CÓNICAS

PARÁBOLA

CIRCUNFERENCIA

HIPERBÓLA

ELIPSE

I.C.T.V.J. O

Instituto Cat Lico T Cnico Vocacional Jes S Obrero

Asignación: Revista de las cónicas.

Materia: Matemáticas

Docente: Katy Cristina Cisnes Gómez

Grado: 2° “D” Salud

Alumna: Mónica Saraí Hernández Mendoza

Fecha de entrega: miércoles 09 de agosto de 2023

Objetivos.

Objetivo General

Desarrollar un objeto de aprendizaje para la enseñanza de las secciones cónicas en el que se articulen los conceptos matemáticos, las distintas representaciones y sus aplicaciones. Desarrollar un análisis minucioso de las cónicas mediante fuentes confiables de internet y libros, para llegar a un claro entendimiento sobre sus características, tipos, relaciones matemáticas y enfocando específicamente en la resolución de problemas.

Objetivos Específicos

Identificar los obstáculos de aprendizaje que presentan los estudiantes frente a los temas relacionados con secciones cónicas a partir de un estudio de ideas previas. Determinar, mediante el estudio minucioso, la importancia del cálculo de las cónicas. Reconocer los diferentes tipos de cónicas y utilizarlas en problemas de aplicación.

Marco teórico

Cónicas (parábola, circunferencia, hipérbola y elipse)

Historia origen de las cónicas.

El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrióApolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

Apolonio demostró que, si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionarlascurvasconecuaciones.EstemétodoeslallamadaGeometríaAnalítica.EnlaGeometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.

ElresultadomássorprendentedelaGeometríaAnalíticaesquetodaslasecuacionesdesegundogrado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Definición

Las secciones cónicas son las curvas generadas por un plano que interseca a un cono. Los tres tipos de secciones cónicas son la elipse, la parábola y la hipérbola. El círculo es un tipo de elipse, pero frecuentemente es considerado el cuarto tipo de sección cónica.

Las secciones cónicas son generadas por la intersección de un plano con un cono. Si es que el plano es paralelo al eje de revolución (eje y), entonces, la intersección formará una hipérbola. Si es que el plano es paralelo a un lado del cono (línea generadora), la intersección formará una parábola. Si es que el plano es perpendicular al eje de revolución, la intersección formará un círculo. Si es que el plano interseca al cono a un ángulo con respecto al eje, la intersección formará una elipse.

Esquemas gráficos con sus elementos

Elementos de las cónicas

• Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

• Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

• Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

• Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

• Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono , pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

Elipse

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. La elipse es una curva cerrada.

Circunferencia

La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje.

La circunferencia es un caso particular de elipse.

Parábola

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

Hipérbola

La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.

Formula canónica (centro en el origen), ordinaria, y general

Aplicaciones en la vida cotidiana de cada cónica.

Resumimos a continuación las diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen en la vida real:

1) Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

2) Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola (llamada en balística parábola de seguridad, pues por encima de ella no es posible que pase ningún punto de las parábolas de la familia). El mayor alcance que se puede obtener es aquél en que el ángulo de inclinación inicial es de 45 grados.

3) La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un reflector parabólico. Recordar también el conocido efecto de quemar una hoja de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parabólico.

4) Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio exterior. El problema es cómo puede un líquido formar un espejo parabólico y porqué se quiere así. La respuesta es que, si se tiene un contenedor giratorio de líquido, la superficie del mismo formará un paraboloide perfecto, incluso si la superficie interior del contenedor tiene imperfecciones. De este modo, no es necesario el pulido de los lentes y además los espejos pueden hacerse más grandes que los sólidos. Al utilizar mercurio líquido se consigue que los espejos sean más baratos que los tradicionales (sólo hace falta una capa muy fina de mercurio pues este es muy pesado).

5) Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de los focos). La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la órbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen órbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1.