datos reales y contacto con los instrumentos, de tal manera consigamos obtener los objetivos altos de aprendizaje en nuestros estudiantes, este material se prepara para una lectura complementaria de una asignatura introductoria Física y está dividido en cuatro secciones: En el capitulo

primero adjuntamos algunos experimentos con Smarthpone. En esta sección

adjunto dos formas de obtener el módulo de elasticidad de una varilla metálica de sección circular.

En el

segundo,

continuamos adjuntando algunos experimentos con Smartphone. En está

presentamos la forma de obtener la rapidez del sonido En el

tercero, adjuntamos los cuestionarios rápidos

En el

cuarto, se adjunta los problemas de la asignatura Física II

que se aplicaron en la asignatura

Estamos diciembre 2020, un año lleno de cuarentenas, aislamientos y restricciones debido a las medidas adoptadas para mitigar la pandemia Covid-19. Motivo por el que muchos perdieron sus trabajos. Yo también perdí mi trabajo de tiempo parcial debido a la reducción de docentes por la migración de la enseñanza de presencial a la modalidad virtual o e-learning, trabajaba desde hace ocho años en una universidad particular enseñando a los estudiantes de primeros ciclos como matemática, Física II y Cálculo. Muchas veces me toco impartir clases sobre elasticidad lineal y movimiento oscilatorio lo que me permitió hacer mediciones del módulo de elasticidad (módulo de Young) de una varilla de metal sólo usando mi celular, la cual lo presento en este material educativo, ver página 24.

El año 2020 nos dió algunas lecciones y también nos presentó algunas preocupaciones por ejemplo: ¾si tuvieramos que salir del planeta dónde nos dirijimos? Una respuesta seria: ½No podriamos Versión 2020

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salir de ella todos! Y ¾si nos faltara minerales de dónde extraemos? Una respuesta seria: ½ del espacio exterior! Es por ello que el conocimiento del universo debe ahondarse y hasta ahora el único que se preocupa es nadie.

Durante muchos años los físicos han tratado de constuir la Física. Hoy por hoy la estructura o armazón de la física se parece a una mesa con dos patas y una de las patas es la teoría de la relatividad y la otra es la teoría cuántica, mientras el travesaño la constituye: las partículas cuánticas en el espacio-tiempo, gravedad cuántica.

Deciamos que una de las patas la constituye la teoría de la relatividad de A. Einstein. Está teoría proporcionó mediciones precisas, por lo que es la admirada y por eso se considera el mejor de todas las teorías creadas por la mente-humana, y una de las contribuciones de las tantas es la fórmula matemática que te permite conocer la suma de los ángulos interiores de un triángulo, de años Luz, si se conoce cuanta materia hay en el interior; ahora si los triángulos contienen mayor masa puede eventualmente convertirse en circulos luego en agujeros negros cuyo interior desconocemos y nadie puede salir al caer en ella; también está claro que en el sistema solar, en que vivimos, no hay agujeros negros pero si hay en la galaxia en que habitamos, vía lactea. Si aceptamos que la teoría de Einstein es correcta podriamos decir que el universo en conjunto se expande aceleradamente, se podria gurativamente decir, que el universo se dilata o expande como un panetón que está en el horno y las pasas, que son las estrellas, se alejan unas de otras. El espacio-tiempo tiene curvatura la cual posibilita la existencia de la gravedad y éste a su vez hace que la luz caiga como una piedra y es un medio elástico donde las ondas gravitacionales que se genera en ella son imperceptibles pero que ya fueron detectados experimentalmente en el laboratorio LIGO del 2015.

Hasta ahora, se dice, lo mejor que se puede hacer es acoplar dos naves y trabajar dentro de ella tomando muestras y haciendo un invernadero para ver quién se adapta más rápidamente. Razón por la cual somos un planeta suddesarrollados en cuanto al conocimiento y conquista del espacio exterior. Nuestras habilidades de intimidación, de negociación y comercio no nos servirá por lo que el crecimiento del conocimiento del espacio exterior no es totalmente independiente de las decisiones políticas. Se debe adoptar un mecanismo interno (endógeno) de crecimiento sostenida por el capital humano challenger y por el producto realizado por los robots.

Si los europeos deciden cambiar todo su parque automotor con carros nuevos necesitarían cantidades de cobre mucho más de lo que se tiene en el planeta y también está el caso si todos los países en desarrollo deciden hacer al mismo tiempo ferrocarriles en versión antigua por todo el interior del país crearían problemas de ujo de minerales. En n ...

La exploración del expacio exterior es interesante y te sugiero comenzar, desde hoy, una formación e instrucción en la Física y en conceptos de Ingeniería y te aseguro que no es una pérdida de tiempo más bién es una buena decisión y además es un buen instrumento de sobrevivencia en el medio en que vivimos. El gestor de mi formación prefesional fue mi papá que apenas sabía leer y que tuvo una instrucción hasta los 12 años en el campo, como todo padre se preocupó por dejarme un instrumento de sobrevivencia la de poseer una instrucción (en aquel momento la instrucción con especialización era el mejor pagado), y el mismo me presionó para obtener mi título profesional y despues partió a la eternidad. Mi padre siempre quizó lo mejor para mí pero al nal resulte mal y no lo pague. Ahora debido a la pandemia perdí el trabajo de enseñar Física y además a la universidad en que trabajaba lo cerraron son motivos por lo que concluyó que dí cilmente vuelva enseñar Física y por lo que les dejo este material educativo para que puedan leer en sus tiempos libres. Cordialmente Newton Huamaní Castro Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas.

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Fórmulas y Instrumentos de Laboratorio A continuación se lista algunos equipos básicos de un taller de enseñanza de Física EQUIPO

TIPO DE MEDICIÓN

Smartphone

Depende de los sensores que contiene

E= E=

V −VT VT F/S σ ε = ∆L/L

DETALLES

Error relativo

Usar APPs

La discrepancia(E %) no debe superar el 5 %

Módulo de elasticidad

F:fuerza; S:sección transversal; L:longitud

Vernier

mide dimensiones exteriores e interiores

Calibrador de 0-12"

Micrometro

mide el tamaño de un objeto encerrándolo

electrónico P/EXT.

Dinamómetro

para medir fuerzas o peso de los objetos

Cronómetro

sirve para medir fracciones de tiempo

Péndulo

de Newton demuestra la conservación de E y de P

Balanza

analítica mide pequeñas masas incluso menor de 1g

Balanza

hidrostática estudia el empuje

250G y 500G electrónico movimiento perpetuo 220GRX0,0001GR en liquido en reposo

Densimetro

mide la densidad relativa de liquidos

Pesas

un marco de pesas para realizar comprobaciones

1.0 - 1.8

Multímetro

digital para comprobación de tensión(V ), resistencia(Ω), corriente(A)

Fuente

de alimentación convierte tensión alterna en continua

1GR -1000GR B35T

DC 0-32V

Calorímetro

mide las cantidades de calor suministradas por los cuerpos

Aparato

para determinación de momentos y fuerzas

con brazos

Torquímetro

o llave de torsión para aplicar torque

Libras-pie

Protoboard

medio sirve para probar circuitos

Termometros

mide la temperatura

Error

puede ser:

Medición

puede ser: p ET = Es2 + Ea2

ET

1Cal=4.1868J

400 puntos 10 a 150 grados aleatorio o sistemático directa o indirecta

Es : e. sistemático; Ea :e. aleatorio

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0.1. Experimentos de Oscilaciones y Elasticidad Desde la aparición de los Smartphones algunas de las actividades humanas se simpli caron y se acortaron en distancia. Particularmente los laboratorios de Física incorporaron como instrumento de medición. La replica de las experiencias físicas usando el Samrtphone a veces se vuelve más explicativo y más práctico, en nuestros tiempos actuales.

Actualmente presenciamos una tendencia de publicación en revistas arbitradas de Física sobre trabajos donde se replican los experimentos físicos haciendo uso los sensores de los Smartphone. Esta probado que hay actividades experimentales de física que puede replicarse (o revisarse nuevamente, incluso con mayor precisión) mediante el uso de los Smartphones, provistas de sensores, y complementando con materiales accesibles. Consecuentemente el próposito de este libro es adjuntar esos trabajos publicados para poder enseñar al estudiantado de Física II. Un sensor dentro del Smartphone tiene la capacidad de generar una salida numérica a partir de cierta magnitud medible de su entorno. Por lo que tu Smartphone eventualmente se puede convertir en un instrumento de medición. Éstos según la marca y propósito, como la de mejorar la interactividad y la experiencia del usuario, están provistas de varios sensores tales como:

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Micrófono: la cual es útil en acústica, para describir y analizar diferentes características del sonido. Puede ayudar medir las frecuencias. Acelerómetro: mide aceleración en todas las direcciones (ax , ay , az ). Cámara: la cual se puede usar para analizar el espectro de luz y también para describir el movimiento cinemático. Giroscopio: nos indica la velocidad angular en los tres ejes.

Magnetómetro: mide el campo magnético en tres ejes. Barómetro: mide la presión atmosférica (puede medir la presión bajo el H20 si es sumergible). Fotómetro: es un sensor de la luz ambiente y mide la irradiancia óptica. Orientación: nos permite medir los ángulos del teléfono con respecto al laboratorio, la información se genera a partir de los datos combinados del acelerómetro, el giroscopio y el magnetómetro. pseudosensor o sensor compuesto.

Para que tu Smartphone se convierta en un instrumento de medición se necesita una aplicación (app) capaz de acceder a la información de los sensores. Entre las que más destacan son: androsensor, physics toolbox y phyphox. Son aplicaciones gratuitas y sencillas de usar y con leves diferencias en sus prestaciones.

Una vez instalada la aplicación en el Smartphone se ingresa al interfaz de usuario donde escoge las acciones para poder registrar las mediciones básicamente consiste en leer los valores de los sensores directamente en la pantalla del dispositivo y la otra opción consiste en utilizar el Smartphone como un data loger, o sea, como un grabador de medidas(datos) realizadas por los sensores y guardados en una tabla de datos.

Una vez replicada el experimento, algunas de las aplicaciones tienen la opción para exportar a una laptop para posteriormente ser analizados mediante alguna herramienta apropiada de tratamiento de datos, por lo general esto se realiza en excel. Si el Smartphone posee varios sensores entonces se amplia tu capacidad para replicar más experimentos, incluso de mayor so sticación.

El cambio de las clases presenciales al modo virtual de las asignaturas con laboratorio constituyó un desafío del año 2020. Pero algunos experimentos de Física se implementaron en el modo virtual gracias a que los estudiantes contaban con un Smartphone provista de tres sensores en su mayoría y otros materiales accesibles. Adenás vale recordar que los investigadores en este campo, como Martín Monterio y otros, lo categorizan al Smartphone como laboratorios portátiles.

En el modo virtual los laboratorios de la asignatura de Física se imparten según las necesidades que se espera conseguir en el estudiante. Pero las maneras más conocidas son: según el forma de acceso, que puede ser local o remoto, y según la naturaleza de los datos, que pueden ser reales o simulados. En ese sentido en las actividades locales con datos reales (es decir, una experiencia física hecha por el estudiante y en su espacio) es donde los Smartphone se convierten en instrumentos de medición porque son fácilmente disponibles y versátiles. Además su diseño y realización del montaje experimental y el contacto con los instrumentos de medición hacen posible los aprendizaje esperados por lo que el costo de enseñanza es alto.

Acontinuación adjuntamos algunos experimentos donde se usan los smartphones

0.1.1. Oscilaciones Forzada usando Smartphone How to visualize forced oscilations In your Smartphone I. Salinas1 , M. H. Giménez1 , J.A. Sans1 , J.C. Castro-Palacio2 1

Departamento de Física Aplicada, Universitat Politécnica de Valencia. Cami de Vera s/n 46022 Valencia, Spain

2

Department of Eart Science and Engineering, Faculty of Engineering, Imperial College, London SW7 2AZ, United Kingdom

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Resumen La nalidad del presente trabajo es presentar nuevos usos de los sensores en el Smartphone(S)en la enseñanza de la Física para contribuir en la destreza del manejo de los instrumentos de medida, rápidez en el recojo de datos experimentales, inmediates en el análisis de los datos y cálculos de incertidumbres. Se hace una revisión de la experiencia de oscilaciones forzadas haciendo uso del S para su estudio y comprensión de las oscilaciones forzadas en el laboratorio. Se presentan los elementos necesarios para adaptar un motor vibrador a un carril cinemático existente, sobre cuya deslizadera se coloca un smartphone. Mediante una app gratuita se puede controlar el sensor de aceleración (acelerómetro), de manera que se puede almacenar, en un chero ASCII, los datos de tiempos y aceleraciones registrados, al mismo tiempo que los representa grá camente en la pantalla. Este sistema permite la visualización inmediata de la aceleración y la experimentación con diversos modos de vibración, en particular el movimiento forzado y amortiguado débil. Se trata de una herramienta sencilla para explicar un proceso complejo.

1. Introducción La sociedad actual está inmersa en un mundo digital que progresa a una velocidad vertiginosa. Con la utilización de los llamados dispositivos inteligentes (tabletas y smartphones) el uso de las nuevas tecnologías se ha generalizado. Por ello, resulta necesario adquirir y desarrollar una educación en las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC).

Al plantear el uso de las TIC en el entorno educativo, se pretende hacer la educación más atractiva para el estudiante, al mismo tiempo que se fomenta la formación en valores como la creatividad, el trabajo en grupo, el esfuerzo y la responsabilidad. No hay que olvidar el espíritu crítico que debe adquirir el alumno ante los datos recogidos en el laboratorio, ya que un teléfono móvil es un aparato de medida, muy atractivo, eso sí, pero donde los valores obtenidos no dejan de tener una incertidumbre asociada.

Las prácticas de laboratorio permiten reforzar la comprensión de las leyes de la Física que se han estudiado previamente en las clases teóricas. Tradicionalmente, el alumno monta un experimento, realiza medidas con diversos aparatos, analiza los datos experimentales obtenidos y evalúa críticamente los resultados. Para completar esta formación del alumno en el método cientí co, y conseguir que se produzca la máxima transferencia teoría-práctica, hay que introducir elementos innovadores en el laboratorio. En este caso, el uso del smartphone resulta ser atractivo y sencillo.

Puede sustituir a aparatos de medida más complejos como sensores de infrarrojos o cámaras de vídeo, que necesitan estar conectados a un ordenador para un tratamiento posterior y generalmente, carecen de la inmediatez de la visualización en pantalla de los datos adquiridos.

Un smartphone de gama media incluye numerosos sensores. Algunos son ampliamente conocidos como son los casos de la cámara, el micrófono o el altavoz. Sin embargo, el usuario medio desconoce que su smartphone posee un acelerómetro, un sensor de luz, un sensor de campo magnético o un giróscopo, entre otros. Aprovechando estos sensores se han desarrollado numerosas experiencias didácticas.

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Entre los sensores más utilizados está el de aceleración, el cual se ha implementado en múltiples experiencias docentes para el estudio de movimientos lineales, circulares y oscilatorios. Los primeros trabajos publicados ilustran experimentos sencillos de Mecánica Clásica, como son el cálculo de la aceleración de la gravedad a partir de la caída libre de un cuerpo, las experiencias con un péndulo simple, o el estudio de movimientos oscilatorios libres (Vogt, 2012a; Chevrier, 2013; Kuhn, 2013a).

A medida que se ha ido generalizando el uso del teléfono móvil como aparato de medida, se han desarrollado nuevas experiencias sobre oscilaciones libres, amortiguadas y acopladas, tanto en sistemas lineales como bidimensionales, en algunos casos con resultados visualmente muy atractivos como es el trazado de las guras de Lissajous (Castro-Palacio, 2013b; Tuset-Sanchis, 2015).

En el presente trabajo se ha incorporado un motor para generar oscilaciones lineales forzadas y amortiguadas sobre un carril cinemático. En primer lugar se describe el montaje experimental.

A continuación, se realiza una breve exposición de los fundamentos teóricos de los movimientos oscilatorios, y se concluye con los resultados obtenidos a través de las medidas realizadas con un smartphone. Este trabajo se sitúa curricularmente en los primeros cursos de Universidad, pero también puede ser planteado como una experiencia complementaria para alumnos de bachillerato.

2. Materiales y montaje experimental En esta experiencia se ha utilizado un sistema compuesto por un telefono movil Samsung Galaxy S5 4G LTE (masa 145 g, sistema operativo Android 4.4.2 KitKat), un carril cinematico PASCO con una deslizadera (masa 180,6 g) y dos masas adicionales (50,2 g cada una), unido mediante un muelle (constante elastica K=189 (7) N/m) a un vibrador mecanico VENTUS (de 0 a 5 kHz) cuya frecuencia se controla desde un generador de funciones Keysight Technologies mod. 33210A, (frecuencia empleada: 3 Hz). El ujo de aire del carril se controla desde un soplador PASCO SF9216. Este montaje experimental completa el utilizado en un estudio previo de oscilaciones libres y amortiguadas (Castro-Palacio, 2013b), donde se determino el valor de la constante elastica .. a partir de metodos estaticos, colgando una masa del muelle, y se comparo con el valor obtenido a partir de la pulsacion de las oscilaciones libres, con una discrepancia inferior al 0, 6 %.

En la Figura 1 se muestra una imagen del montaje experimental disenado. Sobre la deslizadera del carril cinematico se ha colocado el telefono movil (1) que registra las aceleraciones. La deslizadera esta unida mediante el muelle (2) al vibrador mecanico (3) que es un oscilador electromagnetico cuya frecuencia se establece desde la fuente de alimentacion (4). Controlando el caudal de aire suministrado al carril por el soplador (5) se modi ca el rozamiento entre este y la deslizadera variando asi la magnitud del amortiguamiento de las oscilaciones. Para visualizar las oscilaciones en el smartphone, en primer lugar, obviamente, se ha de instalar la aplicación que registra los datos

® v1.0.10 1*, que ocupa 154 KiB de ®.

del acelerómetro: en nuestro caso se utilizó AccelerometerToy

memoria y puede ser descargada de forma gratuita desde la página de Google Play Store

Una vez colocado el teléfono sobre la deslizadera, y sujeto con cinta adhesiva de doble cara, se conecta el generador de aire y se activa el motor oscilador. La frecuencia del vibrador mecánico externo se ha ajustado a una frecuencia cercana a la de la oscilación libre del sistema. El movimiento se inicia por medio de un pequeño desplazamiento de la deslizadera respecto a su posición de equilibrio. El teléfono comienza a oscilar, y al cabo de unos segundos observamos que la frecuencia del sistema se sincroniza con la del vibrador mecánico.

Una vez alcanzado el régimen estacionario, se detienen el sistema y el programa. Los datos Versión 2020

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Figura 1: Con guración del sistema experimental: Las oscilaciones forzadas y amortiguadas se visualizan directamente en la pantalla del Smartphone. recogidos por el sensor de aceleración se almacenan en un chero ASCII, que se puede enviar por correo electrónico, desde el mismo programa, a un ordenador para su posterior tratamiento.

El estudio de las vibraciones forzadas con amortiguamiento débil es visualmente impactante y la mera representación grá ca de los datos, ya sea en la pantalla del móvil o en una hoja de cálculo, permite diferenciar las fases transitoria y permanente.

3. Fundamento teórico Aplicando las leyes de Newton y el caudal de aire suministrado al carril cinemático, se puede estudiar los diferentes modos de oscilación y comprobar la ecuación de movimiento obtenida a partir de la segunda ley de Newton.

Dado que el carril cinemático se coloca en posición horizontal, son únicamente tres las fuerzas que actúan en la dirección del movimiento.

En primer lugar, la fuerza que ejerce el muelle, Fm , de valor proporcional a la distancia que separa la deslizadera de su posición de equilibrio:

Fm = −kx

(1)

donde K es la constante elástica del muelle.

En segundo lugar, la fuerza disipativa, Fd , debida a la fricción entre la deslizadera y el carril.

Su valor se modi ca variando el caudal suministrado por el soplador de aire. Si se considera Versión 2020

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que éste se comporta como un uido viscoso ideal, el valor de la fuerza es proporcional al módulo de la velocidad ν :

Fd = −cν

(2)

siendo c el coe ciente de amortiguamento (Castro-Palacio, 2013b) Finalmente, el vibrador mecánico aplica una fuerza exterior periódica, Fext , de pulsación Ω que tiene la forma:

Fext = F0 sen(Ωt)

(3)

donde F0 es la amplitud de la fuerza.

Considerando estas tres fuerzas en la segunda ley de Newton, se llega a la ecuación diferencial:

d2 x dx F0 + 2γ + ω02 a = sen(Ωt) dt2 dt m donde ω0 =

(4)

p K/m es la pulsación libre (no amortiguada) y γ = c/(2m) es la constante de

amortiguamiento. Puesto que con el Smartphone se registra la aceleración, a, conviene derivar respecto al tiempo la ecuación anterior dos veces, resultando

d2 x dx F0 Ω2 2 + 2γ + ω a = − sen(Ωt) 0 dt2 dt m

(5)

Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, de coe cientes constantes y completa. La solución general es la superposición de la solución de la correspondiente ecuación homogénea y de una solución particular de la completa. Matemáticamente, en el caso de un amortiguamiento débil, (γ < ω0 ) dicha solución viene dada por:

a = Ae−γt sen(wt + ϕ) + Bsen(Ωt + ϕ0 )

(6)

El primer sumando es una función transitoria (tiende a cero con el tiempo) y se corresponde con la ecuación de un movimiento amortiguado débil de pulsación ω 2 = ω02 − γ 2 . El segundo término es la solución particular de la ecuación (5), y corresponde a una oscilación armónica permanente cuya pulsación coincide con la del vibrador, Ω. Por tanto, el sistema acaba vibrando con la frecuencia de la fuerza exterior excitadora. Los parámetros A y ϕ vendrán determinados por las condiciones iniciales del sistema y los valores B y ϕ0 por las caracterísitcas del sistema (m, K, c, F0 ).

En el dispositivo experimental estudiado, a partir de la masa del conjunto deslizadera + masas + móvil, m = 0, 426(0, 002) kg, y de la constante elástica del muelle, K , se obtiene una pulsación libre (no amortiguada) ω0 = 21, 06(0, 39)rad/s. El valor de la constante de amortiguamiento γ depende del caudal de aire suministrado al carril cinemático (Castro − P alacio, 2013b), variando entre 0 y 0, 7 s−1 , por lo que la pulsación teórica, ω solo se reducirá ligeramente. Por otro lado, los valores de B y ϕ0 dependen de la amplitud F0 del vibrador mecánico que varía con la potencia aportada por la fuente de alimentación.

En la Figura 2 se muestran dos casos particulares en los que el motor está parado, por lo que no hay término permanente en la ecuación anterior (B = 0). Suministrando un caudal de aire su ciente para poder despreciar la fuerza disipativa (γ = 0) se obtiene el movimiento armónico simple mostrado en la Figura 2.a). Si disminuimos ligeramente el caudal de aire, se obtiene el movimiento amortiguado débil de la Figura 2.b). Estos casos particulares, los hemos caracterizado previamente Versión 2020

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(Castro-Palacio, 2013b) a partir de los datos proporcionados por el sensor de aceleración en un dispositivo experimental equivalente al mostrado en la Figura 1, sin el motor. Con este dispositivo

Figura 2: (a) Movimiento vibratorio armónico simple. (b) Movimiento amortiguado débil. experimental no es posible caracterizar los casos de amortiguamiento fuerte y amortiguamiento crítico, ya que si se redujera mucho el caudal del aire suministrado al carril, la fuerza disipativa Fd dada por la Ec. 2 se convertiría en una fuerza de rozamiento proporcional a la normal, Fr = µN , y el sistema ya no vendría gobernado por la ecuación diferencial (4).

4. Adquisión de datos y análisis de resultados En este trabajo se analiza el caso de las oscilaciones amortiguadas y forzadas, por la acción de un vibrador mecánico, en el dispositivo mostrado en la Figura 1. En primer lugar, se ajustó la potencia del soplador para conseguir un rozamiento adecuado y se seleccionó la frecuencia del motor a un valor próximo a la del movimiento libre del sistema. Tras un desplazamiento inicial de la deslizadera, el smartphone comienza a oscilar y, al cabo de unos segundos, podemos comprobar que se sincroniza a la frecuencia del vibrador mecánico. En el movimiento armónico forzado se observan dos fases, una primera transitoria en la que cambia la amplitud, y una segunda estacionaria en la que el sistema mantiene constantes la amplitud y la frecuencia. Los datos obtenidos con el acelerómetro se han exportado mediante un chero ASCII para su tratamiento. El programa registra tanto los tiempos como las aceleraciones según los tres ejes de coordenadas. Los valores que nos interesan son los correspondientes al eje longitudinal del teléfono, X. Estos datos experimentales se ajustan por mínimos cuadrados a la Ec.(6) que gobierna la aceleración en un movimiento oscilatorio amortiguado débil y forzado. Además de A, B, ϕ y ϕ0 , que como se ha

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indicado anteriormente dependen de las características y las condiciones iniciales del problema, se consideró como parámetros de ajuste las pulsaciones ω (correspondiente al término transitorio) y O (correspondiente al término estacionario). El ajuste de los resultados experimentales se muestra en la Figura 4. Los valores de los parámetros del ajuste y sus incertidumbres se muestran en

Figura 3: Movimiento amortiguado forzado: Imágenes correspondientes a los instantes iniciales (parte superior), intermedios (parte media) y nales (parte inferior). Nótese que, una vez pasado el transitorio, el sistema termina en un movimiento armónico simple sincronizado a la frecuencia del vibrador mecánico. La secuencia completa del movimiento se puede ver en el vídeo la Tabla l. Sabiendo que el vibrador mecánico oscilaba a una frecuencia de 3 Hz obtenemos una pulsación teórica para el término estacionario de ΩT = 2πf = 18, 849(0, 007) rad/s. Comparando este valor con la frecuencia del vibrador mecánico obtenido con el ajuste, resulta una discrepancia de D( %) = (Ω − ΩT )/ΩT = 0, 4 %, valor reducido que se explica gracias a la precisión del experimento. De igual forma, el coe ciente de correlación también es muy próximo a la unidad. Otra forma de analizar los resultados obtenidos es a partir de la constante elástica del muelle. Con los parámetros del ajuste sistema ωexp y γ se puede obtener la pulsación libre (no amortiguada)

ω0exp =

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q rad 2 ωexp + γ 2 = 20, 859(0, 010) s

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Figura 4: Datos experimentales (puntos rojos) de la aceleración de un movimiento amortiguado forzado obtenidos con el acelerómetro de un Smartphone, y ajuste (línea negra) a la función teórica de la Ec.(6).

A partir de este valor se calcula la constante elástica del muelle experimental Kexp = m(ω0exp )2 =

185, 35(0, 18) N/m, valor que comparado con la constante teórica del muelle K = 189(7) N/m supone una discrepancia de 1, 9 %.

Cuadro 2: Valores e incertidumbres de los parámetros ajustados.

Parámetros ajustados A (m/s2 ) 4,62(0,06) ω (rad/s) 20,85(0,01) ϕ (rad) 1,32(0,02) γ (s−1 ) 0,61(0,01) B (m/s2 ) 0,91(0,02) Ω (rad/s) 18,777(0,008) ϕ0 (rad) -0,64(0,04) R2 0,9899

5. Conclusiones Con el desarrollo del presente trabajo se ha demostrado que los smartphones, haciendo uso de su sensor de aceleración, pueden ser utilizados en el estudio cuantitativo de todo tipo de oscilaciones, incluidas las forzadas. El objetivo fundamental de este tipo de iniciativas es la divulgación de estos elementos de desarrollo tecnológico y social en el trabajo experimental del laboratorio. En concreto,la presente experiencia está enfocada a los alumnos de los primeros cursos de universidad.

También es una experiencia que los profesores de física pueden plantear como un reto de aprendizaje a alumnos de bachillerato brillantes, como por ejemplo los que están cursando el Bachillerato Versión 2020

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

de Excelencia o los que se están preparando para la Olimpiada de Física.

Referencias 1 (Castro-Palacio, 2013b) J.C. Castro-Palacio, L. Velazquez-Abad, F. Gimenez y J.A. Monsoriu, Using a mobile phone acceleration sensor in physics experiments on free and damped harmonic oscillations , American Journal of Physics 81, 472-475 (Mayo 2013).

2 (Chevrier, 2013) J. Chevrier, L. Madani, S. Ledenmat, y A. Bsiesy, Teaching classical mechanics using smartphones , The Physics Teacher 51, 376-377 (Sep. 2013).

3 (Kuhn, 2013a) J. Kuhn y P. Vogt, Smartphones as experimental tools: di erent methods to determine the gravitational acceleration in classroom physics by using everyday devices , European Journal of Physics Education 4, 16-27 (Ene. 2013).

4 (Tuset-Sanchis, 2015) L. Tuset-Sanchis, J.C. Castro-Palacio, J.A. Gómez-Tejedor, F.J. Manjón y J.A. Monsoriu, The study of two-dimensional oscillations using a smartphone acceleration sensor: example of Lissajous curves , Physics Education 50, 580-586 (Sep. 2015).

5 (Vogt, 2012a) P. Vogt y J. Kuhn, Analyzing free fall with a smartphone acceleration sensor , The Physics Teacher 50, 182-183 (Mar. 2012).

0.1.2. Elasticidad en Varilla de Acero modo libre Determinación del módulo de elasticidad utilizando un Smartphone y modo de viga sin apoyo Euler-Bernoulli Autor: Newton Huamaní Castro https://orcid.org/0000-0002-9447-2556

Resumen En este documento se presenta la forma simpli cada y rápida de obtener una medida experimental del módulo de elasticidad(E) de un trozo de varilla metálica utilizando el micrófono del Smartphone y mediante la con guración experimental en modo viga sin apoyo Euler-Bernoulli(E-B). Para comprender se requiere tener conocimiento sobre vibración exional de vigas E-B y conocer el análisis del espectograma de la señal de audio. La metodología consiste en medir la frecuencia de resonancia de exión a través de una aplicativo de un Smartphone y usar la formula de E ducido a partir del marco teórico de E-B. Los resultados de las mediciones experimentales tiene una discrepancia menor del 4 % con respecto al valor de fábrica, para una varilla acero al carbono de sección tranversal circular usando la técnica exitación por impactos. Se describe sobre la precisión y exactitud de la medida experimental. Es útil, porque ayuda clasi car los materiales en la Facultad de Ingeniería y ayuda hacer un control de calidad más e ciente.

Palabras clave: frecuencia de resonancia, modulo de elasticidad, viga, micrófono.

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1. Introducción En este documento se presenta la forma simpli cada y rápida de obtener una medida experimental del módulo de elasticidad(E) de un trozo de varilla metálica utilizando el micrófono del Smartphone y mediante la con guración experimental en modo viga sin apoyo Euler-Bernoulli(E-B). Para comprender se requiere tener conocimiento sobre vibración exional de vigas E-B y conocer el análisis del espectograma de la señal de audio.

La E es un parámetro físico que muestra la capacidad del material para resistir la deformación elástica lineal y se obtiene del cociente entre el esfuerzo de tracción(tensión directa sobre área) y la deformación unitaria longitudinal, en su comportamiento elástico lineal.

Las principales pruebas para medir E son: estiramiento lineal, que consiste en medir el alargamiento longitudinal después de la liberación de la tensión de tracción directo aplicado; otro se basa en el uso del vibrador mecánico para encontrar las resonancias[4]; otro se basa en medir primero la velocidad de propagación de las ondas[3] y luego esto permite calcular la elasticidad del material; otro se basa en el uso de sistemas de adquisición de datos (uso de sensores) para encontrar la frecuencia fundamental[8] La metodología consiste en medir la frecuencia de resonancia en exión a través de una aplicación instalada en un Smartphone y utilizando la fórmula E deducida del marco teórico E-B. Los resultados de las medidas experimentales tienen una discrepancia de menos de 4 % con respecto al valor de fábrica, para una varilla de acero al carbono de sección circular utilizando la técnica de excitación por impacto. Describe la precisión y exactitud de la medición experimental. Es útil, porque ayuda a clasi car los materiales en la Facultad de Ingeniería y ayuda a hacer un control de calidad más e ciente. El trabajo se divide en apartados: introducción, fundamentación teórica, plan de medición, resultados de medición y conclusiones.

2. Fundamento teórico y fórmula La vibración de una varilla dispuesta en modo de viga sin apoyo E-B, ver Figura 32(a), pertenece a la vibración de un cuerpo elástico continuo, y es capaz de ser tanto transversal como longitudinal, y también cuando Realmente vibra es un medio dispersivo. En consecuencia, su vibración se puede expresar como la superposición de varios (o in nitos) modos transversales.

El modelo teórico, para nuestro caso, asume que ambos extremos, z = 0 y z = L, de la barra son libres ( gura 32(a)), también es uniforme a lo largo de su longitud, de área de sección transversal constante, de material elástico lineal, isotrópico, homogéneo, sus dimensiones transversales son mucho menores que su longitud, considerando solo pequeñas deformaciones a exión, su vibración de amortiguación sin soporte se describe mediante la ecuación de Euler-Bernoulli [4]

EI ∂ 4 u(z, t) ∂ 2 u(z, t) + =0 ρA ∂z 4 ∂t2

(7)

donde: u(z, t) [m] es el desplazamiento de la varilla en el punto z [m] en el instante t [s]; E [N/m2 ] es el módulo de elasticidad; I [m4 ], el segundo momento de la sección transversal de su eje longitudinal;

ρ [Kg/m3 ], densidad de masa de la varilla; A [m2 ], la sección transversal de la varilla.

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Las condiciones de contorno para el extremo z = 0 son

∂ 2 u(0, t) =0 ∂z 2

y

∂ 3 u(0, t) = 0, ∂z 3

(8)

y

∂ 3 u(L, t) = 0. ∂z 3

(9)

mientras que en el extremo z = L son

∂ 2 u(L, t) =0 ∂z 2

Resolviendo la ecuación (36) por el método de separación de variables y haciendo uso de las condiciones de frontera (37) y (38) se obtiene cos(qL) · cosh(qL) = 1 y llevando a una forma conveniente

tan(

qL qL ) = ± tanh( ) 2 2

(10)

donde q 4 = (ρAω 2 )/EI .

Al encontrar las raíces de la ecuación( 39) obtenemos las frecuencias de resonancia de los modos de vibración de exión, dadas por

fn2 =

EIqi4 4π 2 ρA

(11)

(i = 1, 2, 3, ..)

donde en la ecuación (11): q1 L = (π/2)3,0112, qn L = (π/2)(2n + 1) con n = 2, 3, 4, · · · .

Puesto que I = A(d/4)2 y despejando E . Por tanto, la fórmula del módulo de elasticidad, para todos los picos o frecuencias resonantes, de la varilla de sección circular de diámetro d [m] de masa

m [Kg] y longitud L [m] es E=

212 mL3 2 f π 3 d4 n

1 1 1 1 ; ; ; ;··· 3,01124 54 74 94

.

(12)

donde fn [Hz] es la n-ésima frecuencia resonante. p Nota 1: si hacemos ν = E/ρ en la ecuación (11) obtenemos la relación entre la frecuencia y

la longitud1 para las barras cilíndricas sin soporte

fn =

Nota 2.-

νπd 3,01122 ; 52 ; 72 ; 92 ; · · · .

32L2

(13)

También puede obtener E , sosteniendo la varilla en su punto medio e impactando

axialmente en un extremo para establecer una vibración longitudinal y la fórmula a usar en este caso sería E = 4ρL2 f02 donde L es la longitud, ρ es la densidad, f0 es la frecuencia de resonancia longitudinal fundamental o más larga [8] La desventaja es que las ondas longitudinales en varillas con corrugaciones, sus corrugaciones constituyen puntos re ectantes para la onda.

3. Plan de Medición La determinación de E está sujeta a la disposición de la varilla en el modo de viga sin apoyo E-B y está sujeta a la ecuación (12). La magnitud que requiere atención son las frecuencias de resonancia, por lo tanto, el trabajo principal es obtener el espectro de frecuencia de la señal de audio de impacto de tal manera que los picos se puedan identi car fácilmente. El montaje del equipo y su con guración debe ser tal que minimice los errores aleatorios y sistemáticos [2]; además, la barra 1 Resultado

que es análogo a la referencia-[?] en la sección de vibraciones del ejado, página 3.

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debe tener una vibración de exión que re eje su estructura y características dinámicas inherentes.

La con guración experimental se muestra en la Figura 32(a) y el diagrama de los primeros cuatro modos de la vibración exional se muestra en la Figura 32(b)

Figura 5: (a) Con guración experimental: modo viga sin apoyo Euler-Bernoulli; (b) Diagrama de las primeras cuatro formas de vibración en exión(f1 , f2 , f3 ,f4 ) Materiales e instrumentos de medición: Smartphone con micrófono, usaremos redmi note; una varilla corrugada de acero al carbono para refuerzo de hormigón armado; aislantes de poliestireno y un martillo de plástico para impactar, cuya masa no supere los 5 % de la varilla; fórmula deducida del marco teórico E-B (ecuación (12)); vernier; balanza digital; regla.

El valor teórico de E es 195 ± 7 GP a, se obtuvo de la Ficha Técnica de Fabricación[7].

Procedimiento: (1ro) medir la longitud, diámetro, masa de la varilla; (2do) capture los picos sobresalientes o frecuencias resonantes con la ayuda del teléfono inteligente provisto con la aplicación FFT Spectrum Analyzer descargada de forma gratuita desde Play Store, impactando en el centro con el martillo; (3ro) reemplazar los valores de los picos sobresalientes o frecuencias resonantes en sus respectivas fórmulas (tenga en cuenta que la ecuación 12 va de menor a mayor resonancia y la constante para la fundamental es decimal y para el resto son enteros).Sugerencias: apoyar la varilla en sus nudos sobre poliestireno extruido, para evitar el acoplamiento con vibraciones externas, ver gura ref gura1 (a); tomar al menos tres capturas del espectro de frecuencias y luego promediar o interpolar; impactando alrededor del centro en puntos equidistantes; para iterpolar considere el centro como x = 0 haciendo que los puntos antes del centro sean negativos y positivos después del centro; coloque el sensor en el antinodo a una distancia menor o igual a 1 cm; pruebe en ausencia de ruidos fuertes pero sin restricciones especiales.

Dado que hay cuatro varillas del mismo material en análisis de diferentes longitudes (0,2250;

0,4320; 0,6000; 0,8850 ±0,0005 en m) el módulo de elasticidad se determinará usando una computadora portátil con un procesador i5 y con micrófono incorporado provisto con Audacity2.3.3 gratis [5]. El procedimiento consistirá en dejar reposar las varillas en modo no soportado y llevaremos la Laptop alrededor de 8 cm para grabar el audio y luego analizar el espectro de frecuencias con una con guración de muestra Nyquist-Shannon 44100 Hz y profundidad de 16 bits a la potencia del micrófono de +20 dB

4. Resultados de la medición y su discrepancia Versión 2020

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Figura 6: (Izquierdo): Espectrograma de frecuencia de la señal de audio de impacto de las cuatro varillas grabadas con el micrófono integrado y analizadas con Audacity2.3.3; (Derecho): El pico sobresaliente es la frecuencia fundamental de la varilla en estudio obtenida con app FFT Spectrum Analyzer para ios.

Cuando la varilla es larga, su frecuencia de resonancia fundamental es demasiado baja (< 20 Hz), lo que di culta su medición; mientras que cuando es demasiado corto, la frecuencia de resonancia fundamental es alta, escapando del rango de medición (> 20 Hz). Entonces, para nuestros instrumentos, una longitud (0,6000 ± 0,0005) m es razonable.

Medidas de la varilla en estudio: longitud L = (0, 6000 ± 0, 0005) m; masa m = 0,5964 ±

0,0001 Kg ; diámetro d = 0,0127 ± 0,0001 m Capturamos seis veces los picos o frecuencias resonantes con FFT Spectrum Analyzer que registramos en la Tabla 10(derecha), la primera(f1 ) y la segunda (f2 ) resonante. Se interpoló usando SPSSv23 (software estadístico cite 9) con los siguientes resultados: f1x = 154,214+0,091x−

0,010x2 −0,028x3 +r con R2 = 0, 868 y f10 = 154,214 Hz ; f2x = 423,857−4,611E −17x+0,245x2 +r con R2 = 0, 98 y f20 = 423,857 Hz . Esto nos indica y corrobora que las frecuencias resonantes f1 y

f2 no son armónicas, en general las n-ésimas resonantes no son armónicas.

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Cuadro 3: (izquierda): frecuencias fundamentales de las cuatro varillas obtenidas con Audacity; (derecha): picos o frecuencias resonantes obtenidas con app FFT Spectrum Analizer instalada en el Smartphone (Izquierda) Li [m] f1i [Hz]2 (Derecha) xi f1 [Hz]3 f2 [Hz]4 0.8850 72 -3 153 426 -2 154 425 0.6000 157 0.4320 303 -1 154 424 0 ··· ··· 0.2250 1118 1 154 424 2 155 425 3 155 426 El Smartphone se con guró para una muestra de Nyquist-Shannon 44100 y con una profundidad de 14 bits y aceptando la incertidumbre δf = ±3 Hz , entonces el resonante fundamental interpolado se cita como f1 = 154 ± 3 Hz y reemplazando en la ecuación (12) obtenemos el valor experimental del módulo de elasticidad E = 189 ± 10 Gpa para la varilla en estudio con una discrepancia de 3 % con respecto al valor teórico. La incertidumbre total se calculó con la técnica de diferenciación con respecto a cada variable y como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las contribuciones de cada variable.

Resultados para las cuatro barras: gura 35(izquierda) muestra el espectrograma del audio

grabado por el micrófono del portátil obtenido con Audacity 2.3.3 [?] para cada barra. en la tabla 10(izquierda) se registran las frecuencias fundamentales y las longitudes de las varillas. La nube de puntos, gura 36, sugiere que la frecuencia fundamental es inversamente proporcional a una potencia n de longitud L, es decir, de la forma f = KL−n . Realizando un análisis de regresión con estimación curvilínea en SPSS.v23, ver gura 36, se obtiene que f = 55,5261L−2,01 ; R2 = 1 entonces deducimos n ≈ 2.

Figura 7: Comportamiento de f vs L: f es inversamente proporcional a una potencia 2 de la longitud L

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Este resultado muestra que las frecuencias de resonancia se pueden determinar con la ecuación (13). Al identi car (νπd/32)3,01122 = K = 55,5261, se deduce que la rapidez de las ondas longitudinales en las varillas es ν = (4915±39) m/s donde la incertidumbre se obtuvo considerando solo con respecto al diámetro mientras que la constante del software se tomó como constante. Reemplazando en la fórmula E = ρν 2 = (4m/πLd2 )ν 2 tenemos la medida experimental del módulo de elasticidad E = 190 ± 4 GPa con una discrepancia de 2,5 % con respecto a la teórica. Esta técnica[3] es precisa por lo que una explicación de la disminución del módulo con respecto a la cha técnica podría ser que el material fue sometido a diferentes temperaturas. Dado que se sabe que los metales sometidos a altas temperaturas, su elasticidad disminuye[8].

Sosteniendo con pinzas para la ropa en los nodos, los picos se pueden eliminar. La precisión se puede mejorar volviendo a veri car la calibración de los instrumentos de medición. La precisión se puede mejorar reduciendo las incertidumbres aleatorias; Puede optar por un micrómetro digital en lugar de un Vernier para medir el diámetro, también puede optar por un micrófono de condensador profesional en lugar del micrófono incorporado, también puede preferir usar los controladores de la tarjeta de sonido para eliminar el ruido.

5. Discusión Este documento presenta varias formas de obtener una medida experimental del módulo de elasticidad (E) de una manera simpli cada y rápida con instrumentación de fácil acceso. Con el teléfono inteligente, la medida experimental del módulo de elasticidad es E = 189 pm10 GPa que tiene una discrepancia de menos de 3 % con respecto al valor teórico. Las frecuencias de resonancia de exión del material estudiado no son armónicas. Es un trabajo complementario sobre temas que no fueron mencionados en el artículo de J. Nunn (2015). Es un trabajo para la docencia universitaria ya que nos enseña que el uso adecuado de conceptos en matemáticas, física y metrología conduce a resultados precisos y exactos.

Referencias 1. Monteiro, M., Stari, C., Cabeza, C., & Marti, A. C. (2019, August). using simultaneously more than one smartphone sensors

Physics experiments

. In Journal of Physics: Conference

Series (Vol. 1287, No. 1, p. 012058). IOP Publishing.

2. Monteiro, M., Stari, C., Cabeza, C., & Marti, A. C. (2020).

Analysis and Uncertainties based on Mobile-device Sensors

3. Hirth, M., Gröber, S., Kuhn, J., & Müller, A. (2015).

An Approach to Teach Error

. arXiv preprint arXiv:2005.13617.

Experimentelle Untersuchung akustis-

cher Resonanzen in eindimensionalen Wellenträgern mit Smartphone und Tablet-PC

. PhyDid

A-Physik und Didaktik in Schule und Hochschule, 1(14), 12-25.

4. Repetto, C. E., Roatta, A., & Welti, R. J. (2014).

Measurements of resonant frequencies,

loss factor and dynamic Young modulus of cantilever beams

. Revista Brasileira de Ensino de

Física, 36(1), 1-8.

5. Audacity (freeware), http://www.audacityteam.org (Windows, MacOS, Linux).

6. phyphox app (iOS and Android): https://phyphox.org/de/download-de/ 7. Sider Perú. Ficha técnica. https://www.siderperu.com.pe/sites/pe− gerdau/ les/PDF/FIERRO Versión 2020

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8. Nunn, J. (2015). Measuring Young's modulus the easy way, and tracing the e ects of measurement uncertainties. Physics Education, 50(5), 538.

9. https://www.ibm.com/es-es/analytics/spss-statistics-software. SPSSv23 paquete estadístico, fácil de entender, que permite realizar tramiento de datos y también realiza ajustes curvilíneos hasta tercer grado.

0.1.3. Módulo de elasticiad en acero modo voladizo Medición del módulo de elasticidad con Smartphone de una varilla voladiza Autor: Newton Huamaní Castro https://orcid.org/0000-0002-9447-2556

Resumen El propósito es medir el módulo de Young de una barra en voladizo con un Smartphone de una manera simple, la propuesta es una medición acústica-fórmula. Consiste en medir la longitud, la masa, el diámetro y la frecuencia de resonancia para reemplazar en la fórmula.

frecuencia, modulo de Young, varilla.

Palabras clave:

1. Introducción El teléfono inteligente, recientemente, es un instrumento de uso diario para profesores, estudiantes y ciudadanos que permite una amplia gama de mediciones a través de sus sensores internos, haciendo uso de una aplicación adecuada. El propósito de este trabajo es presentar otra forma de medir el módulo Young(Y) de una barra en voladizo de una manera simple usando un Smartphone equipado con la aplicación FFT Spectrum Analyzer. La propuesta es una medición acústica-formula de Y , que es realmente práctica, que consiste en obtener las frecuencias de resonancia con el Smartphone para reemplazar en la fórmula. Su utilidad es ser otra alternativa más moderna para obtener y estudiar el Y en la Facultad de Ingeniería y llevar a cabo un control de calidad rápido.

La Y es un parámetro físico que muestra la capacidad del material para resistir la deformación elástica y se obtiene del cociente entre la tensión aplicada y la deformación unitaria longitudinal en su tramo elástico lineal, en un proceso de variación.

Los métodos principales de medición de Y son dos: i) en el estático el Y se determina a partir del estiramiento lineal de la curva de esfuerzo y deformación unitaria cuya medición es afectado por procesos de relajación y no re eja el interior del material siendo inapropiado para materiales quebradizos; ii) el otro es el dinámico que consiste en producir vibración debido a una pequeña deformación y dentro de ella se aprecia dos mediciones distintas el que hace uso del sistema de adquisión de datos del señal (como sensor de aceleración) para encontrar la frecuencia natural analizando en la computadora y el otro que hace uso del vibrador mecánico para obtener las resonancias[?]. El método dinámico re eja la estructura y características dinámicas inherentes al tipo de material,[3,4] La propuesta, medición acústica-formula, para medir Y a partir de las vibraciones por impactos consiste en incrustar en voladizo la barra y luego con los impactos generar vibraciones y la señal Versión 2020

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de audio, presión acústica, se graba en bloques para generar el espectro de frecuencia. Finalmente,

Y se obtiene reemplazando las frecuencias resonantes en la ecuación (19). El documento se divide en secciones: introducción, fundamento teórico y fórmula, plan de medición y resultados.

2. Fundamento teórico y fórmula La vibración de la barra en voladizo pertenece a la vibración de un cuerpo elástico continuo, y es capaz de ser tanto transversal como longitudinal, también cuando realmente vibra es un medio dispersivo, en consecuencia su vibración puede expresarse como la superposición de varios (o in nito ) modos transversales.

El modelo teórico, para nuestro caso, asume que el extremo z = L de la varilla está libre mientras que el extremo z = 0 está rígidamente prensado, ver Fig. 8(a), además es uniforme a lo largo de su longitud, de área transversal constante, de material elástico lineal, isotrópico, homogéneo, sus dimensiones transversales son mucho más pequeñas que su longitud, considerando solo pequeñas deformaciones transversales su vibración libre de amortiguamiento se describe mediante la ecuación de Euler-Bernoulli, [4].

EI ∂ 4 u(z, t) ∂ 2 u(z, t) + =0 ρS ∂z 4 ∂t2

(14)

donde: u(z, t) [m] es el desplazamiento de la varilla en el punto z [m] en el instante t [s]; Y [N/m2 ] es el módulo de Young; I [m4 ], el segundo momento de la sección transversal de su eje longitudinal;

ρ [Kg/m3 ], densidad de masa de la varilla; S [m2 ], la sección transversal de la varilla.

Las condiciones de contorno para el extremo z = 0 son

u(0, t) = 0

y

∂u(0, t) = 0; ∂z

(15)

mientras que en el extremo z = L son

∂ 2 u(L, t) =0 ∂z 2

y

∂ 3 u(L, t) = 0, ∂z 3

(16)

porque el momento ector y la fuerza de corte deben cancelarse en cualquier instante.

Resolviendo la ecuación (14) por el método de separación de variables y haciendo uso de las condiciones de frontera (15) y (16) se obtiene cos(qL) · cosh(qL) = −1 y, aún más, llevando a una forma conveniente se transforma en

cot(

qL qL ) = ± tanh( ) 2 2

(17)

donde q 4 = (ρSω 2 )/Y I . Resolviendo la ecuación( 17) se obtienen las frecuencias correspondientes a los modos de vibración permitidos; dadas por

fn2 =

Y Iqi4 4π 2 ρS

(i = 1, 2, 3, ..)

(18)

donde en la ecuación (11): q1 L = (π/2)1,194, q2 L = (π/2)2,988 , q3 L = (π/2)(2n − 1) con n =

3, 4, 5, · · · .

Puesto que I = S(d/4)2 y despejando Y en ecuación (18). Por consiguiente, el módulo de Young(Y) de la varilla de sección transversla circular de diámetro d [m], masa m [Kg] y longitud

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Figura 8: (a) con guración experimental; (b) diagrama de los primeros cuatro modos de vibración exional (f1 , f2 , f3 ,f4 )

L [m] es

212 L3 m Y = 3 4 fn2 π d

1 1 1 1 ; ; 4; 4;··· 4 4 1,194 2,988 5 7

.

(19)

donde fn [Hz] es la frecuencia de resonancia de la varilla.

Observacón:

Haciendo c =

p

Y /ρ en la ecuación (18) se obtiene la relación entre la frecuencia

y la longitud,ver la referencia 17, para varillas voladizas de sección transversal circular

f=

cπd 1,1942 ; 2,9882 ; 52 ; 72 ; · · · .

2 32L

(20)

3. Plan de Medición La determinación de Y en varillas en modo voladizo está sujeta a la ecuación (19); tamaño, forma y de frecuencia de resonancia de un modo de vibración. El trabajo principal consiste en obtener algunas frecuencias resonantes para ello el montaje de equipos y su con guración del Smartphone debe ser de tal forma que minimice los errores aleatorios y sistemáticos[2] y además el material debe tener una vibración que re eje su estructura y características dinámicas inherentes.

En la gura 8(a) se muestra la con guración experimental y en gura 8(b) el diagrama de los modos de vibración exional,[4]. Instrumentos de medición: (i) Smartphone provisto de micrófono y aplicación, utilizaremos Redmi note 8pro; (ii) una varilla de acero al carbono de 60 cm de largo, corrugada, para refuerzo de hormigón armado, prensador y un martillo de plástico para golpear cuya masa no exceda 5 % de la varilla; (iii) Fórmula de ecuación simpli cada (19), exómetro en

mm, balanza digital en Kg .

Antes de continuar, se determina el valor teórico de Y . Para esto, se utilizan barras de diferentes longitudes (22,5; 43,2; 60; 88,5 en cm) y se buscan las frecuencias de resonancia, analizando con

Audacity2.3.3 libre[?] instalado en la computadora portátil con Intel Core Procesador i5-2.40 GHz, del audio grabado en Redmi Note 8pro los impactos en formato WAV. Luego se valida con la hoja técnica de fábrica, [7].

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El procedimiento es: (1) medir la longitud, diámetro, masa de la varilla; (2) encuentre la frecuencia del segundo modo transversal de vibración de la barra en voladizo, haciendo impactos alrededor del nodo de la varilla con el martillo, con la ayuda del Smartphone con la aplicación FFT Spectrum Analyzer descargada de forma gratuita desde Play Store; (3) reemplace la frecuencia capturada interpolada en la fórmula (ecuación 19). Sugerencias: i) la varilla en voladizo debe estar incrustada de tal manera que se evite el acoplamiento con vibraciones externas, ver Fig. 8(a); ii) capturar seis veces la frecuencia del segundo modo de vibración, producido por impacto en diferentes puntos espaciados a 8,8 mm, alrededor de x = 0 ubicado en el nodo 78 % de la varilla, ver Tabla 4(b), haciendo que los puntos sean negativos antes del nodo y positivos después del nodo, coloque el sensor en el antinodo a una distancia menor o igual a 1 cm, intente en condiciones climáticas de

20 ± 2 ◦ C y en ausencia de ruidos estridentes pero sin restricciones especiales.

4. Resultados de la medición y su discrepancia La gura 9(izquierda) muestra el espectrograma de audio de impactos, grabado con el teléfono inteligente, analizado con Audacity[5] de las cuatro barras. La tabla 4(a) registra las frecuencias del segundo modo transversal de vibración y las longitudes de las varillas. La nube de puntos sugiere que la frecuencia es inversamente proporcional a una potencia n de la longitud L (f = KL−n ).

Realizando un análisis de regresión con estimación curvilínea en SPSS.v23, ver Fig. 10, obtenemos que f = 55,008L−2,008 ; R2 = 1 y que n ≈ 2. Este resultado muestra que las frecuencias de resonancia se pueden determinar con la ecuación (20). Identi cando (cπd/32)3,01122 = K = 55,008 entonces la velocidad de las ondas longitudinales en la barra es c = 4941,615. Dado que Y = c2 ρ y comparándolo con la hoja técnica de fábrica[7], entonces el módulo Young teórico aproximado [3,4] es Y = 19,161 × 1010 P a.

Cuando la barra es larga, su frecuencia es demasiado baja (< 20Hz ), lo que di culta su medición; mientras que cuando es demasiado corto, la frecuencia es alta escapando del rango de medición, vea la Fig. 9 (izquierda). Por lo tanto, la longitud apropiada, para nuestros instrumentos, es

L = 0,60 m.

Los picos numerados del espectrograma de la Fig. 9 (izquierda), se obtienen con la Transformada rápida de Fourier (FFT) de Audacity2.3.3; mientras que el pico de la Fig. 9 (derecha) se obtiene con el Redmi note 8pro Mediciones de la varilla con aproximación: longitud 60 cm = 0,60 m; masa

0,5964 Kg ; diámetro 12,7 mm = 0,0127 m; la frecuencia del segundo sobretono, segundo modo, se obtiene interpolando la tabla 4(b) cuyos datos se capturaron utilizando la aplicación FFT Spectrum Analyzer instalada en Redmi, Cuadro 4: left(a): frecuencias obtenida con Audacity FFT ; right(b): frecuencias en los diferentes puntos obtenido con FFT Spectrum Analyzer app (a) Li f2i [Hz]5 (b) xi f2 [Hz] f4 [Hz]6 0.885 70 -3 152 825 0.600 154 -2 153 841 0.432 298 -1 154 850 0.225 1097 1 152 845 2 153 842 3 154 849

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Figura 9: (Izquierda): espectrograma de frecuencias (8192 piezas o 13 bits, hann) del audio de impactos analizado con Audacity de las cuatro varillas grabado con Redmi Note 8pro.; (Derecha): picos de frecuencia de la varilla de 60 cm obtenida con FFT Spectrum Analyzer app para android.

Se utiliza la interpolación SPSSv23 para los datos de la tabla 4(b), y resulta que y = 153,000 −

0,635x+(1,726E −17)x2 −0,111x3 con R2 = 0, 810 luego para determinar la frecuencia del segundo sobretono o modo de vibración x = 0 se reemplaza y se obtiene f2 153, 000 Hz .

La gura 10 muestra el ajuste de f vs L de la tabla 4(a) Luego, reemplazando la frecuencia f1 = 153, 000 Hz en la ecuación (19) se obtiene el valor experimental del módulo de Young(Y) para la varilla ≈ 19,21 × 1010 P a con una discrepancia de

0,3 % con respecto al valor teórico.

5. Conclusión La medición de fórmula acústica del módulo de Young, para varillas, es realmente práctica si uno adquiere experiencia en la determinación de las frecuencias de resonancia con Smartphone. Se observa que las frecuencias resonantes en las varillas no son armónicas y el módulo de Young(Y), experimental de la varilla que obtuvimos, es ≈ 19,21 × 1010 P a con una discrepancia de 0,3 % con respecto al valor teórico. La metodología es simple y utiliza instrumentos de uso diario tanto para maestros como para estudiantes, por lo que representa una alternativa más moderna para obtener el módulo de Young para estudiantes de ingeniería y llevar a cabo el control de calidad.

1. Monteiro, M., Stari, C., Cabeza, C., & Marti, A. C. (2019, August). Physics experiments using simultaneously more than one smartphone sensors. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 1287, No. 1, p. 012058). IOP Publishing.

2. Monteiro, M., Stari, C., Cabeza, C., & Marti, A. C. (2020). An Approach to Teach Error Analysis and Uncertainties based on Mobile-device Sensors. arXiv preprint arXiv:2005.13617.

3. Hirth, M., Gröber, S., Kuhn, J., & Müller, A. (2015). Experimentelle Untersuchung akustischer Resonanzen in eindimensionalen Wellenträgern mit Smartphone und Tablet-PC. PhyDid A-Physik und Didaktik in Schule und Hochschule, 1(14), 12-25.

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Figura 10: Comportamiento de f vs L: f es inversamente proporcional a la potenca 2 de la longitud L 4. Repetto, C. E., Roatta, A., & Welti, R. J. (2014). Measurements of resonant frequencies, loss factor and dynamic Young modulus of cantilever beams. Revista Brasileira de Ensino de Física, 36(1), 1-8.

5. Audacity (freeware), http://www.audacityteam.org (Windows, MacOS, Linux).

6. phyphox app (iOS and Android): https://phyphox.org/de/download-de/ 7. Sider Perú. Ficha técnica. https://www.siderperu.com.pe/sites/pe− gerdau/ les/PDF/FIERRO

0.1.4. Medir el módulo de Young de forma sencilla Medir el módulo de Young de forma sencilla y rastrear los efectos de incertidumbres de medición Author: J. Nunn PhD Physics 1991 (Imperial College); BSc Physics 1986 (Imperial College) NPL is the UK's National Metrology Institute

Resumen La velocidad del sonido en un sólido está determinada por la densidad y elasticidad del material.

Por lo tanto, el módulo de Young se puede calcular una vez que se mide la densidad y la velocidad del sonido en el sólido. La densidad se puede medir con relativa facilidad, y la velocidad del sonido a través de una varilla se puede medir de forma muy económica mediante establecer una onda estacionaria longitudinal y utilizar un micrófono para registrar su frecuencia. Ésta es una versión simpli cada de una técnica que se llama Excitación por impulso . Es una buena técnica educativa para escolares. Este documento incluye la descripción y la provisión gratuita de software personalizado para calcular el espectro de frecuencia de un sonido grabado para que los picos resonantes Versión 2020

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puedan identi carse fácilmente. Se incluye una discusión sobre el efecto de las incertidumbres de medición para ayudar al estudiante experimental más completo a mejorar la precisión de su método. La técnica es lo su cientemente sensible como para poder detectar cambios en el módulo de elasticidad con un cambio de temperatura de solo unos pocos grados.

1. Introducción.El procedimiento habitual del experimento escolar para obtener el módulo de elasticidad (Módulo de Young) de un alambre consiste en suspenderlo de un soporte jo y medir su extensión a medida que se carga progresivamente desde abajo. Normalmente es un experimento que requiere bastante tiempo; que implican calibres de tornillo micrométricos, microscopios móviles (o escalas Vernier) y un conjunto de masas calibradas. Es un buen experimento educativo porque muestra a los alumnos la importancia de la precisión de la medición. Un pequeño error en el diámetro del alambre da un gran error en el valor nal calculado del módulo de Young.

La técnica de .excitación por impulso"descrita en este artículo es experimentalmente mucho

más rápida y precisa, pero presupone cierto conocimiento de otras áreas de la física. Es un buen ejemplo educativo, trayendo diferentes ramas de la física juntos para resolver un desafío particular.

Otra característica atractiva de este método es que es de bajo costo y, al igual que con experimentos previos reportados en la literatura, hace uso de la tarjeta de sonido presente en la mayoría de computadoras y laptops normales.

2. Antecedentes teóricos La velocidad del sonido en un sólido viene dada por

s ν=

E , ρ

(21)

donde ν es la velocidad del sonido en el sólido, E es su módulo de elasticidad (módulo de Young) y ρ es la densidad del material. La derivación de esta ecuación está más allá de la física a nivel escolar, pero se puede mostrar una demostración cualitativa de esta relación utilizando un resorte furtivo(deslizante).

Las ondas de compresión viajan más rápido por un slinky más rígido y más lento si la densidad lineal( número de vueltas por unidad de longitud) es mayor.

Se supone que los profesores y la mayoría de los alumnos ya conocerán varios métodos diferentes para calcular la densidad de una barra. Por tanto, el artículo se concentrará en la medición de la velocidad del sonido en la varilla. Una vez que se conocen ν y ρ, la ecuación 21 se puede reorganizar para obtener E . Los alumnos también deben estar familiarizados con la relación entre la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de una onda

ν = fλ

(22)

(ecuación 22) donde f es la frecuencia y λ es la longitud de onda. Es útil que los alumnos estén familiarizados con el concepto de ondas estacionarias con sus nodos y antinodos (de nuevo, se puede utilizar un resorte deslizante para ilustrar esto). El punto clave a destacar aquí es que la Versión 2020

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Figura 11: Representación esquemática de los modos de resonancia fundamental y primer armónico de una columna de aire dentro de una tubería. distancia entre dos antinodos (o nodos) consecutivos es solo la mitad de la longitud de onda.

La Figura 11 muestra las compresiones y ra refacciones (en líneas verdes) de los modos resonantes fundamental y primer armónico de una columna de aire dentro de una tubería (las líneas azules muestran una representación transversal de la onda longitudinal). En cada par, la imagen de la derecha está desfasada 180 grados con la imagen de la izquierda. Observe que el modo fundamental tiene un nodo en el medio y dos antinodos en cada extremo. El primer armónico también tiene antinodos en ambos extremos, pero además tiene un antinodo en el medio. El segundo armónico tendrá tres nodos y uno de ellos estará en el medio de la longitud.

Se pueden con gurar patrones similares de vibración longitudinal en una varilla sólida. Cuando se apoya en su punto medio y se golpea axialmente en un extremo, se excitarán muchas frecuencias, pero solo persistirá el modo resonante longitudinal fundamental, tendrá un nodo en su punto medio y antinodos en ambos extremos. La longitud de onda de este modo fundamental será el doble de la longitud de la varilla

λ = 2L

(23)

(ecuación 23) donde L es la longitud de la varilla. Entonces, antes de que el experimento haya comenzado, ya conocemos la longitud de onda½ - La frecuencia se medirá con un pequeño micrófono de condensador y una computadora.

Cuando se usa una varilla de alrededor de 20 a 30 cm de longitud, solo la frecuencia longitudinal fundamental estará en el rango de frecuencia de audio (típicamente alrededor de 10 kHz ). El primer armónico impar ya estará alrededor de los 30 kHz , fuera del rango que irrita nuestros oídos, y más allá del rango de muestreo de Nyquist de la tarjeta de sonido de un ordenador normal. Si se usa una varilla signi cativamente más larga (∼ 80cm), el espectro mostrará varios picos de resonancia en las frecuencias que están en el rango de audio.

Combinando las ecuaciones 21, 22 y 23 encontramos error...\documentclassnewtonhuam

E = ρL2 f 2

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Figura 12: Con guración experimental utilizada para excitar el modo de resonancia longitudinal fundamental. una ecuación que nos da conocer el módulo de Young simplemente conociendo su densidad, longitud y frecuencia de resonancia.

Tenga en cuenta que la ecuación 24 no impone condiciones a la forma de la sección transversal de la varilla. Puede ser cuadrada, rectangular, circular o de cualquier otra forma, siempre que sea uniforme en toda su longitud. También debe tenerse en cuenta que L debe ser al menos 20 veces más grande que cualquiera de sus dimensiones de sección transversal, de lo contrario habrá una excitación incompleta de las caras de los extremos de la varilla (las caras de los extremos comenzarán a oscilar como las super cies de un tambor en lugar de permanecer plano y moverse hacia adelante y hacia atrás como pistones).

En el caso de una barra de sección transversal rectangular,

error... \documentclass{ newtonhuamanicastro donde m es la masa de la varilla y L, W y T son su longitud, ancho y grosor respectivamente. Entonces, para una barra de sección transversal rectangular, la ecuación 4 se convierte en error... \documentclass newtonhuamanicastro En el caso de una barra de sección transversal circular, donde d es el diámetro y L es la longitud de la varilla. Entonces, para una varilla de sección transversal circular, la ecuación 4 se convierte en 16mLf 2 .

(25) E= πd2

3. Procedimiento experimental La gura 12 muestra una forma adecuada de soportar una varilla de tal manera que proporcione una amortiguación mínima a una excitación longitudinal. Con la práctica es posible excitar una varilla sosteniéndola entre dos dedos en el punto medio (donde se encuentra el nodo del modo fundamental de excitación).

Note 1:

A menos que pueda golpear el extremo de la varilla perfectamente axialmente en

el centro de una cara del extremo, es probable que también excite algunos modos de resonancia transversal. Para varillas que son largas en comparación con sus dimensiones laterales, los modos de resonancia transversal tienen frecuencias mucho más bajas (100 − 1000 Hz ). Para una varilla que mide alrededor de 20 cm de largo, es probable que el pico de frecuencia más alto del espectro

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sea el modo resonante longitudinal fundamental que necesitamos para el cálculo.

Note 2: Los diferentes materiales tienen diferentes cantidades de amortiguación interna y, por

lo tanto, sonarán durante diferentes períodos de tiempo. El aluminio y el latón son excelentes; el acero no es tan bueno, el cobre y el plomo son terribles.

4. Consideraciones sobre incertidumbres El título de este artículo incluía las palabras "la forma fácil". El cálculo de las incertidumbres puede parecer una complicación innecesaria, por lo que es probable que la mayoría de los lectores se salten esta sección y pasen a la descripción experimental. Sin embargo, le animo a leer esta sección porque ilustra cómo puede mejorar la precisión de este experimento simplemente reduciendo, lo mayor posible, a la propogación general de la incertidumbre.

La mayoría de los estudiantes estarán familiarizados con la diferenciación y las ecuaciones

??

y 25 no son difíciles de diferenciar con respecto a una sola variable a la vez. El caso de la barra de sección transversal rectangular se discutirá aquí (ecuación

??), pero los alumnos deberían poder

extender fácilmente el razonamiento para considerar el caso de la barra circular.

La diferenciación con respecto a cada uno de los parámetros en el lado derecho de la ecuación

?? da las siguientes expresiones para la incertidumbre en el módulo ∆E debido a las incertidumbres en masa (δm), longitud (δl), ancho (δw), espesor (δt) y frecuencia (δf ), respectivamente 4Lf 2 W T .δm −4Lf 2 W T 2 .δm

∆Em = ∆ET =

4mf 2 W T .δl 8Lf ∆Ef = W T .δf

(ec,9)

∆El =

(ec,12)

(ec,10)

∆Ew =

−4mLf 2 W 2 T .δw

(ec,11)

(ec,13)

Las ecuaciones 9 a 13 son más fáciles de manejar si el valor calculado de E se inserta en el lado derecho de cada una de las ecuaciones para producir las ecuaciones 14 a 18

∆Em = ∆ET =

E m .δm −E T .δT

(ec,14)

∆El =

(ec,17)

∆Ef =

E L .δl 2E f .δf

(ec,15)

∆Ew =

−E W .δw

(ec,16)

(ec,18)

Las contribuciones que estos hacen a la incertidumbre general se presentarán en la siguiente sección.

5. Resultados experimentales Utilizando un micrófono de condensador económico conectado a la computadora, ilustre la función del software intentando cantar una nota constante en el micrófono. El software detecta automáticamente el aumento del nivel de sonido, lo graba durante 3 segundos y luego calcula el contenido de frecuencia de mi voz y lo muestra como un espectro (ver gura 13). Como puede verse en la forma general del espectro, aunque estaba cantando solo una nota, mi voz tiene varios sobretonos y armónicos, lo que me hace sonar como yo. Esto sirve para mostrar a los alumnos que el sistema está funcionando y que el micrófono está enchufado en el enchufe correcto. Debería ser señaló que el eje Y aquí es logarítmico; el segundo y tercer armónico son aproximadamente un orden de magnitud más pequeño en amplitud que el fundamental y el primer armónico.

Se utilizó una barra de sección transversal rectangular hecha de aluminio con dimensiones aproximadas de 300 x 16 x 3 mm. Se apoyó cerca de su punto medio en una pequeña almohadilla de goma (un borrador de lápiz típico está bien) y se golpeó con una pequeña varilla sólida axialmente en una cara del extremo. Se escucha un "tic.agudo, seguido de un timbre de larga duración (en este Versión 2020

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Figura 13: Espectro de mi voz mientras canto una nota constante.

Figura 14: Espectro del repique de una barra rectangular cuando se golpea axialmente en una cara del extremo. caso, de unos 5 segundos).

La gura 14 muestra un espectro típico obtenido. Aunque el espectro se calcula para frecuencias de hasta 20 kHz , aquí se muestra truncado a 10 kHz , ya que en este caso el pico a 8, 5 kHz fue el pico más alto. Recordando nuevamente que el eje Y es logarítmico, quedará claro que el pico en torno a 8500 Hz es, con mucho, el dominante. Los picos adicionales mostrados cerca de 6000 y 3500 Hz , etc., son los que surgen de diferentes modos vibratorios de la barra. Si la barra tiene unos 30 cm de largo, es probable que la frecuencia ms alta del espectro sea la frecuencia del modo longitudinal fundamental necesario para nuestros cálculos. Si la barra es mucho más larga 90 cm, es posible registrar el primer sobretono que también tiene un nodo en el punto medio. Esta frecuencia debería ocurrir a 3 veces el valor de la fundamental.

Note 3:

La incertidumbre sistemática en la frecuencia medida dependerá de la tarjeta de

sonido de la computadora utilizada. He probado varias computadoras diferentes con un generador de señales calibrado. La mayoría están dentro del 0,1 %, sin embargo, si se van a realizar mediciones rastreables utilizando esta técnica, se debe veri car y compensar el rendimiento de la tarjeta de sonido de la computadora.

Se encontró que la frecuencia era de 8537 Hz . Haciendo algunas mediciones rápidas de la masa con escalas de baja precisión (resolución de 1 g) y las dimensiones usando una regla estándar (resolución de 0, 5 mm) obtenemos los resultados que se muestran en la tabla 1. Un estudiante típico querrá comprobar inmediatamente si tiene el 'respuesta correcta'buscando el valor del módulo de elasticidad en un libro de referencia o en línea.

Un estudiante más minucioso señalará inmediatamente que dado que la masa y el espesor solo

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Cuadro 5: Medición preliminar rápida y cálculos de módulo. m (Kg) L (m) W (m) T (m) f (Hz) E (GPa) 0.041 0.2985 0.0160 0.0030 8537 74.33 se han medido en 2 lugares signi cativos, el valor nal calculado tampoco debe cotizarse en más de 2 cifras signi cativas (74 GPa, no 74,33 GPa). Cuando encuentra que los valores de los libros de texto oscilan entre 69 y 70 GPa, concluirá que ha cometido un error o que el experimento "no fue muy bueno". Cabe señalar que este error de alrededor del 4 % es, sin embargo, pequeño en comparación con algunos métodos mecánicos para determinar el módulo de materiales.

Citar un valor de 74 GP a para el módulo de aluminio no tiene ningún sentido si no sabemos qué grado de con anza tenemos en el resultado. Aquí es donde se necesita considerar las incertidumbres.

Los estudiantes suelen decir que podrían obtener mejores resultados si tuvieran un mejor equipo.

Eso puede ser cierto, pero es útil saber cuál es el factor que limita la precisión del experimento antes de decidir qué equipo mejor se necesita.

La Tabla 6 muestra los mismos resultados que la tabla 5, excepto que se han incluido las contribuciones a la incertidumbre de cada uno de los factores. Observe que la incertidumbre de

0, 5 mm en el espesor de la barra contribuye con una incertidumbre de ms de 12 GP a al módulo general. Ésta es, con mucho, la contribución dominante.

Note 4: Si las contribuciones individuales a la incertidumbre son aleatorias en lugar de sistemá-

ticas, sus contribuciones se agregan con frecuencia en cuadratura (la incertidumbre nal es la raíz cuadrada de las sumas de todos los cuadrados de las incertidumbres individuales). La explicación completa de esto está más allá del alcance de este documento, pero una respuesta rápida es que es poco probable que haya cometido errores de medición que se encuentran en el límite más externo cada vez (el escenario más pesimista). Agregarlos en cuadratura tiene esto en cuenta.

En este punto, el resultado debe citarse como 74 ± 13 GP a. Tenga en cuenta que esto signi ca que el experimento está realmente de acuerdo con los valores del libro de texto de 69 a 70 GP a.

Si deseamos obtener un valor más preciso para E, primero debemos invertir en una mejor manera de medir el espesor: los calibres Vernier serían una mejora en una regla simple. Puede que no sea lo su cientemente grande para medir la longitud de la barra, pero al menos puede darnos una precisión de ±0, 1 mm en las medidas de espesor y ancho.

La repetición del experimento con calibradores Vernier para medir tanto el ancho como el grosor de la barra (pero no su longitud) produce los resultados y las incertidumbres que se muestran en la Tabla 7. Observe que la incertidumbre ha disminuido signi cativamente; ahora podría citarse a 70 ± 3 GP a (una mejora signi cativa).

Para mejorar an más la precisión del resultado, ahora hay dos contribuciones que son comparables en tamaño: la debida a la medición de masa (1, 7 GP a) y la debida al espesor (2, 2 GP a).

Entonces, a menos que sea posible mejorar ambas medidas, no tiene mucho sentido intentar mejorar solo una de ellas.

El siguiente paso fue usar un calibre de tornillo micrométrico cuya precisión de medición era de 0,01 mm y usar algunas básculas de pesaje que tenían una precisión de 0,01 g (mejor de lo que realmente necesitamos en este momento). Las nuevas mediciones y las consiguientes incertidumbres se muestran en la tabla 8.

El valor del módulo elástico del aluminio ahora podría citarse como 69, 5±0, 3GP a. Esta menor incertidumbre es probablemente una medida su cientemente buena del módulo de elasticidad del

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Cuadro 6: Las mismas medidas preliminares que en la tabla 5, pero con contribuciones de incertidumbre calculadas.

Equipo:

regla Balanza imprecisa Espectrómetro de ciente m (Kg) δm(Kg) 0,041 0,001 L (m) δL(m) 0,2985 0,0005 W (m) δW (m) 0,016 0,0005 T (m) δT (m) 0,003 0,0005 f (Hz) δf (Hz) 8537 10 E(GP a) 74

Incertidumbre (±0,5 mm) (±1 g ) (±10 Hz ) ∆Em (GPa) 1,813 ∆EL (GPa) 0,124503964 ∆EW (GPa) −2,323 ∆ET (GPa) −12,388 ∆Ef (GPa) 0,174 ±13

aluminio; sin embargo, los cálculos de incertidumbre nos muestran dónde sería necesario realizar mejoras para obtener un resultado más preciso: Los siguientes dos parámetros que deben abordarse son la longitud (hasta este punto todavía se ha medido con una regla½) y el grosor (necesitamos mejor que 0,01 mm).

Cuadro 7: Mejora en el resultado del módulo de elasticidad calculado, y reducción de su incertidumbre general mediante el uso de calibradores Vernier.

Equipo:

Vernier Calibrador Balanza imprecisa Espectrómetro de ciente m (Kg) δm(Kg) 0,041 0,001 L (m) δL(m) 0,2985 0,0005 W (m) δW (m) 0,0159 0,0001 T (m) δT (m) 0,0032 0,0001 f (Hz) δf (Hz) 8537 10 E(GP a) 70,1

Incertidumbre (±0,1 mm) (±1 g ) (±10 Hz ) ∆Em (GPa) 1,710 ∆EL (GPa) 0,117 ∆EW (GPa) −0,441 ∆ET (GPa) −2,191 ∆Ef (GPa) 0,164 ±2,8

Nota 5: Aunque los micrómetros digitales suelen tener una resolución de 0, 001 mm, es discutible si se justi ca la precisión adicional. Existen dos motivos principales para esto: a) A menos que la barra se haya preparado con mucho cuidado, es poco probable que el grosor a lo largo de la barra sea constante o mejor que 0, 01 mm b) La super cie de la barra de aluminio es rugosa, por lo que el pico a valle de la super cie puede ser del orden de 0, 005 mm. La medición de espesores entre los yunques planos paralelos de un Versión 2020

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calibre de tornillo micrométrico indicará la distancia entre la parte superior de los picos en un lado y la parte superior de los picos en el otro: una sobreestimación del espesor promedio real de la barra.

Hasta ahora, la discusión se ha concentrado en mejorar las mediciones, sin embargo, es muy posible que la muestra en sí sea el factor limitante. Para el trabajo más preciso, es necesario preparar la muestra con mucha precisión. La super cie superior e inferior deben traslaparse entre las caras planas para que queden planas y paralelas, y los dos extremos de la barra deben cortarse muy perpendicularmente. La preparación de la muestra puede convertirse rápidamente en un factor importante en el tiempo que lleva el experimento.

Para mejorar aún más el experimento, probablemente sería mejor medir la densidad del aluminio mediante un método de Arquímedes preciso (idealmente en un volumen mayor de aluminio) y luego medir la longitud de la barra con calibradores Vernier grandes. Los cálculos estimados de incertidumbre muestran cómo se vuelve cada vez más costoso realizar mediciones cada vez más precisas.

Cuadro 8: Una mejora adicional al usar un micrómetro medidor de tornillo y un mejor juego de balanzas.

Equipo:

Medidor de tornillo micrométrico Mejores balanza Mejor espectrómetro m (Kg) δm(Kg) 0,04103 0,00001 L (m) δL(m) 0,2985 0,0005 W (m) δW(m) 0,0159 0,00001 T (m) δT(m) 0,00323 0,00001 f (Hz) δf(Hz) 8537 1 E(GPa) 69,52

Incertidumbre (±0,01 mm) (±0,01 g) (±1 Hz) ∆Em (GPa) 0,017 ∆EL (GPa) 0,116 ∆EW (GPa) −0,044 ∆ET (GPa) −0,215 ∆Ef (GPa) 0,016 ±0,25

6. Comparación con una barra de sección transversal circular Por el bien de los intereses, realicé el mismo experimento en una barra de aluminio que tenía una sección transversal circular. El espectro se muestra en la gura 15.

Usé la ecuación 8 y la diferencié para obtener las contribuciones de incertidumbre al módulo de elasticidad de una varilla redonda. No incluyo todas las ecuaciones aquí, pero el ejemplo dado para la barra rectangular debería servir como una guía de cómo se hace. Los resultados se muestran en la tabla 9. El resultado del módulo de elasticidad obtenido para la varilla de sección transversal circular podría calcularse como 70, 1 ± 0, 3GP a. (en comparación con 69, 5 ± 0, 3 para la barra rectangular). Estos dos resultados sólo concuerdan entre sí si se extienden hasta los límites de las incertidumbres citadas. Ver gura 16.

7. Discución

No haré ningún esfuerzo para que el módulo de elasticidad de la barra (sección transversal rectangular) y el de la barra (sección transversal circular) coincidan entre sí. Hay varios factores que podrían explicar la diferencia medida. Lo más probable es que los dos especímenes diferentes no Versión 2020

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Figura 15: Espectro obtenido de la varilla de aluminio de sección circular.

Figura 16: Resultados del módulo de elasticidad obtenidos al usar herramientas de medición con diferentes precisiones.

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Cuadro 9: Mediciones y cálculos de incertidumbre para una varilla de aluminio de sección circular.

Equipo:

Medidor de tornillo micrométrico Mejores balanza Mejor espectrómetro m (Kg) δm(Kg) 0,02161 0,00001 L (m) δL(m) 0,254 0,0005 d (m) δd(m) 0,00631 0,00001 T (m) δT (m) 0,00323 0,00001 f (Hz) δf (Hz) 9994 1 E(GP a) 71

Incertidumbre (±0,01 mm) (±0,01 g ) (±1 Hz ) ∆Em (GPa) 0,032450604 ∆EL (GPa) 0,138042825 ∆Ed (GPa) −0,222268637 ∆ET (GPa) −0,215 ∆Ef (GPa) 0,014033571 ±0,3

provengan de la misma fusión de metal. Quizás por esta razón, los valores para el módulo de elasticidad del aluminio en la literatura tambión varían entre 69 y 70 GP a. Otro factor que deliberadamente he ignorado hasta este punto de la discusión es el efecto de errores sistemáticos en las mediciones. Por ejemplo, una regla que en realidad es corta / larga, un balance de masa que no está calibrado o está fuera, etc. La mayoría de los estudiantes no podrán hacer mucho para corregirlos, ya que normalmente requiere acceso a estándares trazables certi cados. Esta es la razón principal de la existencia del Laboratorio Nacional de Física en el Reino Unido y de Laboratorios Nacionales de Medición similares en muchos otros países. El efecto de los errores sistemáticos aumentaría las incertidumbres de medición individuales δ m, δ l, etc. y, por lo tanto, las ∆Em , ∆EL asociadas. Es más, debido a que estos errores siempre estarán presentes, y actuando en la misma dirección cada vez, sus contribuciones no se pueden sumar en cuadratura.

Los ingenieros a veces encuentran necesario conocer el módulo de Young de los materiales a temperaturas elevadas (típicamente 300 C - 600 C, aunque a veces incluso más altas), aquellos que diseñan componentes para motores a reacción o intercambiadores de calor para centrales eléctricas, por ejemplo. He utilizado esta técnica de excitación por impulsos hasta alrededor de 750 C con algunas modi caciones. La mayoría de los micrófonos se habrán derretido mucho antes de alcanzar estas temperaturas, por lo que se necesitan algunos cambios en el diseño del experimento. Estos se muestran esquemáticamente en la gura 17.

En lugar de utilizar los modos de resonancia longitudinal, se emplean los modos transversales porque permite trabajar con muestras de material mucho más pequeñas y aún así obtener frecuencias de resonancia en el rango de audio. La excitación se logra dejando caer una bola de rubí a través del embudo; es guiado por el tubo de cerámica para golpear la muestra en el centro. El sonido de la resonancia excitado por este impacto se transmite por el segundo tubo de cerámica y es detectado por el micrófono fuera del recinto. Se pre eren las bolas de rubí a las de acero inoxidable porque las primeras no se oxidan a altas temperaturas mientras que las segundas se oxidan muy rápidamente. Las ecuaciones que relacionan el módulo con las frecuencias de los modos transversales son muy diferentes y su derivación no es en absoluto intuitiva. Por esta razón no he incluido su descripción en este artículo.

En lugar de utilizar los modos de resonancia longitudinal, se emplean los modos transversales Versión 2020

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Figura 17: Modi cación de la técnica para uso a temperaturas elevadas porque permite trabajar con muestras de material mucho más pequeñas y aún así obtener frecuencias de resonancia en el rango de audio. La excitación se logra dejando caer una bola de rubí a través del embudo; es guiado por el tubo de cerámica para golpear la muestra en el centro. El sonido de la resonancia excitado por este impacto se transmite por el segundo tubo de cerámica y es detectado por el micrófono fuera del recinto. Se pre eren las bolas de rubí a las de acero inoxidable porque las primeras no se oxidan a altas temperaturas mientras que las segundas se oxidan muy rápidamente. Las ecuaciones que relacionan el módulo con las frecuencias de los modos transversales son muy diferentes y su derivación no es en absoluto intuitiva. Por esta razón no he incluido su descripción en este artículo.

Experimentalmente encontramos que el módulo de materiales disminuye con la temperatura (las cantidades di eren para diferentes materiales). También encontramos que por encima de cierta temperatura las muestras dejan de sonar!'- o al menos su amortiguación interna reduce la oscilación tan rápidamente que no es posible registrar una buena forma de onda a partir de la cual se pueda calcular un espectro de frecuencia con able.

Posible trabajo de extensión para los alumnos He tenido varios estudiantes con experiencia laboral a lo largo de los años. Un proyecto de

nal abierto favorito que con frecuencia los con guro es ver si pueden encontrar la relación entre la frecuencia de resonancia transversal y la longitud de las barras de sección transversal rectangulares.

Me aseguro de que todas las barras rectangulares tengan el mismo grosor y provengan del mismo material. Para excitar el modo transversal es necesario apoyar la barra aproximadamente un 25 % desde cada extremo y golpearla en el medio. La frecuencia de resonancia transversal fundamental normalmente será el pico que tenga la frecuencia más baja.

Reservo una barra (del mismo stock) que solo pueden medir dimensionalmente. Con referencia a sus trabajos anteriores y grá cos, les pido que calculen (con incertidumbres aproximadas) con

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qué frecuencia resonará cuando se excite. Una vez que me dan su predicción por escrito, les permito excitar la barra y comparar la frecuencia medida con sus predicciones.

El software analizador de espectro utilizado en este trabajo también se puede utilizar en muchos otros experimentos en los que la frecuencia es uno de los mensurandos: por ejemplo, una cuerda vibrante (longitud, tensión, masa por unidad de longitud), un voladizo vibrante (longitud, espesor), un columna resonante de aire (longitud). También se puede utilizar en experimentos de investigación como analizar los armónicos de los sonidos producidos por instrumentos.

La técnica de excitación por impulso, aunque no se usa ni se enseña en las escuelas, es un método muy útil para medir y comparar el módulo de elasticidad de muestras de materiales. Se basa en conceptos enseñados en ondas y movimiento armónico simple y sirve para ilustrar cémo se pueden unir diferentes ramas de la física para resolver un desafío de medición. El análisis de las incertidumbres ayuda a identi car el factor principal que contribuye a la incertidumbre general y, por lo tanto, lleva al estudiante a mejorar su experimento de manera e ciente. El software utilizado en este documento está disponible gratuitamente enviando un correo electrónico a john.nunn@npl.co.uk.

Recursos educativos adicionales del Laboratorio Nacional de Física Los cientí cos de NPL están entusiasmados con compartir su pasión y experiencia en medición y ciencia en general. Cada año participan en cientos de actividades de divulgación que se reúnen con decenas de miles de personas. Se puede encontrar información sobre algunas de estas actividades en el sitio web de NPL. La NPL cuenta con un número importante de recursos educativos para uso en escuelas y universidades (carteles, guías, libros, actividades, videos, concursos, talleres, una academia de prácticas de verano). También produce una serie de guías de buenas prácticas para una amplia gama de métodos cientí cos a las que se puede acceder en línea. Los maestros también pueden comunicarse con el Gerente de Alcance en NPL (a través de la página Educar + Explorar del sitio web de NPL) para conocer las actividades actuales y los recursos actualizados.

Referencias

1. IOP Institute of Physics, Teaching advanced physics, mechanics, episode no 228: The young modulus 2. Ganci, Measurement of g by means of the, improper, use of sound card software: a multipurpose experiment, Physics Education 43, 297 (2008).

3. oltán Gingl, Róbert Mingesz, Péter Makra, and János Mellár, Review of sound card photogates, European Journal of Physics 32, 905 (2011).

4. John Nunn, Educational electrical appliance power meter and logger, Physics Education 48,570 (2013).

5. Gergely Makan, Katalin Kopasz, and Zoltán Gingl, Real-time analysis of mechanical and electrical resonances with open-source sound card software, European Journal of Physics 35,015009 (2013).

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0.2. Experimentos sobre ondas mecánicas Adjuntamos a continuación las experiencias usando el Smartphone

0.2.1. Medición de la velocidad del sonido en forma simpli cada La medición de la velocidad del sonido se simpli ca utilizando frecuencias resonantes armónicas con la tecnología móvil cotidiana Autores: Hirth, M., Kuhn, J.,

&

Müller, A

Resumen Versión 2020

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El objetivo del experimento es determinar la rapidez del sonido con un alto grado de precisión utilizando herramientas cotidianas. La siguiente idea se basa encontrar las frecuencias resonantes armónicas de dicho tubo, al sellar uno de los extremos, disparadas simultáneamente por un ruido señal.

Palabras clave: frecuencia, espectro, rapidez de sonido.

1. Introducción Artículos recientes sobre experimentos con Smartphone han descrito sus aplicaciones como herramientas experimentales en diferentes contextos físicos. Han establecido que los teléfonos inteligentes facilitan las con guraciones experimentales, gracias al tamaño pequeño y diversas funciones de dispositivos móviles, en comparación con con guraciones con mediciones basadas en computadora.

En el experimento descrito en este artículo, la con guración experimental se reduce al mínimo. El objetivo del experimento es determinar la rapidez del sonido con un alto grado de precisión utilizando herramientas cotidianas. Un artículo publicado recientemente propone un método de tiempo de vuelo donde el sonido o los pulsos acústicos se re ejan en los extremos de un tubo abierto. Por el contrario, la siguiente idea de experimento se basa en las frecuencias resonantes armónicas de dicho tubo, disparadas simultáneamente por un ruido señal.

2. Antecedentes teóricos y ejecución de los experimentos Ondas estacionarias y corrección nal en un tubo Si una onda de sonido con una frecuencia constante se propaga en un tubo con una longitud L y una sección transversal circular con un radio R, provoca ondas de presión estacionarias en el aire dentro del tubo.

Las frecuencias fk de los modos apropiados del tubo abierto en ambos extremos son los múltiplos enteros de la frecuencia fundamental f0 dado por

f0

=

fk

=

c 2(L + 2a) (k + 1)f0

k = 0, 1, 2, ...

(26)

Aquí, c es la rapidez del sonido en el aire y a = 0,61R es la corrección nal debido al diámetro nito del tubo. Tiene en cuenta el hecho de que los nodos de presión están situados ligeramente fuera del tubo en el extremo abierto; por lo tanto, la longitud acústica es más larga que la longitud geométrica del tubo.

Por el contrario, las frecuencias modales de los tubos que solo se abren en un extremo son múltiplos impares de otra frecuencia fundamental y están dados por

f0

=

fk

=

c 4(L + a) (2k + 1)f0

k = 0, 1, 2, ...

(27)

Tenga en cuenta que en comparación con la ecuación (36) solo aparece a y no 2a en la corrección nal, como solo hay un extremo abierto (en un extremo cerrado, sin corrección es necesario).

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

3. Materiales y métodos para determinar la frecuencia fundamental El tubo de cartón alrededor del cual generalmente se envuelve el papel de aluminio o las toallas de papel se usa para los experimentos. Muchos otros tubos cilíndricos que se encuentran en los hogares también son adecuados, por ejemplo, tubos de bolígrafo o tubos de cartón de papel de regalo. En lugar de utilizar tonos puros, generamos una señal de ruido al susurrar un trozo de papel o al soplar en el borde de una abertura ( gura 32).

Figura 18: Con guración experimental: el ruido causado por el arrugamiento del papel genera ondas estacionarias en un tubo. Las frecuencias resonantes son trazados por un espectrograma usando un Smartphone o tableta. Alternativamente, el ruido puede ser causado al soplar en el borde de un tubo.

El espectro de frecuencia continua hace que todas las frecuencias resonantes ocurran simultáneamente. Se obtiene un tubo con un extremo abierto sellando rmemente un extremo del tubo con la mano.

Se utiliza un espectrograma (o sonograma) para medir la frecuencia. espectro (o señal de sonido); ambos se pueden mostrar utilizando la aplicación SpectrumView Plus.[?] En la aplicación, la frecuencia de muestreo de audio se establece en 16 kHz y la disposición FFT se establece en 13 (el equivalente de 213 = 8192 muestras), lo que nos permite realizar el experimento con un resolución

≈ 2 Hz . La aplicación Spectrum Analyzer se puede usar si se trabaja con Smartphone basados en Android; sin embargo, no muestra espectrogramas.

de frecuencia de

16 kHz 8192

En los experimentos, la frecuencia fundamental respectiva se determina utilizando los armónicos.

Con este n, los armónicos se alinean visualmente lo mejor posible con las líneas equidistantes proporcionadas por la aplicación SpectrumView Plus. Tenga en cuenta que en la con guración de la aplicación está activado el botón usar ticks de eje de frecuencia ja . Esta forma de determinar los freiPhysicsLabs fundamentales

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Figura 19: (a) Izquierda: el simple movimiento de un trozo de papel genera un espectro continuo.

Derecha: bandas de frecuencia discretas después de que el ruido ha pasado a través del tubo. (b) Izquierda: espectro continuo de ruido producido por soplado. Derecha: bandas de frecuencia discretas generadas al soplar en el borde de un extremo de un tubo de cartón que está cerrado en el otro extremo.

4. Análisis de experimentos Frecuencias resonantes y determinación de la rapidez del sonido con el tubo abierto en ambos extremos.

Como se puede ver en la gura 35 (a) a la izquierda, el papel susurrante causa un espectro continuo.

Después de que el ruido ha pasado a través del tubo, se pueden detectar bandas de frecuencia discretas; sus frecuencias medias corresponden a los múltiplos enteros de una frecuencia fundamental.

Para el tubo de cartón con una longitud L = 30,5 cm y un radio de apertura R = 1,35 cm, la frecuencia fundamental es f0 = 533 Hz (a una temperatura de aproximadamente 20 C ). Aplicando la ecuación (36) para f0 , se calcula que la velocidad del sonido es (343±9,63) m/s (utilizando la ley aritmética de propagación de errores con δf0 = 10 Hz, δL = δR = 0, 001m; valor de la literatura:

c = 343m/s a una temperatura de 20 C ).

Frecuencias resonantes y determinando la rapidez del sonido con tubo abierto en un extremo Un extremo del tubo está sellado herméticamente con una mano, mientras sopla cuidadosamente en el borde de la abertura en el otro extremo. En este caso, se genera una onda estacionaria en un tubo cerrado en un extremo. Se puede ver en el espectrograma de la gura 35 (b) que solo se generan ondas estacionarias con múltiplos impares de la frecuencia fundamental además de la oscilación fundamental. Para el mismo tubo de cartón (L = 30,5 cm, radio R = 1,35 cm), la frecuencia fundamental es f0 = 275 Hz (a una temperatura de aproximadamente 20 C ). Esto se inserta en ecuación (37) para f0 , produciendo un valor de c = (345 ± 14,73) m s (usando ley aritmética de propagación de errores; véase más arriba).

Como un experimento alternativo o adicional, es posible examinar el espectro de frecuencia que se traza en la aplicación SpectrumView Plus sincrónicamente con el espectrograma. Un ejemplo de esto se muestra en la gura 36 para un experimento con un tubo cerrado en un extremo en el que el experimentador sopla en el borde del otro extremo del tubo [cf. gura 35 (b)].

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Una discusión detallada de las posibilidades de usar espectrogramas para análisis acústico con dispositivos móviles y los errores relevantes se presenta en la referencia hirth

Figura 20: Espectro de frecuencia de el sonido irradiaba cuando el el experimentador sopla en el borde de un tubo de cartón cerrado a las un nal.

1. Hirth, M., Kuhn, J., & Müller, A. (2015). Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology. The Physics Teacher, 53(2), 120-121.

2. P. Klein, M. Hirth, S. Gröber, J. Kuhn, and A. Müller, Classical experiments revisited: Smartphone and tablet PC as experimental tools in acoustics and optics, Phys. Educ. 49 (4), 412 − 418 (July 2014).

3. J. Kuhn, A. Molz, S. Gröber, and J. Frübis, iRadioactivity−Possibilities and limitations for using smartphones and tablet PCs as radioactive counters, Phys. Teach. 52, 351 − 356 (Sept.

2014).

4. P. Vogt and J. Kuhn, Analyzing radial acceleration with a smartphone acceleration sensor, Phys. Teach. 51, 182 − 183 (March 2013).

5. N. Silva, Magnetic eld sensor, Phys. Teach. 50, 372 − 373 (Sept. 2012).

6. L. Kasper, P. Vogt, and C. Strohmeyer, Stationary waves in tubes and the speed of sound, Phys. Teach. 53, 52 − 53 (Jan.2015).

7. H. Levine and J. Schwinger, On the radiation of sound from an un anged circular pipe, Phys. Rev. 73 (4), 383 − 406 (Feb. 1948).

8. An example of determining the end correction of a tube with smartphones is presented in P. Vogt, L. Kasper, C. Fahsl, M. Herm, and D. Quarthal, Physics2Go! Den Alltag mit dem Smartphone entdecken, (translated as Physics2Go! Discover everyday life with the smartphone ), in A. Bresges, L. Mähler, and A. Pallack (Hrsg), Themenspezial MINT (translated as Special Topic MINT) (MNU, Publisher Klaus Seeberger, Neuss, Germany), submitted.

9. Oxford Wave Research LTD, SpectrumView Plus, https://itunes.apple.com/us/app/spectrumview-plus/ id571455198?mt=8.

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

10. Raspberrywood, Spectrum Analyzer, https://play.google.com/ store/apps/details?id=com.raspw.SpectrumAnalyze.

11. M. Hirth, S. Gröber, J. Kuhn, and A. Müller, Experimental investigation of acoustical resonances in one-dimensional shaft carriers with Smartphone and Tablet-PC , PhyDid A (submitted).

0.2.2. Medición de la velocidad de sonido usando Samrtphone Medición simple del tiempo de vuelo de la velocidad de sonido usando Samrtphone Autores: Staacks, S., Hütz, S., Heinke, H., & Stampfer, C.

La nalidad es presentar experimento fácil que permite determinar la rapidez del sonido a través de una simple medición del tiempo de vuelo utilizando dos Smartphone.

Introducción Proponemos un experimento fácil que permite determinar la rapidez del sonido a través de una simple medición del tiempo de vuelo utilizando dos Smartphone. El concepto de usar los sensores de Smartphone para los experimentos de física se ha convertido en una opción bien conocida para los profesores de ciencias (Ver: vogt,pendrill,kuhn,chevrier,vieyra). Dado que estos dispositivos están fácilmente disponibles para la mayoría de los estudiantes y maestros, los experimentos se pueden con gurar de a poco costos al tiempo que genera fascinación y motivación para los estudiantes gracias a la novedad de usar sus propios dispositivos de una manera inusual. De todos los sensores disponibles en los teléfonos modernos, el micrófono ofrece la mejor resolución temporal por un amplio margen, ya que graba muestras a una velocidad (típicamente) de 48 kHz. Como esta velocidad de muestreo rápida es un requisito para grabaciones de audio de alta calidad, ha existido mucho antes de que los teléfonos inteligentes ofrecieran otros sensores, y las entradas de audio ya se han utilizado para experimentos en tarjetas de sonido en computadoras de escritorio678, (Ver: mehrl,carvalho,aguiar) En consecuencia, el micrófono está en el centro de una variedad de experimentos basados con el Smartphone para determinar la rapidez del sonido. Los métodos experimentales generalmente se pueden dividir en tiempo de vuelo mediciones (a menudo utilizando ecos)(kasper,parolin) o mediciones basadas en resonancia, (Ver: hirth,monteiro) Desafortunadamente, ambos métodos tienen sus inconvenientes. Hasta ahora, los métodos de medición del tiempo de vuelo requieren que los estudiantes extraigan el tiempo de una aplicación que no está diseñada para proporcionar esta información directamente, a menudo analizando representaciones de forma de onda visual de señales de audio grabadas, lo que puede ser difícil y demasiado abstracto para los estudiantes más jóvenes. Esto se convierte rápidamente en una distracción del experimento central y puede llevar mucho tiempo de manera desproporcionada. Los experimentos basados en resonancia generalmente no sufren estos problemas, ya que hay muchas aplicaciones que muestran directamente el espectro de frecuencia de una grabación de audio y, por lo tanto, proporcionan un valor numérico de los picos para trabajar. Pero estos experimentos requieren un mayor nivel de comprensión porque los Versión 2020

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

estudiantes necesitan conocer las ondas estacionarias y relacionar las frecuencias de resonancia con la geometría del resonador para extraer la velocidad del sonido.

Nuestra nueva con guración experimental combina las ventajas de ambos métodos al requerir solo un mínimo de conocimientos de física y al mismo tiempo ofrece un resultado numérico simple directamente desde la aplicación en el teléfono inteligente. Esto permite a los estudiantes comprender el principio de propagación del sonido y la velocidad del sonido calculando su resultado como la simple relación de distancia en el tiempo. Para este experimento utilizamos nuestra aplicación gratuita "phyphox". Para llegar a la mayor cantidad de estudiantes posible, intentamos asegurarnos de que todas sus funciones estén disponibles para los principales sistemas operativos si es técnicamente posible para cualquier dispositivo con Android 4.0 e iOS 8. La aplicación gratuita está disponible en las tiendas de aplicaciones respectivas. Es especí camente diseñado para experimentos de física en educación cientí ca y ofrece acceso a los sensores del teléfono junto con características únicas como análisis de datos personalizables y un método simple para acceder y controlar de forma remota su experimento desde un segundo dispositivo. Para más información consulte http://phyphox.org.

Figura 21: La aplicación phyphox ofrece un cronómetro acústico que mide el tiempo entre dos eventos acústicos Aquí, utilizamos una herramienta de análisis de datos especí ca de la aplicación, llamada çronómetro acústico"(Fig. 1). Utiliza el micrófono para escuchar el sonido y activar el cronómetro.

Tan pronto como la amplitud de audio excede un umbral dado, se inicia una medición de tiempo.

Cuando la amplitud excede el umbral por segunda vez, la medición se detiene y se muestra el tiempo entre los dos eventos acústicos. Además, se puede establecer un retraso mínimo para evitar detener involuntariamente el cronómetro con el primer evento de sonido debido a su duración o reverberación. Este concepto se puede mostrar fácilmente a los estudiantes aplaudiendo y dejándolos probar cómo reacciona el cronómetro acústico. Si el cronómetro arranca sin aplaudir o no aplaude, generalmente es su ciente aumentar el umbral del disparador o reducirlo, que es la única con guración experimental requerida.

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Figura 22: El estudiante A genera una señal acústica para iniciar el temporizador en ambos teléfonos. Estudiante B entonces detiene ambos con otra señal acústica. los los teléfonos miden diferentes intervalos de tiempo tA y tB que otorga acceso a la velocidad del sonido.

El experimento lo realizan dos estudiantes con un teléfono inteligente cada uno. Colocan los teléfonos a una distancia de nida (por ejemplo, 5 metros). Ambos estudiantes preparan su cronómetro acústico y se paran junto a uno de los teléfonos cada uno (Fig. 2). Luego, el primer estudiante (A) genera una señal acústica fuerte (aplausos, tambores, globos, etc.) para comenzar la medición del tiempo en ambos teléfonos inteligentes. Nota, que el teléfono B en el otro extremo comenzará su medición con un retraso igual al tiempo ?td que tarda el sonido en recorrer la distancia d entre ambos teléfonos. Luego, mientras ambos teléfonos están funcionando, el segundo estudiante (B) genera una segunda señal acústica para detener ambos teléfonos. Nuevamente, el teléfono distante, que en este caso es el teléfono A, recibe un disparo retardado. Esto signi ca que el teléfono A que comenzó antes con ?td, ahora también se detiene más tarde con ∆td . Por lo tanto, el teléfono A mide un tiempo total ∆tA igual al tiempo ∆tB medido por el teléfono B más dos veces ∆td :

∆tA = ∆tB + 2 · ∆td

(28)

Por lo tanto, podemos obtener td de la diferencia de ambos intervalos de tiempo medidos, lo que resulta en la siguiente ecuación para la velocidad del sonido:

υ=

d 2d = ∆td ∆tA − ∆tB

(29)

Los resultados experimentales son sorprendentemente buenos. Como el micrófono genera muestras a una velocidad de 48 kHz, la resolución temporal teórica es muy inferior a 1 ms. En la práctica, esto está limitado por lo nito tiempos de aumento de eventos acústicos reales que ambos teléfonos registran de manera diferente debido a la atenuación a lo largo de la distancia. Si se asegura de que ambos teléfonos y los orígenes de ambos sonidos de disparo estén en línea recta y si evita el viento, puede determinar fácilmente la velocidad del sonido en una distancia de 5 metros m a una incertidumbre de 30 m s (357 s para nuestra con guración), que es bastante preciso teniendo

en cuenta la simplicidad de este experimento.

Referencias

1. Staacks, S., Hütz, S., Heinke, H., & Stampfer, C. Simple time-of- ight measurement of the speed of sound using smartphones. The Physics Teacher, 57(2), 112-113 (2019).

2. Vogt, Patrik, Jochen Kuhn, und Sebastian Müller. Experiments Using Cell Phones in Physics Classroom Education: The Computer-Aided g Determination . The Physics Teacher 49, Nr. Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

6 (24. August 2011): 383-84. https://doi.org/10.1119/1.3628272.

3. Pendrill, Ann-Marie, und Johan Rohlén. Acceleration and Rotation in a Pendulum Ride, Measured Using an IPhone 4 . Physics Education 46, Nr. 6 (2011): 676. https://doi.org/10.1088/0031-9120/46/6/001.

4. Kuhn, Jochen, und Patrik Vogt. Smartphones as Experimental Tools: Di erent Methods to Determine the Gravitational Acceleration in Classroom Physics by Using Everyday Devices .

European Journal of Physics Education 4, Nr. 1 (2013): 16 − 27.

5. Chevrier, Joel, Laya Madani, Simon Ledenmat, und Ahmad Bsiesy. Teaching classical mechanics using smartphones . The Physics Teacher 51, Nr. 6 (19. August 2013): 376 − 77. https://doi.org/10.1119/1.4818381.

6. Vieyra, Rebecca, Chrystian Vieyra, Philippe Jeanjacquot, Arturo Marti, und Martín Monteiro. Turn Your Smartphone Into a Science Laboratory . The Science Teacher 82 (Januar 2015). https : //doi.org/10,2505/4/tst150 820 93 2.

7. Mehrl, D., und M. Hagler. Active Learning Using Inexpensive Sound Cards for Circuits and Communications Experiments . In Proceedings of the 28th Annual Frontiers in Education - Volume 03, 1102-1106. FIE 98. Washington, DC, USA: IEEE Computer Society, 1998. http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1253527.1254152.

8. Carvalho, Carlos C., J. M. B. Lopes dos Santos, und M. B. Marques. A Time-of-Flight Method To Measure the Speed of Sound Using a Stereo Sound Card . The Physics Teacher 46, Nr. 7 (5. September 2008): 428-31. https://doi.org/10.1119/1.2981293.

9. Aguiar, C. E., und M. M. Pereira. Using the Sound Card as a Timer . The Physics Teacher 49, Nr. 1 (22. Dezember 2010): 33-35. https://doi.org/10.1119/1.3527753.

10. Kasper, Lutz, Patrik Vogt, und Christine Strohmeyer. Stationary waves in tubes and the speed of sound . The Physics Teacher 53, Nr. 1 (29. Dezember 2014): 52-53. https://doi.org/10.1119/1.4904249.

11. Parolin, Sara Orsola, und Giovanni Pezzi. Smartphone-aided measurements of the speed of sound in di erent gaseous mixtures . The Physics Teacher 51, Nr. 8 (8. Oktober 2013): 508-9. https://doi.org/10.1119/1.4824957.

12. Hirth, Michael, Jochen Kuhn, und Andreas Müller. Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology . The Physics Teacher 53, Nr. 2 (15. Januar 2015): 120-21. https://doi.org/10.1119/1.4905819.

13. Monteiro, Martín, Arturo C. Marti, Patrik Vogt, Lutz Kasper, und Dominik Quarthal. Measuring the acoustic response of Helmholtz resonators . The Physics Teacher 53, Nr. 4 (23.

März 2015): 247-49. https://doi.org/10.1119/1.4914572.

0.2.3. El experimento del tubo de Kundt El experimento del tubo de Kundt con teléfonos inteligentes Autores: Versión 2020

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Este artículo trata sobre una versión moderna del experimento del tubo de Kundt. Utilizando instrumentos económicos y un par de teléfonos inteligentes, es posible ver nodos y antinodos de ondas acústicas estacionarias en una columna de aire vibrante y medir la velocidad del sonido.

1. Introducción Hasta la fecha, se han informado muchos informes sobre experimentos con sonido que utilizan teléfonos inteligentes [1]. Este artículo sugiere experimentos sencillos con teléfonos inteligentes para crear una versión moderna del experimento del tubo de Kundt.

En 1866, el físico alemán August Kundt ideó un método para mostrar las ondas acústicas estacionarias en una columna de aire vibrante, observando el movimiento del polvo en un tubo de vidrio transparente [2]. El experimento del tubo de Kundt es bastante común en los laboratorios escolares: además de observar el movimiento de los polvos dentro del tubo, se puede determinar la velocidad de propagación del sonido o la longitud de onda de las ondas estacionarias utilizando micrófonos, altavoces, osciloscopios y computadoras[3] (Muchos proveedores de laboratorios escolares proporcionan equipos y hojas de trabajo para este experimento. Ver, entre otros: [3].)

Se puede hacer una versión moderna de este experimento usando dos teléfonos inteligentes, tubos de plexiglás o cartón, una varilla rígida más larga que el tubo y una cinta métrica ( gura 1). Con estos pocos instrumentos baratos, podemos "ver"las ondas estacionarias de una columna de aire vibrante en un tubo abierto en ambos extremos o solo uno, y podemos deducir la velocidad del sonido midiendo la distancia entre los sucesivos antinodos de la onda estacionaria.

Figura 23: Con guración experimental: dos teléfonos inteligentes, un tubo de plexiglás, una barra larga y rígida y una cinta métrica.

2. Teoría El fenómeno de las ondas estacionarias en una columna de aire vibrante es bastante conocido; en particular, dentro de la columna hay puntos en los que no hay oscilación (nodos de desplazamiento) y otros con oscilación máxima (antinodos de desplazamiento). Hay dos casos principales: Versión 2020

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una tubería abierta en ambos extremos o un tubo abierto solo en un extremo. En el primer caso, la frecuencia fundamental f0 (también llamada primer armónico) se expresa mediante la fórmula:

Figura 24: El emisor de sonido del teléfono inteligente (izquierda) y el receptor de sonido del teléfono inteligente (derecha, dentro del tubo).

Figura 25: Tubo con ambos extremos abiertos; iPhone A: emisor de sonido; iPhone B: receptor de sonido.

Figura 26: Tubo con un extremo abierto; iPhone A: emisor de sonido; iPhone B: receptor de sonido.

f0 =

ν 2L

(30)

donde v es la velocidad del sonido y L es el tubo longitud. Las frecuencias más altas están dadas por:

fn = nf0

(31)

n = 1, 2, 3,

Para un tubo cerrado en un solo extremo, la resonancia la condición es: f0 =

ν 4L

para la frecuencia

fundamental; para todas las frecuencias tenemos:

fn = nf0 = Versión 2020

nν 4L

n = 1, 3, 5, 7, ...

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(32) 52

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Teniendo en cuenta la corrección en los extremos, debido al diámetro nito del tubo, la longitud efectiva del tubo es mayor que la medida[4].

3. Con guración Experimental El propósito de este experimento fue, con tubos abierto en uno o ambos extremos: para "ver"la distribución interna de nodos y antinodos de las ondas estacionarias; para calcular la velocidad del sonido usando la fórmula: fn λn = v , donde λ es la longitud de onda, ν es la velocidad del sonido y f la frecuencia del n-ésimo armónico; comparar la velocidad del sonido obtenida en el paso 2 con la calculada por la fórmula p √ v = γRT /M = 20,055 T , donde T es la temperatura absoluta del aire y M es la masa molar.

Figura 27: La inserción del teléfono inteligente en la varilla en el tubo es como cuando un fabricante de pizza pone una pizza en el horno.

Figura 28: El teléfono inteligente listo para explorar.

Figura 29: Grabando el nivel de sonido máximo.

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Cuadro 10: Las características de las tuberías utilizadas: longitud, radio interior, material y aberturas.

Tubo

L(m)

Ri (m)

Material

A B C D

2.000 1.000 0.771 0.771

0.200 0.047 0.038 0.038

opaco transparente opaco opaco

apertura 2 2 2 1

extremos extremos extremos extremos

Se utilizaron dos teléfonos inteligentes, uno para producir el sonido y el otro para explorar la parte interna del tubo para buscar nodos de oscilación y antinodos ( gura 2). El generador de sonido del teléfono inteligente (A en las guras 3 y 4) se colocó a unos centímetros de la entrada del tubo.

Después de seleccionar la frecuencia correcta, se aumentó el volumen del teléfono inteligente. El segundo teléfono inteligente (B en las guras 3 y 4) se aseguró con gomas elásticas a un poste en el que se había jado una cinta métrica exible. El micrófono del teléfono inteligente se colocó en el origen 0 del medidor exible.

Figura 30: Captura de pantalla de una película grabada por la aplicación Soundbeam, moviendo el iPhone dentro del tubo: grá cos de la forma de onda (tiempo de amplitud) con antinodos.

Figura 31: Captura de pantalla de una película grabada por Soundbeam, moviendo el iPhone dentro del tubo: grá cos de la forma de onda (tiempo de amplitud) con nodos.

Para generar los sonidos, entre las muchas aplicaciones disponibles, se utilizaron "Kit de audio"(iOS) [5] o "Generador de señal"(Android) [6]. Para grabar los sonidos, se utilizaron osciloscopio (iOS) [7] o "Soundbeam"(iOS) [8]. La varilla debe introducirse, con el micrófono del teléfono inteligente mirando hacia el tubo ( guras 5 y 6) y luego deslizarse dentro del tubo. Al utilizar tubos transparentes, las ondas sinusoidales con variables de amplitud desde un mínimo, cercano a Versión 2020

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Cuadro 11: Datos de las mediciones: tipo de tubo, temperatura ambiente, armónico, frecuencia fundamental, distancia promedio entre dos nodos sucesivos, longitud de onda, velocidad del sonido obtenido, velocidad del sonido calculada según la temperatura.

cero, hasta un máximo, dependiendo de la posición del teléfono inteligente dentro del tubo ( gura 7), se pueden ver en la pantalla del teléfono inteligente, así como en la pantalla del osciloscopio.

El medidor exible puede medir la posición desde la entrada del tubo, de los nodos y los antinodos.

El experimento debe realizarse en silencio para evitar interferencias de ruido [9](Vea el experimento en el videoclip: [9]).

En el caso de un tubo no transparente, para visualizar la tendencia de las ondas, una aplicación como Sound Beam, que es capaz de grabar las señales de audio durante 15 s, creando así un video MOV con audio ( guras 8 y 9 ) [10] puede ser utilizado(Un ejemplo de grabación de Sound Beam de nodos y antinodos de resonancia acústica se puede ver aquí: [10].). Para medir la posición del micrófono del martphone dentro de un tubo no transparente, es necesario ver la pantalla del teléfono inteligente en tiempo real, lo que se puede hacer usando programas de espejo inalámbrico(Se utilizó el software Re ector: www.airsquirrels.com/re ector/. El software más útil es X-Mirage: http://x-mirage.com/. Esto también registra lo que está en la pantalla de la computadora, por lo que puede usar un tubo no transparente, como una bajante, que es más barato que el plexiglás).

Realizamos varias pruebas, utilizando múltiplos de frecuencia de la fundamental. Para encontrar las frecuencias de resonancia correctas, la varilla se introdujo en el tubo hasta que se observó una presión máxima relativa; entonces la frecuencia del generador aumentó y disminuyó hasta se encontró lo que produjo el máximo relativo.

4. Datos La Tabla 1 muestra las características de las tuberías que se utilizaron; L es la longitud medida, Ri el radio interior.

La Tabla 2 muestra algunos datos, provenientes del promedio de tres mediciones: el tipo de tubo, la temperatura ambiente T, el número n del armónico, la frecuencia fundamental f0 , el promedio de distancia ∆xavg entre dos nodos sucesivos, la longitud de onda λn = 2∆xavg correspondiente al n√ ésimo armónico, la velocidad del sonido ν = f ·λn obtenida, la velocidad del sonido νT = 20,055 T p calculada según la temperatura, con la fórmula ν = γRT /M .

5. Conclusiones Dado el uso generalizado de los teléfonos inteligentes, creemos que este experimento podría ser una manera fácil para que los estudiantes produzcan y analicen ondas estacionarias en una columna de aire y vean fácilmente los nodos y los antinodos. Además, las mediciones de la velocidad del sonido, como se ve en la tabla 2, proporcionan resultados aceptables.

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Experimentos, Cuestionarios y Problemas

Referencias

1.

Kuhn J and Vogt P 2013 Analyzing acoustic phenomena with a smartphone microphone Phys. Teach. 51 118 Parolin S O and Pezzi G 2013 Smartphoneaided measurements of the speed of sound in di erent gaseous mixtures Phys. Teach. 51 508 Kuhn J, Vogt P and Hirth M 2014 Analyzing the acoustic beat with mobile devices Phys. Teach. 52 248 Klein P, Hirth M, Gröber S, Kuhn J and Müller A 2014 Classical experiments revisited: smartphone and tablet PC as experimental tools in acoustics and optics Phys. Educ. 49 412 Klein P, Hirth M, Gröber S, Kuhn J and Müller A 2014 Classical experiments revisited: smartphone and tablet PC as experimental tools in acoustics and optics Phys. Educ. 49 412 Gomez-Tejedor J A, Castro-Palacio J C and Monsoriu J A 2014 The acoustic Doppler e ect applied to the study of linear motions Eur. J. Phys. 35 025006 Kasper L, Vogt P and Strohmeyer C 2015 Stationary wavesiin tubes and the speed of sound Phys. Teach. 53 52 Hirth M, Kuhn J and Müller A 2015 Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology Phys. Teach. 53 120

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Kundt 3. www.iecpl.com.au/site/home.php?tframe=1 www.pasco.com/prodCatalog/WA/WA-9612-resonance-tube/ 4. Ruiz M J 2014 Boomwhackers and end-pipe corrections Phys. Teach. 52 73 5. https://itunes.apple.com/it/app/audio-kit/id376965050?mt=8 6. https://play.google.com/store/apps/details?id=radonsoft.net.signalgen&hl=it 7. https://itunes.apple.com/it/app/oscilloscope/id388636804?mt=8 8. https://itunes.apple.com/it/app/soundbeam/id494982357?mt=8 9. http://youtu.be/M7oQ9N3t54 10. http://youtu.be/EFV6nGCWoqI

0.2.4. Experimento sorprendentemente simple Sacacorchos y velocidad del sonido: un experimento sorprendentemente simple Autores: Kasper, L., & Vogt, P.

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En este trabajo presentamos otra manera de obtener la rapidez del sonido mediante un experimento sorprendentemente simple. El proceso es descorchar una botella vino; que se caracteriza por la fricción entre el corcho y el lado interno del cuello de la botella. Si consideramos que el cuello de botella es un resonador, usando aplicaciones de computadora gratuitas para medir el espectro de frecuencia y las aplicaciones para Smartphone teléfonos obtenemos una rapidez que cuyo error relativo es 3,7 %.

1. Introducción La nalidad es determinar la rapidez del sonido siendo un Sacacorchos y ver que es un experimento sorprendentemente simple. El primer propósito de descorchar una botella de vino probablemente es tener buenas perspectivas de placer culinario. Pero si usted es físico o profesor de física, puede tener un interés secundario. ¾No podría ser imposible determinar la rapidez del sonido simplemente descorchando el botella y con un poco de ayuda de un teléfono inteligente?

2. Determinación de la rapidez del sonido: un experimento de cinco segundos con teléfonos inteligentes La mayoría de la gente conoce bien el ruido audible de plop al abrir una botella de vino. Entonces, ¾cómo se causa realmente este "plop de qué depende? Por último, ¾qué información podemos 2

obtener de este ruido?

El proceso de descorchar una botella se caracteriza por la fricción entre el corcho y el lado interno del cuello de la botella. Además, hay un ujo de aire debido a un cambio de presión de gas. Esos efectos generan un ruido de múltiples frecuencias. Desde el punto de vista acústico, el cuello de botella con el nivel del vino es una tubería cerrada por un lado (ver gura 32)

corcho

cuello de botella

L: longitud del cilindro resonador

nivel de líquido

Figura 32: El cuello de botella como un resonador de tubo cerrado de un lado Si consideramos que el cuello de botella es un resonador como en la gura 32, entonces deberíamos esperar frecuencias de resonancia. Aunque podemos usar aplicaciones de computadora

gratuitas como Audacity [?] para medir el espectro de frecuencia, las aplicaciones para Smartpho-

ne ofrecen ventajas en términos de movilidad[?, ?]. Las aplicaciones apropiadas, por ejemplo, son

Spektroskop (iOS)[?] y phyphox (Android e iOS).[?]

Como se esperaba, la medición de frecuencia al descorchar la botella muestra un pico claro en el Versión 2020

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diagrama FFT ( gura 35).

Figura 33: El cuello de botella como un resonador de tubo cerrado de un lado Hay nodos oscilantes en el extremo cerrado de las tuberías cerradas de un lado y antinodos en el extremo abierto (ver gura 32). Para la frecuencia fundamental fo, la longitud L del resonador corresponde a

λ 4

(λ: longitud de onda). Nosotros conseguimos

f0 =

1 υgas 4L

(33)

(L : longitud del resonandor, υgas : rapidez del sonido en el gas).

Como simpli cación, se supone que el gas residual en el cuello de botella equivale al aire. Aunque un examen más exacto también mostraría una cantidad de etano, una comparación experimental con botellas llenas de agua puede justi car esta simpli cación. Por lo tanto, a continuación usaremos

υaire en lugar de υgas Sin embargo, en otro aspecto tenemos que incluir una corrección. Para obtener resultados más precisos, la corrección de la tubería nal[?, ?] δL debe tenerse en cuenta, δL depende del radio R del cuello de botella:

δL = 0,61R.

(34)

Por lo tanto, la velocidad del sonido viene dada por

υaire = 4f0 (L + δL)

(35)

La medición en la gura 2 se realizó en una botella de vino con una longitud de resonador de

6 cm y un diámetro interno de 2 cm (R = 0,01 m). Al insertar todos los parámetros en la ecuación anterior, obtenemos la velocidad del sonido υaire = 332 m/s. Dado que este experimento se llevó a cabo a una temperatura ambiente de 23 C , deberíamos esperar un valor para la velocidad del sonido de υ = 344,8 m/s. Entonces, el error relativo promedio es inferior al 5 %, lo cual es bastante aceptable para estos cinco segundos experimento a mano alzada.

El experimento para usar en el aula de física ¾Abrir botellas de vino en un salón de clases? Quizás esto no sea apropiado.

Referencias

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1. Kasper, L., & Vogt, P. (2020). Corkscrewing and speed of sound: A surprisingly simple experiment. The Physics Teacher, 58(4), 278-279.

2. Audacity (freeware), http://www.audacityteam.org (Windows, MacOS, Linux).

3. M. Hirth, J. Kuhn, and A. Müller, Measurement of sound velocity made easy using harmonic resonant frequencies with everyday mobile technology, Phys. Teach. 53, 120−121 (Feb. 2015).

4. J. Kuhn and P. Vogt, Smartphone & Co. in Physics Education: E ects of Learning with New Media Experimental Tools in Acoustics, in Multidisciplinary Research on Teaching and Learning, edited by W. Schnotz, A. Kauertz, H. Ludwig, A. Müller, and J. Pretsch (Palgrave Macmillan, Basingstoke, U.K., 2015), pp. 253 − 269.

5. Spektroskop app (iOS only): https://apps.apple.com/de/app/spektroskop/id517486614.

6. phyphox app (iOS and Android): https://phyphox.org/de/download-de/ 7. H. Levine and J. Schwinger, On the radiation of sound from an un anged circular pipe, Phys. Rev. 73, 383 (1948).

8. L. Kasper, P. Vogt, and C. Strohmeier, Stationary waves in tubes and the speed of sound, Phys. Teach. 53, 523 − 524 (Dec. 2015).

9. Online calculator for the temperature dependency of sound velocity in air:

https : //www.engineeringtoolbox.com/speed − sound − d5 19.html

0.2.5. Experimento: Caracterización de fuentes de luz Experimento: Caracterización de fuentes de luz lineales con el sensor de luz del teléfono inteligente.

Título original:Characterization of linear light sources with the smartphone's light senso

Autores: I. Salinas, M.H. Giménez, J.A. Monsoriu1 and J.C. Castro Palacio El sensor de luz ambiental del teléfono inteligente se ha utilizado en la literatura para estudiar diferentes fenómenos físicos. Por ejemplo, la ley de Malus, que involucra la luz polarizada, ha sido veri cada utilizando simultáneamente los sensores de orientación y luz de un teléfono inteligente.

La iluminancia de las fuentes de luz puntuales se ha caracterizado también mediante el uso del sensor de luz de teléfonos inteligentes y tabletas, lo que demuestra de esta manera la conocida ley de distancia del cuadrado inverso. Además, este tipo de mediciones de iluminancia con el sensor de luz ambiental han permitido determinar la e ciencia luminosa de diferentes fuentes ópticas cuasipunto (lámparas incandescentes y halógenas) en función de la energía eléctrica suministrada. Con respecto a los sistemas mecánicos, la ley de distancia del cuadrado inverso también se ha utilizado para investigar la velocidad y la aceleración de una fuente de luz en movimiento en un plano inclinado o para estudiar oscilaciones acopladas y amortiguadas. En el presente trabajo, vamos más allá al presentar un experimento de laboratorio simple utilizando el sensor de luz ambiental del teléfono inteligente para caracterizar una fuente de luz no puntual, un tubo uorescente lineal en nuestro caso.

Palabras clave: Iluminancia, fuentes, sensor de luz ambiental.

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1. Introducción El sensor de luz ambiental del teléfono inteligente se ha utilizado en la literatura de Física para estudiar diferentes fenómenos físicos (Monteiro, 2017; Vieira, 2014; Klein, 2014; Sans, 2017; Kapucu, 2017). Por ejemplo, la ley de Malus, que involucra la luz polarizada, se ha veri cado mediante el uso simultáneo de los sensores de orientación y luz de un teléfono inteligente (Monteiro, 2017a).

La iluminancia de las fuentes de luz puntual se ha caracterizado también mediante el uso del sensor de luz de teléfonos inteligentes y tabletas, lo que demuestra de esta manera la conocida ley de la distancia al cuadrado inverso (Vieira, 2014; Klein, 2017). Además, este tipo de mediciones de iluminancia con el sensor de luz ambiental han permitido determinar la e ciencia luminosa de diferentes fuentes ópticas cuasipunto (lámparas incandescentes y halógenas) en función de la energía eléctrica suministrada (Sans, 2017). Con respecto a los sistemas mecánicos, la ley de la distancia del cuadrado inverso también se ha utilizado para investigar la velocidad y la aceleración de una fuente de luz en movimiento en un plano inclinado (Kapucu, 2017) o para estudiar oscilaciones acopladas y amortiguadas (Sans, 2013). En el presente trabajo, vamos más allá al presentar un experimento de laboratorio simple usando el sensor de luz ambiental del teléfono inteligente para caracterizar una fuente de luz no puntual, un tubo uorescente lineal en nuestro caso.

2. Teoría Básica El sensor de luz ambiental del teléfono inteligente puede medir la iluminancia (E ) proporcionada por una fuente óptica, que se de ne como el ujo luminoso (ϕ) por unidad de área (A):

E=

ϕ A

(36)

Podemos considerar la fuente óptica como una fuente puntual cuando su tamaño es insigni cante en comparación con la distancia entre el detector y la fuente. En este caso, los frentes de onda emitidos pueden considerarse como super cies esféricas de radio r centradas en la fuente puntual.

Por lo tanto, en términos matemáticos, la iluminancia se puede expresar como:

E=

ϕ 4 π r2

(37)

Por lo tanto, para fuentes ópticas puntuales, la iluminancia se rige por la ley de la distancia al cuadrado inverso. Sin embargo, si la iluminancia resultante de una fuente de luz de tamaño no despreciable se calculara a una distancia dada, se tendría que realizar una integral sobre la geometría real de la fuente. Una forma de evitar el uso de conceptos que son más complejos en la escuela secundaria y en los primeros años de estudios universitarios es considerar una fuente lineal como un ejemplo de una fuente no puntual.

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Figura 34: Frentes de onda cilíndricos producidos por una fuente de luz lineal En este caso, el ujo luminoso se distribuye sobre frentes de onda cilíndricos (Figura 1), por lo que la iluminancia se caracteriza por la siguiente ecuación:

E=

ϕ 2πrL

(38)

donde r es la distancia desde el detector hasta el centro de la fuente lineal de longitud L. Por lo tanto, la iluminancia solo es proporcional a la inversa de la distancia fuente-detector y no a la inversa de la distancia al cuadrado. Se puede notar que las ecuaciones. (2) y (3) son completamente análogos a la ecuación del campo eléctrico generado por una carga puntual (E ∼ línea de carga in nita (E ∼

1 r ),

1 r2 )

o por una

respectivamente. El objetivo de este trabajo es veri car experi-

mentalmente la dependencia de la iluminancia, 1r , para fuentes lineales utilizando el sensor de luz ambiental de un teléfono inteligente.

3. Experimentos y resultados La mayoría de los teléfonos inteligentes en la actualidad tienen un sensor de luz, que permite medir la iluminación de cualquier fuente de luz colocada cerca. Aquí, también utilizaremos el sensor de luz, pero esta vez para medir la iluminancia resultante de una fuente de luz de tamaño no despreciable. Para simpli car, hemos elegido el caso de una fuente lineal que se representa en nuestros experimentos como un tubo uorescente convencional de longitud L = 120 cm. El tubo uorescente (OSRAM T8, 36 W, 3350 lm) y el teléfono inteligente (Samsung Galaxy S7), mientras se mide la iluminancia con el sensor de luz, se incluyen en la foto de la Figura 2.

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Figura 35: Foto de la con guración experimental Para recopilar los datos del sensor, se ha utilizado la aplicación gratuita Physics Toolbox Suite (Vieyra Software, https://play.google.com/store/apps.) para Android. Usando esta con guración experimental simple (Figura 2), las mediciones de la iluminancia se llevaron a cabo a cada distancia r y durante 30 s. La luz de fondo se controló de tal manera que se mantuvo cerca de cero. Para realizar una nueva medición, el sensor se cubrió con un paño negro opaco hasta que se colocó en la nueva posición, y así sucesivamente para las otras mediciones. La iluminancia se promedió en cada punto durante 30 s. Los resultados que muestran la dependencia de la iluminancia E ∼

1 r

se

incluyen en la Figura 3.

Figura 36: Puntos de datos recogidos con el sensor de luz. Se puede observar la inversa de la dependencia de la distancia de la iluminancia.

El ujo luminoso en la ecuación(3) se ha obtenido mediante un ajuste lineal utilizando los datos

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de E, medidos directamente con el sensor de luz frente a la distancia inversa

E=a

1 r

como

1 r

(39)

donde a es una constante por determinar. La salida del ajuste se muestra en la Figura 4.

Figura 37: Puntos de datos medidos (círculos rojos abiertos) de la iluminancia y ajuste lineal (línea continua negra) vs. la distancia inversa.

Se obtuvo un coe ciente de correlación lineal de 0,9991 que muestra claramente la dependencia lineal entre las variables representadas. El valor resultante de la pendiente, a a = 431,3lx m, se usó para calcular el ujo luminoso φ = a2πL = 3252lx m2 . Este valor se comparó con el informado por el fabricante, 3350lm. Se obtuvo una desviación porcentual del 3 %, lo que indica la efectividad para la enseñanza de la metodología presentada aquí.

Esta con guración y experimento simples muestran que el sensor de luz ambiental del teléfono inteligente es lo su cientemente justo como para veri car la ley de distancia inversa para fuentes lineales (E ∼ 1r ). Este tipo de experimento de física de teléfonos inteligentes se está implementando con éxito en los primeros cursos de ingeniería en la Escuela de Ingeniería de Diseño, Universitat Politécnica de Valencia, España.

Referencias

1. Salinas, I., Giménez, M. H., Monsoriu, J. A., & Castro-Palacio, J. C., Characterization of linear light sources with the smartphones ambient light sensor, The Physics Teacher, 56(8), 562-563 (2018).

2. S. Kapucu, Finding the acceleration and speed of a lightemitting object on an inclined plane with a smartphone light sensor, Physics Education 52, 055003 (Jul. 2017).

3. P. Klein, M. Hirth, S. Grober, J. Kuhn y A. Muller, Classical experiments revisited: Smartphones and tablet PCs as experimental tools in acoustics and optics, Physics Education 49, 412 417 (Jul. 2014).

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4. M. Monteiro, C. Stari, C. Cabeza y A.C. Marti, The Polarization of Light and Malus's Law Using Smartphones, The Physics Teacher 55, 264-266 (Mayo 2017).

5. J.A. Sans, F.J. Manjón, A.L.J. Pereira, J.A. Gomez-Tejedor y J.A. Monsoriu, Oscillations studied with the smartphone ambient light sensor, European Journal of Physics Education 34, 1349-1354 (Sep. 2013).

6. J.A. Sans, J. Gea-Pinal, M.H. Gimenez, A.R. Esteve, J. Solbes y J.A. Monsoriu, Determining the e ciency of optical sources using a smartphone's ambient light sensor, European Journal of Physics 38, 025301 (Mar. 2017).

7. L.P. Vieira, V.O.M. Lara y D.F. Amaral, Demonstration of the inverse square law with the aid of a tablet/smartphone, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1-3 (Jul. 2014).

0.2.6. Experimento sobre teorema de ejes paralelos Revisión de experiencia de Teorema ejes paralelos con Smartphone Título original: Demonstration of the parallel-axis theorem through the Smartphone Autores: I. Salinas1, M.H. Giménez1, J.A. Monsoriu1 and J.A. Sans1 1

Departamento de Física de Física Aplicada, Universitat Politècnica de València,València, Spain

Resumen Las nuevas estrategias de aprendizaje intentan extender el uso de dispositivos comunes entre los estudiantes en prácticas de laboratorio de física. En particular, existe una tendencia reciente a explorar las posibilidades de usar sensores de teléfonos inteligentes para describir fenómenos físicos (Monteiro, 2017b); Giménez, 2017b). Por otro lado, el estudio del momento de inercia mediante el uso del péndulo de torsión es un ejemplo típico en los primeros cursos de fundamentos de la física (Green, 1958). Este ejemplo permite la exploración del movimiento armónico simple, la segunda ley de Newton, la teoría del momento de inercia y el teorema del eje paralelo (o Huygens-Steiner), todo en uno. Aquí, informamos el uso del sensor acelerómetro de un teléfono inteligente para visualizar y demostrar el teorema del eje paralelo en un péndulo de torsión.

Palabras clave: Acelerómetro , telefono inteligente, teorema de Steiner.

1. Introducción Las nuevas estrategias de aprendizaje intentan extender el uso de dispositivos comunes entre los estudiantes en prácticas de laboratorio de física. En particular, existe una tendencia reciente a explorar las posibilidades de usar sensores de teléfonos inteligentes para describir fenómenos físicos (Monteiro, 2017b); Giménez, 2017b). Por otro lado, el estudio del momento de inercia mediante el uso del péndulo de torsión es un ejemplo típico en los primeros cursos de fundamentos de la física (Green, 1958).

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2. Montaje y Fundamentos El estudio del movimiento del péndulo de torsión servirá para visualizar el movimiento armónico forzado, amortiguado o simple y explorar las implicaciones del momento de inercia y el teorema del eje paralelo (Boyd, 1985; Christie, 2014).

En el experimento descrito en la Figura 1, una varilla gira alrededor de su eje de rotación sujeta a la fuerza de un resorte (rigidez k ). Para medir la aceleración causada en el extremo de la barra, aprovechamos el sensor acelerómetro del teléfono inteligente, mientras que una masa conocida (m) se coloca a varias distancias del centro de la barra. Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Newton sabemos que el momento de fuerza o par está relacionado con la aceleración angular (α) y el momento de inercia (I ). Por lo tanto, el movimiento está dominado por la rigidez del resorte y el ángulo θ cambió con la siguiente relación:

ΣM = Iα = −kθ

(40)

Entonces, la ecuación que debe resolverse es:

θ̈ +

k θ=0 I

(41)

donde la velocidad angular es:

r Ω=

k 2π = I T

(42)

El momento de inercia del sistema se puede describir como la suma del momento de inercia de sus

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Figura 38: Grá co del componente normal y tangencial de la aceleración en función del tiempo con la masa m en d = 0, 2 m componentes, de la siguiente manera:

I = Ivarilla + ISmartphone + Imasa

(43)

Ahora, aplicando el teorema del eje paralelo (o Huygens-Steiner) a m que dice que el momento de inercia alrededor de cualquier eje (Imasa ) separado una distancia d al centro de masa, se puede obtener desde el momento de inercia de un eje paralelo que pasa por el centro de masa del objeto (Imasa0 ).

Imasa = Imasa0 + md2

(44)

Entonces, el momento de inercia del sistema puede expresarse en función de la distancia, como:

Imasa

=

Ivarilla + ISmartphone + Imasa + md2

=

I0 + md2

(45)

El período al cuadrado de la oscilación se puede expresar como:

T2 =

4π 2 I0 4π 2 m 2 4π 2 I = + d k k k

(46)

En resumen, existe una relación directa entre el período de la oscilación registrada en el extremo de la barra y la distancia de la masa a su centro de gravedad.

3. Análisis y Discusión Mediante un ligero desplazamiento de la barra y el resorte, el sistema comienza a oscilar. Las oscilaciones del sistema son recolectadas aprovechando los sensores del Smartphone de sistema Android mediante el aplicativo Physics Toolbox Suite sensor acelerómetro. La representación de las oscilaciones se muestra en la Figura 2, que nos permite calcular el período (T ) de cada oscilación para el componente normal y tangencial de la aceleración. Los valores del período de tiempo del componente tangencial de la aceleración en cada posición de la masa (m) de 0.236 kg se representan en la Tabla I.

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d (m) 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

Tpromedio 4.87 5.18 5.65 6.24 6.24 6.92

Cuadro 12: Periodo de tiempo promedio de la aceleración tangencial para cada posición (d) de la masa (m).

Figura 39: Ajuste lineal del período al cuadrado en función del cuadrado del distancia de la masa al centro de gravedad.

El cuadrado de los valores mostrados en la Tabla I se muestra en la Figura 3, donde se puede observar una tendencia lineal, de acuerdo con la Ecuación (7). La alta calidad del ajuste (r2 =

0,9999) ofreció una gran abilidad de los parámetros obtenidos.

Por lo tanto, desde el ajuste hasta una dependencia lineal a través de cuadrados mínimos y comparando con la ecuación (7), podemos obtener que la pendiente apendiente está relacionada con el rigidez del resorte como

apendiente =

4π 2 m k

(47)

Aplicando la ecuación (1), también se puede encontrar el valor de la rigidez del resorte mediante la aplicación de una fuerza a una distancia determinada. En nuestro caso, hemos aplicado 0,25 N a una distancia de 0,3 m y hemos observado que la barra giraba con π radianes, luego

k=

|MT | = 0,0239 N m θ

(48)

La rigidez calculada a partir de la ecuación (7) es

kmedido =

4π 2 m = 0,0231 N m a

(49)

La discrepancia obtenida en el cálculo de la rigidez del resorte por ambos métodos es menos del

4 %.

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

67

Física introductoria:

F

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

4. Conclusiones En resumen, presentamos una nueva forma de calcular la rigidez de un resorte aplicando el conocimiento previamente adquirido sobre el momento de inercia y el teorema del eje paralelo gracias al uso del sensor acelerómetro de un teléfono inteligente. Este nuevo método ha demostrado ser una herramienta invaluable para hacer que los experimentos sean más relevantes para los estudiantes y descubrir las posibilidades potenciales de este dispositivo común como sensor en multitud de experimentos básicos de Física.

5. Referencias

1. (Castro & Otros, 2013b) Castro Palacio J.C., Velazquez Abad L., Gímenez F. y Monsoriu J.A. (Mayo, 2013). Using

a mobile phone acceleration sensor in physics experiments on free and damped harmonic oscillations . American Journal of Physics 81, 472-475.

2. (Chevrier & Otros) Chevrier J., Madani L., Ledenmat S., y Bsiesy A.(Setiembre, 2013).

Teaching classical mechanics using smartphones. The Physics Teacher 51, 376-377.

Smartphones as experimental tools: di erent methods to determine the gravitational acceleration in classroom physics by using everyday devices. European Journal of Physics Education 4, 16-27.

3. (Kuhn & Vogt, 2013a) J. Kuhn y P. Vogt (Enero, 2013).

4. (Tuset & Otros, 2015) L. Tuset-Sanchis, J.C. Castro-Palacio, J.A. Gómez-Tejedor, F.J. Manjón y J.A. Monsoriu (Setiembre, 215) The

study of two-dimensional oscillations using a smartphone acceleration sensor: example of Lissajous curves . Physics Education

50, 580-586.

5. (Vogt & Kuhn, 2012a) P. Vogt y J. Kuhn(Marzo, 2012).

Analyzing free fall with a

smartphone acceleration sensor . The Physics Teacher 50, 182-183.

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

68

Física introductoria:

F

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

0.3. Cuestionarios del año académico 2019 Examen Diciembre-2019

Estimados estudiantes: escriba correctamente sus Apellidos:.......................................Nombre(s):...................

Apellidos:.......................................Nombre(s):....................

Marcar con X: PRIMERA PARTE

SEGUNDA PARTE

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido pelear, insultarse con los demás grupos. El uso correcto del Smartphone, Tablet, Laptop y/o Calculadoras es responsabilidad del dueño. La justi cación precisa de las preguntas se realiza a pulso con lápiz y/o lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

1)

(2 ptos.) Una varilla delgada y uniforme de masa M y longitud L se mantiene vertical sobre un piso por fricción. La varilla se suelta del reposo para que se caiga girando alrededor de su punto de contacto con el suelo sin resbalar. ¾Cuál de las siguien-

Versión 2020

tes a rmaciones es correcta cuando la varilla forma un ángulo de 60° con la vertical?

(A) La velocidad angular de la varilla q 3g será 2L (B) La aceleración angular de la va-

Por: Huamaní Castro, Newton

69

Física introductoria:

rilla será

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

Un instrumento musical se fabrica utilizando cuatro cuerdas de metal diferentes, 1, 2, 3 y 4 con masa por unidad de longitud µ, 2µ, 3µ y 4µ respectivamente. El instrumento se toca haciendo vibrar las cuerdas variando la longitud libre entre el rango L0 y 2L0 . Se encuentra que en la cuerda-1 (µ) con longitud libre L0 y tensión T0 , la frecuencia del modo fundamental es f0 .

2g L

(C) La aceleración radial del centro de masa de la barra será 3g 4 (D) la fuerza de reacción normal del suelo sobre la varilla será M16g

2)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas sísmicas

)

i

ii

)

Las ondas-P son ondas longitudinales, detectadas en el primer instante por el sismografo.

List-I nos presenta las cuatro cuerdas anteriores, mientras que list-II enumera la magnitud de alguna cantidad.

Las ondas-S son ondas tranversales, detectadas en un segundo instante por el sismografo.

¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

B) II

C) I y II D) ninguna

Instrucciones: (♠) El siguiente problema tiene

List − I (I) String − 1(µ) (II) String − 2(2µ) (III) String − 3(3µ) (IV ) String − 4(4µ)

dos listas: List-I y List-II; (♠) La Lista-I tiene cuatro entradas (I), (II), (III) y (IV) y la Lista-II tiene seis entradas (P), (Q), (R), (S), (T) y (U); (♠) Luego se

3)

tiene dos preguntas con cuatro opciones de opción múltiple basadas en la Lista-I y la Lista-II y sólo uno de las

Pregunta de opción múltiple; (♠) La respuesta de cada pregunta será evaluada de acuerdo con el siguiente esquema de puntuación: +3, si sólo se elige la opción correspondiente a la combinación correcta; 0, si no se elige ninguna de las opciones (es decir, la pregunta no tiene respuesta); -1, en todos los demás casos

Responda las preguntas 3 y 4 emparejando adecuadamente las listas según la información proporcionada en el párrafo, y además justi que sus respuestas Versión 2020

(4 ptos.) Si la tensión en cada cuerda es To, la coincidencia correcta para la frecuencia fundamental más alta en unidades fo será, (A) (B) (C) (D)

cuatro opciones satisface la condición planteada en la

4)

List − II (P ) 1 (Q) 1/2 √ (R) 1/ 2 √ (S) 1/ 3 (T ) 3/16 (U ) 1/16

I → P, II → Q, III → T, IV → S I → P, II → Q, III → T, IV → S I → P, II → Q, III → T, IV → S I → P, II → Q, III → T, IV → S

(4 ptos.) La longitud de las cuerdas 1, 2, 3 y 4 se mantiene ja en L0 , 3L2 0 , 5L4 0 and 7L4 0 , respectivamente. Las cuerdas 1, 2, 3 y 4 vibran en su 1re, 3re, 5to, and 14va armónico, respectivamente, de modo que todas las cuerdas tienen la misma frecuencia. La coincidencia correcta para la tensión en las cuatro cuerdas en las unidades de T0 será, (A) (B) (C) (D)

I → P, II → R, III → T, IV → U I → P, II → Q, III → R, IV → T I → P, II → Q, III → T, IV → U I → T, II → Q, III → R, IV → U

Por: Huamaní Castro, Newton

70

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

Cuestionario 2019-I-GB

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:...................................Nombre(s):...................

Marcar con X: PRIMERA PARTE

SEGUNDA PARTE

APLAZADOS

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lápiz y/o lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

-

1)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

El módulo de Young del acero es mayor que el módulo de Young del aluminio

)

El módulo de Poisson del Hierro es menor que 12

i

ii

4)

2)

B) II

ii

(2 ptos.) ¾ Qué fuerza se requiere para estirar 0,6 mm un alambre de acero (con Y = 20 × 1010 mN2 ) de 2 m de largo y 2 mm2 de sección?

(2 ptos.) Cierto alambre, de 3 m de largo, se estira 1.2 mm cuando está bajo 200 N de tensión. ¾Un alambre igualmente grueso de 6 m de largo, hecho del mismo material y bajo la misma tensión, se estira? s La respuesta es ...........................

Versión 2020

Un sistema masa-resorte en 2 MAS tiene como ecuación ddt2x + 400x = 0 entonces la frecuencia angular natural o de resonancia es 40 rad s

)

La resonancia se mani esta en oscilaciones forzadas, con fuerzas impulsoras periódicas.

C) I y II D) ninguna

¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

5)

A) 90 N B) 100 N C) 110 N D) 120 N

3)

)

i

¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

B) II

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Un bloque-resorte oscila, de masa 100 gramos, con ecuación de posición x = sen(4t + π6 ) en metros. ¾ Cuál es la energía mecánica de oscilación?

A) 0,4 J B) 0,6 J C) 0,8 J D) 0 J

6)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas

Por: Huamaní Castro, Newton

71

Física introductoria:

)

las ondas mecánicas no necesitan un medio para transportarse por ejm el sonido

)

Si una onda unidimensional viajera transversal tiene una ecuación y = 2sen(2πx − 2πt) entonces su longitud de onda es λ = 1

i

ii

¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

7)

B) II

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

ii

)

Las ondas-S son ondas tranversales, detectadas en un segundo instante por el sismografo.

¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

8)

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas sísmicas i

)

B) II

C) I y II D) ninguna

(4 ptos.) Demostrar que la energía mecánica de oscilación de un MAS sistema masa-resorte con rigidez k con ecuación de posicicón x = Acos(ω0 t) es constante e igual a 12 kA2 donde A es amplitud y ω0 es frecuencia angular natural o de resonancia.

Las ondas-P son ondas longitu9) (4 ptos.) Ver pizarra dinales, detectadas en el primer instante por el sismografo.

10) (4 ptos.) Ver pizarra Cuestionario 2019-I-GC

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:.................................Nombre(s):.........Grupo:.....

Marcar con X: Primera Parte

Segunda Parte

Tercera Parte

APLAZADOS

Instrucciones:

Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso

de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lápiz y/o lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

-

1)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

i

ii

)

El módulo de Young del aluminio es menor que el módulo de Young del cobre El módulo de Poisson del agua

Versión 2020

dulce es mayor que 0,28 ¾Cuál(es) son falsas(s)?

A) I

2)

B) II

C) I y II D) ninguna

(3 ptos.) ¾ Qué fuerza se requiere para estirar 0,5 mm un alambre de acero

Por: Huamaní Castro, Newton

72

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

(con Y = 20 × 1010 mN2 ) de 2 m de largo y 2 mm2 de sección?

5)

A) 120 kgB) 100 N C) 100 kgD) 120 N

3)

(3 ptos.) Cierto alambre, de 3 m de largo, se estira 1.2 mm cuando está bajo 200 N de tensión. ¾Un alambre igualmente grueso de 9 m de largo, hecho del mismo material y bajo la misma tensión, se estira? s La respuesta es ...........................

(3 ptos.) Un sistema bloque-resorte oscila, de masa 100 gramos, con ecuación de posición x = sen(2t + π6 ) en metros. ¾ Cuál es la energía mecánica de oscilación?

A) 0,2 N B) 0,2 m C) 0,2 J D) 0,2 N m

6)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas

)

las ondas mecánicas necesitan un medio elástico para transportarse a diferencia de los ondas electromagnéticas por ejm el sonido es una onda mecánica

)

Si una onda unidimensional viajera transversal tiene una ecuación de la forma y = 2sen(2πx− 2πt) entonces su longitud de onda es λ = 1

i

* Justi car en el reverso

4)

(3 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

i

ii

)

Un sistema masa-resorte en 2 MAS tiene como ecuación ddt2x + 4π 2 x = 0 (en SI) entonces se deduce que el tiempo que demorá en dar una vuelta completa es un segundo.

La resonancia se mani esta en oscilaciones forzadas con aumento de amplitud, debido a que la frecuencia de la fuerza impulsora senoidal se iguala con la frecuencia natural del sistema.

ii

¾Cuál(es) son falsa(s)?

A) I

7)

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

B) II

C) I y II D) ninguna

B) II

C) I y II D) ninguna

(4 ptos.) Demostrar, en el reverso, que la energía mecánica de oscilación de un MAS sistema masa-resorte con rigidez k con ecuación de posicicón x = cos(ω0 t) es constante e igual a 1 k donde ω0 es frecuencia angular na2 tural o de resonancia.

Cuestionario 2019-I-GA

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:...............................Nombre(s):........Grupo:.......

Marcar con X: DESTREZA N

1

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

°

DESTREZA N°2

DESTREZA N°3

APLAZADOS

73

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La marcación, o bien la completación de espacios en blanco o bien justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

1)

(2 ptos.) Vea detenidamente la gura

4)

(2 ptos.) ¾ Cuál es la rapidez en 2 en el prob.1 si la diferencia de presiones entre 1 y 2 es 36 KP a y la área de la sección 1 es el triple de 2 y asuma kg ρH2 0 = 1000 m 3 ?

C) 4 ms A) 9 P a B) 9 cm s

5)

(2 ptos.) Un gran tanque de almacenamiento, abierto en la parte superior y lleno con agua, en su costado en un punto a 20 m abajo del nivel de agua se elabora un ori cio pequeño. La relación de ujo a causa de la fuga es . Complete para que las de 12 litros min proposiciones sean verdaderas: i) la rapidez, en ms , a la que el agua sale del ori cio es .................. y ii) el área del ori cio, en cm2 , es .....................

6)

(2 ptos.) Una cinta metalica de 1 m de longitud esta calibrada a 20 C , pero es utilizada a 80 C en la medicion del largo de un terreno; si la cinta indico 300 m, .cual es la longitud real del terreno? (αcinta = 4 × 10−5 C −1 ) Marque una: a) menor a 300 m; b) igual a 300,40 m; c) mayor a 300,60 m

7)

(2 ptos.) Una burbuja de aire se desprende desde el fondo de un lago logrando duplicar su volumen cuando llega a la super cie. Calcule la profundidad del lago.

Luego complete las proposiciones, con mayor o menor , para que sean verdaderas

)

La presión en la sección 2 es .............. que la presión en la sección 1

)

La rapidez en 2 es ............... que la rapidez en 1

i

ii

2)

(2 ptos.) En la gura de la Preg.1:¾Cuánto es la diferencia de rapideces entre sección 1 y 2?, si sabemos A1 = 12 cm2 ; A2 = 3 cm2 y Q2 = 6 litros . s

La respuesta es : ................................

3)

(3 ptos.) Demuestre, en el reverso, que en la pregunta 1 se cumple s 3 P1 − P2 v2 = 2 ρ siempre que A1 = 3A2

Versión 2020

D) 9 ms

Por: Huamaní Castro, Newton

74

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

La repuesta, en m, es ................................ ¾Cuál(es) son verdaderas?

8)

Analice la veracidad(V) o la falsedad(F) de las proposiciones I) El punto de ebullición del Au es menor que Cu

A) I

9)

II) La temperatura de equilibrio cuando se mezcla 2 Kg de hielo a −10 C con 5 Kg de agua a 50 C es 32 F

B) II

C) I y II D) ninguna

(4 ptos.) Demuestre, en el reverso, que la fuerza resultante que actúa en el dique de embalse en el que el agua alcanza una profundidad H , en la pared vertical, y que tiene una longitud L es

1 FR = ρgLH 2 2

Cuestionario 2019-I-GA

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:................................Nombre(s):.........Grupo:......

Marcar con X: DESTREZA N

°

1

DESTREZA N°2

DESTREZA N°3

N° ORDEN :........

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La marcación, o bien la completación de espacios en blanco o bien justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

1)

(4 ptos.) Dos resistencias conectadas 3) (2 ptos.) Vea detenidamente la gura en paralelo a 110 V consumen la misma potencia que conectadas en serie a 220 V. Hallar la relación entre las resistencias. s La respuesta es:.................................. * Justi que su respuesta en el reverso.

Luego analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

2)

(2 ptos.) El campo eléctrico en el interior de un conductor electrostático es ..........

Versión 2020

)

La intensidad de corriente en la resistencia de 10 ohmios es 1,2 A

)

La fuente tiene un voltaje que proporciona al circuito una in-

i

ii

Por: Huamaní Castro, Newton

75

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

tensidad de corriente menor a 4,2 A

6)

¾Cuál(es) es(son) verdadera(s)?

A) I

4)

B) II

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Vea atentamente la gura, y justi que en el reverso.

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o la falsedad(F) de las proposiciones I) El voltímetro ideal se instala en paralelo y por ella no cruza corriente eléctrica II) El aperímetro ideal se instala en serie y por ella no cruza corriente eléctrica ¾Cuál(es) es(son) falsa(s)?

Luego complete las proposiciones para que sean verdaderas

)

El voltage en la resistencia de 3 Ω y ......... Ω son iguales

)

La intensidad de corriente en la resistencia de tres ohmios es .......... A

i

ii

5)

(2 ptos.) Dos lámparas cuyas especi caciones técnicas son 100 W-220 V y 80 W-220 V respectivamente, están conectadas en serie a una línea de 220 V. ¾Qué potencia se disipa en las dos lámparas, en estas condiciones?

A) I

7)

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) El fusible de la alimentación de corriente para una vivienda soporta hasta 10 A. ¾Cuántos focos de 100 W como máximo se podrá encender? (Vred = 220 V ).

A) 2

8)

B) II

B) 22

C) 222

D) 10

(4 ptos.) Ver pizarra * Justi que su respuesta en el reverso.

La respuesta es : ................................

Cuestonario 2019-II-GB

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:...............................Nombre(s):........Grupo:....

Marcar con X: DESTREZA N

°

1

DESTREZA N°2

DESTREZA N°3

APLAZADOS

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La marcación, o bien la completación de espacios en blanco o bien justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

76

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

-

1)

(2 ptos.) La g. muestra el efecto Venturi

A) 9 P a B) 9 ms

(2 ptos.) Un gran tanque de almacenamiento, abierto en la parte superior y lleno con agua, en su costado en un punto a 20 m abajo del nivel de agua se elabora un ori cio pequeño. La relación de ujo a causa de la fuga es de 12 litros . Complete para que las min proposiciones sean verdaderas: i) la rapidez, en ms , a la que el agua sale del ori cio es .................. y ii) el área del ori cio, en cm2 , es .....................

6)

(2 ptos.) Una cinta metalica de 1 m de longitud esta calibrada a 10 C , pero es utilizada a 80 C en la medicion del largo de un terreno; si la cinta indico 400 m, .cual es la longitud real del terreno? (αcinta = 4 × 10−5 C −1 ) Marque una: a) menor a 401,12 m; b) igual a 401,12 m; c) mayor a 401,12 m

Luego complete las proposiciones, con mayor o menor , para que sean verdaderas

)

La presión en la sección B es .............. que la presión en la sección A

ii

)

La rapidez en A es ............... que la rapidez en B

2)

3)

4)

(2 ptos.) En la gura de la Preg.1:Determine las rapideces en las secciones A y B , si 8 cm2 ; 4 cm2 y Q2 = 480 litros . min

D) 9 cm s

5)

Hg

i

C) 4 ms

7)

(2 ptos.) Una burbuja de aire se desprende desde el fondo de un lago loLa respuestas son : ................................ grando triplicar su volumen cuando llega a la super cie. Calcule la pro(3 ptos.) Supongamos que el área de la fundidad del lago suponiendo que la sección mayor es el triple de la menor temperatura en la super cie es doble en la pregunta 1. Calcule, justi cando que del fondo en el reverso, que la rapidez está dada La repuesta, en m, es ................................ en B, es: s 8) (2 ptos.) Analice la veracidad(V) o la 1 (ρHg − ρagua )gh falsedad(F) de las proposiciones vA = 2 ρagua I) El resultado principal de la hi(2 ptos.) ¾ Cuál sería la rapidez en drostática es dP = ρg . Esto es, dy B en el pregunta 1 si la diferencia de en términos simples nos dice: "que la presión en el agua aupresiones entre A y B es 36 KP a y la área de la sección A es el triple de B ? menta con la profundidad"

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

77

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

II) El principio de Pascal nos dice: el valor del empuje es igual al peso del líquido desplazado

9)

¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

B) II

(2 ptos.) ¾ Quién se expande más linealmente un metro de Al o Cu cuando aumenta en 10 °C? Poner respuesta aquí:.................

C) I y II D) ninguna Cuestonario 2019-II-GA

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:..............................Nombre(s):........Grupo:...

Marcar con X: HABILIDADES N 1 °

HABILIDADES N°2

HABILIDADES N°3

APLAZADOS

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. El marcado, completación y/o justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

-

1)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

Un metro alambre de Au es más elástico que un metro de alambre de Cu

)

El módulo de Poisson de Fe más de H2 O es igual a 3

i

ii

bajo 200 N de tensión. Un alambre con el triple de diametro, de 4 m de largo, hecho del mismo material y bajo misma tensión, ¾ cuánto se estirá? s La respuesta es ........................... * Justi car en el reverso.

4)

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

2)

B) II

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) ¾ Qué fuerza se requiere para estirar 4,5 mm un alambre de acero (con Y = 20 × 1010 mN2 ) de 2 m de largo y 2 mm2 de sección?

A) 900 N B) 100 N C) 900 P a D) 120 N

3)

(2 ptos.) Cierto alambre, de 3 m de largo, se estira 1.2 mm cuando está

Versión 2020

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

Un sistema masa-resorte con 1 Kg en MAS tiene como ecua2 ción ddt2x + 4π 2 x = 0 en SI entonces el bloque en dar una vuelta completa se demora 1 s

)

El Au se clasi ca como sólido cristalino

i

ii

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

Por: Huamaní Castro, Newton

B) II

C) I y II D) ninguna 78

Física introductoria:

5)

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

(2 ptos.) Un bloque-resorte oscila, de masa 100 gramos, con ecuación de posición x = sen(2t + π6 ) en metros. ¾ Cuál es la energía mecánica de oscilación?

A) I

7)

A) 0,2 N B) 0,8 N C) 0,2 J D) 0,8 J

6)

)

ii

)

La rapidez de una onda unidimensional viajera transversal que tiene como ecuación y = 2sen(πx − 2πt) es 1 m/s

ii

Su aceleración máxima en módulo es 4π 2 .

)

Su recorrido entre t = 0 y t = 7 segundos 26 metros

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

8)

B) II

C) I y II D) ninguna

(3 ptos.) Ver pizarra.

* Justi car en el rever-

so.

9)

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

)

i

las ondas mecánicas no necesitan un medio para transportarse por ejm el sonido

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Un móvil que describe un MAS, con x = 2cos(πt + π4 ) (en SI).

Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas sísmicas

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas i

B) II

(3 ptos.) Ver pizarra.* Justi car en el reverso.

Cuestionario 2019-II-GB

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:.................................Nombre(s):..........Grupo:...

Marcar con X: DESTREZA N

°

1

DESTREZA N°2

DESTREZA N°3

N° ORDEN :.....

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La marcación, o bien la completación de espacios en blanco o bien justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

1)

(4 ptos.) Dos resistencias conectadas en paralelo a 120 V consumen la misma potencia que conectadas en serie a 240 V. Hallar la relación entre las resistencias.

Versión 2020

s La respuesta es:.................................. * Justi que su respuesta en el reverso.

2)

(2 ptos.) El campo eléctrico en el interior de un conductor electrostático

Por: Huamaní Castro, Newton

79

Física introductoria:

5)

es ..........

3)

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

(2 ptos.) Vea detenidamente la gura

(2 ptos.) Dos lámparas cuyas especi caciones técnicas son 60 W-120 V y 80 W-120 V respectivamente, están conectadas en serie a una línea de 120 V. ¾Qué potencia se disipa en las dos lámparas, en estas condiciones?

La respuesta es : ................................

6)

I) El voltímetro ideal se instala en paralelo y por ella no cruza corriente eléctrica

Luego analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

La voltaje en la resistencia de 10 ohmios es 10 V

)

La fuente tiene un voltaje que proporciona al circuito una intensidad de corriente igual a 4,2 A

i

ii

¾Cuál(es) es(son) verdadera(s)?

A) I

4)

B) II

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o la falsedad(F) de las proposiciones

II) El aperímetro ideal se instala en serie y por ella no cruza corriente eléctrica ¾Cuál(es) es(son) falsa(s)?

A) I

7)

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Vea atentamente la gura.

B) II

(2 ptos.) El fusible de la alimentación de corriente para una vivienda soporta hasta 6 A. ¾Cuántos focos de 60 W como máximo se podrá encender? (Vred = 220 V ).

A) 1

8) Luego complete las proposiciones para que sean verdaderas

)

El voltage en la resistencia de 3 Ω y ......... Ω son diferentes

)

La intensidad de corriente en la resistencia de tres ohmios es .......... A

i

ii

Versión 2020

C) I y II D) ninguna

B) 11

C) 22

D) 10

(4 ptos.) Asumiendo que son ideales.

Determinar la corriente en 20 Ω 1

2

2

* Justi que su respuesta en el reverso.

Por: Huamaní Castro, Newton

80

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

Cuestionario 2019-II-GC

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:...............................Nombre(s):........Grupo:...

Marcar con X: HABILIDADES N 1 °

HABILIDADES N°2

HABILIDADES N°3

APLAZADOS

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. El marcado, completación y/o justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

1)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

Un metro alambre de Au es más elástico que un metro de alambre de Cu

)

El módulo de Poisson de Fe más de H2 O es igual a 3

i

ii

4)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

ii

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

2)

B) II

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) ¾ Qué fuerza se requiere para estirar 4,5 mm un alambre de acero (con Y = 20 × 1010 mN2 ) de 2 m de largo y 2 mm2 de sección?

(2 ptos.) Cierto alambre, de 3 m de largo, se estira 1.2 mm cuando está bajo 200 N de tensión. Un alambre con el triple de diametro, de 4 m de largo, hecho del mismo material y bajo misma tensión, ¾ cuánto se estirá? s La respuesta es ........................... * Justi car en el reverso.

Versión 2020

Un sistema masa-resorte con 1 Kg en MAS tiene como ecua2 ción ddt2x + 4π 2 x = 0 en SI entonces el bloque en dar una vuelta completa se demora 1 s

)

El Au se clasi ca como sólido cristalino

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

5)

A) 900 N B) 100 N C) 900 P a D) 120 N

3)

)

i

B) II

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Un bloque-resorte oscila, de masa 100 gramos, con ecuación de posición x = sen(2t + π6 ) en metros. ¾ Cuál es la energía mecánica de oscilación?

A) 0,2 N B) 0,8 N C) 0,2 J D) 0,8 J

6)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las ondas

)

i

las ondas mecánicas no necesitan un medio para transportarse por ejm el sonido

Por: Huamaní Castro, Newton

81

Física introductoria:

ii

)

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

das sísmicas

La rapidez de una onda unidimensional viajera transversal que tiene como ecuación y = 2sen(πx − 2πt) es 1 m/s

ii

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

7)

B) II

)

Su aceleración máxima en módulo es 4π 2 .

)

Su recorrido entre t = 0 y t = 7 segundos 26 metros

i

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Un móvil que describe un MAS, con x = 2cos(πt + π4 ) (en SI).

Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones respecto a las on-

8)

A) I

B) II

C) I y II D) ninguna

(3 ptos.) Ver pizarra.

* Justi car en el rever-

so.

9)

(3 ptos.) Ver pizarra.* Justi car en el reverso.

Cuestionario 2019-II-GC

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:.............................Nombre(s):........Grupo:...

Marcar con X: DESTREZA N

°

1

DESTREZA N°2

DESTREZA N°3

APLAZADOS

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1)

(2 ptos.) La g. muestra el efecto Venturi

ii

2)

Hg

Luego complete las proposiciones, con mayor o menor , para que sean verdaderas Versión 2020

)

La presión en la sección B es .............. que la presión en la sección A

)

La rapidez en B es ............... que la rapidez en A

i

(2 ptos.) En la gura de la Preg.1:Determine las rapideces en las secciones A y B , si 12 cm2 ; 4 cm2 y Q2 = 480 litros . min

La respuestas son : ..............

Por: Huamaní Castro, Newton

82

Física introductoria:

3)

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

(3 ptos.) Supongamos que el área de la sección mayor es el triple de la menor en la pregunta 1. Calcule, justi cando en el reverso, que la rapidez está dada en B, es: s 3 (ρHg − ρagua )gh vB = 2 ρagua

400 m, .cual es la longitud real del terreno? (αcinta = 4 × 10−5 C −1 ) Marque una: a) menor a 401,12 m; b) igual a 401,12 m; c) mayor a 401,12 m

7)

(2 ptos.) Una burbuja de aire se desprende desde el fondo de un lago logrando triplicar su volumen cuando llega a la super cie. Calcule la profundidad del lago suponiendo que la temperatura en el fondo del lago es la mitad que de la super cie La repuesta, en m, es ...............

8)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o la falsedad(F) de las proposiciones

* Justi car en el reverso.

4)

(2 ptos.) ¾ Cuál sería la rapidez en A en el pregunta 1 si la diferencia de presiones entre A y B es 16 KP a y la área de la sección A es el triple de B ?

A) 2 cm B) 2 ms s

5)

C) 4 ms

D) 4 cm s

I) El calor latente de vaporización para 100 g de oro es mayor que para cobre 200 g

(2 ptos.) Un gran tanque de almacenamiento, abierto en la parte superior y lleno con agua, en su costado en un punto a 20 m abajo del nivel de agua se elabora un ori cio pequeño.

La relación de ujo a causa de la fuga . Complete para que es de 12 litros min

II) La temperatura de equlibrio cuando se mezcla 1 Kg de Hielo a −10 C con 5 Kg de agua a 50 C es 300,65 K ¾Cuál(es) son verdaderas?

las proposiciones sean verdaderas: i) la rapidez, en ms , a la que el agua sale del ori cio es .................. y ii) el diámetro del ori cio, en cm2 , es .....................

6)

(2 ptos.) Una cinta metalica de 1 m de longitud esta calibrada a 10 C , pero es utilizada a 80 C en la medicion del largo de un terreno; si la cinta indico

A) I

B) II

C) I y II D) ninguna

* Justi car en el reverso.

9)

(2 ptos.) El coe ciente de un metal desconocido es 24 × 10−6 C1 .¾ En qué porcentaje aumenta su longitud ante un aumento de 80 C de temperatura?

Poner respuesta aquí:.................

Cuestionario 2019-II-GC

Estimado estudiante: escriba correctamente sus Apellidos:............................Nombre(s):...........Grupo:....

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

83

Física introductoria:

Marcar con X:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

DESTREZA N° 1

DESTREZA N°2

DESTREZA N°3

APLAZADOS

N°

ORDEN :....................

Instrucciones: Durante la evaluación está terminantemente prohíbido copiarse y hablar con los compañeros. El uso de Tablet, Laptop y/o Calculadoras es previa autorización del docente. La marcación, o bien la completación de espacios en blanco o bien justi cación de las preguntas se realiza a pulso con lapicero. No hay consideración en errores de signos o cualquier olvido.

1)

2)

(4 ptos.) En un laboratorio se tiene dos resistencias que conectadas en paralelo a 12 V consumen la misma potencia que conectadas en serie a 24 V. Si la resistencia de una de ellas es 2 Ω entonces la intensidad de corriente total, tanto en paralelo y serie, son: Marque una con X iguales (......) diferentes (.......)

¾Cuál(es) es(son) falsa(s)?

A) I

4)

(2 ptos.) La paloma que está posada sobre un solo cable de alta tensión, sin entrar en contacto con nada más. ¾ Por qué no se electrocuta?

Luego complete las proposiciones para que sean verdaderas

)

El voltage en la resistencia de 6 Ω y ......... Ω son iguales

)

El voltaje en la resistencia de tres ohmios es ..........

i

(2 ptos.) Vea detenidamente la gura

ii

5)

Luego analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

La intensidad de corriente en la resistencia de 10 Ω es 1,2 A

)

La fuente tiene un voltaje que proporciona al circuito una intensidad de corriente mayor a 4,2 A

i

ii

Versión 2020

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Vea atentamente la gura.

* Justi que su respuesta en el reverso en tres líneas.

3)

B) II

(2 ptos.) Dos focos de lamento A y B cuyas especi caciones técnicas son 60 W-120 V y 80 W-120 V respectivamente, están conectadas en serie a una línea de 120 V. Luego analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones I) La potencia de focos A y B son iguales (...)

II) El foco B alumbra más (...)

III) El consumo total de potencia, aproximado, es 35 W (...)

Por: Huamaní Castro, Newton

84

Física introductoria:

6)

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o la falsedad(F) de las proposiciones I) El voltímetro ideal se instala en paralelo y por ella no cruza corriente eléctrica

60 W como máximo se podrá encender? (Vred = 220 V ).

A) 12

8)

II) El aperímetro ideal se instala en serie y por ella no cruza corriente eléctrica ¾Cuál(es) es(son) verdaderas(s)?

A) I

7)

B) II

C) 22

D) 24

(4 ptos.) Asumiendo que son ideales las fuentes. Determinar la lectura del voltimetro ideal entre los nodos y en la resistencia 20 Ω 1

2

2

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) El fusible de la alimentación de corriente para una vivienda soporta hasta 3 A. ¾Cuántos focos de

Versión 2020

B) 14

* Justi que su respuesta en el reverso.

Por: Huamaní Castro, Newton

85

Física introductoria:

F

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

0.4. Problemas Hoja de Problemas de la

1ra

Parte

Ésta hoja debe portarse en las horas de práctica

E5) ½Analice!: La fractura frágil tiene lugar sin una apreciable deformación ½Analice!: Una fuerza aplicada a un y debido a una rápida propagación cuerpo produce dos efectos: cambia de una grieta mientras la fractura su estado de movimiento y le produdúctil ocurre bajo una intensa dece deformaciones (V o F) formación plástica (V o F) Elasticidad

E1)

E2) ½Analice!: Los sólidos se dividen en E6) dos tipos, que se diferencian muy sensiblemente por sus propiedades físicas, en cristalinos y amorfos (V o F)

Determinar el acortamiento de la barra mostrada y la función de fuerza axial, si E = 2 × 105 M P a y A = 2 cm2

E3) ½Analice!: Los metales son sólidos amorfos.(V o F) E4) ½Analice!: Experimentalmente el es- E7) fuerzo axial es proporcional a la deformación volumétrica unitaria (V o F) Versión 2020

Determinar la longitud de AB, para la cual el esfuerzo normal máximo es mínimo. Sabiendo que los diametros de la barra escalonada es 12 cm

Por: Huamaní Castro, Newton

86

Física introductoria:

F

y 6 cm

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

de la sección transversal de todos los alambres es igual.El módulo de Young del acero es dos veces mayor que el del cobre.

E11) La barra compuesta está rmemente sujeta a soportes indeformables.

El montaje se ejecutó a la temperatura ambiente de 17 C . Calcular los esfuerzos en cada material, si la temperatura se eleva a 60 C .

Las características del aluminio son: sección Aal = 10 cm2 , elasticidad N Eal = 7,2 × 105 cm 2 , y αal = 2, 4 × −5 −1 10 C . Y del acero son: sección Aa = 14 cm2 , elasticidad Ea = 2,1 × complete los espacios con las correctas: a) 4.8 mm, N −5 −1 106 cm C 2 , y αa = 1, 2 × 10

E8) Cierto alambre, de 3 m de largo, se estira 1.2 mm cuando está bajo 200 N de tensión. i) Un alambre igualmente grueso de 6 m de largo, hecho del mismo material y bajo la misma tensión, se estira .............. ii) Un alambre con el doble de diámetro, de 3 m de largo, hecho del mismo material y bajo la misma tensión, ¾cuánto se estira? .............. b) 2.4 mm, c) 1.2 mm, d) 0.6 mm, e) 0.3 mm, f) 0.

E9) Determinar los esfuerzos en la barra escalonada doblemente empotrada, si es de acero, siendo la variación de temperatura M T = 36 CEa = 2 × 105 M P a y αa = 125 × 10−7 C −1 .

E12) Para labarra escalonada, se tiene Y donde A es la sección de AB. que Yc = 100GP a; Ac = 1500mm2 ; αc = 16, 5 × 10−6 C −1 ;Yal = 72GP a; Aal = 1800mm2 ; αal = 23, 9 × 10−6 C −1 . Determine la fuerza de compresión en las barras después del incremento de temperatura en 96 C r Esf uerzoBE = 106, 98 × 106 P a y la variación de longitud en la baen compresión rra de cobre.

E10) Una barra homogénea, de masa m = 100kg , está suspendida de tres alambres verticales de la misma longitud situados simétricamente. Determinar la tensión de los alambres, si el alambre del medio es de acero y los otros dos son de cobre. El área E13) Vea atentamente la tabla Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

87

Física introductoria:

F

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

acero de 1,00 cm de diámetro y b) perforar un agujero de 1,00 cm de diámetro en una placa de acero de 0,500 cm de grueso.s a) 3,14×104 N b) 6,28 × 104 N Responder: ¾El acero es más elástico E17) que el cobre?,¾ el mercurio es menos rígido que el agua?, ¾el esfuerzo volumétrico del agua es menor que la del aluminio?

E14) Hallar el valor del módulo de Poisson para el cual el volumen de un alambre no varía al alargarse.

E15) Una carga de 200 kg cuelga de un alambre de 4,00 m de largo, área de sección transversal de 0,200 × 10−4 m2 y módulo de Young de 8,00×1010 N/m2 . ¾Cuál es su aumento en longitud? s 4,9 mm E16) Suponga que, si el esfuerzo de corte en el acero supera aproximadamente 4,00 × 108 N/m2 , el acero se rompe.

Determine la fuerza de corte necesaria para a) cortar un tornillo de

Se tiene dos barras de diferente material (módulos de Young Y1 e Y2), igual longitud L e igual sección transversal A. Se quiere reemplazar ambas barras por un solo bloque equivalente. Asumiendo que los sistemas y el bloque equivalente están sometidos a una fuerza de tracción F, determinar el modulo de Young del material equivalente en cada uno de los siguientes casos (a) Las barras se colocan como se muestra en la gura (a) y el bloque equivalente tiene sección transversal 2A y Longitud L. (b) Las barras se colocan como se muestra en la gura (b) y el bloque equivalente tiene sección A y longitud 2L.

Movimiento Oscilaciones

Os1) Una partícula se mueve en una línea horizontal bajo la ecuación x = −4cos(πt + 2π) (en SI). Justi que razonablemente que el movimiento es MAS. Luego determine: la amplitud, frecuencia y periodo de movimiento; la fase del movimiento en t=3s; la grá ca de posición, velociVersión 2020

dad y aceleración del móvil en función del tiempo; la posición, velocidad y aceleración del móvil en t = 2s; velocidad y aceleración máximas, mínimas del móvil; y el desplazamiento y recorrido experimentado por el móvil entre t = 0 y t = 7s.

Por: Huamaní Castro, Newton

88

Física introductoria:

F

Os2) Demostrar que la energía oscilatorio del MAS de Sistema MasaResorte es una constante e igual a 1 KA2 2

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

¾Las cantidades posición y velocidad pueden estar en la misma dirección? b) ¾La velocidad y la aceleración pueden estar en la misma dirección? c) ¾La posición y la aceleración pueden estar en la misma dirección?

Os3) Un bloque en el extremo de un resorte se jala a la posición x = A y se libera desde el reposo. En un ciclo completo de su movimiento, ¾qué distancia total recorre?

Os8) Si la posición de una partícula está dada por Os4) Dos grá cas x − t para objetos sometidos a movimiento armónico x = −2cos(πt) simple. Las amplitudes y frecuencias son diferentes para los dos obDibuje su trayectoria junto con el jetos. ½Analice!:La descripción coprofesor y preguntele que pasa si rrecta de estos dos movimientos es después de 20 segundos le aplica que el movimiento armónico simple una fuerza igual al periodo de la del objeto B es de mayor frecuenpartícula cia angular y mayor amplitud que el del objeto A (V o F) Os9) La plomada de cierto péndulo es Os5) Un objeto de masa m cuelga de un una esfera llena con agua. ¾Qué resorte y se pone en oscilación. El ocurriría a la frecuencia de vibraperiodo de la oscilación se mide y ción de este péndulo si hubiera un registra como T. El objeto de maori cio en la esfera que permitiera sa m se retira y se sustituye con un al agua salir lentamente? objeto de masa 2m. Cuando este objeto se pone en oscilación, ¾cuál es el periodo del movimiento?

Os10) Un bloque de masa m se conecta a Os6) Una barra uniforme de masa M y longitud L se articula en torno a un extremo y oscila en un plano vertical. Encuentre el periodo de oscilación si la amplitud del movimiento es pequeña.

Os7) Para un oscilador armónico simple, la posición se mide como el desplazamiento desde el equilibrio. a) Versión 2020

dos resortes con constantes de fuerza k1 y k2 en dos formas, como se muestra en las guras a y b. En ambos casos el bloque se mueve sobre una mesa sin fricción después de desplazarse desde el equilibrio y liberarse. Demuestre que en los dos casos el bloque muestra movimiento armónico simple y determine sus periodos

Por: Huamaní Castro, Newton

89

Física introductoria:

F

Os11) El peso unido a un resorte vertical esta forzado a vibrar de acuerdo a la ecuacion:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

sa m pequeña en el extremo opuesto a O y un resorte de constante k en la mitad de la barra. En la posición mostrada el sistema se encuentra en equilibrio. Sí se jala la barra hacia abajo un ángulo pequeño y se suelta, ¾cuál es el periodo de las oscilaciones?

d2 x + 16x = sen(wt), dt2 donde x es el desplazamiento de la posicion de equilibrio y ω > 0 es Os14) Determinar la frecuencia natural del sistema resorte-masa-polea una constante. Si para t = 0, x = 0 dx mostrado en la gura. y dt = 0, hallar: (a) x como funcion del tiempo t, (b) el periodo de la fuerza externa para la cual la resonancia ocurre.

Os12) Se hace oscilar el disco semicircular de radio r en torno a su cojinete en O. Determinar el periodo T de su movimiento para vibraciones de amplitud pequeña en torno de O. Os15) Determine, razonablemente, si es una oscilación amortiguada que desorrolla un bloque de masa 2,2 Kg colgado de un resorte de rigidado que el tiempo de dez 250 N m subida más bajada es 0,615s. Si es amortiguado determine la constanOs13) El sistema mostrado en la gura consiste de una barra de masa deste de amortiguamiento del medio preciable, pivotada en O, Una maque le rodea al bloque.

Movimiento Ondas

On1) Una onda sinusoidal es enviada a lo largo de una de un resorte, por medio de un vibrador jo en uno Versión 2020

de sus extremos. La frecuencia del vibrador es 30 ciclos por segundo y la distancia entre puntos de mí-

Por: Huamaní Castro, Newton

90

Física introductoria:

F

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

nimo sucesivos en el resorte es 24 cm. Encontrar: a) La velocidad de la onda b) La ecuación de la onOn6) da, sabiendo que el desplazamiento longitudinal máximo es de 4 cm. y que se mueve en el sentido positivo de x.

On2) Una onda en una cuerda esta descrita por y =sen(0,5x - 628t). Determine la amplitud, la frecuencia, periodo, longitud de onda y velocidad de la onda.

On3) La amplitud de una onda se dupli- On7) ca, sin que se hagan otros cambios a la onda. Como resultado de esta duplicación, ¾cuál de los siguientes enunciados es correcto? a) La rapidez de la onda cambia. b) La frecuencia de la onda cambia. c) La máxima rapidez transversal de un elemento del medio cambia.

40.0 rad/s c) 0.300 rad/m d) 20.9 m e) 133 m/s f) +x Un alambre de acero de 30.0 m de longitud y un alambre de cobre de 20.0 m de longitud, ambos con 1.00 mm de diámetro, se conectan extremo con extremo y se estiran a una tensión de 150 N. ¾Durante qué intervalo de tiempo una onda transversal viajará toda la longitud de los dos alambres? r 0.329 s Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.300 kg y una longitud de 6.00 m ( gura ). La cuerda pasa sobre una polea y soporta un objeto de 2.00 kg. Encuentre la rapidez de un pulso que viaje a lo largo de esta cuerda.

On4) Si agita un extremo de una soga tensa de manera estable tres veces cada segundo, ¾cuál sería el periodo de la onda sinusoidal establecida en la soga?

On5)

On8) En un cierto material, cuyo módulo de Young vale 12700 kgf/mm2, Una onda sinusoidal se describe la velocidad de propagación de las mediante la función de onda ondas transversales es de 2445 m/s y = (10,25m)sen(10,30x − 40t) y la de las ondas longitudinales es de 3620 m/s. Calcular: a) la dendonde x y y están en metros y t sidad del material, y b) su módulo en segundos. Determine para esta de cizalla. onda a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el número de onda On9) Una onda sonora en aire produce angular, d) la longitud de onda, e) una variación de presión dada por: la rapidez de onda y f) la dirección π P (x, t) = 0,75cos( (x − 340t)) de movimiento. r a) 0.250 m b) 2

Versión 2020

Por: Huamaní Castro, Newton

91

Física introductoria:

F

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

en donde p se expresa en Pasca- On11) les, x en metros y t en segundos. ¾Cuál es a) la amplitud de la presión, b) la longitud de onda, c) la frecuencia y d) la velocidad de la onda sonora?

Una cuerda de masa M y longitud l cuelga del techo de una habitación. a) Probar que la velocidad de pulso transversal en función de la posición cuando se propaga a lo largo √ de ella es v = gx , siendo x la distancia al extremo libre. b) Probar que un pulso transversal recorrerá la cuerda en un tiempo q 2 g` .

On10) Una cuerda de guitarra tiene 90 cm de longitud y 3,6 g de masa (ver gura). Desde el puente hasta el trasto de soporte del mástil (L) hay 60 cm, y la cuerda tiene una tensión de 520 N. ¾Cuáles son las frecuencias de los primeros armóOn12) Se tiene un alambre de acero de 1,3 nicos? mm de diámetro, sabiendo que 5 m de este alambre se alarga 0,5 mm con una carga de 2,1 kg. (densidad del acero, 7,8 g/cm3) a) Calcule el módulo de Young en el acero. b) Calcule la velocidad de propagación de una onda Hoja Problemas de

2ra

Parte

la cual debe portarse en las horas de práctica Presentada 24 de septiembre de 2021

P1) Las problemas resueltos en clase también forman de ésta y se codi carán con 0Pa, OP...

P2) En un dique de embalse en el que el agua alcanza una profundidad h = 60 m en la pared vertical, y tiene una longitud L = 250 m Calcular P4) las coordenadas de la posición de la fuerza de total que actúa sobre el dique debido al agua a partir del punto negro.

P3) En la pared vertical de un depósito enorme hay dos pequeños ori cios, Versión 2020

uno está a una profundidad x de la super cie del líquido, y el otro está a una altura z de la base del líquido. Los chorros de líquido que salen se encuentran el suelo en el mismo punto, ¾en que relación está x y z ?

La sección transversal del tubo de la gura tiene 8 cm2 en las partes anchas y 4 cm2 en el estrechamiento.

Cada segundo salen del tubo 4 litros de agua a la atmósfera.

Por: Huamaní Castro, Newton

92

Física introductoria:

Experimentos, Cuestionarios y Problemas

F

del tubo en U? P5) Calcular la temperatura nal cuando se mezclan 2 kg de hielo a −20C con 10 kg de agua a 60 C ¾Cuál es la velocidad en A1 ?

El agua proviene de un gran depósito abierto. ¾A qué altura se encuentra el nivel de agua? ¾Cuál es la diferencia de presión entre 1 y 2? ¾Cuál es la diferencia de alturas entre las columnas de mercurio

P6) Una barra de acero, αacero = 11x10−6 C1 , tiene un diametro de 3 cm a la temperatura de 25 oC. Un anillo de bronce, αbronce = 17x10−6 C1 , tiene un diametro interior de 2,992 cm a la misma temperatura. ¾A que temperatura común entrará justamente el anillo en la varilla?

Problemas para Trabajo Colaborativo T1) Una tubería de agua consta de dos secciones, el mayor es de 15 cm de diámetro y el menor es de 7.5 cm de diámetro. Si la rapidez en la sección mayor es 1.2 m/s. Calcule la rapidez T5) en la sección menor y el caudal (en Litros/s) s 4,8 ms y 6,75π litros s

con alcohol etílico (ρe = 806kg/m3 ). ¾Cuál es la presión en el fondo del vaso? a) menor que P, b) igual a P, c) mayor que P, d) indeterminado.

Estime la fuerza que se ejerce sobre su tímpano debido al agua cuando nada en el fondo de una alberca que tiene 5.0 m de profundidad área de la super cie del tímpano considere 1 cm2

T2) Una tubería nal de 2 cm de diámetro conduce agua con rapidez de 0,25 m . ¾Cuánto tiempo le tomará π s T6) Una burbuja de aire se desprende llenar un balde de 10 litros? s 400 s desde el fondo de un lago logrando T3) Un depósito abierto enorme de agua triplicar su volumen cuando llega a se perforá un agujero en la pared a la super cie. Calcule la profundidad 8,45 m de nivel de agua. Se obserdel lago. r 20, 26 m si T = cte va que cada minuto sale 10 litros. ¾ T7) Observa dos globos de helio que oCuál es el diámetro del agujero? tan uno junto al otro en los extreT4) La presión en el fondo de un vaso mos de cuerda asegurados a una me3 lleno de agua (ρ = 1000kg/m ) es P. sa. Las super cies de los globos que El agua se derrama y el vaso se llena se enfrentan están separadas por 1 Versión 2020

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a 2 cm. Usted sopla a través del pequeño espacio entre los globos. ¾Qué ocurre con los globos? a) Se mueven uno hacia el otro. b) Se separan. c) No resultan afectados.

T8) A través de una manguera conT10) tra incendios de 6.35 cm de diámetro circula agua a una relación de 0,012 m3 /s. La manguera termina en una boquilla de 2.20 cm de diámetro interior. ¾Cuál es la rapidez con la que el agua sale de la boquilla?

T9) Dos depósitos abiertos muy grandes T11) A y F, véase la gura, contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia h1 por debajo del T12) nivel del líquido en A.

a

) ¾Cuál es la velocidad de salida del líquido?

Un gran tanque de almacenamiento, abierto en la parte superior y lleno con agua, en su costado en un punto a 16 m abajo del nivel de agua se elabora un ori cio pequeño. La relación de ujo a causa de la fuga es de 2,50×10−3 m3 /min. Determine a) la rapidez a la que el agua sale del ori cio y b) el diámetro del ori cio.

Dos sólidos de masas diferentes a partir de una misma temperatura inicial reciben iguales cantidades de calor, tal que, la temperatura nal de los sólidos es la misma, entonces .......... s Sus capacidades calorí cas son iguales y sus calores especí cos son diferentes.

Dentro de una caja térmicamente aislante se ubica dos objetos cúbicos, del mismo material y de aristas a y 2a, a temperaturas 9°C y 18°C respectivamente. Determíne la temperatura en el equilibrio térmico. (No hay cambio de fase).

) ¾Cuál es la presión en el estreT13) Un recipiente de aluminio (C e=0,22 chamiento (C)? cal/g°C) de 0,5 kg de masa contiene 110 g de agua a 20°C. Se introduce c ) ¾A qué altura h2 alcanzará el líquido en el tubo E? Expresar la un bloque de erro de 200 g de masa respuesta en función de h1 .

(C e=0,11 cal/g°C) a 75°C. Calcule

b

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la temperatura nal de equilibrio.

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hueca y se les calienta con la misma cantidad de calor, entonces se puede a rmar que ......... s se expanden por igual

T14) Una cinta metálica de 1 m de longitud está calibrada a 10°C, pero es utilizada a 80°C en la medición del largo de un terreno; si la cinta indiT17) Según la indicación del docente descó 200 m, ¾cuál es la longitud real cribrir la gura del terreno? (αcinta = 4 × lO−5 C −1 ) T15) Dos láminas A y B se encuentran inicialmente a 20°C y 30°C respectivamente. Al aumentar las temperaturas hasta 60°C, sus áreas aumentaron en 2 % y 3 % respectivamente.

Indique la relación correcta de sus coe cientes de dilatación.

T16) Dos esferas de cobre, de igual radio, tienen igual temperatura inicial. Si una de ellas es compacta y la otra Hoja de Problemas

Los problemas se resolverán en forma colaborativa

E1) Calcular la relación entre la lectura del amperímetroantes y después de cerrar el interruptor

s ..................

E3) Halle la lectura del amperímetro ideal, si las fuentes son ideales.

E2) En el circuito están conectados dos microamperímetros y dos voltímetros iguales. Las indicaciones de los microamperímetros son I1 = 100 µA s 0.55 A ; I2 = 99 µA respectivamente y la del voltímetro V1 = 10 V . Halle la E4) Calcule el rendimiento de la fuente cuya f.e.m es 12 V; calcule el voltaje lectura del voltímetro V2 .

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en las resistencias 2 Ω y la intensidad de corriente en las resistencias 4 Ω

s ...................

E5) Dos lámparas cuyas especi caciones técnicas son 60 W-120 V y 40 W-120 V respectivamente, están conectadas en serie a una línea de 120 V. ¾Qué potencia se disipa en las dos lámparas, en estas condiciones?

Calcule el consumo de cada bombilla (en vatios) para este montaje, así como el consumo total del montaje. ¾Cuál es la que da más luz? ¾Y la que menos? Suponga que se cierra el interruptor central. Una vez cerrado, ¾cuál es el nuevo consumo total y el individual? ¾Cuál es ahora la bombilla más brillante y la menos brillante?

E6) Se dispone de cuatro bombillas, A, E7) El fusible de la alimentación de coB, C, D. El etiquetado de estas bomrriente para una vivienda soporta billas indica que, para un voltaje de hasta 20 A. ¾Cuántos focos de 100 W 120V, sus potencias nominales son como m áxim o se podrá encender? respectivamente 30W, 60W, 120W y (Vred = 220 V ).

40W. Se montas la cuatro bombillas E8) Dos resistencias desconocidas si se en el siguiente esquema y se aplica asocia en paralelo conectadas a 110 entre los extremos una diferencia de volt tiene la misma potencia que potencial de 120V. cuando están asociadas en serie conectada a 220 volt. ¾ Cuál es la relación de las resistencias?

TRABAJO COLABORATIVO EN AULA

[1] Apellidos:......................................Nombre(s):...................Grupo:.....

[2] Apellidos:......................................Nombre(s):...................Grupo:.....

[3] Apellidos:.......................................Nombre(s):..................Grupo:.....

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[4] Apellidos:.......................................Nombre(s):.................Grupo:.....

Instrucciones: Durante el trabajo colaborativo el grupo sólo debe usar el lugar asignado. La autorización sobre el uso de libros y/o celulares es previa autorización del docente. Los resultados se debe presentar, sólo, en esta hoja en forma precisa, concisa y clara.

1. (6 pto.) Para resolver este apartado el grupo debe esperar las llegada de los instrumentos e indicaciones del docente

)

i

(3 ptos.) Estire las barras de igual sección. Luego analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones razonablemente i

)

El módulo de Young de B es mayor a A

ii

)

La barra A es más elástico que B

cado por el docente y realice cinco mediciones de periodo. Luego razonablemente complete las proposiciones para que sean verdaderas

ii

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I ii

)

B) II

C) I y II D) ninguna

)

La frecuencia (f) experimental es ...................

)

La frecuencia (f) teórico es ............................

)

El error relativo porcentual es .....................

i

iii

(3 ptos.) Monte el péndulo indi-

2. (6 pts.) Cada integrante del grupo debe resolver un ejercicio de la HOJA DE PROBLEMAS DE 1raU. Después de resolver aparte, complete el cuadro en forma precisa, concisa y clara

Integr.N° N° de Probl. Incógnita Ecuación q lleva a la solución Respuesta

* El integrante sólo debe consignar los datos que se pide en la tabla.

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3. Resuelva en grupo y luego marque con X las respuestas o complete los espacios en blanco.

a)

(2 ptos.) ¾ Qué fuerza se requiere para estirar 0,6 mm un alambre de acero (con Y = 20 × 1010 mN2 ) de 2 m de largo y 2 mm2 de sección?

tonces la masa en 50 segundos lo hace 25 vueltas ii

)

A) 120 KgB) 100 N C) 100 KgD) 120 N

b)

(2 ptos.) Cierto alambre, de 6 m de largo, se estira 1.2 mm cuando está bajo un de tensión T en N. ¾Un alambre con el triple de diametro de 3 metros de largo, hecho del mismo material y bajo la misma tensión, ¾ cuánto se estira? s La respuesta es ........................... * Justi car en el reverso.

c)

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones

)

i

Un sistema masa-resorte de 1 Kg en MAS tiene como 2 ecuación ddt2x + 16π 2 x = 0 en-

Una barra desconocida cilíndrica de longitud 6 m se estira bajo una carga de tracción en 0.6 mm y su sección transversal de radio 1 cm dismuye en 3 mm Entonces es de acero, razonablemente

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

A) I

d)

B) II

C) I y II D) ninguna

(2 ptos.) Ondas transversales viajan con una rapidez de 20 ms en una cuerda bajo una tensión de 6 N . ¾Qué tensión se requiere para una rapidez de onda de 30 ms en la misma cuerda?

A) 13,5 KgB) 13 N C) 13,5 ND) 13 Kg * Justi car en el reverso.

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[1] Apellidos:.....................................Nombre(s):................Grupo:..........

[2] Apellidos:.....................................Nombre(s):................Grupo:..........

[3] Apellidos:.....................................Nombre(s):................Grupo:.........

[4] Apellidos:.....................................Nombre(s):.................Grupo:.........

Instrucciones: Durante el trabajo colaborativo el grupo sólo debe usar el lugar asignado. La autorización sobre el uso de libros y/o celulares es previa autorización del docente. Los resultados se debe presentar, sólo, en esta hoja en forma precisa, concisa y clara.

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1. (6 pto.) Para resolver este apartado el grupo debe esperar las indicaciones del docente

)

i

(3 ptos.) Analice la veracidad(V) o falsedad(F) de las proposiciones razonablemente i

)

Calor especí co de A es mayor que B

ii

)

El calor especí co de A es mayor que agua

A) I ii

)

B) II

C) I y II D) ninguna

(3 ptos.) Complete según indicación

)

i

La valor experimental es .........

) iii)

La valor teórico es ............

ii

¾Cuál(es) son verdadera(s)?

El error relativo porcentual es .....................

2. (8 pts.) Cada integrante del grupo debe resolver un problema de la hoja de problemas de 2daU. Después de resolver aparte, complete el cuadro en forma precisa, concisa y clara

Integ Ap N° de Probl. Incógnita Ecuación q lleva a la solución Respuesta

*Para reforzar si desea cada integrante puede resolver en forma detallada sin errores en hoja adicional.

3. Marque con X las respuestas o complete los espacios en blanco.

a) b)

(4 ptos.) Ver pizarra y determine la rapidez del liquido en "B" (2 ptos.) ¾Qué masa de vapor, inicialmente a 130°C, se necesita para calentar 100 g de agua en un contenedor de vidrio de 100 g, de 20.0°C a 50.0°C? Marque una: a) menos de 4 gramos; b) más de 4 gramos; c)

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igual 4 gramos.

c)

(2 ptos.) Una burbuja de aire se desprende desde el fondo de un lago logrando duplicar su volumen cuando llega a la super cie. Calcule la profundidad del lago si la temperatura promedio del lago es 20.7 °C A) 10 cm B) 10 m C) 10 mmD) ninguna

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d)

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agua a 50 C es 300,65 K

(2 ptos.) Analice la veracidad(V) o la falsedad(F) de las proposiciones I) El calor latente de vaporización para 5 g de oro es mayor que para cobre 5 g II) La temperatura de equlibrio cuando se mezcla 1 Kg de Hielo a −10 C con 5 Kg de

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¾Cuál(es) son verdaderas?

A) I

e)

B) II

C) I y II D) ninguna

(1 pto.) ¾Quién se expande más un metro de barra de Al o Cu cuando aumenta sus temperaturas en 10 °C ?. Poner la respuesta aquí:.......................

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Captura de pantalla de un espectro de frecuencias

101

Apéndice

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.1. Con guración experimental para medir la iluminancia.Una simpli cación de la con guración experimental para medición de la iluminancia se presenta en la foto (Ver gura 45). Note que hemos elegido una fuente lineal, un tubo uorescente convencional de longitud L = 120 cm (OSRAM T8, 36 W, 3350 lm) y el teléfono inteligente (Samsung Galaxy S7)

Figura 41: Iluminancia de una fuente lineal

.2. Con guración experimental para medir el módulo de elasticidad Una simpli cación de la con guración experimental para medición del módulo de elasticidad (Ver gura 46). Note que hemos elegido un pedazo de varilla y Versión 2020

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un Smartphone con aplicación Spectrum analizer, la cual fue descargada en forma gratuita con Play Store.

Figura 42:

Figura 43:

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Bibliografía [Monteiro M.(2014)] Monteiro M. & Otros(2014) Physics Smartphone sensors, Universidad ORT Uruguay.

experiments

[Serway y Jewett (2009)] Serway, R. A., and Jewett, J. W. (2009). Física cias e ingeniería con física moderna. Cengage Learning Editores.

[Medina H. (2009)] Medina, H.(2009) Perú.

[Hewitt, P.(2007)] Hewitt, P.

using

para cien-

, Ponti cia Universidad Católica del

Física 2

Física Conceptual

, México, Décima edición.

[Lara-Barragán,A. y Núñez, H.(2006)] Lara-Barragán,A. y Núñez, H. (2006). Física I: un enfoque constructivista.ISBN: 970-26-0823-6.

[Sears-Zemansky (2009)] Física Universiaria, con física mosegunda edición. ISBN: 987-607-442-304-4

. Deci-

moderna volumen 2

[Charles, K. y Matthew, N.(2007)] Charles, K. y Matthew, N.(2007). Fundamentos de Circuitos Eléctricos. Quinta Edición. ISBN: 978-607-15-0948-2.

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