Issuu

MATEMATIK 7

NE Nationalencyklopedin AB Ångbåtsbron 1, 211 20 Malmö redaktionen@ne.se www.ne.se © NE Nationalencyklopedin AB 2026 Författare: Jesper Sörensson Pedagogisk granskare: Roland Johansson Läromedelsutvecklare: Jesper Sörensson Redaktör: Johan Warell Grafisk formgivare: Jens Klaive Grafiska redaktörer: Arvid Gruvö Wärle och Ellen Rönn

Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman, t.ex. kommun, eller Bonus Copyright Access. De flesta skolor och högskolor har avtal med Bonus Copyright Access och har därigenom viss kopieringsrätt. Det är lärarens skyldighet att kontrollera att skolan har ett giltigt kopieringsavtal med Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter och fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till rättsinnehavaren.

Tryckt hos GPS Group i Bosnien-Hercegovina, 2026 Första upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-89915-12-1

FÖRORD Välkommen till NE Matematik 7. Boken är uppdelad i fem kapitel som täcker ämnets centrala innehåll för årskurs 7. Materialet presenteras på ett strukturerat och lättillgängligt sätt – du kan använda boken både i klassrummet och på egen hand vid läxläsning. Varje avsnitt inleds med en tydlig förklaring av de viktigaste matematiska begreppen. Teorin beskrivs med utförliga texter och tydliga räkneexempel. Övningarna är uppdelade i tre nivåer med ökande svårighetsgrad. Detta gör det möjligt för dig att förstå resonemangen genom att läsa på egen hand och att arbeta med innehållet i boken på din egen nivå. Varje kapitel avslutas med en kort sammanfattning av det centrala innehållet och ett stort antal repetitionsuppgifter. Texten kompletteras med fördjupningar som tränar din matematiska problemlösningsförmåga. På NE:s webbplats finns boken i digital form. Där finns även interaktiviteter och extramaterial. Samtliga övningar finns även tillgängliga på AI-plattformen Mappi. Mappi fungerar som din personliga AI-lärare, där du alltid kan få stöttning för att förstå teorin och lösa uppgifterna. Vi hoppas att boken ska väcka din nyfikenhet, ge dig en djupare förståelse för ämnet och hjälpa dig att nå kunskapsmålen. Lycka till med dina studier! Redaktionen, NE

INNEHÅLL KAPITEL 1:

Taluppfattning 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Vårt talsystem Addition och subtraktion Multiplikation och division Multiplikation och division med små och stora tal Enheter Prioriteringsregler Negativa tal Avrundning och överslagsräkning Repetition

KAPITEL 4: 6

8 16 24 34 44 54 60 70 78

KAPITEL 2:

Bråk 2.1 Decimaltal och bråktal 2.2 Division med rest och blandad form 2.3 Addition och subtraktion av bråk 2.4 Multiplikation och division av bråk 2.5 Tidsenheter 2.6 Repetition

86 96 102 110 120 128

KAPITEL 3:

Geometri 3.1 Geometrins grunder 3.2 Vinklar 3.3 Vinklar vid linjer 3.4 Enkla geometriska figurer 3.5 Omkrets och area 3.6 Repetition

134

136 146 154 160 172 184

Algebra 4.1 Variabler och uttryck 4.2 Enkla ekvationer 4.3 Ekvationer i två steg 4.4 Ekvationer med x på båda sidor 4.5 Formler 4.6 Repetition

192

194 202 212 220 228 236

KAPITEL 5:

Samband

242

5.1 Koordinatsystem 5.2 Tabeller och grafer 5.3 Proportionalitet 5.4 Repetition

244 250 260 268

Fördjupningar Mer om längdenheter Siffrornas uppkomst Att räkna antalet galaxer i universum Egyptiska bråk Ett glas mjölk och oändligheten Möjliga och omöjliga konstruktioner Eratosthenes och jordens omkrets Historien om algebra och x Formler med tändstickor

53 69 77 109 119 145 167 227 235

Facit Register Bildförteckning

274 302 304

1. TALUPPFATTNING Taluppfattning handlar om att förstå tal, deras värde och hur de förhåller sig till varandra. I kapitlet tar vi bland annat upp hur tal är uppbyggda, de fyra räknesätten och rimlighetsbedömning. En god taluppfattning gör att du både kan lösa matematiska problem och räkna vardagsmatematik.

Vårt talsystem Att räkna är en del av vår vardag. Du räknar antalet kompisar som kommer till klassfesten, hur många som är med i onlinespelet, hur mycket pengar du har sparat och hur många dagar det är kvar till sommarlovet. Här får du repetera det du lärt dig om vårt talsystem.

SIFFRA

DECIMALTAL

TALLINJE

Siffror är symboler som används för att skriva tal. I vårt positionssystem används tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9.

Ett decimaltal är ett tal som inte är ett heltal. Decimaler är siffror till höger om decimalkommat.

På en tallinje markeras varje tal med en punkt på linjen. Talets värde ökar åt höger mot tal linjens pilspets.

TAL

NATURLIGT TAL

Tal består av en eller flera siffror. Vilket värde ett tal har beror på vilken plats siffrorna har i talet.

De naturliga talen är alla positiva heltal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 … De kan användas för att räkna antal.

HELTAL

POSITIONSSYSTEMET

Ett heltal är ett tal som inte innehåller några decimaler. Några exempel på heltal är 17, 42, 67 och 73 900.

Positionssystemet är ett talsystem där varje siffras värde beror på vilken position den har i talet.

OLIKHET

En olikhet visar hur två tal förhåller sig till varandra. Symbolerna < (mindre än) och > (större än) används för att jämföra talens storlekar. Gapet är alltid öppet mot det största talet.

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

På en klippvägg i Argentina finns målningar av hundratals händer. De förhistoriska målningarna är mer än 10 000 år gamla. Att vi räknar på fingrarna är grunden till att vårt talsystem har just tio siffror. Vi har alltid varit digitala – ordet kommer från latinets digitus, som betyder just finger.

NATURLIGA TAL

De naturliga talen används för att räkna antal. De kan användas för att besvara frågor som börjar med ”Hur många ...?”. Ett exempel är ”Hur många fingrar ser du i bilden? Fyra exempel på naturliga tal är 1, 3, 44 och 8 623. Det minsta naturliga talet är 0 och är detsamma som ”inget alls.” Det finns många sätt att visa svaret på frågan ”Hur många?”. Så länge talen inte är för stora går det bra att använda streck, tärningar, romerska siffror, ord eller andra symboler. Antalet fingrar på höger hand kan alltså skrivas som ”IIIII”, ⚄, ”V”, ”5” eller ”fem”.

SIFFROR OCH TAL

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

Vi använder oss av tio siffror när vi skriver tal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. Det talsystem vi har i dag kallas ibland det hinduarabiska talsystemet på grund av sitt ursprung. Våra siffror kallas arabiska siffror eftersom de nådde Europa via arabiska matematiker. Ett tal består av en eller flera siffror. Talet 5 består av bara en siffra, medan talet 7 932 består av fyra siffror.

POSITIONSSYSTEMET

I vårt talsystem, positionssystemet, beror en siffras värde på vilken position den har i ett tal. I andra system, till exempel om du räknar med romerska siffror, har symbolen ett bestämt värde. Positionssystemet har många fördelar när man ska göra uträkningar. Vilket tycker du är enklast att räkna ut: 134 · 22 eller CXXXIV · XXII? I positionssystemet kan man få talet 3 032 genom att lägga samman 3 000 + 0 + 30 + 2. Här har siffran 3 värdet 3 000 eller 30, beroende på dess position i talet. 3 032 = 3 000 + 0 + 30 + 2 ental tiotal hundratal tusental

I positionssystemet anger en nolla frånvaron av ett tal på en viss position. Utan nolla skulle man inte kunna se skillnad på talen 35, 350 och 305. Med positionssystemet är det lätt att skriva stora tal. Ofta samlar man siffrorna i grupper om tre för att göra talet lättare att läsa. Visst blir det enklare att läsa talet om siffrorna skrivs grupperat, 72 560 981, än när siffrorna skrivs utan mellanrum, 72560981? DECIMALTAL

Alla naturliga tal är heltal. När man delar upp heltalen i mindre delar talar man om decimaltal. Om man till exempel har sprungit 2,43 km under en löprunda är 2,43 ett decimaltal. I Sverige skrivs decimaltal alltid med decimalkomma. De siffror som är till höger om decimalkommat kallas talets decimaler. ”4” motsvarar fyra tiondelar och ”3” motsvarar tre hundradelar. I talet 532,718 har var och en av de sex positionerna olika värden. tiondel hundradel tusendel

532,718 = 500 + 30 + 2 + 0,7 + 0,01 + 0,008 ental tiotal hundratal

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

Om ett tal är skrivet på decimalform kan vi lägga till en nolla längst till höger utan att talet förändras. Exempelvis är 0,8 = 0,80. Med nollan har vi lagt till noll hundradelar. På samma sätt är 5 = 5,0. Vi har lagt till noll tiondelar. TALLINJEN

Alla tal kan markeras på en tallinje. Beroende på vilka tal man vill markera på tallinjen kan man välja lämpliga skalstreck. I bilden nedan har vi markerat talen 2 och 6,5. På en tallinje ökar talets värde alltid mot höger, i den riktning pilen visar.

OLIKHETER

Om två tal är olika måste det ena talet vara större än det andra. För att visa hur storleken på två tal förhåller sig till varandra använder man olikhetstecken. Tecknet ”<” betyder ”mindre än” och tecknet ”>” betyder ”större än”. För att komma ihåg vilken symbol som är ”större än” och vilken som är ”mindre än” kan man titta på hur symbolerna ser ut. Tecknen gapar alltid mot det större talet. Exempelvis är talet 8,2 större än talet 8,15 (8,2 ligger till höger om 8,15 på tallinjen), vilket kan skrivas 8,2 > 8,15. Ett annat sätt att beskriva förhållandet är att skriva 8,15 < 8,2 eftersom 8,15 är mindre än 8,2. Talet 8,15 ligger alltså till vänster om 8,2 på tal linjen. När du jämför två decimaltal med varandra kan det vara enklare att se vilket som är störst om du lägger till nollor, så att talen får lika många decimaler. I exemplet är 8,2 större än 8,15 eftersom 8,2 = 8,20.

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

8,1

8,2

8,3

8,4

8,5

8,6

8,7

8,8

8,9

EXEMPEL NIVÅ 1

LÖSNING

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

Ett decimaltal har värdet 4 528,13. a) Vilken siffra står på hundratalets plats? b) Vilket värde har siffran 3? c) Skriv 4 528,13 som en summa av varje siffras värde. a) Vi tittar på heltalen (siffrorna till vänster om decimalkommat). Från vänster till höger har vi tusental (4), hundratal (5), tiotal (2) och ental (8). Siffran 5 står alltså på hundratalets plats. b) Siffran 3 står två steg till höger om decimalkommat och har värdet 3 hundradelar. c) Talet 4 528,13 kan skrivas som summan 4 000 + 500 + 20 + 8 + 0,1 + 0,03 a) Siffran 5 står på hundratalets plats. b) Siffran 3 har värdet 3 hundradelar. c) 4 528,13 = 4 000 + 500 + 20 + 8 + 0,1 + 0,03

Ordna följande tal i storleksordning från minst till störst: 0,4, 0,395, 0,41, 0,049 Förklara hur du tänker med hjälp av positionssystemet.

LÖSNING

För att jämföra talen kan du titta på siffrornas värde position för position, med början från vänster. Jämförelsen blir enklare om alla tal har samma antal decimaler. Detta ordnar du genom att lägga till nollor i slutet. Talen blir då: 0,400, 0,395, 0,410, 0,049 Om du jämför tiondelarna ser du att 0,049 har 0 tiondelar och är minst. Sedan kommer 0,395 som har 3 tiondelar. Både 0,400 och 0,410 har fyra tiondelar, men 0,410 har 1 hundradel mer än 0,400 och är alltså störst.

SVAR

0,049 < 0,395 < 0,4 < 0,41.

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.1.1

1.1.7

Skriv talet med siffror. a) fyratusen sexhundratvå b) tjugofemtusen åttahundra c) åttatusen fyrahundratjugoett d) 4 tiotusental, 2 tusental, 8 hundratal, 0 tiotal och 5 ental

Vilket värde har a) siffran 7 i talet 7 403? b) siffran 9 i talet 19 250? c) siffran 5 i 4,51? d) siffran 9 i talet 0,129?

1.1.2

Ordna talen från minst till störst. a) 5 601, 5 061, 5 610 b) 23 321, 22 231, 23 231 c) 1,234, 123,4, 12,34 d) 0,427, 0,374, 0,38

Skriv talet med siffror. a) noll komma noll fem b) fem hela och tre hundradelar c) sju hundratal, tre hela och fyra tusendelar d) 4 tiotal, 2 ental och 5 tiondelar 1.1.3

Vilket tal är störst? a) 3 499 eller 3 944 b) 45 099 eller 45 101 c) 0,7 eller 0,08 d) 0,4 eller 0,39 1.1.4

Vilken siffra står på positionen a) tusental i talet 84 512? b) hundratal i talet 5 632? c) tiondel i talet 4,582? d) tusendel i talet 1,678? 1.1.5

1.1.8

1.1.9

Rita en tallinje mellan 0 och 100. Gör skalstreck vid varje tiotal. Markera talen a) 20 c) 55 b) 80 d) 8 1.1.10

Rita en tallinje mellan 0 och 1. Gör skalstreck vid varje tiondel. Markera talen a) 0,5 c) 0,25 b) 0,9 d) 0,73 1.1.11

Vilka värden har de tre punkter som är markerade på tallinjen? 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

Sätt ut rätt tecken (<, > eller =) mellan talen. a) 12 300 och 12 030 b) 5 421 och 5 124 c) 23,2 och 22,3 d) 0,3 och 0,29

1.1.12

1.1.6

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110

Vilka värden har de tre punkter som är markerade på tallinjen?

Skriv talet med ord. a) 15 030 b) 3,24

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.1.13

Skriv talet med siffror. a) tre miljoner sjuttiotusen fem b) tolv hela och fem hundradelar c) 4 ental, 2 tiondelar och 9 tusendelar d) femton hela och tolv tusendelar 1.1.14

Jämför talen och förklara hur du ser vilket som är störst. a) 607 890 och 607 908 b) 1,209 eller 1,21 1.1.15

Vilket är det minsta tal du kan skriva med siffrorna 1, 4, 7, 2, 9 om varje siffra bara får användas en gång? 1.1.16

Vilket är det största möjliga femsiffriga tal du kan skriva med siffrorna 0, 4, 8, 2 och 5 om varje siffra bara får användas en gång? 1.1.17

Vilket tal ligger mitt emellan a) 45 000 och 46 000? b) 0,1 och 0,2? 1.1.18

Hur många gånger mindre är värdet av siffran 4 i talet 5 432 jämfört med värdet av siffran 4 i talet 4 100?

1.1.20

Ordna följande tal från minsta till största: 0,303; 0,33; 0,033; 0,3; 0,0303. 1.1.21

Talet A är 10 gånger större än 450. Talet B är 100 gånger mindre än A. Vilket är talet B? 1.1.22

Skapa ett tal där siffran 5 är värd 1 000 gånger mer än siffran 5 i talet 1,25. 1.1.23

Skriv ett tal som är större än 0,12 men mindre än 0,13. 1.1.24

Hur många tusendelar behövs för att bilda en hundradel? 1.1.25

Jämför 0,5 och 0,500. Är de lika mycket värda? Förklara hur du resonerar. 1.1.26

Hur många hundratal finns det i talet 12 500? 1.1.27

Vilken siffra i talet 17 295 har det högsta värdet?

1.1.19

Vad är värdet av siffran 6 i talet 0,162? Skriv svaret som ett decimaltal.

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.1.28

1.1.32

Jag är ett femsiffrigt tal. Min tiotusentalssiffra är 3. Min tusentalssiffra är dubbelt så stor som min hundratalssiffra. Resten av siffrorna är 0. Summan av alla siffror är 9. Vilket tal är jag?

I ett tal flyttas en siffra två steg till vänster och talets värde ökar med 5 940. Vilken var siffran och på vilken plats stod den från början?

1.1.29

Kan du lista ut vilket tal som är svar på gåtan? • Det finns ingen nolla på någon position. • Den största siffran i vårt positionssystem finns på två ställen, men inte på entalspositionen. • Siffran för tiotusental är tre gånger så stor som siffran för tiotal. • Siffran för hundratusental är 5. • Siffran för ental är fem mindre än nio. • Siffran för ental är dubbelt så stor som siffran för tiotal.

Skapa ett sexsiffrigt tal där ingen siffra är noll. Summan av siffrorna ska vara 12, tusentals platsen ska vara dubbelt så stor som tiotalssiffran och talet ska vara så nära 500 000 som möjligt. 1.1.30

En elev påstår att ”0,10 är mer än 0,2 eftersom 10 är mer än 2”. Förklara med hjälp av positionssystemet varför detta är felaktigt och hur eleven bör tänka.

1.1.33

1.1.31

Skriv det tal som har 4 tiotusental, hälften så många tusental, 0 hundratal, 8 tiondelar och resten av platserna fyllda med siffran 5 så att det blir ett tal med tre decimaler.

NE MATEMATIK 7 * 1.1 Vårt talsystem

ADDITION OCH SUBTRAKTION Du vet alldeles säkert vad det betyder om det står ”Anna + Einar = sant”. När du skriver ett ”+” innebär det att du lägger samman två saker. I matematiken säger man att man adderar. Addition innebär att du lägger samman två eller flera tal. Du använder ofta addition för att räkna ut hur mycket flera saker sammanlagt kostar. Här får du repetera det du har lärt dig om addition och subtraktion. ADDITION

TERM

Addition är ett räknesätt där man lägger samman två eller flera tal. Vid addition används plustecken (+) mellan talen. De tal som läggs samman kallas termer och resultatet kallas summa.

Beteckningen på ett av talen i en addition eller ett av talen i en subtraktion.

SUBTRAKTION

DIFFERENS

Subtraktion är ett räknesätt där man räknar ut skillnaden mellan två tal. Vid subtraktion används minustecken (–) mellan talen. De tal som subtraheras kallas termer och resultatet kallas differens.

Namnet på resultatet vid subtraktion. Resultatet kan också kallas skillnad.

SUMMA

Namnet på resultatet vid addition.

av termerna blir större än nio i en kolumn skriver du minnessiffran i kolumnen till vänster. VÄXLING

Om den övre termen i en kolumn är mindre än den undre när du räknar subtraktion med uppställning växlar du från kolumnen till vänster (till exempel ett hundratal till tio tiotal).

MINNESSIFFRA

Minnessiffror används i addition med uppställning. Om summan

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

”Älskar, älskar inte, älskar, älskar inte …” När man plockar kronblad från en blomma subtraherar man antalet kronblad med ett tills svaret förhoppningsvis är ”älskar”.

ADDITION Om man lägger samman två eller flera tal säger man att man adderar dem. Man anger addition med ett plustecken (till exempel 12 + 3). De tal man lägger samman kallas termer och resultatet kallas summa. summa

12 + 3 = 15 term

Det spelar ingen roll i vilken ordning du adderar termerna – summan blir densamma: 12 + 3 = 3 + 12 = 15 HUVUDRÄKNING

När du adderar två eller flera tal kan du alltid räkna ental för sig, tiotal för sig och hundratal för sig. Om du ska addera 29 + 23 kan du räkna ental för sig och tiotal för sig: 29 + 23 = 20 + 20 + 9 + 3 = 40 + 12 = 52 Det finns många knep för att lösa addition på ett snabbare sätt. I exemplet ovan kan du till exempel öka 29 med 1 och minska 23 med 1, och sedan addera: 29 + 23 = 30 + 22 = 52

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

UPPSTÄLLNING

Ibland behöver du räkna ut svårare additioner än du kan lösa med huvudräkning. Bilderna visar steg för steg hur du utför additionen 2 690 + 438 skriftligt.

2 6 9 0 +

4 3 8

8 Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Addera entalen: 0 + 8 = 8.

UPPSTÄLLNING

MED DECIMALTAL

2 6 9 0 2 8 Steg 2: Fortsätt med tiotalen: 9 + 3 = 12. Skriv minnessiffran 1 rakt över hundratalen.

2 6 9 0 +

4 3 8 1 2 8

Steg 3: Fortsätt med hundratalen och addera minnessiffran: 1 + 6 + 4 = 11. Skriv minnessiffran 1 rakt över tusentalet.

2 6 9 0 +

4 3 8 3 1 2 8

Steg 4: Fortsätt med tusentalen: 1 + 2 = 3. Svaret är 3 128.

När decimaltal ska adderas måste man ibland fylla på med nollor i ett av talen för att få lika många decimaler i båda talen. Bilderna visar steg för steg hur du utför additionen 2,45 + 12,8 skriftligt.

2,4 5

+ 1 2,8 0

,2 5

5,2 5

1 5,2 5

Steg 1: Ställ upp talen så att decimalkommana står under varandra. Fyll på med en nolla i 12,8 så att båda talen har lika många decimaler. Addera hundradelarna: 5 + 0 = 5.

Steg 2: Fortsätt med tiondelarna: 4 + 8 = 12. Sätt minnessiffran 1 rakt över entalet.

Steg 3: Addera entalen och minnessiffran: 1 + 2 + 2 = 5.

Steg 4: Fortsätt med tiotalen. Svaret är 15,25.

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

SUBTRAKTION Om man vill räkna ut skillnaden mellan två tal säger man att man subtraherar dem. Man skriver ett minustecken mellan talen (till exempel 12 − 3). De tal man subtraherar kallas termer och resultatet kallas differens. differens

12 − 3 = 9 term

HUVUDRÄKNING

När du subtraherar två tal kan du alltid räkna ental för sig, tiotal för sig och hundratal för sig. Om du ska subtrahera 79 − 34 kan du räkna 79 − 34 = 70 − 30 + 9 − 4 = 40 + 5 = 45

UPPSTÄLLNING

Ibland behöver du räkna ut svårare subtraktioner än du kan lösa med huvudräkning. Bilderna visar steg för steg hur du utför subtraktionen 7 423 − 740 skriftligt. 10

7 4 2 3 −

7 4 0 3

Steg 1: Ställ upp talen med det första talet överst. Subtrahera entalen: 3 − 0 = 3.

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

7 4 2 3 −

7 4 0 8 3

Steg 2: Fortsätt med tiotalen. Du ska ta bort 4 tiotal, men du har bara 2 tiotal. Växla ett hundratal till 10 tiotal. Du har nu 12 tiotal och kan plocka bort 4 tiotal: 12 − 4 = 8.

−

10 10

7 4 2 3

7 4 0 6 8 3

Steg 3: Det överstrukna hundratalet är värt ett mindre. Det finns alltså 3 hundratal kvar. Du ska ta bort 7 hundratal, men du har bara 3 hundratal. Växla ett tusental till 10 hundratal. Nu har du 13 hundratal och kan plocka bort 7 hundratal: 13 − 7 = 6.

−

7 4 0 6 6 8 3

Steg 4: Det överstrukna tusentalet är värt ett mindre. Det finns alltså 6 tusental kvar. Svaret är 6 683.

EXEMPEL NIVÅ 1 LÖSNING

Beräkna 26,6 + 5,5 med uppställning. Skriv uppställningen så att decimaltecknen hamnar rakt under varandra. Då hamnar ental under ental och tiondelar under tiondelar.

5,5

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

LÖSNING

5,5

Steg 2: Fortsätt med entalen: 1 + 6 + 5 = 12. Skriv minnessiffran 1 rakt över tiotalen.

Steg 3: Fortsätt med hundratalen: 1 + 2 + 0 = 3. Svaret är 32,1.

26,6 + 5,5 = 32,1.

Världens längsta man, Robert Wadlow, var 2,72 m lång. Jesper är 0,9 m kortare. Hur lång är Jesper? För att kunna utföra subtraktionen måste alla tal ha lika många decimaler. Eftersom 0,9 har en decimal och 2,72 har två decimaler lägger du till en nolla på hundradelspositionen: 0,9 = 0,90. Skriv uppställningen så att decimaltecknen hamnar rakt under varandra. Då hamnar ental under ental och tiondelar under tiondelar.

2,7 2 −

0,9 0 2

Steg 1: Ställ upp talen med det första talet överst. Subtrahera hundradelen: 2 − 0 = 2.

5,5 3 2,1

SVAR

2 6,6

2,1

1 Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Addera tiondelarna: 6 + 5 = 11. Skriv minnessiffran 1 rakt över entalen.

2 6,6

2,7 2 −

2,7 2

0,9 0

−

8 2

0,9 0 1,8 2

Steg 2: Du ska ta bort 9 tiondelar, men har bara 7 tiondelar. Växla en hel till 10 tiondelar. Du har då 10 + 7 = 17 tiondelar och kan plocka bort 9 tiondelar: 17 − 9 = 8.

Steg 3: Det överstrukna heltalet är värt ett mindre. Det finns alltså 1 heltal kvar. Svaret är 1,82.

Jesper är 1,82 m lång.

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.2.1

Vad är summan av 1 400 och 2 500? 1.2.2

Beräkna a) 45 + 32 b) 87 − 24

1.2.10

c) 562 + 489 d) 804 − 257

1.2.11

1.2.4

Beräkna a) 652 + 47 b) 5 276 + 653

Ida har 125 kr och Alf har 45 kr. Om Ida ger 35 kr till Alf, hur mycket pengar har Ida och Alf tillsammans?

c) 56 + 28 d) 92 − 37

1.2.3

Beräkna a) 348 + 211 b) 659 − 432

1.2.9

c) 408 − 33 d) 2 291 − 384

En tröja kostar 168 kr på rea. John har 115 kr. Hur mycket saknar han för att kunna köpa tröjan? Ett rep är 437 cm långt. Du klipper av 284 cm. Hur mycket är det då kvar av repet? 1.2.12

Under april planterar nio elever blomfrön i rabatten utanför klassrummet. Eleverna jobbar i tre grupper med tre elever i varje grupp.

1.2.5

Beräkna a) 4 521 + 3 165 b) 9 876 − 4 321

c) 4 892 + 7 159 d) 8 054 − 2 317

1.2.6

Beräkna a) 4,25 + 3,12 b) 8,75 − 4,50

c) 15,60 + 2,45 d) 27,50 − 8,25

grupp 1

grupp 2

grupp 3

dag 1

442

353

351

dag 2

298

101

446

dag 3

163

376

226

Vilken grupp har planterat flest frön?

1.2.7

Marco köper en jacka för 1 018 kr och ett par jeans för 421 kr. Hur mycket kostar kläderna tillsammans? 1.2.8

238 personer tittade på en film på premiärdagen. Nästa dag kom 449 fler personer. Hur många såg filmen den andra dagen?

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.2.13

Vad är differensen mellan 8,50 och 3,25? 1.2.14

Beräkna a) 20,00 − 5,35

b) 10,52 − 8,009

1.2.15

Beräkna c) 53 − 28 + 14 d) 402 − 187 + 55 e) 2 450 + 7 899 + 102 f) 45,67 + 128,9 − 34,05 1.2.16

Leon delar en stor påse godis med sina kompisar. Det finns 142 godisbitar i påsen. Siri får 15, Johan får 25, Karin 20, Jens 17 och Jasmine 27 godisbitar. Hur många godisbitar har Leon kvar? 1.2.17

Dora har 800 kr. Hon handlar ett spel för 359 kr och en tröja för 149 kr. Hur mycket pengar har hon kvar?

1.2.19

Summan av tre tal är 5 000. Det första talet är 1 250 och det andra är 2 100. Vilket är det tredje talet? 1.2.20

Tuva köper ett äpple för 6,50 kr och en smörgås för 24,75 kr. Hon betalar med en femtiolapp. Hur mycket får hon tillbaka? 1.2.21

En påse med äpplen väger 1,25 kg och en påse med apelsiner väger 2,40 kg. Hur mycket väger tre påsar med äpplen och en påse med apelsiner tillsammans? 1.2.22

Ett tal är 15,25 större än differensen mellan 80,50 och 30,25. Vilket är talet? 1.2.23

Differensen mellan två decimaltal är 4,55. Det mindre talet är 12,30. Vad är summan av de två talen?

1.2.18

Liam hoppar 655 cm i längdhopp. Hans kompis Robin hoppar 313 cm. Hur mycket längre hoppar Liam än Robin?

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.2.24

1.2.29

1.2.25

1.2.30

Du har en budget på 1 000 kr. Du köper tre varor som kostar 245,75 kr styck och två varor för 89,90 kr styck. Har du råd att köpa ytterligare en vara för 85 kr? Redovisa alla beräkningar tydligt och motivera ditt svar. Summan av tre på varandra följande heltal är 42. Vilka är de tre heltalen? Förklara hur du kom fram till svaret. 1.2.26

I en längdhoppstävling hoppade Anna 4,15 meter. Bea hoppade 0,85 meter längre än Anna men 0,30 meter kortare än Cecilia. Vad är summan av hopplängderna? 1.2.27

Leo påstår att differensen mellan 8 000 och 3 456 plus summan av 1 200 och 854 är lika med 6 600. Är Leos påstående korrekt? 1.2.28

En snickare sågar en 10,00 meter lång planka i fyra delar. Den första delen är 2,35 meter lång, den andra är 1,80 meter lång och den tredje är lika lång som summan av de två första delarna. Hur mycket av plankan blir över?

NE MATEMATIK 7 * 1.2 Addition och subtraktion

Skapa det största möjliga fyrsiffriga talet och det minsta möjliga fyrsiffriga talet med siffrorna 2, 5, 8 och 1. Vad är differensen mellan dessa två tal? Du får bara använda varje siffra en gång per tal. Du har siffrorna 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Vilket är det största talet du kan få om du bildar två tresiffriga tal av siffrorna och sedan adderar talen? Du får bara använda varje siffra en gång. 1.2.31

Summan av två tvåsiffriga tal är 95. Differensen mellan dem är 15. Vilka är de två talen? 1.2.32

I subtraktionerna nedan saknas några siffror som är markerade med bokstäver (A–D). Vilka siffror ska stå i stället för bokstäverna? Förklara din lösningsmetod. a) A 4B2 − 1 C8D = 3 845 b) 3 A18 – B 70C = 1 8D9

MULTIPLIKATION OCH DIVISION Multiplikation är ett sätt att addera samma tal många gånger. Division handlar om att dela upp i lika stora delar. Om du har syskon vet du hur viktigt det är att dela lördagsgodiset rättvist! Man kan säga att multiplikation och division är varandras motsatser.

MULTIPLIKATION

DIVISION

KORT DIVISION

Multiplikation är ett sätt att addera samma tal många gånger. De tal man multiplicerar med varandra kallas faktorer och resultatet kallas produkt.

Ett sätt att dividera där man räknar direkt på bråkstrecket och inte skriver ner uträkningarna.

FAKTOR

Division är ett räknesätt som innebär att man delar två tal med varandra. Det tal som står över bråkstrecket kallas täljare och det tal som står under bråkstrecket kallas nämnare. Resultatet kallas kvot.

Beteckningen på de tal som ingår i en multiplikation.

KVOT

PRODUKT

Resultatet av en division kallas kvot.

Namnet på resultatet av en multiplikation.

TÄLJARE

MULTIPLIKATIONSTABELLEN

Talet som står över bråkstrecket vid en division.

I multiplikationstabellen visas alla produkter för två faktorer mellan 1 och 10. Du ska kunna multiplikationstabellen utantill.

LÅNG DIVISION

Ett sätt att dividera där uträkningarna skrivs ner i flera steg. Två vanliga uppställningar är ”liggande stolen” och ”trappan”.

NÄMNARE

Talet som står under bråkstrecket vid en division.

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

Innan miniräknaren fanns var kulramen det snabbaste sättet att räkna. Kulramen har funnits i tusentals år och används fortfarande i delar av världen. Hur många kulor av varje färg finns det på kulramen? Kan du komma på varför det finns just så många kulor av varje färg?

MULTIPLIKATION Multiplikation är ett snabbt sätt att addera samma tal många gånger. I stället för att skriva 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 kan du skriva 3 · 6 = 18 eller 6 · 3 = 18. produkt

12 · 3 = 36 faktor

De tal man multiplicerar med varandra kallas faktorer och resultatet kallas produkt. I vilken ordning talen multipliceras spelar ingen roll: 12 · 3 = 3 · 12 = 36

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

HUVUDRÄKNING

UPPSTÄLLNING

Du ska kunna multiplikationstabellen utantill. De svåraste produkterna att minnas är i sexans, sjuans och åttans tabell. Öva därför lite extra på att lära dig dessa tre tabeller utantill. I tabellen är multiplikationen 8 · 7 = 56 markerad. ·

100

Ibland behöver du räkna ut svårare multiplikationer än du kan lösa med huvudräkning. Bilderna visar steg för steg hur du utför multiplikationen 82 · 26 skriftligt. 8 2 ·

2 6

8 2 1

2 6

8 2 1

4 9 2

2 6

8 2 1

4 9 2 1 6 4

2 6

4 9 2 1 6 4 0 2 1 3 2

Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Multiplicera entalen: 2 · 6 = 12. Skriv minnessiffran 1 vid sidan om.

Steg 2: Multiplicera det undre entalet med det övre tiotalet: 6 · 8 = 48. Addera sedan minnessiffran: 48 + 1 = 49. Stryk minnessiffran för att markera att den är använd.

Steg 3: Multiplicera det undre tiotalet med det övre entalet 2 · 2 = 4. Skriv produkten på nästa rad, rakt under tiotalet. Multiplicera det undre tiotalet med det övre tiotalet: 8 · 2 = 16.

Steg 4: Addera de nedersta två raderna med varandra. Slutresultatet blir 2 132.

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

DIVISION Om man vill dela två tal med varandra säger man att man dividerar dem. Division kan skrivas med ett snedstreck, 12/3, eller med ett bråkstreck: 12 =4 3

täljare kvot nämnare

Det tal som står ovanför bråkstrecket kallas täljare och det tal som står under bråkstrecket kallas nämnare. Resultatet kallas kvot. Man kan säga att multiplikation och division är varandras motsatser. HUVUDRÄKNING

Eftersom division kan ses som motsatsen till multiplikation är det ofta enklare att räkna ”baklänges”. Om du ska dela upp 87 godisbitar i tre lika stora högar är det enklare att tänka: ”Hur många bitar ska finnas i varje hög?”. Här kan du testa dig fram: ”Om jag har 30 bitar i varje hög blir det 90 godisbitar. Om jag plockar bort en godisbit ur varje hög blir det tillsammans 87 bitar. Varje hög innehåller alltså 29 bitar.”

UPPSTÄLLNING

Det finns två metoder för att ställa upp två tal som ska divideras: kort division och lång division. Kort division är enklast att använda om du dividerar med ental. Lång division fungerar oavsett hur många siffror du har i nämnaren – välj själv vilken metod som du tycker bäst om.

KORT DIVISION

Bilderna visar steg för steg hur du utför multiplikationen 342/6 med kort division. 3

3 4 2

Steg 1: Ställ upp talen med täljaren överst. Börja med hundratalet. Eftersom 3/6 inte ger något heltal skriver du 3 som minnessiffra, rakt över tiotalet.

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

= 5

Steg 2: Fortsätt med tiotalen. 34/6 ger 5 heltal och resten 4. Skriv heltalskvoten 5 efter likhetstecknet och 4 som minnessiffra, rakt över entalet.

3 4 2 6

= 5 7

Steg 3: Avsluta med entalen: 42/6 = 7. Slutresultatet blir 57.

LÅNG DIVISION

Lång division ger samma resultat som kort division, men kan användas oavsett antal siffror i nämnaren. Det finns två varianter av lång division, ”trappan” och ”liggande stolen”. I bilderna visas lång division av 354/6 med trappan. 5 6 3 5 4

6 3 5 4

3 0

− 3 0 5

Steg 1: Ställ upp talen – nämnaren på trappsteget och täljaren under trappan. Börja med hundratalet. Eftersom 3/6 inte ger något heltal fortsätter du till tiotalen: 35/6 ger 5 heltal och 5 i rest. Skriv heltalet ovanför strecket.

Steg 2: Multiplicera nämnaren med heltalet: 6 · 5 = 30. Skriv 30 på raden under.

Steg 3: Subtrahera resultatet från 35: 35 − 30 = 5.

5 9

6 3 5 4

− 3 0

5 4

− 5 4

− 5 4 0

Steg 4: Flytta ner entalet (4) och skriv bredvid siffran 5. Talet blir 54.

Steg 5: 54 är delbart med 6 och ger ingen rest. Skriv heltalet ovanför strecket. Multiplicera nämnaren med heltalet: 6 · 9 = 54.

Steg 6: Subtrahera resultatet från 54: 54 − 54 = 0. Slutresultatet blir 59, samma resultat som vid kort division.

Den generella principen för lång division är att du upprepar följande fyra steg: • Steg 1: Dividera täljaren med nämnaren så att du får en heltalskvot. • Steg 2: Multiplicera nämnaren med heltalskvoten. • Steg 3: Subtrahera värdet du fick i steg 2 från täljaren. • Steg 4: Flytta ner nästa siffra från täljaren. Börja sedan om från steg 1 tills divisionen går jämnt ut.

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

EXEMPEL NIVÅ 1

LÖSNING

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

LÖSNING

Du ska köpa snacks till en filmkväll. Du köper 3 påsar chips som kostar 24,50 kr styck och 4 läsk som kostar 15 kr styck. Hur mycket kostar allt? Chipsen kostar 3 · 24,50 kr = 73,50 kr. Läsken kostar 4 · 15 kr = 60 kr. Tillsammans kostar de 73,50 kr + 60 kr = 133,50 kr. Chipsen och läsken kostar sammanlagt 133,50 kr.

7 3,5 0

Lisa går på promenad med sin hund varje morgon och kväll. Det är 3 km till hundrastplatsen. Hur långt går Lisa och hennes hund under ett år? Det är 3 km till hundrastgården och de går sträckan fyra gånger per dag (fram och tillbaka två gånger). Varje dag går de alltså 3 · 4 km = 12 km. På ett år är det cirka 365 dagar. Använd skriftlig uppställning för att beräkna 365 · 12. Steg 1: Ställ upp talen med det större talet överst. Multiplicera det undre entalet (2) med 365. Steg 2: Fortsätt med att multiplicera det undre tiotalet (1) med 365. Steg 3: Addera resultaten. Svaret är 4 380.

SVAR

2 4,5 0

3 6 5 ·

1 2

+ 7 3 0 3 6 5 4 3 8 0

Lisa och hennes hund går 4 380 km under ett år. (Det motsvarar avståndet mellan Malmö och Istanbul i Turkiet.)

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

EXEMPEL NIVÅ 3

LÖSNING

Under höstlovet åker hälften av Eriks klass, 14 personer, till ett escape room. Kostnaden blir 1 764 kr. Hur mycket ska varje person betala? Du ska beräkna 1 764/14. Du har ett tiotal i nämnaren och bör använda metoden för lång division för att lösa uppgiften. Steg 1: Ställ upp talen som en trappa – nämnaren på trappsteget och täljaren under trappan. Dividera från vänster till höger. Börja med tusentalet. Eftersom 1/14 inte ger något heltal fortsätter du till hundratalen: 17/14 ger 1 heltal. Skriv heltalskvoten (1) ovanför strecket på hundratalspositionen. Steg 2: Multiplicera nämnaren med heltalskvoten: 14 · 1 = 14. Subtrahera resultatet från 17: 17 − 14 = 3. Flytta ner tiotalet (6) och skriv bredvid 3. Talet blir 36.

1 2 6 1 4 1 7 6 4 − 1 4 3 6 − 2 8 8 4 − 8 4 0

Steg 3: 36/14 ger 2 heltal. Skriv heltalskvoten (2) ovanför strecket på tiotalpositionen. Steg 4: Multiplicera nämnaren med heltalskvoten: 14 · 2 = 28. Subtrahera resultatet från 36: 36 − 28 = 8. Flytta ner entalet (4) och skriv bredvid 8. Talet blir 84. Steg 5: 84 är delbart med 14 och ger ingen rest: 84 − 84 = 0. Skriv heltalskvoten (6) ovanför strecket på entalspositionen. Divisionen går jämnt ut. Slutresultatet blir 126. SVAR

Varje person ska betala 126 kr.

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.3.1

1.3.7

1.3.2

1.3.3

Vad är produkten av 6 och 9? Vad är kvoten mellan 56 och 7? Beräkna a) 8 · 9 b) 54 / 9 c) 16 · 7 d) 84 / 7

Beräkna

1.3.5

Beräkna a) 23 · 12 b) 308 · 34 c) 45 · 156 d) 4 050 · 15 1.3.6

Beräkna a) 3,2 · 4 b) 12,45 · 3 c) 1,5 · 1,2 d) 4,5 · 2,2

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

8 426 2

492 2

357 7

15,75 5

1.3.8

Beräkna a)

1.3.4

Beräkna a) 7 · 28 b) 345 · 6 c) 4 250 · 8 d) 5 · 7 034

856 4

8,4 2

1,44 6

48,4 4

1.3.9

En chokladkaka kostar 15 kr. Hur mycket kostar fyra chokladkakor? 1.3.10

Ett tåg har sex vagnar med 95 platser i varje vagn. Hur många platser finns det totalt? 1.3.11

Bengt jobbar i en knappfabrik. Varje vecka tillverkar maskinen han arbetar vid 34 995 knappar. Hur många knappar tillverkas varje dag om Bengt jobbar fem dagar i veckan?

ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.3.12

1.3.17

Beräkna a) 205 · 115 b) 1 045 · 307

Familjen Svensson tankar 45,5 liter bensin. Bensinen kostar 18,40 kr per liter. Vad blir totalkostnaden?

1.3.13

1.3.18

Beräkna a)

45 549 7

45,68 4

1.3.14

Arvid springer 4,75 km varje dag i en vecka (7 dagar). Hur långt springer han totalt på en vecka? 1.3.15

En träplanka är 14,58 meter lång. Den ska sågas i sex lika långa delar. Hur lång blir varje del?

Produkten av 7 och ett okänt tresiffrigt tal är 5 803. Vilket är talet? 1.3.19

Vad blir skillnaden mellan produkten av 345 och 12 och kvoten av 9 648 och 4? 1.3.20

Du är på resa och ska köpa en tröja som kostar 45 euro (€). Växelkursen är att 1 € kostar 11,50 svenska kronor. Du har 500 kr kvar på ditt kort. Räcker dina pengar till tröjan? Motivera ditt svar.

1.3.16

Rektorn på en skola köper in 134 nya matteböcker för 215 kr styck. Hur mycket kostar böckerna sammanlagt?

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.3.25

1.3.21

Du har siffrorna 2, 4, 6 och 8. Skapa ett tresiffrigt tal och multiplicera det med den kvarvarande siffran så att produkten blir så stor som möjligt. Redovisa din lösning.

Petronella säljer paraplyer på höstlovet. Varje paraply kostar 42 kr. Under veckan tjänar hon 2 394 kr. Hur många paraplyer sålde hon?

1.3.22

Bob bygger nio fågelholkar och sätter upp i parken. Brädor och spikar till alla fågelholkar kostar 969 kr. Hur mycket kostar varje fågelholk?

Använd siffrorna 2, 3, 4, 5 och 6 exakt en gång vardera för att ställa upp en multiplikation av ett tresiffrigt och ett tvåsiffrigt tal (till exempel 234 · 56). Vilken kombination av dessa siffror ger den största möjliga produkten? Förklara och motivera din metod. 1.3.23

Förklara varför man inte kan dividera ett tal med siffran 0. Resonera utifrån sambandet mellan multiplikation och division. 1.3.24

Beräkna med lång division. a)

253 11

432 b) 12

1 440 15

984 d) 24

NE MATEMATIK 7 * 1.3 Multiplikation och division

1.3.26

1.3.27

Ett flygbolag ska transportera 12 450 väskor från en terminal. Varje bagagevagn kan ta högst 85 väskor. a) Hur många vagnar krävs totalt? Fyra personer jobbar parallellt med att lasta ur varsin vagn. Varje vagn tar exakt 12,5 minuter att lasta ur. b) Hur lång tid tar hela urlastningen? Visa dina beräkningar steg för steg.

MULTIPLIKATION OCH DIVISION MED SMÅ OCH STORA TAL Världen består av saker som behöver beskrivas med små eller stora tal. Med hjälp av positionssystemet kan du enkelt multiplicera eller dividera tal genom att flytta decimaltecknet.

POSITIONSSYSTEM

Positionssystemet är ett talsystem där varje siffras värde beror på vilken position den har i talet. Varje steg åt vänster ökar siffrans värde med en faktor tio. Varje steg åt höger minskar siffrans värde med en faktor tio. MULTIPLIKATION MED 10

Om du multiplicerar ett tal med tio flyttas alla siffror ett steg till vänster i positionssystemet –

ental blir tiotal, tiotal blir hundratal och så vidare. DIVISION MED 10

Om du dividerar ett tal med tio flyttas alla siffror ett steg till höger i positionssystemet – tiotal blir ental, ental blir tiondel och så vidare. MULTIPLIKATION MED 0,1

Om du multiplicerar ett tal med en tiondel flyttas alla siffror ett

steg till höger i positionssystemet – tiotal blir ental, ental blir tiondel och så vidare (samma resultat som vid division med 10). DIVISION MED 0,1

Om du dividerar ett tal med en tiondel flyttas alla siffror ett steg till vänster i positionssystemet – ental blir tiotal, tiotal blir hundratal och så vidare (samma resultat som vid multiplikation med 10).

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

Att visa en späckhuggare i naturlig storlek fungerar inte i en bok. Späckhuggaren på bilden är förminskad 100 gånger. Hur stor är den i verkligheten?

RÄKNA MED POSITIONSSYSTEMET I positionssystemet beror siffrornas värde på vilken position de har i talet. tiondel

65,8 ental tiotal MULTIPLIKATION OCH

DIVISION MED FAKTORN 10

Om du multiplicerar ett tal med tio flyttas alla siffror ett steg till vänster i positionssystemet – ental blir tiotal, tiotal blir hundratal och så vidare. Alla värden multipliceras alltså med tio. 65,8 · 10 = 658 ental tiotal hundratal

Om du dividerar ett tal med tio flyttas alla siffror ett steg till höger i positionstabellen – tiotal blir ental, ental blir tiondel och så vidare. tiondel hundradel

65,8 / 10 = 6,58 ental

Om du multiplicerar 65,8 med 100 flyttas alla siffror i positionssystemet två steg åt höger (100 = 10 · 10). Vid division flyttas siffrorna i stället åt vänster.

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

I tabellen visas resultatet av multiplikation och division av talet 65,8 med 100.

65,8 / 100

tusendel

hundradel

ental

65,8 · 100

tiondel

tiotal

hundratal

tusental

talet 65,8

Om talet 65,8 multipliceras med 100 blir resultatet 6 580. Alla siffror har flyttats två steg åt vänster i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tusental (eftersom du multiplicerar med 100 = 10 · 10 flyttas positionen två steg åt vänster). Du måste sätta en nolla på entalspositionen eftersom antalet heltal är noll. Om talet 65,8 delas med 100 blir resultatet 0,658. Alla siffror har flyttats två steg åt höger i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tiondel. Du måste fylla på med en nolla på entalspositionen eftersom antalet heltal är noll. PRAKTISKA KNEP

Att multiplicera med 1 000 (10 · 10 · 10) innebär att alla siffror flyttar tre steg åt vänster i positionssystemet. Att dividera med 10 000 (10 · 10 · 10 · 10) innebär att alla siffror flyttar fyra steg åt höger. · 10 tusental

· 10 hundratal

/ 10

· 10 tiotal

/ 10

· 10 ental

/ 10

· 10 tiondel

/ 10

hundradel / 10

I praktiken kan du tänka att 1 000 har tre nollor och att 10 000 har fyra nollor. Multiplikation innebär att kommatecknet flyttas lika många steg till höger som det finns nollor i faktorn. Fyll på med nollor i alla positioner som är tomma. 65,8 · 1 000 = 65,8,0,0, = 65 800 Att dividera innebär på motsvarande sätt att flytta kommatecknet lika

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

många steg till vänster som det finns nollor i nämnaren. Fyll på med nollor i alla positioner som är tomma. 65,8 / 1 000 = 0,0,6,5,8 = 0,0658

MULTIPLIKATION OCH

DIVISION MED FAKTORN 0,1

Om du multiplicerar ett tal med en tiondel flyttas alla siffror ett steg till höger i positionssystemet – hundratal blir tiotal, tiotal blir ental och så vidare. tiondel hundradel

65,8 · 0,1 = 6,58 ental

Om du jämför detta med den tidigare bilden som visar 65,8 /10 ser du att resultatet är detsamma. Att multiplicera med 0,1 är samma sak som att dividera med 10. På motsvarande sätt är division med 0,1 samma sak som multiplikation med 10. I tabellen visas resultatet av multiplikation och division av talet 65,8 med 0,01.

tusendel

65,8 · 0,01

hundradel

tiondel

ental

65,8 / 0,01

tiotal

hundratal

tusental

talet 65,8

Om talet 65,8 delas med 0,01 blir resultatet 6 580. Alla siffror har flyttats två steg åt vänster i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tusental eftersom division med 0,01 är detsamma som multiplikation med 100. Om talet 65,8 multipliceras med 0,01 blir resultatet 0,658. Alla siffror har flyttats två steg åt höger i positionstabellen. Siffran 6 har bytt position från tiotal till tiondel eftersom multiplikation med 0,01 är detsamma som division med 100.

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

PRAKTISKA KNEP

Att multiplicera med 0,001 (0,1 · 0,1 · 0,1) innebär att alla siffror flyttar tre steg åt höger i positionssystemet. Att dividera med 0,0001 (0,1 · 0,1 · 0,1 · 0,1) innebär att alla siffror flyttar fyra steg åt vänster. · 0,1 tusental

· 0,1 hundratal

/ 0,1

· 0,1 tiotal

/ 0,1

· 0,1 ental

/ 0,1

· 0,1 tiondel

/ 0,1

hundradel / 0,1

I praktiken kan du tänka att 0,001 har tre nollor och att 0,0001 har fyra nollor. Multiplikation innebär att kommatecknet flyttas lika många steg till vänster som det finns nollor i faktorn. Placera nollor i alla positioner som är tomma. Att dividera innebär på motsvarande sätt att flytta kommatecknet lika många steg till vänster som det finns nollor i nämnaren. Ett alternativt sätt att tänka är att multiplikation med 0,001 är detsamma som division med 1 000 och att division med 0,0001 är detsamma som multiplikation med 10 000. Använd det sätt som passar dig bäst.

Stora tal kan skapa förvirring Engelskans billion (1 000 000 000) är en miljard på svenska. En svensk biljon (1 000 000 000 000) heter däremot trillion på engelska. Detta leder ofta till felöversättningar: en billionaire på engelska är en miljardär på svenska, inte en biljonär. Elon Musk blev 2026 världens första dollarbiljonär med en förmögenhet på över 1 000 miljarder dollar. 38

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

SKRIFTLIGA BERÄKNINGAR MULTIPLIKATION

Multiplikation av decimaltal eller tal som slutar med nollor fungerar på samma sätt som multiplikation av heltal. Det enklaste sättet att utföra beräkningarna är att använda positionssystemet i två steg. Om du ska multiplicera två tal som slutar med nollor, till exempel 320 · 400, multiplicerar du först talen utan nollor, 32 · 4 = 128. Sedan lägger du till antalet nollor. Talet 320 har en nolla och 400 två nollor. Tillsammans har 320 · 400 tre nollor. Då ska svaret också ha tre nollor: 320 · 400 = 128 000. Om du ska multiplicera två decimaltal, till exempel 1,2 · 7,4, multiplicerar du först talen utan decimaltecken, 12 · 74 = 888. Sedan justerar du antalet decimaler. Det enklaste sättet att tänka kring detta är att addera antalet decimaler på de tal som ska multipliceras: 1,2 · 7,4 har tillsammans två decimaler. Då ska svaret också ha två decimaler. 1,2 · 7,4 = 8,88 Du har alltså flyttat kommatecknet två steg åt vänster. Generellt gäller att antalet decimaler i svaret är summan av antalet decimaler i var och en av faktorerna.

DIVISION

Division av decimaltal fungerar på samma sätt som division av heltal. Det enklaste sättet att utföra beräkningarna är även här att använda positionssystemet på ett smart sätt. Om du ska dividera ett tal med ett decimaltal, till exempel 84 / 0,6, tittar du på den minsta decimalen i nämnaren, sex tiondelar. Du multiplicerar nämnaren med tio så att det blir ett heltal: 6 = 0,6 · 10 och täljaren med lika mycket. Uträkningen blir då 84 / 0,6 = 840 / 6 = 140. Generellt gäller att om du gör om nämnaren till ett heltal genom att multiplicera med en faktor måste du även multiplicera täljaren med samma faktor.

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

EXEMPEL NIVÅ 1

LÖSNING

En klädbutik köper in 350 nya T-shirtar. Varje T-shirt kostar 80 kr. Hur mycket kostar alla T-shirtar? Vi börjar med att multiplicera siffrorna utan nollor: 35 · 8 = 280. Sedan räknar vi nollorna i faktorerna. Det finns en nolla i 350 och en nolla i 80, totalt två nollor. Vi lägger till de två nollorna efter talet 280: 28 000.

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

3 5 8

2 8 0

Kläderna kostar sammanlagt 28 000 kr.

En parfymtillverkare har gjort 120 liter parfym av en ny doft. Parfymen tappas upp på små provflaskor som rymmer 0,004 liter parfym. Hur många flaskor räcker parfymen till?

LÖSNING

Den totala mängden parfym (120 l) ska delas med mängden parfym i de små flaskorna (0,004 l): 120 0,004

För att göra nämnaren till ett heltal förlänger vi bråket genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med 100:

SVAR

120 ⋅ 1 000 120 000 = = 30 000 0,004 ⋅ 1 000 4

Parfymen räcker till 30 000 provflaskor.

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.4.1

Hur många gånger större är värdet av siffran 4 i talet 4 500 jämfört med siffran 4 i talet 450? 1.4.2

Skriv ett tal där siffran 6 är värd 10 gånger mer än vad den är i talet 16. 1.4.3

Beräkna a) 35 · 10 b) 100 · 4,2

Beräkna a) 12 / 0,1 b) 3,5 / 0,1

1.4.12

c) 78,12 · 0,01 d) 0,1 · 10,5

1.4.13

c) 1,234 / 0,001 d) 0,4 / 0,01

1.4.7

Beräkna a) 14 · 20 b) 300 · 10,5

Beräkna a) 5 · 0,7 b) 6.5 · 0,04 Beräkna a) 8 / 0,2 b) 6,36 / 0,06

c) 1,68 / 2 d) 5,5 / 5

c) 1,5 · 0,4 d) 0,3 · 120

c) 18,48 / 0,4 d) 8,91 / 0,03

En elev räknade ut att 5,1 · 10 = 510. Är svaret rimligt? Motivera svaret. 1.4.14

Är 3,5 / 10 = 0,35 en rimlig uträkning? Motivera svaret. 1.4.15

c) 0,3 · 500 d) 2,5 · 3 000

Charlie springer 3,5 km varje dag. Hur långt springer han på 4 dagar? 1.4.16

1.4.8

Beräkna a) 24 000 / 4 000 b) 560 / 80

Beräkna a) 9,6 / 3 b) 0,45 / 5

c) 36,5 / 10 d) 23,71 / 100

1.4.6

c) 2,15 · 2 d) 0,08 · 6

1.4.10

1.4.11

1.4.5

Beräkna a) 12 · 0,1 b) 2 600 · 0,001

Beräkna a) 4,2 · 3 b) 0,7 · 4

c) 0,41 · 1 000 d) 1,245 · 10

1.4.4

Beräkna a) 800 / 10 b) 0,2 / 10

1.4.9

c) 450 / 90 d) 2 400 / 400

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

Ett rep som är 15,6 meter långt ska klippas i 4 exakt lika långa bitar. Hur lång blir varje bit?

ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.4.17

Vilket är det saknade talet x? a) 7,9 / x = 0,79 b) 1,24 · x = 124 c) 2 / x = 20 d) 72 · x = 7,2 1.4.18

Beräkna a) 0,3 · 0,22 b) 1,2 · 7,4 c) 14,6 · 2,3 d) 15,2 · 3,4 1.4.19

Du köper 3 böcker som kostar 45,50 kr styck. Hur mycket kostar de totalt? 1.4.20

En bambuplanta växer i genomsnitt 0,35 meter per dag. Hur mycket har den vuxit efter 100 dagar? 1.4.21

Ett papper är 0,125 mm tjockt. Hur tjock blir en bunt med 2 000 sådana papper? 1.4.22

En maratonlöpare springer 42,2 km på 4 timmar. Vad är löparens snitthastighet i km per timme? 1.4.23

Förklara med ord hur decimaltecknet ska flyttas när du ska beräkna 0,075 · 1 000. Vad blir svaret?

1.4.24

Vilket tal ska multipliceras med 100 för att produkten ska bli 89,4? 1.4.25

Förklara varför 8 dividerat med 10 ger exakt samma resultat som att multiplicera 8 med 0,1. 1.4.26

Om x / 100 = 0,034, vad är x? 1.4.27

Om du dividerar 12,5 med 0,5, blir svaret större eller mindre än 12,5? Motivera kort varför och beräkna sedan svaret. 1.4.28

Om 1 kg äpplen kostar 24,50 kr, vad kostar då 3,2 kg äpplen? 1.4.29

Om 0,8 kg vindruvor kostar 36,80 kr, vad är då kilopriset för vindruvorna? 1.4.30

En karaff rymmer 2,5 liter vatten. Hur många hela glas som rymmer 0,3 liter vardera kan du fylla från karaffen? 1.4.31

Fem likadana skruvar väger totalt 0,12 kg. Vad väger en skruv?

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.4.32

Beräkna a) 14,4 / 1,2 b) 7,14 / 3,4 c) 36,1 / 0,19 d) 65,61 / 8,1 1.4.33

Ett rep är 15,6 meter långt. Det ska klippas i bitar som är exakt 1,2 meter långa. Hur många bitar får man? 1.4.34

En cyklist cyklar 75,5 km på 2,5 timmar. Vad är cyklistens medelhastighet i km per timme?

1.4.37

En skola ska köpa in 1 000 nya pennor. Ett paket med 8 pennor kostar 35 kr. Ett annat paket med 10 pennor kostar 42 kr. a) Vilket alternativ är billigast? b) Hur stor skillnad i pris per penna är det mellan de två alternativen? 1.4.38

Produkten av två ensiffriga tal är 30. Du multiplicerar det ena talet med 10 och dividerar det andra talet med 100. Vad blir produkten? Motivera svaret och visa din tankegång. 1.4.39

Du utgår från talet 0,06. Multiplicera det med 10 000, dividera sedan svaret med 100 och multi plicera till sist med 0,1. Vad blir resultatet?

Ebba räknar ut att 38,4 · 100 / 1 000 = 384. Hon har gjort ett misstag. Beskriv vilket misstag hon har gjort avseende positionssystemet och förklara hur hon ska tänka för att få fram det korrekta svaret.

1.4.36

1.4.40

1.4.35

Om du har ett valfritt tresiffrigt heltal och du dividerar det med 1 000, mellan vilka två heltal kommer resultatet alltid att ligga? Motivera svaret.

NE MATEMATIK 7 * 1.4 Multiplikation och division med små och stora tal

Jämför värdet av 2 400 / 15 och 240 / 1,5. Förklara med egna ord varför resultaten förhåller sig till varandra som de gör, baserat på positionssystemet.

Enheter I avsnittet repeterar du det du lärt dig om enheter och omvandling mellan enheter. Vi kommer att fokusera på enheter för längd, massa och volym och hur man omvandlar mellan dem. Kommer du ihåg hur många milliliter det går på en deciliter?

STORHET

En storhet är något som är mätbart, till exempel längd, massa, volym, area och tid. För att beskriva storheten längd behöver enheten anges (till exempel 153 cm). ENHETER

Enhet används för att beskriva storleken av en storhet. Vanliga enheter är meter (m) för längd, kilogram (kg) för massa och liter (l) för volym. PREFIX

Ett prefix är ett ord som sätts framför en måttenhet för att ändra värdet med en faktor.

Exempel på vanliga prefix är kilo (k) för tusen, hekto (h) för hundra, centi (c) för hundradel och milli (m) för tusendel.

MASSENHETER

FAKTOR

VOLYMENHETER

En faktor är en storleksskillnad mellan två tal eller två enheter. Till exempel innebär faktorn 10 mellan m och dm att mätetalet framför dm är 10 gånger större än när den anges i m: 7,2 m = 72 dm.

Några vanliga massenheter är ton (1 000 kg), kg (1 000 g), hg (100 g), g och mg (0,001 g).

Några vanliga volymenheter är l, dl (0,1 l), cl (0,01 l) och ml (0,001 l).

LÄNGDENHETER

Några vanliga längdenheter är mil (10 000 m), km (1 000 m), m, dm (0,1 m), cm (0,01 m) och mm (0,001 m).

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

En meter är densamma var du än befinner dig i världen – en simtur i 25-metersbassängen är alltid lika lång. Klarar du att dyka hela vägen?

Om du frågar en pilot hur stort flygplanet är och får ett svar utan enhet, till exempel talet 250, är det mycket svårt att veta vad piloten menar. Menar piloten planets vikt (250 ton), motorernas effekt (250 kW), flygplanets volym (250 m3) eller kanske antalet sittplatser? Med enheter försäkrar vi oss om att vi pratar om samma sak. Exempel på vanliga enheter är meter, kilogram och sekund. LÄNGDENHETER

Några vanliga enheter för längd visas i tabellen nedan. enhet

förkortning

exempel

kilometer

avståndet till skolan, avståndet mellan Stockholm och Oslo (530 km) på en trafikskylt

meter

en simbassäng (25 m), en löparbana (400 m)

decimeter

en blyertspenna, handens längd

centimeter

tumnagelns bredd, två rutor på ett rutat papper (1 cm)

millimeter

en tändstickas tjocklek, ett sandkorn

Som du ser slutar alla andra längdenheter på meter, men det finns ett tillägg i början av enheten: kilo-, deci-, centi- eller milli-. Dessa tillägg kallas prefix.

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

PREFIX

MASSENHETER

Ett prefix är ett ord som sätts framför en måttenhet för att ändra värdet med en faktor. I tabellen visas de vanligaste prefixen. Prefixen betyder samma sak oavsett vilken enhet de står framför och oavsett om det handlar om längdenheter eller andra enheter. namn

symbol

betydelse

längd i meter

kilo

tusen

1 km = 1 000 m

deci

tiondel

1 dm = 0,1 m

centi

hundradel

1 cm = 0,01 m

milli

tusendel

1 mm = 0,001 m

Några vanliga enheter för massa visas i tabellen nedan. enhet

förkortning

ton kilogram

exempel en blåval (140 ton), en bil (2 ton)

din egen vikt, en säck planteringsjord (5 kg)

hektogram

godis (3 hg), körsbär (7 hg)

gram

jäst vid bakning (50 g)

milligram

kalcium i en liter mjölk (120 mg), mygga (40 mg)

Man säger ofta hekto i stället för hektogram och kilo i stället för kilogram.

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

VOLYMENHETER

Några vanliga enheter för volym visas i tabellen nedan. enhet

förkortning

exempel

liter

volymen av ett akvarium (100 l), mjölkpaket (1 l)

deciliter

vattenflaska (6 dl), paket vispgrädde (3 dl)

centiliter

burk läsk (33 cl)

milliliter

blodprov (3 ml), hundra vattendroppar (5 ml)

När man lagar mat används ofta ett antal ytterligare volymenheter:

OMVANDLING AV ENHETER

kryddmått (krm)

tesked (tsk)

matsked (msk)

1 krm = 1 ml

1 tsk = 5 ml

1 msk = 15 ml

Ibland vill man omvandla mellan olika enheter. Om man vill tala om hur långt det är mellan Malmö och Göteborg är det enklare att säga 243 km än 243 000 m. Om man vill tala om hur mycket ett flygplan av modellen Boeing 737 väger är det enklare att säga 41 ton än 41 000 kg. Om du omvandlar från en större till en mindre enhet multiplicerar du mätetalet med en faktor som är större än 1. Om du omvandlar från en mindre till en större enhet dividerar du mätetalet med en faktor som är större än 1.

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

SAMBAND MELLAN LÄNGDENHETER

För längder gäller: • 1 km = 1 000 m • 1 m = 10 dm • 1 dm = 10 cm • 1 cm = 10 mm

· 10 m

· 10

· 10 dm

/ 10

mm / 10

/ 10

Faktorn mellan km och m är 1 000. Varje steg mellan var och en av de andra längdenheterna motsvarar en faktor 10. Om du ska omvandla 1,3 dm till mm är det två steg i positionssystemet mellan dm och mm. Du omvandlar från en större enhet (dm) till en mindre (mm). Eftersom varje steg motsvarar en faktor 10 ska du multiplicera med 10 · 10 = 100: 1,3 dm = 1,3 · 100 mm = 130 mm SAMBAND MELLAN MASSENHETER

För massor gäller: • 1 ton = 1 000 kg • 1 kg = 10 hg = 1 000 g • 1 hg = 100 g • 1 g = 1 000 mg

· 1 000 ton

· 1 000 kg

/ 1 000

· 1 000 g

/ 1 000

mg / 1 000

Varje steg mellan ton, kg, g och mg motsvarar en faktor 1 000. Faktorn mellan hg och g är 100. Du omvandlar från en större enhet (hg) till en mindre (g). Om du ska omvandla 2,3 hg till g multiplicerar du alltså med 100: 2,3 hg = 2,3 · 100 g = 230 g SAMBAND MELLAN VOLYMENHETER

För volymer gäller följande: • 1 l = 10 dl • 1 dl = 10 cl • 1 cl = 10 ml

· 10 l

dl / 10

· 10

· 10 cl / 10

ml / 10

Varje steg mellan l, dl, cl och ml motsvarar en faktor 10. Faktorn mellan ml och l är 1 000. Du omvandlar från en mindre enhet (ml) till en större (l). Om du ska omvandla 12 ml till l dividerar du med 1 000. 12 ml = 12 / 1 000 l = 0,012 l

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

EXEMPEL NIVÅ 1

Du ska bygga en hylla med tre hyllplan och köper en träbräda som är 2,5 meter lång. Varje hyllplan ska vara 80 cm långt. Hur många centimeter blir över av brädan?

LÖSNING

Båda måtten måste ha samma enhet. Eftersom svaret ska vara i cm gör vi om 2,5 meter till centimeter: 2,5 meter = 250 cm. Ett hyllplan är 80 cm. Tre hyllplan är då 3 · 80 cm = 240 cm. Kvar finns 250 cm – 240 cm = 10 cm.

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

10 cm av brädan blir över.

En liten lastbil får lastas med högst 1,5 ton. Du ska flytta till en ny bostad och har ställt in tunga möbler som sammanlagt väger 900 kg i lastutrymmet. Resten av utrymmet ska fyllas med flyttkartonger som var och en väger 20 kg. Hur många flyttkartonger får du plats med i lastbilen?

LÖSNING

Omvandla 1,5 ton till kg: 1,5 ton = 1 500 kg. Möblerna väger 900 kg. Lastbilen kan alltså lastas med ytterligare 1 500 kg – 900 kg = 600 kg. För att ta reda på hur många kartonger som får plats dividerar vi 600 kg med vikten av en enskild kartong: 600 kg / 20 kg = 30.

SVAR

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

Du får plats med 30 flyttkartonger i lastbilen.

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.5.1

Omvandla a) 2 dl till ml b) 2,5 liter till dl c) 2,6 kg till g d) 5 cl till ml 1.5.2

Omvandla a) 1 500 m till km b) 650 g till kg c) 230 mm till cm d) 4 500 ml till liter 1.5.3

Omvandla a) 2 500 g = ___ kg och ___ g b) 15 dl = ___ l och ___ dl c) 120 cm = ___ m och ___ cm d) 7 500 ml = ___ l och ___ ml

1.5.5

En hund väger 15 kg och en katt väger 3 500 g. Hur mycket väger hunden och katten tillsammans uttryckt i kg? 1.5.6

En kanna rymmer 2,5 liter saft. Hur många glas som rymmer 250 ml kan du fylla? 1.5.7

Du köper potatis som väger 1 kg och 300 g. Du köper också morötter som väger 900 g. Vilken är den totala vikten i kilogram? 1.5.8

Ett paket socker väger 2,5 kg. Du använder 850 g för att baka kanelbullar. Hur många gram socker finns kvar i paketet?

1.5.4

Beräkna a) 5 kg + 300 g = ___ g b) 3 m + 65 cm = ___ cm c) 2 l + 500 ml = ___ l d) 300 g + 2 kg = ___ kg

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.5.9

Omvandla a) 0,45 kg till g b) 0,75 liter till cl c) 3,2 m till cm d) 2,05 liter till ml 1.5.10

Omvandla a) 3 250 g till kg b) 350 ml till l c) 85 cl till l d) 75 g till kg 1.5.11

Omvandla a) 12 km och 450 m till km b) 5 m och 8 cm till m 1.5.12

Beräkna a) 1,2 liter + 4 dl + 50 ml = ___ ml b) 2,3 m – 145 cm = ___ m c) 37 g + 0,3 kg = ___ kg d) 1 liter + 2 dl = ___ cl 1.5.13

Ett recept på lussebullar kräver 450 g mjöl per sats. Du ska baka 8 satser till en skola. Räcker en stor påse med 3 kg mjöl? Visa med beräkningar.

1.5.15

En juicepress kan fylla flaskor som rymmer 250 ml. Hur många hela flaskor kan fyllas om du har en stor tank som rymmer 15,4 liter? 1.5.16

Tre vänner ska dela lika på kostnaden för dryck och snacks. De köper 4 liter dryck som kostar 18 kr/liter och 3 påsar snacks som väger 200 g styck och kostar 12 kr per 100 g. Vad blir kostnaden per person? 1.5.17

Längden snöre i en rulle är 12,5 meter. Du klipper av 4 bitar snöre som var och en är 150 cm lång. Hur många meter snöre finns kvar på rullen? 1.5.18

Patrik har 1 800 m till skolan och 1 100 m till idrottshallen. Han går fram och tillbaka till skolan fem gånger i veckan och tränar karate i idrottshallen två gånger i veckan. Den här veckan hälsar han dessutom på sin kompis Liv en gång och sin mormor två gånger. Liv bor 600 m bort och mormor bor 350 m bort. Hur långt har Patrik gått denna vecka? Svara i km.

1.5.14

En plåtbehållare väger 1,2 kg när den är tom. När den fylls helt med vatten väger den 5,7 kg. Hur många liter vatten rymmer den om 1 liter vatten väger 1 kg?

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.5.19

En bagare köper 6 säckar mjöl som väger 15,5 kg styck. Varje dag går det åt 4 kg och 300 g mjöl i bageriet. Hur många hela dagar räcker mjölet och hur många gram är då kvar? 1.5.20

Stefan har tre bikupor. En bikupa ger 30 kg honung under ett år.

1.5.22

En av dina lärare dricker sex stora koppar kaffe om dagen. En kopp innehåller 20 cl. Hur mycket kaffe dricker din lärare a) per dag? b) per vecka? c) per år (räkna med att året har 52 veckor)?

Stefan fyller 80 burkar med 500 g honung per burk. Resten fyller han i mindre burkar med 250 g per burk. Hur många burkar honung har han totalt? 1.5.21

Ett stort badkar rymmer 240 liter. Hur många gånger måste du fylla var och en av behållarna för att tömma badkaret? a) 8 l b) 12 l c) 5 l d) 1,5 l e) 250 ml

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

FÖRDJUPNING

MER OM LÄNGDENHETER Det måttsystem du använder i vardagen för att omvandla mellan längder är enkelt och smidigt. För att omvandla mellan olika längdenheter flyttar du bara decimalkommat eller fyller på med nollor: 12 cm = 0,12 m = 120 mm Men så har det inte alltid varit. Decimalsystemet skapades i Frankrike efter franska revolutionen 1789. Målet var att ta fram ett rättvist och logiskt måttsystem som alla i hela världen kunde använda.

motsvarar i

enhet

gamla mått

metersystemet

1 fjärdingsväg

9 000 fot

2,67 km

1 famn

6 fot

1,78 m

1 aln

2 fot

59,38 cm

1 fot

–

29,69 cm

1 kvarter

1/2 fot

14,85 cm

1 tum

1/12 fot

2,47 cm

Kroppen som måttband Tidigare rådde totalt kaos – olika länder hade sina egna måttsystem, och även inom Sverige varierade måtten mellan olika delar av landet. Enheterna var kopplade till längder på kroppen. Ofta användes grundenheten fot, längden från hälen till spetsen av stortån. Men eftersom människor har olika långa fötter varierade enheten fot.

Som du ser är det inte enkelt att omvandla mellan enheterna. Hur många tum är exempelvis 1 famn?

motsvarar i

De gamla enheterna användes för att lösa specifika behov av att mäta saker i vardagen:

enhet

amerikanska mått

metersystemet

1 mile

5 280 feet

1,609 km

1 yard

3 feet

0,9144 m

1 foot

–

30,48 cm

1 inch

1/12 foot

2,54 cm

• • •

•

1 tum motsvarar en tumbredd. 1 aln motsvarar avståndet från armbågen till spetsen av långfingret. 1 famn motsvarar avståndet mellan fingertopparna när du sträcker ut båda armarna så långt du kan. 1 kvarter motsvarar längden från handledens veck upp till fingertopparna.

Gamla svenska längdmått I tabellen ser du några äldre svenska längdenheter. I Sverige infördes tiosystemet och metersystemet 1889. Innan dess hade olika delar av Sverige olika mått. I stället för att utgå från meter utgick man från 1 fot.

NE MATEMATIK 7 * 1.5 Enheter

Amerikanska längdmått Det finns faktiskt ett land som fortfarande använder en variant av de gamla enheterna. I USA används följande längdmått:

För att omvandla till exempel inches till feet måste du alltså dividera med 12, vilket inte är det lättaste. Hur många feet är exempelvis 57 inches?

Övningar 1. 2.

Ta reda på mer om gamla svenska enheter som användes för att mäta vikt och volym. Ta reda på mer om de enheter som används i USA för att mäta vikt och volym.

Prioriteringsregler På samma sätt som det finns en ordning för vad du ska göra vid brand, finns det regler för i vilken ordning du ska använda räknesättet i ett uttryck. I matematik innebär prioritering att vissa räknesätt räknas ut före andra.

UTTRYCK

PRIORITERINGSREGLER

Ett matematiskt uttryck består av tal, symboler och matematiska tecken.

Regler för i vilken ordning beräkningar ska utföras i ett matematiskt uttryck. Först beräknas parenteser och sedan multiplikation och division i valfri ordning. Sist utförs addition och subtraktion i valfri ordning. Om

PARENTES

Parenteser, ( ), är tecken som används för att gruppera uttryck.

det finns flera parenteser inuti varandra börjar du med att räkna ut den innersta.

NE MATEMATIK 7 * 1.6 Prioriteringsregler

De tända rummen bildar ett fint hjärta. Men hur många rum är släckta? Du skulle kunna räkna antalet släckta fönster ett och ett, men det finns ett smartare sätt. Med hjälp av prioriteringsreglerna kan du snabbt hitta svaret. Kan du komma på hur?

Att prioritera innebär att göra saker i rätt ordning. Om du ska ha matteprov är det bättre att prioritera att plugga inför provet och sova ordentligt än att spela på datorn hela natten. På motsvarande sätt finns det en ordning att följa när du ska räkna med flera räknesätt. Tänk dig att du ska räkna ut vad det kostar att köpa tre paket mjölk för 20 kr styck och två djupfrysta pizzor för 45 kr styck. Du kan säkert hitta svaret direkt med hjälp av huvudräkning genom att tänka så här: ”Tre gånger 20 är 60 och två gånger 45 är 90. Tillsammans blir det 150 kr.” Om du i stället skulle ställa upp frågan som ett uttryck, en blandning av tal och räknesätt, skulle uttrycket skrivas 3 · 20 + 2 · 45 När du använde huvudräkning räknade du först ut all multiplikation, 3 · 20 = 60 och 2 · 45 = 90, och sedan adderade du dessa två tal. Uträkningen blir 3 · 20 + 2 · 45 = 60 + 90 = 150 Multiplikation räknas alltså före addition i ett uttryck. Detsamma gäller för division och subtraktion. Multiplikation och division räknas alltså före addition och subtraktion.

NE MATEMATIK 7 * 1.6 Prioriteringsregler

UTTRYCK MED PARENTESER

Ibland innehåller ett uttryck delar som måste räknas ut först, innan multiplikation och division. Vi tittar på ett exempel. Tänk dig att pizzorna på din favoritpizzeria kostar 120 kr styck, men att du har fått rabattkuponger som ger 45 kr rabatt per pizza. Du bestämmer dig för att köpa två pizzor och betalar med två hundralappar. Hur mycket växel får du tillbaka? Här måste du börja med att räkna ut hur mycket en pizza kostar efter rabatt, 120 kr – 45 kr, innan du multiplicerar med 2. För att tala om att subtraktionen ska ske först sätts priset för pizzan inom parentes. Uttrycket kan skrivas som 2 · 100 − 2 · (120 − 45) där 2 · 100 är de två hundralapparna och 2 · (120 − 45) är priset för pizzorna. Parenteser har högst prioritet – du ska alltid räkna ut värdet av parenteserna först. Uträkningen blir 2 · 100 − 2 · (120 − 45) = 2 · 100 − 2 · 75 = 200 — 150 = 50

PRIORITERINGSREGLERNA

När du ska beräkna vilket värde ett uttryck har är det viktigt att du vet i vilken ordning beräkningarna utförs: 1. Parenteser: () 2. Multiplikation och division: · / 3. Addition och subtraktion: + −

FÖRDJUPNING

Om det finns flera parenteser inuti varandra börjar du med den innersta. För att det ska vara lättare att skilja parenteserna åt skrivs ofta en av parenteserna som en hakparentes, [ ]: [69 − (26 − 13) · 3]/6 = [69 − 13 · 3]/6 = [69 − 39]/6 = 30/6 = 5 När du dividerar uttryck med bråkstreck ska du tänka dig att det finns osynliga parenteser runt hela täljaren och hela nämnaren. Täljaren respektive nämnaren ska alltså räknas ut före divisionen: 4+8 (4 + 8) 12 = = =2 8−2 (8 − 2) 6

NE MATEMATIK 7 * 1.6 Prioriteringsregler

EXEMPEL NIVÅ 1 LÖSNING

Beräkna värdet av uttrycket 15 – (2 + 12/3) · 2. Först beräknas parentesens värde: (2 + 12/3). Division räknas före addition: 12/3 = 4. Värdet av parentesen blir (2 + 4) = 6. Uttrycket är nu 15 − 6 · 2. Sedan utförs multiplikationen: 6 · 2 = 12. Uttrycket är nu 15 − 12. Sist utförs subtraktionen: 15 − 12 = 3.

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

LÖSNING

15 – (2 + 12/3) · 2 = 3.

Du ska gå på bio med två kompisar. Biobiljetterna kostar normalt 140 kr, men ni har fått en rabatt på 25 kr per biljett. På bion köper ni två stora popcorn för 69 kronor styck som ni delar på. Ni köper också varsin läsk för 40 kr styck. Formulera ett matematiskt uttryck för hela kostnaden och beräkna kostnaden med hjälp av prioriteringsreglerna. Ni ska köpa 3 biljetter. Varje biljett kostar ordinarie pris minus rabatten (140 kr – 25 kr). Den totala kostnaden för biljetterna blir 3 · (140 kr – 25 kr). Popcornen kostar 2 · 69 kr och läsken 3 · 40 kr. Uttrycket för den totala kostnaden blir 3 · (140 − 25) + 2 · 69 + 3 · 40. Först beräknas parentesens värde: (140 − 25) = 115. Uttryckets värde är nu 3 · 115 + 2 · 69 + 3 · 40. Sedan görs multiplikationerna: 3 · 115 = 345, 2 · 69 = 138 och 3 · 40 = 120. Uttryckets värde är nu 345 + 138 + 120. Sist sker additionerna: 345 + 138 + 120 = 603.

SVAR

Den totala kostnaden för biobesöket blir 603 kr.

NE MATEMATIK 7 * 1.6 Prioriteringsregler

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.6.1

Beräkna a) 5 + 4 · 3 b) 20 − 10 / 2

1.6.7

c) 4 · 2 + 9 d) 50 / 5 + 5

1.6.2

Beräkna a) 5 · (4 + 2) b) (10 − 3) · 2

1.6.8

c) 12 / (2 + 4) d) (15 / 3) + 7

1.6.3

Beräkna a) 40 − 3 · 12 b) 28 + 14 · 3

En skola har tre våningsplan. På varje våningsplan finns tolv klassrum. Skolan har ytterligare 18 rum. Hur många rum har skolan totalt? Joel och Emma motionerar på fritiden. Varje vardag springer Joel längs med det röda spåret som är 6,2 km långt medan Emma följer det gula spåret som är 4,6 km långt. Hur mycket längre springer Joel än Emma under en vecka?

c) (50 − 9) · 8 d) (200 − 80) · 5

1.6.4

Beräkna a) (8 + 2) · (3 + 1) b) 8 + 2 · 6 − 4 c) 12 / (3 + 1) · 2 d) (8 + 6) / (9 − 2) 1.6.5

Beräkna a) 2 · (5 + 4 · 2) b) 4 · (10 + 5) / 3 c) 50 − 2 · (10 + 5) d) (15 / 5 + 7) · 3 1.6.6

Skriv uttrycket med siffror och räkna ut. a) Addera 3 och 5. Multiplicera sedan med 4. b) Multiplicera 6 med 2. Subtrahera sedan 5. c) Dela 20 med 4. Lägg sedan till 2. d) Subtrahera 4 från 10. Multiplicera sedan med 3.

NE MATEMATIK 7 * 1.6 Prioriteringsregler

ÖVNINGAR / NIVÅ 2

ÖVNINGAR / NIVÅ 3

1.6.9

1.6.14

Skriv uttrycket med siffror och räkna ut. a) Lägg ihop 4 och 6, multiplicera resultatet med 3 och dra sedan ifrån 5. b) Dela skillnaden mellan 20 och 8 med summan av 1 och 2. c) Kalle köper 3 äpplen för 5 kr styck och 2 bananer för 4 kr styck. d) Dubbla summan av 15 och 25 och dela sedan resultatet med 4. 1.6.10

Om du plockar bort parenteserna, kommer du att få samma svar? a) (7 + 3) · 5 = 50 b) (180/9) – 7 = 13 c) 25 + (19 · 30) = 325 d) (154 − 7)/7 = 21 1.6.11

Beskriv med egna ord vad uttrycket 4 · (150 − 25) skulle kunna betyda i en vardaglig situation (till exempel vid inköp).

Beräkna a) 5 · 2 · [ (4 + 6) / 2 ] – 3 b) [ (15 − 3) / 4 ] + 7 · (8 − 6) c) 100 − 2 · [ 15 – (3 · 4) ] + 10 d) 4 · [ 20 − (2 + 3 · 4) ] + 18 / 3 1.6.15

Sätt parenteser på rätt ställen för att göra likheten sann: a) 12 / 2 + 4 · 3 = 6 b) 8 + 4 · 5 − 3 = 16 1.6.16

Sätt in parenteser på rätt ställen så att likheten stämmer: a) 5 + 3 · 4 − 2 = 30 b) 10 − 2 · 3 + 1 = 2 1.6.17

Använd huvudräkning för att lösa uppgiften (tänk efter först). a) (354 · 27 + 429 · 62) · 0 b) (312 + 87 · 0) · (200 − 199)

1.6.12

En schackklubb med 25 medlemmar ska åka på utflykt för att besöka ett museum. Bussen kostar 1 500 kr och inträdet är 45 kr per medlem. Medlemmarna får 500 kr i bidrag från klubben. Hur mycket måste varje medlem betala? Skriv uttrycket med siffror och räkna ut. 1.6.13

På en bondgård bor 367 hönor, 4 katter, 289 får och 15 människor. Hur många ben har de alla tillsammans? Skriv uttrycket med siffror och räkna ut.

NE MATEMATIK 7 * 1.6 Prioriteringsregler

Negativa tal Till vardags är det nästan bara på termometrar som du möter negativa tal. Du vet säkert redan hur du räknar ut skillnaden mellan två temperaturer, även om den ena eller båda temperaturerna är negativa. I matematik är negativa tal vanliga. I det här avsnittet får du även lära dig att multiplicera och dividera med negativa tal.

NEGATIVA TAL

HELTAL

Ett tal är negativt om det är mindre än noll. Negativa tal har alltid ett minustecken framför sig.

De naturliga talen (0, 1, 2, 3 ...) och de negativa talen (... −3, −2, −1) bildar tillsammans heltalen.

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

Bailonghissen i Kina är världens högsta och snabbaste utomhushiss. Om du står på toppen av byggnaden (0 m) och åker hela vägen ner har du på bara 90 sekunder åkt 326 meter nedåt (motsvarande 100 våningar). Eftersom du börjar på 0 m är du alltså på höjden −326 m jämfört med toppen av hissen.

NEGATIVA TAL

För att beskriva temperaturer under 0 °C använder man negativa tal. Temperaturen i frysen är −18 °C medan temperaturen i kylen är +4 °C. Du behöver inte skriva ut plustecknet framför positiva tal (inget tecken betyder plus). Nollan utgör skiljelinjen mellan positiva och negativa tal. När man pratar om • temperatur används vattnets fryspunkt (0 °C) som referens. • pengar motsvarar positiva tal tillgångar (att man har pengar) och negativa tal skulder (att man är skyldig pengar). • höjd över havet används havsnivån (0 m) som referens. Höga berg har en positiv höjd och ubåtar en negativ.

TALLINJEN

Till vänster om nollan på tallinjen finns de negativa talen och till höger om nollan finns de positiva talen. Nollan fungerar som referenspunkt. I bilden nedan har vi markerat de två talen 1,2 och −3,7. −3,7 −5

−4

1,2 −3

−2

−1

Genom att använda tallinjen kan du enkelt jämföra tals värden. Talet till höger är alltid större än talet till vänster. Därför är −1 större än −3: −1 > −3.

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

ADDITION OCH SUBTRAKTION

För att förstå addition och subtraktion av negativa tal är tallinjen en bra hjälp. De fyra exemplen nedan hjälper dig att förstå varför resultaten blir som de blir. Vi tittar på ett exempel: 15 – (−10) Uttrycket är en subtraktion mellan två termer, 15 och (−10). Minustecknet mellan termerna kallas operator (de fyra operatorer som du har lärt dig är +, −, · och /). operator

15 – (−10)

andra termen första termen

Alla följande fyra typfall följer nedanstående regler: • Tänk dig en figur på tallinjen som står på värdet för den första termen. Figuren har gapet riktat åt höger i början: . Det betyder att den är redo att gå mot höger. • Figuren rör sig alltid i gapets riktning. • Ett subtraktionstecken mellan två termer innebär att figuren byter riktning så att gapet vänds åt andra hållet . • Om den andra termen är positiv rör sig figuren framåt, i gapets riktning ···. • Om den andra termen är negativ rör sig figuren baklänges ··· . TYPFALL 1

Om det är −3 °C ute och temperaturen stiger med 4 °C skrivs uträkningen som −3 + 4 = 1.

−3

−2

−1

Figuren startar på −3. Den andra termen är 4. Figuren går 4 steg framåt och hamnar på 1.

TYPFALL 2

Om du har 20 kr och vill köpa något för 50 kr måste du låna pengar och du får en skuld. Uträkningen skrivs 20 − 50 = – 30

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

−30

−20

−10

Figuren startar på 20. Subtraktionstecknet mellan termerna innebär att figuren byter riktning. Den andra termen är 50 och figuren går 50 steg i gapets riktning. Den hamnar på −30.

TYPFALL 3

Om du har 50 kr men har lånat 20 kr av en kompis är mindre än 50 kr dina egna pengar: 50 + (−20) = 30. Att addera ett negativt tal är samma sak som att lägga till en skuld. Addition av ett negativt tal är detsamma som subtraktion av ett positivt tal: 50 + (−20) = 50 − 20 = 30.

Figuren startar på 50. Den andra termen är −20. Figuren går 20 steg baklänges och hamnar på 30. Resultatet är detsamma som om figuren vänder sig och går 20 steg framåt.

TYPFALL 4

För att hitta skillnaden mellan 2 °C och −6 °C kan du tänka dig att det är 2 steg mellan 2 °C och 0 °C och ytterligare 6 steg mellan 0 °C och −6 °C. Totalt sett har temperaturen sjunkit med 8 °C: 2 – (−6) = 8 Att subtrahera ett negativt tal är detsamma som att addera det första talet med det andra: andra talet

2 – (−6) = 2 + 6 = 8 första talet

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

Figuren startar på 2. Subtraktionstecknet mellan termerna innebär att figuren byter riktning, så att gapet pekar mot vänster. Den andra termen är −6 och figuren går därför 6 steg baklänges. Figuren hamnar på 8. Resultatet är detsamma som om figuren startar på 2 och går 6 steg framåt.

REGEL FÖR ADDITION OCH SUBTRAKTION

Genomgången kan sammanfattas i en enkel regel som alltid fungerar. När du adderar ett negativt tal kan du skriva det som en subtraktion (olika tecken intill varandra blir minus): 15 + (−10) = 15 − 10 = 5 När du subtraherar ett negativt tal kan du skriva det som en addition (lika tecken intill varandra blir plus): 15 – (−10) = 15 + 10 = 25 Tänk på att negativa tal skrivs inom parentes vid beräkningar. Två tecken får inte stå direkt bredvid varandra. De måste ha en parentes emellan.

SUBTRAKTION

På svenska använder vi samma ord, ”minus”, både för själva räknesättet subtraktion och för alla negativa tal. Exempelvis läses 6–(−4) som ”sex minus minus fyra”. På engelska använder man olika ord. 6–(−4) läses som ”six minus negative four”. Räknesättet minus innebär att figuren vänder riktning på tallinjen. Det negativa talet innebär att figuren rör sig i motsatt riktning mot gapets riktning.

MULTIPLIKATION

Multiplikation och division av ett positivt och ett negativt tal kan användas i vardagen, till exempel för att beskriva en skuld.

OCH DIVISION

Tänk dig att du lånar 50 kr av tre kompisar, vilket betyder att du tar emot en skuld på 50 kr tre gånger. Då har du en total skuld på 150 kr.

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

Ett positivt tal multiplicerat med ett negativt tal ger ett negativt svar: 3 · (−50) = −150 Det finns tillfällen då matematik inte har några uppenbara tillämpningar i vardagen – multiplikation och division med två negativa tal är ett sådant tillfälle. Du kommer dock att använda negativa tal lite senare i kursen när du räknar med ekvationer. REGEL FÖR MULTIPLIKATION OCH DIVISION

Det finns en enkel regel för att komma ihåg hur negativa tal multipliceras och divideras, och som alltid fungerar. Lika tecken ger plus: Om du multiplicerar eller dividerar två positiva tal eller två negativa tal med varandra blir svaret positivt: 4 · 3 = 12 (−4) · (−3) = 12 Olika tecken ger minus: Om du multiplicerar eller dividerar ett positivt och ett negativt tal med varandra, oavsett ordning, blir svaret alltid negativt. Exempel: (−15) / 3 = −5 15 / (−3) = −5

UPPREPAD MULTIPLIKATION

REGEL

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

Om du ska multiplicera fler än två tal med varandra finns det ett knep för att ta reda på om resultatet blir positivt eller negativt. I stället för att räkna ut (−6) · 4 · (−3) steg för steg kan du räkna ut 6 · 4 · 3 = 72 och räkna antalet minustecken i faktorerna. Eftersom du har ett jämnt antal minustecken här blir svaret positivt (två minus efter varandra blir plus). Räkneregel för tecken i upprepad multiplikation: • Om antalet minustecken är jämnt är svaret positivt. • Om antalet minustecken är udda är svaret negativt.

EXEMPEL NIVÅ 1

LÖSNING

Beräkna a) 12 + (−5)

b) −5 – (−3)

c) −4 · (−3)

d) 88 / (−11)

a) Du adderar ett positivt tal med ett negativt tal. Att addera ett negativt tal är detsamma som att subtrahera ett positivt tal (olika tecken ger minus): 12 + (−5) = 12 − 5 = 7 b) Du subtraherar ett negativt tal från ett negativt tal. Att subtrahera ett negativt tal är detsamma som att addera ett positivt tal (lika tecken ger plus): −5 – (−3) = −5 + 3 = −2 c) En negativ faktor multiplicerad med en annan negativ faktor ger en positiv produkt (lika tecken ger plus): −4 · (−3) = 4 · 3 = 12 d) En positiv täljare dividerad med en negativ nämnare ger en negativ kvot (olika tecken ger minus): 88 / (−11) = −88/11 = −8

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

LÖSNING

a) 12 + (−5) = 7

b) −5 – (−3) = −2 c) −4 · (−3) = 12

d) 88 / (−11) = −8

En havsörn flyger 140 meter över vattenytan. Rakt nedanför örnen simmar en säl 28 meter under vattenytan. Hur stort är avståndet mellan havsörnen och sälen? För att hitta avståndet mellan två punkter kan du tänka i två steg: • Avståndet från sälen (−28 m) till vattenytan (0 m) är 28 meter. • Avståndet från vattenytan (0 m) till örnen (140 m) är 140 meter. Det totala avståndet är 28 + 140 = 168 meter. Avståndet kan också skrivas som differensen mellan det högsta och det lägsta värdet: 140 – (−28) = 140 + 28 = 168 meter.

SVAR

Avståndet mellan havsörnen och sälen är 168 meter.

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.7.1

Rita en enkel tallinje och markera talet −4. 1.7.2

Om du står på −2 på tallinjen och går 5 steg åt höger, vilket tal hamnar du på då? 1.7.3

Vilket tal är störst: −12 eller −7? 1.7.4

Beräkna a) 5 + (−3) b) −4 + (−2)

c) 8 − 10 d) −5 – (−1)

1.7.5

Beräkna a) −2 · (−6) b) 15 / (−3)

Temperaturen utomhus är 3 °C och sjunker med 8 °C under natten. Vilken är den nya temperaturen? 1.7.11

Beräkna differensen mellan 5 och −5. 1.7.12

David lånar först 150 kr och sedan 100 kr till av Pernilla. När David får sin lön behöver Pernilla låna lite av honom. Han ger henne 600 kr. Pernilla är nu skyldig David pengar, men hur mycket? 1.7.13

c) −20 / (−4) d) −3 · 6

1.7.6

Beräkna a) 190 + (−40) b) −48 + (−29)

1.7.10

Ett flygplan befinner sig på 8 500 meters höjd. En ubåt befinner sig på −350 meters djup. Vad är höjdskillnaden mellan dem? 1.7.14

c) 19 – (−34) d) −35 – (−65)

Ebba har lånat 153 kr av sin kompis Fanny. När Ebba ska betala tillbaka det hon lånat av Fanny har hon ingen växel utan ger Fanny 200 kr. Hur mycket ska Fanny ge tillbaka?

1.7.7

Beräkna a) 12 · (– 10)

b) −37 · (– 21)

1.7.8

En dykare befinner sig 15 meter under havsytan (−15 m) och simmar 6 meter rakt uppåt. På vilken nivå befinner sig dykaren nu? 1.7.9

Om du multiplicerar ett negativt tal med ett positivt tal, vilket tecken får svaret?

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

ÖVNINGAR / NIVÅ 2

ÖVNINGAR / NIVÅ 3

1.7.15

1.7.22

Beräkna a) −12,5 + 4,8 b) 3,2 – (−7,9)

c) −0,5 + 1,5 d) 5,6 + (– 2,5)

1.7.16

Beräkna a) −4,5 · 2,2 b) 18,6 / (−0,3)

c) −1,35 · (−2,5) d) −4,5 · (−1,2)

1.7.17

Beräkna a) (−2) · (−2) · (−2) b) 15 – (−4 · 3) + (−10) c) −3 · (4 − 7) + (−2) d) 23 + (15 − 24) 1.7.18

Beräkna a) (– 36/9 − 4) · 12 b) (– 55 − 3 · 12) – (– 65) c) 65 − (12 − 35) d) − 12 · 4 + 39 1.7.19

Beräkna a) −8 + 3 · (−4) b) −6 · (3 − 8) – 10 c) 12 – (−4) · 3 + (−5) 24 − 4 · 3 d) 2+4

Beräkna a) 3 · 1,5 − (−4 + 3,7) b) −11 · 25 + 75 · (−11) c) 1 – (10 + 8 · (5 · 1) + 9) d) −2,4 · (−1,5) − 8,2 / (−0,4) 1.7.23

Du har tre tal: −2, 5 och −4. Multiplicera summan av de två minsta talen med det största talet. Vad blir resultatet? 1.7.24

Om a är ett negativt tal, b är ett positivt tal och a − b = c, vad kan du med säkerhet säga om tecknet på c? 1.7.25

På planeten Mars varierar temperaturerna mellan −122 °C och +31 °C. Hur stor är skillnaden mellan högsta och lägsta temperatur? 1.7.26

En hiss åker från våning −3 upp till våning 8, ner till våning −1 och slutligen upp hälften så många våningar som den har färdats hittills. Vilken våning hamnar hissen på? 1.7.27

Vilket tal ligger exakt mitt emellan −1,5 och 0,5 på tallinjen? Motivera hur du kom fram till svaret.

1.7.20

Bajkalsjön i Sibirien är 1 940 m djup och dess yta ligger 454 m över havsytan. Hur många meter under havsytan ligger sjöns botten? 1.7.21

Klockan 08:00 var temperaturen −4 °C. Fram till klockan 12:00 steg temperaturen med 1,5 °C per timme. Vad var temperaturen klockan 12:00?

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

FÖRDJUPNING

SIFFRORNAS UPPKOMST Tänk dig att du levde för 10 000 år sedan i Mesopotamien, området kring floderna Eufrat och Tigris i dagens Irak. Människor hade precis börjat bygga städer, odla mark och föda upp djur. Det blev snabbt mycket att hålla reda på för ledarna: Hur många får har vi? Hur mycket säd finns i ladorna? Vem har betalat skatt?

trycka lerfigurerna mot bollens utsida innan de lades in. Då kunde man ju läsa på utsidan vad som fanns inuti! Snart insåg de något ännu smartare: ”Om vi ändå ritar på utsidan behöver vi ju inga lerfigurer inuti.” Lerbollarna ersattes snabbt av platta lertavlor. Bilderna och stämplarna blev till skrivtecken – grunden för siffror var lagd.

Problemet var att skriftspråket inte var uppfunnet än. Att hålla alla uppgifter i huvudet var omöjligt.

När siffran skiljdes från saken För drygt 5 000 år sedan tog man nästa stora steg. I stället för att rita tre fårtecken för att visa ”tre får” började man använda särskilda tecken för själva antalet. Genom att visa antal med en egen symbol, som betydde ”siffran 1” kunde man använda samma symboler för 1, oavsett om man ville räkna får, kor eller krukor med olja.

Lerfigurer som minneslappar Lösningen blev små figurer av lera som formades som klot, koner, kuber och pyramider. Varje form betydde en viss sak. Till exempel kunde en linsformad figur betyda ”ett djur” och en klotformad figur ”en korg med säd”. Genom att spara figurerna kunde man hålla räkning på stadens tillgångar. För att visa tre får ritade man lika många fårsymboler (se nedan) som antalet får. Varje symbol betydde ”1 får”. För att visa tio får måste man rita tio fårsymboler.

= 3 får

Kassaskåp av lera När man lånade ut en fårhjord till en herde behövde man vara säker på att inga djur försvann och att ingen fuskade med lerfigurerna. Man lade då figurerna i en ihålig boll av mjuk lera. Innan leran stelnade rullade ägaren sin personliga stämpel över bollen. När den väl var stängd blev den som ett stöldsäkert kassaskåp. För att kontrollera antalet får när herden kom tillbaka var man tvungen att krossa bollen och räkna figurerna inuti. Ett smart misstag skapar siffrorna Att slå sönder lerbollar hela tiden var ganska opraktiskt. Någon kom då på den briljanta idén att

NE MATEMATIK 7 * 1.7 Negativa tal

= 3 kor

Därefter var steget inte långt till att skapa symboler för större tal. Grundtecknen i babyloniernas talsystem var följande:

Genom att skilja antalet från själva föremålet var ”tre” inte längre bara ”tre kor” eller ”tre krukor” – det blev siffran tre. Det var inte bara en matematisk upptäckt utan en av de största tankerevolutionerna i mänsklighetens historia.

AVRUNDNING OCH ÖVERSLAGSRÄKNING Om du har handlat och snabbt vill kontrollera att summan på kvittot är rimlig använder du dig av överslagsräkning. Till vardags behöver du sällan räkna exakt – det räcker att göra en uppskattning.

AVRUNDNING

RIMLIGHETSBEDÖMNING

UNGEFÄR LIKA MED

En teknik där man ersätter ett tal med ett närliggande tal som är enklare att räkna med.

En bedömning av om ett svar eller en uppskattning verkar realistisk.

Symbolen ”ungefär lika med” (≈) används i stället för ett likhetstecken när resultatet är avrundat.

AVRUNDNINGSREGLER

ÖVERSLAGSRÄKNING

Om siffran du ska avrunda är 0, 1, 2, 3 eller 4 avrundar du nedåt. Om den är 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar du uppåt.

En metod där man först avrundar talen för att därefter snabbt räkna ut ett ungefärligt och rimligt svar med huvudräkning.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

Vilka vackra glaspärlor – men hur många finns det egentligen i bilden? Ett sätt är att räkna dem en och en, men det tar ganska lång tid och det är svårt att komma ihåg exakt vilka man räknat. Hur hade du gjort?

När du ska handla något i affären vill du veta om pengarna på kortet räcker. I vardagen är det ofta viktigare att veta ungefär hur mycket något kostar än att räkna ut ett exakt värde. Du måste därför kunna göra en snabb uppskattning för att avgöra om ett värde är rimligt. För att förenkla beräkningarna avrundas talen enligt enkla regler. Att avrunda ett tal betyder att man byter ut det mot ett värde som är mindre exakt men ungefär lika stort och enklare att räkna med. AVRUNDNINGSREGLER

När du avrundar tittar du på siffran direkt till höger om den position du vill avrunda till. Om siffran är: • 0, 1, 2, 3 eller 4 avrundar du nedåt (och behåller siffran som den är). • 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar du uppåt (och ökar värdet på siffran med ett). Om du vill avrunda 35,22 till heltal tittar du alltså på siffran till höger om entalet (5), det vill säga tiondelen (2). Enligt avrundningsreglerna ska 2 avrundas nedåt från 35,22 till 35. Om du ritar 35,22 på en tallinje ser du att talet ligger närmare 35 än 36. 0,22 34

0,78 36

35,22

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

På motsvarande sätt avrundas 34,52 till 30 om du avrundar till tiotal (du avrundar då entalet, 4, nedåt), och till 34,5 om du avrundar till tiondelar (du avrundar då hundradelen, 2, nedåt). ”UNGEFÄR LIKA MED”

För att visa att ett tal är avrundat används tecknet ”≈”, vilket betyder ”ungefär lika med”. För att tala om att 34,52 är avrundat till heltal kan du skriva: 34,52 ≈ 35.

ÖVERSLAGSRÄKNING

Överslagsräkning handlar inte om att hitta det exakta svaret utan om att snabbt och smidigt hitta ett ungefärligt svar genom att avrunda talen till värden som är lätta att räkna med i huvudet. Om du till exempel ska köpa en tröja som kostar 298 kr och ett par byxor som kostar 405 kr, kan du avrunda till hundratal: ”Tröjan kostar ungefär 300 kr och byxorna ungefär 400 kr. Tillsammans blir det ungefär 700 kr.”

RIMLIGHETSBEDÖMNING

UPPSKATTNING

Ett annat viktigt användningsområde för överslagsräkning är när du ska göra en rimlighetsbedömning av en uträkning. Eftersom 48 · 21 är ungefär lika med 50 · 20 kan du göra en snabb överslagsräkning: 48 · 21 ≈ 1 000. Om din miniräknare visar 100,8 vet du direkt att något har blivit fel. Genom att dela upp bilden i ett antal lika stora fält kan man göra en uppskattning av antalet gem. Antalet gem i den översta vänstra rutan är 12 stycken. Om vi antar att alla fält har ungefär samma antal gem blir antalet gem i hela bilden 12 · 20 = 240 stycken.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

EXEMPEL NIVÅ 1

LÖSNING

SVAR

EXEMPEL NIVÅ 2

LÖSNING

SVAR

Avrunda 2 548 till a) hela tusental b) hela hundratal c) hela tiotal. a) Titta på siffran efter tusentalssiffran (hundratalssiffran 5). Enligt avrundningsreglerna avrundar du uppåt eftersom 5 avrundas uppåt (2 548 ligger närmare 3 000 än 2 000). Det innebär att 2 548 ≈ 3 000. b) Titta på siffran efter hundratalssiffran (tiotalssiffran 4). Enligt avrundningsreglerna avrundar du nedåt eftersom 4 avrundas nedåt (2 548 ligger närmare 2 500 än 2 600). Det innebär att 2 548 ≈ 2 500. c) Titta på siffran efter tiotalssiffran (entalssiffran 8). Enligt avrundningsreglerna avrundar du uppåt eftersom 8 avrundas uppåt (2 548 ligger närmare 2 550 än 2 540). Det innebär att 2 548 ≈ 2 550. a) 3 000 b) 2 500 c) 2 550

Du köper 4,8 kg äpplen i butiken. Äpplena kostar 24,90 kr/kg. a) Gör en överslagsräkning för att snabbt ta reda på ungefär vad äpplena kommer att kosta. b) Beräkna det exakta priset. c) Ger överslagsräkningen ett rimligt svar? a) Värdena avrundas till heltal: 4,8 kg ≈ 5 kg och 24,90 kr/kg ≈ 25 kr/kg. Överslagsräkningen ger: 5 · 25 kr = 125 kr. b) Det exakta priset är 4,8 · 24,90 kr = 119,52 kr. c) Överslagsräkningen ligger nära det exakta värdet. Eftersom båda talen avrundas uppåt (från 4,8 till 5 och från 24,90 till 25) ger överslagsräkningen en lite högre värde än det riktiga priset. Överslagsräkningen ger ett snabbt och rimligt svar. a) 125 kr b) 119,52 kr c) Ja.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.8.1

1.8.9

1.8.2

1.8.10

Avrunda till närmaste heltal. a) 5,2 c) 0,34 b) 15,8 d) 123,52 Avrunda till närmaste tiotal. a) 74 c) 193 b) 48 d) 85,3 1.8.3

Avrunda till närmaste hundratal. a) 350 c) 245 b) 385 d) 1 853 1.8.4

Avrunda till närmaste tusental. a) 6 827 c) 7 499 b) 4 321 d) 9 503 1.8.5

Avrunda till närmaste tiondel. a) 0,42 c) 8,75 b) 8,96 d) 0,15 1.8.6

Avrunda till närmaste hundradel. a) 0,451 c) 12,344 b) 3,994 d) 0,0518 1.8.7

Avrunda 285 192 till a) tiotal b) hundratal 1.8.8

c) tusental d) tiotusental

Avrunda 373 737 till närmaste a) tiotal c) tusental b) hundratal d) tiotusental

Använd överslagsräkning för att uppskatta a) 98 + 103 c) 42 + 79 b) 405 − 198 d) 9 · 21 Åt vilket håll ska olikhetstecknet (> och <) vändas? Använd överslagsräkning. a) 223 + 248 ___ 500 b) 3 752 + 1 589 ___ 5 000 c) 774 + 320 ___ 1 000 d) 5 310 + 4 593 ___ 10 000 1.8.11

Vilka tal ger en summa som är större än 300? Använd överslagsräkning. a) 51 + 23 + 66 + 167 b) 207 + 131 c) 253 + 35 d) 210 + 99 1.8.12

Vilka tal ger en produkt som är större än 10 000? Använd överslagsräkning. a) 3 190 · 3 c) 2 276 · 4 b) 1 380 · 8 d) 2 821 · 4 1.8.13

Du köper en tröja för 149 kr och ett par byxor för 299 kr. Gör ett snabbt överslag för att se om 500 kr räcker till att köpa både tröjan och byxorna. 1.8.14

Är det rimligt att påstå att 51 · 19 är ungefär 1 000? Motivera med hjälp av avrundning. 1.8.15

Du ska köpa tre spel. De kostar 198 kr, 412 kr och 289 kr. Gör ett överslag genom att avrunda till närmaste hundratal.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.8.16

Avrunda 4 598 123 till närmaste a) tusental b) tiotusental c) hundratusental d) miljontal 1.8.17

Avrunda 0,084 till närmaste a) tiondel b) hundradel 1.8.18

Använd överslagsräkning för att uppskatta a) 412 · 19 b) 805 / 4 c) 24,8 / 4,9 d) (19 + 31) · 4,9 1.8.19

I en affär köper du tre varor som kostar 24,90 kr, 12,50 kr och 41,20 kr. Gör en överslagsräkning av den totala kostnaden genom att avrunda varje pris till närmaste tiotal. 1.8.20

Du är i matbutiken och ska köpa snacks till fredagsmyset. Du väljer i en chipspåse för 28 kr, en stor läsk för 19 kr och en chokladkaka för 22 kr. Du har en hundralapp i fickan. Gör en överslagsräkning för att se om pengarna räcker.

1.8.22

Hitta ett heltal som avrundas till 500 om man avrundar till närmaste hundratal, men som avrundas till 450 om man avrundar till närmaste tiotal. 1.8.23

Kalle påstår att 29 · 41 är ungefär 1 200. Lisa påstår att det är ungefär 800. Vem har rätt av Kalle och Lisa? Motivera. 1.8.24

Om du köper fyra spel som kostar 98 kr styck och betalar med en 500-lapp, får du då mer eller mindre än 100 kr tillbaka? Motivera. 1.8.25

Du ska dividera 50 med 0,8. Blir talet större eller mindre än 50? Motivera. 1.8.26

Sabah är och handlar. Hon köper tre burkar läsk för 9 kr styck, en påse chips för 16,95 kr och choklad för 27,50 kr. Ungefär hur mycket ska hon betala? 1.8.27

En elitspelare tränar i genomsnitt tre timmar vattenpolo varje dag i veckan. Gör en överslagsräkning för att uppskatta om hon tränar mer eller mindre än tusen timmar vattenpolo under ett år. Hur resonerar du?

1.8.21

Du knappar in 25 · 39 på miniräknaren och får 9 750. Gör en överslagsräkning i huvudet för att kontrollera om miniräknarens svar kan stämma.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.8.28

Vilket är det minsta respektive största heltal som kan avrundas till a) 50, om man avrundar till närmaste tiotal? b) 25 000, om man avrundar till närmaste tusental? 1.8.29

Ett tal avrundas till närmaste tiondel och blir 7,4. Samma tal avrundas till närmaste hundradel och blir 7,45. Ge ett exempel på vilket tal det kan vara. Motivera. 1.8.30

Din kompis säger: ”Om jag har talet 4,49 och först avrundar det till en decimal får jag 4,5. Om jag sedan avrundar 4,5 till närmaste heltal får jag 5. Därför är 4,49 avrundat till närmaste heltal lika med 5.” Förklara varför din kompis räknar fel. 1.8.31

När Barcelona mötte Real Madrid kom ungefär 59 000 åskådare. Om vi vet att talet är avrundat till närmaste tusental, hur många åskådare var det som minst respektive som mest på fotbollsmatchen?

1.8.33

Du promenerar med hastigheten 1,2 meter per sekund. Gör en överslagsräkning för att uppskatta hur långt du hinner gå på en timme. 1.8.34

Du ska multiplicera 45 · 35. Om du avrundar båda talen uppåt till närmaste tiotal, vad händer med överslaget jämfört med det exakta värdet? Hur kan du göra ett bättre överslag när båda talen slutar på 5? 1.8.35

Lykke tränar tennis 9 timmar i veckan. Hur många timmar tennis tränar hon ungefär på ett år? 1.8.36

Folktandvården rekommenderar att vi borstar tänderna två minuter per gång, en gång på morgonen och en gång på kvällen. Anta att du borstat tänderna i hela ditt liv. Hur många minuter har du borstat tänderna hittills?

1.8.32

Helene ska köpa blomfrön till trädgården. Trädgårdens area är 48,6 kvadratmeter. En påse frön räcker till fem kvadratmeter. Varje påse kostar 89,90 kr. Gör ett snabbt överslag i huvudet för att uppskatta hur mycket Helene ska betala.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

FÖRDJUPNING

ATT RÄKNA ANTALET GALAXER I UNIVERSUM Du känner säkert till vår egen galax, Vintergatan. Men hur många andra galaxer finns det egentligen ute i rymden? Att räkna dem en och en är helt omöjligt. Därför använder forskarna samma knep för att uppskatta antal gem som du använde på sidan 72. Hubble eXtreme Deep Field (XDF) År 2012 lade astronomer ihop över 2 000 fotografier som rymdteleskopet Hubble tagit under tio års tid. Bilden de fick fram kallas Hubble eXtreme Deep Field (eller kort och gott XDF). Teleskopet riktades mot en fläck på natthimlen som såg helt mörk och tom ut. Men eftersom bilden byggdes upp av bilder tagna under lång tid syntes även mycket ljussvaga galaxer. Även om det finns många fläckar är de inte fler än att man kan räkna dem genom att dela in bilden i små rektanglar. Varje enskild fläck på bilden är en hel galax. På bilden syns ungefär 5 500 galaxer. Hur stor är bilden? Om du tittar upp mot stjärnhimlen är området som XDF-bilden visar otroligt litet. Det är faktiskt betydligt mindre än vad månen ser ut att vara från jorden. För

att täcka in hela stjärnhimlen skulle det behövas ungefär 32 miljoner bilder av samma storlek som XDF-bilden. Antalet galaxer i universum Det finns inte någon anledning att tro att antalet galaxer skulle vara annorlunda om NASA hade riktat Hubbleteleskopet i någon annan riktning. En uppskattning av antalet galaxer i universum är då att tänka sig att multiplicera de 32 miljoner rektanglar som skulle behövas för att täcka hela himlen med de 5 500 galaxer som ses i varje bild. Antalet galaxer i universum blir då: 32 000 000 · 5 500 galaxer = 180 000 000 000 galaxer Uppskattningen som gjordes 2012 visade alltså att universum består av ungefär 180 miljarder galaxer. Senare beräkningar visade att Hubbleteleskopet missat mängder av små ljussvaga dvärggalaxer. Nu tror man att det finns ungefär 10 gånger så många galaxer, ungefär 2 000 miljarder.

XDF

Hubble eXtreme Deep Field (XDF). På bilden syns en stor mängd galaxer, men inte fler än att man kan räkna dem.

NE MATEMATIK 7 * 1.8 Avrundning och överslagsräkning

Den lilla rektangeln som är märkt XDF, eXtreme Deep Field, visar hur stort området på galaxbilden är jämfört med månen.

REPETITION POSITIONSSYSTEMET

Vårt talsystem är ett positionssystem där siffrans placering avgör värdet. Skillnaden i värde mellan varje sifferposition är en faktor 10.

TALLINJEN

En tallinje visar talens storlek. Ju längre till höger ett tal befinner sig på tallinjen, desto större är talet. Till vänster om nollan finns de negativa talen. Mellan heltalen finns decimaltal.

−5

ADDITION OCH SUBTRAKTION

−4

−3

3,0

−1,4

−3,0 −2

−1

4,5 4

När man adderar kallas de olika talen term + term = summa När man subtraherar kallas de olika talen term − term = differens Olika tecken intill varandra ger minus. Lika tecken intill varandra ger plus. 13 + (−4) = 13 − 4 = 9 −5 − (−6) = −5 + 6 = 1

MULTIPLIKATION OCH DIVISION

När man multiplicerar kallas de olika talen faktor · faktor = produkt När man dividerar kallas de olika talen täljare

nämnare

= kvot

NE MATEMATIK 7 * 1.9 REPE TITION

Teckenreglerna fungerar på samma sätt som vid addition och subtraktion. Olika tecken ger minus. Lika tecken ger plus. 4 · (−6) = −24

–36 =6 –6

Vid multiplikation eller division med 10, 100, 1 000 flyttas decimalkommat åt höger respektive vänster i positionssystemet. 63 · 1 000 = 63 000

ENHETSOMVANDLING

86 = 8,6 10

Prefix används för att omvandla mellan olika enheter. Prefixet skrivs direkt framför enheten för att ange dess storlek. De vanligaste prefixen är kilo, k

hekto, h

deci, d

centi, c

milli, m

1 000

100

0,1

0,01

0,001

1,4 dm = 140 mm 140 mm = 0,14 m PRIORITERINGSREGLER

Om det finns flera räknesätt och parenteser sker uträkningarna i följande ordning: 1. parenteser 2. multiplikation och division 3. addition och subtraktion Om det finns flera parenteser inuti varandra börjar du med den innersta. 3 · 5 − 4 · (3 + 6) = 3 · 5 − 4 · 9 = 15 − 36 = −21

NE MATEMATIK 7 * 1.9 REPE TITION

BLANDADE ÖVNINGAR / NIVÅ 1 1.9.1

Skriv talet ”tvåtusenåttahundratre” med siffror. 1.9.2

Vilken siffra står på hundratalets plats i talet 3 452?

1.9.11

Beräkna a) 150 + 250 b) 345 + 123 1.9.12

1.9.3

Vilket tal är störst av 2 399 och 2 933?

Beräkna a) 45 / 5 b) 64 / 2

1.9.4

1.9.13

Vilket värde har siffran 9 i talet 4,92? 1.9.5

Skriv talet 0,07 med ord.

Beräkna a) 5,2 · 10 b) 800 / 100 Beräkna a) 7 + 3 · 4 b) 50 / 10 + 5

1.9.7

1.9.15

Rita en tallinje och markera talet −3. 1.9.8

Vilket tal är störst: −5 eller −2?

c) 120 / 4 d) 1,2 · 3

c) 12,5 / 10 d) 0,3 · 100

1.9.14

Sätt ut rätt tecken (<, > eller =) mellan 0,4 och 0,39.

1.9.6

c) 87 − 34 d) 3 · 14

Beräkna a) −8 + 10 b) 9 + (−4)

c) 6 · (3 + 2) d) 10 − 12 / 2

c) 15 / (−3) d) −4 – (−2)

1.9.9

Avrunda a) 7,8 till närmaste heltal. b) 56 till närmaste tiotal. c) 425 till närmaste hundratal. d) 0,38 till närmaste tiondel. 1.9.10

Omvandla a) 4 liter till dl. b) 350 cm till m. c) 5 kg till gram. d) 40 cl till ml.

NE MATEMATIK 7 * 1.9 REPE TITION

BLANDADE ÖVNINGAR / NIVÅ 2 1.9.16

Avrunda 3 456 789 till närmaste hundratusental. 1.9.17

Avrunda 0,076 till närmaste hundradel.

1.9.26

Du köper 4 böcker som kostar 55,50 kr styck. Vad blir den totala kostnaden? 1.9.27

1.9.18

Omvandla 4 150 g till kg.

Sara köper en macka för 32,50 kr och en dricka för 15,75 kr. Hon betalar med en hundralapp. Hur mycket får hon tillbaka?

1.9.19

1.9.28

Hur många milliliter är 2,5 liter + 3 dl + 150 ml? 1.9.20

Skriv ett tal som är större än 0,45 men mindre än 0,46. 1.9.21

Hur många tusendelar krävs för att bilda en tiondel? 1.9.22

En bräda är 12,4 meter lång. Den ska sågas i 4 lika stora delar. Hur lång blir varje del? 1.9.29

Temperaturen sjunker från 4 °C till −5 °C. Hur stor är förändringen? 1.9.30

Ett badkar rymmer 180 liter. Hur många hinkar som rymmer 15 liter krävs för att fylla det?

Vilket är det minsta femsiffriga tal du kan skriva med siffrorna 2, 5, 8, 1, 9 om varje siffra bara får användas en gång?

1.9.31

1.9.23

1.9.32

Hitta ett heltal som avrundas till 700 vid avrundning till hundratal men 650 vid avrundning till tiotal. 1.9.24

Beräkna utan miniräknare med uppställning: a) 1 483 + 5 216 b) 8 457 + 2 785 c) 2 964 − 1 323 d) 7 253 − 4 978 1.9.25

Beräkna utan miniräknare med uppställning: a) 582 · 6 b) 236 · 8

NE MATEMATIK 7 * 1.9 REPE TITION

Om 1,5 kg apelsiner kostar 34,50 kr, vad är kilopriset? En skruv väger 0,025 kg. Vad väger 200 skruvar? 1.9.33

Ett recept kräver 300 g socker. Räcker en påse på 2 kg för att baka 7 satser? Motivera. 1.9.34

Använd överslagsräkning för att a) uppskatta kostnaden av 4 varor som kostar 19,90 kr, 28,50 kr, 42,00 kr och 11,50 kr. b) bedöma om 415 · 18 är större eller mindre än 8 000. c) uppskatta 809 . 4

1.9.35

Beräkna a) −10,5 + 3,2 b) −5,2 – (−1,8) c) (−3) · (−4) · (−2) d) −2 · 3 · (−5) 1.9.36

Beräkna a) 0,4 · 0,35 b) 12,5 / (−0,5)

1.9.40

Beräkna a) b)

8,45 0,05

15 – (–5) · 2 + 5 3

1.9.41

Sätt in parenteser så att likheten stämmer: 6 + 4 · 3 − 2 = 28.

1.9.37

Beräkna a) 305 − 142 + 25 b) 3 · (4 + 5 · 2) 1.9.38

Vad blir talet x om 4,5 / x = 0,45? 1.9.39

Vad är skillnaden mellan produkten av 120 och 15, och kvoten av 4 500 och 5?

NE MATEMATIK 7 * 1.9 REPE TITION

BLANDADE ÖVNINGAR / NIVÅ 3 1.9.42

Du har tre tal: −5, 8 och −3. Dividera summan av de två minsta talen med det största talet. Vad blir kvoten? Klockan 06:00 var temperaturen −7 °C. Temperaturen stiger med i genomsnitt 1,2 °C per timme fram till 14:00, varpå den sjunker med 0,5 °C per timme fram till 20:00. Vad var temperaturen klockan 20:00? 1.9.44

Utför följande beräkningar utan miniräknare med uppställning: a) 365 · 24 b) 6,25 · 36 c) 2,76 · 5,4 1.9.45

Utför följande beräkningar utan miniräknare med uppställning: a) 636 / 12 b) 988 / 26 1.9.46

Beräkna

(20 − 4) / 2 + 8 − (9 − 5) −2

b) −8 − 3 ⋅ (−3) ⋅ (−2) − 1.9.47

15 −0,5

Vilket är det största möjliga heltal som har värdet 45 000 när det avrundas till närmaste hundratal?

NE MATEMATIK 7 * 1.9 REPE TITION

Sätt parenteser på rätt ställen så att likheten blir sann: 15 + 5 · 4 − 2 · 3 = 45. 1.9.49

1.9.43

1.9.48

I en subtraktion saknas siffrorna A till D: A5B3 − 2C7D = 4 285. Vilka siffror represen terar bokstäverna? 1.9.50

Om a är ett negativt tal och b är ett positivt tal, vad kan du med säkerhet säga om tecknet på uttrycket 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 ? 1.9.51

Förklara med hjälp av positionssystemet varför division med 0,001 ger samma resultat som multiplikation med 1 000. 1.9.52

Använd siffrorna 1, 3, 5, 7 och 9 exakt en gång vardera för att skapa en multiplikation av ett tresiffrigt och ett tvåsiffrigt tal som ger minsta möjliga produkt. 1.9.53

I ett tal flyttas en siffra tre steg till vänster, varvid talets värde ökar med 3 996. Vilken siffra var det och var stod den från början? 1.9.54

Skapa ett sexsiffrigt decimaltal med tre decimaler där summan av siffrorna är 15, hundradelssiffran är dubbelt så stor som tiotalssiffran och talet är så nära 100 som möjligt. Alla siffror (0–9) kan användas.