Matematrix 8 Læseprøve

MATEMATRI 8 PER GREGERSEN · KAJ JENSEN · TOMAS HØJGAARD JENSEN · BO BOISEN PEDERSEN

GRUNDBOG/WEB

ALINEA

MATEMATRI 8 PER GREGERSEN · KAJ JENSEN · TOMAS HØJGAARD JENSEN · BO BOISEN PEDERSEN

GRUNDBOG/WEB

ALINEA

MATEMATRIX 8, Grundbog/WEB 2. udgave, 1. oplag 2015 © 2015 Alinea København Kopiering fra denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Peter Lund Billedredaktion: Vibeke Sommer Grafisk tilrettelægning: Lykke Grafisk/Karin Lykke Groth Omslag: Knud Udbye Tegninger: Peter Bay Alexandersen Prepress: Highlight Tryk: Livonia Print Billedfortegnelse: Forside Epix Photography/Scanpix; 9 Enrique Marcarian/Reuters/Scanpix; 11 Hans Juhl; 18 Niels Busch/Post Danmark; 21 Denis Gladkiy/iStock/Thinkstock; 22 Michael Altschul/Polfoto; 28 Annette Fuglsang/Scanpix; 33 Marianne Grøndahl/BAM; 33 Hans Juhl (klodser); 37 Philippe Lissac/Godong/ Corbis/All Over Press; 38 De Danske Gærfabrikker A/S; 40ø Peter Lund; 40m Model: Henning Larsen Architects; 43 IvonneW/iStock/Thinkstock; 47 Prodana; 49 Jan Pietruszka/Bigstockphoto; 51 Kort og Matrikelstyrelsen (9715701 nr. 1); 53 Schmidt, Hammer & Lassen, foto: Jørgen True/Sputnik; 60 Kort og Matrikelstyrelsen; 62ø Karen Jørgensen; 63ø+n Hans Juhl; 67 Rafael Campillo/AGE/Scanpix; 68 gsermek/iStock/Thinkstock; 75 Ianni Dimitrov/AGE/Scanpix; 76 Kim Agersten/Polfoto;77v Hellen Sergeyeva/iStock/Thinkstock; 77m Oleg Kalina/iStock/Thinkstock; 77h gavran333/iStock/ Thinkstock; 78ø daboost/iStock/Thinkstock; 78h Cherkas/iStock/Thinkstock; 78v robtek/iStock/ Thinkstock; 78n maxsattana/iStock/Thinkstock; 79 Rasmus Flindt Pedersen/Polfoto; 82 Apelöga/ Maskot/Polfoto; 83 Linda Kastrup/Polfoto; 85 DanComaniciu/iStock/Thinkstock; 86v Hans Juhl; 86h Hans Juhl; 94 Søren Wesseltoft & Danske Spil; 97 Christophe Michot/iStock/Thinkstock; 101 Ingram Publishing/Thinkstock; 119 Siephoto/Masterfile/Corbis/All Over Press; 120 habovka/iStock/ Thinkstock; 121 frostyy1108/iStock/Thinkstock; 130 AlexLMX/iStock/Thinkstock; 131 MarianVejcik/ iStock/Thinkstock; 134-135ø Martin Bond/Science Photo Library/Scanpix; 134n Hans Juhl; 135m Sergii/Colourbox; 135n Raykin Dmitriy/Colourbox; 137 LexussK/iStock/Thinkstock; 144v Hans Juhl; 144h Hans Juhl; 145 Space Frontiers Ltd./Scanpix; 147 Maserati Spa.; 151 abidal/iStock/Thinkstock; 153 Stine Bidstrup/Polfoto; 154v Niels Peter Holst Hansen/Biofoto; 154øh Elvig Hansen/Biofoto; 154nh Kaj Jensen; 163 ADVRT/Bigstockphoto; 164ø Viktar/iStock/Thinkstock; 164m Ananaline/ iStock/Thinkstock; 164n Oskanov/iStock/Thinkstock; 165ø Logoer: BMW Danmark, A/S, Mitsubishi Danmark, Opel Danmark, Toyota Danmark A/S, Starbucks TM; Mercedes-Benz Danmark; 165n Maskot/Polfoto; 167øv Viktory/Panthermedia; 167øm ekapanova/Panthermedia; 167øh Pauljune/ Panthermedia; 167n Fra: Bente Birk og Dorthe Jollmann: Mosaik patchwork, Klematis 1998 (udsnit); 172-173 Dong Energy; 174-175 Wavebreakmedia Ltd./Thinkstock; 176-177 Hero Images/Corbis/ All Over Press; 178-179 sculpies/Shutterstock; 180-181 Stockbyte/Thinkstock; 182-183 Fuse/iStock/ Thinkstock; 183 Micha Giedroj/Hemera/Thinkstock; 184-185 Purestock/Thinkstock.

ISBN: 978-87-23-03846-3 Web-resurserne findes på matematrix.dk Her findes også betingelser for brug af disse.

Indhold Til eleverne

5

Regnehierarkiet

9

Regnefantasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algebra

19 21

Overslagsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Taltricks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Pyramider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Løsning af ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Ligninger

Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Arealberegning

37

48 51

Overslagsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Priser og forbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

RĂŚsonnementer og beviser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Procent

67

Priser og forbrug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Handelsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Procent og procentpoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Løn og skat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Sandsynlighed

85

Spil med terninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

Anvendelseskritik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Trigonometri

101

Modellering med ligedannede trekanter . . . . . . . . . . . . . . . 112 Pythagoras sætning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Sinus og cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Lineære funktioner

119

Grafisk løsning af ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Tallene

137

Nøjagtighed og overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Potenser og rødder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Mønstre

152

Symmetri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Glidespejling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Modellering med mønstre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Logoer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Fladedækkende mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Undersøgelser

169

Vindmøller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Mad og motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Prisfastsættelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Pyramidedrik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Arranger en koncert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Spillebulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Løgn og statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Palindromer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Stikordsregister

188

Til eleverne Hvis din hjerne skal lære noget nyt, er du nødt til at være aktiv og fokuseret.

Du lærer fx ikke at spille badminton ved at se andre spille det. Tværtimod hvis du vil lære at spille, må du selv møde motiveret op til træningen i hallen.

Allerede mens du klæder om, begynder du måske at fokusere på den forestående træning. I hallen varmer du op ved at slå nogle slag, du allerede behersker. Dernæst viser træneren dig et nyt slag - baghåndsslaget. Det øves en masse gange.

Til sidst skal det bruges i en kamp. Her skal det bruges i pressede situationer. Det er her, du oplever glæden ved at have lært slaget, og det er her, du bliver motiveret til at træne mere og derefter spille mere osv. Efterhånden mestrer du slaget og kan begynde at lære nye ting, fx finter, så slaget maskeres, og du kan udspille din modstander.

Der er nogle modstandere, du endnu ikke kan slå.

Hvis det skal lykkes, er du hele tiden nødt til at lære nye slag og finter og øve dem.

Matematik kan stort set læres på samme måde som badminton. Derfor er kapitlerne i denne bog opbygget som forløb, der indeholder alle væsentlige sider af læringsprocessen. For at gøre det lettere at forstå, hvad vi mener, har vi lavet en model - timeglasmodellen - som du kan se på side 6-7.

Udover kapitlerne er der otte undersøgelser. Hvordan du arbejder med dem, kan du læse mere om på side 169-171 Det er vigtigt, at du kender bogens opbygning - ikke mindst faserne i timeglasset - så har du nemlig bedre mulighed for at forstå, hvad du skal lære. Du kan også bedre forstå, hvad aktiviteterne går ud på, og hvordan de skal gennemføres.

I bogen er der indsat en række ikoner, som angiver, at der findes digitale resurser til aktiviteterne: Regneark

GeoGebra

Arbejdsark

GeoGebra

Geogebra

▲

Regneark

Geogebrafilm

Evalueringsark

Arbejdsark

Evalueringsark

Man kan få adgang til disse resurser på matematrix.dk

Faglige film

TIMEGLASSETS FASER

INTRO

Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og din klasse skal få en ide om, hvad kapitlet handler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålene igen, når I har været igennem hele kapitlet. Der er sikkert forskel på jeres svar før og efter, fordi I har lært noget undervejs.

INTRO-AKTIVITETER

Man lærer bedst matematik, når nye begreber knyttes sammen med begreber, som man kender i forvejen. I de første introaktiviteter er det derfor vigtigt, at du får genopfrisket begreberne fra tidligere klassetrin. De sidste introaktiviteter peger direkte frem mod de nye ting, du får forklaret i gennemgangen. Nogle af disse aktiviteter kan være vanskelige at klare.

Her skal du selv - alene eller sammen med andre - forsøge at finde en god løsningsstrategi.

Introaktiviteterne kan kendes på, at deres numre er blå.

GENNEMGANG

Her præsenteres du for det nye stof, du skal lære. At lære nye begreber og metoder kan være vanskeligt. Derfor er det vigtigt, at du har fuld fokus på og forstår indholdet. Du kan bruge gennemgangen som ”leksikon”, når du senere skal arbejde med øvelser og opgaver. ”Hvordan var det nu, det var?” Gennemgangens sider er markeret med røde streger i kanten. ØVELSER

I gennemgangen blev du præsenteret for nye begreber og nye metoder. Nu skal du træne, indtil du behersker metoderne. Der er ikke meget tekst på øvelsessiderne. Husk at ”øvelse gør mester”. Bliv ved, indtil du er sikker i dine beregninger, men heller ikke længere, så er det bedre at lade sig udfordre af opgaverne. Øvelserne kan kendes på, at deres numre er røde.

OPGAVER

Nu skal du bruge stoffet fra gennemgangen til at klare forskellige udfordringer. Det kan dreje sig om matematiske udfordringer som for eksempel, ”Hvad er vinkelsummen i en trekant?”

Det kan også dreje sig om udfordringer, der vedrører hverdagen som fx ”Hvor meget har man sparet på en vare, hvis den er nedsat fra 295 kr. til 245 kr.?” De blandede opgaver bliver sværere og sværere, så man kan vælge netop de opgaver, der opleves som en tilpas udfordring. Opgaverne kan kendes på, at deres numre er violette EVALUERING

Kapitlet afsluttes med åbne spørgsmål, hvor du skal forklare, hvad du har lært. Desuden skal du prøve at forklare sammenhængen mellem de begreber, som er spredt ud over siden.

INTRO

HVAD S KAL

VI LÆRE

- OG HV ORNÅR

LE KLASSESAMTA

INTRO-AKTIVITETER

N REPETITIO KOM L IDT

MNING OPVAR

OR NY BEHOV F

NYE BEGREBER NY VIDE N

E NY

I GANG

R GE N I DR R FO UD

VIDEN

GENNEMGANG

ER NYE METOD

ØVELSER PRØV SE LV E FÆ S L E G A R DIGHED GENT TEKNIK TRÆNING IND PÅ RYGRADEN OPGAVER SAMARBEJDE OVERVINDE ÅBNE PROB SIG SELV LEMER G IN UDFORSKN UDFORDRINGER UNDERSØGELSER PROBLEM LØSES MERE TRÆNIN G? ANVENDELSE

EVALUERING NYE MÅL SIKKER I UDREGNINGERNE? FIK VI LÆRT DET VI SKULLE? STYR PÅ BEGREBER, FÆRDIGHEDER OG KOMPETENCER?

Udover at kende timeglasset er det vigtigt, at du er opmærksom på, hvordan du kan arbejde med matematik på en god måde. Her får du nogle gode råd.

• • • • • • • • • •

Vær altid opmærksom på, hvad der er meningen med de aktiviteter, du arbejder med. Hvad skal jeg lære? Hvorfor?

Hvad er det for en type aktivitet, du skal i gang med?

Skal du repetere stof, læse en faglig tekst, træne, undersøge eller ...?

Skab overblik over problemstillingen i en opgave. Hvad går den ud på?

Tegn skitser og modeller som kan gøre det lettere at forstå problemstillingen.

Vurder altid resultatet, når du har løst en opgave. Kan det passe?

Eller er der noget galt?

Forklar indholdet i en tekst for dig selv eller for andre.

Stop op med jævne mellemrum, når du læser en tekst, og stil spørgsmål til indholdet. Hvad står der egentligt?

Brug dine egne ord, når du besvarer spørgsmålene.

Brug regneark, Geogebra og andre relevante it-programmer som hjælpemidler, men hold fokus på de begreber og metoder du skal lære.

Deltag aktivt i gruppearbejdet, når I laver eksperimenter og besvarer undersøgelser.

Vær opmærksom når du læser tekster i aviser og på nettet. Formålet med mange af disse tekster er at påvirke læseren. Teksterne kan indeholde mange tal, tabeller og diagrammer. Hvordan bruges tallene? Bruges de på en fair måde, eller er der tale om manipulation?

Du kan selv bruge matematik, når du skal løse nogle af dagligdagens problemer. Matematik kan fx hjælpe dig med at få bedre styr på økonomien, hvis du har brug for det.

Glem ikke dine succeser i matematik og opfat det svære som en udfordring du kan lære noget af.

God fornøjelse med bogen!

Forfatterne

Hva

d sk

er d

Regnehierarkiet

er, h

vis m

an o

vert

Hvordan k

ræd

er re

an du om

gner

Hvorfor indfører man regler?

egle

gå regner

rne?

eglerne?

gnereglerne

r re Hvor komme

FODBO

§ 12.III

LDREG

LER

En spille r skal ad vares, hvis han ved ord e ller handling protester er.

Hvilke regler findes inden for sport, i skolen og i matematik?

fra?

1

Peter og Kristine forsøger at regne samme opgave. Hvilket resultat mener du, er det rigtige? Hvorfor?

2

Hvilke resultater er rigtige og hvilke er forkerte? Hvorfor? a b c d e f

3

Udregn resultatet. a b c d e f

10

4 · 3 + 2 – 6 : 2 = 11 (4 · 3 + 2 – 6 : 2) = 11 (4 · 3 + 2 – 6) : 2 = 11 (4 · 3 + 2) – 6 : 2 = 11 4 · 3 + (2 – 6 : 2) = 11 4 · (3 + 2 – 6) : 2 = 11

(4 · 3) + 2 – (6 : 2) 4 · (3 + 2) – (6 : 2) 2 – (6 : 2) + (4 · 3) 8·4:2–2:4·8 8 · (4 : 2 – 2 : 4) · 8 2:4·8–8·4:2

4

En flaske med en halv liter sportsdrik koster 5,50 kr. Når man køber en pakke med seks flasker, får man 20 % rabat. Hvad koster 4 pakker?

Opstil et regneudtryk for opgaven – og find den samlede pris.

5

Find selv på spørgsmål som i opgave 4, hvor man kan finde svaret ved at opstille et regneudtryk.

REGNEHIERARKIET

Rent bord

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

44

45

48

50

54

55

60

64

66

72

75

80

90

96

100 108 120 125 144 150 180 216

Eget felt: Nabofelt:

1 point 0 point

Eget felt: Nabofelt:

2 point 1 point

Eget felt: Nabofelt:

3 point 2 point

SPILLEREGLER ANTAL SPILLERE: 2 eller flere.

Hver spiller kaster 3 terninger. Ved hjælp af de 4 regningsarter udregnes forskellige facitter i hovedet. Hvis et facit passer med et ledigt felt på pladen, kan man afkrydse (besætte) det og dermed score point. Spillet går ud på at få samlet så mange point som muligt. I kan få ekstra point, hvis der er afkrydsede nabofelter (også diagonalt) til jeres felt.

RENT BORD. Den spiller, der afkrydser det sidste felt på pladen, gør rent bord, hvilket udløser bonus. Bonussen finder I sådan: Kast de 3 terninger igen. Bonus er summen af terningernes øjne.

EKSEMPEL: En spiller har slået en 3’er, en 5’er og en 6’er.

Ved hjælp af de 4 regningsarter kan spilleren fx afkrydse felterne 8 (5 – 3 + 6), 27 (5 · 6 – 3) og 90 (3 · 5 · 6).

Hvis det ikke er muligt at afkrydse et ledigt felt, må man prøve igen, men det koster et liv. Hver spiller har 4 liv.

Arbejdsark

1-2

REGNEHIERARKIET

11

Hierarki betyder, at noget står over noget andet.

Fælles regneregler er til, for at vi kan regne os frem til ens resultater ud fra ens forudsætninger. En del af regnereglerne handler om rækkefølgen for beregninger: Nogle udregninger skal foretages før andre.

Regnehierarkiet fastlægger rækkefølgen for beregninger.

1

PARENTESER ()

2

POTENS og ROD an

n

2

2

= 102 : 5 – 2 · 5

2

2

= 100 : 5 – 2 · 25

(3 + 7) : 5 – 2 · 5

10 : 5 – 2 · 5

2

a

3

MULTIPLIKATION og DIVISION · :

4

ADDITION og SUBTRAKTION + –

100 : 5 – 2 · 25 = 20 – 50 20 – 50 = –30

Overblik ved hjælp af regnehierarkiet

I et regneudtryk kaldes de enkelte addender og subtrahender for led.

Regnehierarkiet fastlægger, at addition og subtraktion er det der skal foretages sidst. Man kan derfor lettere overskue et større regneudtryk, ved at arbejde med hvert led for sig, og til sidst addere og subtrahere leddene.

Regneark

Her er der arbejdet med hvert led.

Her tydeliggøres leddene.

Hierarki

Her er leddene samlet.

10 + 2 · 7 + 2 · 3 =

10 + 2 · 7 + 2 · 3 =

10 + 14 + 6 =

30

2 + 10 + 2 · 3 + 7 =

2 + 10 + 2 · 3 + 7 =

2 + 10 + 6 + 7 =

25

8 · 6 – 14 : 2 – 2 =

8 · 6 – 14 : 2 – 2 =

48 – 7 – 2 =

39

3 · 5 + 10 – 4 · 3 =

3 · 5 + 10 – 4 · 3 =

15 + 10 – 12 =

13

3 · 5 + 10 – 42 · 3 =

3 · 5 + 10 – 42 · 3 =

15 + 10 – 48 =

–23

8 · 6 – (14 : 2)2 – 1 =

8 · 6 – (14 : 2)2 – 1 =

48 – 49 – 1 =

–2

25 + 10 · 2 – 6 =

25 + 10 · 2 – 6 =

30 – 6 =

24

12

REGNEHIERARKIET

"Oversættelse" mellem situation og regneudtryk

15 børn og én lærer skal på museum. Indgangen koster 30 kr. pr elev og 60 kr. for læreren. Børnene får hver 50 kr. med til frokost.

Bestem prisen på turen som én række af beregninger.

Jeg vil først se, hvad indgangen koster for alle eleverne. Så vil jeg se hvad frokosten koster for alle eleverne.

Til sidst lægger jeg prisen for lærerens indgang til.

Hvordan vil du løse den opgave?

Det kan da være lige meget.

Resultatet skulle jo gerne blive det samme.

Jeg synes, det er mere interessant at se, hvad indgangen og frokosten koster tilsammen for hver elev – og så lægge lærerens pris til.

Alle elever, hvert beløb 15 · 30 +15 · 50 + 60 = 1260

Jeg har en ide til, hvordan man kan beregne arealet af denne her L-form.

Ja, man kan dele figuren i et langt og et kort rektangel, og så opstille dette regneudtryk med to led.

REGNEHIERARKIET

eller

Hver elev, begge beløb 15 · (30 + 50) + 60 = 1260

Smart, men jeg tænkte nu på at gøre sådan her.

Godt set. Det tyder på, at vi begge to har regnet rigtigt, når vi får samme resultatet, og syv kvadratmeter virker også som et fornuftigt svar.

13

Øvelser Arbejdsark

Om at overholde regnehierarkiet

6

Udregn resultatet. a 10 + 2 · 7 + 2 · 3 b (10 + 2) · 7 + 2 · 3

c 8 : 8 – 5 – 10 d 8 : 8 – (5 – 10)

e 25 – 9 : 3 – 3 f 25 – (9 : 3) – 3

7

Udregn resultatet. a 2 + 10 + 2 · (3 + 7) b 2 + 10 + 2 · 3 + 7

c 10 + 8 – 3 · 7 d 10 + (8 – 3) · 7

e 19 – 8 – 3 · 3 f 19 – (8 – 3) · 3

8

Udregn resultatet. a 8 · 6 – 14 : 2 – 2 b (8 · 6) – 14 : 2 – 2

c 8+6:2–2·6 d (8 + 6) : 2 – 2 · 6

e 40 + 5 · 4 – 8 f (40 + 5) · 4 – 8

9

Udregn resultatet. a 3 · (5 + 10) – 4 · 3 b 3 · 5 + 10 – 4 · 3

c 10 · 8 – 15 – 20 d 10 · (8 – 15) – 20

e 30 : 5 + 10 – 16 f 30 : (5 + 10 – 16)

10

Udregn resultatet. a 3 · 5 + 10 – 42 · 3 b 3 · 5 + (10 – 4)2 · 3

c 10 · 8 – 15 – 202 d 10 · 8 – (15 – 20)2

e 30 : 5 + 102 – 16 f 302 : (5 + 10) – 16

11

Udregn resultatet. a 8 · 6 – (14 : 2)2 – 1 b 8 · 6 – 14 : (2 – 1)2

c (8 + 6)2 : 2 – 2 · 6 d 8 + (6 : 2)2 – 2 · 6

e 40 + (5 · 4)2 – 8 f 40 + (5 · 4 – 8)2

12

Udregn resultatet. a 25 + 10 · 2 – 6 b 25 + 10 · (2 – 6)

c 100 : 4 – 55 - 6 e 30 – 70 - 6 · 3 d 100 : (4 – 55 - 6 ) f (30 – 70 - 6 ) · 3

3

At reducere betyder at forenkle.

14

13

Hvilke udregninger er rigtige? a 5 + 4 · 3 – 9 + 5 = 9 · 3 – 9 + 5 = 27 – 9 + 5 = 23 b 5 + 4 · 3 – 9 + 5 = 5 + 12 – 9 + 5 = 13 c 15 + 3 · 6 + 4 · 0,5 = 15 + 18 + 2 = 35 d 2 · 3 + 6 · 3 – 5 · 2 = 6 + 6 · 3 – 5 · 2 = 36 – 5 · 2 = 31 · 2 = 62

14

Hvilke udregninger er rigtige? a 55 – 5 · (8 + 3) = 55 – 5 · 11 = 55 – 55 = 0 b 8 – 3 · 2 + 5 : 5 = 5 · 2 + 5 : 5 = 10 + 5 : 5 = 15 : 5 = 3 c 4 · (5 + 4)2 : 3 = 4 · 92 : 3 = 4 · 81 : 3 = 324 : 3 = 108 d 9 – 5 : 4 + 3 · 4 = 4 : 4 + 3 · 4 = 1 + 3 · 4 = 4 · 4 = 16

REGNEHIERARKIET

Om at "oversætte" mellem regneudtryk og almindeligt sprog

15

Hvilke regneudtryk og sætninger passer sammen? c 8 · 10 + 2 e 4·4·2 a 8 + 10 · 2 d 4 · (8 – 5) f 42 +2 b 4·8+5 A B C D E F G

16

9

Tallet som ganget med sig selv giver 9.

Otte lægges sammen med ti, som er blevet ganget med to.

Fire gange otte hvor fem først er trukket fra.

Fire gange otte og dernæst er der lagt fem til.

Fire ganges med sig selv og derefter er der lagt to til.

Fire ganges med fire, som er ganget med to Otte ganges med 10 og der lægges to til.

Find de sætninger, der passer til regneudtrykkene. a Otte lægges sammen med ti, og så ganges der med to. b Ti ganges med sig selv tre gange, hvor der trækkes en fra. c Ni ganges med sig selv. d Kvadratroden af femogtyve ganges med tre. e Treogtyve plus to ganget med fire. f Fem ganget med to som først er lagt sammen med 10.

A B C D E

17

g

(8 + 10) · 2 8 + 10 · 2 5 · (2 + 10) 103 – 1 (23 + 2) · 4

F G H I J

102 23 92 5 · 2 + 10 23 + 2 · 4

K 99 L 25 · 3 M 75

Opstil mindst to regneudtryk, der kan beregne arealet af en L-form med A 1 cm, 6 cm, 4 cm og 3,5 cm.

B 2 cm, 3 cm, 1,5 cm og 4 cm.

C 1,5 cm, 5 cm, 3 cm og 2 cm.

D 2,5 cm, 4 cm, 2 cm og 5 cm.

E 1 cm, 3,5 cm, 2 cm og 3 cm.

F 2 cm, 5 cm, 3 cm og 3,5 cm.

G 0,5 cm, 2 cm, 1 cm og 1 cm.

H 3 cm, 6 cm, 5 cm og 4,5 cm.

6 cm 1 cm 3,5 cm

4 cm

6 cm 1 cm 3,5 cm

4 cm

REGNEHIERARKIET

15

Opgaver Arbejdsark

18

Sæt parenteser så det viste facit bliver rigtigt. a 10 + 25 + 16 – 22 – 8 = 21 b 10 + 25 + 16 – 22 – 8 = 37 c 5 + 9 · 3 = 42 d 22 + 8 · 5 = 150 e 20 – 8 +2 =10 f 35 – 20 – 15 = 30

19

Nogle elever i 8. klasse har reduceret nogle udtryk. a Hvilke elever har regnet rigtigt? b Brug regnehierarkiet og forklar hvorfor det er gået galt i nogle af reduktionerne.

4

16

F RE D E R IK

MA TH A IAS

SO F IE

EM M A

A

B

C

D

S IG R ID

J U LIE

N O AH

CAM IL L A

E

F

G

H

R IK K E

TO B IA S

L UKAS

G USTAV

I

J

K

L

REGNEHIERARKIET

BUDSPRIS IL T IS R P NORMAL 5,00 kr. r. k 5 ,9 5 1 : Pålæg 5,00 kr. kr.

5 ,9 1 1 : rt u h g o Y 20

En mand køber 5 pakker pålæg og fem bægre yoghurt.

Skriv to regneudtryk, der kan beregne den samlede rabat i kr. og i procent.

21

Opstil nogle regneudtryk, der kan besvare spørgsmålene. a Amanda har kørt 15 km, 12 km og 18 km. Hvor langt har hun kørt i alt? b Hvor langt har Amanda kørt i gennemsnit? c Hvad koster fem sodavand, når prisen pr. flaske er 18 kr., og panten er 3 kr.? d Hvad er prisen på de fem sodavand, når der gives en rabat på tre kr. pr. flaske? e Hvad er prisen på 13 kasser med 25 chokoladefrøer i hver, når én frø koster 6 kr.? f Hvis der kom 5 frøer mere i hver kasse, hvad ville prisen så blive? g Et stykke A-4 papir har siderne 21 og 29,7 cm. Hvad er omkredsen? h Hvad er arealet af 8 stykker A-4 papir? i Hvis du folder et stykke A-4 papir på den korte led, hvad er omkredsen så?

22

Alma og Viktor skal købe ind til en klassefest for 20 elever. Her er nogle af deres indkøb:

1

To-liters sodavand. Der er beregnet 0,5 liter pr elev, og prisen for en flaske er 16 kr. og der er en pant på 3 kr./flaske.

2

5 æbler, 10 appelsiner, 20 bananer og 15 blommer. En pose med 10 stk. frugt koster 25 kr.

3

Nogle poser med otte burgerboller i hver pose. De regner med, at hver elev i gennemsnit spiser to burgere. Normalprisen for en pose burgere er 18 kr., men der er rabat på 6 kr.

4

Nogle pakker hakket oksekød. Der er 500 gram i hver pakke og der beregnes 100 gram fars til hver burger. En pakke koster 30 kr. a Opstil et regneudtryk for hvert køb. b Opstil ét samlet regneudtryk og find dernæst den samlede pris.

REGNEHIERARKIET

17

Brug din viden om regnehierarkiet og sæt selv regnetegn og parenteser ind mellem tallene.

Alle cifre i regnestykkerne skal bruges.

Eksempel.

Skriv et regnestykke, hvor facit giver 12:

Du må gerne bytte om på rækkefølgen af cifrene.

23

a b c d e

2 5 6 6 1

3 4 2 5 2

6 1 1 3 3

5 5 1 2 4

5 4 2 1 4

= = = = =

11 22 22 26 23

24

a b c d e f g h

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

= = = = = = = =

8 8 8 8 8 8 8 8

2 3 4 6 3 = 12 2 · 3 + 4 + 6 : 3 = 12

25

f g h i j

2 6 1 6 3

2 6 2 4 3

4 4 4 5 5

5 4 4 3 6

5 3 5 1 6

= = = = =

45 26 25 33 41

a b c d e f g h

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8 9

= = = = = = = =

9 9 9 9 9 9 9 9

Her må du ikke bytte om på rækkefølgen af cifrene.

18

26

a b c d

27

Opstil et (eller flere) regneudtryk og beregn rumfanget af en postkasseform med bredden 40 cm, dybden 20 cm og højden 70 cm.

28

Kan en postkasseform konstrueres, så den har et rumfang på præcist 50 liter? Argumentér ved hjælp af tegninger og beregninger.

29

Formulér selv opgaver som 27 og 28, men med en anden form, og lad en kammerat prøve kræfter med dine opgaver.

30

Hvad sker der med resultatet af et regneudtryk, hvis man flytter rundt på leddenes rækkefølge?

31

Hvad skal vi med et regnehierarki? Hvorfor kan man ikke bare vælge sin egen måde at regne på?

9 9 9 9

7 7 7 7

5 5 5 5

3 3 3 3

1 1 1 1

= = = =

1 2 3 4

e 9 7 5 3 1 = 5 f 9 7 5 3 1 = 6 osv.

REGNEHIERARKIET

Regnefantasi Kunne man tænke sig andre former for regnesymboler og regnehierarkier?

Ja måske, fx hos et folk i en science fiction roman eller film. Eller bare med lidt god fantasi, som i denne historie.

I et 3.000 år gammelt gravkammer har man fundet en papyrusrulle med regneopgaver. Talsymbolerne kendte man fra andre ruller, men betydningen af symbolerne for regneoperationerne var i lang tid en gåde.

32

Hvad betyder de forskellige regnesymboler?

33

Oversæt regneudtrykkene, så du bruger vores symboler, men bibeholder rullernes hierarki.

34

Vis, at der er et regnehierarki i papyrusrullernes regnestykker. Opstil rullernes regnehierarki i niveauer på samme måde som vores regnehierarki er vist i gennemgangen på side 12-13. Vis hierarkiet med de gamle tavlers symboler og med vores.

35

Sammenlign de to hierarkier og skriv en samlet vurdering: Er det ene mere fornuftigt end det andet?

Kunne du have regnet papyrusrullernes opgaver – uden brug af ét af de to hierarkier?

Ville matematik være lettere, hvis man ikke skulle huske på et hierarki?

REGNEHIERARKIET

19

Evaluering ■

Hvad er regnehierarkiet?

■

Hvad kan du bruge regnehierarkiet til?

■

Hvad er størst? (2 +

___ 2·2 2

– 2) · 2 eller (2 +

_2 ___ 2·2 2 ) – 2

Kvadratrod Pare ntes Led

ion t a k i l p Multi

Potens

Subtra ktion

Reg ne u d

Division Regnehi erarki

ion Addit Regler

Evalueringsark

1-2

20

e Reducer

førs t