Tag der Mathematik 2007
Gruppenwettbewerb
Einzelwettbewerb
Speed-Wettbewerb
L¨osungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel d¨ urfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Aufgaben bitte nur auf den Aufgabenbl¨ attern bearbeiten und abgeben!
Zentrum f¨ ur Mathematik · Werrastr. 26 · 64625 Bensheim · 06251/580306 Internet: www.z-f-m.de · Email: nicole.roth-sonnen@z-f-m.de
Aufgabe G1 (8 Punkte) In ein regelm¨aßiges Sechseck mit der Seitenl¨ange a wird ein gleichseitiges Dreieck so eingezeichnet, dass die Ecken die Mitte der Sechsecksseiten sind. Wie groß ist das Verh¨altnis der Fl¨acheninhalte von Dreieck und Sechseck?
L¨ osung: Ein regelm¨aßiges Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Der Fl¨acheninhalt des Sechsecks ist: 6·
a2 √ 3 4
F¨ ur die Mittelparallele EG des Trapezes ABCD gilt 1 1 3 EG = (AB + CD) = (a + 2a) = a 2 2 2 Die Fl¨ache des gleichseitigen Dreiecks ist: 2 √ 1 3 3 a 4 2 Also ist das gesuchte Verh¨altnis: 1 4
6
√
2 3 a 3 2 √ a2 · 4 3
=
3 8
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Aufgabe G2 (8 Punkte) Gegeben ist ein Viereck ABCD mit AD = 5, BC = 8, ∠A = 70◦ , ∠B = 50◦ . Seien P und R die Seitenmitten von AB bzw. CD, sowie Q und S die Mittelpunkte der Diagonalen BD bzw. AC. Wie groß ist die Fl¨ache des Parallelogramms P QRS?
L¨ osung: 1 5 RS = AD = 2 2 1 QR = BC = 4 2 ∠SRQ = 180◦ − 50◦ − 70◦ = 60◦ √ Fl¨ache: RS · QR · sin 60◦ = 5 3
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Aufgabe G3 (8 Punkte) Die f¨ unf Gebiete A, B, C, D und E sollen so gef¨arbt werden, dass benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben. a) Wenn man 4 Farben hat, auf wie viele Arten kann man f¨arben? b) Auf wie viele Arten kann man mit 5 Farben f¨arben? Hinweis: Es ist nicht erforderlich, alle Farben zu benutzen.
L¨ osung:
a) A, B, C k¨onnen auf 4 · 3 · 2 Arten gef¨arbt werden. D und B haben
(i) gleiche F¨arbung: 2 Farben f¨ ur E (ii) verschiedene F¨arbung: 1 Farbe f¨ ur E Also gibt es 4 · 3 · 2 · (2 + 1) = 72 F¨arbungen. b) A, B, C k¨onnen auf 5 · 4 · 3 Arten gef¨arbt werden. D und B haben
(i) gleiche Farbe: 3 Farben f¨ ur E (ii) verschiedene Farbe: 2 Farbe f¨ ur E und 2 f¨ ur D. Also gibt es 5 · 4 · 3 · (3 + 2 · 2) = 420 F¨arbungen. Zentrum f¨ ur Mathematik · Werrastr. 26 · 64625 Bensheim · 06251/580306 Internet: www.z-f-m.de · Email: nicole.roth-sonnen@z-f-m.de
Aufgabe G4 (8 Punkte) h x i 37 F¨ ur 1 ≤ x ≤ 45 sei f (x) = . · 7 x Wie viele verschiedene Werte kann f annehmen? Hinweis: [x] ist die gr¨oßte ganze Zahl kleiner oder gleich x. Zum Beispiel: [1, 9] = 1, [2] = 2, [ 15 ] = 0
L¨ osung:
hxi 7
37 x
f (x)
1≤x<7
0
...
0
7 ≤ x < 14
1
5, 4, 3, 2
5, 4, 3, 2
14 ≤ x < 21
2
2, 1
4, 2
21 ≤ x < 28
3
1
3
28 ≤ x < 35
4
1
4
35 ≤ x ≤ 37
5
1
5
37 < x ≤ 45
···
0
0
f (x) kann die Werte 0, 2, 3, 4, 5 annehmen.
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Aufgabe E1 (8 Punkte) Man kann auf folgende Weise eine Spirale bilden: An einen Halbkreis mit Radius r wird ein zweiter Halbkreis mit halbem Radius angesetzt usw. Wie lang ist die gesamte Spirale? (Hinweis: f¨ ur |x| < 1 gilt 1 + x + x2 + x3 · · · =
1 ) 1−x
L¨ osung: Die L¨ange der Spirale ist: r r r 1 πr + π + π + +π + · · · = πr 1 + + 2 4 8 2
! 2 3 1 1 1 + + · · · = πr = 2πr 2 2 1 − 12
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Aufgabe E2 (8 Punkte) Alle Punkte (x|y) im Koordinatensystem mit |x| + |y| ≤ 1 bilden ein Quadrat der Fl¨ache 2 (siehe Abbildung).
Alle Punkte (x|y) mit ||x| − 1| + ||y| − 1| ≤ 2 bilden auch ein Vieleck.
a) Wie viele Seiten hat dieses Vieleck? b) Wie groß ist seine Fl¨ache?
L¨ osung: Das Vieleck ist symmetrisch zur x- und y-Achse, daher reicht es, das Vieleck im 1. Quadranten zu untersuchen. Dort ist |x| = x und |y| = y. Also gilt |x − 1| + |y − 1| ≤ 2. Dies ist ein Verschiebung von |x| + |y| ≤ 2.
a) Das Polygon hat 12 Seiten. b) Die Fl¨ache ist 24.
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Aufgabe E3 (8 Punkte) Wirft man einem Hund einen Stock ins Wasser, den er apportieren soll, so beobachtet man Folgendes: Der Hund l¨auft von A aus erst ein St¨ uck am Ufer entlang bis zu einem Punkt D und schwimmt von dort aus zum Stock bei B, um ihn aufzunehmen. An welcher Stelle D muss der Hund ins Wasser springen, wenn er den Stock schnellstm¨oglich erreichen will? Die k¨ urzeste Strecke zwischen Stock und Ufer ist BC. Rechnen Sie mit folgenden Werten: Geschwindigkeit des Hundes an Land: vL = 10 ms , Geschwindigkeit des Hundes im Wasser: vW = 2 ms , AC = BC = 20m
L¨ osung: Gesamtzeit t = tL +tW Aus t′ = − √
√ AD DB 20 − x x2 + 202 = + = + vL vW 10 2
x 1 + √ = 0 folgt 10 2 x2 + 202
x2 + 400 = 5x, also ist 24x2 = 400.
N¨aherungsweise gilt x2 ≈ 16, d.h. x ≈ 4 Der Hund muss also ca. 4m vor C ins Wasser springen.
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Aufgabe S1 (3 Punkte) Aus einem regelm¨aßigen Sechseck werden gleichschenkligrechtwinklige Dreiecke ausgeschnitten. ¨ Ubrig bleibt ein Stern (siehe Abbildung). Wie groß ist der Winkel β an der Spitze des Sterns?
1. L¨ osung: Summe der Innenwinkel beim Sechseck: (6 − 2) · 180◦ = 720◦ Innenwinkel des regelm¨aßigen Sechsecks: 720◦ : 6 = 120◦ β = 120◦ − 2 · 45◦ = 30◦
2. L¨ osung: β = 360◦ − (2 · 135◦ + 60◦ ) = 30◦
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Aufgabe S2 (3 Punkte) In jedem der 25 Quadrate steht eine Ziffer, und zwar sollen in jeder Zeile und jeder Spalte die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 genau einmal vorkommen. Welche Ziffer steht in der rechten unteren Ecke?
L¨ osung: Die letzte Zahl in der 1. Spalte muss 5 sein. In der letzten Zeile kann 3 nicht an 2., 3. oder 4. Stelle stehen, also muss 3 an der letzten Stelle stehen.
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Aufgabe S3 (3 Punkte) Auf wie viele Arten kann das Quadrat an die L-f¨ormige Figur so angesetzt werden, dass eine Figur mit einer Symmetrieachse entsteht?
L¨ osung: Auf drei Arten:
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Aufgabe S4 (3 Punkte) Wie viele Teiler hat 605 ?
L¨ osung: Es gilt 605 = (22 · 3 · 5)5 = 210 · 35 · 55 , also gibt es (10 + 1) · (5 + 1) · (5 + 1) = 396 Teiler.
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Aufgabe S5 (3 Punkte) Berechnen Sie die L¨ange der k¨ urzesten H¨ohe in dem Dreieck mit den Seiten 5, 12 und 13.
L¨ osung: Das Dreieck ist rechtwinklig (132 = 122 + 52 ), also gilt f¨ ur die gesuchte H¨ohe h: 13 · h = 5 · 12, somit ist h =
60 . 13
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Aufgabe S6 (3 Punkte) Berechne x, wenn gilt
(x!)! = 120. x!
L¨ osung: Aus
(x!)! = (x! − 1)! und 120 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 5! folgt x! − 1 = 5, also x = 3. x!
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