Clase

-Monoide: Si (A,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por e: a*e=e*a=a.

Por ejemplo el conjunto de los números naturales menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo conmutativo. Mientras que el conjunto de los números naturales (incluido el cero) con la operación producto es un monoide.

-Grupo: Diremos que G es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e. -Grupo conmutativo o abeliano: Si (G,*) es un grupo que cumple además la propiedad conmutativa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES INTERNAS Como en este apartado tenemos dos operaciones internas, denotaremos a cada una de ellas con los símbolos * y °.} ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES INTERNAS Como en este apartado tenemos dos operaciones internas, denotaremos a cada una de ellas con los símbolos * y °.

-Semianillo: Diremos que (A,*,°) es un semianillo si se cumple que: 1) (A,*) es un monoide, es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro. 2) (A, °) es un semigrupo. 3) Se cumple la distributivita de ° respecto de * : a°(b*c)=(a°b)*(a°c). -Semianillo conmutativo: Si (A,*, °) es un semianillo y (A,°) es un semigrupo conmutativo. Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *,°) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, con las operaciones suma y producto es un semianillo conmutativo con elemento unidad: el cero, 0.