Estadística Aplicada a la Media Armónica

Escuela de Geomática

EST del Servicio Nacional de la Capacitación para la Construcción - SENCICO

Estadística Aplicada Media Armónica Huaripaucar, K. + Malpartida V. + Osorio, L. + Otrera, Y.

Índice Definición general Propiedades Representación geométrica Historia Aplicaciones Media armónica para datos no agrupados Media armónica para datos agrupados Media Armónica | Estadística Aplicada

Definición Según, Córdova Zamora, en su libro "Estadística Descriptiva", define la media armónica de n valores no nulos X1, X2,.....Xn, XH como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de estos n valores.

Esto quiere decir, matemáticamente:

XH =

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Propiedades 1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos de los valores de la variable 2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética transformando adecuadamente los datos 3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya que se trabaja para cualquier número real positivo Xn>0;

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Representación Geométrica

Diametro: a + b Radio: ( a+b )/2 = A Media Armónica | Estadística Aplicada

Para entender la representación geométrica de la Media Armónica partiremos de dos segmentos.

Sean los segmentos a y b, con ellos construimos una semicircunferencia cuyo diametro es la suma de estos segmentos (a+b).

El segmento A vendría a ser el radio que está en naranja y que además es la media aritmética ((a+b)/2).

Representación Geométrica Ahora podemos construir el segmento G, trazando una perpendicular partiendo de la intersección entre los dos segmentos dados hacia el arco de la semicircunferencia , y para hallar su valor solo tenemos que aplicar una propiedad de relaciones métricas en la circunferencia Como podemos notar la media geompetrica

es menor igual a la media aritmética

G: Media geométrica

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Representación Geométrica Por último, para demostrar que efectivamente el segmento verde (H) que hemos trazado corresponde con la media armónica, debemos aplicar el teorema Thales a los triángulos que se forman.

Llamemoslo provicionalmente x al segmento que queremos cálcular: Recordemos que para dos variables existe una propiedad: Media Armónica | Estadística Aplicada

Historia Dilema histórico Existen fuentes (sin pruebas concluyentes) que aseguran que la teoría armónica como la aritmética proceden de los babilonios y fue importado por Pitágoras.

La teoría armónica pertenece al pitagorismo primitivo.

Primer uso del término matemático "Media armónica" ca. 350 aC Un fragmento sobreviviente de la obra de Archytas of Tarentumdice: 'Hay tres medios en la música: una es la aritmética, la segunda es la geométrica y la tercera es la subcontraria, a la que llaman armónica’.

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Aplicaciones

- velocidades - rendimientos - tiempos

Los medios armónicos se utilizan a menudo para promediar cosas como las tasas (por ejemplo, la velocidad de viaje promedio dada una duración de varios viajes). La media armónica ponderada se usa en finanzas para promediar múltiplos como la relación precio-ganancias porque le da el mismo peso a cada punto de datos.

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Media Armónica para Datos No Agrupados Para la aplicación a los ejercicios usaremos la siguiente fórmula:

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Media Armónica para Datos No Agrupados EJERCICIO 01. Una fabrica de juguetes asigna a un grupo de 4 trabajadores para completar una orden de 700 juguetes y la productividad de cada trabajador es diferente según se muestra en la siguiente tabla: Calcular la media armónica de la productividad.

La MH para el grupo de trabajadores es de 6.86 ; eso quiere decir que se puede fabricar en promedio 6.86 juguetes por minuto

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Media Armónica para Datos No Agrupados EJERCICIO 02. Un teleoperador realiza llamadas a clientes de una compañía durante 6 días. En cada uno de esos días realiza las llamadas a distinta velocidad: ¿Cuál es la velocidad media de llamadas del teleoperador durante esos 6 días?

La MH para 6 días es de 86.27 llamadas por hora.

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Media Armónica para Datos No Agrupados EJERCICIO 03. Un automóvil realiza los siguientes recorridos mostrados en la tabla : Calcule la velocidad media para el recorrido total.

La MH para 10 recorrido es de 78.29 km/h

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Media Armónica para Datos No Agrupados EJERCICIO 04. La velocidad de producción de azúcar de tres máquinas procesadoras son las que se muestran en la tabla. Hallar el tiempo promedio de producción después de una jornada de 4800 minutos del proceso.

La MH para 15 maquinas es de 0.45 min/kg

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Media Armónica para Datos Agrupados Para la aplicación a los ejercicios usaremos la siguiente fórmula:

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Media Armónica para Datos Agrupados Ejercicio 01. En un salón de clases de la Carrera de Geomática, se realizo una evaluación para medir los conocimientos de los estudiantes empleando las técnicas de Richard Feynman, obteniendo los siguientes resultados.

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Media Armónica para Datos Agrupados Ejercicio 02. Se tiene una relación entre el número de accidentes automovilísticos registrados durante los últimos 150 meses en la ciudad de Lima. Para lo cual se desea saber la media armónica mensual de accidentes.

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Media Armónica para Datos Agrupados Ejercicio 03. Se ham recopilado los pesos de los archivos necesarios para realizar imagenes DEM, mediante un software especializado en fotogramétrica mediante el escaneo de imagenes LIDAR. Para ello se pide que se halle la media armónica.

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Media Armónica para Datos Agrupados Ejercicio 04. Se tienen los tiempos de vuelo de los drones en los últimos 500 vuelos de los drones de la empresa Allpa Kawsay SAC, para ello se tomaron como referente los de la empresa DJI , para los modelos MAVIC, ENTERPRISE, PHANTON y AGRASS. Se pide hallar la media armónica de los tiempos de vuelo para estandarizar las baterías.

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Conclusión del tema.

La media Armónica es el reciproco de la media aritmética, nos sirve para calcular promedios de velocidades, tiempos, kilómetros, rendimientos etc; siempre y cuando se realice la actividad en tiempos diferentes.

También existe una relación entre la media aritmética y geométrica pero cuando se calculan las tres la media Armónica siempre es la pequeña.

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Referencias consultadas.

Estadística Armónica, Escuela de Educación Superior, UAEH. México Estadística y Probablidiad, Telebachillerato, 2016. México Fuenlabrada S. (2013). Probabilidad y Estadística. México: McGraw-Hill.

Pérez P., Víctor F. Manual básico de Estadística Descriptiva. 2000.

Sánchez, S. E. Insunsa (2014). Probabilidad y estadística. México: Patria Sarramona, Jaime. Estadística Aplicada a la Administración Spiegel, M. R. (2019). Estadística. McGraw-Hill.

Stevenson, William J. Estadística para Administración y Economía.

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