Newton Huaman´ı castro Proposici´ on 0.0.1 Sea f : U ⊆ Rn −→ R una funci´on diferenciable en , en cualquier punto de U depende U . Entonces la derivada direccional, ∂f ∂v linealmente de v ∈ Rn , esto significa que: ∂f ∂f = λ , ∂λv ∂v ∂f ∂f ∂f = + . ∂(v + w) ∂v ∂w
Demostraci´ on/. Sea a ∈ U por hip´otesis en particular f es diferenciable P ∂f ∂f (a)αi para todo tal que para todo = ni=1 ∂x en a, luego se tiene que ∂λv i v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn . Sea v = (α1 , · · · , αn ) ∈ Rn y λ ∈ R. Luego n
n
X ∂f X ∂f ∂f (a) = (a)αi = λ (a)αi ∂λv ∂xi ∂xi i=1 i=1 = λ
∂f (a) ∂v
como a es cualquier punto de U , impl´ıcitamente podemos escribir ∂f ∂f = λ (a). ∂λv ∂v Sea v = (α1 , · · · , αn ) y w = (β1 , · · · , βn ) ∈ Rn . n n n X X X ∂f ∂f ∂f ∂f (a) = (a)(αi + βi ) = (a)αi + (a)βi ∂(w + v) ∂x ∂x ∂x i i i i=1 i=1 i=1
= 3
∂f ∂f (a) + (a). ∂w ∂v
Newton Huaman´ı castro
As´ı pues ∂f ∂f ∂f = + . ∂(v + w) ∂v ∂w
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