For web i exm 001 [เตรียมสอบ pat 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์]

แนวข อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร จำนวน 4 ชุด 185 ข อ ฝ กทำให ชำนาญ เพื่อความแม นยำและกระชับเวลาในสนามสอบจริง

เฉลยพร อมคำอธิบายอย างละเอียดทุกข อ เพื่อให เข าใจวิธีการคิดอย างทะลุปรุโปร ง

สามารถใช ชุดข อสอบมาจำลองการสอบจริงโดยการจับเวลา

เคล็ดลับพิชิต PAT 1 ฉบับพี่โต à·¤¹Ô¤áÅÐà¤Åç´ÅѺ¾ÔªÔµ PAT 1 ©ºÑº¾Õèⵎ ¤×Í áÁ‹¹ËÅÑ¡¡Òà áÅÐ áÁ‹¹¤Ô´àÅ¢ ´Ñ§¹Ñé¹àÃÒµŒÍ§½ƒ¡½¹¾×é¹°Ò¹ãˌࡋ§ à¾ÃÒÐ໚¹ãºàºÔ¡·Ò§¢Í§º·Í×è¹æ

9

786165

279833

หมวด คู มือเร�ยน-สอบ ราคา 199 บาท

วช�รา โอภาสวัฒนา (พี่โต )

“ËÒ¡¾×é¹°Ò¹´Õ¡çÁÕªÑÂ仡NjҤÃÖè§áŌǔ

เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร

เพื่อให เราเก็บสาระสำคัญในแต ละบทได

รอ มสูส นามสอบ ย� มพ  เตร

นิ ่มั ใจเ0ก% น

10

เนื้อหาเข ม อธิบายละเอียด เข าใจทะลุปรุโปร งทุกบทเรียน

เนื้อหาเข ม อธิบายละเอียด เข าใจทะลุปรุโปร งทุกบทเรียน

สรุปเนื้อหาพร อมสูตรคณิตศาสตร เข าใจง าย ครอบคลุมทุกเนื้อหา 20 บท

อธ

ทเร�ย ร งทุกบ น  รโุ ป ลปุ

เตรียมสอบ

ความถนัดทางคณิตศาสตร

เขม  เนือ้ หา

ียด  เข า ใจท ละเอ ะ บ� าย

เตรียมสอบ PAT 1

 

PAT 1

ความถนัดทางคณิตศาสตร ¤Ãͺ¤ÅØÁ·Ø¡à¹×éÍËÒ à¢ŒÁ¢Œ¹·Ø¡ÊÒÃÐÊÓ¤ÑÞ

à¾ÔèÁ¤ÇÒÁ¾ÃŒÍÁàµÃÕÂÁÊͺ PAT 1 สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร เข าใจง าย ครอบคลุมทุกเนื้อหา 20 บท แนวข อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร จำนวน 4 ชุด 185 ข อ เฉลยพร อมคำอธิบายอย างละเอียดครบทุกข อ

คลิปวิดีโอเฉลยข อสอบ PAT 1 อย างละเอียด โดย วช�รา โอภาสวัฒนา (พี่โต ) ครุศาสตรมหาบัณฑิต จ�ฬาลงกรณ มหาว�ทยาลัย

µÔÇàµÍà ªÍè× ´Ñ§áË‹§àÇçºä«µ

DekTalent.com เด็กทาเลนท์​์.คอม

199.-

Contents บทน�ำ

4

บทที่ 1

9

เซต

บทที่ 2 ระบบจ�ำนวนจริง

15

บทที่ 3

ตรรกศาสตร์

39

บทที่ 4

ความสัมพันธ์

49

บทที่ 5

ฟังก์ชัน

59

บทที่ 6

เรขาคณิตวิเคราะห์

69

บทที่ 7

ภาคตัดกรวย

73

บทที่ 8

เลขยกก�ำลัง

85

บทที่ 9

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

93

บทที่ 10 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

105

บทที่ 11

115

เวกเตอร์

บทที่ 12 จ�ำนวนเชิงซ้อน

121

บทที่ 13 เมตริกซ์

127

บทที่ 14 ล�ำดับและอนุกรม

139

บทที่ 15 วิธีเรียงสับเปลี่ยนและวิธีจัดหมู่

157

บทที่ 16 ความน่าจะเป็น

169

บทที่ 17 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

173

บทที่ 18 แคลคูลัสเบื้องต้น

179

บทที่ 19 สถิติ

187

บทที่ 20 ก�ำหนดการเชิงเส้น

201

แนวข้อสอบชุดที่ 1 เฉลยข้อสอบชุดที่ 1

แนวข้อสอบชุดที่ 2 เฉลยข้อสอบชุดที่ 2

แนวข้อสอบชุดที่ 3

205 222

277 294

345

เฉลยข้อสอบชุดที่ 3

362

แนวข้อสอบชุดที่ 4

421

เฉลยข้อสอบชุดที่ 4

440

NOTE

บทที่

1

เซต

10

เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

1) ความหมายและสัญลักษณ์

เซตเป็นค�ำอนิยาม สิ่งที่อยู่ในเซตเรียกว่า “สมาชิก” ซึ่งสมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วย เครื่องหมายจุลภาค ( , ) เช่น

A = {1, 3, 5, 7} เซต A มีสมาชิก 4 ตัว คือ 1, 3, 5, 7

B = {{1}, 2} เซต B มีสมาชิก 2 ตัว คือ {1}, 2

สัญลักษณ์ Î แทนการเป็นสมาชิกของเซต

สัญลักษณ์ Ï แทนการไม่เป็นสมาชิกของเซต เช่น ก�ำหนด A = {5, 7, 8, 9} บอกได้ว่า 5ÎA, 6ÏA เป็นต้น 2) เอกภพสัมพัทธ์

หมายถึง ขอบเขตของเซตที่ก�ำลังสนใจ มักแทนด้วย U ถ้าไม่ได้ก�ำหนดจะหมายถึง เซตของจ�ำนวนจริง 3) วิธีการเขียนเซต

มี 2 แบบ คือ

แบบบอกเงื่อนไข เช่น A = {xÎN | 2 < x < 10}

แบบแจกแจงสมาชิก เช่น B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4) เซตว่าง เซตจ�ำกัด เซตอนันต์ และเซตที่เท่ากัน

เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือพูดได้วา่ มีสมาชิกศูนย์ตัว สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ เซตจ�ำกัด คือ เซตที่บอกจ�ำนวนสมาชิกได้ว่ามีกี่ตัว เช่น A = {2, 4, 6, 8} เป็นเซต จ�ำกัด เพราะสามารถบอกได้ว่า เซต A มีสมาชิก 4 ตัว สัญลักษณ์ n(A) แทนจ�ำนวนสมาชิกของเซต A ดังนั้น n(A) = 4 เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจ�ำกัด หรือ เซตที่มีสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน เช่น เซตของจ�ำนวนนับ เซตของจ�ำนวนเต็ม เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่มีจ�ำนวนสมาชิกเหมือนกันทุกตัว แต่ถ้าเป็นเซตที่มีจ�ำนวน สมาชิกเท่ากัน จะเรียกว่า “เซตเทียบเท่ากัน”

บทที่ 1 เซต

5) สับเซต

นิยาม

ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B สัญลักษณ์ Ì แทนการเป็นสับเซต เช่น A เป็นสับเซต B เขียนแทนด้วย A Ì B สัญลักษณ์ Ë แทนการไม่เป็นสับเซต เช่น ก�ำหนดให้ A = {7, 8} และ B = {5, 6, 7, 8} บอกได้ว่า A Ì B A ÌB

ตัวอย่างที่ 1

ก�ำหนด M = {5, 10, 15} จงเขียนสับเซตทั้งหมดของเซต M วิธีเขียนสับเซตทั้งหมด ท�ำตามขั้นตอนดังนี้ 1) ให้เอาสมาชิกในเซต M โดยเอามาทีละ 1 ตัว แล้วเขียนในวงเล็บปีกกา จะได้ {5}, {10}, {15} 2) ให้เอาสมาชิกในเซต M โดยเอามาทีละ 2 ตัว แล้วเขียนไว้ในวงเล็บปีกกา จะได้ {5, 10}, {5, 15}, {10, 15} 3) ให้เอาสมาชิกในเซต M โดยเอามาทีละ 3 ตัว แล้วเขียนไว้ในวงเล็บปีกกา จะได้ {5, 10, 15} ถ้าเป็นเซตที่มีจ�ำนวนสมาชิกมากกว่านี้ ให้ท�ำแบบนี้ไปเรื่อยๆ จนครบตามจ�ำนวน สมาชิกในเซต ส�ำหรับเซต M ซึ่งมีสมาชิก 3 ตัว เมื่อท�ำครบแล้ว ให้เติม ∅ เข้าไป อีก 1 ตัว ก็จะได้สับเซตทั้งหมดของเซต M ตอบ ∴ สับเซตทั้งหมดของ M คือ {5}, {10}, {15}, {5, 10}, {5, 15}, {10, 15}, {5, 10, 15}, ∅

สูตร

จ�ำนวนสับเซตทั้งหมด = 2 เมื่อ n คือ จ�ำนวนสมาชิกของเซต n

สับเซตแท้ คือ สับเซตทุกเซตยกเว้นตัวมันเอง

สูตร

จ�ำนวนสับเซตแท้ = 2 −1 เมื่อ n คือ จ�ำนวนสมาชิกของเซต n

ข้อสังเกต เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต

11

12

เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

6) เพาเวอร์เซต

เพาเวอร์เซต คือ เซตของสับเซต สัญลักษณ์ P(A) แทนเพาเวอร์เซต A การเขียนเพาเวอร์เซต ให้เขียนสับเซตให้หมดทุกตัวก่อน แล้วเขียนปีกกาคลุมหัวท้าย ก็จะได้เพาเวอร์เซตแล้ว ข้อสังเกตเกี่ยวกับเพาเวอร์เซต

1) จ�ำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต คือ จ�ำนวนสับเซตทั้งหมด = 2 เมื่อ n คือ จ�ำนวนสมาชิกของเซต 2) เพราะว่าเซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง ดังนั้น A∈P(A) เสมอ 3) เพราะว่าเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ดังนั้น ∅∈P(A) เสมอ n

7) การกระท�ำของเซต

การกระท�ำของเซตมี 4 แบบคือ ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน ผลต่าง และคอมพลีเมนต์ 7.1 ยูเนียน

สัญลักษณ์ È

A È B = {x | x∈A

7.2 อินเตอร์เซกชัน

สัญลักษณ์ Ç

A Ç B = {x | x∈A

7.3 ผลต่าง

หรือ x∈B} คือ เอาสมาชิกมารวมกัน

คือ เอาสมาชิกที่ซ�้ำกัน

7.4 คอมพลีเมนต์

และ x∈B}

สัญลักษณ์เครื่องหมายลบ ( −) A − B = {x | x∈A และ xÏB} คือ เอามาลบกัน โดยยึดตัวตั้งเป็นหลัก สัญลักษณ์ ( ¢ ) A¢ = {x∈U และ xÏA} คือ ไม่เอาสมาชิกในเซตนั้นๆ เช่น A¢ หมายถึง ไม่เอาสมาชิกที่อยู่ใน A

แนวข้อสอบ

ชุดที่

คำ�ชี้แจง แบบทดสอบชุดที่ 1 มี 50 ข้อ แบ่งเป็น 2 ตอน คะแนนเต็ม 300 คะแนน ตอนที่ 1

แบบเลือกตอบ

จ�ำนวน 25 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน รวมเป็น 125 คะแนน ตอนที่ 2

แบบเติมค�ำตอบ

จ�ำนวน 25 ข้อ ข้อละ 7 คะแนน รวมเป็น 175 คะแนน

206 เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

แนวข้อสอบ ชุดที่ 1

ตอนที่ 1

แบบเลือกตอบ จ�ำนวน 25 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน

1) ก�ำหนดให้ P แทนประพจน์ “ถ้า และให้ Q แทนประพจน์ “ถ้า พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ประพจน์ ข. ประพจน์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

แล้ว แล้ว

และ

เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใดๆ” เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใดๆ”

มีค่าความจริงเป็นเท็จ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 2) ก�ำหนดให้ U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ และให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ ใน U พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ข. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

3) ก�ำหนดให้ แทน เอกภพสัมพัทธ์ในข้อใดต่อไปนี้ที่ท�ำให้ 1.

2.

3.

4.

4) ก�ำหนดให้ R แทนเซตของจ�ำนวนจริง ให้ และ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ข. เป็นเซตอนันต์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 5) ให้ R แทนเซตของจ�ำนวนจริง ก�ำหนดให้ พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. ข. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด

และให้

แทน มีค่าความจริงเป็นเท็จ

207

แนวข้อสอบ ชุดที่ 1

แนวข้อสอบ ชุดที่ 1

222 เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์

เฉลยข้อสอบ ชุดที่ 1

ชุดที่

เฉลยข้อสอบ ตอนที่ 1

1) 2) 3) 4) 5)

4.

3.

3.

4.

2.

6) 3.

7) 3.

8) 1.

9) 1.

10) 4.

แบบเลือกตอบ

16) 2.

17) 4.

18) 1.

19) 2.

20) 2.

21) 3.

22) 2.

23) 1.

24) 3.

25) 3.

41) 42 42) 5927 43) 396 44) 135 45) 200

46) 20 47) 12 48) 10 49) 6 50) 4

11) 1.

12) 3.

13) 4.

14) 2.

15) 2. ตอนที่ 2 แบบเติมค�ำตอบ

26) 7 27) −1 28) 25 29) 5 30) 4

31) 162 32) 2 33) 2 34) 16 35) 11

36) 121 37) 3 38) 16 39) 354 40) 168

ตอนที่ 1

223

เฉลยข้อสอบ ชุดที่ 1

เฉลยข้อสอบ ชุดที่ 1

แบบเลือกตอบ จ�ำนวน 25 ข้อ ข้อละ 5 คะแนน

ข้อ 1) เฉลย 4. ก. ผิด และ ข. ผิด ต้องหาค่าความจริงของประพจน์ P และ Q มาก่อน แล้วค่อยมาพิจารณาข้อความ ก. และ ข. แล้ว เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใดๆ” จาก P แทนประพจน์ “ถ้า วาดรูป 3 เซต คือ A, B และ C ดังรูป A

B

A

B

พื้นที่

พื้นที่ C

C

U

U

โจทย์ต้องการให้ ดังนั้น ให้แรเงาส่วนที่ไม่ใช่ทิ้งไป นั่นคือพื้นที่ส่วนที่แรเงาสีด�ำ เพราะยังมีพื้นที่ของ A ที่ยังไม่อยู่ใน B จะเห็นว่า A

B

ตัดพื้นที่ส่วนนี้ทิ้งไป ส่วนของ A ที่ยังไม่อยู่ใน B C

\

U

ประพจน์ P มีค่าความจริงเป็น F (เท็จ)

แล้ว และ เมื่อ A, B และ C เป็นเซตใดๆ” จาก Q แทนประพจน์ “ถ้า วาดรูป 3 เซต คือ A, B และ C ต้องการ จะมีพื้นที่ส่วนที่ไม่ใช่ นั่นคือพื้นที่ส่วนที่แรเงาสีดำ� จะเห็นว่า เพราะยังมีพื้นที่ของ C ที่ไม่อยู่ใน A และ เพราะยังมีพื้นที่ของ C ที่ไม่อยู่ใน B ดังรูป

แนวข อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร จำนวน 4 ชุด 185 ข อ ฝ กทำให ชำนาญ เพื่อความแม นยำและกระชับเวลาในสนามสอบจริง

เฉลยพร อมคำอธิบายอย างละเอียดทุกข อ เพื่อให เข าใจวิธีการคิดอย างทะลุปรุโปร ง

สามารถใช ชุดข อสอบมาจำลองการสอบจริงโดยการจับเวลา

เคล็ดลับพิชิต PAT 1 ฉบับพี่โต à·¤¹Ô¤áÅÐà¤Åç´ÅѺ¾ÔªÔµ PAT 1 ©ºÑº¾Õèⵎ ¤×Í áÁ‹¹ËÅÑ¡¡Òà áÅÐ áÁ‹¹¤Ô´àÅ¢ ´Ñ§¹Ñé¹àÃÒµŒÍ§½ƒ¡½¹¾×é¹°Ò¹ãˌࡋ§ à¾ÃÒÐ໚¹ãºàºÔ¡·Ò§¢Í§º·Í×è¹æ

9

786165

279833

หมวด คู มือเร�ยน-สอบ ราคา 199 บาท

วช�รา โอภาสวัฒนา (พี่โต )

“ËÒ¡¾×é¹°Ò¹´Õ¡çÁÕªÑÂ仡NjҤÃÖè§áŌǔ

เตรียมสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร

เพื่อให เราเก็บสาระสำคัญในแต ละบทได

รอ มสูส นามสอบ ย� มพ  เตร

นิ ่มั ใจเ0ก% น

10

เนื้อหาเข ม อธิบายละเอียด เข าใจทะลุปรุโปร งทุกบทเรียน

เนื้อหาเข ม อธิบายละเอียด เข าใจทะลุปรุโปร งทุกบทเรียน

สรุปเนื้อหาพร อมสูตรคณิตศาสตร เข าใจง าย ครอบคลุมทุกเนื้อหา 20 บท

อธ

ทเร�ย ร งทุกบ น  รโุ ป ลปุ

เตรียมสอบ

ความถนัดทางคณิตศาสตร

เขม  เนือ้ หา

ียด  เข า ใจท ละเอ ะ บ� าย

เตรียมสอบ PAT 1

 

PAT 1

ความถนัดทางคณิตศาสตร ¤Ãͺ¤ÅØÁ·Ø¡à¹×éÍËÒ à¢ŒÁ¢Œ¹·Ø¡ÊÒÃÐÊÓ¤ÑÞ

à¾ÔèÁ¤ÇÒÁ¾ÃŒÍÁàµÃÕÂÁÊͺ PAT 1 สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร เข าใจง าย ครอบคลุมทุกเนื้อหา 20 บท แนวข อสอบ PAT 1 ความถนัดทางคณิตศาสตร จำนวน 4 ชุด 185 ข อ เฉลยพร อมคำอธิบายอย างละเอียดครบทุกข อ

คลิปวิดีโอเฉลยข อสอบ PAT 1 อย างละเอียด โดย วช�รา โอภาสวัฒนา (พี่โต ) ครุศาสตรมหาบัณฑิต จ�ฬาลงกรณ มหาว�ทยาลัย

µÔÇàµÍà ªÍè× ´Ñ§áË‹§àÇçºä«µ

DekTalent.com เด็กทาเลนท์​์.คอม

199.-