2. udgave
SIGMA Henry Schultz
Benny Syberg
for sjette
Ivan Christensen
ALINEA
Indhold Til eleverne Store tal Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
4 5-15 10-11 12-13 14-15
Tema Spil
16-17
Geometri Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
18-29 24-25 26-27 28-29
Tema Thales
30-33
Areal Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
34-45 40-41 42-43 44-45
Brøker
46-51
Procent Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
52-63 58-59 60-61 62-63
Tema Undersøg og fortæl
64-67
Lineære funktioner Blandede opgave Blåt spor Grønt spor
68-81 76-77 78-79 80-81
Tema Ud at rejse
82-85
Tal og bogstaver Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
86-97 92-93 94-95 96-97
Tema CPR-numre
98-99
Tema Regn med lommeregneren
100-103
Nødder
104-109
Opslag
110-133
Register
134-136
4
Store tal
Til eleverne Velkommen til Sigma for sjette. I skal arbejde videre med at lære matematik. I skal bygge oven på det, I allerede har lært. I skal lære nogle færdigheder, hvor man kan afgøre, om svaret er rigtigt eller forkert, men I vil også støde på opgaver, hvor I skal uddybe og forklare. Matematik er ikke et fag, hvor I kun skal arbejde skriftligt. I skal også blive gode til at arbejde sammen og formulere jer mundtligt. I vil støde på de gamle, kloge grækere. I vil få viden om de ægyptiske pyramider. Tallene vil bringe jer ud i verdensrummet. Det gælder bare om at være åbne og nysgerrige, for på den måde kan I være med til at udforske både matematikken, og den verden I lever i. Det er ikke meningen, at I skal kunne huske alt udenad. I kan meget hurtigt og nemt finde de matematiske begreber i jeres bog enten ved at slå op i Opslag eller bruge Register bag i bogen. Det kan være en god hjælp til at komme videre. Efter nogle af kapitlerne vil I få en test. Ved hjælp af testen kan læreren se, hvor godt I har lært det, der står i kapitlet. Sammen med jeres lærer finder I ud af, om I skal arbejde mere med emnet på enten blåt eller grønt spor. Derefter får I igen en test for at se, om alt nu er lært. Rigtig god fornøjelse med matematikken.
Store tal
Store tal
Uanset om vi kender dem eller ej, har vi alle 2 forældre og 4 bedsteforældre. Vi har flere oldeforældre og tipoldeforældre.
Vi sætter i dag en generation til at være 25 år. 2
Hvor mange generationer før Trine var hendes tiptiptipoldeforældre (altså hvilket nummer)?
3
Hvor mange var der i den 10. generation før Trine? Hvordan regnes det ud? Skriv et gangestykke.
En generation er et gennemsnitstal, der fortæller om det antal år, der går fra forældrene fødes, til deres børn bliver født.
4
Trines forældre er første generation før Trine, hendes bedsteforældre er anden generation før hende osv.
Hvor mange var der i den 12. generation før Trine? Skriv igen et gangestykke.
5
Hvor mange var der i generationen for 500 år siden?
1
Hvor mange har vi af a b c d
oldeforældre ? tipoldeforældre? tiptipoldeforældre? tiptiptipoldeforældre?
Hvor lang tid en generation varer, afhænger af, hvornår det er. I middelalderen levede man ikke så længe som i dag, og man blev forældre i en tidligere alder. Det betyder, at på det tidspunkt varede en generation ikke så længe som i dag.
5
6
Store tal
I opgaverne på side 5 var der en række gangestykker:
Trine 1. generation før Trine 2. generation før Trine 3. generation før Trine 4. generation før Trine … 10. generation før Trine
Antal personer 1 2 4 8 16 1 024
Udregning
2·2 2·2·2 2·2·2·2 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2
Når mange ens tal skal ganges med hinanden, er det nemmere at skrive tallet som potens.
TAL OM
2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210
Tallet, der skal ganges med sig selv, kaldes roden: Hele tallet (rod og eksponent) kaldes en potens.
Det lille tal, der svæver oppe til højre, kaldes eksponenten. Det fortæller, hvor mange gange tallet (roden) skal ganges med sig selv.
Eksponent
Rod
EKSEMPEL 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 46 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 096
Po ten s
6
Beregn: a 56 d 94 g 55
b 38 e 93 h 85
c 75 f 67 i 83
46 siges fire i sjette. Vi fire går i sjette. I opgave 5 var løsningen: 500 år svarer til 20 generationer. Antal forfædre: 220 = 1 048 576
Store tal
På nogle lommeregnere er der en potenstast y x .
7
I de næste fire opgaver er det en god idé at gætte og kontrollere efterfølgende. Se eventuelt symbollisten side 110. 9
Beregn: b 45 – 6 3 a 92 + 38 3 10 d 10 + 2 e 74 – 73 g 104 – 84 h 65 + 102
8
y
x
c 93 + 54 f 65 – 4 6 i 93 – 63
Her er store tal fra vores solsystem. Sæt himmellegemerne i rækkefølge med den mindste først. Diameter (km) Solen 1,4 · 106 Merkur 4,9 · 103 Venus 1,2 · 104 Jorden 1,3 · 104 Jordens måne 3,5 · 103 Mars 6,8 · 103 Jupiter 1,4 · 105 Saturn 1,1 · 105 Uranus 5,1 · 104 Neptun 5,0 · 104 Pluto 2,4 · 103
y6 < 120 000 Hvilket helt tal kan roden højst være?
10
8x < 35 000 Hvilket helt tal kan eksponenten højst være?
11
a5 > 50 000 Hvilket helt tal kan roden mindst være?
12
12x > 300 000 Hvilket helt tal kan eksponenten mindst være?
Potens betyder stærk eller mægtig.
7
8
Store tal
Kan det være store tal med alle de nuller!
Nogle potenstal har fået specielle navne: a2 kvadrattal a3 kubiktal Ellers er det potenser, hvor roden er 10, der har navne: hundrede: tusinde: million (mio.): milliard (mia.): billion: trillion: kvadrillion:
102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Man skal bruge forkortelserne mio. for million og mia. for milliard. I USA og England kaldes en milliard for en billion – det er lidt forvirrende.
Direktør fallit med gæld på 45 mio. kr.
13
Skriv tallene i de to overskrifter.
14
Skriv tallet 5 trillioner med alle cifrene.
15
Skriv tallet 8,5 billioner med alle cifrene.
Overskud på betalingsbalancen 12,5 mia. kr.
I oldtiden havde grækerne et talnavn, myriade, for 10 000 – men højere talnavne havde de ikke. Ordet million betød oprindeligt en bestemt mængde guld, men sidst i 1400-tallet blev det brugt som et talnavn. Billion og trillion blev opfundet i Frankrig i 1600tallet. Men de to talnavne kom først rigtigt i brug i 1800-tallet i forbindelse med astronomiske størrelser. Bi og tri betyder henholdsvis 2 og 3. Navnene er så dannet ud fra millionerne: 1 billion = 1 million millioner 1 trillion = 1 million million millioner
Store tal
TAL OM Beregn 103 · 102 og skriv facit som tierpotens. 103 · 102 = 1 000 · 100 = 100 000 = 105
17
Undersøg, hvordan din lommeregner skriver tierpotenser. Regn fx stykket 2 000 000 · 3 000 000 Det bliver 6 000 000 000 000 eller 6 · 10
12
– men der er ikke plads til at skrive så mange cifre på lommeregneren. Det betyder, at facit er for stort til, at lommeregneren kan skrive tallet. Man kan fjerne 3 nuller i hvert tal, inden man beregner, og så huske, at sætte 6 nuller på igen efter udregningen. En god lommeregner ,,ved”, at tallet er lig med 6 · 1012 og skriver fx sådan:
Skriv tallene med alle cifre: a b c d e f g h i
4,6 · 102 4,75 · 103 0,06 · 106 10,6 · 105 0 ,65 · 104 2,60 · 102 8,075 · 104 4,66 · 107 7,58 · 108
EKSEMPEL Beregn og skriv facit som tal gange tierpotens: (2,3 · 103) · (5 · 102)
Det er mellemrummet mellem 6 og 12, der viser, at 12 skal opfattes som eksponent i en tierpotens.
16
(2,3 · 103) · (5 · 102)
= 2,3 · 5 · 103 · 102 = 11,5 · 105 = 1,15 · 10 · 105 = 1,15 · 106
Beregn og skriv facit som tierpotens: a 104 · 103
b 100 000 · 10
c 106 : 103
d 107 · 1 000
e 105 : 102
f 105 · 10
g 107 : 1 000
h 10 000 · 1 000
Find en regneregel, der gælder for tierpotenser i når man ganger. j når man dividerer.
18
Beregn og skriv som tal gange tierpotens: a b c d e f
(2,4 · 105) · (1,5 · 102) (6,2 · 103) · (7 · 103) 145 · (3,8 · 104) (6,4 · 104) : (1,6 · 102) (9,6 · 105) : (6 · 102) (8,4 · 104) : 120
TAL OM Når man skal skrive store tal, bruger man et tal mellem 1 og 10 efterfulgt af en tierpotens: 2,3 · 104
9
10 Store tal
19
20
a c e g i
–3 – 26 –8 + 21 –9 + 12 9 – 36 –14 – 27
12 – 20 18 + 9 –5 – 17 18 – 12 –8 - 8
Hvor lang tid er der gået, når den store viser på et ur har drejet sig a 90˚? c 270˚?
10 9 8
21
b d f h j
b 180˚? d 360˚?
11 12 1
7 6 5
2 4 + 5 5 5 1 c + 6 6 3 2 e − 4 4 7 4 g + 10 10 a
22
23
24
25
Løs ligningerne. Hvad skal der stå i stedet for x? a 6 · x – 9 = 33 c 60 = 6 · x + 18
b 70 – 3 · x = 46 d 9 · x – 36 = 27
a (478 + 227) : 3
b (958 – 316) : 6
c (9 · 6 + 338) : 7
d (700 – 148) : 8
Efter en forældredag på skolen så regnskabet ud som vist herunder. Beregn over- eller underskud.
2
Udgifter: Madvarer. . . . . . . . . . . . . . . . 1 555 kr. Øl og vand. . . . . . . . . . . . . . . . 940 kr. Is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 kr.
3 4
2 3 6 d 7 3 f 8 7 h 8 b
2 3 3 − 7 7 + 8 3 − 8
+
Størrelsen af tv-skærme måles i tommer. Det er skærmens diagonal, man måler. Tegningen viser et 21” (tommer) fjernsyn. 1” = 2,6 cm a Hvor mange centimeter er skærmens diagonal? b Hvor store er skærmens sider?
Indtægter: Mad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 480 kr. Øl og vand. . . . . . . . . . . . . . . 1 010 kr. Is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 kr.
Store tal
26
30 Skriv brøkerne i rækkefølge (den mindste først).
s: (x,x) A = (–3,–4) B = (1,–2) C = (3,–6) Tegn linjen s og trekant ABC. Spejl trekanten i linjen s. Hvilke koordinater får billedpunkterne?
1 , 4 31
1 , 5
1 1 1 1 , , , 3 6 2 12
En computer, som normalt kostede 12 650 kr., blev nedsat med 3 800 kr. Jannie købte med finansiering og betalte 15 % ved modtagelsen. a Hvor meget skulle hun betale ved modtagelsen? b Hvor stor var restgælden? (NB: Med finansiering bliver der også lagt renter til,men det regner vi ikke med her).
3 cm
6 cm
32 27
a Beregn rektanglets omkreds. b Beregn rektanglets areal. c Tegn et nyt rektangel, hvor siderne er tre gange så lange. d Hvor mange gange større bliver omkredsen? e Hvor mange gange større bliver arealet? 28
29
Beregn arealet af trekanten.
Se på rektanglet ovenfor.
a 9,6 · 8
b 0,9 · 65
c 12,6 · 5
d 1,05 · 8
e 64 · 0,85
f 22 · 0,5
Beregn: 1 af 180 a 4 c 1 af 180 3 1 e af 180 2
1 af 180 5 d 1 af 180 6 1 f af 180 12 b
19,5 cm
7,5 cm
18 cm 33
a c e g i
56,8 · 4 2,08 · 5 12 · 6,3 106 – 36 : 6 2 · 47 + 11 · 13
b d f h j
7 · 12,4 14,5 · 4 90 + 3 · 9 27 + 54 : 9 5 · 13 – 7 · 4
34 a 392 : 7 c 471 : 3 e 340,2 : 6
b 245 : 5 d 59,6 : 4 f 38,25 : 9
35
b – 2 + 4x = 14 d 7x – 4 = 45 f 2x + 18 = 22
a 2x – 3 = 15 c –3 + 7x = 18 e 5x + 20 = 45
11
12 Store tal
36
Hvert minut strømmer 128 mio. liter vand ud over kanten på Niagara Falls. a Skriv tallet som tal gange tierpotens. b Hvor mange liter vand strømmer over kanten pr. time? Skriv som tal gange tierpotens.
37
I 1943 opstod der pludselig en vulkan midt på en majsmark i Mexico. En uge efter var vulkanen 168 m høj, og ni år efter var den 412 m høj. Da havde vulkanen udspyet 3,6 mia. ton lava og aske. a Skriv vægten som tal gange tierpotens (ton). b Hvor mange kilogram lava og aske kom der op?
38
En schæferhund har 220 mio. lugteceller i næsen. Det er 44 gange flere end et menneske har. En hund kan opfatte lugte, der er 1 mio. gange svagere, end et menneske kan. a Skriv schæferhundes antal lugteceller som tal gange tierpotens. b Hvor mange lugteceller har mennesket (tal gange tierpotens)?
Store tal
39
Hvis hele Danmark skulle dækkes med havefliser på 60 × 60 cm, skulle man bruge 119 652 780 000 fliser.
40 Hvor meget vejede hver sten i gennemsnit? 41
a Skriv antal fliser som tal (afrundet til 1 decimal) gange tierpotens. b Vi går ud fra, at sådan en flise koster 30 kr. Hvor stor ville regningen blive, hvis vi ville dække landet med fliser? c Vi er omkring 5,4 · 106 danskere. Hvor stor ville regningen blive til hver af os?
Hvis man arbejdede 12 timer hver dag år ud og år ind, hvor mange sten skulle der så lægges hver time for at bygge Kheopspyramiden?
42
Vi forestiller os, at vi fik foræret alle stenene fra pyramiden. Det er lidt svært at få plads til dem, men vi stabler dem i et kvadrat, der fylder 10 sten på hver led. Hvert lag er 1 m højt. Hvor høj bliver hele stablen?
Verdens største pyramide, Kheopspyramiden, blev bygget for mere end 4 000 år siden. Den er bygget af ca. 2 mio. sten, der hver har et rumfang på cirka 1 m3
43 Danmark har ca. 5 400 000 indbyggere. Hvor mange kilogram sten kunne hver af os få, hvis vi altså fik foræret en hel Kheopspyramide?
Man har beregnet, at Kheopspyramiden vejer ca. 5,75 · 106 ton. En græsk historiker fortæller, at det tog 20 år at bygge pyramiden.
13
14
Store tal
44
Skriv som tal gange tierpotens: a b c d e f g
8 500 4 600 000 96 200 3 000 000 120 000 45 000 72 000 000 000
h 960 000 000
46 Skriv som tal gange tierpotens:
47
a 6,2 mio.
b 0,8 mia.
1 c 6 mio. 2
d 5
1 mia. 4
Beregn og skriv facit som tal gange tierpotens: a b c d e f
850 000 + 1,6 mio. 2,3 mio. – 600 000 12 · 455 000 2 mia. : 40 000 25 · 940 000 1 mia. – 850 mio.
12 9 45
Vi målte en stabel 5-kroner. En stabel på ti mønter var ca. 2 cm høj. Mønternes diameter målte vi til 27,5 mm. a Hvor høj ville en stabel på 1 000 5-kroner være? b Danmark har ca. 5,4 mio. indbyggere. Hvis hver indbygger lagde en 5-krone i en stabel, hvor høj ville stablen så blive? c Hvis man lægger 1 000 5-kroner ved siden af hinanden på række, hvor lang bliver rækken så? d Hvis danskernes høje stabel mønter blev lagt på række, hvor lang ville rækken så blive?
3 6
48 a Hvor mange minutter er 1 mio. sekunder? Afrund til helt tal. b Hvor mange timer er 1 mio. sekunder? Afrund til helt tal. c Hvor mange døgn er 1 mio. sekunder? Afrund til én decimal. d Vi vil tælle til 1 mia., så vi tæller et tal hvert sekund uden at holde pause. Hvor lang tid tager det?
Store tal
49 Hvis man er gode venner, kan man stå ti personer på en kvadratmeter. a En stor fodboldbane er 105 m lang og 65 m bred. Hvor mange ville der kunne stå på banen? b En prognose fortæller, at verdens befolkning i år 2025 vil nå op på cirka 8 mia. mennesker. Skriv tallet som tal gange tierpotens. c Hvor mange kvadratmeter skal man bruge i år 2025 til hele verdens befolkning? d 1 km2 = 106 m2. Hvor mange kvadratkilometer skal vi bruge? e Lollands areal er ca. 1 243 km2. Vil alle verdens mennesker i år 2025 kunne stå på Lolland?
50 Skriv facit som tal gange tierpotens: a b c d e f 51
9,2 · 104 – 1,6 · 103 4 · (8,5 · 103) 6,2 · 104 – 36 000 3,4 mio. + 1,6 · 106 1 800 000 + 3,2 mio. 9 · 105 – 1,5 · 104
Er gangestykket herunder større eller mindre end 4 · 108? 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12
15