Ent Maps คณิตศาสตร์

ิง!

าน

ที่ส

ิด ค ณ

ย ะแ พ ท

ฯ

«¡Ô

Ò

s p a M Ent

Á

อบต

á¤Å¤ ÙÅÊÑ

Mind Map ÊÃØ»à¹×éÍËÒ¤³ÔµÈÒʵà Á.4-5-6 ¨Ò¡¨Ó¹Ç¹ËÅÒÂÃŒÍÂ˹ŒÒ àËÅ×Í੾ÒÐá¡‹¹·Õ赌ͧÃÙŒ à¹×éÍËÒ¡ÃЪѺ ͋ҹࢌÒ㨧‹ÒÂ䴌㹠1 Çѹ ËÒ¡¿˜§àÊÕ§ºÃÃÂÒ¾ÌÍÁ¡Ñº´Ùá¼¹ÀÒ¾»ÃСͺ¡ç¨ÐࢌÒã¨à¹×éÍËÒáÅШÓä´ŒµÔ´µÒÁÒ¡¢Öé¹ ÃѺÃͧNjҤ³ÐáÅÐÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂã¹½˜¹ÍÂًᤋàÍ×éÍÁṋ¹Í¹!!

ÅӴѺ á

Å Ð Í ¹Ø¡ à Á

à»

หมวด : คูมือเรียน-สอบ

ราคา 70 บาท

301177

ั ตี โด การน ย

Ê ¶Ô µ Ô Ç´Ñ ¡ÒáÃШÒ ¢ŒÍ ÁÙÅ ¡ÒÃá ¨¡á¨§»¡µÔ

ÅÒ

Ò

786164

͋ҹࢌÒã¨ä´Œã¹ 1 Çѹ

âº

ÁÙÅ ¹§‹ ¢Í§¢ŒÍ

สอบติดจร ที่ส

าน

9

¤³ÔµÈÒʵà Á.4-5-6

Ç´Ñ µÓ á Ë

¾ÒÃ

ISBN : 978-616-430-117-7

M d n i M ÊÃØ»à¹×éÍËÒap

Ç Ñ ´ ¤ ‹ Ò ¡ Å Ò§

ÃÕ

ǧ¡Å Á

ิง!

ผูอ

ࢌÒ㨧‹ÒÂã¹¾ÃÔºµÒ à¾Õ§Ê᡹ QR Code à¾×èÍ¿˜§àÊÕ§ºÃÃÂÒ¾ÌÍÁ ¡Ñº´Ùá¼¹ÀÒ¾»ÃСͺ

¤ä«¹ â Ð Å ¹á ¡®¢Í§ä«

µ ÃÕ â

ǧ

ÁØÁ¾¹×é °Ò¹

º· · Ç Ô ¹

ÁµÔ Ô

ÊÒÁàËÅÂÕè ÁÁÁØ © Ò¡

¡³

Ù‹

ÒÁ

¡Òà ¨Ñ ´ Ë Á

¤ÇÒ

૵

ÃÒÐË µÔ ÇÔठÃÇ ¤ ³ Ñ ´¡ àâÒÅÐÀÒ¤µ á

àÃÂÕ §ÊºÑ à»ÅÂÕè ¹

¨Ð Ò ‹ ¹ Á

Ãà «µ à¾ÒàÇÍ àÇ ¹ ¹ - ÍÍ ÂàÅÍÃ

µÃáÈÒʵÃ

š¹

ÅÔ Á Ô µ

³ ¡É

ÊÞÑ ÅÑ

สอบติดจร

ผูอ

อยากสอบติดคณะและมหาวิทยาลัยในฝน ไมใชเรื่องยาก!! คูมือเตรียมสอบเลมนี้ชวยได

ั ตี โด การน ย

อบต

โดย นายแพทย ชาญชัย กิจประเสร�ฐ และเอี่ยมศิร� กิจประเสร�ฐ พยาบาลศาสตรมหาบัณฑิต มหาว�ทยาลัยนเรศวร และคณะ

ิด ค ณ ะแ พ ท

ย ฯ

s p a M Ent

สงวนลิขสิทธิต์ ามพระราชบัญญัตลิ ขิ สิทธิ์ (ฉบับเพิม่ เติม) พ.ศ. 2558 โดยสำ�นักพิมพ์เอ็มไอเอส ห้ามนำ�ส่วนหนึง่ ส่วนใดของหนังสือเล่มนี้ไปลอกเลียนแบบ ทำ�สำ�เนา ถ่ายเอกสาร หรือนำ�ไปเผยแพร่บนอินเตอร์เน็ตและเครือข่ายต่างๆ ไม่วา่ จะในรูปแบบใดๆ นอกจากจะได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรจากทางสำ�นักพิมพ์เท่านั้น ชื่อผลิตภัณฑ์และเครื่องหมายการค้าต่างๆ ที่อ้างถึงเป็นของบริษัทนั้นๆ คณะผู้จัดทำ� บรรณาธิการสำ�นักพิมพ์ ณัฐวัฒน์ กวีธีรรัตน์ ผู้เขียน นายแพทย์ชาญชัย กิจประเสริฐ, เอี่ยมศิริ กิจประเสริฐ, วีรปริยา กิจประเสริฐ, ชนม์นิภา กิจประเสริฐ ศิลปกรรม วณิชยา ตันเจริญลาภ พิสูจน์อักษร บุษกร กู้หลี ประสานงานสื่อสิ่งพิมพ์ บุษกร กู้หลี จัดพิมพ์ โดย : บริษัท สำ�นักพิมพ์เอ็มไอเอส จำ�กัด 213/3 ซอยพัฒนาการ 1 (สาธุประดิษฐ์ 34 แยก 6) แขวงบางโพงพาง เขตยานนาวา กรุงเทพฯ 10120 โทรศัพท์ 0-2294-8777 (สายอัตโนมัติ) โทรสาร 0-2294-8787 www.MISbook.com จัดจำ�หน่ายโดย : บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำ�กัด (มหาชน) 1858/87-90 ถนนบางนา-ตราด แขวงบางนา เขตบางนา กรุงเทพฯ 10260 โทรศัพท์ 0-2826-8000 โทรสาร 0-2826-8609 www.se-ed.com กรณีต้องการสั่งซื้อจำ�นวนมาก กรุณาติดต่อฝ่ายการตลาด สำ�นักพิมพ์เอ็มไอเอส โทรศัพท์ 0-2294-8777 เพื่อรับส่วนลดพิเศษ หากหนังสือเล่มนี้ผลิตไม่ได้มาตรฐาน อาทิ หน้ากระดาษสลับกัน หน้าซ้ำ� หน้าขาดหาย ทางสำ�นักพิมพ์ ยินดีรับผิดชอบเปลี่ยนให้ ใหม่ โดยส่งมาเปลี่ยนตามที่อยู่ด้านบน หรือติดต่อสำ�นักพิมพ์เอ็มไอเอส โทรศัพท์ 0-2294-8777 (สายอัตโนมัติ)

1

อยากรู ไหม...เตรียมตัวสอบดวย ÊÓ¤ÑÞ ¨Ó¹Ç¹Ë¹ŒÒ¹ŒÍ ÍÍ¡Êͺº‹ÍÂ

¨Ó

ʹء ÂÒàʾµÔ´

¾Ñ¡¼‹Í¹

‹Í੾ÒÐá¡‹¹

à¹×éÍËÒàÂÍÐ

Í‹Ò¹

à´ÔÁ

B ird’s-Eye View

»ÃÐ⪹ Ent Maps

»Þ˜ ËÒ·àÕè ¡´Ô ¢¹Öé ¡Ñº ¼àÙŒ ÃÕ ¹ã¹»˜¨¨ºØ ¹Ñ

¨Ó&ࢌÒã¨

ࢌÒã¨

¡Ãе،¹µ‹ÍÁʧÊÑ ÃÙ àÃÂÕ ¹·¹Ñ à¾×èÍ ¹ & ¤

¨Ó½§˜ á¹¹‹ &ࢌÒã¨

Í‹Ò¹·Ñ¹ ¨Ó&ࢌÒã¨

ÍÍ¡Êͺº‹ÍÂ

ࢌÒ㨠ʹء ¤Ð á ¹ ¹

2

µÒ´Ù

à ÊÕ§ºÃÃÂÒÂ

ÀÒ¾ ¹ÔéÇÊÑÁ¼ÑÊ

‹Ç¹

¨ÓẺá¡Ê

·º·Ç¹ËÅѧàÃÕ¹ µÒÁäÁ‹·Ñ¹à¾×è͹&¤ÃÙ ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸

¤ÇÒÁàª×èÍÁâ§

¹ ·º· Ç

¡‹Í¹Êͺ

ÊÓ¤ÑÞ

»ÃÐÊÔ·¸ÔÀÒ¾ ËÙ¿˜§

¨Ó

àÃÕ¹äÁ‹à¢ŒÒã¨

¹Ò·/Õ º· 5-10 ÍÒ‹ ¹¡‹Í¹àÃÕ ¹

5-10 ¹Ò·Õ/º· ËÅ§Ñ àÃÂÕ ¹

䴌˹ŒÒÅ×ÁËÅѧ

Í‹Ò¹¡‹Í¹àÃÕ¹

ÃÙŒ¨Ñ¡àª×èÍÁâ§

¨Ó

¨Ñºã¨¤ÇÒÁäÁ äÁ‹à¢ŒÒã¨

Í‹Ò¹

à¢ÒŒ 㨤ÇÒÁÊÁÑ ¾Ñ¹¸

¤Ðá¹¹´Õ

µÑÇ˹ѧÊ×Í ¹‹Òàº×èÍ ‹ä´Œ

àËç¹ÀÒ¾ÃÇÁ

Ë Ò¤ÓµÍº

㪌àÇÅÒàÂÍÐ

˹ѧÊ×ÍẺ

µÔ´¡Òá¿ µÔ´à¤Ã×èͧ´×èÁªÙ¡ÓÅѧ

¾Ñ¡¼‹Í¹ ¡Ô¨¡ÃÃÁÍ×è¹ à¤ÃÕ´ ÊÁͧäÁ‹¨Ó

Í‹Ò¹äÁ‹·Ñ¹

àÇÅÒàËÅ×Í

¡Ô¨¡ÃÃÁÍ×è¹ äÁ‹à¤ÃÕ´

Í´¹Í¹

˹Ò

˹ѧÊ×ÍàÅ‹Á

·Ñ¹ ËÅÒÂÃͺ ÊÕÊѹ ÃÙ»ÀÒ¾

1 0 -15 Ãͺ ÊÁͧ¨Ó

Ent Maps ดียังไง

ÍÂÙ‹µÃ§ä˹ ¾ÔàÈÉ

QR Code s Ent M a p

ÀÒ¾ÃÇÁ

¨Ø´ÊÓ¤ÑÞ

µÃ§ä˹ÍÍ¡Êͺº‹ÍÂ

Í‹Ò¹äÁ‹·Ñ¹ äÁ‹à¢ŒÒã¨

กวาจะมาเปน ¾Í‹ ÁÕ áÁá‹ »¹‡ ¡Ô¨» ÃÐàÊÃ°Ô ¾Í‹ ÍÒ¹ áÁ¶‹ ÇÔÅ ¾ÃÁÊع ·Ã Mind Ma p

Ent Maps

º¾Ø ¡ÒÃÕ

Í .¸ÑÞÞÒ, Í.¢ÇÞÑ Ä´Õ ¼ÅÍ ¹Ñ¹µ ¤ÃÍÙ Ò¨ÒÃÂ Ò º Ñ · ¤  Š Œ Í Ô · ¾ Ò Ã · ÃÃ.à¢ Ò ÃÃ.ºÒŒ ¹ÇѧÃÇ¡ ãË¡Œ ÓÅѧ ã ¨ ¤ Ãͺ¤ÃÇÑ ¡Ô¨»ÃÐàÊÃÔ°

¤Ó¢Íº¤³Ø

»

ÇÒ´ÀÒ¾áÅÐà¹×éÍËÒ

¾§Ôé ¤á ÅоÃÔÁÁÕè dzԪÂÒ µ¹Ñ à¨ÃÞÔ ÅÒÀ Í͡Ẻ»¡ ÊÓ¹¡Ñ ¾ÔÁ¾ àÍÁç äÍàÍÊ µ¾Õ ÁÔ ¾ ¤³Ðá¾·Â Ï Á.¹àÃÈÇÃ

¤³Ðá¾·ÂÏ Á.¹ àà ÈÇà ¤³Ðá¾·Â Ï Á.¹àÃÈÇà ¤³Ðá¾·ÂÏ Á.áÁ¿‹ Ò‡ ËÅǧ ¤³Ðá¾·ÂÏ Á.¹àÃÈÇà Á‹ ¤ ³Ðá¾·ÂÏ Á.àªÂÕ §ãË ¤³Ðá¾·ÂÏ Á.¹àÃÈÇà ¤³Ðá¾·ÂÏ Á.áÁ‹¿‡ÒËÅǧ

¤³Ðá¾·ÂÏ Á.¹àÃÈÇà §ãËÁ‹ Õ Â ª à . · ¾  Á

Ï á µ ¹ Ñ · Ð ¤³

1) ª¹Á ¹ÔÀÒ ¡¨Ô »ÃÐàÊÃ°Ô 2) Ê¾Ø ÃÃÉÒ ÊËÕ ¹Ù ´Ø Ò ¡¹Ñ à ¨ÔÁ 3 ) ¾ÁÔ Ê ÈÕ ÃÕ 4) ³¹Ñ ¸¾Ã Å´Õ 5) ·Ã§¡Å´ à¾ÂÕ á¡ÇŒ

6) ÇÕûÃÂÔ Ò ¡¨Ô »ÃÐàÊÃ°Ô ÃÉ Ãʹᵧ Ã Ç Ê Ñ Ë Ê ) 7

ª¹ Ðà âÂ

¼Å§Ò¹

àËÅ×ͨӹǹ˹Ҍ ¹ÍŒ Â Ð Í Â à Œ Ò ¹ Ë ¹ Ç ¨Ó¹ »ÃÐË嫄 àÇÅÒ ¹ ‹ ¡ á Р์¹à©¾ÒÐËÇÑ ã¨ÊÓ¤ÞÑ ¾Ò ÂÍ‹ à© ¨´¨Ó 10 à·Ò‹ Ê ÕÊ ¹Ñ ࢌÒã ¨§‹Ò àª×èÍÁâ§à¹Í×é ËÒ ¡ÓÅ§Ñ ã¨ à Ëç¹â¤Ã§ÊÃÒŒ §ÀÒ¾ ÃÇÁ ÍÒ‹ ¹¡‹Í¹à¢ÒŒ àÃÕ¹ á·Ã¡¤Ó¤Á ·º·Ç¹ËÅѧàÃÕ¹ ·º·Ç¹¡Í‹ ¹Êͺ Ç¸Ô ¹Õ Óä»ãªŒ á¡Œ»˜ÞËÒàÃ×èͧÍÒ‹ ¹äÁ‹·Ñ¹ ๹Œ ÊÇ‹ ¹·ÍÕè Í¡¢ÍŒ ÊͺºÍ‹  ¡¨Ô »ÃÐàÊÃÔ° à ¾ .ÃÒÁÒ¸Ôº´Õ Á. Á Ë´Ô Å ¹¾.ªÒÞªÂÑ

à µ Ê Ò È Â · ¾ á Áʸ. Ò É ¡ Ö È ÊÒ¸ÒÃ³Ê¢Ø ÈÒÊµÃ Ã Ò ¡ MB A Á.¹àÃÈÇà ⤪Œ ªÒÞ ¨.ྪúÙó · Ó §Ò¹ þ.¹¤ÃËÅÁ‹ ÃÐàÊÃ°Ô àÍÂÕè ÁÈÃÔ Ô ¡Ô¨» µÃ ÂÒºÒÅÈÒÊÂÒÅÂÑ ¾ÂÒºÒźÃÁÃÒªª¹¹¾Õ ·Ø ¸ª¹Ô ÃÒª ¾ Õ » à . µ ¼ ÙŒà¢Õ  ¹ â ÇÔ· ¤ ŒªàÍÕèÂÁ ÁÊ ¸ . Ã°Ñ ÈÒʵà Á.¹àÃÈÇà ».â· ¾ÂÒºÒÅÈÒʵ Ã

â ¤ Œª ¾Ô駤 â ¤Œª¾ÃÔÁÁÕè

Á. 6 ÃÃ.ËÅÁ‹ Ê¡Ñ Ç·Ô ÂÒ¤Á ¹Ñ¡È¡Ö ÉÒá¾·Â Á.¹àÃÈÇÃ

Á.6 ÃÃ.ËÅÁ‹ Ê¡Ñ Ç·Ô ÂÒ¤Á ¹ Ñ ¡ È¡Ö ÉÒá¾·Â Á .àªÕ§ãËÁ‹

3

วิธีอาน

Ent Maps ใหสอบติดแบบงายๆ

¡§Ôè ÂÍ‹  4.1 4.2 4 .3

ºÍ¡ÃÒÂÅÐàÍÂÕ ´¢Í§¡§Ôè á¡ÇŒ

ã¹ÍÍ¡

¡§Ôè ÂÍ‹  2 .1 2.2 2.3

¡§Ôè ÂÍ‹  3.1 3 .2 3.3

º ¹Å§ÅÒ‹ §

¹ Í¡

¡§Ôè á¡ÇŒ 2

¡§Ôè ÂÍ‹  1.1 1.2 ¡§Ôè á¡ÇŒ 1 1 .3

3rd ÍÒ‹ ¹¡§Ôè ÂÍ‹ Â

¡§Ôè ÂÍ‹  1.1 1.2 1 Ç Œ ¡ á è Ô § 1. 3 ¡ ¡§Ôè á¡ÇŒ 4 ¡§Ôè ÂÍ‹  àÃ×èͧ 2.1 3 ¡ Ç Œ è Ô § 2 ¡ á ¡ŒÇ ¡§Ôè á 2.2 2.3

ÊÃÒŒ § â¤Ã§

´ÙÀ Ò ¾ÃÇÁ st

1 t S art

º Í¡ËÑǢ͌ Ãͧ àÃÔèÁÍ‹Ò¹ 1 ¹Ò�¡Ô Ò

Ç ¹µÒÁà¢çÁ¹Ò�¡Ô Ò ¡§Ôè á¡ÇŒ 4 ¡Ôè§á¡ŒÇ

4

3

ÇŒ 1 ¡§Ôè á¡

¡ Ôè§á¡ŒÇ 2

2nd Í‹Ò ¹¡§Ôè á ¡ŒÇ

Start

¡ÇÒ´ÊÒµ Ò

Í‹Ò¹àÃÍ×è § วธิ อี า น

Ent Maps

ª ×è ÍàÃ×èͧËÅ¡Ñ

ÀÒ ¾ µÑÇÍÑ¡ÉÃ

สารบัญ (2 6

) ¡Ó ˹´ ¡ÒÃઠ§Ô àʹŒ (24-2 5) ʶµÔ Ô

7) ૵ ( §Ô (8) à ¨ ¹ Ç ¹ ¨Ó

(23) ¤ÇÒÁ ¹Ò‹ ¨Ð໹š

µÃáÈÒʵà (9-10)

(22) á¤Å¤ÅÙ ÊÑ

·Äɮըӹ ǹ (11)

¹Ø¡ÃÁ (21) ÅÓ´ºÑ áÅÐÍ (20) ¨Ó¹Ç¹àª§Ô «ŒÍ¹

¤ÇÒÁÊ ÁÑ ¾¹Ñ ¸ á Åп˜§¡ ªÑ¹ (12)

Íà (19) àÇ¡àµ

áÅ Å Â Õ ª à ¹ ¹ à (15) ¿˜§¡ª ѹàÍ¡«â ¾

Í¡ÒÃ

(16) à

« ¡ Ô Ã Á·

Ô·ÖÁ

ÔµÔ Á ³ ¡ µÃÕâ

¡ ª Ð ¿ ˜§

Ñ

¹Å

8) (17-1

àâ

Ò¤³

ÔµÇàÔ ¤ ÃÒÐË á ÅÐ

À Ò ¤ µÑ´ ¡

ÃÇÂ (13-14)

เทคนิคจำแมน! สแกน QR Code เพื่อฟง เสียงบรรยายไปพรอมกับ ดูแผนภาพ Mind Map

5

6

เซต n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)

(ºÇ¡à´ÕèÂÇ Åº¤Ù‹ ºÇ¡µÍ§)

(B∩C) + n(A∩B − n(A∩B) − n(A∩C) − n n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C)

B U

A

A

ÍÂãÙ‹ ¹

B

A

B' (A∩B)' = A'∪

(A∪B)' = A'∩B' A − B = A∩B' B U

A

B U

A

A

U

A

B U

{1, 2}} P(A) = {�, {1}, {2},

∉

Ò ÇÒÁËÁ ¤ Ð Å á ૵

A'

N o te

(') ¤ÍÁ¾ÅàÕ Á¹µ ¼Åµ‹Ò§ (−)

A∩B

Oper a t i on

A

૵ C

B

A∪B

A = {1, 2}

:

Ex

)) n(P(A)∩P(B

à ¾Ò à Ç Í Ã (A)

n )) = 2

n(P(A

)

n(A∩B

=2

à « µ

Ex: A = {1, 2, 3}

∣ 3< Ex: B = {x

x<10}

ºÍ¡¨Ó¹Ç¹ÊÁÒª¡Ô ä´é A = {1, 2, 3} ⇒ ÁÊÕ ÁÒªÔ¡ 3 µÑÇ è ÊÕ ÁÒª¡Ô � ⇒ äÁÁ äÁÊè ÒÁÒöºÍ¡¨Ó¹Ç¹ÊÁÒª¡Ô ä´é

¨Ó¹Ç¹¨ÃÔ§ R C = {x∣ x ∈ R} N ¨Ó¹Ç¹¹Ñº I⁺ ¨Ó¹Ç¹àµçÁºÇ¡ I⁰ ¨Ó¹Ç¹àµÁç 0 I⁻ ¨Ó¹Ç¹àµÁç ź P àËÁÍ× ¹¡¹Ñ ẺµÇÑ µÍè µÑÇ ¨Ó¹Ç¹à©¾ÒÐ ¨ ӹǹÊÁÒª¡Ô à·Òè ¡¹Ñ à·Òè ¡¹Ñ ¢Í§à«µ ÊÔ觷Ñé§ËÁ´·¡Õè ÓÅѧÈÖ¡ÉÒÍÂÙè àÍ¡À¾ÊÑÁ¾·Ñ ¸ì (U) ¶éÒäÁè¡Ó˹´ U = R

B−A

P(A)

à «µ¨Ó¡´Ñ

E x: A = {1, 2, 3}

ÊÞÑ Å¡Ñ É³ì

A'

:

ᨡᨧÊÁÒªÔ¡ ºÍ¡à§Í×è ¹ä¢

ª ¹Ô ´

A,

B, C,... ÊÞÑ Å¡Ñ É³ì Eng . µ ÑǾÁÔ ¾ãì ËÞè ÃÐËÇèÒ§ÊÁÒª¡Ô ÁÕ , ¤¹Ñè äÁèà¢ÂÕ ¹«Óé

૵͹¹Ñ µì

à ǹ¹ -ÍÍÂàÅÍÃ

§Ñé ËÁ ૵·ÁÕè ÊÕ ºÑ ૵· ´¢Í§ A ໹š ÊÁÒªÔ¡ ¨Ó¹Ç¹ÊÁÒª¡Ô ¢Í§ A : n(A)

2 n(P(A)) = 2 = 4

¨Ó¹Ç¹ÊÁÒª¡Ô

ÍÔ¹àµÍà ૡª¹Ñ (∩)

B−A

B U

A

ʵ٠Ã

ÂàÙ ¹ÂÕ ¹ (∪)

U−A⇐

äÁÍ‹ ÂÙ‹ã¹ A

äÁ‹ÍÂãÙ‹ ¹

A∪B

àÍÒ੾ÒеÇÑ «Óé

A∩B

U

U

B

A

∩C)

á¼¹ÀÒ¾àǹ¹ -Í Í Â à ÅÍÃ

à ÍÒ·¡Ø µÇÑ , äÁà‹ ¢ÂÕ ¹«Óé

ÅÁØ‹ ÊÁÒª¡Ô =¡ ÊÁÒª¡Ô } ૵ = { ∈ ໹ç ÊÁÒª¡Ô äÁàè »¹ç ÊÁÒª¡Ô

(ºÇ¡à´ÕèÂÇź¤Ù‹)

ÊѺ૵

'=�

U ໹ç ÊºÑ à«µ ⊄ äÁèà»ç¹Êº Ñ à«µ ç ÊÁÒª¡Ô ¢Í§ A ໹ A ⊂ B ⇒ Ê ÁÒª¡Ô ·¡Ø µÇÑ ã¹ á ÅÐ B ⊂ A ⊂B ⊂

B

A=B⇒A

�

à »ç¹ÊºÑ ૵¢Í§·Ø¡à«µ

7 7

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

D = D ∩D f

g

D = D ∩ D �{ x| g(x) = 0 f g } Y

X

f

x=y f�1

( f+ g)( x) ( f� =f g)( (x ) x) +g( =f (f∙ x) (x ) g) � g( (x) x) g(x = f( x)∙g )≠ 0, f (x) Å

g (x)

= f(x) g(x )

ÁÒ Ǥ ÒÁË

º Ç¡

á¡

º

¹

ax+b cx+d dx�b a �cx+

1

� 1 f� og = a f) ) (go f�1 (a)) = f(x) ( f( g gof(x) = �1

à ·Ò‹ ˹Ҍ á· ¹ÒŒ à·‹ÒËÅѧ᷹Ë

1 f(A) = 2A+

12 12

�1

f→f

á·¹ã¹

f�1 →

y

Ç ¡Ñ ¹ ÃÐ º º à ´ Õ Â º µÒ‹ §Ãк

f

2x+1 f(x) =

ãËËŒ Ò¨¹à¨ÍµÇÑ «éÓ

Ex

â ¨·Â ǹ

àù¨

( Dr)

(Rr )

② ૵¢Í§µÇÑ Ë¹ÒŒ (x) ③ ¡ÒÃËÒ D ¾¨Ô ÒÃ³Ò r ④ ૵¢Í§µÇÑ Ë Å§Ñ (y ) ¢Í §áµ‹Å ⑤ ¡ÒÃËÒ R Ð¤Ù‹Í r ① ¨ Ñ ´ à ٠» ѹ ´ Ñ º ã ¹ r ¾¨Ô Òó x = à·ÍÁ¢Í§ y Ò¤Ò‹ y ④ ·Õè·Óã ËŒ x ໹š ¨Ã§Ô ②� ⑤ ② ⑤

③ A�B = {(1, 4 ), (1, 6 4 B�A = ), (3, 4) , (3, 6)} n(A�B) = 2�2 = {( 4 , 1 ) , (4 A ¤ÇÒÁÊÁÑ ¾¹Ñ 4 ¸ ¨Ò¡ A�B � B ≠ B�A á , 3), (6, 1), (6, 3)} n (B�A) = 2�2 = µ r à» ¹š ¤ÇÒÁ ‹ n(A�B) = n(B�A µÇÑ ¼ ÊÁÑ ¾Ñ¹¸ ) A� ) ¡¼¹Ñ r �1 A: ¨Ò¡ A�B ¡µç r ໚¹ ã ¹ A ¸ ‹ Í ¢Í § à Á è × Í B � r ⊂ A ¹ Ñ ¤ ¤ÇÒÁ ¨Ó¹Ç¹Ê ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸¨ Ò¡ A�A ÊÑ Á ¾ ÊÁÑ ¾ ¡µç ‹ÍàÁÍ×è r ⊂ A�A (¤ÇÒÁ ÁÒ

¼Å¤³ Ù ¤ Ò Ã · Õà ª Õ Â ¹

ฟงกชัน

¤ ÇÒÁË Ñ¹¸ à¡´Ô ¢Í§¿Á§˜ ÒÂáÅЪ¹ y = f(x) ¨Ò¡¡Ò ª¡Ô ¢Í§ r = 2n(A � B) ¡ª ¹Ñ Ô´ ¤ÇÒÁÊ D = ÃÊź Ñ ·Õè¢Í r R� Á Ñ § x áÅÐ y ã¹áµÅ‹ ФÍÙ‹ ¹Ñ ´ºÑ ¾ Ñ ¹¸ ¤ Å Œ Í Âµ Ò Á x à¾ÁÔè , y à ¾ Ôè Á r 1, R Ê Á¡ · äÕè Á Ç Ô ¸ Õ¡ r = D Á‹ Õ D Òú ÒÃ à ª x Å´ , y Å ´ r�1 Í ¡ ç ¡à§×è͹ Ex: r = {(x, y)| y = 5x � 4, x ∈ [1, 6]} ÇÒ‹ à r ¨º ¿§Ñ ¡ªì ѹà¾ÔèÁ Ѥ Y ä ¢ Ù‹¡Ñº Ạº ① r�1 = { X ˜§ ¡ ª R (y, x)| y = 5x � 4, x ∈ [1, 6]} Ñ ¹ r > § Œ 1  ´ ¡ Å ì ª Ñ § Ñ ¹ á ¿ � µ ÑÇ ¢Ñ´ Ạº ② r 1 = Å´ ① x à¾ÔèÁ, y {(x , y)| x = 5 f( x

¡ÒÃËÒ¤‹Ò

g( x )

f(x) =

A = {1, 3 } B = {4, 6 }

ความ สัมพันธ

ction e Fun t i s o Comp

â´àÁ¹

ã¹ r ¢Í§áµÅ‹ Ð¤Ù‹Í¹Ñ ´ºÑ û٠y = à·ÍÁ¢Í§ x ① ¨´Ñ ÓãËŒ y ໚¹¨Ã§Ô ② � ⑤ è Õ · · x Ò Ë

)

¿ »¹š

a x) a) ) = ( ÇŒ ¹Ó f( f ( Å á f f( x ) ¹ ã ≠∅ x ‹ Ò ¤ D g ¹ á· R∩ f ä ´Œ f o g Ò Ë ¨Ð f → f �1 �1 → f f ¹ Ë Åѧ �1

Ex: r = {(1, �1), (2, � 2), (3, �3)}

Ðàù¨ Å á ¹ â´àÁ

¤Ù³ x= y Á Í è × à à Í ‹ » µ ç ¹ š ¡ Œ ´ ¿ ä §˜ ¡ª ¹Ñ 1: ¨ÐËÒ f 1 à·Ò‹ Ë Òà ¾ ¹Ê ¹ ¹Ñé Õ ª ¤³ ÁÁ Ò à»ÅÕè¹ y ໚¹ x, x ໚¹ y Ôµ¢Í§¿ µÃ §˜ ¡ª Ñ ¨Ñ´ÊÁ¡ÒÃãËÍŒ ÂãÙ‹ ¹Ã»Ù y = à·ÍÁ¢Í§ x ① ② ·ŒÒÂã˨Œ Ñ´ãËŒÍÂÙ‹ ¶ÒŒ ÁàÕ §Í×è ¹ä¢µÍ‹ 0 ÍÔ¹àÇÍà ʢ ③ ¡ÒÃËÒÍ¹Ô à ≥ 0, x ≠ x ͧ¿˜§¡ª ¹Ñ Ç ‹ ¹ ª à Í x Ã

Ê § Í ¢ » Ù ¡ ã ¹Ã Ñ Ã ¹ Ò Ë § è Ö ④ ¹ »Ã¡ÓÅÑ§Ë §¾Õè” á Ñ Ç µ Õ Á è Õ ·

 ⨷ §¹ÍŒ ‹Í  ŒÍ§áŌǵÂØŒ ·ŒÍ Ex ¹ è Õ è Õ ¾ · º Ñ Å ÊÙµÃ㪺Œ “Ê �1

૵«§Öè ÁÊÕ ÁҪԡ໹š ¤ÍÙ‹ ѹ´ºÑ Ñ ¾Ñ¹¸ r á·¹¤ÇÒÁÊÁ

x

p Lo o

1 2

à ¾ ÔèÁ

Å ´, y

a b

=B D f = A, R f B äÁà‹ ËÅ×Í D = A, R ⊂ B f

f

n(D f) = n(R f)

Y

f:A

X

·ÑèǶ֧ B

f:A

1�1

B

á·¹¤ Ò‹ x Dr «éÓ¡¹Ñ äÁä‹ ´,Œ ② 1¤ à ù¨« Óé ä´Œ ÅÒ¡ ‹ Ò à µ Ê Œ Í § Œ ´ ¹ Ô à ¡ á ¹ Ô ´ ª ¹Ç´Ôè§ y à¾Õ§ 1 ¤‹Òà· Ò‹ ¹¹Ñé µ ´ Ñ à Ê f:A→B ¹ Œ D ¡ ÃÒ¿à¾Õ§ 1 ¨´Ø à·‹Ò¹¹Ñé f = A ① á·¹¤Ò‹ y1 Ç¸Ô ´Õ Ù 1�1 ¤‹Ò µÍŒ §à¡´Ô x Rf ⊂ B (B àËÅÍ× ) 21 à¾Õ§ 1 ¤Ò‹ à Y ② ÅÒ¡àÊŒ¹á¹Ç¹Í¹ ·Ò‹ ¹¹Ñé µ ´ Ñ ¡ à ¿ Ò 1 ¨´Ø X

y � 4, y ∈ [1, 6]} 1 2

Y

a b

a b

X

ความน่าจะเป็น 㪌㹡ó¨Õ Ó¹Ç¹Ç¸Ô ÕäÁ‹ÁÒ¡ ´ Õ¨Ó¹Ç¹Ç¸Ô ÁÕ Ò¡ à¢ÂÕ ¹á¨¡á¨§·Ñé§ËÁ 㪌㹡óÁÕ ¨Ó¹Ç¹ÇÔ¸Õã¹áµ‹ÅТÑé¹¹ÓÁÒ � ¡Ñ¹ ¡Ã³Õ 1 a � b � c àÊÃ稧ҹ ⊕ àÃÔèÁ§Ò¹ ¡ÒúǡáÅСÒä³ Ù ¡Ã³Õ 2 d � e � f Ç¸Ô Õ àÍҼŷäÕè ´áŒ µ‹ÅСóÁÕ Ò ⊕ ¡Ñ¹ ¡Òä³ Ù ÃÐËÇÒ‹ §¨Ó¹Ç ¹Ç¸Ô ·Õ Ó§Ò¹·Õè处 äÁ‹áÅÇŒ à ÊÃç¨ ¡Òà ºÇ¡ÃÐËÇÒ‹ § ¨Ó¹Ç¹Ç¸Ô Õ··Õè Ó§Ò¹áÅ ÇŒ àÊÃç¨ §Ò¹ÁÕ k ¢¹Ñé µ · Ó µ ͹ Í‹ à¹×èͧ Ë Ã×Í·Ó¾ÃÍŒ Á¡¹Ñ ᵋÅТ¹Ñé ÁÕ n ÇÔ¸Õ ¸Ô Õ ¢¹Ñé µÍ¹á ¨Ó¹Ç¹·Ñé§ËÁ´ = n∙k Ç ·ÓäÁ‹µÍ‹ à¹Í×è § § µ Œ¹ é × Í º ¡ à » Œ º Ñ Þ˜ ËÒ⨠Òù ·Â àÍÒÇÔ¸ÁÕ ÒºÇ¡¡Ñ¹ ¡®¡ ⨷  ¡Ó˹´¡ Õè§Ò¹ áµÅ‹ ЧҹÁÕ¡¢Õè ¹Ñé µÍ¹ ความนาจะเปน áµÅ‹ Т¹Ñé µÍ¹·Óµ‹Íà¹Í×è §ËÃÍ× ¾ÃÍŒ n Á¡¹Ñ � r� n(E) ËҨӹǹ··Õè Ó P(E) ä n(S) ·Ó¢ Ñé ¹ µÍ¹·ÁÕè àÕ ´Œã¹áµ‹ÅТÑ鹵͹ Tr § Í×è ¹ä¢ÊÓ¤ÑÞ·ÊÕè Ø´¡‹Í¹ ¨Ó¹Ç¹ 5! ÇÔ¸Õ·µÕè ÍŒ §¡Ò÷Ñé§ ËÁ´ = Ç¸Ô Õ·§Ñé ËÁ´ � ¨Ó¹Ç¹ Ç¸Ô ·Õ ÕèäÁ‹µÍŒ §¡Òà A∪B = ¨ ӹǹ·Õèà¡´Ô A + ¨Ó ¹Ç¹·àÕè ¡´Ô B � ¨Ó¹ n! = n ǹ A∩ B (n

n §¾¨¹· Õè r+1 ·äÕè ´¨Œ Ò¡¡ÒáÃШÒ (a+b)n = ∑ T Í ¢ ‹ Ò ¤ × Í ¤ T r+1 r+1 r=0 ÊÑÁ»ÃÐÊÔ·¸Ôì·ÇÔ¹ÒÁ = �n� r n(S) : ¨Ó¹Ç¹Ç¸Ô ¢Õ ͧàË Tr+1 = � n� an�r br µØ¡Òó ·§Ñé ËÁ´ r n(E) : ¨Ó¹Ç¹Ç¸Ô Õ¢ ͧà˵ءÒó· Õèʹ㨠P(E) : ¤ÇÒÁ¹Ò‹ ¨Ð໚¹¢Í §à˵¡Ø Òó· ÊÕè ¹ã¨

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(S) = 1

P(E) = n(E) n(S)

P(∅) = 0

P(A∪B) = P(A)+P(B)�P (A∩B) P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C )�P(A∩B) �P(A∩C)�P(B∩C)+P(A ∩B∩C)

º ··ÇÔ¹ ÒÁ

P(A') = 1�P(A) ËÃÍ× P(A ) = 1�P(A')

Cn, r

ËÃ×Í

nCr

ËÃ×Í

�n� r

ÊÁºµÑ Ô

¤ÇÒÁ¹Ò‹ ¨ Ð à »š¹

:

ÊÔè§¢Í §n ÊÔ觢ͧ n ʧÔè áµà‹ Å×Í¡ÁÒ r ʧÔè ¾ÃÍŒ Á¡¹Ñ (ŠʧÔè àÅÍ× ¡ÁÒ r ʧÔè Ó´ºÑ Ê n! Ó¤ÑÞ ) nCr ËÃ×Í Cn, r = (n�r)!r! à Å×Í¡¾ÃÍŒ Á¡Ñ¹ Ð µ Å Õ Ç Ñ · ( Å § è Ô Ó Ê ´ r º Ñ ÊÓ¤ÞÑ ) ¡ Òè´Ñ ËÁÙ‹ (C) ÊÔ觢ͧ n ʧÔè ᵋàÅ×Í¡ÁÒ n! ËÃ×Í Cn, r� r!

P n, r = (n�r)! r! ѹ´ºÑ = Cn, r�

à·Ò‹ ¡ºÑ àÅÍ× ¡ÁÒáŌǤ‹Í¨´Ñ Í n 1! = µÇÑ «éӪش·Õè 1 ÇÑ «Óé ª´Ø ·Õè 2 n2! = µ

n! n1!n2!...

àÅÍ× ¡·ÅÕ ÐµÇÑ

n! =

äÁÁ‹ Õ«Óé ¡Ñ¹ ÁµÕ ÇÑ «Óé ¡¹Ñ

ͧ໹š á¶ÇË ¹ŒÒ¡Ãдҹ ¶ÒŒ ÁãÕ ¤ÃÁ Ò¹§Ñè áÅÇŒ ãËŒÁ E ¹§Ñè âµÐ ¡ÅÁ ¨Ñ´ A, B, C, D,

! = 4!

(5�1)

(n�1)!

: Ex

àªÔ§àʹŒ =

Á âµÐ ¡Å

nµ

4

(P)

ÅÂÕè ¹ àÃÕÂ§ÊºÑ à» â¨·Â ºÍ¡ÇÒ‹ “ãˤŒ ¹

ÑÇ

Á¢Õ ͧ

¡ÅÁ Ẻǧ Ëҡǧ¡ÅÁ·ÁÕè ͧ䴌

4

2

n

�1)(n�2

2¤

¹Ë Ã × Í ¢Í§ 2 ʧÔè ʧÔè áµà‹ ÅÍ× ¡ µ´Ô ¡¹Ñ à ÁÒ漄 à ÊÁÍ” »ÅÕè¹ ᤋ r Ê §Ôè

´ŒÒ¹ ઠ‹ ¹ à ŒÍ  ÁÒÅÂÑ

= (n�1)!

2

¨Ó¹Ç¹ÇÔ¸

Õ¨ÐŴŧ¤Ã§Öè ˹§Öè

)(n�3)...1 Ex : 5! = 5∙4∙3∙2∙1 5! ∙ 2 ! = (5∙4∙3∙2∙ 1)(2∙1) 8!

8 4! = ∙7∙6∙5∙4!

4! ≠ 2!

≠ 10!

0! = 1 : ãËÁŒ Ñ ´µÔ´¡¹Ñ á ÅŒÇÁͧàÊ P Ë Á×͹໹š ¤¹¤ n , r Ã×Í n ¹à´ÕÂÇ ËÃÍ× ¢Í§ª¹Ôé à´ÂÕ Ç¡¹Ñ Pr

n! (n�r)! ÇÔ¸Õ

23 23

notes

27

¡ÃЪѺ à¹×éÍËÒࢌÁ¢Œ¹ ¹ é ÊÑ » ÃØ Ê é ¹Õ ´ ªØ ap M d "Min ¡¢ŒÍÊͺº‹Í º·ä˹ËÃ×͵çä˹ÍÍ ŒãËŒ´ŒÇ ¨Ð·ÓÃÙ»ËÑÇã¨äÇ ÐàŤ‹Ð" ª‹Ç§ã¡ÅŒæ Êͺª‹ÇÂä´ŒàÂÍ "µÍ¹ááäÁ‹á¹‹ã¨Ç‹Ò¨ÐÍ‹Ò ¹Ã Mind Map ÁÒ¡‹Í¹ áµÙŒàÃ×èͧäËÁ à¾ÃÒÐäÁ‹à¤ÂÃÙŒàÃ×èͧ ‹¾Í¿˜§ÅاËÁÍÍ Mind Map µÒÁä»´ŒÇ  áÅСÅѺ价º·Ç¹«éÓ¸ÔºÒÂáŌǴ٠»ÃÐËÅÒ´ÁÒ¡... ¹ÕèàÃÒ¨Óä´Œ·Ñé§á¼‹¹àÅÂàËà ¨Óà¹×éÍËÒʋǹ·Õè¨ÓÂÒ¡æ Í ´Õã¨ÁÒ¡ ÅاËÁÍÂѧá·Ã¡ÇÔ¸Õ¡Òà äÇŒ´ŒÇ ¢Íº¤Ø³ÅاËÁÍÁ Ò¡æ ¤‹Ð"

¾ÁÔ Ê´Ø Ò ¡¹ Ñ à¨ÁÔ ¤³Ðá¾·ÂÈÒʵÃ

à ÁËÒÇÔ·ÂÒÅѹàÃÈÇ "¹Í¡¨Ò¡à¹×éÍËÒ·ÕèÊÃØ»ÊÑé¹áÅШÓä´Œ§‹ÒÂáÅŒÇ Åѧ ËŒàÃÒÁÕ¾ ã¹ Mind Map Âѧá·Ã¡¤Ó¤Á·ÕèÍ‹Ò¹áŌǷÓã ŒÍ à˹×èÍ ºÒ§¤ÃÑé§Í‹Ò¹Ë¹Ñ§Ê×ÍË¹Ñ¡æ ª‹Ç§ã¡ÅŒÊͺ àÃÒ· ÃÒÎÖ´ÊÙŒ" ᵋ¾Íà¨Í¤Ó¤Á»˜ º ËÑÇ㨾ͧâµàÅ ·ÓãËŒà

"Mind Map ª‹ÇÂãËŒà à¹×éÍËÒ·Ñé§ËÁ´ ·ÓãËŒàÃÒÃÒàËç¹ÀÒ¾ÃÇÁáÅÐàË繡ÒÃàª×èÍÁ⧠áÅÐᵋÅÐʋǹÊÑÁ¾Ñ¹¸ ¡ ࢌÒ㨧‹Ò NjҷÑé§ËÁ´ÁÕÍÐäúŒÒ§ ѹÍÂ‹Ò§ä «Ö觺ҧ·ÕàÃҡ秧æ Ç‹Ò àÍ Ã µ‹Ò§¨Ò¡¡ÒÃ͋ҹ˹ѧÊ×Í·ÑèÇä» Ð...ʋǹ¹ÕéÁѹÊÑ º·Í×è¹æ Í‹ҧäÃ" Á¾Ñ¹¸ ¡Ñº

Ê¾Ø ÃÃÉÒ ÊËÕ ¹Ù

¡¨Ô »ÃÐàÊÃÔ° Ò À Ô ¹

ª¹Á ÒÊµÃ È Â · ¾ á Ð ¤³

¤³Ðá¾·ÂÈÒʵÃ

Á Ë Ò ÇÔ·

ÂÒÅѹàÃÈÇÃ

ÁËÒÇÔ·ÂÒÅѹàÃÈÇÃ

า อ นแลว GET หี่ มอขอแช

"ªÍº Mind Map µÃ§·ÕèÁѹ‹Íà¹×éÍËÒã ËŒÊÑé¹ ·º·Ç¹à¹×éÍËÒä´ŒàÃçÇ àÁ×èÍ¡‹Í¹ÁÕ»˜ÞËÒ¨ÐÊÍ¡ÃЪѺ ÊÒÁÒö ͋ҹ˹ѧÊ×ÍäÁ‹·Ñ¹ ¾Í㪌 Mind Map ºáÅŒÇᵋÂѧ ʺ 1 º· ‹ÍÁÒ໚¹ 1 ˹ŒÒ ©Ð¹Ñé¹Í‹Ò¹ä´ŒËÒÂàÅ à¾ÃÒÐ ÅÒÂÃͺ ÂÔè§Í‹Ò¹ä´ŒËÅÒÂÃͺ ÂÔ觨Óä´ŒÁÒ¡¢Öé¹"

พ ะสบการ ร ณ ปร

³¹Ñ ¸¾Ã Å´Õ ÕÈÃÕ ¤³Ðá¾·ÂÈÒʵà § Ç ‹ ¿ ‡Ò Ë Å Á á Ñ Â Å Ò Â ÁË Ò Ç Ô ·

·Ã§¡Å ´

¤³Ðá ¾

Á ËÒÇ·Ô ÂÒÅÂÑ àªÂÕ §ãËÁ‹ ÁËÒÇÔ·ÂÒÅÂÑ ¹àÃÈÇÃ

28

ÊËÊÑ ÇÃÃÉ Ãʹᵧ µÔ´ 2 ¤³Ð ¤³Ð·¹Ñ µá¾·ÂÈÒʵà ¹ ¤³Ðá¾·ÂÈÒʵà àÅ×Í¡àÃÕÂ

à µ Ê Ò È ¤³Ðá¾·Â Ã ÂÑ ¹àÃÈÇ ÁËÒÇÔ·ÂÒÅ

"µÍ¹àµÃÕÂÁµÑÇÊͺà¤ÃÕ´ÁÒ¡ à¾ÃÒÐà¹×éÍ àÃÒäÁ‹ÃٌNjÒÍÐäÃÊÓ¤ÑÞ ÍÐää×ÍËÑÇ㨠ÊѺʹäËÒàÂÍÐ »Ë ᵋ¾Íä´ŒÁÒÍ‹Ò¹ Mind Map áÅŒÇ ·ÓãËŒà Á´ ¨Ñº»ÃÐà´ç¹ä´Œà¾ÃÒÐ Mind Map ÊÃػ㨤 ÃÒ äÇŒËÁ´ ¤Ãº·Ñé§ÊÙµÃáÅШشÊÓ¤ÑÞ·Õ赌ͧ¨ÓáÅÐÇÒÁÊÓ¤ÑÞ µŒÍ§à¢Œ ·ÓãËŒàÃÒ͋ҹ䴌·Ñ¹ ͋ҹ䴌ËÅÒÂÃͺ Ò㨠µÍ¹ÊͺàŪÔǪÔǤÃѺ"

ÁËÒ ÇÔ · Â

ÇÃÕ »ÃÂÔ Ò ¡¨Ô »Ã ÐàÊÃÔ° µ´Ô á¾·Â 3 ʶҺѹ àÅ×Í¡àÃÂÕ ¹ ·¤Õè ³Ðá¾·ÂÈÒÊ µÃ ÁËÒÇÔ·ÂÒÅÂÑ àªÂÕ §ãËÁ‹ à¾ÕÂá¡ ÇŒ

·ÂÈÒ ÊµÃ

ÒÅÂÑ ¹ àÃÈÇÃ

"ªÍºµÃ§·Õè໚¹ÍÐä÷ÕèÊÕÊѹàµçÁä»ËÁ´ ÁÕÃÙ»ÀÒ¾á·Ã¡´ŒÇ ·ÓãËŒ¡ÒÃÍ‹Ò¹ äÁ‹¹‹Òàº×èÍ ¨Óä´Œ§‹ÒÂ"

ิง!

าน

ที่ส

ิด ค ณ

ย ะแ พ ท

ฯ

«¡Ô

Ò

s p a M Ent

Á

อบต

á¤Å¤ ÙÅÊÑ

Mind Map ÊÃØ»à¹×éÍËÒ¤³ÔµÈÒʵà Á.4-5-6 ¨Ò¡¨Ó¹Ç¹ËÅÒÂÃŒÍÂ˹ŒÒ àËÅ×Í੾ÒÐá¡‹¹·Õ赌ͧÃÙŒ à¹×éÍËÒ¡ÃЪѺ ͋ҹࢌÒ㨧‹ÒÂ䴌㹠1 Çѹ ËÒ¡¿˜§àÊÕ§ºÃÃÂÒ¾ÌÍÁ¡Ñº´Ùá¼¹ÀÒ¾»ÃСͺ¡ç¨ÐࢌÒã¨à¹×éÍËÒáÅШÓä´ŒµÔ´µÒÁÒ¡¢Öé¹ ÃѺÃͧNjҤ³ÐáÅÐÁËÒÇÔ·ÂÒÅÑÂã¹½˜¹ÍÂًᤋàÍ×éÍÁṋ¹Í¹!!

ÅӴѺ á

Å Ð Í ¹Ø¡ à Á

à»

หมวด : คูมือเรียน-สอบ

ราคา 70 บาท

301177

ั ตี โด การน ย

Ê ¶Ô µ Ô Ç´Ñ ¡ÒáÃШÒ ¢ŒÍ ÁÙÅ ¡ÒÃá ¨¡á¨§»¡µÔ

ÅÒ

Ò

786164

͋ҹࢌÒã¨ä´Œã¹ 1 Çѹ

âº

ÁÙÅ ¹§‹ ¢Í§¢ŒÍ

สอบติดจร ที่ส

าน

9

¤³ÔµÈÒʵà Á.4-5-6

Ç´Ñ µÓ á Ë

¾ÒÃ

ISBN : 978-616-430-117-7

M d n i M ÊÃØ»à¹×éÍËÒap

Ç Ñ ´ ¤ ‹ Ò ¡ Å Ò§

ÃÕ

ǧ¡Å Á

ิง!

ผูอ

ࢌÒ㨧‹ÒÂã¹¾ÃÔºµÒ à¾Õ§Ê᡹ QR Code à¾×èÍ¿˜§àÊÕ§ºÃÃÂÒ¾ÌÍÁ ¡Ñº´Ùá¼¹ÀÒ¾»ÃСͺ

¤ä«¹ â Ð Å ¹á ¡®¢Í§ä«

µ ÃÕ â

ǧ

ÁØÁ¾¹×é °Ò¹

º· · Ç Ô ¹

ÁµÔ Ô

ÊÒÁàËÅÂÕè ÁÁÁØ © Ò¡

¡³

Ù‹

ÒÁ

¡Òà ¨Ñ ´ Ë Á

¤ÇÒ

૵

ÃÒÐË µÔ ÇÔठÃÇ ¤ ³ Ñ ´¡ àâÒÅÐÀÒ¤µ á

àÃÂÕ §ÊºÑ à»ÅÂÕè ¹

¨Ð Ò ‹ ¹ Á

Ãà «µ à¾ÒàÇÍ àÇ ¹ ¹ - ÍÍ ÂàÅÍÃ

µÃáÈÒʵÃ

š¹

ÅÔ Á Ô µ

³ ¡É

ÊÞÑ ÅÑ

สอบติดจร

ผูอ

อยากสอบติดคณะและมหาวิทยาลัยในฝน ไมใชเรื่องยาก!! คูมือเตรียมสอบเลมนี้ชวยได

ั ตี โด การน ย

อบต

โดย นายแพทย ชาญชัย กิจประเสร�ฐ และเอี่ยมศิร� กิจประเสร�ฐ พยาบาลศาสตรมหาบัณฑิต มหาว�ทยาลัยนเรศวร และคณะ

ิด ค ณ ะแ พ ท

ย ฯ