Texto Paralelo2

Universidad Mariano Gálvez Cuilapa II Semestre, Ingeniería en Sistemas

Álgebra Lineal Ing. Noé Lemus

Luis Pedro García Ruano

7490-20-23020

Clase 10: Semana del 26 de septiembre al 3 de octubre.

Temas: 1. Definición de espacio R3 2. Producto escalar y proyecciones en R3

Definición de espacio R3 Los puntos de R3 (y en Rn) pueden pensarse como vectores, que pueden sumarse y coordenada a coordenada, y también pueden multiplicarse por números reales (escalares). Con estas operaciones R3 (y Rn) es un espacio vectorial. Observar que al multiplicar un vector por un escalar obtenemos un vector en la misma dirección, y al sumar dos vectores obtenemos otro vector que está en el mismo plano que los sumandos (ya que la suma se obtiene desplazándose en dos direcciones en ese plano).

Producto escalar y proyecciones en R3 Se usa para hallar el ángulo entre dos vectores, sea en R2 o en R3 (coplanarias).

Se usa para definir la proyección de un vector sobre otro. Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el producto escalar entre ellos es 0.

Clase 11: Semana del 04 al 11 de octubre.

Temas: 1. Producto escalar y proyecciones R3 2. Aplicaciones del producto de cruz

Producto escalar y proyecciones en R3 Se usa para hallar el ángulo entre dos vectores, sea en R2 o en R3 (coplanaria). Se usa para definir la proyección de un vector sobre otro. Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el producto escalar entre ellos es 0.

Aplicaciones del producto de cruz.

Se llama producto vectorial o producto cruz de vectores v y w el vector. Cuya longitud equivale al área del paralelogramo construido en vectores v y w. Y el vector resultante es perpendicular al plano de estos vectores. El producto cruz o producto vectorial es una forma de multiplicar dos o más vectores. Existen tres formas de multiplicar vectores, pero ninguna de estas es una multiplicación en el sentido usual de la palabra. Una de dichas formas es conocida como producto vectorial, la cual nos da como resultado un tercer vector.

Clase 12: Semana del 11 al 18 de octubre.

Temas: 1. Base de un espacio vectorial 2. Dependencia e independencia lineal.

3. Dimensión de vectores de coordenadas

Base de un espacio vectorial En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas. La base es natural, estándar o canónico si los vectores v1, v2, …, vn forman base para Rn. Dependencia e independencia lineal En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Dimensión de vectores de coordenadas Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen. La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Gilbert en el caso de los espacios de Gilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

Clase 13: Semana del 18 al 15 de octubre Temas: 1. Dimensión de vectores por componentes.

2. Teorema del rango y nulidad

Dimensión de vectores por componentes Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido. Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo. (Tridimensional). Qué significa vectores en el espacio tridimensional en Matemáticas. Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Teorema del rango y nulidad En matemáticas, el teorema rango–nulidad del álgebra lineal, en su forma más sencilla, habla de la relación entre el número de columnas de una matriz, su rango y su nulidad. Específicamente, si A es una matriz de orden m x n (con m filas y n columnas) sobre algún cuerpo.

Esto aplica también a aplicaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión finita. Sean V y W espacios vectoriales sobre algún cuerpo y sea T : V → W una aplicación lineal. Entonces el rango de T es la dimensión de la imagen de T (im T) y la nulidad de T es la dimensión del núcleo de T (ker T).

Clase 14: Semana del 25 al 31 de octubre Temas: 1. Transformaciones lineales 2. Representación Matricial de una transformación lineal

Transformaciones lineales Una transformación lineal es una función que tiene como dominio un espacio vectorial, y como contra dominio también un espacio vectorial, y que además conserva las propiedades de linealidad de dichos espacios.

Representación matricial de una transformación lineal Si T es una función de indefinida por en donde A es una matriz de, y dado que la condición corresponde a la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices y la condición es también una propiedad de la multiplicación de matrices. Entonces T es una transformación lineal.

La matriz AT se llama matriz de transformación de T o representación matricial de T. Si se usan bases diferentes, las matrices de transformación que se obtendrán serán diferentes.