100968179

K.A. Stroud Dexter J. Booth

MATEMATYKA OD ZERA DLA INŻYNIERA WYDANIE VIII Z języka angielskiego przełożyły Agnieszka Apenuvor Zofia Denkowska Agnieszka Jarosz Korekta merytoryczna tłumaczenia prof. dr hab. Tadeusz Stanisz

Pętla

Tytuł oryginału: Engineering Mathematics (8th Edition) First published in English under the title Engineering Mathematics by K.A. Stroud and Dexter Booth, edition: 8.

Copyright © K.A. Stroud 1970, 1982, 1987, 1995 Copyright © K. A Stroud and Dexter J. Booth under exclusive licence to Macmillan Education Limited 2001, 2007, 2013, 2020 This edition has been translated and published under licence from Macmillan Education Limited, part of Springer Nature.

Macmillan Education Limited, part of Springer Nature takes no responsibility and shall not be made liable for the accuracy of the translation.

Copyright © for the translation by Pętla Sp. z o.o. 2016, 2021 Copyright © for the Polish edition by Pętla Sp. z o.o. 2016, 2021 Wszyskie prawa zastrzeżone. Kopiowanie i rozpowszechnianie całości albo fragmentów tej książki - z wyjątkiem cytatów w artykułach i przeglądach krytycznych - możliwe jest tylko na podstawie pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Tłumaczenie i redakcja Agnieszka Jarosz Korekta merytoryczna tłumaczenia prof. dr hab. Tadeusz Stanisz Współtwórcy poprzedniego wydania: Tłumaczenie Agnieszka Apenuvor, Zofia Denkowska, Agnieszka Jarosz Korekta merytoryczna tłumaczenia prof. dr hab. Tadeusz Stanisz Redakcja Agnieszka Jarosz Oprawa graficzna i skład Daniel Zarymbski ISBN 978-83-944283-1-0 Pętla Sp. z o.o. http://www.stroud.edu.pl/ info@stroud.edu.pl tel. 508 270 779

Skrócony spis treści Część I F.1 F.2 F.3 F.4 F.5 F.6 F.7 F.8 F.9 F.10 F.11 F.12 F.13

Tematy podstawowe

Arytmetyka 3 Wprowadzenie do algebry 63 Wyrażenia i równania 97 Wykresy 123 Równania liniowe 157 Równania wielomianowe 173 Dwumian Newtona 187 Ułamki proste 215 Trygonometria 235 Funkcje 259 Funkcje trygonometryczne i wykładnicze 279 Różniczkowanie 309 Całkowanie 347

Część II 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Liczby zespolone 1 Liczby zespolone 2 Funkcje hiperboliczne Wyznaczniki Macierze Wektory Różniczkowanie Zastosowania różniczkowania Styczne, normalne i krzywizny Ciągi Szeregi 1 Szeregi 2 Krzywe i dopasowanie krzywej Pochodne cząstkowe 1 Pochodne cząstkowe 2 Całkowanie 1 Całkowanie 2 Całkowanie z użyciem wzorów rekurencyjnych Zastosowania całkowania 1 Zastosowania całkowania 2 Zastosowania całkowania 3 Całkowanie numeryczne Układ współrzędnych biegunowych Całki wielokrotne Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Wprowadzenie do transformat Laplace’a Przetwarzanie danych i statystyka Prawdopodobieństwo

379 406 431 453 484 519 544 563 585 607 642 666 692 736 757 773 800 828 841 859 881 910 929 951 977 1013 1036 1054 1085

Strona celowo pozostawiona pusta

Spis treści

Przedmowa do pierwszego wydania Przedmowa do drugiego wydania Przedmowa do trzeciego wydania Przedmowa do czwartego wydania Przedmowa do ósmego wydania Od wydawcy polskiej edycji Jak korzystać z tej książki Przydatne informacje

Część I

Tematy podstawowe

xix xx xxi xxii xxiii xxiv xxv xxvii

1

Program F.1 Arytmetyka

3

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.1 Typy liczb Liczby naturalne - Cyfry i pozycyjność - Punkty na osi i porządek - Liczby całkowite - Nawiasy - Dodawanie i odejmowanie - Mnożenie i dzielenie Nawiasy i kolejność wykonywania działań - Podstawowe prawa arytmetyki - Szacowanie - Zaokrąglanie - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czynniki, dzielniki i liczby pierwsze Czynniki i dzielniki - Liczby pierwsze - Rozkład na czynniki pierwsze - Podstawowe twierdzenie arytmetyki - Największy wspólny dzielnik (NWD) - Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Ułamki, stosunki i procenty Dzielenie liczb całkowitych - Mnożenie ułamków - Z - Równość ułamków - Dzielenie ułamków - Dodawanie i odejmowanie ułamków - Ułamki na kalkulatorze - Stosunki - Procenty - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Ułamki dziesiętne Dzielenie liczb całkowitych - Zaokrąglanie - Cyfry znaczące - Miejsca po przecinku - Zera końcowe - Ułamki zwykłe w postaci dziesiętnej - Ułamki w postaci dziesiętnej jako ułamki zwykłe - Ułamki dziesiętne nieskończone - Ułamki w postaci dziesiętnej jako ułamki zwykłe - Liczby wymierne, niewymierne i rzeczywiste - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Potęgi Podnoszenie liczby do potęgi - Prawa potęgowania - Potęgowanie na kalkulatorze - Potęgi o wykładniku ułamkowym i pierwiastki - Liczby niewymierne - Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych przez potęgi 10 - Kolejność wykonywania działań - Postać wykładnicza - Wyprowadzanie postaci wykładniczej - Użycie kalkulatora - Postać inżynierska - Sprawdzanie obliczeń - Dokładność - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Systemy liczbowe System dziesiętny - System binarny (dwójkowy) - System ósemkowy - System dwunastkowy - System szesnastkowy - Metoda alternatywna - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Zamiana podstawy z dziesiętnej na inną Postać dwójkowa - Postać ósemkowa - Postać dwunastkowa - Zamiana ułamka w systemie dziesiętnym na postać ósemkową - Użycie liczb w systemie ósemkowym jako etapu pośredniego Metoda odwrotna

3 4 6

15

18

27

33

44

52

56

Spis treści

vi

Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.1 Zadania sprawdzające F.1 Dalsze wyzwania F.1

58 59 60

Program F.2 Wprowadzenie do algebry

63

Czego się nauczę z tego programu?

63 Quiz F.2 64 Wyrażenia algebraiczne 65 Symbole inne niż cyfry - Stałe - Zmienne - Reguły algebry - Kolejność wykonywania działań - Wyrazy i współczynniki - Redukcja wyrazów podobnych - Wyrazy analogiczne - wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias - Usuwanie nawiasów - Nawiasy zagnieżdżone - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Potęgi i logarytmy 72 Potęgi - Reguły dotyczące potęg - Logarytmy - Reguły dotyczące logarytmów - Podstawa 10 i podstawa e - Zamiana podstawy - Równania logarytmiczne - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Mnożenie i dzielenie wyrażeń algebraicznych 81 Mnożenie - Dzielenie - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Ułamki algebraiczne 85 Dodawanie i odejmowanie - Mnożenie i dzielenie - Podsumowanie Ćwiczenia na powtórzenie Rozkład wyrażeń algebraicznych na czynniki 89 Wspólne czynniki - Wspólne czynniki uzyskane przez grupowanie - Wzory skróconego mnożenia - Wyrażenia kwadratowe będące iloczynami czynników liniowych - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.2 93 Zadania sprawdzające F.2 94 Dalsze wyzwania F.2 95 Program F.3 Wyrażenia i równania

97

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.3 Wyrażenia i równania Obliczanie wartości wyrażeń - Równania - Obliczanie wartości zmiennych niezależnych - Przekształcanie wzorów - Proces obliczania wartości - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Wielomiany Wyrażenia wielomianowe - Obliczanie wartości wielomianów - Obliczanie wartości wielomianów metodą Hornera - Twierdzenie o resztach (twierdzenie Bézouta) - Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki - Rozkład na czynniki wielomianów czwartego stopnia - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.3 Zadania sprawdzające F.3 Dalsze wyzwania F.3

97 98 99

109

120 121 121

Program F.4 Wykresy

123

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.4

123 124

Spis treści

vii

Wykresy równań Równania - Uporządkowane pary liczb - Kartezjański układ współrzędnych - Rysowanie wykresów - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Stosowanie arkuszy kalkulacyjnych Arkusze kalkulacyjne - Wiersze i kolumny - Wpisywanie tekstu i liczb - Formuły - Usuwanie wpisów - Sporządzanie wykresów w kartezjańskim układzie współrzędnych – Sposoby prezentacji - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Nierówności Większe niż i mniejsze niż - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Wartości bezwzględne Moduł - Wykresy - Nierówności - Interakcja - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.4 Zadania sprawdzające F.4 Dalsze wyzwania F.4

125

Program F.5 Równania liniowe

157

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.5 Równania liniowe Rozwiązywanie równań prostych - Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi - Układy trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi Wstępne przekształcenia - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.5 Zadania sprawdzające F.5 Dalsze wyzwania F.5

157 158 159

Program F.6 Równania wielomianowe

173

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.6 Równania wielomianowe Równania kwadratowe - Równania trzeciego stopnia z przynajmniej jednym czynnikiem liniowym - Równania czwartego stopnia z co najmniej dwoma czynnikami liniowymi - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.6 Zadania sprawdzające F.6 Dalsze wyzwania F.6

173 174 175

184 185 185

Program F.7 Dwumian Newtona

187

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.7 Silnia i kombinacje Silnia - Kombinacje - Trzy własności współczynników dwumianowych - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Dwumian Newtona Trójkąt Pascala - Wzór dwumianowy Newtona - Wyraz ogólny rozwinięcia dwumianowego - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Zapis przy użyciu znaku Σ (sigma) Wyrazy ogólne sumy w zapisie ze znakiem Σ - Suma n początkowych liczb naturalnych - Reguły działania na sumach - Liczba e - Podsumowanie Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.7

187 188 189

133

142 144 153 154 154

169 170 170

197 203

212

Spis treści

viii

Zadania sprawdzające F.7 Dalsze wyzwania F.7

213 213

Program F.8

215

Ułamki proste

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.8 Ułamki proste Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Mianowniki z powtarzającymi się i kwadratowymi czynnikami Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.8 Zadania sprawdzające F.8 Dalsze wyzwania F.8

215 216 217

Program F.9 Trygonometria

235

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.9 Kąty Obrót - Radiany - Trójkąty - Funkcje trygonometryczne - Odwrotności funkcji trygonometrycznych - Twierdzenie Pitagorasa - Trójkąty specjalne - Połowa trójkąta równobocznego - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Tożsamości trygonometryczne Jedynka trygonometryczna - Dodatkowe dwie tożsamości - Tożsamości dla kątów złożonych - Wzory trygonometryczne - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.9 Zadania sprawdzające F.9 Dalsze wyzwania F.9

235 236 237

Program F.10 Funkcje

259

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.10 Przetwarzanie liczb Funkcje jako reguły, lecz nie wszystkie reguły jako funkcje - Funkcje i działania arytmetyczne - Funkcje odwrotne - Wykresy funkcji odwrotnych Wykres funkcji y = x3 - Wykres funkcji y = x1/3 - Wykres funkcji y = x3 i y = x1/3 w jednym układzie współrzędnych - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Złożenie Funkcja złożona - Funkcje odwrotne do funkcji złożonych - Podsumowanie Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.10 Zadania sprawdzające F.10 Dalsze wyzwania F.10

259 260 261

Program F.11 Funkcje trygonometryczne i wykładnicze

279

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.11 Wprowadzenie Funkcje trygonometryczne Obrót - Tangens - Okres - Amplituda - Przesunięcie fazowe - Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych - Równania trygonometryczne - Równania w postaci a cos x + b sin x = c - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie

279 280 281 281

224 232 232 232

250

256 256 257

272 276 277 277

Spis treści

ix

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Funkcje wykładnicze - Równania wykładnicze - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Funkcje parzyste i nieparzyste Części parzyste i nieparzyste - Część parzysta i nieparzysta funkcji wykładniczej - Granice funkcji - Działania na granicach - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.11 Zadania sprawdzające F.11 Dalsze wyzwania F.11

295

304 305 306

Program F.12 Różniczkowanie

309

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.12 Współczynniki kierunkowe i gradienty Współczynnik kierunkowy prostej - Gradient krzywej w danym punkcie Określenie gradientu krzywej metodami algebraicznymi - Pochodne potęg x - Różniczkowanie wielomianów - Pochodne drugiego i wyższego rzędu orazzapis alternatywny - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Standardowe pochodne i reguły Granica sinθ/θ dla θ → 0 - Standardowe pochodne - Pochodna iloczynu funkcji - Pochodna ilorazu dwóch funkcji - Pochodna funkcji złożonej - Pochodna y = ax - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Metoda iteracyjna Newtona Zapis - Tabelaryczne przedstawienie wyników - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.12 Zadania sprawdzające F.12 Dalsze wyzwania F.12

309 310 311

Program F.13 Całkowanie

347

Czego się nauczę z tego programu?

Quiz F.13 Całkowanie Stała całkowania - Całki standardowe - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Całkowanie wielomianów Funkcje funkcji liniowej x - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Całkowanie funkcji wymiernej z użyciem rozkładu na ułamki proste Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Pola obszarów pod krzywymi Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Całkowanie jako sumowanie Pole figury ograniczonej krzywą i przecinającą ją prostą - Podsumowanie Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna F.13 Zadania sprawdzające F.13 Dalsze wyzwania F.13

347 348 349

299

324

338 344 345 346

352 357 360 364 373 374 375

Spis treści

x

Część II Program 1

377 Liczby zespolone 1

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Pojęcia i symbole Symbol i Równania kwadratowe Potęgi i Potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim - Potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym Liczby zespolone Dodawanie i odejmowanie - Mnożenie - Dzielenie - Równość liczb zespolonych - Ćwiczenia na powtórzenie Przedstawienie graficzne liczb zespolonych Diagram Arganda - Interpretacja geometryczna sumy liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych Postać wykładnicza liczb zespolonych Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 1 Zadania sprawdzające 1 Dalsze wyzwania 1 Program 2

379 379 380 380 383 384 393 395 400 402 403 403 404

Liczby zespolone 2

406

Czego się nauczę z tego programu?

Obliczenia dla postaci trygonometrycznej Ćwiczenia na powtórzenie Pierwiastki liczby zespolonej Rozwinięcia Rozwinięcia sin nθ i cos nθ - Rozwinięcia cosnθ i sinnθ Miejsca geometryczne Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 2 Zadania sprawdzające 2 Dalsze wyzwania 2

406 407

424 427 428 428 429

Program 3

431

Funkcje hiperboliczne

415 421

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Wykresy funkcji hiperbolicznych Ćwiczenia na powtórzenie Obliczanie wartości funkcji hiperbolicznych Funkcje odwrotne względem funkcji hiperbolicznych Postać logarytmiczna funkcji odwrotnych do funkcji hiperbolicznych Tożsamości hiperboliczne Zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi i hiperbolicznymi Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 3 Zadania sprawdzające 3 Dalsze wyzwania 3

431 432 434

Program 4

453

Wyznaczniki

439 440 442 445 447 450 451 451 452

Spis treści

xi

Czego się nauczę z tego programu?

Wyznaczniki Wyznaczniki trzeciego stopnia Obliczanie wyznaczników trzeciego stopnia Układy równań liniowych z trzema niewiadomymi Ćwiczenia na powtórzenie Zgodność układu równań liniowych Własności wyznaczników Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 4 Zadania sprawdzające 4 Dalsze wyzwania 4

453 454 460

Program 5

484

Macierze

464 472 475 479 480 480 481

Czego się nauczę z tego programu?

Macierze - definicje Zapis macierzowy Równość macierzy Dodawanie i odejmowanie macierzy Mnożenie macierzy Mnożenie macierzy przez skalar - Mnożenie dwóch macierzy Macierz transponowana Macierze specjalne Wyznacznik macierzy kwadratowej Dopełnienia algebraiczne elementów macierzy - Macierz kwadratowa dołączona Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej nieosobliwej Iloczyn macierzy kwadratowej i macierzy do niej odwrotnej Rozwiązywanie układów równań liniowych Metoda eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych Wartości własne i wektory własne macierzy Wartości własne - Wektory własne Twierdzenie Cayleya – Hamiltona Macierze odwrotne - Podnoszenie macierzy do potęgi o wykładniku całkowitym Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 5 Zadania sprawdzające 5 Dalsze wyzwania 5

484 485 486 487 487 488

Program 6

519

Wektory

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie: Wartości skalarne i wektorowe Przedstawienie wektorowe Dwa równe wektory - Typy wektorów - Dodawanie wektorów - Suma dowolnej liczby wektorów Składowe danego wektora Składowe wektorów wyrażone przez wektory jednostkowe Wektory w przestrzeni Cosinusy kierunkowe Iloczyn skalarny dwóch wektorów Iloczyn wektorowy dwóch wektorów Kąt między dwoma wektorami Stosunki kierunkowe

491 492 494 496 499 504 509 513 514 515 516

519 520 521 524 530 532 533 535 537 540

Spis treści

xii

Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 6 Zadania sprawdzające 6 Dalsze wyzwania 6

540 541 541 542

Program 7

544

Różniczkowanie

Czego się nauczę z tego programu?

Pochodne standardowe Złożenie funkcji Iloczyny - Ilorazy Pochodna logarytmiczna Ćwiczenia na powtórzenie Funkcje uwikłane Równania parametryczne Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 7 Zadania sprawdzające 7 Dalsze wyzwania 7

544 545 546

Program 8

Zastosowania różniczkowania

563

Czego się nauczę z tego programu?

Różniczkowanie funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych Ćwiczenia na powtórzenie Pochodne funkcji odwrotnych do funkcji hiperbolicznych Ćwiczenia na powtórzenie Wartości minimum i maksimum Punkty przegięcia Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 8 Zadania sprawdzające 8 Dalsze wyzwania 8

563 564

571 575 581 581 582 582

Program 9

585

Styczne, normalne i krzywizny

552 555 557 559 560 560 561

566

Czego się nauczę z tego programu?

Równanie prostej Styczne i normalne do krzywej w danym punkcie Krzywizna Środek krzywizny Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 9 Zadania sprawdzające 9 Dalsze wyzwania 9

585 586 589 594

Program 10

607

Ciągi

Czego się nauczę z tego programu?

Funkcje określone dla liczb całkowitych Ciągi - Wykresy ciągów - Ciąg arytmetyczny - Ciąg geometryczny - Ciąg harmoniczny - Określenie rekurencyjne - Inne ciągi - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Równania różnicowe Rozwiązywanie równań różnicowych - Równania jednorodne drugiego rzędu - Równe pierwiastki równania charakterystycznego - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie

603 604 604 605

607 608

620

Spis treści

xiii

Granice ciągów Nieskończoność - Granice - Granice nieskończone - Reguły dotyczące granic - Symbole nieoznaczone (granice nieokreślone) - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna 10 Zadania sprawdzające 10 Dalsze wyzwania 10

629

Program 11

642

Szeregi 1

Czego się nauczę z tego programu?

Szeregi Szeregi arytmetyczne - Średnia arytmetyczna - Szeregi geometryczne Średnia geometryczna Szeregi liczb naturalnych w ustalonej potędze Suma liczb naturalnych - Suma kwadratów - Suma sześcianów Szeregi nieskończone Granice Szeregi zbieżne i rozbieżne - Testy zbieżności - Zbieżność bezwzględna Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 11 Zadania sprawdzające 11 Dalsze wyzwania 11 Program 12

Szeregi 2

637 638 639

642 643 648 651 653 662 663 663 664 666

Czego się nauczę z tego programu?

Szeregi potęgowe Wprowadzenie - Szereg Maclaurina - Szeregi standardowe Szeregi dwumianowe Wartości przybliżone Szereg Taylora Granice funkcji – symbole nieoznaczone Reguła de l’Hospitala do wyznaczania granic wyrażeń nieoznaczonych Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 12 Zadania sprawdzające 12 Dalsze wyzwania 12

666 667

Program 13

692

Krzywe i dopasowanie krzywej

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Standardowe krzywe Linia prosta - Krzywe drugiego stopnia - Krzywe trzeciego stopnia - Okrąg Elipsa - Hiperbola - Krzywe logarytmiczne - Krzywe wykładnicze - Krzywe hiperboliczne - Krzywe trygonometryczne - Tangensoida Asymptoty Określenie asymptoty ukośnej - Asymptoty równoległe do osi x i y Systematyczne rysowanie krzywych na podstawie równania Symetria - Punkty przecięcia z osiami - Przesunięcie względem początku układu współrzędnych - Asymptoty - Duże i małe wartości x i y - Punkty stacjonarne - Ograniczenia Dopasowywanie krzywej Zależność liniowa - Wykresy w postaci y = axn, gdzie a i n są stałymi - Wykresy w postaci y = aenx

677 680 687 688 689 689

692 693 693

702 707

712

Spis treści

xiv

Metoda najmniejszych kwadratów Dopasowywanie linii prostej - Korzystanie z arkusza kalkulacyjnego Korelacja Korelacja - Miary korelacji - Współczynnik korelacji iloczynu momentów Pearsona - Współczynnik korelacji rang Spearmana Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 13 Zadania sprawdzające 13 Dalsze wyzwania 13

730 731 732 733

Program 14

736

Pochodne cząstkowe 1

717 723

Czego się nauczę z tego programu?

Pochodne cząstkowe Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Małe przyrosty Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 14 Zadania sprawdzające 14 Dalsze wyzwania 14

736 737

Program 15

757

Pochodne cząstkowe 2

749 754 754 755

Czego się nauczę z tego programu?

Pochodne cząstkowe Prędkość zmiany Zmiana zmiennych Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 15 Zadania sprawdzające 15 Dalsze wyzwania 15

757 758 760 768 770 770 771 771

Program 16

773

Całkowanie 1

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Całki standardowe Funkcje liniowej funkcji x Całki w postaci ∫f ’(x)/f(x)dx oraz ∫f(x) ∙ f ’(x)dx Całkowanie iloczynów – całkowanie przez części Całkowanie z wykorzystaniem rozkładu na ułamki proste Całkowanie funkcji trygonometrycznych Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 16 Zadania sprawdzające 16 Dalsze wyzwania 16

777 779 783 787 792 796 796 797 797

Program 17

800

Całkowanie 2

Czego się nauczę z tego programu?

Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 17 Zadania sprawdzające 17 Dalsze wyzwania 17

773 774

800 824 825 826 826

Spis treści

Program 18

xv

Całkowanie z użyciem wzorów rekurencyjnych

828

Czego się nauczę z tego rozdziału?

Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 18 Zadania sprawdzające 18 Dalsze wyzwania 18

828 838 838 838 839

Program 19

841

Zastosowania całkowania 1

Czego się nauczę z tego programu?

Podstawowe zastosowania Obszar pod krzywą - Całki oznaczone Równania parametryczne Wartości średnie Wartość średnia kwadratowa (RMS) Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 19 Zadania sprawdzające 19 Dalsze wyzwania 19

850 851 853 855 856 856 857

Program 20

859

Zastosowania całkowania 2

841 842

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Objętość bryły obrotowej Środek geometryczny figury płaskiej Środek ciężkości bryły obrotowej Długość krzywej Równania parametryczne Powierzchnia boczna bryły obrotowej Równania parametryczne Reguła Pappusa-Guldina Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 20 Zadania sprawdzające 20 Dalsze wyzwania 20

859 860 860 864 867 868

Program 21

881

Zastosowania całkowania 3

872 875 876 877 878 878

Czego się nauczę z tego programu?

Momenty bezwładności Promień bezwładności - Twierdzenie o osiach równoległych - Twierdzenie o osiach prostopadłych (dla cienkich płytek) - Przydatne wyniki standardowe Geometryczny moment bezwładności Figury złożone Środek parcia Ciśnienie w punkcie P o głębokości z poniżej lustra płynu - Całkowite parcie na pionową płytkę zanurzoną w płynie - Głębokość środka parcia Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 21 Zadania sprawdzające 21 Dalsze wyzwania 21

881 882

Program 22

910

Całkowanie numeryczne

Czego się nauczę z tego programu?

896 900 906 906 907 908

910

Spis treści

xvi

Wprowadzenie Całkowanie numeryczne Za pomocą szeregów - Z użyciem metody Simpsona Dowód metody Simpsona Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 22 Zadania sprawdzające 22 Dalsze wyzwania 22

924 925 926 926 927

Program 23

929

Układ współrzędnych biegunowych

911 912

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie do współrzędnych biegunowych Krzywe biegunowe Standardowe krzywe biegunowe Zastosowania Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 23 Zadania sprawdzające 23 Dalsze wyzwania 23

929 930 932 934 937 948 949 949 950

Program 24

951

Całki wielokrotne

Czego się nauczę z tego programu?

Sumowanie w dwóch kierunkach Całki podwójne Całki potrójne Zastosowania Ćwiczenia na powtórzenie Zapis alternatywny Obliczenia pól powierzchni z użyciem całek wielokrotnych Obliczanie objętości brył z użyciem całek wielokrotnych Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 24 Zadania sprawdzające 24 Dalsze wyzwania 24

964 968 970 973 974 974 975

Program 25

977

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Tworzenie równań różniczkowych Rozwiązywanie równań różniczkowych Za pomocą bezpośredniego całkowania - Przez rozdzielenie zmiennych Ćwiczenia na powtórzenie Rozwiązywanie równań różniczkowych Równania jednorodne – przez podstawienie y = vx - Ćwiczenia na powtórzenie Rozwiązywanie równań różniczkowych Równania liniowe – użycie czynnika całkującego - Ćwiczenia na powtórzenie Równanie Bernoulliego Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 25 Ćwiczenia testowe 25 Dalsze wyzwania 25

951 952 955 957 959

977 978 979 981 988 994 1002 1007 1008 1009 1009

Spis treści

Program 26

xvii

Równania różniczkowe drugiego rzędu

1013

Czego się nauczę z tego programu?

Równania jednorodne Ćwiczenia na powtórzenie Równania niejednorodne Rozwiązanie szczególne Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 26 Zadania sprawdzające 26 Dalsze wyzwania 26

1013 1014

Program 27

Wprowadzenie do transformat Laplace’a

1036

Czego się nauczę z tego programu?

Transformata Laplace’a Odwrotna transformata Laplace’a - Tabela transformat Laplace’a - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Transformata Laplace’a Transformata Laplace’a pochodnej - Dwie własności transformat Laplace’a Tabela transformat Laplace’a - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Transformata Laplace’a Generowanie nowych transformat - Transformaty Laplace’a pochodnych wyższych rzędów - Tabela transformat Laplace’a - Równania różniczkowe niejednorodne, liniowe, o stałych współczynnikach - Podsumowanie - Ćwiczenia na powtórzenie Czy potrafisz? Lista kontrolna 27 Zadania sprawdzające 27 Dalsze wyzwania 27

1036 1037

Program 28

1054

Przetwarzanie danych i statystyka

Czego się nauczę z tego programu?

Wprowadzenie Porządkowanie Tabela zliczania metodą kreskową - Grupowanie danych - Grupowanie danych ciągłych - Częstość względna - Zaokrąglanie danych - Granice klas Histogramy Histogram częstości - Histogram częstości względnej Miary tendencji centralnej Średnia - Kodowanie przy obliczaniu średniej - Dekodowanie - Kodowanie w zgrupowanych rozkładach częstości - Moda - Moda w danych zgrupowanych - Mediana - Mediana z pogrupowanych danych Miary rozproszenia Średnie odchylenie - Rozstęp - Odchylenie standardowe - Alternatywny wzór na odchylenie standardowe Krzywe rozkładu Wielokąty częstości - Krzywe częstości - Krzywa rozkładu normalnego Standaryzowana krzywa normalna Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 28 Zadania sprawdzające 28 Dalsze wyzwania 28

1022 1029 1033 1033 1034 1034

1041 1045

1051 1052 1052

1054 1055 1055 1062 1064

1072 1075 1078 1079 1080 1081 1082

Spis treści

xviii

Program 29

Prawdopodobieństwo

1085

Czego się nauczę z tego programu?

Prawdopodobieństwo Doświadczenia losowe - Zdarzenia - Seria doświadczeń losowych - Łączenie zdarzeń Zdarzenia i prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo - Przypisywanie prawdopodobieństw - Podsumowanie Prawdopodobieństwa zdarzeń łączonych Lub - Zdarzenia niewykluczające się wzajemnie - I - Zdarzenia zależne - Zdarzenia niezależne - Drzewka prawdopodobieństwa - Podsumowanie Prawdopodobieństwo warunkowe Rozkłady prawdopodobieństwa Zmienne losowe - Wartość oczekiwana - Wariancja i odchylenie standardowe - Próby Bernoulliego - Rozkład dwumianowy prawdopodobieństwa - Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe - Rozkład prawdopodobieństwa Poissona - Porównanie rozkładu dwumianowego i Poissona Ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa Krzywa rozkładu normalnego (lub krzywa normalna) Standaryzowana krzywa normalna Podsumowanie Czy potrafisz? Lista kontrolna 29 Zadania sprawdzające 29 Dalsze wyzwania 29

1085 1086

Odpowiedzi Indeks

1126 1153

1088 1091 1096 1099

1115 1115 1121 1122 1123