Sigma for tiende: Læseprøve

Sigma for tiende

Henry Schultz

Alinea

Tal og regning

– „Nåh, din søn skal lære matematik? Ja, hvis han bare skal lære at lægge sammen og trække fra, kan han nok lære det på et tysk universitet. Men hvis han også skal lære at gange og dividere, skal han til et italiensk universitet!“

Ovenstående historie er fra 1400-tallet (og kan ikke bekræftes), men den er typisk for den tids regnekunst.

En vekselerer (bankmand) ved sit bord (bænk ≈ banco). Bemærk hans regnebræt (kugleramme) på bordet.

Hvad enhver skoleelev i dag kan klare på få minutter, ville i 1100-tallet tage flere dages møjsommeligt arbejde for en regnemester.

De store problemer med udregningerne gjorde det oplagt at prøve at opfinde regnemaskiner, der kunne hjælpe – fx kuglerammen. For få århundreder siden kunne uddannede mennesker bruge en kugleramme, mens andre måtte klare sig med fingerregning.

7

Abacusen blev opfundet for omkring 7 000 år siden. Ganske enkelt udfører man komplicerede beregninger med denne „kugleramme“. Den anvendes stadig i Rusland, Kina og Japan.

Verdens første regnemaskine opfundet af Blaise Pascal (1623-1662). Den blev første gang vist frem i 1645. Pascal opfandt den for at lette sin fars arbejde med bl.a. skatteberegninger. Den er stamfader til nutidens EDB-maskiner.

I 1830’erne opfandt englænderen Charles Babbage denne avancerede matematikmaskine, der skulle styres af hulkort. Idéen var god nok, men datidens teknik kunne ikke fremstille så præcise komponenter.

Denne model er fremstillet af Babbage’s søn efter faderens tegninger.

8

Verdens første elektronrørsdatamaskine, ENIAC. Den blev bygget under 2. verdenskrig, og skulle bl.a. bruges til beregning af projektilbaner.

Den indeholdt ca. 20 000 radiorør, som ustandseligt skulle udskiftes (de blev for varme).

Maskinen havde et gulvareal på 9 x 15 m og vejede 30 tons.

Lommeregneren blev opfundet i 1972 og har sat sit præg på regne- og matematikundervisningen overalt – også i den danske folkeskole.

Mange af de trælse beregningsmetoder behøver ikke mere at blive terpet i timevis.

Fra starten af 1980’erne har pc’en (Personal Computer) vundet indpas både hjemme, på arbejdspladserne og i skolerne.

Med en pc kan man beregne og illustrere sammenhænge, der tidligere lå langt uden for folkeskoleområdet.

9

Negative tal Det har været naturligt for de fleste folkeslag at tælle. På den måde blev tælle-tallene skabt. Vi kalder dem de naturlige tal.

Langt sværere var det at acceptere et tal for ingenting, nemlig tallet nul. Og selvom tallet nul var vigtigt i det, vi kalder de arabiske tal, tog det flere århundreder, før det blev endeligt accepteret i Vesteuropa.

Men langt sværere var det at acceptere negative tal. Hvordan skulle man kunne tælle tal, der var mindre end nul? Hvordan kan man tælle noget, der mangler?

Endnu i dag kan man møde den kinesiske måde at skrive negative tal: En virksomhed, der har „røde tal på bundlinjen“, har haft underskud.

I forretningssammenhæng kendte man problemet: En handel eller et regnskab kunne give underskud. For et par tusinde år siden fandt kineserne på en smart metode: Overskud (dvs. naturlige tal) blev skrevet med sort blæk, mens underskud (dvs. negative tal) blev skrevet med rødt blæk.

Handelsmændene kendte altså til både positive tal og til negative tal, men de negative tal indgik ikke i det talsystem, matematikerne arbejdede med.

Måske er betegnelserne plus og minus opstået hos handelsmændene, som på den måde beskrev sække, der var over- eller undervægtige.

10

Da Descartes i starten af 1600-tallet skabte koordinatsystemet, havde han kun positive tal på akserne. De negative tal var stadig ikke „rigtige tal“. Så sent som i 1600-tallet mente fremtrædende matematikere, at en beregning som fx 0 – 4 var uden mening; tallet var absurd.

Det blev Newton, der senere tilføjede de negative tal og dermed skabte koordinatsystemets 2., 3. og 4. kvadrant – det vi kender i dag.

De negative tal skal følge de samme regneregler, som gælder for positive tal. De regneregler for negative tal, vi bruger, har vist sig at fungere på fornuftig vis.

Eksempel 1

En virksomhed fremlægger et regnskab, der viser de sidste tre års resultat: 1. år: 5 mio. kr.

2. år: –2 mio. kr.

3. år: –4 mio. kr.

Samlet har virksomheden på de tre år haft et underskud på 1 mio. kr. Regnestykket skal se sådan ud: 5 – 2 – 4 = –1 (mio. kr.)

1

Beregn: a 4–3–6 e –3 + 8 – 1

b 9–3–4 f 2–6+7

c 0–4+2 g –3 + 6 – 9

2

Beregn summen af facit i opgave 1.

3

Løs ligningerne: a x+3 = 1 b 4 + x = –1 e 6 = x+8 f 9 – x = –3

4

c x – 5 = –8 g 4 = 6+x

Find det tal der er 12 mindre end: a 20 b 10 c 0

d –1 – 3 – 4 h 2+4–3

d x + 2 = –1 h x–3 = 4

d –4

11

5

Hvilke to tal skal fortsætte talrækken? ... 8 ... 5 ... 2 ... –1 ... –4 ... ? ... ?

6

To tals sum er –3. Det ene tal er 7 større end det andet.

Hvilke tal er det?

7

Omkredsen af rektanglet er 40 cm.

Bestem rektanglets sidelængder.

8

9

10

Beregn: a –7 – 8 – 3 + 4 d –3 – 8 – 9 g 9–2+4–7

x–2

x–4

b –9 + 2 – 6 – 3 e 0–6+8–4 h 4 + 12 – 6 – 7

c 10 – 6 – 4 – 0 f –3 – 3 – 3 – 3

Summen af tre hele nabotal er nul.

Hvad hedder tallene?

Trekantens omkreds er 18 cm.

Bestem værdien af x.

x–2

x–1

x–3

De hele tal De hele tal udgør tre talområder: De hele tal: Z N

De naturlige tal (tælletallene): 1, 2, 3, 4, ...

N0 De naturlige tal og nul: Består af de naturlige tal og tallet nul.

Z

12

De hele tal: Består af de naturlige tal, nul og de negative, hele tal.

De negative hele tal: Z – –1, –2, –3, – 4, …

De naturlige tal og nul: N0

0

De naturlige tal: N 1, 2, 3, 4, …

Minustegnet har to betydninger: • Betegnelse for, at et tal er negativt.

• Tegn for, at et tal skal trækkes fra.

Den dobbelte betydning gør det ikke lettere at arbejde med tallene.

I starten af 1500-tallet brugte den italienske matematiker Tartaglia dette tegn som plustegn. Tegnet er afledt af det italienske piu (plus).

Eksempel 2

Et negativt tal gange et positivt tal giver et negativt produkt.

Eksempel 3

Den græske matematiker Diofant (ca år 250) brugte dette tegn som minustegn.

11

Når vi skal til at gange med negative tal, kan man fristes til at give de gamle matematikere ret: En negativ løsning til en ligning er falsk, for den repræsenterer tal, som er mindre end nul (Descartes).

I Østen regnede man med negative tal allerede i 600-tallet, og omkring år 1150 erkendte man, at produktet af to negative tal er positivt, og at kvadratroden af et negativt tal ikke eksisterer.

Lad os se lidt mere på det med at gange med negative tal:

En virksomhed har tre år i træk et underskud på 2 mio. kr. De har altså på de tre år tabt 6 mio. kr.

Regnestykket kan gøres op på to måder: –2 –2 –2 = –6 (mio. kr.) eller: 3 · (–2) = –6 (mio. kr.)

(–3) · 2 = ?

Virksomheden har – hvis vi bruger samme billede som i Eks 1 – i minus tre år i træk haft et overskud på 2 mio. kr.

Det er meningsløst.

Men regning med negative tal skal have de samme regneregler som regning med positive tal. Altså kan vi uden videre bytte om på de to tal: (–3) · 2 = 2 · (–3) = –6 (sammenlign med Eks 1)

Beregn: a –7 · 12 d 14 · (–4) g (–3 + 8) · (–2)

b 6 · (5) e 9 · (–16) h 4 · (–2 – 5)

c –3 · (2 + 9) f –13 · (9 – 5)

13

12

13

14

Dette gangetegn stammer fra middelalderen.

Eksempel 4

I 1700-tallet blev dette tegn brugt for division.

Beregn: a (13 – 18) · (–2 + 6) c (+3 + 6) · (–1 + 8) e (–7) · (–6 + 14)

b (–2 + 9) · (–1– 4) d (6 – 8) · (4 + 7) f (–4 – 8) · (–8 + 12)

Beregn: a –5 · (3 + 6) · (–3 + 8) c (–9 + 4) · (–3) · (4 – 1)

b (–1 + 4) · 4 · (3 – 9) d –4 · (–6 + 8) · (12 – 5)

Løs ligningerne: a 2 · x + 6 = –2 c –8 = 2 · x + 2

b 12 – 3 · x = –3 d x + 2 · x –1 = 8

(–3) · (–2) = ?

Noget, der mangler, ganget med noget andet, der mangler.

Ifølge reglerne skal det give noget, der er der. Det savner enhver form for logik – men vi kan finde en regel, der virker!

Vi ser på et eksempel:

Vi ønsker at tegne et kvadrat med sidelængden 8 cm. Ved en fejl får vi tegnet et rektangel med sidelængderne 5 cm og 2 cm. Altså mangler den ene side 3 cm, og den anden side mangler 6 cm.

Sidelængderne er altså 5 cm og 2 cm. Arealet af rektanglet er så: 5 cm · 2 cm = 10 cm2.

Vi regner på en anden måde:

8 – 3 cm 8 – 6 cm

Areal: (8 – 3) · (8 – 6) = 8 · 8 – 8 · 6 – 3 · 8 ... (–3) · (–6) ... ???

Man ganger en parentes med en anden parentes ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes.

14

Problemet er: (–3) · (–6). Hvis vi lader det blive –18, vil rektanglets areal blive –26 cm2. Det kan ikke passe!

Hvis vi vælger at lade gangestykket blive +18, bliver arealet 10 cm2, ganske som vi før regnede ud.

Hvis vi vælger at lade et negativt tal gange et negativt tal blive til et positivt tal, så virker det!

(8 – 3) · (8 – 6) = 64 – 48 – 24 + 18 = 10 cm2

15

16

Beregn: a (–3 + 4) · (–2 – 6) c 4 · (–4 + 6) · (–4 – 6)

b (6 – 14) · (–3 – 2) d (–7 – 11) · 7 · (–3 + 9)

Løs ligningerne: a 3 · x – 16 = –22 c 4 · (6 – 9) + 3 · x = 0

b 20 – 2 · x = 28 d 40 – x · x = 15

NB: I opgave d er der to løsninger!

Når vi først har vedtaget fortegnsreglerne for at gange med negative tal, følger reglerne for division med negative tal med.

Division er den omvendte regneart af multiplikation.

–ba = c 17

hvis

b·c=a

Undersøg de to muligheder: 48 a ––– =8 –6

48 b ––– = –8 –6

Hvilken af mulighederne stemmer med gangereglerne og definitionen ovenfor?

18

Undersøg de to muligheder: a –42 ––– =6 –7

b –42 ––– = –6 –7

Hvilken af mulighederne stemmer med gangereglerne og definitionen ovenfor?

Et positivt tal divideret med et negativt tal giver en negativ kvotient.

Fx:

24 = –8 ––– –3

Et negativt tal divideret med med et positivt tal giver en negativ kvotient.

Fx:

–24 = –8 –––– 3

Et negativt tal divideret med et negativt tal giver en positiv kvotient.

Fx:

–24 –––– =8 –3

15

19 NB: Når der ikke står noget mellem et tal og en parentes eller mellem to parenteser, er der underforstået et gangetegn.

20

21

Beregn: a –7(4 – 21) c (0 – 13)(–6 + 15) e –5(6 – 21)

b (–6 + 19)(2 – 14) d (12 – 9)(–3) f (3 – 18)(–14 + 7)

Beregn: a (–6)(2 – 7)(–1) c (–4 – 3)(2 – 7)(12 – 9)

b –9(12 – 8)(16 – 21) d (4 – 18)(–5 + 22)(–2)

Løs ligningerne: a –3 · x + 7 = –11 c 0 = 24 – 6 · x

b 20 + x · (–2) = 30 d 11 + x · x = 75

NB: I opgave d er der to løsninger.

Når der foran en parentes står et minustegn, er der underforstået et 1-tal:

Eksempel 5

–(3 + 5) = –1 · (3 + 5) Det udtryk kan vi beregne på to måder: –1 · (3 + 5) = –1 · 8 = – 8 eller –1 · (3 + 5) = –1 · 3 + (–1) · 5 = –3 – 5 = –8 I sådan en situation vælger man selvfølgelig den letteste måde at beregne på. Vi ser lige på eksemplet igen: –(3 + 5) = –3 – 5 Foran 3 inde i parentesen er der et underforstået plus.

Man hæver en minusparentes ved at skifte fortegnene inde i parentesen.

En plusparentes kan hæves uden videre.

22

23

16

Beregn: a 3(–7 + 2) – 2(4 – 6) c –(– 6 + 9) + 4(8 – 21)

b 14 – 2(4 – 5) + (6 – 14) d (–2 + 7) · (3 – 9) + 30

Beregn: a 10 – 4(2 – 6) + (–5) c (9 – 15) · (–6 + 8) – 30

b –(6 – 8) · (2 – 6) + 18 d 12 – (–3 – 5) · (–6 – 4)

Regnearternes orden

Plus gange plus gi’r plus.

I en række situationer kan der opstå tvivl om, i hvilken rækkefølge, man skal beregne et udtryk. Fx: 3 – 4 · 5 + 8 : 2 + 12 = ?

Plus gange minus gi’r minus.

Først ganger og dividerer vi: 3 – 4 · 5 + 8 : 2 + 12 = 3 – 20 + 4 + 12 =

Minus gange minus gi’r plus.

Så er tiden kommet til at lægge sammen og trække fra: 3 – 4 · 5 + 8 : 2 + 12 = 3 – 20 + 4 + 12 = –1 24

Beregn: a 4 · 5 + 3(–2) – 16 : 8 + (–4)(3) b –36 + 7 · 3 – 56 : 8 + 3 · 6 c –14 + 8 – 24 : 3 + 2 · 5 d –6 · (2 – 4) + 16 – 36 : 4

Nogle billige lommeregnere regner ikke efter regnearternes orden. Hvis man så stoler for meget på lommeregneren, giver det dumme fejl. Fx denne: 12 – 3 · 4 = Det skulle gerne blive: 12 – 12 = 0.

Men en billig lommeregner, kan finde på dette: 12 – 3 · 4 = 36 I dette tilfælde har lommeregneren regnet sådan: 12 – 3 · 4 = (12 – 3) · 4 = 9 · 4 = 36

Regnearternes orden kaldes også regnearternes hierarki.

Lommeregneren fulgte altså ikke de gængse regler.

25

Gennemregn opgaverne fra opgave 24 på lommeregner.

Er din lommeregner indrettet, så den anvender regnearternes orden?

Hvis det er muligt, så prøv også at regne opgaverne ved hjælp af et regneark.

17

Tre måder at skrive samme tal Brøker Når man undersøger gamle måleenheder, kan det virke meget forvirrende, at der ikke er en konstant faktor mellem enhederne.

Vi er så vant til, at der, i de måleenheder vi bruger, er et konstant „hop“ på 10 gange op eller ned. Fx er en deciliter 10 gange mindre end en liter, og en centiliter er 10 gange mindre end en deciliter.

Men når der fx skulle 12 tommer til en fod, var det nu ganske praktisk – det var nemmere at lave brøkdele af 12 end det var af 10.

26

Hvor mange naturlige tal går op i

a 12?

b 10?

I 1698 skabte danskeren Ole Rømer et revolutionerende målesystem. Der var nemlig sammenhæng mellem længdemål, rumfangsmål og vægtmål!

Længdeenheden blev sat til en alen (62,8 cm).

1 Rummålet var en pot, som blev fastlagt til –– kubikfod.

32

Vægtenheden et pund blev sat til vægten af –12 pot ferskvand.

18

27

Hvor stor en brøkdel af en favn er (se tegning på næste side): a en alen? b en fod? c en tomme? d Hvor lang er en favn?

28

a b c d

29

Hvor stor en brøkdel af vægten af en kubikfod udgør et pund?

30

En mil blev fastsat til 12 000 alen. Hvor mange meter var en mil?

Hvor lang er 1 fod (målt i cm)?

Hvad fylder 1 kubikfod (cm3)?

Hvad vejer 1 kubikfod ferskvand (gram)?

Hvor mange gram svarer et pund til?

I 1600-tallet påstod en matematiker, at de negative tal havde en „indbygget fejl”. Når man dividerer et tal med et tal mindre end 1, bliver facit større.

Hvordan skulle dette så kunne ske: 4 : (–1) = – 4 Her bliver facit jo ikke større!

Der var altså god grund til at arbejde med brøkregning – i øvrigt var decimaltallene endnu ikke slået igennem. Som en lidt traditionel vane har vi brøkregningen med i folkeskolens pensum:

Brøker anvendes i de naturlige sammenhænge, de optræder i. Omfanget af regningen med brøker afpasses under hensyn til brugen af dem i forbindelse med ligningsløsning og andre algebraiske emner.

Faghæftet 1995

Sidst i kapitlet bringer vi en række opgaver, hvor brøker indgår.

De er alle taget fra Folkeskolens Afgangsprøve.

31 Fod

32

33

Favn

Beregn: a 1– + –1

b –1 + –1

d

e

2 –36

–

4 1 –2

5 1 –– 10

c –1 – –1

3

2

+ –35

f

4

1 –4 – –– 5

10

Beregn (skriv facit som blandet tal): a –34 + –12

b –56 + –13

c 10 –– – –13 6

7 d 10 –– + –35

12 8 e –– – –6 3

f

–58 + –34

Løs ligningerne: 20

4

a 2–x = 21

b ––– x +2 = 7

c –x = 1

9·x+1 d ––––––– =7 4

14 + 2 · x e –––––––– =4 5

f

12 – x ––––– =3 4

g I opgave b og c er der en værdi, som x ikke kan have – hvilken?

Alen

En speciel gruppe brøker – dem der i dag bruges mest – er stambrøker. Stambrøker er brøker, hvor tælleren er 1, fx –12 , –13 , 14– ...

34

To stambrøker ganges med hinanden.

Hvad hedder brøkerne, når facit bliver: a –18

1 b 15 ––

1 c –– 20

1 d 24 ––

19

35

Beregn: a 1– · –2 5

36

3

c –5 · –2

d –5 · 1–

b –38 : –13

c 12 : –14

d –12 : –14

4

2

6

3

8

5

Beregn: a –12 : –13

37

b –3 · –1

Hvad sker der med tal, der divideres med et positivt tal, der er mindre end 1?

Decimaltal I vort talsystem skifter cifrene værdi alt efter den plads (position), de står på. Det betyder, at for hver gang vi „går et skridt“ til højre, bliver cifferets værdi 10 gange mindre.

20 2 0,2 0,02 0,002

Cifferet Cifferet Cifferet Cifferet Cifferet

2 2 2 2 2

betyder betyder betyder betyder betyder

2 2 2 2 2

tiere. enere. tiendedele. hundrededele. tusindedele.

Det betyder, at én decimal efter kommaet viser tiendedele: 7 0,7 = –– 10

To decimaler efter kommaet betyder 100’dele: 75 0,75 = 100 –––

Tre decimaler efter kommaet betyder 1 000’dele: 455 0,455 = ––––

1000

Eksempel

Skriv 0,75 om til en uforkortelig brøk: 75 0,75 = –––

100

75 : 25 = 100 –––––– : 25

= –34

20

Vi forkorter med 25

38

Skriv om til brøker (forkort mest muligt): a 0,8 b 0,45 c 0,250 e 0,05 f 0,4 g 0,25

d 0,015 h 0,025

39

Skriv om til blandet tal (forkort brøken mest muligt): a 5,25 b 12,5 c 8,05 d 3,45 e 2,4 f 10,125 g 6,025 h 7,7

40

Forlæng eller forkort brøkerne til 10’dele, 100’dele eller 1 000’dele. Skriv dem derpå om til decimaltal:

41

a 1–

b –5

75 c –––

7 d ––

e

f

g

h

2 4 – 5

8 12 –– 20

100 1 –– 40

20 3 ––– 125

Forlæng eller forkort brøkerne til 10’dele, 100’dele eller 1 000’dele. Skriv dem derpå om til decimaltal: a 4–3

b 6–4

c 10–1

d 7–78

e

f

g

1 h 3–– 20

8 6–24

5 5–35

5 14–68

I Danmark har vi tradition for at bruge et komma som decimaladskiller – altså det tegn, der adskiller de cifre, der betyder hele tal, fra de cifre, der betyder brøkdele.

That’s what I call a nice price.

I England og USA bruger man punktum som decimaladskiller. Og med lommeregnerens og computerens fremmarch vinder punktummet frem.

I Danmark har vi brugt punktum som tusindadskiller (altså for hvert tredje ciffer), fx 1.250 – det tal ville en englænder opfatte som 1,25.

21

Procent Hvilken brøk er størst: –35 eller 13 ––? Det er ikke så ligetil at afgøre.

20 Vi bruger derfor ofte at omskrive brøkerne til nye brøker, hvor nævneren er 100: · 20 60 –35 = 35––––– = ––– · 20 100 13 ·5 65 –– = 13 –––– = 100 ––– 20 20 · 5

Nu er det let at sammenligne størrelserne. Netop brøker med nævneren 100, kalder vi procent (procent betyder per hundrede).

42

43

Skriv om til 100’dele og derpå til procent: a –1

b –1

3 c –– 20

7 d ––

e

f

g 4–

h –34

2 –1 4

5 6 –– 40

5

10

Skriv procenttallene om til brøker (forkort mest muligt) og derpå til decimaltal: a 60 %

b 35 %

1% e 33–

f

3

2 66– % 3

1 = 100 ––– = 100 % 100

c 12–12 %

d 38 %

g 5%

h 2–1 % 2

200 2 = ––– = 200 % 100

Da procent er 100’dele, er det de to første decimaler, der viser helt antal procent, fx 0,125 = 12,5 %.

44

45

22

Skriv om til procent: a 0,705 b 0,255 e 2,5 f 10,10

c 1,35 g 0,500

d 0,2 h 1,08

Jensen købte en brugt bil med 35 % i udbetaling.

Bilens pris var 125 000 kr.

Hvor stor blev restgælden?

46

Beregn: a 25 % af 240 kg c 5 % af 1 200 cm e 37,5 % af 120 g

b 70 % af 140 kr. d 125 % af 440 liter f 12–12 % af 220 km

47

I 1996 blev der fuldført byggeri af i alt 6 275 000 m2 bygninger. Heraf var 20,8 % enfamiliehuse, og 3,0 % var sommerhuse. a Hvor mange m2 enfamiliehuse blev fuldført? b Hvor mange m2 sommerhuse blev fuldført?

48

I 1996 foretog i alt 4 989 000 danskere en ferierejse (på mindst én uge). Det svarer næsten til hele Danmarks befolkning – men det var selvfølgelig skævt fordelt.

Af samtlige rejser var ≈ 38 % indenlands, og resten var udenlandsrejser.

Hvor mange rejser gik til udlandet?

49

I 1997 fik Danmark 13 242 indvandrere fra Norge, Sverige, Tyskland og Storbritannien. Det svarede til ≈ 28,8 % af samtlige indvandrere.

Hvor mange indvandrere var der i alt i 1997?

50

Opgave 49 fortsat.

Samme år udvandrede i alt 34 480 fra Danmark – det var færre end de, der indvandrede. Hvor mange procent færre?

23

De følgende tolv opgaver stammer fra Folkeskolens Afgangsprøver i færdighedsregning, 1997: 51

Skriv som decimaltal: a –4

b 16 %

c 37 %

d 125 %

e 40 %

f

5

52

7 –– 10

Omskriv til procent: 12 b ––

a 0,52

c 0,42

50

d 12 ud af 48

53

a Hvor stor en del af figuren er skraveret? b Tegn figuren på et stykke papir, og fortsæt skraveringen, så der er skraveret 75 %.

54

Skriv en brøk, der er større end –4 .

9

55

a 4–1 + 2–1

b 12–1 – 2–12

c 5–12 + –34

d

e –14 + –18

f

8 1 4– 4

2

– 2,5

56

Løs ligningen 2x : 3 – 4 = 2

57

Hvad er: a 15 % af 1 680 kr.? c 15 ‰ af 700 kr.?

7–12 – 3

b 10 % af 7 900 kr.?

58

20 % af et beløb er 820 kr. Hvad er hele beløbet?

59

Hvad er 5 % af 346 kr.?

60

40 % af et beløb er 800 kr. Hvad er hele beløbet?

61

a Hvor stor en del af figuren er skraveret? b Tegn figuren på et stykke prikpapir og fortsæt skraveringen, så 50 % af figuren er skraveret.

62

Linjestykket AB er 18 cm langt.

Hvad er –1 af linjestykket (cm)?

6

24

5