100985025

Spis treści 3U]HGPRZD

3RFKRGQD

3RMĊFLH SRFKRGQHM

'H¿QLFMD SRFKRGQHM

,QWHUSUHWDFMD JHRPHWU\F]QD SRFKRGQHM

1XPHU\F]QH REOLF]DQLH SRFKRGQHM Z SXQNFLH x0

6LHF]QD V\PHWU\F]QD

)XQNFMD SRFKRGQD

1XPHU\F]QH REOLF]DQLH IXQNFML SRFKRGQHM

3RFKRGQH IXQNFML SRWĊJRZ\FK R Z\NáDGQLNDFK FDáNRZLW\FK

3RFKRGQD SLHUZLDVWND

3RFKRGQH IXQNFML WU\JRQRPHWU\F]Q\FK VLQ x L FRV x)

3RFKRGQD IXQNFML Z\NáDGQLF]HM SRGVWDZD ORJDU\WPX QDWXUDOQHJR

3RFKRGQH IXQNFML SDU]\VW\FK L QLHSDU]\VW\FK

=DGDQLD

5R]ZLą]DQLD

5HJXá\ UyĪQLF]NRZDQLD

3RFKRGQD IXQNFML SRPQRĪRQHM SU]H] VWDáą

3RFKRGQD VXP\ L UyĪQLF\

3RFKRGQD LORF]\QX

3RFKRGQD LORUD]X

3RFKRGQD IXQNFML ]áRĪRQHM

6WDáD SRG ]QDNLHP IXQNFML

3RFKRGQD IXQNFML RGZURWQHM

6

SPIS TREŚCI

=DGDQLD

5R]ZLą]DQLD

3RFKRGQH Z\ĪV]\FK U]ĊGyZ

3RFKRGQH Z\ĪV]\FK U]ĊGyZ

3U]\NáDG\ SRFKRGQ\FK Z\ĪV]\FK U]ĊGyZ

'\JUHVMD 1XPHU\F]QH REOLF]DQLH GUXJLHM SRFKRGQHM

%DGDQLH SU]HELHJyZ IXQNFML

=DGDQLD

5R]ZLą]DQLD

=DVWRVRZDQLD UDFKXQNX UyĪQLF]NRZHJR 2SW\PDOL]DFMD %DGDQLH HNVWUHPyZ IXQNFML 6]XNDP\ PDNVLPXP

6]XNDP\ PLQLPXP

=DGDQLD 5R]ZLą]DQLD

&DáND QLHR]QDF]RQD

&DáNRZDQLH

&DáNL ] IXQNFML SRWĊJRZ\FK

&DáNL ] IXQNFML WU\JRQRPHWU\F]Q\FK VLQ x L FRV x) &DáND ] IXQNFML Z\NáDGQLF]HM Hx 5HJXá\ FDáNRZDQLD FDáND ] VXP\ L UyĪQLF\ 5HJXá\ FDáNRZDQLD IXQNFMD SRPQRĪRQD SU]H] VWDáą

&DáNRZDQLH SU]H] F]ĊĞFL 6WDáD SRG ]QDNLHP IXQNFML 2GZUyFHQLH UyĪQLF]NRZDQLD IXQNFML ]áRĪRQHM =DVWRVRZDQLD =DGDQLD

5R]ZLą]DQLD

SPIS TREŚCI

&DáND R]QDF]RQD

&DáND R]QDF]RQD

3RGVWDZRZH WZLHUG]HQLH UDFKXQNX FDáNRZHJR =DVWRVRZDQLH SRáRĪHQLH L SU]HVXQLĊFLH =DVWRVRZDQLH SUDFD

=DVWRVRZDQLH REMĊWRĞü EU\á REURWRZ\FK

1XPHU\F]QH REOLF]DQLH FDáHN

=DGDQLD

5R]ZLą]DQLD

6]HUHJL SRWĊJRZH

3U]\EOLĪDQLH IXQNFML SU]H] ZLHORPLDQ\

3U]\NáDG\ V]HUHJyZ 0DFODXULQD

6XPD L UyĪQLFD V]HUHJyZ 5yĪQLF]NRZDQLH V]HUHJyZ 0DFODXULQD

&DáNRZDQLH V]HUHJyZ 0DFODXULQD

)XQNFMH NWyU\FK QLH PRĪQD UR]ZLQąü Z V]HUHJ 0DFODXULQD )XQNFMH R VNRĔF]RQ\P SURPLHQLX ]ELHĪQRĞFL

=DVWRVRZDQLH UR]NáDGX IXQNFML QD V]HUHJ 0DFODXULQD 6]HUHJ 7D\ORUD 3U]\NáDG\ ]DVWRVRZDQLD Z]RUX 7D\ORUD /RJDU\WP QDWXUDOQ\ V]HUHJ QLH SRWĊJRZ\ )RUPDOQH X]DVDGQLHQLH Z]RUyZ QXPHU\F]QHJR REOLF]DQLD SRFKRGQ\FK =DGDQLD 5R]ZLą]DQLD $

3RWĊJL GZXPLDQX

%

)XQNFMH SRWĊJRZH

&

àXNRZD PLDUD NąWD

'

)XQNFMH WU\JRQRPHWU\F]QH

(

7RĪVDPRĞFL WU\JRQRPHWU\F]QH

7

8

SPIS TREŚCI

)

)XQNFMH Z\NáDGQLF]H

*

/RJDU\WP\

+

)XQNFMH ORJDU\WPLF]QH

,

2EOLF]DQLH ORJDU\WPX G]LHVLĊWQHJR

-

)XQNFMH SDU]\VWH L QLHSDU]\VWH

.

)XQNFMH RGZURWQH

/

&LąJL L V]HUHJL QLHVNRĔF]RQH

0

7DEOLFH

1

2EOLF]HQLD QXPHU\F]QH

3

3UH]HQWDFMH

/LWHUDWXUD 6NRURZLG]

12

1. POCHODNA

1D SU]\NáDG VDPRFKyG Z FLąJX PLQXW\ F]\OL ǻt V SU]HMHFKDá RGFLQHN R GáXJRĞFL J NP F]\OL ǻx P -HJR SUĊGNRĞü ĞUHGQLD Z\QRVLáD ZLĊF \ F]\OL

-HGQDN Z FLąJX WHM PLQXW\ PyJá ]ZDOQLDü L SU]\VSLHV]Dü 0RĪQD

]DS\WDü MDND E\áD SUĊGNRĞü FKZLORZD QD SRF]ąWNX RPDZLDQHJR SU]HG]LDáX F]DVX" $E\ QD WR S\WDQLH RGSRZLHG]LHü QDOHĪDáRE\ ]PLHU]\ü ]PLDQĊ SRáRĪHQLD VDPRFKR GX Z NUyWV]\P SU]HG]LDOH F]DVX :LĊNV]ą GRNáDGQRĞü X]\VNDOLE\ĞP\ GRNRQXMąF SRPLDUX GOD ǻt V VDPRFKyG SU]HMHFKDáE\ Z W\P F]DVLH RNRáR P -HV]F]H ZLĊNV]ą ± GRNRQXMąF SRPLDUX Z F]DVLH V VDPRFKyG SU]HMHFKDáE\ Z W\P F]DVLH RNRáR FP LWS ,QWHUHVXMH QDV ZLĊF JUDQLFD

6\PERO

R]QDF]D JUDQLFĊ GOD ǻt GąĪąFHJR GR ]HUD

7DNą JUDQLFĊ QD]\ZDP\ SRFKRGQą SRáRĪHQLD x Z]JOĊGHP F]DVX t Siła elektromotoryczna indukcji

= SRGREQą V\WXDFMą PDP\ GR F]\QLHQLD Z ]MDZLVNX LQGXNFML HOHNWURPDJQHW\F]QHM 6LáD HOHNWURPRWRU\F]QD E LQGXNRZDQD Z ]ZRMQLF\ MHVW SURSRUFMRQDOQD GR ]PLDQ Z F]DVLH VWUXPLHQLD LQGXNFML PDJQHW\F]QHM % F]\OL ĭ%

Rys. 1.2. 1D VNXWHN ]PLDQ VWUXPLHQLD LQGXNFML PDJQHW\F]QHM Z ]ZRMQLF\ SRZVWDMH VLáD HOHNWURPRWRU\F]QD

6LáD HOHNWURPRWRU\F]QD LQGXNFML MHVW UyZQD ± ] SU]HFLZQ\P ]QDNLHP ± SRFKRGQHM VWUXPLHQLD LQGXNFML PDJQHW\F]QHM Z]JOĊGHP F]DVX

6\PERO SRFKRG]L RG áDFLĔVNLHJR VáRZD limes ± JUDQLFD

1.2. DEFINICJA POCHODNEJ

Ciepło właściwe

$QDORJLF]QLH FLHSáHP ZáDĞFLZ\P c QD]\ZDP\ LORĞü FLHSáD ǻQ NWyUD WU]HED GRVWDU F]\ü DE\ SRGQLHĞü WHPSHUDWXUĊ T MHGQRVWNRZHM PDV\ FLDáD R MHGQRVWNRZą ZDUWRĞü ǻT

Rys. 1.3. 3U]HSá\Z

FLHSáD SRZRGXMH Z]URVW WHPSHUDWXU\ FLDáD

-HĪHOL MHGQDN FLHSáR ZáDĞFLZH QLH MHVW VWDáH D ]DOHĪ\ RG WHPSHUDWXU\ PXVLP\ ZWHG\ EUDü QLH MHGQRVWNRZH DOH EDUG]R PDáH SU]\URVW\ WHPSHUDWXU\ 3URZDG]L WR ZLĊF GR GH¿QLFML

3RGREQH SU]\NáDG\ PRĪQD E\ GRZROQLH PQRĪ\ü 1.2. Definicja pochodnej Pochodna funkcji w punkcie x0

6SyMU]P\ QD ]DJDGQLHQLH QLHFR RJyOQLHM 3U]\SXĞüP\ ĪH RNUHĞORQD MHVW IXQNFMD f x SU]\SRU]ąGNRZXMąFD ZLHONRĞFL x ]PLHQQHM QLH]DOHĪQHM SHZQą LQQą ZLHONRĞü y ]PLHQQą ]DOHĪQą

y = f x

3RFKRGQą IXQNFML f x Z]JOĊGHP x Z SXQNFLH x EĊG]LHP\ QD]\ZDü ZLHONRĞü

'R ]DOHĪQRĞFL FLHSáD ZáDĞFLZHJR RG WHPSHUDWXU\ ZUyFLP\ MHV]F]H Z UR]G]LDOH SDUDJUDI

13

88

3. POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

Rys. 3.3. 'R QXPHU\F]QHJR REOLF]DQLD GUXJLHM SRFKRGQHM

2SLHUDMąF VLĊ QD UR]XPRZDQLX ] SDUDJUDIX SRZLHP\ ĪH LORUD] UyĪ ą Ċ QLFRZ\

MHVW Z SU]\EOLĪHQLX UyZQ\ SRFKRGQHM IXQNFML y = f x)

GOD ZVSyáU]ĊGQHM RGSRZLDGDMąFHM ĞURGNRZL SRPLĊG]\ xs D xp F]\OL GOD =DSLV]HP\ WR

5R]XPXMąF SRGREQLH QDSLV]HP\

'UXJD SRFKRGQD Z SXQNFLH xs MHVW UyZQD Z SU]\EOLĪHQLX LORUD]RZL UyĪ QLFRZHPX ZDUWRĞFL SLHUZV]HM SRFKRGQHM RGSRZLDGDMąFHM RGOHJá\P R ǻx SXQNWRP L

3.3. DYGRESJA. NUMERYCZNE OBLICZANIE DRUGIEJ POCHODNEJ

2SXV]F]DMąF QLHLVWRWQ\ LQGHNV s GRVWDMHP\ RVWDWHF]QLH

=DXZDĪP\ :\UDĪHQLH MHVW GRGDWQLH NLHG\ ĞUHGQLD DU\WPHW\F]QD yl L yp jest ZLĊNV]D RG ys F]\OL

0D WR PLHMVFH

ZWHG\ NLHG\ NU]\ZD y = f x Ä]DNUĊFD NX JyU]H´ U\V :\UDĪHQLH MHVW XMHPQH NLHG\ ĞUHGQLD DU\WPHW\F]QD yl L yp jest PQLHMV]D RG ys F]\OL

0D WR PLHMVFH

ZWHG\ NLHG\ NU]\ZD y = f x Ä]DNUĊFD NX GRáRZL´ :\UDĪHQLH GDMH Z\QLN ĞFLVá\ GOD IXQNFML NZDGUDWRZHM y = ax + bx + c SDWU] QLĪHM Dwie pochodne funkcji potęgowej drugiego stopnia

'OD IXQNFML SRWĊJRZHM GUXJLHJR VWRSQLD F]\OL R SRVWDFL

y = f x) = ax + bx + c

RPyZLRQH Z\ĪHM SURFHGXU\ QXPHU\F]QH GDMą Z\QLNL ĞFLVáH 'OD SLHUZV]HM SRFKRG QHM SRND]DOLĞP\ WR UR]G]LDOH 'OD GUXJLHM SRFKRGQHM Z]yU GDMH

%DUG]LHM HOHJDQFNLH ± DOH PQLHM SRJOąGRZH ± X]DVDGQLHQLH WHJR Z]RUX ]QDMGXMH VLĊ Z SDUDJUD ¿H

89

162

6. CAŁKA OZNACZONA

Rys. 6.10. =DOHĪQRĞü VLá\ RG RGOHJáRĞFL

A

3U]\SXĞüP\ ĪH áDGXQNL VLĊ SU]\FLąJDMą -DNą SUDFĊ QDOHĪ\ Z\NRQDü DE\ RGGDOLü MH RG VLHELH RG RGOHJáRĞFL a GR RGOHJáRĞFL b" :\NRU]\VWDP\ Z W\P FHOX Z]RU\ L 1DSLV]HP\ ĪH SUDFĊ RNUHĞOD FDáND R]QDF]RQD NWyUą PRĪQD SU]HGVWDZLü MDNR UyĪQLFĊ GZyFK Z\UDĪHĔ QD FDáNĊ QLHR]QDF]RQą &DáND QLHR]QDF]RQD ] IXQNFML PD SRVWDü Z]yU XZDJD QD ]PLDQĊ ]QDF]HQLD V\PEROX F

w x) =

,QWHUHVXMąFD QDV SUDFD MHVW ZLĊF UyZQD UyĪQLF\ GZyFK ZDUWRĞFL FDáNL QLHR]QDF]RQHM

W a b) =

= w b ± w a) =

6.5. Zastosowanie 3: objętość brył obrotowych Postawienie problemu

5DFKXQHN FDáNRZ\ PD WDNĪH ]DVWRVRZDQLD FDáNLHP SUDNW\F]QH XPRĪOLZLD QD SU]\ NáDG REOLF]DQLH REMĊWRĞFL EU\á REURWRZ\FK WDNLFK MDN GĊERZH EHF]NL 3U]\SXĞüP\ ĪH ]QDP\ ]DOHĪQRĞü SURPLHQLD WDNLHM EU\á\ r RG Z\VRNRĞFL x F]\OL IXQNFMĊ r x) U\V 0RĪHP\ P\ĞORZR SRG]LHOLü EU\áĊ QD SR]LRPH SODVWU\ R JUXERĞFL ǻx 2EMĊWRĞü SODVWUD ]DZDUWHJR SRPLĊG]\ x D x ǻx MHVW Z SU]\EOLĪHQLX UyZQD REMĊWRĞFL ǻV ZDOFD R SURPLHQLX r x L Z\VRNRĞFL ǻx 3ROH SRGVWDZ\ WDNLHJR ZDOFD MHVW UyZQH S ʌr D ZLĊF REMĊWRĞü MHVW UyZQD

6.5. ZASTOSOWANIE 3: OBJĘTOŚĆ BRYŁ OBROTOWYCH

Rys. 6.11. 2EOLF]DP\

REMĊWRĞü VWRĪND

ǻV ǻx ʌr x

&DáD REMĊWRĞü MHVW VXPą WDNLFK REMĊWRĞFL F]ąVWNRZ\FK F]\OL FDáNą R]QDF]RQą

JG]LH a R]QDF]D SRáRĪHQLH ÄGHQND´ QDV]HM EU\á\ D b SRáRĪHQLH MHM ÄZLHF]ND´ PRZYKŁAD 1

=DVWRVXMP\ WHQ Z]yU GR VWRĪND R Z\VRNRĞFL h ] U\VXQNX GOD NWyUHJR ]DOHĪQRĞü r x RNUHĞORQD MHVW Z]RUHP

r x) = cx

3U]\MPLHP\ ĪH a L b = h 2EMĊWRĞü VWRĪND MHVW ZLĊF UyZQD

=DXZDĪP\ MHV]F]H ĪH ch MHVW UyZQH SURPLHQLRZL SRGVWDZ\ VWRĪND R D ʌR jest po OHP SRZLHU]FKQL WHM SRGVWDZ\ :]yU PRĪHP\ ZLĊF QDSLVDü Z SRVWDFL

2EMĊWRĞü VWRĪND MHVW UyZQD MHGQHM WU]HFLHM REMĊWRĞFL ZDOFD R WDNLP VDP\P SROX SRG VWDZ\

163