Issuu

BJØRN GRØN • BODIL BRUUN • OLAV LYNDRUP KATJA KOFOD SVAN • JES SIXTUS JØRGENSEN • PER ROSENQVIST

MATEMATIK I ARBEJDE B1

PRAXIS

Matematik i arbejde Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup, Katja Kofod Svan, Jes Sixtus Jørgensen, Per Rosenqvist © Praxis Forlag A/S, København 2026 Denne bog er beskyttet i medfør af gældende dansk lov om ophavsret. Kopiering må kun ske i overensstemmelse med loven. Det betyder f.eks., at kopiering til undervisningsbrug kun må ske efter aftale med Tekst & Node. Det er ikke tilladt at udføre tekst- og datamining (TDM) af bogen, herunder til brug for træning af AI-teknologier m.v., uden forlagets forudgående skriftlige samtykke. 1. udgave, 1. oplag Forlagsredaktion: Thomas Meesenburg Omslag: Ulla Korgaard Grafisk tilrettelæggelse: Schnalke Kommunikations-Design Sat med Myriad, Minion og Upgrade ISBN: xxx Tryk: Printed in Praxis Forlag A/S – et selskab i Egmont Vognmagergade 7, 5. sal 1120 København K info@praxis.dk praxis.dk

Indholdsfortegnelse 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner 1. Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Repræsentationsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 10 10

4. Regression – en metode til at afkode sammenhænge . . . . . . . . . . . . . . .

5. Lineær funktion med papir og blyant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Regning med lineære funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Formler, der fastlægger grafen for en lineær funktion . . . . . . . . . . . . . . . 8. Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 32 33

3.1 Repræsentationsform: Tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Repræsentationsform: Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Repræsentationsform: Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Repræsentationsform: Sprog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Oversættelse mellem repræsentationsformer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Regression – bedste rette linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Oversættelse fra matematik til almindeligt sprog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Absolut og relativ afvigelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Korrelation og kausalitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Hældningskoefficient a og konstantled b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Skæring mellem graferne for to lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 13 14 14 16 18 19 21 23 27

2. Beskrivende statistik 1. Ugrupperede observationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.1 Analyse af datasæt bestående af enkelt-observationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Statistiske deskriptorer – kvartiler og middelværdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Grafisk repræsentation – Søjlediagram og boksplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Middelværdi, varians og spredning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Analyse af ugrupperede observationer samlet i tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 37 39 41

2. Grupperede observationer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1 Intervalopdeling af data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Hyppighed og frekvens for intervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Grafisk repræsentation – histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Skøn over middelværdi for grupperede datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Grafisk repræsentation – Sumkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Median, kvartiler og fraktiler for grupperede datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 45 46 48 49 51

4 3. Projekter og ressourcer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3. Procent- og rentesregning 1. Regning med procenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.1 Repetition fra folkeskolen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.2 Procentformlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2. Procentvækstformlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1 Anvendelser af procentvækstformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Kapitalformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1 Anvendelser af kapitalformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Type – ukendt slutværdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Type – ukendt startkapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Type – ukendt vækstrate r – Ligninger løst med n’te rod. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Type – ukendt n – Ligninger løst med logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 69 69 69 70

4. Projekter og ressourcer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. Eksponentielle sammenhænge 1. Eksponentiel vækst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2. Potenser og potensregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.1 Potensregneregler og udvidelse af potensbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.1.1 Potenser med brøker som eksponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3. Eksponentielle funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.1 Betydning af konstanterne a og b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2 Fremskrivningsfaktor og vækstrate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Monotoniforhold for de eksponentielle funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4. Opstille og fortolke eksponentielle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1 Træning i at opstille eksponentielle modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Træning i at fortolke eksponentielle modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5. Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.1 Omskrivning mellem a x og ek · x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6. Beregning af forskriften ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.1 To-punktsformlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7. Fordoblingskonstant og halveringskonstant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 8. Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 9. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5 5. Geometri og trigonometri 1. Trekanter, Polygoner og matematiske metoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2. Skalering og ensvinklede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3. Pythagoras’ sætning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.1 Beregninger i Retvinklede trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4. Sinus og cosinus i retvinklede trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.1 Beregninger med sinus og cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2 Beregninger med tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3 Anvendelse af trigonometriske tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5. Arealet af en trekant – sinusformlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6. Sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7. Cosinusrelationerne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8. Trigonometriske beregninger i praksis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 9. Projekter og ressourcer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6. Funktioner og indledende differentialregning 1. Funktioner og indledende differentialregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1.1 Hvad er en funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 1.2 Intervaller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 1.3 Angive og aflæse punkter på en graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2. Centrale funktionsbegreber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3. Standardfunktioner med begrænset definitionsmængde. . . . . . . . . . 135

3.1 Stykkevist definerede funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4. Indledende differentialregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.1 Væksthastighed og tangenthældning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2 Praktiske anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5. Projekter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7. Sandsynlighedsregning 1. Regning med sandsynligheder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

1.1 Sandsynlighedstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.2 Mængder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1.3 Centrale sandsynlighedsbegreber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 1.4 Hændelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Symmetrisk sandsynlighedfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Stokastisk variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Middelværdi, varians og sprædning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153 156 158 161

2. Kombinatorik og binomialkoefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 2.1 Tællemetoder og Pascals trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kombinationer og tællemetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kombinationer og sandsynligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Spil og sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 167 171 172

3. Projekter – sandsynlighed og intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8. Tal og ligninger 1. Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 1.1 Talsans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Positiontalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 De naturlige tal og de hele tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 De rationale tal (brøkerne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 De irrationale tal og de reelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Talmængder – et overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Eksponentiel notation – meget store og meget små (reelle) tal . . . . . . . . . . . . . . .

178 179 179 181 183 184 185

2. Beregning og reduktion af algebraiske udtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

2.1 Led, faktorer og algebraiske udtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 2.2 Regneregler og parentesregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 2.3 Særlige parentesudtryk – kvadratsætninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3. Ligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.1 Regler for ligningsløsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lineære ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Eksponentielle ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Trigonometriske ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Nulreglen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 To ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Opstille ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194 196 197 197 197 xxx xxx

4. Andengradsligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx 5. Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx 6. Opsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx

Matematik i arbejde Fordord til eleven Når du møder et nyt matematisk emne, som måske i første omgang kan virke lidt abstrakt, er det naturligt at spørge, om denne matematik virkelig kan bruges til noget. I Matematik i arbejde får du fra start til slut et inspirerende indkig i matematikkens anvendelser i håndteringen af klimaforandringer og den grønne omstilling, indenfor medicin og sundhed, i kommunikation, logistik, rumforskning, AI og meget mere. Det sker bl.a. ved at trække virksomhederne ind i undervisningen gennem filmklip og autentiske data fra så forskellige kilder som Novo Nordisk, Meteorologisk Institut, PFA, Vestas, Statens Serum Institut og mange flere, og ved at inddrage forskere fra universiteterne, der er fremragende til at formidle deres viden. Dette er den ene side af titlen Matematik i arbejde. Den anden side er dig selv: Man kan ikke lære matematik alene ved at læse en bog. Matematik lærer man ved at arbejde med at løse opgaver og problemer, alene eller sammen med andre. I bogen her er der over 50 klasseaktiviteter, hvor traditionel undervisning afløses af, at I selv opdager beviser, undersøger mønstre, tester med quiz, konkurrencer og puslespil, om I har styr på det.

Forord til læreren I lærebogssystemet Matematik i arbejde er eleverne med til at "opfinde matematikken". Gennem styrede klasseaktiviteter skal de selv nå frem til at kunne løse de matematiske problemer og til at kunne gennemføre de ræsonnementer, der ligger bag den matemati-ske teori. Men titlen angiver også, at eleverne skal opleve, hvordan matematik er i arbejde overalt i samfundet. Ved at trække virksomhederne ind i undervisningen gennem filmklip, auten-tiske data og andet, får eleverne fra start til slut i lærebogssystemet et inspirerende ind-kig i, hvad matematikken kan bruges til. Bogen er elevens bog. På website ligger der et særligt rum, som du som lærer suverænt råder over. Det indeholder • lærervejledninger til hvert kapitel, hvor der gives en oversigt over kapitlets indhold af definitioner og sætninger, begreber og metoder. Dette kan også bruges som inspiration til eksamensspørgsmål. Desuden oplistes kapitlets klasseaktiviteter med angivelse af tema for hver enkelt, og de afsluttende projekter beskrives. • materialer i pdf-format til brug i klasseaktiviteterne. Det er i detaljer beskrevet, hvad ideen med aktiviteten er, og hvordan man kan arbejde med de forskellige materialer. Du styrer dette og afgør, hvilke materialer der udleveres til eleverne. Hvert kapitel afsluttes med forslag til projekter og med et resume af, hvad eleverne skal kunne efter at have været igennem kapitlet. Dette kan fx anvendes i repetitionen.

VARIABELSAMMENHÆNGE OG LINEÆRE FUNKTIONER 1. Variable De store, globale problemer, menneskeheden står overfor, som klimaforandringer, sult og sundhedsproblemer, kan kun løses ved at tage videnskaben til hjælp. Naturvidenskaberne kaldes også de eksakte videnskaber, fordi man konsekvent bygger på data, og fordi man anvender matematik i behandlingen af disse data. Lad os starte med at se på graferne i følgende øvelse – I arbejder sammen i grupper.

Øvelse 1 Udviklingen i verdens befolkningstal – med og uden kunstgødning a) Prøv at beskrive med jeres egne ord, hvad der her illustreres: Start med at repetere, hvilke begreber vi anvender i et koordinatsystem, og hvordan vi aflæser. Fx: Hvad var verdens befolkningstal i 1900, og cirka hvornår passerede det 6 milliarder? b) Grafen over befolkningstallet bygger her på eksakte data. Men hvad betyder ”estimeret befolkning”? Kan I gennemskue, hvorfor befolkningstallet afhænger af kunstgødning?

8 Befolkningstal i milliarder

Verdens befolkning Estimeret befolkning uden brug af kunstgødning Estimeret befolkning afhængig af kunstgødning

6 5 4 3 2 1 1920

1940

1960

1980

2000

2015

c) Fremstilling af kunstgødning blev udviklet af de tyske kemikere Haber og Bosch i årene omkring 1. Verdenskrig, men det var først efter 2. Verdenskrig, at masseproduktionen heraf tog fart. Giver den viden dig en bedre forståelse af graferne over ”estimeret befolkning?” Fattige bønder og kunstgødning er jo ikke i sig selv tal, men når vi skal give en matematisk beskrivelse af et fænomen, skal vi kvantificere det, vi vil undersøge. De skal gives talværdier. Når det sker, kalder vi størrelser som befolkningstal og årstal for variable. De varierer. For omkring 400 år siden begyndte man at indføre symboler for de variable. I matematik bruger vi typisk nogle af de sidste bogstaver i alfabetet, x, y og z, som symboler for de va-

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

riable. Men vi følger også andre fags traditioner, så tiden betegnes ofte med t, temperatur betegnes T, hastighed betegnes v, osv. I moderne matematikprogrammer kan man også direkte bruge variabelnavnet, fx kunne vi anvende variablen befolkningstal, som varierer med årstallet. Der er sædvanligvis mange variable, der påvirker en udvikling, og en del af processen i at forstå en udvikling består i at kontrollere de variable og fx udvælge to, der giver mening, i forhold til de spørgsmål, vi ønsker svar på. Dette gør man i alle fag, der arbejder med data – og det kaldes naturligt nok for variabelkontrol.

Øvelse 2 Kunstgødning og høstudbytte Hvis vi tænker videre over kunstgødningens betydning, så kan vi fra landbrugets forsøgscenter have fået disse data: Kvælstofgødning (kg/ha)

100

120

Høstudbytte (ton/ha)

1,43

2,31

3,08

3,95

4,65

4,90

5,11

Her har andre gjort noget af arbejdet for os og valgt to variable ud. a) Du skal nu afsætte disse datapunkter i et koordinatsystem. Det betyder, du skal vælge, hvilken af de variable, der skal afsættes ud ad 1.-aksen, og hvilken op ad 2.-aksen. Den, som vi afsætter ud ad 1.-aksen, kaldes for den uafhængige variabel, og den, vi afsætter op ad 2.-aksen, kaldes for den afhængige variabel. Det er ofte, men ikke altid helt indlysende, hvor de variable skal afsættes. Diskuter det med din sidekammerat, og prøv fx, om det er meningsfuldt at formulere sætningen: ”(Variablen y) afhænger af (variablen x)”. b) Når I er blevet enige om dette, kan I så blot ved at betragte tabellens tal beskrive med ord, hvad disse tal fortæller? c) Det er måske svært at være meget præcis i besvarelsen af b). Men find nu noget kvadreret papir, tegn et koordinatsystem, og indret akserne, så I kan afsætte datapunkterne. Udtrykker det grafiske billede det samme, som I nåede frem til i b)? d) Diskuter endelig, hvordan I vil forbinde datapunkterne med en sammenhængende graf.

Klasseaktivitet

Uafhængig og afhængig variabel

Ovenfor skulle I selv bestemme, hvad der var den uafhængige og den afhængige variabel.

To andre eksempler kunne være:

• I havet er det sådan, at sigtbarheden afhænger af dybden. Men man kan ikke hævde, at dybden afhænger af sigtbarheden, for der kan være andet på spil. • I et korndyrkende landbrug ved man, at planternes vækst afhænger af temperaturen. Men man kan ikke hævde, at temperaturen udenfor afhænger af planternes vækst. I skal nu selv finde på mindst tre andre eksempler. Skriv jeres eksempler op på tavlen, og diskuter derefter, om I er enige.

2. Koordinatsystemet 2. kvadrant

1. kvadrant

(–, +)

(+, +)

3. kvadrant

4. kvadrant

(–, –)

i vil i dette afsnit kort repetere, hvordan et koordinatsystem er indrettet, V og hvilken terminologi (hvilke begreber) vi anvender, når vi taler om noget, der foregår i et koordinatsystem. koordinatsystemer, vi anvender, er opbygget af to ortogonale og De uendeligt lange rette linjer. Disse linjer er indrettet som tallinjer, og vi angiver med en pil retningen fra negative tal over tallet 0 til de positive tal.

Det er ikke et krav, men hvis ikke andet nævnes, vil de to ortogonale tallinjer skære hinanden i punktet med koordinaterne (0, 0). Dette punkt kaldes også koordinatsystemets begyndelsespunkt, eller i matematik-sprog: origo. De to ortogonale linjer tegnes som vist, og den vandrette kaldes som omtalt for 1.-aksen, den lodrette for 2.-aksen. (+, –)

e to akser opdeler koordinatsystemet i 4 områder, der navngives som vist på tegningen: D 1. kvadrant, 2. kvadrant osv. år vi afsætter punkter eller tegner grafer i et koordinatsystem, skal vi altid markere en N enhed på hver af akserne.

Øvelse 3 Aflæs koordinatsæt for punkter på en graf

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Benyt grafen til at aflæse svarene på følgende: a) Når x = 1, så er y = . . . b) Når x = –2, så er y = . . . c) Når x = 0, så er y = . . . d) Når y = 12, så er x = . . . e) Når y = 0, så er x = . . .

–4 –3 –2 –1 –1 –2 –3

f ) Når y = 4, så er x = . . .

1 2 3 4 5 6 7 8 x

Øvelse 4 Afsæt punkter i koordinatsystem

Tegn et koordinatsystem på et papir, og afsæt følgende punkter: A(2, 5), B(1, –8), C(–3, 4) og D(–2, –6).

3. Repræsentationsformer

Variabelsammenhænge kan optræde på fire forskellige repræsentationsformer. Vi kalder de fire forskellige repræsentationsformer for sprog, tabel, graf og formel. Hver repræsentationsform indeholder forskellige måder at udtrykke variabelsammenhænge på.

...!

√x

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Klasseaktivitet

Fire repræsentationformer (papir og blyant)

En matematikopgave fra middelalderen går ud på at undersøge, hvornår en hund fanger en hare. I opgaven står hunden og haren på en mark med 150 fods mellemrum, som vist på figuren. Når hunden og haren ser hinanden, løber haren væk fra hunden, og 0 150 hunden løber efter haren. Hunden løber med en fart på 9 fod pr. spring, og haren med en fart på 7 fod pr. spring. Det er underforstået, at et spring for hhv. hunden og haren tager lige lang tid. Opgaven løses ved at besvare nedenstående spørgsmål på fire forskellige måder – med hver sin repræsentationsform. I hver repræsentationsform bliver svaret det samme, men opgaven løses på forskellig måde.

Løsning vha. tabel

a) Opstil en tabel, som viser, hvor langt henholdsvis hunden og haren er kommet (målt i fod) efter hvert spring. Hvor langt er hunden efter 0 spring, efter 5 spring, efter 10 spring osv.? Tilsvarende for haren – husk, at haren har et forspring på 150 fod. b) Benyt tabellen til at aflæse, hvornår hunden indhenter haren, dvs. hvor mange spring foretages, før haren er fanget?

Løsning vha. graf

c) Tegn punkterne for hunden fra tabellen i et koordinatsystem. Vælg antal spring på 1.-aksen og hundens distance på 2.-aksen.

d) Tegn punkterne for haren i samme koordinatsystem.

e) Tegn en graf gennem punkterne for hunden og tilsvarende for haren.

f ) Aflæs på grafen det antal spring, der skal til, før hunden indhenter haren. Stemmer resultatet overens med din tidligere fundne værdi fra tabelrepræsentationen?

Løsning vha. formel

g) Benyt opgavens oplysninger til at opskrive en variabelsammenhæng mellem hundens afstand fra dens startpunkt og antallet af spring. Opskriv formlen på papir.

h) Benyt på samme måde opgavens oplysninger til at opskrive en variabelsammenhæng mellem harens afstand fra hundens startpunkt og antallet af spring. Opskriv også den formel på papir. i) Opstil nu ud fra g) og h) en ligning, der kan bruges til at finde antallet af spring, der skal foretages, før hunden indhenter haren. Løs denne ligning.

j) Stemmer resultatet overens med din tidligere fundne værdi fra grafrepræsentationen?

Løsning vha. sprog

I middelalderen løste man opgaven vha. sproget på følgende måde:

Marken har længden 150 fod. Find halvdelen af 150, som giver 75. Hunden springer 9 fod i hvert spring, og 75 gange 9 er 675; dette er antallet af fod, som den jagende hund må tilbagelægge, før den kan sætte tænderne i haren. Eftersom haren springer 7 fod i hvert spring, skal du gange 75 med 7, hvorved du finder 525. Dette er antallet af fod, som den flygtende hare tilbagelægger, før den er fanget.

k) Forklar, hvorfor løsningen ser ud, som den gør. Hvorfor skal man fx halvere 150?

12 Øvelse 5 Fire repræsentationsformer I opgaven ovenfor om hunden og haren så vi, hvordan man på fire forskellige måder kunne komme frem til det samme svar på det samme matematiske problem. De fire anvendte repræsentationsformer har hver deres styrker og svagheder, og derfor skifter man i matematik ofte mellem repræsentationsformerne, afhængigt af hvad man vil vise eller løse. a) Hvilke styrker og svagheder synes du, de fire repræsentationsformer hver især har? Notér dem, og diskuter derefter jeres svar i grupper. I skal inddrage løsningen af opgaven om hunden og haren i jeres argumentation.

3.1 Repræsentationsform: tabel år variabelsammenhænge optræder på tabelform, så stilles de to sammenhørende variN able overskueligt op i en tabel, som vist herunder. En sådan tabel kaldes også et sildeben. Hvis fx en elev gennemfører en test på en kondicykel, så kan vi beskrive elevens arbejde ved tabellen: Effekt (målt i Watt)

100

150

200

Puls 92 108 131 154 Her er effekten den uafhængige variabel, og pulsen den afhængige. Hvis man benytter et regneark, vil man ofte skrive tabellen lodret, dvs. effekten i den første kolonne og pulsen i den anden kolonne.

3.2 Repræsentationsform: graf

Når variabelsammenhænge optræder på grafisk form, så aflæses den uafhængige variabels talværdier på 1.-aksen (x-aksen), og den afhængige variabels talværdier på 2.-aksen (y-aksen). Den grafiske repræsentation viser sammenhængen mellem de to variable på en mere dynamisk og overskuelig måde, end en tabel gør, og kan fx også anvendes til at aflæse sammenhørende værdier af de variable for alle tal og ikke kun hele tal, som vi så i eksemplet med hunden og haren. edenfor til venstre ses et eksempel på et sædvanligt koordinatsystem med begyndelsesN punkt origo, dvs. i punktet (0, 0). Nedenfor til højre ses et koordinatsystem med bokskoordinater, hvor akserne lægges, så det giver en bedre visuel fremstilling af det, man ønsker at præsentere. Bemærk, at her er (0, 0) ikke med i billedet. 180

160

140

120

100

2 1

80 1

60 50

100

125

150

175

200

225

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

3.3 Repræsentationsform: formel fte er den afhængige variabel lig med et regneudtryk, hvori den uafhængige variabel indO går. Et eksempel herpå kunne være følgende: F or en bestemt kobbertråd kan sammenhængen mellem de to variable den elektriske modstand i tråden og trådens temperatur udtrykkes ved formlen: y = 0,218x + 56 hvor x angiver kobbertrådens temperatur (målt i °C, der læses ”grader Celsius”), og y er modstanden (målt i Ω, der læses ”Ohm”). endes temperaturen, fx x = 30°, kan modstanden udregnes ved at erstatte variablen x K med dens værdi 30, dvs. y = 0,218 · 30 + 56 = 6,54 + 56 = 62,54 Konklusion: Når temperaturen er 30°, er modstanden 62,5 Ohm. et er ofte en fordel at kunne huske, hvorfra bestemte y-værdier stammer. Det gør vi ved D at indføre betegnelsen f(x) i stedet for y, så formlen ovenfor skrives: f(x) = 0,218x + 56, hvor venstre side læses: ”f af x” Konklusionen på udregningen af modstanden ved temperaturen x = 30° bliver så: f(30) = 62,54 Her har vi altså i samme udtryk den beregnede y-værdi, og hvor denne kommer fra. Formlen f(x) = 0,218x + 56 fortæller, hvordan vi kan beregne værdien af den ene variabel ud fra værdien af den anden. Derfor kaldes sådanne formler også ofte for regneforskrifter. an du gennemskue, hvordan vi kan svare på et spørgsmål som følgende: Hvor høj er temK peraturen, hvis modstanden er 65 Ohm? (Du skal få 41,3°). Styrken i formelsproget er, at det afdækker en dybere sammenhæng mellem de forskellige variable, end vi umiddelbart kan se af et talmateriale eller en graf. Når sammenhængen er givet i et formelsprog, kan vi forholdsvis let svare på en lang række spørgsmål, som vi så eksempler på.

Klasseaktivitet

en vi skal huske, at vi ikke kan vide, om en matematisk model som den ovenfor gælder for M alle temperaturer, eller om der er en begrænsning. Det er en svaghed, som matematikken alene ikke kan svare på.

Funktioner – en aktiv øvelse

I arbejder to og to, og I skal hver have et kvadreret papir, hvor der både er plads til at tegne et koordinatsystem og opskrive en tabel med x- og y-værdier. I skal hver opskrive et hemmeligt funktionsudtryk af typen f(x) = a · x + b, hvor jeres a og b tal holder sig mellem –5 og 5.

På skift kører I nu 5 runder på følgende måde, hvor vi kalder jer for A og B:

a) A giver et tal (input) til B. B udregner funktionsværdien (output) og fortæller svaret til A, der noterer både input og output i en tabel. Derefter skifter I roller, indtil I begge har 5 punkter i en funktionstabel. b) I plotter punkterne fra hver jeres tabel ind i jeres koordinatsystem og prøver at huske det, I har lært i folkeskolen om, hvordan man kan aflæse a-tallet og b-tallet. Og så komer I med jeres bud på den andens hemmelige formel. Er det den rigtige?

3.4 Repræsentationsform: sprog år en variabelsammenhæng optræder på sproglig form, så formulerer vi med almindeligt N sprog en viden eller en antagelse om en sammenhæng mellem to variable. e fleste betaler fx for elektricitet efter deres forbrug. I X-købing kommune betaler man en D fast årlig afgift på 400 kr. for at være tilsluttet el-nettet samt en pris på 1,75 kr. pr kWh, man forbruger. De to variable er her: forbrug og pris. Vi kan af sammenhængen afgøre, at forbruget er den uafhængige variabel (overvej!), og den vil vi kalde x. Den afhængige variabel er den samlede pris, og den vil vi kalde y. Vi siger, at prisen er en funktion af forbruget.

3.5 Oversættelse mellem repræsentationsformer i har ofte brug for at kunne oversætte fra én af de fire repræsentationsformer til en af de V andre. ...! √x

Øvelse 6 Oversættelse mellem repræsentationsformer (brug af computer) E n kylling vejer 40 gram ved udklækningen. De næste måneder tager kyllingen 35 gram på om dagen. a) Opstil en tabel i et regneark, der viser udviklingen i kyllingens vægt over en periode på 30 dage, idet du kun angiver vægten hver femte dag. I en model kan kyllingens vægt beskrives ved en funktion f, hvor f(x) er vægten (målt i gram), når der er gået x dage efter udklækningen. b) Benyt de variable til at opstille en formel, der beskriver udviklingen. c) Tegn en graf, der viser udviklingen. d) Vi ønsker at besvare spørgsmålet: Hvor meget vejer kyllingen efter 10 dage? Kan du bruge alle fire repræsentationsformer til at besvare spørgsmålet? Kyllingen bliver slagtet, når den vejer 2500 gram. e) Vi ønsker nu at besvare spørgsmålet: Hvor gammel bliver kyllingen? Hvilken repræsentationsform foretrækker du til at besvare dette spørgsmål?

Klasseaktivitet

prx.dk/mia00

Postløb – oversættelse mellem repræsentationsformer I webbogen ligger der materiale til et postløb (brug QR-koden).

Aktiviteten består af fire fysiske poster, som læreren har placeret i hvert hjørne af klasselokalet. Ved hver post ligger der et antal opgaver, som skal løses. Opgaverne handler om oversættelse mellem repræsentationsformerne for lineære funktioner, og hver af de fire poster har særligt fokus på én af de fire repræsentationsformer. Svarene på opgaverne skrives ned på papir. Udover at besvare opgaverne skal det overvejes, hvilke to repræsentationsformer der oversættes imellem.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Klasseaktivitet

Repræsentationsformer – et aktivt spil I webbogen ligger der materiale til et spil (brug QR-koden). I er inddelt i grupper. Hver gruppe får udleveret en lineær funktion beskrevet ved en af de fire repræsentationsformer. Spillet går ud på at finde de tre andre tilhørende repræsentationer af den samme funktion.

prx.dk/mia01

4. Regression – en metode til at afkode sammenhænge et danske befolkningstal er de seneste mange år steget jævnt, og vi vil her beskrive samD menhængen mellem antallet af mennesker i Danmark og den tid, der er gået efter år 2000. Vi vil finde en formel, som vi med en rimelig præcision kan anvende til fx at give vores bud på, hvor stor den danske befolkning vil være i fremtiden, hvis den nuværende udvikling fortsætter. Dette udtrykker vi ved at sige, at vi vil opstille en matematisk model, der beskriver befolkningstallet i Danmark som funktion af tiden målt i år efter 2000. Metoden, vi vil gennemgå, kaldes lineær regression, og anvendelsen heraf kræver adgang til et matematikprogram.

Øvelse 7 Tabel – punktplot af data Nedenstående tabel viser udviklingen i befolkningstallet i Danmark efter år 2000. Årstal Befolk ningstal

2000

2001

2002

2003

2004

2005

5 330 020 5 349 212 5 368 354 5 383 507 5 397 640 5 411 405

2006 ...

Kilde: Danmarks Statistik (www.statistikbanken.dk) Hele tabellen findes via QR-koden. Vi er interesserede i at finde en formel, der beskriver udviklingen i befolkningstallet efter 2000, så derfor må vi lave en ny variabel, som omregner årstal til antal år efter 2000. efolkningstallet udvikler sig over tid, dvs. variablen befolkningstal afhænger af variablen B år efter 2000, som derfor er den uafhængige variabel. a) Kopier data ind i et regneark. b) Indfør din nye variabel, år efter 2000, i en ny kolonne, idet du udnytter regnearkets muligheder til automatisk at få beregnet værdierne for denne nye variabel. c) Importer nu din tabel i dit matematikprogram, og tegn et punktplot over sammenhængen mellem befolkningstal og antal år efter 2000. d) Ser det ud, som om der faktisk er sket en jævn, positiv tilvækst i befolkningstallet hen over årene efter år 2000? Hvordan er akseinddelingen på den lodrette akse? e) Indret dit koordinatsystem, så du sammen med datapunkterne kan se koordinatsystemets begyndelsespunkt, dvs. punktet (0, 0). Hvordan er akseinddelingen nu på den lodrette akse? Hvilken af de to grafiske repræsentationsformer foretrækker du?

prx.dk/mia02

4.1 Regression – bedste rette linje I stedet for blot at tegne en graf fra datapunkt til datapunkt regner vi i nogle situationer med, at der er en lineær sammenhæng mellem de to variable. For at finde en formel skal vi som nævnt anvende en matematisk metode, som vi kalder lineær regression. Overordnet set går metoden ud på at finde en formel for den lineære funktion, der samlet set beskriver forløbet af punkterne i punktplottet bedst muligt.

Træk virksomhederne ind 1 Ticras brug af regression

Se følgende klip fra filmen om TICRA, fra 29.30 til 33.44.

Giv et kort referat af, hvad samtalen mellem Oscar og Casper går ud på. prx.dk/mia03

Lad os med et eksempel illustrere, hvad vi forstår ved bedst muligt. Den dybere matematiske forklaring må vente, til vi har lært differentialregning. Men lineær regression er indbygget i alle matematikprogrammer, og vi kan godt opnå indsigt i metoden allerede nu ved at udnytte de muligheder, som matematikprogrammet tilbyder.

Øvelse 8 Bedste rette linje Når ammoniumnitrat opløses i vand, falder vandets temperatur. Temperaturen er således afhængig af, hvor meget ammoniumnitrat der opløses. I en forsøgsrække benyttes forskellige mængder ammoniumnitrat, der hver gang opløses i 170 g vand. Vandets starttemperatur er 22 °C. Skemaet her viser opløsningens sluttemperatur:

Opløst mængde ammoniumnitrat (g)

5,4

11,2

24,3

29,8

38,1

Opløsningens temperatur (°C)

21,0

16,9

13,6

11,1

6,0

Lad os betegne mængden af ammoniumnitrat med A og opløsningens temperatur med T. Til højre ses en grafisk fremstilling af de fem målepunkter.

a) Tegn selv et tilsvarende punktplot i dit matematikprogram.

i vælger som sagt nu at tro på, at der er V en lineær sammenhæng mellem de to variable, dvs. at grafen for sammenhørende værdier med tilnærmelse er en ret linje.

b) Udnyt programmets muligheder til at tilføje en ret linje, som du kan flytte rundt med, indtil du mener, at den rette linje passer bedst muligt til samtlige datapunkter. Du kan med skydere ”skrue på” a- og b-tallene eller anvende flytbare linjer. Noter dine resultater, sammenlign med dine kammeraters, og er der store forskelle, så prøv at indkredse årsagen. c) Udnyt nu matematikprogrammets muligheder til at udføre lineær regression på datamaterialet. Sammenlign de værdier, modellen har beregnet, med dem, du selv aflæste.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Matematikprogrammet prøver sig naturligvis ikke frem, som du gjorde ovenfor. Der findes en formel for regressionslinjen, og det er den, programmet anvender. Formlen er lidt indviklet, og vi skal have lært differentialregning, før vi kan forstå, hvor formlen kommer fra – og forstå, hvorfor metoden også kaldes for mindste kvadraters metode.

Træk virksomhederne ind 2 3 Shapes brug af regression

Se følgende klip fra filmen om 3Shape, fra 33.32 til 36.43.

a) G iv et kort referat af, hvad samtalen mellem Søren og Anton går ud på.

b) S øren forklarer, at det er principielt samme metode, de anvender, når de sætter billeder sammen. Kan du forklare, hvad han mener hermed.

prx.dk/mia04

Træk virksomhederne ind 3 Et forløb om regression Hent undervisningsmaterialerne til TICRA. Kapitel 6, afsnit 6.1 handler om det datamateriale, der historisk set var udgangspunkt for regressionsmetoden. I afsnittet forklares også, hvorfor metoden fik navnet regression, der betyder tilbageskridt. Afsnittet er et kort styret forløb, der giver ekstra indsigt i metoden. prx.dk/mia05

Øvelse 9 En matematisk regressionsmodel for Danmarks befolkning Vend tilbage til dit punktplot fra øvelse 5, der viser, hvordan befolkningstallet udvikler sig som funktion af antal år efter 2000. Metoden med ”flytbar linje” eller at skrue selv på a- og b-tallene er ret omstændelig, og man kan ikke være sikker på, at man finder den bedste rette linje. a) Benyt i stedet dit matematikprograms faciliteter til at udføre lineær regression på datapunkterne. Du skal få noget, der ligner (afrundet til hele tal): f(x) = 26 929 · x + 5 283 914, hvor x angiver antal år efter 2000, og f(x) angiver befolkningstallet x år efter 2000. Vi siger, at vi har fundet en matematisk model, der beskriver udviklingen i befolkningstallet i Danmark i årene efter 2000. b) Benyt din funktionsforskrift til at beregne befolkningstallet 15 år efter 2000, altså i 2015. Overvej, hvorfor denne værdi ikke stemmer overens med tabelværdien for samme årstal. i vil nu bruge den matematiske model til at forudsige befolkningstallet ud over den V periode, vi har data for. Man siger også, at vi udregner en prognose. c) Hvad bliver befolkningstallet i år 2030 ifølge din model? d) Beregn f(50), og giv en fortolkning af tallet. I de foregående spørgsmål regnede vi frem og fandt nogle bud på y-værdier. Vi kan også med den matematiske model besvare spørgsmål af typen: ”Hvilket år vil Danmarks befolkningstal passere 6,5 mio. mennesker?” e) Spørgsmålet kan løses, ved at man opstiller en ligning. Prøv selv at gøre dette! f ) Løs ligningen ved at anvende en solve-kommando i dit matematikprogram. (Bemærk: Vi vil senere behandle reglerne for løsning af ligninger grundigt). g) Forklar sprogligt, hvad løsningen fortæller om udviklingen i befolkningstallet. Husk på, at x betegner antal år efter 2000.

4.2 Oversættelse fra matematik til almindeligt sprog år vi skal fortælle andre ikke-matematikere om vores matematiske model og især om de N spørgsmål, som modellen kan give svar på, så skal vi kunne oversætte mellem matematisk sprog og almindeligt sprog. Funktionsforskriften er jo matematisk sprog, så vi skal forklare i almindeligt sprog, hvad man kan aflæse af formlen. Vi skal derfor fortælle, hvad x og f(x) betegner, og vi skal forklare, hvordan konstanterne i forskriften skal fortolkes.

Øvelse 10

Hvad fortæller tallene i forskriften?

esvar følgende spørgsmål ved at formulere hele sætninger, som fortæller noget om DanB marks befolkningstal, som er beskrevet ved funktionen f(x) = 26 929 · x + 5 283 914 hvor f(x) betegner befolkningstallet x år efter år 2000. a) Indsæt x = 0 i din funktionsforskrift, dvs. udnyt matematikprogrammet til at udregne f(0). Kan du genfinde tallet i forskriften? b) Hvad fortæller b-tallet så om Danmarks befolkningstal ifølge din model? c) Indsæt x = 1 i din funktionsforskrift, dvs. udnyt matematikprogrammet til at udregne f(1). Hvad får du, hvis du trækker f(0) fra? Kan du genfinde tallet i funktionsforskriften? d) Udregn på samme måde f(5) – f(4) og f(20) – f(19). Kommenter dit resultat. e) Konkluder med en sætning, der fortæller, hvad a-tallet siger om Danmarks befolkningstal ifølge din model? Samtidig med at vi har set en jævn befolkningstilvækst, er Danmarks BNP også vokset. BNP står for bruttonationalprodukt og er det samlede beløb, som et land tjener på alt det, vi producerer og sælger – både varer og tjenester – på ét år. Det er en måde at måle, hvor god en økonomi et land har.

Øvelse 11 prx.dk/mia06

Danmarks BNP 2000-2025

Tabellen nedenfor viser udviklingen i Danmarks BNP i perioden 2000-2025 målt i mia. kr. Den fulde tabel findes på bogens website. Årstal

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

BNP (mia. kr.)

1326

1372,3

1411,5

1438,9

1509,7

1590,1

...

Kilde: Danmarks Statistik (www.statistikbanken.dk)

a) Tegn et punktplot af data i dit matematikprogram – ser det lineært ud? b) Bestem ved regression den bedste lineære model, der beskriver udviklingen i Danmarks BNP som funktion af antal år efter 2000. Du skal få noget, der minder om: g(x) = 61 · x + 1245, hvor g(x) betegner Danmarks BNP (målt i mia. kr.) x år efter 2000. c) Aflæs b-tallet i funktionsforskriften, og forklar sprogligt, hvad tallet fortæller om Danmarks BNP. d) Aflæs a-tallet i funktionsforskriften, og forklar sprogligt, hvad tallet fortæller om Danmarks BNP. e) Benyt din funktionsforskrift, g(x), til at beregne Danmarks BNP i 2020, og sammenlign med tabelværdien – hvorfor er disse to tal ikke ens?

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

f ) Tegn grafen for g. Vi vil nu bruge formelrepræsentationen for den lineære model til at forudsige Damarks BNP ud over den periode, vi har data for. g) Hvad bliver Danmarks BNP i år 2030 ifølge din model? Tjek, at du får det samme ved at aflæse på grafen. h) Benyt ”solve” til at løse ligningen g(x) = 3000, og giv en fortolkning af tallet i relation til Danmarks BNP. Stemmer det overens med grafen? i)

Benyt grafen til at aflæse, hvornår Danmarks BNP overstiger 4000 mia. kr.

Klasseaktivitet

Matematisk analyse af ”signal gennem en kæde af mennesker”

Vi vil undersøge, hvordan et signal kan udbrede sig i en menneskekæde. Dataopsamling:

a) Stil jer i en lukket ring, og hold hinanden i hånden.

b) På signal (fx ”Klar – parat – start”) startes tiden, samtidigt med at der sendes et håndklem videre fra person til person. Den sidste siger ”Stop”, og tiden måles. Gentag tre gange, og tag gennemsnittet. c) Udfør forsøget med mindst 5 forskellige kædelængder (fx 5, 10, 15, 20 og 25 personer), og noter gennemsnitstiden i et skema over sammenhængen mellem kædelængde (n) og signaltid (t, målt i sekunder).

Databehandling:

d) Skriv tabellen ind i dit matematikprogram. e) Tegn et punktplot, der viser signaltider som funktion af kædelængde.

f ) Udfør lineær regression på de indtastede data, og opskriv resultatet af regressionen som en funktion af t. Dvs. n(t) = . . .

g) Hvad fortæller a-tallet i den lineære funktion om nervesignalets vej gennem kæden?

h) Hvilke usikkerheder er der på vores målinger? Vil resultatet blive bedre, hvis undersøgelsen gentages mange gange? i) Hvor lang tid vil signalet være om at gennemløbe en kæde af alle elever på din skole? j) Hvor lang tid vil signalet være om at gennemløbe en kæde af alle mennesker i verden?

4.3 Absolut og relativ afvigelse ntag, at en variabelsammenhæng mellem to variable, x og y, kan beskrives med følgende A lineære model: y = 7,1 · x + 4. Til en bestemt værdi af den uafhængige variabel, x, hører både en forventet y-værdi, beregnet ved modellen, og en observeret y-værdi, fx hentet fra en tabel. Den forventede værdi kaldes også model-værdien. Den observerede værdi kaldes også af og til den sande værdi. vis vi vælger x-værdien x = 1, kan vi beregne den tilhørende forventede værdi ud fra moH dellen: ymodel = 7,1 · 1 + 4 = 11,1. Den observerede værdi er, som vi for eksempel så det med befolkningstallet, ikke nødvendigvis den samme som den forventede. Lad os her antage,

20 at den observerede værdi er: ysand = 10,5. Vi kan nu på to måder bestemme, hvor meget modelværdien afviger fra den sande (observerede) værdi. Den absolutte afvigelse beregnes således: absolut afvigelse = ymodel – ysand = 11,1 – 10,5 = 0,6 odel-værdien kan jo også være mindre end den sande værdi, dvs. den absolutte afvigelse M kan blive et negativt tal. Den relative afvigelse beregnes således

relativ afvigelse =

y model − y sand y sand

11,1 − 10,5 0,6 = = 0,057 10,5 10,5

Omskrevet til procenttal er den relative procentvise afvigelse 5,7 %. m det er en acceptabel eller uacceptabel afvigelse, findes der ikke et fælles svar på. Det O afhænger af konteksten. I atomfysik ville det være helt uacceptabelt, i samfundsfag ville det normalt blive opfattet som acceptabelt. I statistik ligger det lige på grænsen.

Øvelse 12

Absolut og relativ afvigelse i kontekst

I en model for udviklingen i produktionen af en bestemt type bil gælder følgende sammenhæng: f(x) = 13,1 · x + 256 hvor f(x) betegner antallet af producerede biler (målt i tusinde) x år efter 2018. I år 2020 blev der produceret 311 biler af denne bestemte type. a) Bestem den absolutte afvigelse mellem den observerede (sande) værdi og modelværdien i 2020, og forklar, hvad den fortæller. b) Bestem den relative afvigelse mellem den observerede (sande) værdi og modelværdien i 2020, og forklar, hvad den fortæller.

Øvelse 13

Forbrug af jordkloder I en lang periode har vi hvert år brugt mere end én jordklode, forstået på den måde at vi hvert år bruger flere naturlige ressourcer, end jorden kan producere på et år. Nedenstående tabel viser udviklingen i antallet af jordkloder, som vi har brugt hvert år efter 1971. Den fulde tabel findes på bogens website. Vi vil med lineær regression opstille en matematisk model, der kan give os et bud på, hvordan vores forbrug af jordens ressourcer har udviklet sig efter 1971.

Årstal

1971

1973

1975

1977

1979

1981

...

Antal kloder

1,02

1,09

1,10

1,14

1,20

1,13

...

a) Hent data ind i et regneark, og opret en ny kolonne til variablen år efter 1971. prx.dk/mia07

b) Plot tabellens data i dit matematikprogram, og udfør lineær regression.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

c) Opskriv forskriften for din regressionsfunktion – giv den selv et navn. d) Hvor stort var vores forbrug af jordkloder i 2018 ifølge modellen? Og i 2024? Det oplyses, at vores forbrug af jordkloder i 2024 var 1,75. e) Bestem de absolutte og de relative afvigelser mellem det observerede forbrug iflg. tabellen og det forventede forbrug, som din model forudsiger. f ) Diskuter, om det er rimeligt at opstille en lineær model til at forudsige forbruget? g) Diskuter, om det er rimeligt at opstille én samlet model for alle lande. Undersøg selv, hvordan Danmark er placeret – hvor mange jordkloder forbruger vi om året?

4.4 Korrelation og kausalitet Hvis vi finder en lineær afhængighed mellem to variable, siger vi, at de to variable er korrelerede, eller at der er en korrelation mellem de to variable. En positiv korrelation mellem to variable betyder, at en stigning i den ene variabel forudsiger en stigning i den anden variabel. Omvendt betyder en negativ korrelation mellem to variable, at en stigning i den ene variabel forudsiger et fald i den anden variabel. Korrelationer fortæller os ikke umiddelbart noget om årsagssammenhængen mellem de to variable. Vi kan ikke afgøre om en stigning i den ene variabel rent faktisk forårsager en stigning i den anden variabel – eller om det omvendte gør sig gældende. Vi kan heller ikke vide, om den positive korrelation, vi observerer, i virkeligheden skyldes en tredje, bagvedliggende variabel, som vi ikke kender, eller om den observerede korrelation skyldes en ren tilfældighed. Et eksempel på, at der er en tredje, bagvedliggende variabel i spil, ses på figuren. år vi finder korrelation mellem to variable, må vi altså overveje, om der er grund til at N tro, at der rent faktisk findes en årsagssammenhæng (kausalitet) mellem de to variable, herunder hvilken retning kausaliteten har. Fx i en undersøgelse af unges sundhedsvaner og computerbrug, er det da troværdigt at sige, at det er computerbrug, der påvirker sundhedstilstanden blandt unge? Eller kunne man argumentere for, at kausaliteten går den anden vej, og at man i virkeligheden sidder foran computeren, fordi man er i dårlig sundhedstilstand. Eller er der en tredje variabel, der kunne spille ind, og som kan være vigtigere end de to, vi faktisk ser på? I arbejdet med kausalitet har vi ofte brug for at trække på viden fra andre fagområder.

Oplæg til projekt om rygning og sundhed

I dag accepterer de fleste nok, at det er usundt at ryge. Men sådan var det ikke tidligere. Helt op i sidste del af det 20. århundrede var der store diskussioner herom. Der blev gennemført mange undersøgelser, og i en af de mest berømte, fra distriktet Whickham i Newcastle, nåede man frem til, at det var sundt at ryge! På nettet kan man finde mange eksempler på annoncer fra den tid, hvor læger anbefaler bestemte cigaretter, hvis man hoster meget. Men så i perioden 1954-2004 blev der gennemført en omfattende engelsk undersøgelse af sammenhængen mellem rygevaner og levealder, hvis resultater blev pub-

prx.dk/mia1i

Doctors born 1900-1930 Percentage survived from age 35

Øvelse 14

100

91 81

Non-smokers

81 59

58 10 years

Cigarette smokers 26

20 0

4 100

Age (years)

22 liceret i 2004 i en artikel med titlen: Mortality in relation to smoking. 50 years observation on male British doctors. Grafen her er fra denne undersøgelse. Studer grundigt det grafiske billede, og besvar følgende: Hvad er det for variable, der indgår? Ved et blåt punkt står der bare 81. Hvad er de a) prx.dk/mia08

præcise koordinater til dette punkt? b) Se på den blå graf og den røde graf hver for sig. Hvad fortæller disse to grafer? c) Graferne sammenlignes lodret med en stiplet linje. Hvilken information giver denne? Prøv selv at lægge andre lodrette linjer, og undersøg, om det er samme information, du kan trække ud af de andre lodrette sammenligninger. d) Graferne sammenlignes vandret med en dobbeltpil, hvorunder der står ’10 years’. Hvad betyder dette? Prøv selv at lægge en sådan pil ind andre steder. Er det samme information?

prx.dk/mia1j

Hvis du er interesseret i at dykke mere ned i denne diskussion om, hvorvidt rygning er usundt, så kan du her hente nogle materialer, der bla. giver et indtryk af en diskussion mellem to store matematikere/statistikere, der er uenige. Fisher var storryger og argumenterede imod den nævnte undersøgelse, men det er en sober argumentation, som er uden vanskelig matematik.

Træk virksomhederne ind 4 Et forløb om skjulte variable, korrelation og kausalitet Hent undervisningsmaterialerne til Novo-filmen. Afsnit 3.2 handler om skjulte variable, korrelation og kausalitet, og afsnittet indeholder et stort antal både sande og opdigtede små cases som grundlag for en drøftelse i grupper om emnet. Der lægges op til, at man selv konstruerer sådanne opdigtede cases om årsagssammenhænge. prx.dk/mia09

Se også afsnittet fra 2.10 til 8.12 af filmen Statistiske metoder i hverdagsliv.

Her fortæller professor Susanne Ditlevsen bl.a. om typiske fejl i analyse af sammenhænge.

5. Lineær funktion med papir og blyant

Klasseaktivitet

Vingummibamsefabrikantspillet Spillet er et rollespil, der spilles parvist med følgende hjælpemidler: kvadreret papir, blyant, lommeregner, vingummibamser. Spillet går ud på at undersøge betydningen af a og b i en lineær funktion, f(x) = a · x + b, gennem spørgsmål og svar i et pararbejde. En udførlig beskrivelse med arbejdsark ligger klar til brug på bogens website.

prx.dk/mia0a

Vi har tidligere undersøgt betydningen af a og b i en konkret kontekst, og vi vil nu udnytte matematikprogrammets faciliteter til en mere detaljeret undersøgelse af den generelle betydning af a og b. Vi gør brug af et godt undersøgelsesprincip, nemlig variabelkontrol, som betyder, at vi kun skruer på én variabel ad gangen. Når vi ændrer på den ene, så holder vi den anden fast – og omvendt.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 15

Eksperimentel undersøgelse af betydningen af a og b

a) Tegn grafen for f(x) = a · x + b, hvor du anvender skydere for a og b. b) Variabelkontrol: Sæt skyderen for a på 1, og variér skyderen for b. Observér, hvordan grafen flytter sig. c) Formulér en sætning om b’s betydning for grafens forløb, hvor du bruger ordene grafen for f, y-aksen, x er lig med nul, og funktionsværdi i nul. d) Variabelkontrol: Sæt skyderen for b på 1, og variér skyderen for a. Observér, hvordan grafen roterer omkring grafens skæringspunkt med y-aksen. e) Formulér en sætning om a’s betydning for grafens forløb, hvor du bruger ordene grafen for f, stiger/falder/er vandret og a er positiv/negativ/nul. Bemærk, at vi siger om funktionen, at den er voksende/aftagende/konstant, når grafen stiger/falder/er vandret, mens vi bevæger os ud ad den positive del af 1.-aksen. Samlet kalder vi beskrivelsen af grafens forløb for funktionens monotoniforhold. f ) Formulér nu en sætning, hvor du bruger funktionsbetegnelserne, dvs. brug ordene funktionen f og voksende/aftagende/konstant.

5.1 Hældningskoefficient a og konstantled b I en lineær funktion med forskrift f(x) = a · x + b kaldes a-tallet for hældningskoefficienten, og b-tallet kaldes konstantleddet. Vi vil nu se på en mere præcis matematisk betydning af hældningskoefficienten a og konstantleddet b i den lineære funktion f med forskriften f(x) = a · x + b.

Øvelse 16

Betydning af konstantleddet b

lle steder på y-aksen er x = 0. Dette kan vi udnytte til at forklare betydningen af konA stantleddet b i f(x) = a · x + b, hvor y = f(x). a) Sæt x = 0 i funktionsforskriften, og udregn funktionsværdien. b) Benyt resultatet i a) til at argumentere for, at grafen skærer y-aksen netop i det punkt, hvor y = b, dvs. i punktet (0, b). Betydningen af tallet b er altså: Når x-koordinaten er 0, er y-koordinaten lig med b. Vi ser dernæst på hældningskoefficienten a. Vi tager udgangspunkt i et bestemt punkt, P, på grafen for f og betegner koordinaterne for P(x1, y1), hvor y1 = f(x1). Så tager vi et andet punkt på grafen, nemlig det punkt, Q(x2, y2), hvor x-koordinaten er netop 1 større end x1, dvs. x-koordinaten i Q bliver x2 = x1 + 1.

Øvelse 17

Betydning af hældningskoefficienten a

a) Illustrer sammenhængen ovenfor i et koordinatsystem, dvs. tegn en ret linje, markér x-koordinaterne x1 og x2 (som er 1 større end x1) på x-aksen. Afsæt nu de to punkter på linjen, som har koordinatsættene (x1, y1) og (x2, y2). Markér også de to punkters y-koordinater, y1 og y2, på y-aksen. Træk stiplede linjer fra punkterne og vinkelret ud på akserne. Nu skal vi så finde ud af, hvad y-koordinaten y2 i det nye punkt bliver, dvs. vi skal udregne y2 = f(x2), idet vi udnytter, at x2 = x1 + 1.

24 Vi får således: y2 = f(x1 + 1) y2 = a · (x1 + 1) + b b) Omskriv nu højresiden af ligningen ovenfor ved at gange a ind i parentesen – husk at gange ind på begge led. c) Omskriv dit udtryk ved at bytte om på leddene, så du får y2 = a · x1 + b + a. d) Argumenter for, at det betyder, at y2 = y1 + a. e) Benyt resultatet i c) til at argumentere for, at når vi står i et bestemt punkt og lægger 1 til x-koordinaten, så vil det tilsvarende punkt på grafen fremkomme, ved at vi lægger a til y-koordinaten. y

b b

Vi husker, at a kan være positiv, negativ eller nul. Derfor fortæller punkt e) i øvelse 18: • H vis a > 0 (dvs. a er positiv), så vil y-koordinaten blive større, når x-koordinaten bliver større.

apositiv 1 1

• H vis a < 0 (dvs. a er negativ), så vil y-koordinaten blive mindre, når x-koordinaten bliver større.

anegativ

• N år a er nul, vil en større x-koordinat ikke skabe nogen ændring i y-koordinaten (overvej!).

Vi kan illustrere ovenstående lidt mere overskueligt i en funktionstabel for den lineære funktion f med forskriften f(x) = a · x + b, idet vi tager udgangspunkt i, at f(0) = b, og lægger a til, hver gang x vokser med 1, og trækker a fra, hver gang x bliver 1 mindre: x y = f(x)

–3

–2

–1

–3 · a + b

–2 · a + b

–a + b

a+b

2·a+b

3·a+b

Altså: Når x-koordinaten vokser med 1, så ændres y-koordinaten med a.

Øvelse 18

Forklar tabellen

Tag udgangspunkt i x = 0 og y = b markeret med rødt i tabellen ovenfor. a) Hvad sker der, når vi går til højre i tabellen – stemmer det, at vi hver gang får en y-værdi, der er a større end den foregående? Husk, at 2a = a + a osv. b) Hvad sker der, når vi går til venstre i tabellen – stemmer det, at vi hver gang får en y-værdi, der er a mindre end den foregående? c) Fortsæt tabellen i begge retninger: Hvad bliver y-værdien for x = 5? Og for x = 10? Og modsat, for x = –4? Og for x = –8? Når vi regner med tal, er vi indenfor et område af matematik, der kaldes aritmetik. I øvelserne ovenfor regnede vi med bogstaver og ikke med tal. Der har vi bevæget os ind i det område af matematik, der kaldes algebra. Det kan måske i starten virke lidt sværere at regne med bogstaver end med tal. Men fordi bogstaverne kunne være hvad som helst, så gælder udregningerne, vi gennemførte ovenfor, for alle tal. Det illustrerer styrken i algebra. E n sådan viden som den, vi nu har opnået om lineære funktioner, formulerer vi ofte i det, vi på dansk kalder en matematisk sætning. Det er en lidt mærkelig sprogbrug – på fx engelsk kaldes det a mathematical theorem. Det er ikke så let at lave en sprogbrug om, så vi må vænne os til, at vi samler vores viden op således:

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Sætning 1 Betydning af a og b for det grafiske forløb F or den lineære funktion f med forskriften f(x) = a · x + b giver hældningskoefficienten a og konstantleddet b følgende information om grafens forløb: b: Grafen skærer 2.-aksen i punktet (0, b). a: Hvis x-værdien vokser med 1, så vil y-værdien ændre sig med størrelsen a. Er a > 0, dvs. positiv, bliver y-værdien altså større, og vi siger, at funktionen er voksende. Er a < 0, dvs. negativ, bliver y-værdien altså mindre, og vi siger, at funktionen er aftagende. Er a = 0, dvs. nul, vil y-værdien hverken blive større eller mindre, dvs. funktionen er konstant.

Øvelse 19

Konstantled og hældningskoefficient ud fra tabel

I tabellen ses nogle værdier udregnet med forskriften for den lineære funktion f. x

–1

f(x) –5 1 a) Hvad er konstantleddet b? b) Hvad er hældningskoefficienten a?

c) Udfyld de tomme felter i tabellen.

Øvelse 20

Konstantled og hældningskoefficient ud fra forskrift

Angiv konstantled og hældningskoefficient for følgende lineære funktioner: a) f(x) = 7 · x + 23

b) f(x) = 4,7 · x + 6,3

c) f(x) = 0,25 · x

d) f(x) = –2 · x + 5

e) f(x) = x – 8 f ) f(x) = –x + 12 g) f(x) = 15 h) f ( x ) 3 x 8 i) f(x) = 0 4 5

Øvelse 21

Hældningskoefficient beregnet ud fra ændring i x og y y

Vi betegner ofte en ændring i x-værdi med ∆x (delta x) og tilsvarende en ændring i y-værdi med ∆y, som vist på figuren her. Vi ser igen på tabellen fra øvelsen ovenfor, hvor de tomme felter er udfyldt. x

–3

–1

f(x)

–5

–1

y2 ∆y y1

∆x

26 ∆y

a) Hvad er ∆y, når ∆x = 2? Hvad er ∆y, når ∆x = 3? Udregn brøken ∆ x i hvert af de to tilfælde. Hvad ser du? ∆y b) Hvad er ∆x, når ∆y = 4? Hvad er ∆x, når ∆y = 8? Udregn brøken ∆ x i hvert af de to tilfælde. Hvad ser du? ∆y c) Formuler en sætning, der forklarer, hvad brøken ∆ x kan bruges til at beregne, og undersøg, om sammenhængen findes i formelsamlingen. d) Anvend dit svar i c) til at tegne grafen for funktionen med udgangspunkt i grafens skæringspunkt med y-aksen. e) Kontroller din graf ved at vise, at et andet af punkterne i tabellen også ligger på linjen.

Øvelse 22

Konstantled og hældningskoefficient ud fra graf y 4

Her ses graferne for fire lineære funktioner, f, g, h og k.

3 2 1

–5

–4

–3

–2

–1

–2

a) Aflæs konstantled b og hældningskoefficient a for hver af graferne f, g, h og k her, og anvend de aflæste værdier for a og b til at opskrive en forskrift for hver af de fire funktioner f, g, h og k.

–3 –4

Øvelse 23

Grafen for en lineær funktion tegnes ud fra a og b

Tegn i hånden graferne for nedenstående funktioner, idet du udnytter dit kendskab til betydningen af konstantled og hældningskoefficient: a) f(x) = 2 · x + 3

Øvelse 24

b) f(x) = –x + 6

( x ) = 3 x· x +8 2 c) ff(x) 4 5

d) f(x) = 4

Fortolkning af a og b

CO2-indholdet i atmosfæren de senere år kan med god tilnærmelse beskrives ved den lineære funktion f med forskriften f(x) = 2,5 · x + 391,6 hvor f(x) er CO2-indholdet i atmosfæren (målt i ppm) x år efter 2011. a) H vad fortæller tallet 391,6 om CO2-indholdet i atmosfæren?

425

CO2-indhold

420

b) H vor meget vokser CO2-indholdet i atmosfæren pr. år ifølge modellen?

415 410 405 400 395 390 –1 0

År efter 2011

9 10 11 12 13 14

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

6. Regning med lineære funktioner i har tidligere løst opgaver, hvor vi bestemmer y-værdien, når vi kender x-værdien. Dette V kalder vi ”at regne frem”. Vi har også omvendt løst opgaver, hvor vi bestemmer x-værdien ud fra y-værdien, hvilket vi vil kalde ”at regne tilbage”. Vi vil her ved hjælp af eksempler finde ud af, hvad strategien er i hvert af de to tilfælde.

Eksempel: ”Regn frem” i en lineær funktion er er givet den lineære funktion f med forskriften f(x) = 2 · x + 3, og vi ønsker at finde D y-værdien, når x-værdien er x = 4: f (4) = 2 · 4 + 3 f (4) = 8 + 3 f (4) = 11 D vs. når x = 4, så er y = 11: Punktet (4, 11) ligger på den rette linje, der er graf for f.

Eksempel: ”Regn tilbage” i en lineær funktion er er givet den lineære funktion f med forskriften f(x) = 2 · x + 3, og vi D ønsker at løse ligningen f(x) = 9: f(x) = 9 2 · x + 3 = 9 2 · x = 6

x= 6 =3 2

Vi indsætter regneforskriften Vi trækker 3 fra på begge sider Vi dividerer med 2 på begge sider og udregner brøken

D vs. når y = 9, så er x = 3: punktet (3, 9) ligger på den rette linje, der er graf for f.

Øvelse 25

Funktionsforskrift og funktionsværdier

Den lineære funktion f har forskriften f(x) = –3 · x + 5. a) Udregn f (4), og forklar, hvad resultatet fortæller om grafen for f. b) Løs ligningen f(x) = 32, og forklar, hvad resultatet fortæller om grafen for f.

Øvelse 26

Funktionsforskrift – grafens skæring med akserne

Den lineære funktion f har forskriften f(x) = 4 · x – 20. a) Udregn f(0), og forklar, at svaret er y-koordinaten i grafens skæringspunkt med 2.-aksen. b) Brug forskriften for f til at beregne x-koordinaten i grafens skæringspunkt med 1.-aksen.

6.1 S kæring mellem graferne for to lineære funktioner Øvelse 27 Problemløsning – hvilken kaffeleverandør skal caféen vælge? En café skal købe kaffe i poser med 1 kg og får tilbud fra to leverandører. Den samlede pris hos leverandør A kan beskrives med funktionen f(x) = 64x + 255 hvor f(x) er den samlede pris (i kr.) for x kg kaffe (inklusive levering).

28 a) Giv en fortolkning af tallene 64 og 250 i forskriften. b) Hvor meget koster det at købe 10 kg kaffe hos leverandør A? Hos leverandør B koster kaffen 70 kr. pr. kg, mens der ikke skal betales leveringsgebyr. Sammenhængen mellem den samlede pris og mængden af kaffe hos leverandør B kan beskrives ved en funktion, g(x), hvor g(x) er den samlede pris (i kr.) for x kg kaffe. c) Opskriv en forskrift for funktionen g(x). Begrund dit svar. d) Løs ligningen f(x) = g(x), og forklar, hvad ligningen og dens løsning fortæller. e) Tegn graferne for f(x) og g(x) i det samme koordinatsystem, og kontrollér dit svar i d). f ) Hvor mange kg kaffe skal man købe, før leverandør A er den billigste? Som øvelsen ovenfor viser, så kan skæring mellem rette linjer anvendes i problemløsning, her i forbindelse med hvilken kaffe en café bør vælge, afhængigt af den mængde kaffe, caféen har brug for. Her så vi på to lineære funktioner, f(x) = a · x + b og g(x) = c · x + d, hvor tallet d dog var nul. Vi vil nu se på det generelle tilfælde, hvor vi er interesserede i at bestemme skæringspunktet mellem graferne for de to lineære funktioner f og g, dvs. det ene punkt, S(x, y), der ligger på begge de rette linjer (hvis linjerne skærer hinanden). Dette problem kan vi løse ved at løse ligningen: f(x) = g(x) a·x+b=c·x+d hvor venstre side af ligningen er forskriften for den lineære funktion f(x), og højre side af ligningen er forskriften for den lineære funktion g(x). Når vi løser ligningen, så svarer det til, at vi beregner x-værdien for S(x, y). For at finde skæringspunktet skal vi efterfølgende bestemme den tilhørende y-værdi.

Eksempel: Skæringspunkt mellem graferne for to lineære funktioner Der er givet de to lineære funktioner f og g, som har forskrifterne f(x) = 2 · x + 3 og g(x) = –3 · x – 7 Vi løser ligningen: f(x) = g(x) 2 · x + 3 = –3 · x – 7 Vi indsætter regneforskrifterne. 5 · x + 3 = –7 Vi lægger 3 · x til på begge sider. 5 · x = –10 Vi trækker 3 fra på begge sider. −10 x= = –2 Vi dividerer med 5 på begge sider og 5 reducerer brøken. Dvs. når x = –2, så har de to funktioner samme y-værdi, men hvilken? Det skal vi beregne ved at regne frem, dvs. ved at indsætte den fundne x-værdi, x = –2, i en af de to funktionsforskrifter – ligegyldigt hvilken (overvej!). Vi vælger at indsætte x = –2 i g(x): g(–2) = –3 · (–2) – 7 g(–2) = 6 – 7

Vi reducerer i første led på højre side.

g(–2) = –1 Vi reducerer højre side. og det betyder, at når y = –1, så er x-værdien i de to funktioner den samme, nemlig x = –2. Alt i alt har vi altså fundet ud af, at punktet (–2, –1) ligger på både den rette linje, der er graf

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

for f, og på den rette linje, der er graf for g, altså må punktet (–2, –1) være skæringspunktet mellem de to grafer. Overvej: Hvorfor giver det mening, at vi ovenfor taler om skæringspunktet (altså bestemt form), når der er tale om to grafer, der begge er rette linjer?

Øvelse 28

Vil graferne for to lineære funktioner altid skære hinanden?

a) På hvilke måder kan to rette linjer ligge i forhold til hinanden? Tegn eksempler. b) Hvis to linjer er parallelle, hvad gælder der så om deres hældningskoefficienter og konstantled? c) Hvis to linjer er sammenfaldende (dvs. de ligger oveni hinanden), hvad gælder der så om deres hældningskoefficienter og konstantled? Øvelsen viser, at vi ved bestemmelse af skæringspunkt mellem graferne for to lineære funktioner, dvs. mellem to rette linjer, altid først bør undersøge og konstatere, at de ikke er parallelle (eller sammenfaldende).

Øvelse 29

Parallelle eller sammenfaldende grafer?

Der er givet følgende 6 lineære funktioner f1(x) = 2x – 4

f2(x) = – 12 x + 5 4

f3(x) = 6 x + 8 3

f5(x) = – 82 x – 9 f6(x) = –4x – 21 7 3

f4(x) = –3x + 6 a) Hvilke af disse lineære funktioner har parallelle grafer? b) Hvilke af disse lineære funktioner har sammenfaldende grafer?

7. Formler, der fastlægger grafen for en lineær funktion Vi har givet to punkter, P1(x1, y1) og P2(x2, y2), hvor x1 ≠ x2, og tegner linjen gennem de to.

Øvelse 30

Linjen som graf for en lineær funktion

a) Hvordan ville linjen ligge, hvis vi tillod x1 = x2? Linjen gennem de to punkter er graf for en lineær funktion, f(x) = a · x + b. Vi ønsker at bestemme formler for hældningskoefficient a og konstantled b. Metoden nedenfor er et eksempel på at løse to ligninger med to ubekendte. Da punkterne ligger på grafen, må der gælde: f(x2) = y2 og f(x1) = y1, eller opskrevet som et ligningssystem: a · x2 + b = y2 a · x1 + b = y1

Klasseaktivitet

Formel for a og b i f(x) = a · x + b ud fra to punkter på grafen for f (I arbejder her to og to) a) Du skal nu skrive forklaringer til de nedenstående omskrivninger af ligningssystemet ovenfor. Du skal skrive dine kommentarer i et skema som det nedenfor.

a · x2 + b = y2 a · x1 + b = y1

Husk, at det er a og b, der er de ukendte, mens vi kender x’erne og y’erne.

(a · x2 + b) – (a · x1 + b) = y2 – y1 a · x2 + b – a · x1 – b = y2 – y1 a · x2 – a · x1 + b – b = y2 – y1 a · x2 – a · x1 = y2 – y1 a · (x2 – x1) = y2 – y1 a ( x 2 x1 ) ( x 2 x1 )

y2 ( x2

y1 x1 )

y −y

a = x 2 − x1 2

Når nu vi kender linjens hældning, så mangler vi bare at lægge linjen fast i ét bestemt punkt i koordinatsystemet. Vi har jo allerede to punkter, P1(x1, y1) og P2(x2, y2), på linjen. b) Vælg P1(x1, y1), og fortsæt med at forklare omskrivningerne herunder: a · x1 + b = y1

Husk, at nu kender vi a, kun b er ukendt.

b = y1 – a · x1 c) Byt dit udfyldte skema med en kammerat, idet du folder siden, så kun forklaringerne er synlige. Kan din kammerat følge dine forklaringer og skrive beviset linje for linje med formler? Kontrollér jeres udledning af begge formler med hinanden. Vi samler resultatet af udledningen af de to formler i en sætning, som vi således har bevist:

Sætning 2

To-punkts-formlen

Hvis grafen for den lineære funktion f med forskriften f(x) = a · x + b går gennem punkterne P1(x1, y1) og P2(x2, y2), kan hældningskoefficienten a og konstantleddet b beregnes med formlerne: a=

y 2 − y1 ∆y = og x 2 − x1 ∆x

b = y1 – a · x1

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Læg mærke til, at:

Tælleren i to-punkts-formlen er ændringen i y-værdien: ∆y = y2 – y1. Nævneren i to-punkts-formlen er ændringen i x-værdien: ∆x = x2 – x1. Så formlen kan skrives:

y2 ∆y = y2 – y1 y1

∆x = x2 – x1

y −y ∆y a= 2 1 = x 2 − x1 ∆x

som vist på figuren her.

t udtrykke hældningskoefficienten på den måde kan være nyttigt i hurtige aflæsninger, A og vi vil senere få brug for notationen i forbindelse med mere avancerede emner.

Øvelse 31

Bestemmelse af a og b ud fra sætningen om to-punkts-formlen

Grafen for den lineære funktion f (x) = a · x + b går gennem punkterne P(2, 18) og Q(5, 27). a) Benyt sætning 2 til at beregne a-tallet. b) Benyt sætning 2 til at beregne b-tallet.

Øvelse 32

Parallelle grafer – bestemmelse af a og b

Grafen for den lineære funktion f(x) = a · x + b går gennem punktet P(0, 4) og har hældningskoefficienten a = 2. a) Angiv b-tallet, og opskriv en forskrift for f. Grafen for en lineær funktion, g, er parallel med grafen for f, og det oplyses, at g(0) = –3. b) Opskriv en forskrift for g. Grafen for en tredje lineær funktion, h, er også parallel med grafen for f, og går gennem punktet Q(6, 3). c) Beregn b-tallet, og opskriv en forskrift for h.

Klasseaktivitet

Tarsia – puslespil om lineære funktioner Tarsia er en slags puslespil, hvor man skal matche brikker, der passer sammen. Det kan fx være en brik med en funktion som f(x) = 2x + 3 og en anden brik med teksten ”Hældningskoefficient 2” eller ”Skæring med y-aksen i P(0, 3)”. Når alle brikkerne er sat rigtigt sammen, danner de en figur – fx en stor sekskant. Til aktiviteten ligger et Tarsia-spil til repetition af lineære funktioner klar bag QR-koden.

prx.dk/mia0b

8. Projekter Projekt 1.1: Modellering af CO₂-udviklingen i atmosfæren prx.dk/mia0c

Mauna Loa Observatory, Hawaii, USA

Graf med måledata fra observatoriet

I dette projekt stiller vi spørgsmålet: Kan udviklingen af CO₂-indholdet i atmosfæren beskrives med lineære modeller? Med udgangspunkt i aktuelle data opstiller vi en matematisk model og analyserer dens kvalitet gennem grafiske repræsentationer af data og fortolkning af modellens parametre. Vi undersøger, hvordan lineære funktioner kan bruges til at beskrive og forudsige udviklingen i CO₂-koncentrationen i atmosfæren. Desuden tester vi modellens fremskrivninger og diskuterer, hvor pålidelig en lineær model egentlig er i en kompleks virkelighed.

Projekt 1.2: Udbud og efterspørgsel prx.dk/mia0d

Her undersøger vi en økonomisk sammenhæng ved hjælp af lineære funktioner. Vi opstiller modeller for udbud og efterspørgsel, bestemmer forskrifter, tegner grafer og analyserer sammenhængene. Vi finder ligevægtspunktet, hvor udbud og efterspørgsel er i balance, og undersøger hvad der sker, når prisen ændres. Undervejs arbejder vi både med beregninger og fortolkninger af, hvad resultaterne betyder i praksis, og diskuterer til sidst, hvor realistisk den lineære model er. Tanken om, at man kan styre økonomien gennem krisetider ved at staten påvirker udbud og efterspørgsel stammer C* fra John Maynard Keynes (1883-1946) i The General theory C0 of Employment, Interest and Money fra 1936.

C (Efterspørgsel) Y=C

C = C0 + c · Y

Y (Produktion)

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

9. Opsamling Efter at have været igennem kapitel 1, skal du kunne følgende: • forklare, hvad der forstås ved begreberne afhængig og uafhængig variabel • beskrive, hvordan et koordinatsystem er opbygget, og være i sand til at afsætte og aflæse punkter

• forklare de fire repræsentationsformer for en funktion og oversætte mellem dem • opskrive forskriften for en lineær funktion • forklare, hvordan hældningskoefficienten a og konstantleddet b bestemmer grafens forløb • regne "frem" og "tilbage" med lineære funktioner • beregne forskriften for en lineær funktion, dvs a-tallet og b-tallet ud fra to givne punkter på grafen • forklare, hvad der forstås ved lineær regression, og udføre det på et talmateriale • forklare, hvad vi i matematik forstår ved en matematisk model

Links

• forklare forskellen mellem korrelation og kausalitet

Øvelser Scan QR-koden for at komme til facitlisten til kapitlets øvelser.

prx.dk/mia0e

Opgaver

Du finder opgaver til dette kapitel i webbogen. Scan QR-koden for at komme til opgaverne.

Scan QR-koden for at komme til facitlisten til opgaverne.

prx.dk/mia0f

prx.dk/mia0g

BESKRIVENDE STATISTIK

I dette kapitel vil vi arbejde med relevante begreber og metoder til bearbejdning af statistisk datamateriale. Metoderne er forskellige, alt efter om observationerne i datasættet består af enkeltstående værdier, fx hele tal (ugrupperede observationer), eller observationsværdierne er samlet i intervaller (grupperede observationer).

1. Ugrupperede observationer Vi fokuserer i første omgang på ugrupperede observationer, dvs. data bestående af enkeltobservationer. Vi starter med et spil.

Klasseaktivitet

Befri fangerne Spillet spilles i par, hvor I er hinandens modstandere.

prx.dk/mia0h

Materialer: 2 terninger, en spilleplade med 11 øer nummeret fra 2 til 12 (kan hentes via QR-koden) og 19 ’venner’ til hver spiller (fx legoklodser, papirkugler og clips, el. lign). Spillets idé: Du og din modstander har hver især fået taget jeres 19 ’venner’ til fange, og spillet går ud på at befri jeres ’venner’. Den, der først har befriet alle sine venner, har vundet spillet. Spillet spilles i to runder, som beskrevet nedenfor.

• Runde A: a) Fordel jeres egne venner på de 11 øer. I bestemmer selv, hvor mange venner, der placeres på hver ø. b) S lå på skift med de to terninger, og find øjensummen (øjnene lægges sammen). Hvis du fx slår 5 og 1, så er summen 6. Hvis du har venner fanget på ø nr. 6, så må du befri én af disse, dvs. du fjerner en ’ven’ fra ø nr. 6.

• Runde B:

B rug jeres erfaring fra spil A. Placér igen jeres ’venner’ på øerne, og spil spillet igen.

• Strategi:

Diskuter, hvad der er en god vinderstrategi for placering af brikkerne.

2. Beskrivende statistik

I øvelsen ovenfor spillede I Befri fangerne lidt ud fra en intuitiv forståelse af, hvilke øer det er smartest at placere flest henholdsvis færrest ’venner’ på. Det viser sig, at den valgte strategi er ret afgørende for, om man vinder spillet. Det må betyde, at der ved kast med to terninger formodentligt ikke er samme chance for få de mulige øjensummer 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Vi vil nu benytte statistik til at undersøge formodningen nærmere.

1.1 Analyse af datasæt bestående af enkeltobservationer Fra grundskolen kender vi allerede en række relevante statiske begreber og diagrammer. Begreberne kalder vi under ét for de statistiske deskriptorer, der giver os information om datasættet, og diagrammerne anvendes til at visualisere datasættet og finde mønstre i fordelingen af observationerne. I det følgende vil vi arbejde med 50 terningekast knyttet til Befri fangerne som eksempel, og i relation hertil indføre de relevante statistiske deskriptorer og diagrammer.

Statistikbegreber fra grundskolen

a) Skriv på papir de statistik-ord ned, du kan huske fra grundskolen. b) Sammen med en makker skal I nu på skift udfordre hinanden på statistik-ord:

u forklarer et af dine ord, som din makker så skal gætte – herefter byttes roller, D indtil alle jeres ord er forklaret.

c) Kontrollér jeres statistik-ord i formelsamlingen fra grundskolen, som du kan hente via QR-koden – er der nogen begreber I har glemt?

Klasseaktivitet

prx.dk/mia0i

1.2 Statistiske deskriptorer – kvartiler og middelværdi Nedenfor ses resultatet af 50 kast med to terninger, hvor øjensummen af de to terninger i hvert kast er noteret: 2 8 7 9 8 7 9 4 3 8 6 8 7 7 8 4 10 4 10 6 4 10 7 10 10 9 2 6 6 11 5 9 8 12 7 2 5 3 5 3 3 9 3 4 3 5 7 5 9 6 Gennem analyse af dette resultat vil vi indføre en række begreber, der anvendes til at beskrive og analysere en samling data fra et eksperiment eller en undersøgelse.

Eksempel: Sortering, kvartilsæt og spredning af observationer i datasættet For at få overblik over kastene sorterer vi disse efter stigende sum: 222333333444445555566666777 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 12 Resultatet af hvert kast kalder vi en observation, alle de enkelte observationer til sammen kaldes datasættet, mens antallet af observationer kaldes datasættets størrelse. Datasættes størrelse er altså her 50, fordi vi har foretaget 50 kast. Vi kan nummerere alle observationer fra 1 til 50, så det er nemt at henvise til, hvilken observation vi taler om. Vi ser, at den mindste observation (observation nr. 1) er 2, mens den største observation er 12 (observation nr. 50).

36 Den midterste observation, når datasættet er sorteret, kaldes medianen (eller 2. kvartil). Medianen er her mellem observation nr. 25 og nr. 26. Disse observationer, som vi tæller os frem til fra venstre nedenfor, er begge 7. 2223333334444455555666667777777 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 12 Hvis der er forskel på de to værdier, bestemmes medianen som gennemsnittet af de to observationer, som vi kan beregne ved: 7 +2 7 = 7 . Udover medianen benyttes også nedre kvartil og øvre kvartil, hvor nedre kvartil er den midterste observation blandt de observationer, der ligger under medianen. Vi tæller som før, og da der er 25 observationer under medianen, findes nedre kvartil som observation nr. 13: 2223333334444455555666667 Nedre kvartil er altså 4. Tilsvarende er øvre kvartil midterste observation blandt observationerne over medianen. Det er altså observation nr. 13, når vi kun kigger på observationerne over medianen eller observation nr. 25 + nr. 13, dvs. nr. 38, hvis alle observationer medtages. 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11 12 Øvre kvartil er altså 9. Ofte benyttes betegnelsen kvartilsæt om en samlet angivelse af de tre kvartiler, som i dette tilfælde er (4, 7, 9). Vi bruger også betegnelsen det udvidede kvartilsæt, når vi udvider kvartilsættet med den mindste og den største observation, som i dette tilfælde så er (2, 4, 7, 9, 12). Hvis vi vil udtale os om, hvor stort et interval observationerne i datasættet spreder sig over, bruger vi begreberne variationsbredde (VB) og kvartilbredde (KB). Variationsbredden angiver forskellen mellem største og mindste værdi, som her er VB = 12 – 2 = 10. Efter samme princip angiver kvartilbredden forskellen mellem øvre og nedre kvartil, som her er KB = 9 – 4 = 5. Disse begreber siger noget om spredningen i data. Vi samler alle de begreber, vi anvender, herunder.

Definition

Statistiske deskriptorer

Datasæt Alle de givne observationer x1, x2, . . . , xn Datasættets størrelse, n

Antal observationer i datasættet

Mindste værdi, min Største værdi, max

Den mindste observation Den største observation

Typetal

Den observation, som forekommer flest gange

Median, m

Den midterste værdi, når observationerne er sorteret

Nedre kvartil, Q1 Øvre kvartil, Q3

Den midterste værdi af observationerne under medianen Den midterste værdi af observationerne over medianen

Kvartilsæt (Q1, m, Q3) Udvidet kvartilsæt (min, Q1, m, Q3, max) Variationsbredde

VB = max – min

Kvartilbredde KB = Q3 – Q1

2. Beskrivende statistik

Øvelse 1

Befri fangerne på egne data

Kast 20 gange med to terninger, og noter for hvert kast øjensummen. a) Benyt resultatet af de 20 kast til at bestemme de statistiske deskriptorer, som blev præsenteret i eksemplet og rammen ovenfor. b) Gem resultatet af de 20 kast og de fundne deskriptorer, da vi skal arbejde videre med disse data senere.

1.3 Grafisk repræsentation – Søjlediagram og boksplot Eksempel: Søjlediagram Vi kan grafisk illustrere, hvordan observationerne fordeler sig, og på den måde få overblik og opdage eventuelle mønstre, som ikke træder lige så tydeligt frem, når vi blot arbejder med datasættet. Et søjlediagram er en grafisk præsentation af hele datasættet opdelt efter de værdier, som observationerne antager, dvs. her 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 og 12. Tallene på 2. aksen kalder vi også hyppigheder. Havde vi kastet 50 gange, kunne søjlediagrammet se således ud. Vi kan fx aflæse, at hyppigheden for summen 6 er 5, dvs. summen 6 forekommer 5 gange i de 50 kast.

Øvelse 2

Hyppighed 7 6 5 4 3 2 1 0

10 11 12

Øjensum

10 11 12

Øjensum

Typetal

Af søjlediagrammet fremgår det tydeligt, hvordan antallet af observationer fordeler sig på hver at de aktuelle observationsværdier. Specielt kan vi aflæse typetallet, dvs. den eller de observationsværdi(er), der optræder flest gange. a) Hvilken værdi er er der tale om i datasættet vist i søjlediagrammet ovenfor? b) Hvad var svaret, hvis 7 kun var kommet ud 5 gange, mens 11 var kommet ud 3 gange? c) Hvilke(t) typetal finder du i dit eget datasæt?

Eksempel: Boksplot Observationerne kan også illustreres i et boksplot. Boksplottet er en grafisk præsentation af det udvidede kvartilsæt, som jo var (2, 4, 7, 9, 12). Mellem to lodrette nabolinjestykker ligger 25 % af observationerne. Den blå boks illustrerer kvartilbredden, og den indeholder derfor de midterste 50 % af observationerne.

3 2 1 1

Praxis: Tegning af søjlediagram Et søjlediagram tegnes således:

Hyppighed

1. Tegn et koordinatsystem, og afsæt observationsværdierne på 1.-aksen. Husk korrekt akseinddeling. 2. Markér tal på 2.-aksen, der kan vise antallet af observationer for hver værdi. 3. Tæl antallet af observationer med samme værdi, og tegn et lodret linjestykke i koordinatsystemet over 1.-aksen i den tilhørende værdi, således at søjlehøjden viser antallet af observationer for den aktuelle værdi.

Observationsværdier

38 Praxis: Tegning af boksplot Et boksplot tegnes således: 1. Find det udvidede kvartilsæt. 3

3. Afsæt fem lodrette linjestykker (over talaksen) svarende til tallene i det udvidede kvartilsæt. 4. Tegn ’boksen’ mellem nedre (Q1) og øvre kvartil (Q3).

1 min

2. Tegn en talakse med talangivelser og pil.

max

Observationsværdier

Øvelse 3

5. Tegn de vandrette linjestykker fra ’boksen’ ud til mindste (min) henholdsvis største værdi (max).

Befri fangerne på egne data

Find resultatet af dine 20 kast med to terninger fra øvelse 1 frem igen. a) Tegn det tilhørende søjlediagram. b) Tegn det tilhørende boksplot. Hvis vi ønsker at undersøge, om to grupper adskiller sig væsentligt i en given sammenhæng, er boksplot et effektivt værktøj. Et boksplot giver et hurtigt overblik over kvartiler, ekstreme værdier samt spredning i datasæt (kvartilbredde og variationsbredde). Dermed kan vi på en overskuelig måde visualisere forskelle og ligheder mellem to grupper.

Eksempel: Sammenligning af datasæt ud fra boksplot E n optælling af skonumre for et antal piger og drenge er illustreret i disse to boksplot. Vi skal anvende de to boksplot til at begrunde, at drengene generelt har et højere skonummer end pigerne. I en besvarelse kunne vi fremhæve følgende: • Pigernes skonumre varierer fra 34 til 43, dvs. variationsbredden er 9, mens drengenes skonumre varierer fra 38 til 46, dvs. variationsbredden er 8. Drengenes skonumre varierer altså mindre end pigernes. • Kvartilsættet for pigernes skonumre er (37, 38, 40), så kvartilbredden (de midterste 50 %) er 40 – 37 = 3. Kvartilsættet for drengenes skonumre er (40, 42, 43), så kvartilbredden er altså den samme som for pigerne, nemlig 43 – 40 = 3.

Piger

Drenge

Skonummer

• P igernes median er 38, mens drengenes median er 42. Drengenes median er således 4 skonumre større end pigernes median. • 50 % af pigerne har et skonummer, der er mindre end eller lig med det mindste skonummer blandt drengene. • 75 % af drengene har et skonummer på 40 eller højere, mens dette kun gælder for 25 % af pigerne.

Øvelse 4

Sammenligning af datasæt ud fra boksplots

Piger Drenge

ml O2/min/kg

En gymnasieklasse har gennemført en konditest i idræt. Konditallet siger noget om, hvor effektivt kroppen optager og bruger ilt under fysisk aktivitet, og det bruges ofte som mål for kondition. Til venstre er der angivet to boksplot, der beskriver fordelingen af kondital (målt i ml O₂/min/kg) for henholdsvis piger og drenge i klassen.

2. Beskrivende statistik

a) Benyt relevante statistiske deskriptorer til at sammenligne kondital for drenge og piger. b) For hver af følgende påstande skal du argumentere for, om den er korrekt eller forkert: • Klassens kondital varierer samlet set mellem 39 og 59. • 25 % af pigerne har et kondital, der er højere end konditallet for de 25 % af drengene med de lavestekondital. • Forskellen på de to køns højeste kondital er over 10.

1.4 Middelværdi, varians og spredning Vi indfører yderligere tre deskriptorer, som kan give mere information om, hvordan observationerne i datasættet fordeler sig. Skal vi beskrive et datasæt med brug af kun én enkelt værdi, så skal vi finde en værdi, der udtrykker en form for balance i datasættet, forstået på den måde, at der er en vis grad af symmetri omkring denne værdi. Vi kan fx bruge medianen, fordi den som den midterste værdi jo fortæller, at halvdelen af de observationerne er mindre, og den anden halvdel er større end medianen. Men hvis observationerne ligger meget spredt og langt væk fra medianen på den ene side og meget tæt og tæt på medianen på den anden side, så vil medianen ikke være et godt balancepunkt for datasættet, fordi de observationer, der ligger langt væk fra medianen, vil ’veje tungere’ end dem, der ligger tæt på medianen. Vi har derfor brug for en anden værdi, der er mere robust overfor uens spredning i et datasæt.

Eksempel: Middelværdi for et datasæt Vi arbejder videre med datasættet fra afsnit 1.3 (øjensum ved 50 kast med to terninger): Øjensum

Antal

Ved middelværdien eller gennemsnittet for et datasæt forstår vi det tal, der fås, ved at lægge alle observationer sammen og dividere med antallet af observationer: 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + . . . + 10 + 10 + 11 + 12 323 323 ⋅ 2 646 = = = = 6, 46 50 50 50 ⋅ 2 100

Bemærk, at vi for at lette udregningen ganger med 2 i tæller og nævner, så vi nemmere kan beregne resultatet uden brug af matematikprogram. Vi har tidligere fundet medianen til at være 7, og da observationsværdierne løber fra 2 til 12, så er afvigelsen på 7 – 6,46 = 0,54 relativt lille. Da middelværdi og median er så tæt på hinanden, så vil de begge være rimelige balancepunkter for vores datasæt.

Definition

Middelværdi for et datasæt

For datasættet x1, x2, . . . , xn beskrives middelværdien ved: Middelværdi, x =

x1 + x 2 + . . . + x n n

Øvelse 5

Middelværdi versus median

Bestem median og middelværdi for følgende to datasæt: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 100, 500, 1000 c) H vilken af de to værdier, median og middelværdi, beskriver (balancerer) datasættet bedst i hvert af de to datasæt?

40 Eksempel: Varians og spredning Hvis vi vil undersøge, hvor langt observationerne ligger fra middelværdien, anvender vi datasættets spredning, som betegnes σ (”sigma”). Sædvanligvis udregnes først datasættets varians (Var). Spredningen beregnes derefter som kvadratroden af variansen. Vi arbejder videre med datasættet i sidste eksempel. Beregningerne er lidt komplicerede, så vi vil samle beregningernes enkeltdele i en tabel, så det bliver mere overskueligt. Du kan her med fordel anvende et regneark. Vi skriver observationerne og middelværdien ind i tabellen som vist nedenfor. Så udregner vi forskellen mellem observationsværdi og middelværdi og sætter denne forskel i anden (vi kalder det ’at kvadrere’ forskellen). Observationsværdi

Middelværdi

Observationsværdi minus middelværdi

Forskellen kvadreret (sæt forskellen i anden)

6,46

(2 – 6,46)

(2 – 6,46)2

6,46

(2 – 6,46)

(2 – 6,46)2

…

6,46

(11 – 6,46)

(11 – 6,46)2

6,46

(12 – 6,46)

(12 – 6,46)2

Vi har nu for hver observation udregnet tallet (observationsværdi – middelværdi)2. Variansen er gennemsnittet af alle disse tal, dvs. (med udregning i et matematikprogram): Var =

(2 − 6, 46) + (2 − 6, 46) + . . . + (11 − 6, 46) + (12 − 6, 46) = 0,137 50

Spredningen er defineret som kvadratroden af variansen: σ = Var = 0,137 = 0,37 Spredningen er et mål for, hvor spredte observationerne i datasættet er. Det er svært at udtale sig om en konkret spredning er stor eller lille, men hvis man fx har to undersøgelser af samme type, så kan spredningen anvendes til at udtale sig om i hvilken af de to undersøgelser, data samlet set er placeret tættest på middelværdien.

Definition

Varians og spredning for et datasæt

For datasættet x1, x2, . . . , xn beskrives varians og spredning ved: Varians, Var =

( x1 − x ) + ( x 2 − x ) + . . . + ( x n − x ) n

Spredning, σ = Var = 0,137 = 0,37

Øvelse 6

Varians og spredning

a) Bestem varians og spredning for følgende to datasæt: {2, 4, 6, 8, 10} {1, 3, 5, 7, 9} b) Hvad observerer du?

2. Beskrivende statistik

Øvelse 7

Befri fangerne på egne data

Opret i et regneark en tabel som den ovenfor, og læg dine egne resultater fra de 20 kast ind i første kolonne. Benyt så regnearkets faciliteter til at udføre beregningerne. a) Bestem de statistiske deskriptorer middelværdi, varians og spredning. b) Sammenlign dit svar med svarene i eksemplerne ovenfor og med resultaterne fra de øvrige i klassen. c) Hvorfor får du og de øvrige i klassen ikke det samme?

1.5 Analyse af ugrupperede observationer samlet i tabel Når man har mange observationer, bliver det hurtigt uoverskueligt, hvis alle observationer skal opskrives på række. I stedet bestemmes hyppigheden, dvs. antallet af hver observation, og hyppighederne samler vi i en tabel.

Eksempel: Tabel over hyppigheder og kumulerede hyppigheder Nedenfor ses en tabel over Befri fangerne, hvor de mulige observationers værdi er angivet i første række. I rækken hyppighed angiver vi sammentællingerne af, hvor mange gange hver observationsværdi faktisk indtraf i de 50 kast, vi udførte med de to terninger. Observationsværdi

Hyppighed

Kumuleret hyppighed

I den sidste række (kumuleret hyppighed) er hyppighederne lagt sammen. Fx betyder tallet 24 i søjlen ved observationsværdi 6, at 24 af observationerne havde en sum på 6 eller derunder. Samtidig kan vi i sidste kolonne aflæse, at der i alt er kastet 50 gange.

Øvelse 8

Aflæsning af de statistiske deskriptorer

Selvom observationerne er anbragt i en tabel, kan vi som ovenfor stadig bestemme de statistiske deskriptorer. a) Repeter definitionen på, hvad typetallet er, og bestem værdien ud fra tabellen. b) Bestem minimum og maksimum af observationsværdierne. c) Forklar, hvordan tabellen kan bruges til at bestemme medianen samt nedre og øvre kvartil. d) Angiv det udvidede kvartilsæt, og bestem variationsbredde og kvartilbredde.

Eksempel: Frekvenser Der er ofte mere overskueligt at angive, hvor mange procent af observationerne, der hører til hver observation, end at angive hyppighederne. Disse procenter kaldes frekvenser. Frekvensen for hver observationsværdi udregnes ved at dividere hyppigheden med det samlede antal observationer. Som eksempel på udregning af en frekvens, ser vi på observationsværdi 6. Her er hyppigheden 5, dvs. frekvensen bliver 5 = 0,1 i decimaltal, dvs. i procent: 0,1 · 100 % = 10 % 50

Dette resultat betyder, at 10 % af de 50 kast viser øjensum 6.

42 Øvelse 9

Tabel over frekvenser og kumulerede frekvenser

Kumuleret frekvens beregnes efter samme princip som kumuleret hyppighed, hvor det blot er frekvenserne, som løbende lægges sammen. Den kumulerede frekvens ved 12 skal være 100 %, fordi vi her har alle med. a) I tabellen her, har vi udfyldt første kolonne. Du skal nu selv udfylde resten: Observationsværdi

Hyppigheder

Kumuleret hyppighed

Frekvens

0,06

Kumuleret frekvens

0,06

Frekvens i %

Kumuleret frekvens i % 6 b) A flæs kvartilsættet ud fra tabellen således: I hvilke intervaller i rækken med de kumulerede frekvenser er 25 %, 50 % henholdsvis 75 % placeret. Du skal naturligvis igen få kvartilsættet (4, 7, 9), som vi fandt i afsnit 1.2. c) Konstruer et søjlediagram ved at benytte frekvenser i procent. Bemærk, at søjlediagrammet her og det vi tegnede i afsnit 1.3 vil se ens ud, hvis vi benytter en inddeling af 2. aksen, hvor frekvensen netop svarer til hyppigheden (overvej dette)! d) Repeter, hvordan middelværdien er defineret, og forklar, at den også kan beregnes således: 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5 + 7 ⋅ 7 + 8 ⋅ 6 + 9 ⋅ 6 + 10 ⋅ 5 + 11 ⋅ 1 + 12 ⋅ 1 323 = = 6, 46 50 50

e) Forklar endelig - ved hjælp af nogle af de brøkregler, du har lært i grundskolen – at middelværdien også kan bestemmes ud fra frekvenserne således: 2⋅

3 6 5 5 5 7 6 6 5 1 1 323 +3⋅ +4⋅ +5⋅ +6⋅ +7⋅ +8⋅ +9⋅ + 10 ⋅ + ⋅ 11 + 12 ⋅ = = 6, 46 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50

eller med frekvenserne angivet som decimaltal således: 2 · 0,06 + 3 ·0,12 + 4 · 0,10 + 5 · 0,10 + 6 · 0,10 + 7 · 0,14 + 8 · 0,12 + 9 · 0,12 + 10 · 0,10 + 11 · 0,02 + 12 · 0,02 = 6,46

Praksis: Observationer samlet i tabel Observationsværdi

...

Hyppighed

...

Kumuleret hyppighed

h1 + h2

...

h1 + h2 + . . . + hn = n

Frekvens

f1 = n1

f2 = n2

...

fn = nn

Kumuleret frekvens

F1 = f1

F2 = f1 + f2

...

Fn = f1 + f2 + . . . + fn = 1

Frekvens i %

f1 · 100 %

f2 · 100 %

...

fn · 100 %

Kumuleret frekvens i %

F1 · 100 %

F2 · 100 %

...

Fn · 100 %

x + x + ... + x

h1 ⋅ o1 + h2 ⋅ o2 + . . . + hn ⋅ on n x1 + x 2 + . . . + x n x == f1 · o1 +nf2 · o2 + . . . + fn · on

1 2 n Middelværdi, x ,=beregnet med hyppighed: x= n

x + x + ... + x

1 2 n Middelværdi, x ,=beregnet med frekvens: n

2. Beskrivende statistik

Øvelse 10

Befri fangerne på egne data i tabelform

a) Udfyld en tabel som nedenstående med resultaterne fra dine egne kast. Observationsværdi

Hyppigheder Kumuleret hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens Frekvens i % Kumuleret frekvens i %

b) Aflæs kvartilsættet via tabellen. c) Tegn søjlediagrammet, hvor du anvender frekvensen i % som enhed på 2. aksen. d) Benyt hyppighed eller frekvens fra tabellen til at bestemme middelværdien for dine 20 kast. e) H vis du skulle spille Befri fangerne igen, hvor mange ’venner’ ville du så placere på hver af de 11 øer?

Klasseaktivitet

Befri fangerne med forbedret strategi I denne aktivitet skal du spille Befri fangerne igen, men mod nye modstandere, så find en ny modstander. Benyt den strategi, du fandt frem til i øvelsen ovenfor.

Klasseaktivitet

Træne statistiske deskriptorer Klassen deles op i grupper på fx 3 eller 4. Hver gruppe sidder omkring et bord med en lille ting, fx et viskelæder, i midten. I skal konkurrere om, hvor godt I kan huske betydningen af de statistiske deskriptorer, som er angivet på den stak sedler, jeres lærer har lagt foran jer i gruppen. I tager på skift en seddel. På sedlerne står et statistisk begreb. Den, der har sedlen, skal forklare begrebet uden at bruge navnet. Begrebet skal derefter gættes af de andre i gruppen. Når en af jer mener at have gættet begrebet, tager vedkommende viskelæderet og siger, hvad begrebet er. Hvis svaret er korrekt, får eleven et point, er det forkert mistes et point. Derefter tager den næste en seddel osv.

Øvelse 11

Analyse ud fra enkeltobservationer

10 personer er blevet spurgt om hvor mange stykker frugt de har spist den sidste uge. Herunder ses, hvad de 10 personer har svaret. 6, 2, 3, 3, 7, 8, 8, 4, 1, 2 a) Opskriv data i rækkefølge sorteret fra mindst til størst, og bestem kvartilsættet.

b) Bestem middelværdien, og forklar betydningen af tallet. c) H vor mange procent af de 10 personer har spist mindre end 5 stykker frugt sidste uge? d) Tegn et søjlediagram over antal spiste frugter i sidste uge for de 10 personer.

Øvelse 12

Analyse ud fra søjlediagram

I en undersøgelse har man spurgt 50 elever på et gymnasium, hvor mange dage de cyklede i skole i sidste uge. Figuren viser et søjlediagram over resultatet: a) Udfyld en tabel som den i øvelse 10.

Hyppighed 18 16 14 12 10 8 6 4 2

b) Bestem det udvidede kvartilsæt.

c) Tegn det tilhørende boksplot.

d) Bestem middelværdien, og forklar, hvad tallet fortæller om elevernes cykelmønster. e) H vor mange procent af gymnasieeleverne cyklede i skole færre end to dage i sidste uge? f ) H vor mange procent af gymnasieeleverne cyklede i skole tre eller flere dage i sidste uge?

Dage på cykel i skole

Lav spørgsmål til hinanden

Klasseaktivitet

Parvis aktivitet: Hvert par får udleveret data hørende til en konkret undersøgelse.

a) F ormuler 5 relevante spørgsmål, der kan besvares ud fra en analyse af data. Bemærk: I skal også selv besvare spørgsmålene, dvs. I skal udforme en facitliste.

b) S kriv jeres spørgsmål på arket med de udleverede data, og aflevér det til jeres lærer.

c) I får dernæst udleveret materialet med tilhørende spørgsmål, som et andet par har udformet. Besvar spørgsmålene.

2. Grupperede observationer Når man henter store datamaterialer fx fra Danmarks Statistik, eller når vi selv laver en større undersøgelse med mange forskellige mulige observationer, så vil vi normalt gruppere data. Som et eksempel på behandling af et større datamateriale ser vi på data fra en fiktiv undersøgelse på et Gymnasium A, hvor man har undersøgt, hvor meget tid 1000 elever bruger på sociale medier på en almindelig hverdag. Vi har valgt denne fiktive undersøgelse for at gøre beregningerne overskuelige, så vi kan holde fokus på de begreber og metoder, vi vil indføre. I projekterne sidst i kapitlet vender vi os mod realistiske data, som behandles med et matematikprogram.

2.1 Intervalopdeling af data Resultatet af vores undersøgelse ses i tabellen nedenfor, hvor observationerne, dvs. de 1000 elevers individuelle tidsforbrug på sociale medier, er talt op og angivet som hyppigheder i intervaller. Der er således 196 ud af de 1000 elever, der dagligt bruger mellem 30 og 60 minutter på sociale medier, dvs. hyppigheden svarende til intervallet 30-60 er 196.

2. Beskrivende statistik

Tidsforbrug (min)

[0; 30[

[30; 60[

[60; 90[

[90; 120[

[120; 150[

[150; 180[

I alt

Intervalhyppighed

196

311

251

106

1000

Når vi arbejder med grupperede data, så vil vi altid antage, at intervallerne er åbne i højre endepunkt og lukkede i venstre endepunkt, dvs. intervallet fra 30 til 60, vil vi skrive med intervalklammer som [30; 60[. Det betyder, at en elev, der bruger 30 minutter og op til 60 minutter om dagen på sociale medier vil optræde i dette interval. Der findes ikke en internationalt vedtagen konvention om, hvordan man opdeler et interval. Nogle vælger at åbne til venstre, dvs intervallet ville være ]30; 60]. Det giver problemer i starten, for hvilket interval skal 0 være med i? Vi følger her Danmarks Statistiks valg, hvor de i en årstalsinddeling ikke bruger intervalklammer, men skriver: 0-9, 10-19, 20-29, … . Det betyder, at en person der er 19 år og 364 dage er med i 10-19. Han/hun er jo stadig 19 år.

2.2 Hyppighed og frekvens for intervaller Vi vil undersøge data med brug af nogle af de begreber, der blev introduceret i afsnittet om ugrupperede data, nemlig frekvens og kumuleret frekvens, som vi kan benytte til at visualisere data med histogram og sumkurve. Vi kan også bestemme deskriptorerne middelværdi, kvartiler og fraktiler for grupperede data, dog er metoderne lidt anderledes her end ved ugrupperede data.

Eksempel: Beregning af intervalfrekvens I vores undersøgelse kan vi kontrollere, at det totale antal observationer er 1000 ved at lægge alle intervalhyppighederne sammen: 87 + 196 + 311 + 251 + 106 + 49 = 1000 Som eksempel på udregning af en intervalfrekvens, ser vi på intervallet [60; 90[. Her er hyppigheden 311, dvs. frekvensen bliver 311 = 0,311 0,311, dvs. 0,311 · 100 % = 31,1 % 1000

Dette resultat betyder, at 31,1 % af eleverne bruger 60 minutter eller mere og op til 90 minutter om dagen på sociale medier.

Øvelse 13

Udfyld resten af tabellen

I tabellen her har vi indskrevet det, som vi udregnede ovenfor. Du kan hente et ikke-udfyldt skema at skrive i via QR-koden. Udregn nu på samme måde de øvrige intervalfrekvenser. prx.dk/mia0j

Tidsforbrug (min)

[0; 30[

[30; 60[

[60; 90[

[90; 120[

[120; 150[

[150; 180[

I alt

Intervalhyppighed

196

311

251

106

1000

Intervalfrekvens

0,311

Intervalfrekvens i %

31,1

100

Tjek dine resultater med facitlisten.

46 Øvelse 14

Beregning af intervalfrekvens

På Gymnasium B har de lavet samme undersøgelse, men fået disse resultater: Tidsforbrug (min)

[0; 30[

[30; 60[

[60; 90[

[90; 120[

[120; 150[

[150; 180[

Intervalhyppighed

100

200

300

250

100

a) Skriv tabellen over i dit hæfte. b) Udregn det totale antal elever i undersøgelsen. c) Beregn intervalfrekvenserne (decimaltal og procent), og tilføj svarene til din tabel. d) H vad fortæller frekvensen for intervallet [60; 90[ om elevernes daglige tidsforbrug på sociale medier? e) H vor stor en andel i datasættet bruger over 120 og op til 150 minutter dagligt på sociale medier?

2.3 Grafisk repræsentation – histogram Vi har overfor præsenteret data i en tabel, men som regel er det lettere at se mønstre, når vi præsenterer datasættet grafisk. Det kan fx være i form af et histogram. Her bliver antallet af observationer (eller procentandelen af observationerne) i det pågældende interval repræsenteret af arealet af en søjle i koordinatsystemet, tegnet over intervallet.

Eksempel: Tegn et histogram F or datasættet fra Gymnasium A (se ovenfor) får vi histogrammet for intervalfrekvens som vist her. Førsteaksen er opdelt efter tidsforbruget med delestreger svarende til intervalgrænserne 0, 30, 60, . . ., 180. f histogrammet over intervalfrekvenserne kan vi A aflæse, at over 50 % af eleverne har et tidsforbrug på 1-2 timer, fordi når vi lægger de to blokke for intervallerne [60; 90[ og [90; 120[ sammen (ovenpå hinanden), så får vi over 50 %.

Intervalfrekvens (%) 35 30 25 20 15 10 5 0

120

150

180

Tidsforbrug (min)

i kan faktisk også afgøre i hvilket interval medianen ligger, fordi vi ved, at medianen V deler datasættet i to lige store dele, så vi skal blot lægge blokkene fra venstre sammen, indtil vi når 50 % eller mere. I vores datasæt ligger medianen således i intervallet [60; 90[. Lige som for ugrupperede datasæt kan vi for grupperede datasæt angive typeintervallet, dvs. det interval, som indeholder flest observationer. I histogrammerne ovenfor er det tydeligt, at typeintervallet er [60; 90[, hvilket betyder, at et forbrug på 1-1,5 timer dagligt på sociale medier er det mest typiske.

Praxis: Tegning af et histogram • E t histogram tegnes i et koordinatsystem, hvor intervalendepunkterne er afsat på førsteaksen, så intervallets venstre endepunkt markerer starten på en blok. • H istogrammet består af blokke, dvs. rektangler, tegnet over hvert af de observationsintervaller, som datasættet er grupperet i. • Blokkens bredde svarer til bredden af det tilsvarende interval på 1. aksen. • N år intervalbredden er den samme i alle intervaller, så vil blokkens højde repræsenterer intervalfrekvensen (andelen af observationer i intervallet). Alternativt vil blokkens areal beskrive intervalfrekvensen.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 15

Tegn histogram

Her skal du arbejde videre med data fra Gymnasium B. a) Tegn histogrammet efter strategien beskrevet ovenfor. b) Aflæs ud fra histogrammet, hvor stor en andel af eleverne i dit datasæt, der har et tidsforbrug på 1-2 timer? c) I hvilket interval ligger medianen i dit datasæt? d) Hvad er typeintervallet? Forklar med ord hvad dette betyder.

Eksempel: Billetsalg pr. film i en biograf En biograf har undersøgt, hvor mange billetter der sælges til hver forestilling. Histogrammet her viser fordelingen af billetsalg for alle forestillinger i løbet af en måned.

I modsætning til de tidligere viste histogrammer har intervallerne her forskellig længde. Arealet af hver blok angiver intervalfrekvensen i det aktuelle interval, idet arealet er angivet ud fra måleenhedskvadratet svarende til 5 %, som vist øverst til højre.

Ved hjælp af histogrammet kan vi optælle antal måleenhedskvadrater i hvert interval og opstille en tabel med intervalfrekvensen for hvert interval.

100

125

[0; 25[

[25; 75[

[75; 100[

[100; 150[

[150; 200[

Intervalfrekvens (%)

15 %

20 %

25 %

30 %

10 %

Ved at se på histogram og tabel kan det fx udledes, at der til: • 15 % af forestillingerne blev solgt mellem 0 og 25 billetter. • 35 % (15 % + 20 %) af forestillingerne blev solgt 75 eller færre billetter. • 40 % (30 % + 10 %) af forestillingerne blev solgt 100 eller flere billetter.

Aflæsning af histogram med forskellig intervallængde

E n ansat i zoo påstår: “De fleste af vores gæster er her under 1 time." Derfor igangsætter ledelsen i zoo en undersøgelse, hvis resultat ses i histogrammet. a) Giv en vurdering af, om påstanden er korrekt. b) Opstil en tabel som den nedenfor, hvor du på histogrammet aflæser intervalbredde og frekvens i procent ud fra blokarealet (målt i kvadrater á 10 %): Interval (antal)

[0; 30[

175

200

Antal solgte billetter

Interval (antal)

Øvelse 16

150

10 %

osv.

120 150

Besøgslængde (min)

Intervalfrekvens (%)

c) Hvor stor en andel af de besøgende var i haven i mindre end 30 minutter? d) Hvor stor en andel af de besøgende var i haven i mindst 90 minutter?

48 Øvelse 17

Tegning af histogram med forskellig intervallængde

Et energiselskab har undersøgt det månedlige elforbrug i familiehuse. Forbruget (i kWh pr. måned) er opgjort i intervaller som vist i tabellen nedenfor: Interval (kWh) Intervalfrekvens (%)

[0; 100[

[100; 200[

[200; 500[

[500; 600[

Bemærk, at intervallerne har forskellig længde. a) Forklar hvorfor blokkene for intervallerne [200; 500[ og [500; 600[ bliver lige høje. b) Angiv det måleenhedskvadrat, der skal være enheden i dit histogram. c) Tegn histogrammet, hvor intervalendepunkterne angives på 1. aksen. d) Hvor stor en andel af familiehusene bruger over 200 kWh pr. måned?

2.4 Skøn over middelværdi for grupperede datasæt Tidligere har vi beskrevet middelværdi for et ugrupperet datasæt. Det samme vil vi gerne kunne gøre med store datasæt, hvor materialet er præsenteret i form af grupperede observationer. Da vi ikke kender den eksakte fordeling af observationsværdierne i intervallerne, kan vi ikke lave en præcis udregning. Men vi kan komme med et kvalificeret skøn, da vi trods alt ved en hel del om tidsforbruget. Et sådant skøn bygger på nogle antagelser.

Eksempel: Beregning af middelværdi Når vi fx skal danne os et skøn over middelværdien for elevernes daglige tidsforbrug på sociale medier på Gymnasium A, antager vi, at observationsværdierne i hvert af intervallerne ligger symmetrisk fordelt omkring intervalmidtpunktet. Fx vil vi antage, at de 251 elever, der bruger over 90 minutter og op til og med 120 minutter, vil fordele sig jævnt omkring et tidsforbrug på 90 +2120 == 105 105 minutter, svarende til, at de 251 elever dagligt bruger gennemsnitligt 105 minutter på sociale medier. Vi finder derfor det samlede tidsforbrug for alle de 1000 elever ved at gange intervalmidtpunktet med intervalhyppigheden. Vi tilføjer derfor en række til tabellen, hvori vi beregner intervalmidtpunktet. Tidsforbrug (min)

[0; 30[

[30; 60[

[60; 90[

[90; 120[

[120; 150[

[150; 180[

Intervalmidtpunkt

105

135

165

Intervalhyppighed

196

311

251

106

Intervalfrekvens

0,087

0,196

0,311

0,251

0,106

0,049

Intervalfrekvens i %

8,7

19,6

31,1

25,1

10,6

4,9

Med det samlede elevtal på 1000 får vi et skøn over middelværdien med beregningen: Det samlede tidsforbrug 15 ⋅ 50 + 45 ⋅ 100 + 75 ⋅ 200 + 105 ⋅ 300 + 135 ⋅ 250 + 165 ⋅ 100 102000 = 102 = = 102 Det samlede antal 1000 1000

Dvs. en elev i vores datasæt bruger dagligt i gennemsnit 102 minutter på sociale medier. Metoden er således stort set den samme, som den metode vi brugte for ugrupperede observationer, idet vi her blot bruger intervalmidtpunktet. Som vi så under ugrupperede observationer, kan vi også blot udregne middelværdien direkte ud fra frekvenserne, som for vores datasæt ser således ud, hvor vi udregner tallet med et matematikprogram: Middelværdi = 15 ⋅ 0,087 + 45 ⋅ 0,196 + 75 ⋅ 0,311 + 105 ⋅ 0,251 + 135 ⋅ 0,106 + 165 ⋅ 0,049 = 102 102 Når vi regner med papir og blyant, så er den første metode, hvor vi anvender hyppighederne, ofte nemmere at regne på, fordi man slipper for at skulle gange med decimaltal.

2. Beskrivende statistik

Definition

Middelværdien for grupperede observationer M ⋅h +M ⋅h +...+M ⋅h

2 2 k k Middelværdien, M ,=for 1et 1datasæt, der er givet som grupperede observationer, inddelt i n k intervaller, kan udregnes som et vægtet gennemsnit ud fra følgende to formler, hvor M’erne er midtpunkterne i intervallerne:

Formel 1: M =

M1 ⋅ h1 + M2 ⋅ h2 + . . . + Mk ⋅ hk , n

hvor h1, h2, . . . , hk er hyppighederne, og n er det samlede antal observationer M ⋅h +M ⋅h +...+M ⋅h n

2 2 k k Formel 2: M = M11 · f11 + M 2 · f2 + . . . + Mk · fk ,

hvor f1, f2, . . . , fk er frekvenserne i de enkelte intervaller, angivet som decimaltal.

Øvelse 18

Beregn Middelværdi

Beregn middelværdien for datasættet fra Gymnasium B efter følgende strategi: a) Tilføj en række til din tabel, hvori du udregner midtpunkterne i intervallerne. b) Beregn det samlede antal elever i undersøgelsen. c) Beregn det samlede tidsforbrug, og beregn middelværdien som vist ovenfor – vælg selv metode 1 eller 2.

2.5 Grafisk repræsentation – Sumkurve Skal vi danne et skøn over, hvordan tidsforbruget som helhed fordeler sig i intervallerne, er det for groft at samle observationerne i midtpunkterne for de enkelte intervaller. Her skal vi i stedet udnytte antagelsen om, at observationerne indenfor de enkelte intervaller er jævnt fordelt.

Eksempel: Beregning af de kumulerede intervalfrekvenser Vi udbygger nu tabellen over tidsforbruget for eleverne på Gymnasium A med en række bestående af de kumulerede intervalfrekvenser. Vi beregner de kumulerede intervalfrekvenser efter samme metode, som vi tidligere gjorde med ugrupperede data. Fx bliver den kumulerede frekvens i vores datasæt for intervallet [60; 90[: 8,7 + 19,6 + 31,1 = 59,4, svarende til, at 59,4 % af eleverne bruger 90 minutter eller mindre om dagen på sociale medier. Tidsforbrug (min)

[0; 30[

[30; 60[

[60; 90[

[90; 120[

[120; 150[

[150; 180[

Intervalhyppighed

196

311

251

106

Intervalfrekvens

0,087

0,196

0,311

0,251

0,106

0,049

Kumuleret intervalfrekvens

0,087

0,283

0,594

0,845

0,951

100

Intervalfrekvens i %

8,7

19,6

31,1

25,1

10,6

4,9

Kumuleret intervalfrekvens (%)

8,7

28,3

59,4

84,5

95,1

100

Af de kumulerede frekvenser kan vi aflæse kvartilerne, fx at nedre kvartil må ligge i intervallet [30; 60[, fordi vi er nået over 25 % af observationerne. Tilsvarende kan vi se, at øvre kvartil ligger i intervallet [90; 120[, fordi vi her er nået over 75 % af observationerne, altså over øvre kvartil.

Øvelse 19

Kumulerede frekvenser

Du skal igen regne videre på datasættet fra Gymnasium B. a) Tilføj en kolonne til din tabel, hvori du udregner de kumulerede intervalfrekvenser i dit datasæt. b) Hvor stor en andel af eleverne bruger over 150 minutter om dagen på sociale medier? c) Giv en fortolkning af den kumulerede frekvens for intervallet [90; 120[. d) I hvilket interval finder du nedre kvartil i dit datasæt? I hvilket interval finder du øvre kvartil? Og hvor ligger medianen?

Eksempel: Tegn en sumkurve I forbindelse med grupperede data kan vi jo ikke tælle os frem til, hvor kvartilerne og medianen præcist ligger, men vi kan bestemme værdierne grafisk ved hjælp af en sumkurve. Her vil vi ligesom ved beregning af middelværdien antage, at observationerne er jævnt fordelt i hvert af intervallerne, så vi kan illustrere fordelingen med et linjestykke hen over intervallet.

Kumuleret intervalfrekvens (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

120

150

180

Tidsforbrug (min)

For vores datasæt får vi en sumkurve, som vist på figuren, hvor 1.-aksen er opdelt efter tidsforbruget med delestreger svarende til intervalgrænserne 0, 30, 60, . . . , 180, og de kumulerede frekvenser er angivet på 2.-aksen (lodret over det højre intervalendepunkt).

Praxis: Tegning af sumkurve En sumkurve tegnes ud fra de kumulerede frekvenser og de højre intervalendepunkter efter følgende strategi: • Tegn et koordinatsystem, hvor du indretter akserne, så observationsintervallerne Kumuleret intervalfrekvens (%) 100 angives på 1.-aksen, hvor akseinddelin90 gen svarer til intervalgrænserne, og de 80 70 kumulerede frekvenser angives på 2.-ak60 sen, hvor akseinddelingen er fx 10 %. 50 40 • Afsæt punkter svarende til (højre ende30 20 punkt, kumuleret frekvens), dvs. højre 10 endepunkt er 1.-koordinaten og den kuObservationsværdier mulerede frekvens er 2.-koordinaten. • Tegn linjestykker mellem nabopunkterne, idet du begynder i første intervals venstre endepunkt på 1.-aksen. Sædvanligvis fortsættes ud over det sidste interval med et vandret linjestykke for at markere, at vi har nået 100 % i det sidste interval, som vist ovenfor.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 20

Tegn sumkurve

Du skal igen arbejde videre med datasættet fra Gymnasium B. a) Tegn sumkurven for dit datasæt efter ovenstående strategi.

2.6 Median, kvartiler og fraktiler for grupperede datasæt På sumkurven kan vi aflæse punkters koordinater, som vi normalt gør på en graf for en funktion. Hvis vi på sumkurven her kender x-koordinaten (her x1), så kan vi aflæse den tilhørende y-koordinat (her y1) ved at gå lodret op til kurven og vandret ud til y-aksen. Tilsvarende omvendt, hvis vi kender y-koordinaten (her y2), så kan vi gå vandret ud til kurven og lodret ned på x-aksen og aflæse x-koordinaten (her x2).

Kumuleret intervalfrekvens (%) y2

y1 x1

Observationsværdier

Eksempel: Aflæsning af kvartiler og kvartilsæt på sumkurve På sumkurven over vores datasæt kan vi aflæse kvartilerne: Nedre kvartil: Vi aflæser nedre kvartil til ca. 53. Det betyder, at:

• 25 % af eleverne bruger dagligt 53 minutter eller mindre på sociale medier • 75 % af eleverne bruger over 53 minutter dagligt på sociale medier.

Medianen: Medianen aflæser vi til ca. 81. Det betyder, at:

Kumuleret intervalfrekvens (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

120

150

180

Tidsforbrug (min)

• 50 % af eleverne bruger dagligt 81 minutter eller derunder på sociale medier. • 50 % af eleverne bruger dagligt over 81 minutter på sociale medier. Øvre kvartil: Vi aflæser øvre kvartil til ca. 108 minutter. Det betyder, at: • 75 % af eleverne dagligt bruger ca. 108 minutter eller mindre på sociale medier • 25 % af eleverne bruger over 108 minutter dagligt på sociale medier.

Eksempel: Aflæsning af fraktiler på sumkurve Vi kan også bruge sumkurven til at besvare spørgsmål om fraktiler, dvs. x-værdier, der svarer til en kumuleret frekvens, som ikke er en kvartil men en anden procentandel. Vi kan fx med 80 %-fraktilen besvare spørgsmål af typen:

Kumuleret intervalfrekvens (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

”Hvor stort et dagligt tidsforbrug har de 20 % af eleverne, der bruger mest tid dagligt på sociale medier?” 0 30 60 Ved 80 % på y-aksen, finder vi 115 på x-aksen, dvs. de 20 %, der dagligt bruger mest tid på sociale medier, bruger over 115 og op til 180 minutter.

120

150

180

Tidsforbrug (min)

Omvendt kan vi også besvare spørgsmål af typen: ”Hvor stor en andel af eleverne bruger dagligt højst 100 minutter på sociale medier?”. Ved 100 på x-aksen, finder vi på y-aksen, at svaret er 68 %, hvilket jo så også betyder, at 100 % – 68 % = 32 % af eleverne bruger dagligt mere end 100 minutter. Fra histogrammet ved vi, at typeintervallet er [90; 120[, dvs. der er flest observationer i dette interval. På sumkurven svarer det til, at linjestykket, der dækker intervallet [90; 120[ er det stejleste. Det er altså netop det af alle linjestykker, der har den største hældningskoefficient, som giver os typeintervallet.

Øvelse 21

Aflæs fraktiler og kvartiler

Vend tilbage til din sumkurve fra øvelse 20 (sumkurven over data fra Gymnasium B). Benyt sumkurven til at besvare følgende spørgsmål: a) Hvad er nedre kvartil for dit datasæt? Forklar med ord, hvad tallet fortæller. b) Aflæs medianen, og giv en fortolkning af tallet. c) Udfyld den tomme plads i følgende sætning: ”75 % af eleverne bruger ___ minutter eller mindre dagligt på sociale medier. d) H vad er den kumulerede frekvens hørende til et tidsforbrug på 65 minutter? Forklar betydningen i forhold til elevernes daglige tidsforbrug på sociale medier. e) Aflæs 60 %-fraktilen, og gøre rede for tallets betydning. f ) Hvilket af dine intervaller indeholder flest observationer? Forklar, hvordan du afgør dette.

Klasseaktivitet

10 spørgsmål til professoren Parvist skal I besvare 10 spørgsmål, der samler op på de statistiske begreber, der knytter sig til grupperede datasæt. På et bord lægges en bunke med spørgsmål, hvorfra I trækker ét spørgsmål ad gangen.

I får udleveret et svarark, hvorpå I skal angive jeres svar på de 10 spørgsmål. Svarene på spørgsmålene finder I ved en af de poster, som jeres lærer har hængt op, og til hver svarmulighed er der knyttet et bestemt bogstav. Svarbogstavet hørende til de korrekte svar noteres ud for det aktuelle

2. Beskrivende statistik

spørgsmål på svararket. Når I har besvaret et spørgsmål, lægger I det tilbage i bunken, og I trækker herefter et nyt spørgsmål. Hvis I trækker et spørgsmål, som I allerede har besvaret, så trækker I et nyt. Når alle spørgsmål er besvaret, har I 10 bogstaver, der tilsammen danner to ord – hvilke?

Øvelse 22

Hundehøjder

Kumuleret intervalfrekvens (%)

En hundeklub har målt højderne (cm) på en stor gruppe hunde og resultaterne er samlet i sumkurven nedenfor.

100

a) H vor høj skal en hund mindst være for at høre til blandt de 25 % højeste i gruppen?

b) En af hundeejerne påstår, at ”de fleste hunde er omkring 50 cm høje”. Undersøg, om det virker rimeligt.

Hundeklubben overvejer at oprette en ekstra konkurrenceklasse for små hunde under 45 cm.

Hundehøjde (cm)

c) H vor stor en del af hundene vil høre til i denne nye klasse? d) Afgør for hver påstand, om den er korrekt eller forkert, og begrund svaret ud fra sumkurven. • E n hund på 45 cm er højere end 50 % af hundene i gruppen. • O ver 20 % af hundene er meget små, dvs. under 40 cm høje.

Øvelse 23

Statistik over lektielæsning

På et lille gymnasium har man spurgt 200 elever i 1g, hvor lang tid (målt i minutter) de gennemsnitligt bruger på lektier om dagen. Resultatet fremgår af tabellen. Lektielæsning (min)

]0; 30]

]30; 60]

]60; 75]

]75; 120]

Hyppighed

105

a) Beregn frekvenser og kumulerede frekvenser for hvert af intervallerne i tabellen. b) Tegn en sumkurve over lektielæsningstiden. c) Bestem nedre kvartil, og forklar, hvad tallet betyder. d) Hvor stor en andel af eleverne bruger dagligt mere end 80 minutter på lektielæsning? e) Bestem middelværdien, og forklar, hvad den fortæller om elevernes lektielæsningstid. f ) Tegn et histogram over lektielæsningstiden.

3. Projekter og ressourcer Projekt 2.1: Håndtering af store datasæt - case fra Novo Nordisk prx.dk/mia0k

Insulin anvendes i behandling af sukkersyge og er således livsnødvendigt for mange mennesker. Raske personer producerer insulin, som styrer kroppens optag af glukose. Når man ikke producerer nok insulin, får man for høje glukoseniveauer i blodet, og det fører til forskellige ubehagelige følgevirkninger, hvis det står på over længere tid. Man kan registrere, hvor god en behandling er, ved at måle på mængden af stoffet HbA1c i blodet. Dette er nemlig en målestok for, hvor højt blodsukkerniveau man har. Hvordan kan vi nu ved hjælp af statistik afgøre, om en behandling virker, og yderligere hvilken af to behandlinger, der er bedst? I dette projekt arbejder vi med autentiske data fra Novo Nordisk og analyserer effekten af to insulinbehandlinger på patienters HbA1c-niveau. Det datasæt, vi anvender, er det gennemgående materiale i filmen Matematikken bag udvikling af ny medicin hos Novo Nordisk, som vi starter med at se.

Kumuleret frekvens (%) 100 80 60 40 20 5

Behandling

HbA1c (%)

Ved brug af histogrammer, sumkurver og statistiske deskriptorer undersøger vi, om behand-lingerne bringer patienternes langtidsblodsukker under en bestemt grænseværdi, som er målet for en vellykket behandling, og vurderer hvilken behandling der er mest effektiv.

Projekt 2.2: Titanics forlis - en statistisk analyse prx.dk/mia0l

Luksuslineren Titanic gik ned i april 1912 på sin jomfrurejse fra Europa til USA. Den var bygget så den ikke kunne synke, og den fulgte en rute, hvor der aldrig var observeret isbjerge af den størrelse, der endte med at blive skibets og de ombord værendes skæbne. Havde alle ombord på Titanic samme chance for at overleve – eller spillede passagerernes baggrund en rolle? I dette projekt analyserer vi data om passagerernes klasse og skæbne og undersøger, hvordan faktorer som sociale forhold, køn og alder påvirkede chancen for at overleve. Ved hjælp af tabeller, procentberegninger og diagrammer arbejder vi med kategoriske data og får indsigt i, hvordan statistik kan bruges til at afdække mønstre i historiske begivenheder.

2. Beskrivende statistik

4. Opsamling Efter at have været igennem kapitel 2, skal du kunne følgende: • forklare forskellen mellem ugrupperede og grupperede data

For ugrupperede data:

• bestemme og fortolke typetal, median og kvartiler

• bestemme variationsbredde og kvartilbredde og forklare deres betydning • tegne et boksplot ud fra data og fortolke et givet boksplot

• beregne og fortolke middelværdien af et talmateriale

• beregne varians og spredning af et talmateriale

• tegne og fortolke søjlediagrammer For grupperede data:

• opstille og aflæse tabeller med hyppigheder og frekvenser

• beregne intervalfrekvenser og tegne histogrammer for grupperede data • tegne sumkurve for grupperede data

• give et skøn over middelværdien for grupperede data

• bestemme median, kvartiler og fraktiler for grupperede data ved hjælp af sumkurve

Links

Øvelser Scan QR-koden for at komme til facitlisten til kapitlets øvelser.

prx.dk/mia0o

Opgaver

Du finder opgaver til dette kapitel i webbogen. Scan QR-koden for at komme til opgaverne.

Scan QR-koden for at komme til facitlisten til opgaverne.

prx.dk/mia0p

prx.dk/mia0q

PROCENT- OG RENTESREGNING

1. Regning med procenter Procenter indgår i vores dagligdag, når vi shopper på nettet eller i indkøbscentre – men de fylder også meget i nyhedsformidlingen, uanset om det handler om økonomi, politik eller sundhedsspørgsmål. Så man er nødt til at have styr på procentregning. Vi starter med noget, du forhåbentlig kender.

1.1 Repetition fra folkeskolen Procent betyder hundrededele. Eksempler på procenttal skrevet som brøker: 1 a) 1 % = 100

32 b) 32 % = 100

c) 117 % = 117 100

d) p % =

p 100

Et procenttal omskrives ofte til et decimaltal. Det sker blot ved at dividere med 100. Eksempler på procenttal skrevet som decimaltal: a) 1 % = 0,01

b) 32 % = 0,32

c) 117 % = 1,17

d) 12,6 % = 12,6 = 0,126 100

Omvendt kan ethvert decimaltal omskrives til et procenttal ved at gange med 100 %: a) 0,073 = 0,073 · 100 % = 7,31 %

b) 2,31 = 231 %

c) 1 = 100 %

Dette kan bruges til at oversætte en vilkårlig brøk til et procenttal: a) 43 = 0,75 = 75 %

90 b) 365 = 0,2466 = 24,66 %

c) 12 = 0,3243 = 32,43 % 37

3. Procent- og rentesregning

Klasseaktivitet

Quiz og byt - Hvad er de to andre?

I denne øvelse får du udleveret en seddel, hvorpå et tal er angivet som enten procent, brøk eller decimaltal. Når du møder en klassekammerat, skal denne angive de manglende to måder at angive tallet på. Hvis du fx har sedlen 0,25, så skal din klasse25 kammerat svare 25 % og 100 . Sedler og en grundigere beskrivelse af aktiviteten findes bag QR-koden. prx.dk/mia0r

Øvelse 1

Omregning mellem brøker og procenttal

Udfyld de tomme felter i tabellen: Procent

Brøk

Decimaltal

70 %

7 10

0,7

25,3 % 0,38 3 4

0,1019 0,016523 79 10

150,34 %

I den næste øvelse skal I diskutere, hvordan I regnede med procenter i folkeskolen.

Øvelse 2

Pararbejde med procenter

Forklar undervejs hinanden, hvordan I har lært at regne nedenstående opgaver. a) Beregn 30 % af 250. b) Hvor mange procent er 30 kr. ud af 150 kr.? c) En vare, der koster 250 kr., stiger med 22 %. Beregn den nye pris. d) En vare, der koster 400 kr., sættes 13 % ned under et udsalg. Beregn den nye pris. e) 12 % af et beløb giver 300 kr. Find hele beløbet.

58 Træk virksomhederne ind 1

Procentregning under corona

Under corona epidemien blev alle testet mange gange og med forskellige typer af test. De svar, man får, er aldrig 100 % korrekte, og det gav anledning til at begreber som "falsk positiv" pludselig indgik i dagligsproget. Se følgende klip fra filmen Matematikken bag epidemimodeller hos Statens Serum Institut, 19.32 – 22.08, og arbejd derefter sammen i grupper, hvor I skiftes til at forklare hinanden, hvad begreberne betyder, og hvordan Lasse fra SSI får udfyldt tabellen. prx.dk/mia0s

De metoder, man i grundskolen har lært til at løse procentopgaver, er ofte svære at generalisere. Det får vi brug for. Vi starter med at forenkle løsningen af mange procentopgaver.

1.2 Procentformlen Skal vi udregne procenten af et tal, fx 32 % af 520, beregnes dette således 0,32 · 520 = 166,4 Overvej selv, hvorfor dette er korrekt. Vi finder altså 32 % af et tal ved at gange tallet med det tilsvarende decimaltal 0,32. Dette kan generaliseres til

Sætning 1

Procentformlen

Skal vi udregne en bestemt procentdel af et tal K, så udregner vi K · r, hvor r er procenten skrevet som decimaltal. Skrevet som formel: Procentdel = K · r. Når der indgår tre størrelser i en formel eller en ligning, så er der altid tre opgavetyper.

Eksempel: Procentformlens tre opgavetyper a) Bestem 12 % af 78. K er her 78, og 12 % skrevet som decimaltal er 0,12. Vi indsætter og regner: Procentdel = K · r Procentdel = 78 · 0,12 = 9,36 Dvs. 12 % af 78 er 9,36. b) 3 % af et ukendt tal K giver 150. Bestem tallet K. Her er K ukendt, mens K · r = 150 og r = 0,03. Vi indsætter i formlen og isolerer K: Procentdel = K · r 150 = K · 0,03 150 K = 0,03 = 5000

3. Procent- og rentesregning

Dvs. hvis 3 % af tallet giver 150, så er tallet selv 5000. c) p % af 2000 giver 250. Bestem procenttallet p. Her er K lig med 2000, og vi ved, at procentdelen er 250. Vi indsætter i formlen og isolerer r: Procentdel = K · r 250 = 2000 · r 250 r = 2000

Som procenttal er dette 12,5 %. Dvs. 250 udgør 12,5 % af 2000.

Øvelse 3

Beregninger med procentformlen

Benyt procentformlen og ovenstående metoder til at besvare nedenstående spørgsmål. a) Hvad er 37 % af 311? b) Hvad er 129,3 % af 2300? c) 12 % af et tal K er 67. Hvad er tallet K? d) 170 % af et tal er 15. Hvad er det for et tal? e) Hvor mange procent er 410 ud af 508? f ) Hvor mange procent er 508 ud af 410?

Øvelse 4

Praktisk eksempel

Patrice slår med en almindelig terning for at få seksere. Terningen kastes 15 gange, men efter 4 kast er der kun kommet en enkelt sekser. Hvor mange seksere skal Patrice slå i de resterende 11 slag for, at der i alt kommer 20 % seksere?

2. Procentvækstformlen Eksempel: At lægge en procent til et tal At lægge en procentdel til et tal lyder som et "plusstykke", men det er et "gangestykke"! Hvis vi fx skal lægge 32 % til 520, kan vi gøre det på denne måde: 520 + 0,32 · 520 = 520 · (1 + 0,32) = 520 · 1,32 1-tallet i parentesen (1 + 0,32) kan måske godt forvirre. Man kan tjekke, det er korrekt, ved at gøre prøve: 520 · (1 + 0,32) = 520 · 1 + 0,32 · 520 = 520 + 0,32 · 520. Vi så det samme i kapitel 1: Vi kan altid sætte en fælles faktor udenfor parentes. Efter at vi har udregnet parentesen, ser vi, at der kun er et simpelt gangestykke tilbage. Konklusion: Vi lægger altså 32 % til et tal ved at gange tallet med (1 + r) = 1,32.

60 Eksempel: At trække en procent fra et tal At trække en procentdel fra et tal lyder som et "minus-stykke", men det er også et "gangestykke"! Hvis vi fx skal trække 17 % fra 520, kan vi gøre det på denne måde: 520 – 0,17 · 520 = 520 · (1 – 0,17) = 520 · 0,83 Tænk over, hvordan vi igen brugte reglen om at sætte en fælles faktor udenfor parentes! Vi trækker altså 17 % fra et tal ved at gange tallet med (1 – r) = 0,83.

Øvelse 5

Lægge procent til og trække procent fra

a) Læg 35 % til 7999. b) Træk 30 % fra 2499.

Øvelse 6

Regning med moms – en udfordring

I Danmark skal man ved salg af en vare betale 25 % i moms til staten. Dvs. at der skal lægges 25 % til prisen på alle varer for at få butikkernes salgspriser. Prisen uden moms (pris ex. moms) er derfor det beløb, som forretningen får for varen, når den sælges. Vi behandler eksemplet med moms grundigere i øvelse 10, hvor vi har lært nye formler. Men prøv at udfordre dig selv og giv et bud på, hvordan man løser de følgende spørgsmål. a) E n forretning skal lægge 25 % i moms til den salgspris, de har kalkuleret, at de skal have for en vare. Hvordan gør de det lettest? b) Forretningen vil tilbyde en rabat på 32 % på et parti varer, de lige har fået hjem. De diskuterer nu, om de først skal lægge moms til og så trække rabatten fra. Eller om de først skal trække rabatten fra og derefter lægge momsen til. Kan du hjælpe dem og give dem en forklaring på din løsning? Eksemplerne og øvelsen havde ikke noget med de specielle tal at gøre. Derfor kan vi generalisere til følgende sætning:

Sætning 2

Procentvækstformlen

Hvis en begyndelsesværdi, B, vokser eller aftager med en procentdel, der omskrevet til decimaltal betegnes r, så kan slutværdien, S, udregnes således: S = B · (1 + r) Husk, at hvis der er tale om, at B aftager, så er tallet r negativt. Vi siger også, at r regnes med fortegn. Tallet F = (1 + r), kaldes ofte for fremskrivningsfaktoren, både når r er positiv og negativ. Ved brug af fremskrivningsfaktoren F kan vi også skrive procentvækstformlen som S=B·F Når der er tale om en størrelse, der vokser eller aftager over en tidsperiode, kaldes tallet r ofte for vækstraten.

3. Procent- og rentesregning

Man lægger altså en procentdel til et tal, ved at gange tallet med (1 + vækstraten). Bemærk, at når vi skal trække procent fra et tal, er det også procentvækstformlen, vi benytter. Når vi trækker procent fra, er vækstraten r bare negativ – ligesom i eksemplet ovenfor, hvor r = –0,17.

Øvelse 7

Bevis for procentvækstformlen

Vi kan bevise sætningen ved at generalisere eksemplerne ”At lægge procent til" og "At trække procent fra et tal” ovenfor. a) Hvilke værdier i de to eksempler svarer til bogstaverne B, S og r? b) Skift de konkrete tal i de to eksempler ud med de tilsvarende bogstaver, og bevis på denne måde procentvækstformlen.

Samle stik - Omskrivning mellem p, r og F

Et stik består af tre sedler med tre tal, der hører sammen.

Det kan fx være p = 20 %, r = 0,2 og F = 1,2.

Klasseaktivitet

Du samler stik ved at spørge dine klassekammerater efter sedler, du mangler. Et stik skal godkendes af din lærer.

Klasseaktivitet

Du får til en start udleveret tre tilfældige sedler af din lærer.

Gruppearbejde ved tavle - Regning med procentvækstformlen

I skal løse alle opgaver, I får udleveret, ved at anvende sætning 2. Regn så langt I kan uden brug af jeres matematikprogram, og tjek så herefter jeres resultat i matematikprogrammet.

Nedenstående eksempler illustrerer det, du fandt ud af i aktiviteten ovenfor.

Eksempel: At finde begyndelsesværdien med procentvækstformlen Under et udsalg nedsættes prisen for et par sko med 20 % og koster derefter 316 kr. Hvor meget kostede skoene, før de kom på tilbud? Vi opskriver procentvækstformlen med begyndelsesværdien B som den ubekendte: 316 = B · (1 – 0,20) 316 = B · 0,80

Udregn parentesen.

316 = B Divider med 0,80. 0, 80

Det sidste regnestykke beregnes i et matematikprogram, og vi finder: B = 395. Skoene kostede altså oprindeligt 395 kr.

62 Eksempel: At finde vækstraten og procenttallet med procentvækstformlen Under en krise falder aktiekursen for et firma på to dage fra 541,70 kr. til 488,50 kr. Hvor mange procent er dette fald? Her er det vækstraten, r, som er den ubekendte i procentvækstformlen: 488,5 = 541,7 · (1 + r) 488,5 =1+r 541,7 488,5 –1=r 541,7

Igen får vi til sidst brug for et matematikprogram og finder: r = –0,0982 = –9,82 % . Så kursen faldt altså med 9,82 %.

Øvelse 8

Forklar løsningen af ligningen

Forklar, hvad der sker for hver mellemregning i løsningen af ligningen i sidste eksempel.

2.1 Anvendelser af procentvækstformlen Procentvækstformlen (sætning 2) er, ligesom sætning 1, en ligning, der forbinder tre tal: S, B og r. Derfor findes der også her tre typer opgaver: Hvis vi kender to af tallene, kan vi finde det sidste tal ved at isolere den ubekendte. Når vi skal besvare spørgsmål om procentvækst, er det derfor altid denne ligning, der skal skrives op og løses. Det vil vi undersøge nærmere i nedenstående øvelser.

Øvelse 9

Praktiske eksempler på brug af procentvækstformlen

Benyt procentvækstformlen til at besvare nedenstående spørgsmål. a) K øbenhavns befolkning er fra år 2000 til år 2023 steget med ca. 14,6 %. I 2023 var indbyggertallet i København 562 tusind. Beregn indbyggertallet i København i år 2000 regnet i tusinder. b) I 2017 blev der solgt 3.761 elbiler i Danmark, mens salget i 2024 var 89.128 elbiler. Bestem vækstraten fra 2017 til 2024, og angiv den procentvise stigning. c) A ntallet af turister i København faldt markant i 2020 på grund af COVID-19 pandemien. I 2019 var der ca. 9 millioner overnatninger, mens der i 2020 kun var ca. 3 millioner. Bestem det procentvise fald.

Øvelse 10

Moms - fortsættelse af øvelse 6

En butik vil gerne selv have 417 kr. for en bluse, efter momsen er afregnet til staten. a) Bestem den pris butikken skal tage for blusen. Det har været svært at sælge blusen, så butikken beslutter at nedsætte prisen på blusen med 15 %. Butikkens personale er ikke så stærke i procentregning, så de overvejer følgende muligheder til at udregne den nye pris for blusen: • Først lægges momsen til prisen som før, og derefter fratrækkes rabatten på 15 %. • Først trækkes rabatten fra prisen på de 417 kr. og derefter lægges momsen til.

3. Procent- og rentesregning

b) H vilken af de to muligheder giver den laveste tilbudspris? Husk at argumentere for dit svar. c) Engang i folkeskolen lærte du en regel, der hed: Faktorernes orden er ligegyldig. Kan du forklare, hvad den regel har med ovenstående udregninger at gøre? d) En kvik butikselev foreslår, at man bare lægger 10 % (momsprocent – rabatprocent) til blusens pris for at få blusens pris inklusive rabat? Ville det ikke være det letteste?

Øvelse 11

Fremskrivningsfaktorer

Betragt følgende regnestykke: 0,88 · 1,24 = 1,0912. a) Hvor mange procent lægges der i regnestykket til tallet 0,88? b) Hvor mange procent trækkes der i regnestykket fra tallet 1,24? c) H vor mange procent stiger prisen for en vare med, hvis der først lægges 24 % til varen og herefter trækkes 12 % fra varens pris?

Øvelse 12

Procentvis stigning

Prisen på en vare stiger fra 217 kr. til 257 kr. a) Bestem den procentvise stigning ved brug af formlen S = B · (1 + r). b) Bestem den procentvise stigning ved brug af formlen rr == S − B . B

c) H vorfor giver de to beregninger samme værdi? Vink: isolér r i den første formel ved først at gange parentesen ud. Som vi så i kapitlet om lineære funktioner, vil man - fx i de naturvidenskabelige fag - ofte have brug for at finde ud, hvor mange procent en målt værdi afviger fra en forventet værdi, fx en tabelværdi eller teoretisk værdi. Når vi skal finde procentvis afvigelse af den målte værdi fra tabelværdien, lader vi tabelværdien være begyndelsesværdien i procentvækstformlen og den målte værdi være slutværdien.

Øvelse 13

Procentvis/relativ afvigelse

Du har vejet en halv liter vand og fået massen til 501,4 gram. Tabelværdien fra Databogen for vandets masse er 499,9 gram. a) Bestem den procentvise afvigelse af massen 501,4 gram fra tabelværdien. I en generel situation kunne vi kalde det målte tal for yobs og tabelværdien eller den teoretiske værdi for yteoretisk . Vi definerer nu den procentvise afvigelse af det observerede tal fra den teoretiske værdi som det antal procent, r, vi skal lægge til den teoretiske værdi yteoretisk for at få det observerede tal yobs . b) Opskriv ved brug af procentvækstformlen den ligning, der viser sammenhængen mellem yobs , yteoretisk og den procentvise afvigelse, r. c) Vis, at når man isolerer den procentvise afvigelse, r, i ligningen, kan det skrives sådan: r=

y obs − y teoretisk y teoretisk

d) Sammenlign denne formel med formlen rr == S − B fra forrige opgave. Hvad kan du konB kludere?

Øvelse 14

Procentvis afvigelse

I en fysikøvelse har en gruppe elever vejet en række lodder og derefter målt tyngdekraften på dem. Deres data er plottet ind i et regneark, og med lineær regression har de fundet en observeret hældning på linjen: a = 10,21 N/kg Ifølge teorien bør hældningen være 9,82 N/kg.

Kraft (N) 12

Data points y = 10,2x + 0,1

10 8 6

observeret hældning = 10,2 N/kg teoretisk hældning = 9,82 N/kg

4 2

a) Bestem procentafvigelsen af den observerede hældning fra den teoretiske hældning.

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

Masse (kg)

Vi har nu lært, at procentvækst er gangevækst. Tricket er at gå fra procenten, p, til den tilsvarende vækstrate, r, og endelig til fremskrivningsfaktoren, F = (1 + r). Det er den, vi ganger med. Denne metode er beslægtet med det, der hedder skalering. Det behandler vi grundigt i kapitel 5 om geometri og trigonometri, men vi illustrerer det med en enkelt øvelse her.

Træk virksomhederne ind 2

Procentvækst og skalering

Se følgende klip fra filmen Matematikken bag vindenergi hos Vestas, 3.54 - 8.15. Her anvendes formlen for cirklens areal, A = π · r 2. a) Tue regner på, hvad der sker, hvis vi fordobler vingens længde, fra 50 til 100 m. Gengiv selv denne udregning. Hvad blev konklusionen?

Klasseaktivitet

prx.dk/mia0t

b) H vis vi i stedet for en skalafaktor på 2 (= fordobling) havde valgt en skalafaktor på 1,5, hvad ville konklusionen så være mht. det areal, vingerne overstryger?

c) At forlænge en møllevinge med en skalafaktor på 1,5 svarer til – i vores sprogbrug her i kapitlet om %-vækst – at gange vingens længde med en fremskrivningsfaktor på 1,5. Hvor stor en %-vækst svarer dette til?

d) H vis vingernes længde øges med 25 %, hvor meget større bliver så arealet, de overstryger? Hvilken skalafaktor brugte du her?

Procentvækst og skalering af arealer og rumfang Vi bliver i samme matematiske emne som ovenfor, men skifter geometrisk figur til kvadrater og rektangler. Arealet af et kvadrat med siden a er A = a 2. Arealet af et rektangel med siderne a og b er A = a · b. Rumfanget af en rektangulær kasse med siderne a, b og c er V = a · b · c . I skal løse de opgaver, I får udleveret af jeres lærer.

3. Procent- og rentesregning

3. Kapitalformlen I finansverden kaldes procenter ofte for renter. Hvis man sparer op, har man normalt de penge stående på en opsparingskonto til en bestemt rente. Har man optaget et lån i forbindelse med sin uddannelse, så indeholder aftalen, at banken med faste mellemrum, fx årligt eller kvartalsvis tilskriver renter på gælden. Den tid, der går mellem hver rentetilskrivning, kaldes en termin. I almindelig tale kan ordet rente både dække et beløb og den procent der på kontoen. Når vi vil skelne, så bruger vi ordet rentefod for selve procenten.

Øvelse 15

Udviklingen på en opsparingskonto

Anton har fået 5000 kroner af sin flinke farmor. Han sætter dem ind på en opsparingskonto til en rente på 2 %. a) Hvor meget står der på kontoen efter 1 år?

Hvis Anton lader pengene stå på kontoen flere år, hvordan kan han så beregne beløbet på kontoen de enkelte år? Og hvornår får han råd til at købe den gamer-computer til 7.800 kr., han drømmer om? I det følgende vil vi finde en formel, der kan hjælpe os med at besvare disse spørgsmål. Når man har indsat et beløb på en konto i banken, bliver der tilskrevet renter én gang pr. termin. En termin er typisk et år, og vi taler så om, at renten er fx 2 % pro anno (forkortes p.a.), hvilket betyder, at én gang om året vokser det indestående beløb med 2 %. Vi spørger om, hvor meget der står på kontoen efter et bestemt antal terminer. Denne situation kaldes kapitalfremskrivning.

Øvelse 16

Kapitalfremskrivning med regneark

Ved at følge instruktionerne nedenfor skal du få et regneark til at vise, hvordan en indsat startkapital udvikler sig, når der hver termin tilskrives en fast rente. • Start med at åbne et tomt regneark. Navngiv det og gem det, for du skal bruge det i senere øvelser. • I ndskriv række 2 og 3 fra figuren her i dit eget regneark. • Brug procentvækstformlen til at beregne beløbet efter en rentetilskrivning i cellen under startbeløbet. I beregningen skal du klikke på cellen ovenover i stedet for at skrive startbeløbet igen. Gør du det, kan du nemlig let kopiere cellen ved at ”trække den ned”. Men da vi skal bruge den samme rentefod i hver beregning, skal vi fiksere cellen E2 i vores regnestykke. Det gøres ved at skrive $ tegn før tallet 2 i celle E2 – altså: ”E$2” så rækkenummeret låses. Det ser ud som vist på figuren her. • Brug nu regnearkets kopieringsfacilitet til at ”trække rentetilskrivningen ned”, så du beregner, hvad der står på kontoen efter et vilkårligt antal terminer. Det ser eksempelvis ud som vist til højre. Regnearkets udseende efter beregningen er ”trukket ned” til de første 10 terminer. Når du har fået det til at virke, kan du svare på de følgende spørgsmål ved at prøve dig frem i regnearket:

a) H vad står der på kontoen efter 10 år, hvis startbeløbet er 20.000 kr., og renten er 1,5 % pr. år? b) H vor mange terminer går der, før du kommer over 25.000 kr., hvis du indsætter et startbeløb på 17.500 kr. til en rente på 1,1 % pr. år? c) H vad skal startbeløbet være, hvis du med en rente på 1,5 % pr. år vil opnå 25.000 kr. efter 7 år? Startbeløbet skal angives som helt tal. d) H vad skal renten (en decimal) være, hvis du skal opnå 50.000 kr. på 20 år med et startbeløb på 30.000 kr.?

Øvelse 17

Undersøgelse af flere rentetilskrivninger

Ole investerer 3000 kr. i aktier, og han regner med at få 5 % i afkast (rente) om året. a) I ndstil dit regneark fra øvelse 16, så det viser den forventede udvikling i værdien af Oles aktier. b) Udfyld nedenstående tabel med de fundne svar fra dit regneark:

Antal år

Beløb

3000

c) I ndtast punkterne i dit matematikprogram, og lav et punktplot over data, hvor antal år skal ud ad 1.-aksen og beløbene skal på 2.-aksen. d) Ser det ud til at data følger en lineær udvikling? Argumentér. e) Udfyld nedenstående tabel, hvor vi igen bruger data fra regnearket. Bemærk at den ekstra række angiver, hvor meget beløbet er steget med i forhold til foregående år. Antal år

Beløb

3000

3150

Forskel

150

f) B eskriv sprogligt udviklingen i beløbet på kontoen. Er der tale om en lineær vækst? Hvorfor/Hvorfor ikke? g) Lav lineær regression ud fra tabellen i spørgsmål b). Er det en god model? h) Prøv følgende andre regressionsmodeller: Polynomiel, eksponentiel og potens. Hvilken model er bedst? Argumentér. Forskriften på den bedste model skulle gerne være f(x) = 3000 · 1,05x. Fik du det i spørgsmålet ovenfor? i) D efiner den fundne funktion i dit matematikprogram og udregn f(5), f(10) og f(20). Hvad betyder resultaterne på de tre udregninger? Sammenlign med svarene i dit regneark. j) S ammenlign funktionsforskriften med den oprindelige opgave: ”Ole investerer 3000 kr. i aktier, og han regner med at få 5 % i rente om året.” Hvad kan du sige om tallene, som indgår i forskriften for f ovenfor?

3. Procent- og rentesregning

Øvelse 18

Procentvis fald flere gange

Lise køber en computer til 7000 kr. Hvert år falder computerens værdi med 20 %. a) Benyt dit regneark fra øvelse 16 til at udfylde nedenstående tabel med computerens værdi for de angivne år. Antal år

Værdi

7000

b) Benyt regression til at bestemme den model, som bedst beskriver udviklingen i computerens værdi. c) Forklar, hvorfor funktionsforskriften ser ud, som den gør.

Træk virksomhederne ind 3

At regne tilbage i tiden

Se følgende klip fra filmen Matematikken bag pensionssystemet hos PFA og Edlund, 5.15 – 6.10. Oliver prøver Caspers færdigheder ud i procentregning. Hvad er det Oliver spørger om, og hvad er det, Casper svarer? Hvorfor går det galt med Caspers udregning? prx.dk/mia0u

Sekvensen i filmen, der følger efter dette, vender vi tilbage til nedenfor.

Klasseaktivitet

Gruppearbejde – vi udleder Kapitalformlen

I denne aktivitet generaliseres resultaterne fra de foregående tre øvelser, så I får en enkel formel. Ved hjælp af små øvelser, som I får af jeres lærer, skal I beregne, hvordan beløbet på en bankkonto med et startbeløb på 3000 kr. udvikler sig som tiden går, hvis banken giver en rente på 5 % pr. år. De resultater, I når frem til, benytter I til at udlede formlen: Kald beløbet der sættes ind i starten (startbeløbet) for K0 (udtales ”k nul”), og kald renten skrevet som decimaltal for r.

a) O pskriv et regnestykke for den kapital K n , der står på kontoen efter n rentetilskrivninger. Reducér formlen så meget som muligt.

b) Hvor mange ubekendte er der i formlen?

Fra klasseaktiviteten ovenfor har vi nu udledt sætningen:

Sætning 3

Kapitalformlen

Hvis en startkapital på K0 vokser med vækstraten r gennem n terminer, så kan slutværdien, K n , udregnes således: K n = K0 · (1 + r)n

68 Træk virksomhederne ind 4

Kapitalformlen og grafisk repræsentation

Se følgende klip fra filmen Matematikken bag pensionssystemet hos PFA og Edlund, 6.10 – 9.58, hvor Oliver udleder kapitalformlen og viser nogle eksempler på grafisk repræsentation. Prøv selv at fremstille tilsvarende grafer for udviklingen over 50 år. prx.dk/mia0v

3.1 Anvendelser af kapitalformlen Det viser sig, at der er mange ting i den virkelige verden, der udvikler sig på samme måde som det indestående beløb i kapitalformlen. Vi skal senere se eksempler på anvendelse af formlen i situationer, hvor det ikke drejer sig om penge.

Øvelse 19

Fra kapitalformel til sprog

Udviklingen i beløbet på en bankkonto er beskrevet ved formlen K n = 5000 · 1,015n , hvor K n er beløbet på kontoen n år efter pengene er indsat på kontoen. a) Forklar betydningen af tallene 5000 og 1,015.

Øvelse 20

Fra sprog til kapitalformel

Målinger har vist, at antallet af fisk i en sø er faldet med 10 % om året siden 2015. I 2015 var der 5000 fisk i søen. a) Benyt kapitalformlen til at opskrive sammenhængen mellem antal år, n, efter målingernes start og antallet af fisk i søen.

Øvelse 21

Afkode funktionsforskrift

Find på en ”realistisk” historie, der passer med hver af følgende formler. Historierne må IKKE handle om penge. a) K n = 500 · 1,10n c) K = 2 · n + 500

Øvelse 22

b) K n = 4000 · 1,01n d) K n = 300 · 0,90n

Vækst

Vi vil undersøge formlen K n = 200 · 1,13n, hvor n er et helt tal. a) Udregn K4 og K5 , og forklar betydningen af de to resultater. b) Bestem den procentvise stigning fra K4 til K5 . c) Bestem den procentvise stigning fra K17 til K18 . d) Hvad er sammenhængen mellem svarene i b) og c) samt forskriften?

3. Procent- og rentesregning

Kapitalformlen indeholder, som vi fandt ovenfor, 4 størrelser K n , K0 , r og n. Det betyder, at der i dette tilfælde er 4 opgavetyper. I alle 4 tilfælde vil vi gerne kunne beregne den manglende størrelse, når de andre 3 størrelser er kendte. Det er imidlertid ikke altid muligt med de regneregler, vi har til rådighed på nuværende tidspunkt. Derfor introduceres nedenfor to nye regler, der kan benyttes ved løsning af nye typer af ligninger.

1. type – ukendt slutværdi Kn 5000 kr. indsættes på en uddannelsesopsparing, hvor renten er 2,5 % om året. Hvor meget står der på kontoen om 14 år? Vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K0 = 5000, r = 0,025 og n = 14 og indsætter i formlen: K14 = 5000 · (1 + 0,025)14 = 5000 · 1,02514 = 7064,87 Konklusion: Der står 7064,87 kr. på kontoen efter 14 år.

2. type – ukendt startkapital K0 Hvis Jordens befolkningstal er vokset med 2 % om året, og der i år 2010 var 6,9 mia. mennesker på Jorden, hvor mange mennesker var der så i 1950? Vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K60 = 6, 9 , r = 0,02 og n = 60 og indsætter i formlen: 6,9 = K0 · (1 + 0,02)60 Vi isolerer den ukendte K0: K0 = 6, 960 = 2,10 1, 02

Konklusion: Jordens befolkningstal var i 1950 ca. 2,1 mia., hvis påstanden holder.

3. type – ukendt vækstrate r – ligninger løst med n’te rod Antallet af mennesker i verden, der er over 60 år, vokser kraftigt. I 1950 var der 205 millioner på verdensplan. I 2006 var tallet vokset til 688 millioner. Hvis vi antager at dette tal er vokset med en fast procent om året, hvor stor er da denne procent? Vi tæller årene ud fra 1950. Så svarer 2006 til 56. Vi regner antal i millioner. Vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K0 = 205, K5 6 = 6 8 8 , n = 56 og indsætter i formlen: 688 = 205 · (1 + r)56 Vi ønsker at isolere den ukendte r:

688 (1 + r)56 = 205 = 3,356

Vi dividerer med 205.

Her rammer vi en "mur", idet vi endnu ikke har nogen metode til at fjerne potensen 56. Men en sådan metode findes, og hedder: den 56. rod.

70 Du kender kvadratroden, der kan fjerne potensen 2: • Hvis x2 = 2,25, så er x = 2,25 = 1,5, 3

• Hvis x = 1000, så er x = 1000 = 10,

• Hvis (1 + r)56 = 3,356, så er 1 + r = 56 3,356 = 1,022,

fordi 1,52 = 2,25. fordi 103 = 1000. fordi 1,02256 = 3,356.

Herefter er det en simpel sag at bestemme vækstraten r: 1 + r = 1,022 giver r = 1,022 – 1 = 0,022

Konklusion: Antallet af mennesker over 60 år vokser med 2,2 % om året. Når vi løser ligninger, er det sidste trin normalt at "anvende den modsatte regneoperation" af den, der optræder i den reducerede ligning: Det modsatte af plus er minus, det modsatte af gange er division, og det modsatte af at opløfte i en potens er at uddrage en rod.

Definition

Den n’te rod af a

Ligninger på formen xn = a, hvor a og x er positive tal, kan løses ved at tage den n’te rod på begge sider af lighedstegnet. Det skrives som x= na Vi vil i kapitel 4 give en samlet fremstilling af emnet Potens og Rod. Den anden rod (n = 2) kaldes normalt for kvadratroden, og hertil bruges tegnet og ikke 2 , som man umiddelbart ville forvente ud fra definitionen. Bemærk også, at når vi taler om rødder, så er det altid positive tal. x2 = 25 har løsningerne x = ±5, men 25 = 5.

Øvelse 23

Kapitalformlen – ukendt r

I 2020 var bevillingerne til forskning og uddannelse i et bestemt land 20 mia. kr. Det bliver besluttet, at disse bevillinger skal stige med en fast årlig procent, så de i 2035 når op på 60 mia. kr. a) Bestem den årlige procentvise stigning i bevillingerne.

4. type – ukendt n – Ligninger løst med logaritmer Antallet af svært overvægtige danskere, defineret som dem med BMI over 30, blev i 2023 estimeret til 900.000. Antallet er de senere år vokset med 3 % om året. Hvis udviklingen fortsætter, hvornår vil tallet så runde 1,5 millioner? Vi regner antallet i millioner, og opskriver, hvilke talværdier vi kender: K0 = 0 , 9 , K n = 1 , 5 , r = 0,03 og indsætter i formlen: 1,5 = 0,9 · (1 + 0,03)n Vi ønsker at isolere den ukendte n: (1 + 0,03)n = 1,5 = 1,667 0,9

(*)

Her rammer vi igen en "mur", idet vi endnu ikke har nogen metode til at få eksponenten n ned på linjen, så vi kan isolere den.

3. Procent- og rentesregning

Men en sådan metode findes. Den fungerer ved at anvende en såkaldt logaritmefunktion. Logaritmefunktionen hjælper os på følgende måde med at løse (*): (1 + 0,03)n = 1,667 log( (1 + 0,03)n) = log(1,667)

Vi "tager logaritmen" på begge sider.

n · log(1 + 0,03) = log(1,667)

Log flytter eksponenten ned på linjen.

Logaritmen af et tal, fx log(1,03), er et almindeligt tal, vi kan regne løs med. Vi vil normalt ikke lave mellemregninger, da afrundinger kan gøre resultatet mindre præcist, men lad os gøre det her: n · log(1,03) = log(1,667) n · 0,0128 = 0,222 Vi bestemmer de to log-værdier og indsætter i ligningen.

0,222 n = 0,0128 ≈ 17,3 Vi bestemmer nu n som i en almindelig ligning.

At svaret er korrekt, kan tjekkes ved at gøre prøve: 1,0317,3 = 1,6676 Konklusion: Hvis udviklingen fortsætter, vil antallet af svært overvægtige i Danmark overstige 1,5 millioner i år 2040. Som nævnt ovenfor, så er det afgørende trin i en ligningsløsning at anvende modsatte eller omvendte operationer som plus og minus. Logaritmefunktionerne er de omvendte funktioner til eksponentialfunktionerne ax:

Logaritmeregneregel Når a og x er positive tal, gælder reglen log(ax) = x · log(a), hvor log er den såkaldte 10-tals logaritme, der findes som kommando i dit matematikprogram. Det smarte ved denne logaritmeregel er, at den kan få eksponenten x ned på linjen. Som huskeregel siger man, at logaritmen ”logger” x ned på linjen. Vi vil i kapitel 4 præsentere flere af logaritmereglerne, men lige nu nøjes vi med denne vigtige regel.

Øvelse 24

Ligninger ud fra kapitalformlen

a) K0 = 2000, r = 0,05 og n = 10. Bestem K10. b) K10 = 2000, r = 0,03 og n = 10. Bestem K0. c) K0 = 2000, K n = 3000 og r = 0,05. Bestem n. d) K0 = 1800, K10 = 2000 og n = 10. Bestem r.

4. Projekter prx.dk/mia1l

Projekt 3.1: Opsparingsannuitet og gældsannuitet Det er altid en god ide at spare op, både hvis man drømmer om at købe bil eller bolig, og hvis man gerne vil have lidt mere end folkepension, når den tid kommer. Hvordan sådan en opsparing foregår, får vi forklaret i den første film om Matematikken bag pensionssystemet hos PFA og Edlund, og formlerne lærer vi at udlede og regne med i dette projekt. Skal man spare hele beløbet op, så man kan købe en bolig, kan man komme til at vente længe. Men så kan man måske låne – det er det mest almindelige ved store investeringer som køb af ejerbolig.

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Annuitetsopsparing over 50 år 8% 6% 4%

(1 r ) r

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Det gælder også for større offentlige investeringer i infrastruktur: Broer, tunneller og motorvejsbyggerier. I projektet dykker vi ned i matematikken bag afvikling af sådanne gældsannuiteter. Ønsker man at fordybe sig yderligere i emnet, så ligger der i projektet henvisninger til et autentisk materiale om anlægsøkonomien i bygningen af hele Storebæltsforbindelsen, hvor man var tæt på at lide "rentedøden": Det er den situation, hvor gælden vokser mere end de årlige afdrag.

Projekt 3.2: Testet positiv, men er man syg? prx.dk/mia1m

Under Corona pandemien kunne man let selv tage en antigen-test. Problemet med antigentesten var, at den ikke var nær så pålidelig som den sikre, men mere tidskrævende PCR-test. I dette projekt vil vi først introducere begrebet vægtet gennemsnit. Vi kigger så på et nyhedsbrev fra Statens Seruminstitut, der beskriver resultaterne fra en Morten Rasmussen, mikrobiologisk forsker på Seruminstituttet, forklastørre screening af antigen-terer i filmen Matematikken bag epidemimodeller hos SSI, hvad forskelsten der involverede 117.670 len er på PCR-testen og antigen-testen, og om hvordan de analyserede personer. Fra artiklens data besig frem til de nye varianter, der opstod. regner vi, hvor mange falsk positive og falsk negative der var ved antigen-testen og beregner antallet af syge som et vægtet gennemsnit.

3. Procent- og rentesregning

5. Opsamling Efter at have været igennem kapitel 3, skal du kunne følgende:

• opskrive procentformlen og forklare, hvordan en procentopgave løses som et gangestykke • redegøre for, hvordan alle tre opgavetyper i procentformlen opskrives og løses

• opskrive procentvækstformlen og forklare, hvad symbolerne står for

• forklare begreberne vækstrate og fremskrivningsfaktor og illustrere, hvordan de beregnes ved hjælp af procentvækstformlen

• anvende procentvækstformlen til at opskrive og løse opgavetyper, hvor der skal lægges en procent til et tal eller trækkes en procent fra et tal • opskrive kapitalformlen og forklare, hvad de 4 symboler står for

• redegøre for de fire opgavetyper, kapitalformlen giver anledning til

• forklare, hvordan logaritmefunktionen og rodfunktionen kan anvendes til at løse nogle af opgavetyperne

Links

Øvelser Scan QR-koden for at komme til facitlisten til kapitlets øvelser.

prx.dk/mia0w

Opgaver

Du finder opgaver til dette kapitel i webbogen. Scan QR-koden for at komme til opgaverne.

Scan QR-koden for at komme til facitlisten til opgaverne.

prx.dk/mia0x

prx.dk/mia0q